Số hữu tỉ, số thực và số phức

CHU . O . NG V: S ˆ O ´ H ˜ U . UTI ’ ,S ˆ O ´ THU . . CV ` AS ˆ O ´ PH ´ U . C 5.1. S ˆ O ´ H ˜ U . UTI ’ . 5.1.1. Xˆay du . . ng tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ h˜u . utı ’ t`u . tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ nguyˆen: 5.1.1.1. Mo . ’ d¯ ˆa ` u: Sˆo ´ h˜u . utı ’ du . o . ng ra d¯`o . i kh´a s´o . m (khoa ’ ng 1550 n˘am tru . ´o . c Cˆong nguyˆen) do c´ac yˆeu cˆa ` ub´u . c b´ach cu ’ ad¯`o . isˆo ´ ng sa ’ n xuˆa ´ t. Dˆe ˜ h`ınh dung r˘a ` ng c`ung v´o . isu . . ra d¯`o . icu ’ achˆe ´ d¯ ˆo . tu . h˜u . ul`anh˜u . ng nhu cˆa ` uvˆe ` d¯ o d¯ a . c v`a phˆan chia, v`a sˆo ´ tu . . nhiˆen khˆong c`on d¯u ’ d¯´ap ´u . ng nh˜u . ng yˆeu cˆa ` um´o . icu ’ a x˜a hˆo . in˜u . a. Ch˘a ’ ng ha . n, trong ph´ep d¯o d¯a . c, d`u ta c´o cho . nd¯o . nvi . d¯ o t h ˆe ´ n`ao d¯i n˜u . avˆa ˜ n thu . `o . ng g˘a . pnh˜u . ng d¯a . ilu . o . . ng khˆong b˘a ` ng sˆo ´ nguyˆen lˆa ` ncu ’ ad¯o . nvi . (khˆong d¯o d¯ u . o . . c). Ho . nn˜u . a , d¯ ˆe ’ d¯´ap ´u . ng c´ac yˆeu cˆa ` u d¯a da . ng cu ’ a cuˆo . csˆo ´ ng, ta thu . `o . ng pha ’ id¯u . a ra nhiˆe ` ud¯o . nvi . d¯o kh´ac nhau. Nhu . d¯ o d¯ ˆo . d`ai, ngo`ai d¯o . nvi . m´et c`on c´o d¯ˆeximet, xentimet, milimet, ., d¯o khˆo ´ ilu . o . . ng ngo`ai d¯o . nvi . cˆan (kilˆogam) c`on c´o la . ng, yˆe ´ n, ta . ,tˆa ´ n, . Viˆe . cd¯ˆo ’ id¯o . nvi . d¯o c˜ung d¯`oi ho ’ i pha ’ ic´onh˜u . ng sˆo ´ m´o . i (c´ac phˆan sˆo ´ ). Nhu . vˆa . y, phˆan t´ıch trˆen mˆo . t nhu cˆa ` ud¯o . n gia ’ nv`acˆo ’ xu . a nhˆa ´ tcu ’ ax˜ahˆo . i lo`ai ngu . `o . i, ta d¯˜a thˆa ´ ysu . . cˆa ` n thiˆe ´ tcu ’ asˆo ´ h˜u . utı ’ . M˘a . t kh´ac, su . . ra d¯`o . icu ’ asˆo ´ h˜u . utı ’ c˜ung l`a do yˆeu cˆa ` unˆo . ita . icu ’ abˆo . mˆon to´an ho . c. Tad¯˜amo . ’ rˆo . ng tˆa . pho . . psˆo ´ tu . . nhiˆen d¯ˆe ’ d¯ u . o . . ctˆa . pho . . psˆo ´ nguyˆen, trong d¯´o ph´ep tr`u . luˆon thu . . chiˆe . nd¯u . o . . c, hay n´oi c´ach kh´ac ph´ep cˆo . ng c´o ph´ep to´an ngu . o . . c. Tuy nhiˆen, trˆen tˆa . pho . . psˆo ´ tu . . nhiˆen c˜ung nhu . trˆen tˆa . pho . . psˆo ´ nguyˆen c`on c´o ph´ep nhˆan. Su . . mo . ’ rˆo . ng N th`anh Z chu . aba ’ od¯a ’ m cho ph´ep nhˆan c´o ph´ep to´an ngu . o . . c, ngh˜ıa l`a ph´ep chia cho mˆo . tsˆo ´ kh´ac 0 khˆong pha ’ i luˆon thu . . chiˆe . nd¯u . o . . c. Trˆen quan d¯iˆe ’ mcu ’ al´ythuyˆe ´ tphu . o . ng tr`ınh d¯a . isˆo ´ ta thˆa ´ y trong tˆa . pho . . p Z c´ac sˆo ´ nguyˆen mo . iphu . o . ng tr`ınh da . ng a + x = b, a, b ∈ Z luˆon c´o nghiˆe . m, nhu . ng c´ac phu . o . ng tr`ınh da . ng ax = b, a, b ∈ Z,a=0 khˆong pha ’ i bao gi`o . c˜ung c´o nghiˆe . m. Do d¯´o xuˆa ´ thiˆe . nmˆo . t yˆeu cˆa ` ucu ’ anˆo . ita . i to´an ho . c l`a mo . ’ rˆo . ng tˆa . pho . . psˆo ´ nguyˆen Z d¯ ˆe ’ d¯ u . o . . cmˆo . ttˆa . pho . . psˆo ´ m´o . i trong d¯´o ph´ep chia cho mˆo . tsˆo ´ kh´ac 0 luˆon thu . . chiˆe . nd¯u . o . . c, hay c˜ung vˆa . y, phu . o . ng tr`ınh ax = b (a = 0) luˆon c´o nghiˆe . m. 112 5.1.1.2. D - i . nh ngh˜ıa: Quan hˆe . R nhu . sau trˆen tˆa . pho . . p Z×Z ∗ (v´o . i Z ∗ = Z\{0}) l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng: ∀(a, b), (c, d) ∈ Z× Z ∗ , (a, b) R (c, d) ⇔ ad = bc. K´y hiˆe . u Q =(Z× Z ∗ )/R, ngh˜ıa l`a Q l`a tˆa . pthu . o . ng cu ’ a Z× Z ∗ theo quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng R.Mˆo ˜ i phˆa ` ntu . ’ cu ’ a Q (ch´ınh l`a mˆo ˜ il´o . ptu . o . ng d¯u . o . ng theo quan hˆe . R)d¯u . o . . cgo . il`amˆo . tsˆo ´ h˜u . utı ’ . X´et ´anh xa . q : Z × Z ∗ −→ Q cho bo . ’ i q(a, b)= (a, b). Khi d¯´o q l`a mˆo . t to`an ´anh v`a thu . `o . ng go . i l`a ph´ep chiˆe ´ u ch´ınh t˘a ´ c. 5.1.2. Ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan trˆen Q: 5.1.2.1. D - i . nh ngh˜ıa: Cho x = q(a, b),y= q(c, d) ∈ Q. 1) Ph´ep cˆo . ng: x + y = q(ad + bc, bd). 2) Ph´ep nhˆan: xy = q(ac, bd) 5.1.2.2. T´ınh chˆa ´ t: 1) Ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan x´ac d¯i . nh trˆen Q. 2) Ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan c´o t´ınh giao ho´an, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i x, y ∈ Q, x + y = y + x, xy = yx. 3) Ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan c´o t´ınh kˆe ´ tho . . p, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i x,y,z∈ Q, (x + y)+z = x +(y + z), (xy)z = x(yz). 4) Q v´o . i ph´ep cˆo . ng c´o phˆa ` ntu . ’ khˆong v`a v´o . i ph´ep nhˆan c´o phˆa ` ntu . ’ d¯ o . nvi . , ngh˜ıa l`a tˆo ` nta . i0  , 1  ∈ Q sao cho v´o . imo . i x ∈ Q, x +0  =0  + x = x, x1  =1  x = x. 5) Mo . isˆo ´ h˜u . utı ’ d¯ ˆe ` u c´o sˆo ´ d¯ ˆo ´ i, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i x ∈ Q,tˆo ` nta . i(−x) ∈ Q, x +(−x)=(−x)+x =0  . 6) Mo . isˆo ´ h˜u . utı ’ kh´ac 0  d¯ ˆe ` u c´o sˆo ´ nghi . ch d¯a ’ o, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i x ∈ Q,x= 0  ,tˆo ` nta . i x −1 ∈ Q, xx −1 = x −1 x =1  . 7) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh phˆan phˆo ´ id¯ˆo ´ iv´o . i ph´ep cˆo . ng, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i x,y,z∈ Q, x(y + z)=xy + xz, (y + z)x = yx + zx. 113 8) Ph´ep cˆo . ng c´o t´ınh gia ’ nu . ´o . c, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i x,y,z∈ Q, x + z = y + z ⇒ x = y. 9) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh gia ’ nu . ´o . c, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i x,y,z∈ Q,z=0  , xz = yz ⇒ x = y. Ch´u . ng minh: 1) Gia ’ su . ’ x = q(a, b)=q(a  ,b  ),y= q(c, d)=q(c  d  ). Khi d¯´o ab  = ba  ,cd  = dc  .Tac´o adb  d  = bda  d  , bcb  d  = bdb  c  ⇒ adb  d  + bcb  d  = bda  d  + bdb  c  ⇒ q(ad + bc, bd)=q(a  d  + b  c  ,b  d  ). acb  d  = ab  cd  = ba  dc  = bda  c  ⇒ q(ac, bd)=q(a  c  ,b  d  ). Trong c´ac phˆa ` n c`on la . i, cho tu`y ´y x = q(a, b),y= q(c, d),z= q(e, f). 2) x + y = q(ad + bc, bd)=q(cb + da, db)=y + x. xy = q(ac, bd)=q(ca, db)=yx. 3) (x + y)+z = q(ad + bc, bd)+q(e, f )=q(adf + bcf + bde, bdf)=q(a, b)+ q(cf + de, df)=x +(y + z). (xy)z = q(ac, bd)q(e, f)=q(ace, bdf)=q(a, b)q(ce, df )=x(yz). 4) D - ˘a . t0  = q(0, 1) v`a 1  = q(1, 1). Khi d¯´o 0  = q(0, 1) = q(0,n)v`a1  = q(1, 1) = q(n, n)v´o . imo . i n ∈ Z ∗ .Tac´o x +0  = q(a, b)+q(0, 1) = q(a.1+b.0,b.1) = q(a, b)=x. x1  = q(a, b)q(1, 1) = q(a.1,b.1) = x. 5) D - ˘a . t −x = q(−a, b). Khi d¯´o x +(−x)=q(a, b)+q(−a, b)=q(a.b + b(−a), b.b)=q(0,bb)=0  . 6) Do x =0  hay q(a, b) = q(0, 1) nˆen a =0. D - ˘a . t x −1 = q(b, a). Ta c´o xx −1 = q(a, b)q(b, a)=q(ab, ba)=1  . 7) x(y+z)=q(a, b)q(cf +de, df )=q(acf +ade, bdf)=q(b(acf +ade),b(bdf)) = q(acbf + bdae, bdbf)=q(ac, bd)+q(ae, bf)=xy + xz. 8) x + z = y + z ⇒ q(af + be, bf)=q(cf + de, df) ⇒ af df + bedf = bfcf + bf de ⇒ afdf = bfcf ⇒ ad = bc ⇒ q(a, b)=q(c, d) ⇒ x = y. 9) Do z =0  nˆen e = 0. Ta c´o xz = yz ⇒ q(ae, bf)=q(ce, df) ⇒ aedf = bfce ⇒ ad = bc ⇒ q(a, b)= q(c, d) ⇒ x = y. 5.1.2.3. Hˆe . qua ’ : Tˆa . pho . . p Q v´o . i ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan trong (5.1.2.1) ta . o th`anh mˆo . t tru . `o . ng v`a Char(Q)=0. 5.1.3. Ph´ep tr`u . , ph´ep chia v`a phˆan sˆo ´ trong Q: 5.1.3.1. D - i . nh ngh˜ıa: Cho x, y ∈ Q, ta go . ihiˆe . ucu ’ a x v`a y,k´yhiˆe . u x − y l`a tˆo ’ ng cu ’ a x v`a sˆo ´ d¯ ˆo ´ icu ’ a y: x − y = x +(−y). 114 Ph´ep to´an t`ım hiˆe . ucu ’ a hai sˆo ´ go . i l`a ph´ep tr`u . . V`ı m o . isˆo ´ h˜u . utı ’ d¯ ˆe ` uc´osˆo ´ d¯ ˆo ´ i nˆen ph´ep tr`u . x− y luˆon luˆon thu . . chiˆe . nd¯u . o . . c. Nˆe ´ u x = q(a, b),y= q(c, d)th`ı−y = q(−c, d), do d¯´o x − y = x +(−y)=q(a, b)+q(−c, d)=q(ad− bc, bd). 5.1.3.2. D - i . nh ngh˜ıa: Cho x, y ∈ Q,y=0  , ta go . ithu . o . ng cu ’ a x v`a y,k´yhiˆe . u x : y hay x y l`a t´ıch cu ’ a x v`a nghi . ch d¯a ’ ocu ’ a y: x : y = x y = xy −1 . Ph´ep to´an t`ım thu . o . ng cu ’ a hai sˆo ´ h˜u . utı ’ go . i l`a ph´ep chia. V`ı m o . isˆo ´ h˜u . utı ’ y =0  d¯ ˆe ` u c´o nghi . ch d¯a ’ o, nˆen ph´ep chia mˆo . tsˆo ´ h˜u . utı ’ x cho mˆo . tsˆo ´ h˜u . utı ’ y =0  luˆon luˆon thu . . chiˆe . nd¯u . o . . c. Nˆe ´ u x = q(a, b),y= q(c, d) =0  th`ı y −1 = q(d, c) do d¯´o x : y = xy −1 = q(a, b)q(d, c)=q(ad, bc). Nhu . vˆa . y yˆeu cˆa ` u xˆay du . . ng mˆo . ttˆa . pho . . psˆo ´ trong d¯´o ph´ep chia cho mˆo . tsˆo ´ kh´ac khˆong luˆon thu . . chiˆe . nd¯u . o . . c d¯˜a ho`an th`anh. Vˆa ´ n d¯ ˆe ` c`on la . i l`a ta h˜ay ch´u . ng to ’ c´o thˆe ’ coi Q nhu . l`a mˆo . tmo . ’ rˆo . ng cu ’ a Z v`a su . ’ du . ng c´ach ghi sˆo ´ nguyˆen d¯ˆe ’ k´y hiˆe . u c´ac sˆo ´ h˜u . utı ’ sao cho viˆe . c thu . . c h`anh t´ınh to´an trˆen d¯´o d¯u . o . . c thuˆa . ntiˆe . n. 5.1.3.3. Quan hˆe . gi˜u . a Z v`a Q: X´et ´anh xa . f : Z −→ Q : a → f (a)=q(a, 1). Khi d¯´o ´anh xa . f c´o c´ac t´ınh chˆa ´ t sau: 1) f l`a mˆo . td¯o . n ´anh. Thˆa . tvˆa . y, v´o . imo . i a 1 ,a 2 ∈ Z,f(a 1 )=f (a 2 ), ta c´o q(a 1 , 1) = q(a 2 , 1) hay a 1 .1=1.a 2 hay a 1 = a 2 . 2) f ba ’ o to`an c´ac ph´ep to´an. Thˆa . tvˆa . y, v´o . imo . i a 1 ,a 2 ∈ Z, ta c´o f(a 1 )+f(a 2 )=q(a 1 , 1) + q(a 2 , 1) = q(a 1 .1+1.a 2 , 1.1) = q(a 1 + a 2 , 1) = f(a 1 + a 2 ). f(a 1 )f(a 2 )=q(a 1 , 1)q(a 2 , 1) = q(a 1 .a 2 , 1.1) = q(a 1 a 2 , 1) = f(a 1 a 2 ). C´ac t´ınh chˆa ´ t trˆen cho biˆe ´ t ´anh xa . f l`a mˆo . td¯o . ncˆa ´ u v`anh v`a t`u . d¯´o ta c´o thˆe ’ d¯ ˆo ` ng nhˆa ´ tmˆo ˜ isˆo ´ nguyˆen a v´o . ia ’ nh f(a)=q(a, 1), thay cho c´ach viˆe ´ t x = q(a, 1) ta viˆe ´ t x = a v`a mˆo ˜ isˆo ´ nguyˆen a ∈ Z c˜ung l`a mˆo . tsˆo ´ h˜u . utı ’ .Nhu . vˆa . y0  = q(0, 0) = 0, 1  = q(1, 0). B˘a ` ng c´ach d¯´o Z l`a mˆo . ttˆa . p con cu ’ a Q v`a c´ac ph´ep to´an cu ’ a Q thu he . p trˆen Z tr`ung v´o . i c´ac ph´ep to´an trˆen Z. 115 5.1.3.4. D - i . nh ngh˜ıa: Cho x = q(a, b) ∈ Q. Khi d¯´o ta c´o x = q(a, b)=q(a, 1)a(1,b)=q(a, 1)q(b, 1) −1 v`a theo c´ach d¯ˆo ` ng nhˆa ´ to . ’ trˆen th`ıtac´othˆe ’ viˆe ´ t x = ab −1 hay x = a b . Biˆe ’ udiˆe ˜ n x = a b v´o . i a, b ∈ Z,b=0go . i l`a mˆo . t phˆan sˆo ´ , a go . il`atu . ’ sˆo ´ v`a b go . il`amˆa ˜ usˆo ´ cu ’ a phˆan sˆo ´ d¯´o. 5.1.3.5. Ch´u ´y: Cho x = a b ,y= c d . Khi d¯´o ta c´o: 1) a b = c d ⇔ ad = bc. 2) −x = −a b = a −b . 3) x −1 = b a (v´o . i x = 0). 4) a b + c d = ad + bc bd . 5) a b . c d = ac bd . 6) a b − c d = ad − bc bd . 7) a b : c d = ad bc . 5.1.4. Quan hˆe . th´u . tu . . trˆen Q: 5.1.4.1. D - i . nh ngh˜ıa: Cho x = a b ∈ Q,a,b∈ Z,b= 0. Ta n´oi x l´o . nho . n ho˘a . c b˘a ` ng 0 v`a viˆe ´ t x ≥ 0nˆe ´ u ab ≥ 0. 5.1.4.2. Ch´u´y:Trong d¯i . nh ngh˜ıa trˆen, ta d¯˜a x´ac d¯i . nh kh´ai niˆe . m x ≥ 0 nh`o . kh´ai niˆe . ml´o . nho . n ho˘a . cb˘a ` ng 0 trong Z thˆong qua phˆan sˆo ´ d¯ a . ibiˆe ’ ucu ’ a x.Nhu . ng mˆo . tsˆo ´ h˜u . utı ’ x c´o thˆe ’ d¯ u . o . . cd¯a . ibiˆe ’ ubo . ’ i c´ac phˆan sˆo ´ kh´ac nhau, nˆen ta cˆa ` n ch´u . ng to ’ d¯ i . nh ngh˜ıa trˆen khˆong phu . thuˆo . c v`ao phˆan sˆo ´ d¯ a . ibiˆe ’ ucu ’ asˆo ´ x. Thˆa . t vˆa . y, gia ’ su . ’ x = a b = c d (a, b, c, d ∈ Z,b=0,d= 0). Khi d¯´o ta c´o ad = bc v`a nhˆan hai vˆe ´ v´o . i bd ta d¯u . o . . c abd 2 = cdb 2 .V`ıb 2 > 0v`ad 2 > 0nˆenab ≥ 0 khi v`a chı ’ khi cd ≥ 0. Nˆe ´ u x = a ∈ Z th`ı c´o thˆe ’ viˆe ´ t x = a 1 v`a a.1 ≥ 0 trong Z khi v`a chı ’ khi a ≥ 0. Vˆa . y khi x l`a mˆo . tsˆo ´ nguyˆen th`ı kh´ai niˆe . m x ≥ 0 trong Q v`a trong Z ph`u ho . . pv´o . i nhau. 5.1.4.3. D - i . nh ngh˜ıa: Cho x v`a y l`a hai sˆo ´ h˜u . utı ’ . Ta n´oi x nho ’ ho . n hay b˘a ` ng y ho˘a . c y l´o . nho . n hay b˘a ` ng x,k´yhiˆe . u x ≤ y ho˘a . c y ≥ x,nˆe ´ u y − x ≥ 0. Nˆe ´ u x ≤ y v`a x = y th`ı ta n´oi x nho ’ ho . n y ho˘a . c y l´o . nho . n x,k´yhiˆe . u x<y ho˘a . c y>x. 116 Sˆo ´ h˜u . utı ’ l´o . nho . n0go . il`asˆo ´ h˜u . utı ’ du . o . ng v`a sˆo ´ h˜u . utı ’ nho ’ ho . n0go . i l`a sˆo ´ h˜u . utı ’ ˆam. 5.1.4.4. Mˆe . nh d¯ˆe ` : Quan hˆe . ≤ s˘a ´ pth´u . tu . . to`an phˆa ` ntˆa . pho . . p Q. Ch´u . ng minh: V´o . imo . i x ∈ Q, ta c´o x−x =0= 0 1 v`a 0.1=0≥ 0, nˆen x−x ≥ 0 hay x ≤ x. Do d¯´o ≤ c´o t´ınh pha ’ nxa . . V´o . imo . i x, y ∈ Q m`a x ≤ y v`a y ≤ x,tac´oy − x = a b ≥ 0v`ax− y = −a b ≥ 0,a,b∈ Z,b= 0. Khi d¯´o ab ≥ 0v`a(−a)b = −ab ≥ 0v`adoab l`a mˆo . tsˆo ´ nguyˆen nˆen ab = 0, d¯iˆe ` u n`ay k´eo theo a =0(v`ı b =0)t´u . cl`ay − x =0hayx = y.Do d¯ ´o ≤ c´o t´ınh pha ’ nd¯ˆo ´ ix´u . ng. V´o . imo . i x,y,z∈ Q m`a x ≤ y v`a y ≤ z, ta c´o y−x = a b ,z−y = c d , a, b, c, d ∈ Z,b=0,d=0,ab≥ 0,cd≥ 0. Khi d¯´o z − x =(z − y)+(y − x)= c d + a b = cb + da db v´o . i(cb + da)db = cdb 2 + abd 2 ≥ 0, d¯iˆe ` u n`ay k´eo theo x ≤ z. Do d¯´o ≤ c´o t´ınh b˘a ´ ccˆa ` u. V´o . imo . i x, y ∈ Q, gia ’ su . ’ y − x = a b ,a,b∈ Z,b= 0. Khi d¯´o ta luˆon c´o ab ≥ 0 ho˘a . c ab ≤ 0, t´u . cl`ay − x ≥ 0 ho˘a . c x − y ≥ 0, d¯iˆe ` u n`ay k´eo theo x ≤ y ho˘a . c y ≤ x. Vˆa . y quan hˆe . ≤ s˘a ´ pth´u . tu . . to`an phˆa ` ntˆa . pho . . p Q. 5.1.4.5. D - i . nh ngh˜ıa: Gia ’ su . ’ ≤ l`a mˆo . t quan hˆe . th´u . tu . . trˆen tru . `o . ng F. Khi d¯´o F d¯ u . o . . cgo . i l`a mˆo . t tru . `o . ng d¯u . o . . cs˘a ´ pd¯ˆo ´ iv´o . ith´u . tu . . ≤ nˆe ´ u c´ac d¯iˆe ` ukiˆe . n sau d¯ˆay d¯ u . o . . c thoa ’ m˜an: (1) Nˆe ´ u x ≤ y th`ı x + z ≤ y + z,v´o . imo . i z ∈ F; (2) Nˆe ´ u x ≤ y v`a 0 ≤ z th`ı xz ≤ yz. 5.1.4.6. Mˆe . nh d¯ˆe ` : Tru . `o . ng Q c´ac sˆo ´ h˜u . utı ’ l`a tru . `o . ng d¯u . o . . cs˘a ´ pd¯ˆo ´ iv´o . i quan hˆe . th´u . tu . . ≤. Ch´u . ng minh: 1) Do x ≤ y nˆen (y +z)−(x+z)=y−x ≥ 0, do d¯´o x+z ≤ y +z. 2) Do x ≤ y v`a z ≥ 0nˆeny−x = a b ,z= c d , a, b, c, d ∈ Z,b=0,d=0,ab≥ 0,cd≥ 0, d¯iˆe ` u n`ay k´eo theo yz−xz =(y− x)z = ac bd ≥ 0v`ıacbd =(ab)(cd) ≥ 0. Do d¯´o xz ≤ yz. 5.1.5. T´ınh tr`umˆa . t v`a t´ınh s˘a ´ pth´u . tu . . Archim`ede cu ’ atˆa . pho . . p Q: 5.1.5.1. Mˆe . nh d¯ˆe ` : V´o . imo . i x, y ∈ Q, x<y,tˆo ` nta . i z ∈ Q sao cho x<z<y. 117 Ch´u . ng minh: T`u . gia ’ thiˆe ´ t x<y suy ra x + x<x+ y v`a x + y<y+ y,nˆen ta c´o 2x<x+ y<2y hay x<z<y, v´o . i z = x + y 2 . 5.1.5.2. Hˆe . qua ’ : Gi˜u . a hai sˆo ´ h˜u . utı ’ phˆan biˆe . tbˆa ´ tk`y, tˆo ` nta . ivˆosˆo ´ sˆo ´ h˜u . utı ’ kh´ac. Ch´u . ng minh: V´o . i x, y ∈ Q,x= y, ta c´o x<yho˘a . c y<x. Gia ’ su . ’ x<y. Theo mˆe . n h d¯ ˆe ` trˆen tˆo ` nta . i z ∈ Q sao cho x<z<y.La . i ´ap du . ng mˆe . n h d¯ ˆe ` trˆen, tˆo ` nta . i z 1 ,z 2 ∈ Q sao cho x<z 1 <z<z 2 <y. L´y luˆa . n trˆen c´o thˆe ’ l˘a . pla . imˆo . t sˆo ´ lˆa ` n tu`y ´y. Vˆa . ygi˜u . a x v`a y c´o vˆo sˆo ´ sˆo ´ h˜u . utı ’ . 5.1.5.3. Ch´u´y:T´ınh chˆa ´ t trˆen thˆe ’ hiˆe . nsu . . kh´ac biˆe . t c˘an ba ’ ngi˜u . a t´ınh s˘a ´ p th´u . tu . . cu ’ atˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ nguyˆen v`a tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ h˜u . utı ’ . Trong tˆa . pho . . psˆo ´ nguyˆen, gi˜u . a hai sˆo ´ nguyˆen n v`a n + 1 khˆong c´o sˆo ´ nguyˆen n`ao kh´ac v`a t`u . d¯´o c´o thˆe ’ suy ra gi˜u . a hai sˆo ´ nguyˆen phˆan biˆe . tchı ’ c´o h˜u . uha . nsˆo ´ nguyˆen kh´ac ch´ung. Ngu . `o . i ta n´oi tˆa . pho . . psˆo ´ nguyˆen s˘a ´ pth´u . tu . . r`o . ira . c. C`on trong tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ h˜u . utı ’ ,gi˜u . a hai sˆo ´ h˜u . utı ’ phˆan biˆe . tbˆa ´ tk`y bao gi`o . c˜ung c´o vˆo sˆo ´ sˆo ´ h˜u . utı ’ . Ngu . `o . i ta n´oi tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ h˜u . utı ’ s˘a ´ pth´u . tu . . tr`u mˆa . t. 5.1.5.4. Mˆe . nh d¯ˆe ` : V´o . imo . i x, y ∈ Q,nˆe ´ u x>0 th`ı tˆo ` nta . isˆo ´ tu . . nhiˆen n sao cho nx > y. Ch´u . ng minh: Nˆe ´ u y ≤ 0th`ıtachı ’ cˆa ` nd¯˘a . t n =1v`ı1.x = x>y. Nˆe ´ u y>0 th`ı ta c´o thˆe ’ viˆe ´ t x = a b ,y= c d , trong d¯´o a, b, c, d l`a nh˜u . ng sˆo ´ nguyˆen du . o . ng. D - ˘a . t n = b(c + 1) th`ı n ∈ N v`a ta c´o nx = a(c +1)≥ c +1>c≥ c d = y. T´ınh chˆa ´ t ph´at biˆe ’ u trong mˆe . n h d¯ ˆe ` trˆen go . i l`a t´ınh chˆa ´ t Archim`ede. Vˆa . y quan hˆe . th´u . tu . . trˆen tˆa . pho . . p Q c´o t´ınh chˆa ´ t Archim`ede. 5.2. S ˆ O ´ THU . . C. 5.2.1. Xˆay du . . ng tˆa . pho . . p R c´ac sˆo ´ thu . . c v`a hai ph´ep to´an trˆen R: 5.2.1.1. Yˆeu cˆa ` umo . ’ rˆo . ng tˆa . pho . . p Q c´ac sˆo ´ h˜u . utı ’ : Tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ h˜u . u tı ’ ,m˘a . c d`u tr`u mˆa . t, vˆa ˜ nchu . a d¯´ap ´u . ng d¯u . o . . c c´ac yˆeu cˆa ` ucu ’ a hoa . td¯ˆo . ng thu . . c tiˆe ˜ n. T`u . xa xu . a ngu . `o . i ta d¯˜a thˆa ´ y c´o nh˜u . ng d¯oa . n th˘a ’ ng khˆong c´o sˆo ´ d¯ o h ˜u . utı ’ . Ch˘a ’ ng ha . n, nˆe ´ u ta d¯o d¯u . `o . ng ch´eo cu ’ amˆo . t h`ınh vuˆong m`a ca . nh b˘a ` ng 1 d¯o . nvi . d`ai th`ıd¯ˆo . d`ai cu ’ ad¯u . `o . ng ch´eo d¯´o c´o b`ınh phu . o . ng b˘a ` ng 2. 118 Nhu . vˆa . y, nˆe ´ uchı ’ d`ung c´ac sˆo ´ h˜u . utı ’ ,tachu . a d¯´ap ´u . ng d¯u . o . . c c´ac yˆeu cˆa ` ucu ’ a thu . . ctiˆe ˜ n. V`ıvˆa . y xuˆa ´ thiˆe . nyˆeucˆa ` umo . ’ rˆo . ng ho . nn˜u . atˆa . pho . . p Q c´ac sˆo ´ h˜u . utı ’ . Vˆe ` phu . o . ng diˆe . n to´an ho . c thuˆa ` ntu´y ta c˜ung thˆa ´ ysu . . cˆa ` n thiˆe ´ t pha ’ imo . ’ rˆo . ng ho . nn˜u . atˆa . pho . . p Q. Ch˘a ’ ng ha . n, th´ıdu . trˆen c´o thˆe ’ diˆe ˜ nd¯a . tmˆo . t c´ach thuˆa ` ntu´y to´an ho . c l`a: phu . o . ng tr`ınh x 2 = 2 khˆong c´o nghiˆe . mh˜u . utı ’ . O . ’ Phˆa ` n 5.1 ta d¯˜a thˆa ´ y trˆen tˆa . pho . . p Q mo . iphu . o . ng tr`ınh bˆa . c nhˆa ´ t ax+b =0 d¯ ˆe ` u c´o nghiˆe . m. Nhu . ng mˆo . tphu . o . ng tr`ınh bˆa . c hai tro . ’ lˆen, n´oi chung, khˆong c´o nghiˆe . mh˜u . utı ’ . Mˆo . t yˆeu cˆa ` utu . . nhiˆen d¯˘a . t ra theo su . . ph´at triˆe ’ n lˆogic cu ’ a to´an ho . c l`a: mo . ’ rˆo . ng tˆa . pho . . p Q c´ac sˆo ´ h˜u . utı ’ d¯ ˆe ’ c´o mˆo . ttˆa . pho . . psˆo ´ m´o . ich´u . a Q sao cho mo . id¯a th´u . c trˆen Q d¯ ˆe ` u c´o nghiˆe . m trong tˆa . pho . . p n`ay v`a trong to´an ho . ctˆa . pho . . p n`ay go . i l`a tru . `o . ng c´ac sˆo ´ d¯ a . isˆo ´ . Song vˆa ˜ n c`on c´o nh˜u . ng d¯a . ilu . o . . ng khˆong thˆe ’ biˆe ’ u diˆe ˜ nb˘a ` ng nghiˆe . mcu ’ abˆa ´ tk`ymˆo . t d¯a th´u . c n`ao trˆen Q. Ch˘a ’ ng ha . nd¯ˆo . d`ai cu ’ a d¯ u . `o . ng tr`on c´o d¯u . `o . ng k´ınh b˘a ` ng d¯o . nvi . d`ai (cu . thˆe ’ l`a sˆo ´ π) khˆong thˆe ’ biˆe ’ udiˆe ˜ n d¯ u . o . . cb˘a ` ng nghiˆe . mcu ’ amˆo . t d¯a th´u . c trˆen Q.Sˆo ´ e quen thuˆo . c c˜ung vˆa . y, e khˆong l`a nghiˆe . mcu ’ abˆa ´ tk`y d¯a th´u . c n`ao v´o . ihˆe . sˆo ´ h˜u . utı ’ . Thu . . c ra, d¯ˆe ’ su . ’ du . ng c´ac sˆo ´ m´o . i n`ay, ta thu . `o . ng lˆa ´ y c´ac sˆo ´ h˜u . utı ’ xˆa ´ pxı ’ thay cho ch´ung. C´o d¯iˆe ` u l`a mˆo ˜ isˆo ´ m´o . i d¯´o c´o vˆo sˆo ´ sˆo ´ h˜u . utı ’ xˆa ´ pxı ’ v´o . imˆo . td¯ˆo . ch´ınh x´ac tu`y´y.Tas˜esu . ’ du . ng d˜ay sˆo ´ h˜u . utı ’ xˆa ´ pxı ’ d¯ ´o d¯ ˆe ’ x´ac d¯i . nh tˆa . pho . . psˆo ´ m´o . i. 5.2.1.2. D - i . nh ngh˜ıa: X´et tˆa . pho . . p X gˆo ` mtˆa ´ tca ’ c´ac d˜ay Cauchy (d˜ay co . ba ’ n) trˆen tˆa . pho . . p Q.V`ıtˆo ’ ng v`a t´ıch cu ’ a hai d˜ay Cauchy l`a mˆo . t d˜ay Cauchy nˆen trˆen X c´o hai ph´ep to´an: V´o . i(x n ) n∈N , (y n ) n∈N ∈ X, 1) Ph´ep cˆo . ng: (x n ) n∈N +(y n ) n∈N =(x n + y n ) n∈N . 2) Ph´ep nhˆan: (x n ) n∈N (y n ) n∈N =(x n y n ) n∈N . 5.2.1.3. T´ınh chˆa ´ t: 1) Ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan c´o t´ınh giao ho´an. 2) Ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan c´o t´ınh kˆe ´ tho . . p. 3) X v´o . i ph´ep cˆo . ng c´o phˆa ` ntu . ’ khˆong, d¯´o l`a d˜ay (0) n∈N v`a v´o . i ph´ep nhˆan c´o phˆa ` ntu . ’ d¯ o . nvi . , d¯´o l`a d˜ay (1) n∈N . 4) Mo . i phˆa ` ntu . ’ cu ’ a X d¯ ˆe ` u c´o phˆa ` ntu . ’ d¯ ˆo ´ i; cu . thˆe ’ d¯ ˆo ´ icu ’ a(x n ) n∈N l`a (−x n ) n∈N . 5) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh phˆan phˆo ´ id¯ˆo ´ iv´o . i ph´ep cˆo . ng. Ch´u . ng minh: Kˆe ´ t qua ’ c´o ngay t`u . d¯ i . nh ngh˜ıa. 5.2.1.4. D - i . nh ngh˜ıa: Quan hˆe . R trˆen tˆa . pho . . p X: ∀(x n ) n∈N , (y n ) n∈N ∈ X, (x n ) n∈N R (y n ) n∈N ⇔ lim n→+∞ (x n − y n )=0 l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng. 119 L´o . ptu . o . ng d¯u . o . ng cu ’ a(a n ) n∈N ∈ X l`a (a n ) n∈N = {(x n ) n∈N ∈ X | lim n→+∞ (x n − a n )=0}. Tˆa . pho . . pthu . o . ng X/R k´yhiˆe . ul`aR.Mˆo ˜ i phˆa ` ntu . ’ cu ’ a R (ch´ınh l`a mˆo ˜ il´o . p tu . o . ng d¯u . o . ng theo quan hˆe . R)d¯u . o . . cgo . il`amˆo . tsˆo ´ thu . . c. ´ Anh xa . r : X −→ R cho bo . ’ i r((x n ) n∈N )=(x n ) n∈N l`a mˆo . t to`an ´anh v`a thu . `o . ng go . i l`a ph´ep chiˆe ´ uch´ınh t˘a ´ c. 5.2.1.5. D - i . nh ngh˜ıa: Cho x = r((x n ) n∈N ),y= r((y n ) n∈N ). 1) Ph´ep cˆo . ng: x + y = r((x n + y n ) n∈N ). 2) Ph´ep nhˆan: xy = r((x n y n ) n∈N ). 5.2.1.6. T´ınh chˆa ´ t: 1) Ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan d¯u . o . . c x´ac d¯i . nh trˆen R. 2) Ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan c´o t´ınh giao ho´an, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i x, y ∈ R, x + y = y + x, xy = yx. 3) Ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan c´o t´ınh kˆe ´ tho . . p, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i x,y,z∈ R, (x + y)+z = x +(y + z), (xy)z = x(yz). 4) R v´o . i ph´ep cˆo . ng c´o phˆa ` ntu . ’ khˆong v`a v´o . i ph´ep nhˆan c´o phˆa ` ntu . ’ d¯ o . nvi . , ngh˜ıa l`a tˆo ` nta . i0  , 1  ∈ R, sao cho v´o . imo . i x ∈ R, x +0  =0  + x = x, x1  =1  x = x. 5) Mo . isˆo ´ thu . . c d¯ ˆe ` u c´o sˆo ´ d¯ ˆo ´ i, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i x ∈ R,tˆo ` nta . i −x ∈ R, x +(−x)=(−x)+x =0  . 6) Mo . isˆo ´ thu . . c kh´ac khˆong d¯ˆe ` uc´osˆo ´ nghi . ch d¯a ’ o, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i x ∈ R,x=0  ,tˆo ` nta . i x −1 ∈ R, xx −1 = x −1 x =1  . 7) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh phˆan phˆo ´ id¯ˆo ´ iv´o . i ph´ep cˆo . ng, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i x,y,z∈ R, x(y + z)=xy + xz, (y + z)x = yx + zx. 8) Ph´ep cˆo . ng c´o t´ınh gia ’ nu . ´o . c, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i x,y,z∈ R, x + z = y + z ⇒ x = y. 120 9) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh gia ’ nu . ´o . c, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i x,y,z∈ R z =0  , xz = yz ⇒ x = y. Ch´u . ng minh: 1) Gia ’ su . ’ x = r((x n ) n∈N )=r((x  n ) n∈N ),y= r((y n ) n∈N )= r((y  n ) n∈N ). Khi d¯´o lim n→+∞ (x n − x  n ) = 0 v`a lim n→+∞ (y n − y  n ) = 0, nˆen ta c´o lim n→+∞ ((x n + y n ) − (x  n + y  n )) = 0 hay r((x n + y n ) n∈N )=r((x  n + y  n ) n∈N ). lim n→+∞ ((x n y n ) − (x  n y  n )) = lim n→+∞ ((x n − x  n )y n + x  n (y n − y  n )) = 0 (v`ı d˜ay (y n ) n∈N v`a d˜ay (x  n ) n∈N l`a bi . ch˘a . n do ch´ung l`a d˜ay Cauchy v`a lim n→+∞ (x n − x  n )= lim n→+∞ (y n − y  n )=0)hayr((x n y n ) n∈N )=r((x  n y  n ) n∈N ). C´ac t´ınh chˆa ´ t 2), 3), 7), 8) d¯u . o . . c suy t`u . (5.2.1.3). 4) R v´o . i ph´ep cˆo . ng c´o phˆa ` ntu . ’ khˆong l`a 0  = r((0) n∈N )v`av´o . i ph´ep nhˆan c´o phˆa ` ntu . ’ d¯ o . nvi . l`a 1  = r((1) n∈N ). 5) Sˆo ´ d¯ ˆo ´ icu ’ a x = r((x n ) n∈N )l`a−x = r((−x n ) n∈N ). 6) Gia ’ su . ’ x = r((x n ) n∈N ) =0  . Khi d¯´o d˜ay Cauchy (x n ) n∈N khˆong c´o gi´o . i ha . n l`a khˆong. Theo t´ınh chˆa ´ tcu ’ a d˜ay Cauchy, tˆo ` nta . i a ∈ Q,a>0v`an 1 ∈ N sao cho |x n | >av´o . imo . i n>n 1 . Ta x´et d˜ay (y n ) n∈N trˆen Q x´ac d¯i . nh nhu . sau: y n =    0nˆe ´ u n ≤ n 1 1 x n nˆe ´ u n>n 1 . Khi d¯´o (y n ) n∈N l`a d˜ay Cauchy. Thˆa . tvˆa . y, v´o . imo . i  ∈ Q,>0,v`ı(x n ) n∈N l`a d˜ay Cauchy nˆen tˆo ` nta . i n 2 ∈ N sao cho v´o . imo . i m,n>n 2 ,tac´o |x m − x n | <a 2 . T`u . d¯´o suy ra r˘a ` ng v´o . imo . i m, n > n 0 = max(n 1 ,n 2 ), ta c´o |y m − y n | = | 1 x m − 1 x n | = |x m − x n | |x m x n | < 1 a 2 .a 2  =  ngh˜ıa l`a (y n ) n∈N l`a d˜ay Cauchy trˆen Q. D - ˘a . t z n = y n x n ,tad¯u . o . . c(z n ) n∈N ∈ X v`a z n =  0nˆe ´ u n ≤ n 1 1nˆe ´ u n>n 1 v`a do d¯´o r((x n ) n∈N )r((y n ) n∈N )=r((z n ) n∈N )=r((1) n∈N ) ngh˜ıa l`a x −1 = r((y n ) n∈N ) l`a nghi . ch d¯a ’ ocu ’ a x. 121