Dạng toàn phương

Chu . o . ng 4 Da . ng to`an phu . o . ng 4.1 ´ Anh xa . song tuyˆe ´ n t´ınh, da . ng song tuyˆe ´ n t´ınh. 4.1.1 D - i . nh ngh˜ıa. D - i . nh nghı ˜ a 4.1. Gia ’ su . ’ L, M, N la` ca´c khˆong gian vecto . trˆen tru . `o . ng sˆo ´ K. ´ Anh xa . : f : L × M → N (x, y) → f(x, y) d¯u . o . . c go . i la` a´nh xa . song tuyˆe ´ n tı´nh nˆe ´ u no´ tuyˆe ´ n tı´nh d¯ˆo ´ i v´o . i mˆo ˜ i biˆe ´ n, nghı ˜ a la`: (i) ∀x 1 , x 2 ∈ L, ∀y ∈ M : f(x 1 + x 2 , y) = f(x 1 , y) + f(x 2 , y); (ii) ∀x ∈ L, ∀y ∈ M, ∀λ ∈ K : f(λx, y) = λf(x, y); (iii) ∀x ∈ L, ∀y 1 , y 2 ∈ M : f(x, y 1 + y 2 ) = f(x, y 1 ) + f(x, y 2 ); (iv) ∀x ∈ L, ∀y ∈ M, ∀µ ∈ K : f(x, µy) = µf(x, y). D - ˘a . c biˆe . t, nˆe ´ u N = K, ta co´ d¯i . nh nghı ˜ a sau D - i . nh nghı ˜ a 4.2. Gia ’ su . ’ L, M la` ca´c khˆong gian vecto . trˆen tru . `o . ng sˆo ´ K. ´ Anh xa . song tuyˆe ´ n tı´nh: f : L × M → K (x, y) → f(x, y) d¯u . o . . c go . i la` da . ng song tuyˆe ´ n tı´nh. 66 4.1. ´ Anh xa . song tuyˆe ´ n t´ınh, da . ng song tuyˆe ´ n t´ınh. 67 Vı´ du . . Cho f : R 2 × R 2 → R d¯u . o . . c xa´c d¯i . nh nhu . sau: ∀x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ) ∈ R 2 f(x, y) = x 1 y 1 + 2x 1 y 2 + 3x 2 y 1 la` mˆo . t da . ng song tuyˆe ´ n tı´nh. (Ba . n d¯o . c tu . . kiˆe ’ m tra) 4.1.2 Ma trˆa . n cu ˙’ a da . ng song tuyˆe ´ n t´ınh. Cho E, F la` hai khˆong gian vector h˜u . u ha . n chiˆe ` u trˆen tru . `o . ng K v´o . i hˆe . {e 1 , e 2 , ., e m } la` co . so . ’ cu ’ a E va` hˆe . {f 1 , f 2 , ., f n } la` co . so . ’ cu ’ a F . Cho: f : E × F → K (x, y) → f(x, y) la` da . ng song tuyˆe ´ n tı´nh, lu´c d¯o´ v´o . i mˆo ˜ i: x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ··· + x m e m ∈ E va` y = y 1 f 1 + y 2 f 2 + ··· + y n f n ∈ F , ta co´: f(x, y) = f( m  i=1 x i e i , n  j=1 y j f j ) = m  i=1 n  j=1 x i y j f(e i , f j ) D - ˘a . t f(e i , f j ) = a ij , i = 1, m, j = 1, n. Ta co´: f(x, y) = m  i=1 n  j=1 a ij x i y j . Ma trˆa . n c˜o . m × n: A =     a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n ··· ··· ··· ··· a m1 a m2 . . . a mn     d¯u . o . . c go . i la` ma trˆa . n cu ’ a da . ng song tuyˆe ´ n tı´nh f theo hai co . so . ’ {e 1 , e 2 , ., e m } cu ’ a E va` {f 1 , f 2 , ., f n } cu ’ a F . ´ U . ng v´o . i mˆo ˜ i da . ng song tuyˆe ´ n tı´nh f chı ’ co´ mˆo . t va` chı ’ mˆo . t ma trˆa . n d¯ˆo ´ i v´o . i mˆo . t c˘a . p co . so . ’ cho tru . ´o . c cu ’ a E va` F , ngu . o . . c la . i mˆo . t ma trˆa . n cho tru . ´o . c chı ’ xa´c d¯i . nh mˆo . t da . ng song tuyˆe ´ n tı´nh. Vı´ du . . Trong c˘a . p co . so . ’ chı´nh t˘a ´ c cu ’ a R 2 va` R 3 da . ng song tuyˆe ´ n tı´nh f : R 2 × R 3 → R co´ biˆe ’ u th´u . c to . a d¯ˆo . la` f(x, y) = x 1 y 1 + 2x 1 y 2 + 3x 2 y 1 − x 2 y 2 − 6x 2 y 3 , Ba`i gia ’ ng D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n tı´nh 68 4. Da . ng to`an phu . o . ng ∀x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 , y = (y 1 , y 2 , y 3 ) ∈ R 3 . Vˆa . y ma trˆa . n cu ’ a f trong c˘a . p co . so . ’ chı´nh t˘a ´ c cu ’ a R 2 va` R 3 la`  1 2 0 3 −1 −6  D - i . nh nghı ˜ a 4.3. Cho E la` mˆo . t K− khˆong gian vector, da . ng song tuyˆe ´ n tı´nh f : E × E → K (x, y) → f(x, y) d¯u . o . . c go . i la` mˆo . t da . ng song tuyˆe ´ n tı´nh d¯ˆo ´ i x´u . ng nˆe ´ u: f(x, y) = f(y, x), ∀x, y ∈ E. Khi d¯o´ ro ˜ ra`ng ma trˆa . n cu ’ a da . ng song tuyˆe ´ n tı´nh d¯ˆo ´ i x´u . ng la` ma trˆa . n d¯ˆo ´ i x´u . ng. 4.2 Da . ng to`an phu . o . ng. 4.2.1 D - i . nh ngh˜ıa. Cho E la` mˆo . t K− khˆong gian vector va` f la` mˆo . t da . ng song tuyˆe ´ n tı´nh d¯ˆo ´ i x´u . ng: f : E × E → K (x, y) → f(x, y) ´ Anh xa . ω : E → K x → f(x, x) d¯u . o . . c go . i la` mˆo . t da . ng toa`n phu . o . ng trˆen E. Nˆe ´ u E la` mˆo . t khˆong gian n− chiˆe ` u va` {e 1 , e 2 , ., e n } la` mˆo . t co . so . ’ cu ’ a E, khi d¯o´ ∀x ∈ E, x = n  i=1 x i e i , x i ∈ K, i = 1, n. ω(x) = f(x, x) = f( n  i=1 x i e i , n  j=1 x j e j ) = n  i=1 n  j=1 x i x j f(e i , e j ) = n  i=1 n  j=1 a ij x i x j = a 11 x 2 1 + a 22 x 2 2 + ··· + a nn x 2 n + 2  1≤i<j≤n a ij x i x j Trong d¯o´ a ij = f(e i , e j ) = f(e j , e i ) = a ji , ∀i, j = 1, n. Vˆa . y ω(x) = X.A.X t , v´o . i X = [x 1 , x 2 , ., x n ] la` ma trˆa . n ha`ng biˆe ’ u diˆe ˜ n toa . Ba`i gia ’ ng D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n tı´nh 4.2. Da . ng to`an phu . o . ng. 69 d¯ˆo . cu ’ a x va` A = (a ij ) la` ma trˆa . n d¯ˆo ´ i x´u . ng go . i la` ma trˆa . n cu ’ a da . ng toa`n phu . o . ng ω theo co . so . ’ {e 1 , e 2 , ., e n } cu ’ a E. Ha . ng cu ’ a ma trˆa . n A d¯u . o . . c go . i la` ha . ng cu ’ a da . ng toa`n phu . o . ng ω. Ngu . `o . i ta ch´u . ng minh d¯u . o . . c r˘a ` ng ha . ng cu ’ a da . ng toa`n phu . o . ng khˆong phu . thuˆo . c va`o co . so . ’ d¯a ˜ cho . n. Da . ng song tuyˆe ´ n tı´nh d¯ˆo ´ i x´u . ng trong d¯i . nh nghı ˜ a d¯u . o . . c xa´c d¯i . nh mˆo . t ca´ch duy nhˆa ´ t bo . ’ i da . ng toa`n phu . o . ng ω theo cˆong th´u . c sau: f(x, y) = 1 2 [ω(x + y) − ω(x) − ω(y)] va` no´ d¯u . o . . c go . i la` da . ng d¯ˆo ´ i cu . . c cu ’ a da . ng toa`n phu . o . ng ω. Vı´ du . . Da . ng song tuyˆe ´ n tı´nh f(x, y) = x 1 y 1 − x 1 y 2 − x 2 y 1 + 2x 1 y 3 + 2x 3 y 1 − 5x 2 y 2 + 4x 2 y 3 + 4x 3 y 2 + x 3 y 3 la` mˆo . t da . ng song tuyˆe ´ n tı´nh d¯ˆo ´ i x´u . ng va` ma trˆa . n cu ’ a no´ la`   1 −1 2 −1 −5 4 2 4 1   Da . ng toa`n phu . o . ng tu . o . ng ´u . ng la`: ω(x) = x 2 1 − 2x 1 x 2 − 5x 2 2 + 4x 1 x 3 + 8x 2 x 3 + x 2 3 . 4.2.2 D - u . a da . ng to`an phu . o . ng vˆe ` da . ng ch´ınh tˇa ´ c. Trˆen K− khˆong gian vector n chiˆe ` u E ´u . ng v´o . i mˆo . t co . so . ’ (e) = {e 1 , e 2 , ., e n } d¯a ˜ cho, da . ng toa`n phu . o . ng ω co´ biˆe ’ u th´u . c to . a d¯ˆo . la` ω(x) = n  i=1 n  j=1 a ij x i x j v´o . i ∀x ∈ V va` to . a d¯ˆo . cu ’ a x trong co . so . ’ (e) la` x = (x 1 , x 2 , ., x n ). Ta se ˜ d¯i tı`m mˆo . t co . so . ’ kha´c cu ’ a E sao cho to . a d¯ˆo . cu ’ a vector x = (y 1 , y 2 , ., y n ) va` ω(x) = λ 1 y 2 1 + λ 2 y 2 2 + ··· + λ n y 2 n (∗) trong d¯o´ λ i ∈ K, i = 1, n. Da . ng (*) d¯u . o . . c go . i la` da . ng chı´nh t˘a ´ c cu ’ a da . ng toa`n phu . o . ng ω, ca´c hˆe . sˆo ´ λ i , i = 1, n d¯u . o . . c go . i la` ca´c hˆe . sˆo ´ chı´nh t˘a ´ c, co . so . ’ cu ’ a E la` cho biˆe ’ u th´u . c to . a d¯ˆo . cu ’ a ω co´ da . ng chı´nh t˘a ´ c d¯u . o . . c go . i la` co . so . ’ chı´nh t˘a ´ c. Ma trˆa . n cu ’ a da . ng toa`n phu . o . ng ω lu´c na`y co´ da . ng che´o. Ba`i gia ’ ng D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n tı´nh 70 4. Da . ng to`an phu . o . ng Sau d¯ˆay la` mˆo . t sˆo ´ phu . o . ng pha´p d¯u . a mˆo . t da . ng toa`n phu . o . ng vˆe ` da . ng chı´nh t˘a ´ c: 4.2.2.1 Phu . o . ng pha´p Lagrange. Cho da . ng toa`n phu . o . ng ω trˆen K− khˆong gian vector n chiˆe ` u E v´o . i biˆe ’ u th´u . c to . a d¯ˆo . trong mˆo . t co . so . ’ (e) = {e 1 , e 2 , ., e n } d¯a ˜ cho la` ω(x) = n  i=1 n  j=1 a ij x i x j v´o . i ∀x ∈ V va` to . a d¯ˆo . cu ’ a x trong co . so . ’ (e) la` x = (x 1 , x 2 , ., x n ). ´ Y tu . o . ’ ng co . ba ’ n cu ’ a Thuˆa . t toa´n Lagrange d¯ˆe ’ d¯u . a da . ng toa`n phu . o . ng ω vˆe ` da . ng chı´nh t˘a ´ c la` la`m xuˆa ´ t hiˆe . n bı`nh phu . o . ng dˆa ` n d¯ˆo ´ i v´o . i t`u . ng biˆe ´ n d¯ˆe ’ gia ’ m dˆa ` n sˆo ´ biˆe ´ n. Nˆo . i dung thuˆa . t toa´n: * Bu . ´o . c 1. Biˆe ´ n d¯ˆo ’ i d¯ˆe ’ d¯u . a ω(x) vˆe ` da . ng ω(x) = a 1 x  2 1 + ω 1 , v´o . i a 1 ∈ K, a 1 = 0 nˆe ´ u x 1 khˆong v˘a ´ ng m˘a . t trong biˆe ’ u th´u . c to . a d¯ˆo . cu ’ a ω, ω 1 la` biˆe ’ u th´u . c chı ’ ch´u . a x 2 , x 3 , ., x n . * Bu . ´o . c 2. Biˆe ´ n d¯ˆo ’ i d¯ˆe ’ d¯u . a ω 1 (x) vˆe ` da . ng ω 1 (x) = a 2 x  2 2 + ω 2 , v´o . i a 2 ∈ K, a 2 = 0 nˆe ´ u x 2 khˆong v˘a ´ ng m˘a . t trong biˆe ’ u th´u . c to . a d¯ˆo . cu ’ a ω 1 , ω 2 la` biˆe ’ u th´u . c chı ’ ch´u . a x 3 , x 4 , ., x n . C´u . tiˆe ´ p tu . c nhu . thˆe ´ , nhiˆe ` u nhˆa ´ t sau n bu . ´o . c, ω se ˜ la` tˆo ’ ng ca´c bı`nh phu . o . ng, t´u . c ω co´ da . ng chı´nh t˘a ´ c. Vı` ca´c bu . ´o . c la` hoa`n toa`n tu . o . ng tu . . nˆen sau d¯ˆay ta chı ’ cˆa ` n trı`nh ba`y ro ˜ bu . ´o . c 1. Co´ hai tru . `o . ng ho . . p (phu ’ d¯i . nh lˆa ˜ n nhau) sau d¯ˆay: * Tru . `o . ng ho . . p 1. a 11 , a 22 , a nn khˆong d¯ˆong th`o . i triˆe . t tiˆeu (t´u . c la` ω ch´u . a ı´t nhˆa ´ t mˆo . t bı`nh phu . o . ng cu ’ a mˆo . t biˆe ´ n na`o d¯o´). Khˆong mˆa ´ t tı´nh tˆo ’ ng qua´t ta co´ thˆe ’ gia ’ su . ’ a 11 = 0. Khi d¯o´ ω(x) d¯u . o . . c viˆe ´ t la . i nhu . sau: ω(x) = a 11 x 2 1 + 2 n  j=1 a 1j x 1 x j + n  i=2 a ii x 2 i + 2 n  2≤i<j≤n a ij x i x j = a 11  x 2 1 + 2x 1  a 12 a 11 x 2 + ··· + a 1n a 11 x n  +  a 12 a 11 x 2 + ··· + a 1n a 11 x n  2  − −a 11  a 12 a 11 x 2 + ··· + a 1n a 11 x n  2 + n  i=2 a ii x 2 i + 2 n  2≤i<j≤n a ij x i x j Ba`i gia ’ ng D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n tı´nh 4.2. Da . ng to`an phu . o . ng. 71 = a 11  x 1 + a 12 a 11 x 2 + ··· + a 1n a 11 x n  2 − −a 11  a 12 a 11 x 2 + ··· + a 1n a 11 x n  2 + n  i=2 a ii x 2 i + 2 n  2≤i<j≤n a ij x i x j = a 1 x  2 1 + ω 1 , V´o . i a 1 = a 11 = 0, x  1 = x 1 + a 12 a 11 x 2 + ··· + a 1n a 11 x n va` ω 1 = −a 11  a 12 a 11 x 2 + ··· + a 1n a 11 x n  2 + n  i=2 a ii x 2 i + 2 n  2≤i<j≤n a ij x i x j Ro ˜ ra`ng ω 1 chı ’ ch´u . a x 2 , x 3 , ., x n . * Tru . `o . ng ho . . p 2. a 11 = a 22 = ··· = a nn = 0, lu´c d¯o´ tˆo ` n ta . i a ij = 0, a´p du . ng phe´p d¯ˆo ’ i to . a d¯ˆo . sau:      x i = x  i − x  j x j = x  j + x  j x k = x  k , ∀k = i, j Ta co´: a ij x i x j = a ij (x  2 i − x  2 j ). Ta la . i a´p du . ng tru . `o . ng ho . . p 1. Vı´ du . 1. Ha ˜ y d¯u . a da . ng toa`n phu . o . ng 4 biˆe ´ n thu . . c sau vˆe ` da . ng chı´nh t˘a ´ c: q(x, y, z, t) = 2x 2 + 8xy + 4xz − 4xt + 9y 2 + 6yz − 6yt + z 2 − 10zt + t 2 . Gia ’ i. Ta co´ q(x, y, z, t) = 2  x 2 + 2x(2y + z − t) + (2y + z − t) 2  − 2(2y + z − t) 2 + 9y 2 + +6yz − 6yt + z 2 − 10zt + t 2 = 2(x + 2y + z − t) 2 + y 2 − z 2 − t 2 − 2yz + 2yt − 6zt = 2(x + 2y + z − t) 2 +  y 2 − 2y(z − t) + (z − t) 2  − (z − t) 2 − z 2 − 6zt − t 2 = 2(x + 2y + z − t) 2 + (y − z + t) 2 − 2z 2 − 4zt − 2t 2 = 2(x + 2y + z − t) 2 + (y − z + t) 2 − 2(z + t) 2 Du`ng phe´p d¯ˆo ’ i biˆe ´ n            x  = x + 2y + z − t y  = y − z + t z  = z + t t  = t thı` q co´ da . ng chı´nh t˘a ´ c la` q(x  , y  , z  , t  ) = 2x  2 + y  2 − 2z  2 . Ba`i gia ’ ng D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n tı´nh 72 4. Da . ng to`an phu . o . ng Vı´ du . 2. Ha ˜ y d¯u . a da . ng toa`n phu . o . ng 3 biˆe ’ n thu . . c sau vˆe ` da . ng chı´nh t˘a ´ c: q(x, y, z) = 2xy + 4xz − 2yz. Gia ’ i. Tru . ´o . c hˆe ´ t do q khˆong ch´u . a mˆo . t bı`nh phu . o . ng na`o nˆen ta du`ng phe´p d¯ˆo ’ i biˆe ´ n      x = x  + y  y = x  − y  z = z  Ba`i gia ’ ng D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n tı´nh 4.2. Da . ng to`an phu . o . ng. 73 Lu´c d¯o´ q = 2xy + 4xz − 2yz = 2(x  + y  )(x  − y  ) + 4(x  + y  )z  − 2(x  − y  )z  vk = 2x 2 − 2y 2 + 2x  z  + 6y  z  = 2(x 2 + 2x  ( 1 2 z  ) + 1 4 z 2 ) − 1 2 z 2 − 2y 2 + 6y  z  = 2(x  + 1 2 z  ) 2 − 2(y 2 − 2y  ( 3 2 z  ) + 9 4 z 2 ) + 9 2 z 2 − 1 2 z 2 = 2(x  + 1 2 z  ) 2 − 2(y  − 3 2 z  ) 2 + 4z 2 Bˆay gi`o . la . i d¯ˆo ’ i biˆe ´ n nhu . sau          x  = x  + 1 2 z  y  = y  − 3 2 z  z  = z  ⇔          x  = x  − 1 2 z  y  = y  + 3 2 z  z  = z  Kˆe ´ t ho . . p v´o . i phe´p d¯ˆo ’ i biˆe ´ n ban d¯ˆa ` u, ta d¯u . o . . c:      x = x  + y  + z  y = x  − y  − 2z  z = z  Khi d¯o´, d¯ˆo ´ i v´o . i ca´c biˆe ´ n x  , y  , z  , biˆe ’ u th´u . c to . a d¯ˆo . cu ’ a q co´ da . ng chı´nh t˘a ´ c la` q(x  , y  , z  ) = 2x 2 − 2y 2 + 4z 2 . 4.2.2.2 Phu . o . ng pha´p Jacobi. (1) D - i . nh th´u . c con chı´nh cu ’ a ma trˆa . n vuˆong Cho ma trˆa . n vuˆong A = (a ij ) cˆa ´ p n trˆen K. D - i . nh th´u . c con D k =       a 11 . a 1k . . . a k1 . a kk       ta . o tha`nh t`u . k do`ng va` k cˆo . t d¯ˆa ` u cu ’ a A d¯u . o . . c go . i la` d¯i . nh th´u . c con chı´nh cˆa ´ p k cu ’ a A; 1 ≤ k ≤ n. Nhu . vˆa . y, A co´ d¯u´ng n d¯i . nh th´u . c con chı´nh D 1 , D 2 , ., D n−1 , D n = detA cˆa ´ p lˆa ` n lu . o . . t la` 1, 2, ., n − 1, n. (2) Cho da . ng toa`n phu . o . ng ω trˆen khˆong gian vector n chiˆe ` u E v´o . i ma trˆa . n la` A = (a ij ) n trong mˆo . t co . so . ’ (e) = {e 1 , e 2 , ., e n } na`o d¯o´ cu ’ a E. Nˆe ´ u ma Ba`i gia ’ ng D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n tı´nh 74 4. Da . ng to`an phu . o . ng trˆa . n A tho ’ a ma ˜ n thˆem d¯iˆe ` u kiˆe . n mo . i d¯i . nh th´u . c con chı´nh cu ’ a A co´ cˆa ´ p t`u . 1 d¯ˆe ´ n n − 1 d¯ˆe ` u kha´c 0 thı` ta co´ mˆo . t thuˆa . t toa´n kha´c d¯u . a da . ng toa`n phu . o . ng ω vˆe ` da . ng chı´nh t˘a ´ c go . i la` thuˆa . t toa´n Jacobi. Co . so . ’ cu ’ a thuˆa . t toa´n na`y d¯u . o . . c cho bo . ’ i d¯i . nh ly´ sau: D - i . nh ly´ 4.1. Gi˜u . nguyˆen ky´ hiˆe . u trong (2). Gia ’ su . ’ ca´c d¯i . nh th´u . c con chı´nh D 1 , D 2 , ., D n−1 d¯ˆe ` u kha´c khˆong. Khi d¯o´ tˆo ` n ta . i duy nhˆa ´ t co . so . ’ (u) = {u 1 , u 2 , ., u n } cu ’ a E sao cho: u 1 = e 1 , u 2 = α 21 e 1 + e 2 , u 3 = α 31 e 1 + α 32 e 2 + e 3 , . u n = α n1 e 1 + α n2 e 2 + α n(n−1) e n−1 + e n , trong d¯o´ α ij = (−1) i+j D i−1,j D i−1 , v´o . i D i−1,j la` d¯i . nh th´u . c con cˆa ´ p i− 1 cu ’ a A ma` ca´c phˆa ` n tu . ’ cu ’ a no´ n˘a ` m trˆen giao cu ’ a ca´c do`ng th´u . 1, 2, ., i − 1 va` ca´c cˆo . t th´u . 1, 2, ., j − 1, j + 1, ., i; 1 ≤ j < i ≤ n . Ho . n n˜u . a, v´o . i mo . i vector y ∈ E ma` to . a d¯ˆo . cu ’ a y trong co . so . ’ (u) la` y = (y 1 , y 2 , ., y n ), biˆe ’ u th´u . c to . a d¯ˆo . cu ’ a ω trong (u) la` ω(y) = D 1 y 2 1 + D 2 D 1 y 2 2 + ··· + D n D n−1 y 2 n . (3) Nˆo . i dung thuˆa . t toa´n Jacobi. Gia ’ su . ’ ω la` mˆo . t da . ng toa`n phu . o . ng trˆen trˆen khˆong gian vector n chiˆe ` u E sao cho ma trˆa . n A = (a ij ) n cu ’ a no´ trong mˆo . t co . so . ’ (e) = {e ! , e 2 , ., e n } cu ’ a E co´ ca´c d¯i . nh th´u . c con chı´nh D 1 , D 2 , ., D n−1 d¯ˆe ` u kha´c 0. Thay (e) b˘a ` ng co . so . ’ (u) = {u 1 , u 2 , ., u n } cho nhu . D - i . nh ly´ 4.1, t´u . c la` du`ng phe´p d¯ˆo ’ i to . a d¯ˆo . :            x 1 = y 1 + α 21 y 2 + α 31 y 3 + ··· + α n1 y n x 2 = y 2 + α 32 y 3 +··· + α n2 y n . . . . . . . . . x n = y n trong d¯o´ (x 1 , x 2 , ., x n ) va` (y 1 , y 2 , ., y n ) la` to . a d¯ˆo . cu ’ a vector bˆa ´ t ky` x ∈ E tu . o . ng ´u . ng trong co . so . ’ (e) va` (u), co`n α ij d¯u . o . . c cho nhu . trong D - i . nh ly´ 4.1. Khi d¯o´ biˆe ’ u th´u . c to . a d¯ˆo . cu ’ a ω co´ da . ng chı´nh t˘a ´ c trong (u) la`: ω(x) = D 1 y 2 1 + D 2 D 1 y 2 2 + ··· + D n D n−1 y 2 n . Ba`i gia ’ ng D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n tı´nh 4.2. Da . ng to`an phu . o . ng. 75 Vı´ du . . Ha ˜ y d¯u . a da . ng toa`n phu . o . ng 3 biˆe ´ n thu . . c sau d¯ˆay vˆe ` da . ng chı´nh t˘a ´ c b˘a ` ng phu . o . ng pha´p Jacobi: q(x 1 , x 2 , x 3 ) = 2x 2 1 + 3x 1 x 2 + 4x 1 x 3 + x 2 2 + x 2 3 . Vı´ du . . Ma trˆa . n cu ’ a q trong co . so . ’ chı´nh t˘a ´ c la`: A =   2 3/2 2 3/2 1 0 2 0 1   Ca´c d¯i . nh th´u . c con chı´nh cu ’ a A la`: D 1 = 2 = 0, D 2 =     2 3/2 3/2 1     = − 1 4 = 0 D 3 =       2 3/2 2 3/2 1 0 2 0 1       = − 17 4 = 0. Do d¯o´ ta a´p du . ng d¯u . o . . c phu . o . ng pha´p Jacobi. Ta tı´nh ca´c hˆe . sˆo ´ α ij theo cˆong th´u . c d¯a ˜ cho trong D - i . nh ly´ 4.1: α 21 = (−1) 2+1 D 11 D 1 = − 3/2 2 = − 3 4 ; α 31 = (−1) 3+1 D 21 D 2 =     3/2 2 1 0     −1/4 = 8; α 32 = (−1) 3+2 D 22 D 2 = −     2 2 3/2 0     −1/4 = −12. Du`ng phe´p d¯ˆo ’ i biˆe ´ n      x 1 = y 1 + α 21 y 2 + α 31 y 3 x 2 = y 2 + α 32 y 3 x 3 = y 3 T´u . c la`:        x 1 = y 1 − 3 4 y 2 + 8y 3 x 2 = y 2 − 12y 3 x 3 = y 3 Ba`i gia ’ ng D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n tı´nh