DẠNG SONG TUYẾN TÍNH DẠNG TOÀN PHƯƠNG pptx

Chơng 7 Dạng song tuyến tính dạng toàn phơng 7.1 Dạng song tuyến tính A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa Cho E là một không gian tuyến tính trên R. Định nghĩa: ánh xạ f: Eì ER đợc gọi là một dạng song tuyến tính trên E nếu : x,x,y,yE và ,àR ta có: (i) f(x+x,y)=f(x,y)+f(x,y) (ii) f(x,y)= f(x,y) (iii) f(x,y+y)=f(x,y)+f(x.y) (iv) f(x, ày)= àf(x,y) Không gian tuyến tính trên R gọi là không gian tuyến tính thực. 2. Biểu thức của dạng song tuyến tính Định lý: Mọi dạng song tuyến tính f(x,y) trong không gian tuyến tính thực n chiều E trên cơ sở {e 1 ,e 2 , ,e n }cho trớc đợc biểu diễn duy nhất dới dạng f(x,y)= a x y ij i j j n i n == 11 trong đó a ij =f(e i ,e j ), còn x=(x 1 ,x 2 , ,x n );y=(y 1 ,y 2 , ,y n ) là toạ độ của x và y trong cơ sở đã cho. 3. Ma trận của dạng song tuyến tính Định nghĩa: Với mỗi dạng song tuyến tính f(x,y) trên không gian tuyến tính n chiều E với cơ sở {e 1 ,e 2 , ,e n },ta gọi 248 A= a a a a a a a a a n n n n nn 11 12 1 21 22 2 1 2 với a ij =f(e i ,e j ) (i,j=1,2, ,n) là ma trận của f(x,y) trên cơ sở {e 1 ,e 2 , ,e n }. Hệ quả: Mỗi dạng song tuyến tính f(x,y) trên cơ sở {e 1 ,e 2 , ,e n } cho trớc xác định duy nhất một ma trận A và ngợc lại mỗi ma trận vuông A xác định duy nhất một dạng song tuyến tính trên cơ sở{e 1 ,e 2 , ,e n }. Khi đó f(x,y) có dạng: f(x,y)=(x 1 ,x 2 , ,x n ) a a a a a a a a a n n n n nn 11 12 1 21 22 2 1 2 y y y n 1 2 =x T Ay 4. Dạng song tuyến tính đối xứng Định nghĩa: Dạng song tuyến tính f(x,y) đợc gọi là dạng song tuyến đối xứng nếu x,yE f(x,y)=f(y,x). Hệ quả : Dạng song tuyến tính f(x,y) đối xứng khi và chỉ khi ma trận của f là ma trận đối xứng. Định nghĩa a. Dạng song tuyến tính đối xứng f(x,y) đợc gọi là xác định d- ơng nếu xE: f(x,x)0 và f(x,x)=0 x= b. Ma trận đối xứng A cấp n đợc gọi là xác định dơng nếu xR n : x T Ax0 và x T Ax=0 x= Hệ quả: f(x,y) là dạng song tuyến tính đối xứng có ma trận A. f(x,y) xác định dơng khi và chỉ khi A xác định dơng. Định nghĩa: Dạng song tuyến tính f(x,y) gọi là phản đối xứng nếu f(x,y)=-f(y,x). Hệ quả 1. Ma trận của dạng song tuyến tính phản đối xứng là một ma trận phản đối xứng: A=-A T . 2. Mọi dạng song tuyến tính f(x,y) đều có dạng: 249 f(x,y)= 1 2 [f(x,y)+f(y,x)]+ 1 2 [f(x,y)-f(y,x)] =g(x,y)+h(x,y) trong đó g(x,y) là dạng song tuyến tính đối xứng, h(x,y) là dạng song tuyến tính phản đối xứng. 5. Phép chuyển cơ sở Định lý: Trong không gian tuyến tính thực E cho hai cơ sở I={e 1 ,e 2 , ,e n } và W={ 1 , 2 , , n } T=(t ij ) nxn là ma trận chuyển từ cơ sở I sang cơ sở W. Giả sử dạng song tuyến tính f(x,y) có ma trận A trong cơ sở I và có ma trận B trong cơ sở W. Khi đó: B=T T AT Hệ quả r(A)=r(B) Định nghĩa: Ta gọi hạng của một dạng song tuyến tính f là hạng ma trận của f trên một cơ sở tuỳ ý của E. 7.2 Dạng toàn phơng A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa và biểu thức của một dạng toàn phơng Định nghĩa: Cho f(x,y) là một dạng song tuyến tính đối xứng trên không gian tuyến tính thực E khi đó hàm f(x,x) đợc gọi là một dạng toàn phơng trên E. Khi đó trên không gian tuyến tính thực n chiều E dạng toàn phơng f(x,x) có dạng: f(x,x)= a x x ij i j j n i n == 11 =(x 1 ,x 2 , ,x n ) a a a a a a a a a n n n n nn 11 12 1 21 22 2 1 2 x x x n 1 2 =x T Ax Trong đó x=(x 1 ,x 2 , ,x n ) là toạ độ của x trong cơ sở đã cho và A là ma trận của dạng song tuyến tính đối xứng tơng ứng. Ta cũng gọi A là ma trận của dạng toàn phơng, hiển nhiên A là ma trận đối xứng. Do tính đối xứng của ma trận A nên có thể viết: f(x,x)= a x x ij i j j n i n == 11 = a x ii i i n 2 1= +2 a x x ij i j i j n1 < Chú ý 250 1. Các hệ số a ij trong dạng toàn phơng đợc xác định thông qua dạng song tuyến đối xứng sinh ra nó: a ij = f(e i ,e j ) (i.j=1, ,n). 2. Dạng song tuyến đối xứng tơng ứng đợc xác định từ dạng toàn phơng bởi công thức sau: f(x,y)= 1 2 [f(x+y,x+y) -f(x,x)-f(y,y)] 2. Dạng chính tắc của dạng toàn phơng Định nghĩa: Trong không gian tuyến tính thực n chiều E nếu tìm đợc một cơ sở W={ 1 , 2 , , n }để trên cơ sở đó f(x,x) có dạng: f(x,x)= = n i iii xa 1 2 ' = i i i n x' 2 1= (1) trong đó (x 1 ,x 2 , ,x n ) là các toạ độ của x trong cơ sở { 1 , 2 , , n } thì ta nói đã đa dạng toàn phơng f(x,x) về dạng chính tắc. Biểu thức (1) gọi là dạng chính tắc và cơ sở W={ 1 , 2 , , n } gọi là cơ sở chính tắc tơng ứng của dạng toàn phơng. Trong cơ sở chính tắc ma trận của dạng toàn phơng có dạng đ- ờng chéo: B= 1 2 0 0 0 0 0 0 n 3. Đa dạng toàn phơng về dạng chính tắc a. Phơng pháp Lagrange Xét dạng toàn phơng: f(x,x)= a x ii i i n 2 1= +2 a x x ij i j i j n1 < Phơng pháp biến đổi Lagrange đa dạng toàn phơngvề dạng: f(x,x)= 1 x 1 2 + 2 x 2 2 + + n x n 2 bằng các phép biến đổi sau: 251 1. Nếu mọi a ii =0 thì phải có một tích chéo chẳng hạn 2a 12 x 1 x 2 với a 12 0, dùng phép biến đổi toạ độ x 1 = x 1 + x 2 x 2 = x 1 - x 2 còn các toạ độ khác giữ nguyên. Khi đó ta có: 2a 12 x 1 x 2 =2a 12 x' 1 2 -2a 12 x' 2 2 hơn nữa vì a 11 = a 22 =0 nên trong biểu thức mới hệ số 2a 12 không bị triệt tiêu do đó hệ số của x' 1 2 0. 2. Nếu a 11 0, viết tách riêng các số hạng có chứa x 1 rồi biến đổi các số hạng đó thành bình phơng của một tổng, khi đó: f(x,x)= 1 11 a (a 11 x 1 + +a 1n x n ) 2 + a x ii i i n ( )1 2 2= +2 a x x ij i j i j n ( )1 2 < = 1 y 1 2 + a x ii i i n ( )1 2 2= +2 a x x ij i j i j n ( )1 2 < = 1 y 1 2 +f 1 (x,x) Trong đó f 1 (x,x)= a x ii i i n ( )1 2 2= +2 a x x ij i j i j n ( )1 2 < là dạng toàn phơng cấp n-1. Lặp lại quá trình trên sau nhiều nhất sau n-1 lần ta đa dạng toàn phơng ban đầu về dạng chính tắc: f(x,x)= 1 y 2 1 + 2 y 2 2 + + r y 2 r (r n) Với = nn x x x T y y y 2 1 1 2 1 , T là ma trận của cơ sở chính tắc. Nếu đặt r+1 = = n =0 thuật toán Lagrange cho định lý sau: Định lý: Trong không gian n chiều E mọi dạng toàn phơng f(x,x) đều đa đợc về dạng chính tắc f(x,x)= 1 y 1 2 + 2 y 2 2 + + n y n 2 trong đó y 1 , ,y n là toạ độ của x trong cơ sở chính tắc { 1 , , n }. b. Phơng pháp Jacobian Cho dạng toàn phơng f(x,x) trên cơ sở {e 1 , , e n }có ma trận 252 A= a a a a a a a a a n n n n nn 11 12 1 21 22 2 1 2 . Gọi k = a a a a a a a a a k k k k kk 11 12 1 21 22 2 1 2 Lần lợt là các định thức con cấp k (k=1,2, ,n) góc trên bên trái. Định lý: Nếu 1 , 2 , , n 0 thì tồn tại một cơ sở { 1 , 2 , , n } của E mà trên nó f(x,x) có dạng chính tắc. f(x,x)= 1 y 2 1 + 2 y 2 2 + + n y 2 n Trong đó: 1 = 1 1 2 = 1 2 n = n n 1 4. Luật quán tính a. Dạng chuẩn tắc của dạng toàn phơng Giả sử trên cơ sở { 1 , 2 , , n } dạng toàn phơng f(x,x) có dạng chính tắc: f(x,x) = 1 y 1 2 + 2 y 2 2 + + n y n 2 Dùng phép đổi biến: z i = i i i i i y khi y khi = 0 0 khi đó f(x,x) có dạng f(x,x)=sign( 1 ) z 1 2 +sign( 2 ) z 2 2 + +sign( n ) z n 2 Và gọi là dạng chuẩn tắc của dạng toàn phơng f(x,x), còn cơ sở tơng ứng đợc gọi là cơ sở chuẩn tắc. Nh vậy mọi dạng toàn phơng đều đa đợc về dạng chuẩn tắc. b. Luật quán tính Ta gọi số các hệ số khác không trong một dạng chính tắc của một dạng toàn phơng là số hệ số chính tắc. Định lý: Số các hệ số chính tắc dơng và số các hệ số chính tắc âm không phụ thuộc vào cơ sở chính tắc của dạng toàn phơng. 5. Phân loại dạng toàn phơng 253 Định nghĩa: Trong một dạng chuẩn tắc ta gọi số các hệ số d- ơng là chỉ số quán tính dơng và số các hệ số âm là chỉ số quán tính âm của dạng toàn phơng đó. Định nghĩa: Dạng toàn phơng f(x,x) đợc gọi là: 1. Xác định dơng nếu f(x,x)>0 xE. 2. Tựa xác định dơng nếu f(x,x)0 xE. 3. Xác định âm nếu f(x,x)<0 xE. 4. Tựa xác định âm nếu f(x,x)0 xE. Giả sử dạng toàn phơng f(x,x) có ma trận A, do f(x,x)=x T Ax nên f xác định dơng khi và chỉ khi A xác định dơng. Khi đó theo định lý Jacobian ta có tiêu chuẩn phân loại dạng toàn phơng: Hệ quả : (Tiêu chuẩn Sylvester) 1. f(x,x) xác định dơng nếu chỉ số quán tính dơng của f bằng n hay: 1 >0 , 2 >0, , n >0 2. f(x,x) xác định âm nếu chỉ số quán tính âm của f bằng n hay: 1 <0 và k k+1 <0 (k=1,2, ,n-1) 3. f(x,x) tựa xác định dơng nếu chỉ số quán tính âm bằng không và chỉ số quán tính dơng nhỏ hơn n. 4. f(x,x) tựa xác định âm nếu chỉ số quán tính dơng bằng không và chỉ số quán tính âm nhỏ hơn n. B. Bài tập 1. Kiềm tra các ánh xạ sau là dạng song tuyến tính: a. f: R n ì R n R, với x=(x 1 ,x 2 , ,x n ), y=(y 1 ,y 2 , ,y n ) f(x,y)=x 1 y 1 +x 2 y 2 + +x n y n b. E là tập các hàm khả tích trên [a,b], x(t),y(t) E f(x,y)= x t y t dt a b ( ) ( ) 2. Gọi T 2 (t)={x(t)=a 0 +a 1 cost+a 2 sint: t[-1,1]}, và f(x,y)= 1 1 )().( dttytx Chứng tỏ f(x,y) là một dạng song tuyến tính. Tìm ma trận của f trên một cơ sở của T 2 (t). 254 3. Trong R 3 với cơ sở chính tắc I={e 1 ,e 2 ,e 3 } cho dạng song tuyến tính f(x,y)=x 1 y 1 +2x 2 y 2 +3x 3 y 3 a. Tìm ma trận của f trên cơ sở I={e 1 ,e 2 ,e 3 } b. Tìm ma trận của f trên cơ sở W={ 1 , 2 , 3 } với 1 = 1 1 1 2 = 2 1 1 3 = 1 1 1 4. Tìm ma trận của các dạng song tuyến tính, những dạng song tuyến nào là song tuyến đối xứng, lập dạng toàn phơng t- ơng ứng. a. f(x,y)=x 1 y 1 +2x 1 y 2 +2x 2 y 1 +3x 2 y 2 +x 3 y 3 b. f(x,y)=x 1 y 1 +x 1 y 2 +2x 2 y 1 +3x 2 y 2 +x 3 y 3 c. f(x,y)=x 1 y 1 +2x 1 y 2 +2x 2 y 1 +3x 2 y 2 +x 3 y 3 +x 1 y 3 +2x 2 y 3 5. Trên P 3 (t)={x(t)= a 0 +a 1 t+a 2 t 2 +a 3 t 3 :t[0,1] } Cho dạng song tuyến f(x,y)= x t y t dt( ) ( ) 0 1 a. Chứng tỏ f(x,y) xác định dơng. b. Tìm ma trận của f(x,y) trên cơ sở {e 1 =1,e 2 =t,e 3 =t 2 ,e 4 =t 3 } 6. Đa dạng toàn phơng về dạng chính tắc, tìm ma trận chuyển, cơ sở chính tắc, chỉ số quán tính và xác định phép biến đổi biến cũ qua biến mới a. f(x,x)=x 2 1 +6x 1 x 2 -4x 1 x 3 +5x 2 2 -12x 2 x 3 -4x 2 x 4 +4x 2 3 -8x 3 x 4 -x 2 4 b. f(x,x)=x 2 1 +2x 1 x 2 +2x 2 2 +4x 2 x 3 +5x 2 3 c. f(x,x)=x 2 1 -4x 1 x 2 +4x 2 2 -4x 1 x 3 +x 2 3 d. f(x,x)=x 1 x 2 +x 1 x 3 +x 2 x 3 e. f(x,x)=x 2 1 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +x 2 2 +4x 2 x 3 +x 2 3 f. f(x,x)=x 2 1 + x 1 x 2 + x 2 x 3 +x 2 x 4 7. Đa dạng toàn phơng về dạng chính tắc bằng phép biến đổi Jacôbian. Tìm các chỉ số quán tính và ma trận của phép chuyển cơ sở từ cơ sở ban đầu về cơ sở chuẩn tắc. a. f(x,x)= 2x 2 1 +2x 1 x 2 +4x 1 x 3 +x 2 2 +5x 2 3 b. f(x,x)= x 2 1 +4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +x 2 2 +x 2 3 c. f(x,x)= 2x 2 1 -2x 1 x 2 +4x 1 x 3 +x 2 2 +2x 2 3 255 8. Đa dạng toàn phơng sau về dạng chuẩn tắc a. 2x 2 1 +2x 1 x 2 +2x 2 2 -4x 2 x 3 +3x 2 3 b. x 2 1 -2x 1 x 2 +5x 2 2 +x 2 x 3 +x 2 3 c. x 1 x 2 +2x 2 2 +4x 1 x 3 +2x 2 x 3 +2x 2 3 d. x 2 1 +2x 1 x 2 +4x 1 x 3 +2x 2 x 3 +2x 2 3 e. x 1 x 2 +4x 1 x 3 +2x 2 x 3 +2x 2 3 Tìm cơ sở chuẩn tắc của mỗi dạng toàn phơng.Những dạng toàn phơng nào là xác định dơng. 9. Xác định nguyên để dạng toàn phơng là xác định dơng f(x,x)= x 2 1 + 2x 2 2 +8x 2 3 +2 x 1 x 2 - 4x 2 x 3 10. Xác định để dạng toàn phơng là xác định dơng. a. f(x,x)=x 2 1 +2x 2 2 +x 2 3 +2x 1 x 2 +4x 2 x 3 b. f(x,x)=x 2 1 +x 2 2 +2x 1 x 2 -4x 2 x 3 c. f(x,x)=x 2 1 +2x 1 x 2 +2x 2 2 +4x 2 x 3 +5x 2 3 d. f(x,x)=x 2 1 +2x 1 x 2 +2x 2 2 +2x 2 x 3 +x 2 3 11. Tìm các giá trị của a để ma trận sau xác định dơng a. 1 1 1 a a a a a a b. a a a 12 14 21 c. 135 34 51 a a C. Lời giải hớng dẫn hoặc đáp số 1. a. Kiểm tra theo định nghĩa, f là dạng song tuyến tính. b. (i) { ( ) '( )} ( )x t x t y t dt a b + = x t y t dt a b ( ) ( ) + x t y t dt a b '( ) ( ) (ii) x t y t dt a b ( ) ( ) = x t y t dt a b ( ) ( ) (iii) x t y t y t dt a b ( ){ ( ) '( )}+ = x t y t dt a b ( ) ( ) + x t y t dt a b ( ) '( ) (iv) x t y t dt a b ( ){ ( )} à =à x t y t dt a b ( ) ( ) nên f là một dạng song tuyến trên E. 256 2. Gọi T 2 (t)={x(t)=a 0 +a 1 cost+a 2 sint: t[-1,1]} Vì {1,cost,sint} là tập con của tập các hàm liên tục trên [-1,1] nên T 2 (t) là một không gian tuyến tính trên R và {1,cost,sint} là một cơ sở của nó. Theo 1.b f(x,y)= 1 1 )().( dttytx là một dạng song tuyến tính trên T 2 (t). Ta có: a 11 = 2 1 1 = dt a 12 =a 21 = = 1 1 cos tdt 0 a 13 =a 31 = = 1 1 sin tdt 0 a 32 =a 23 = = 1 1 sin.cos tdtt 0,a 22 = = 1 1 2 cos tdt 1, a 33 = = 1 1 2 sin tdt 1 Vậy với x= a 0 +a 1 cost+a 2 sint , y= b 0 +b 1 cost+b 2 sint. f(x,y)=(a 0 ,a 1 ,a 2 ) 100 010 002 2 1 0 b b b 3. a. Ma trận của f trên cơ sở {e 1 ,e 2 ,e 3 } là A= 1 0 0 0 2 0 0 0 3 b. Ma trận chuyển cơ sở tử I sang W là T= 1 2 1 1 1 1 1 1 1 và T T = 1 1 1 2 1 1 1 1 1 Khi đó ma trận của f trong cơ sở { 1 , 2 , 3 } là B=T T AT= 634 391 416 Chú ý: Ta cũng có thể tính trực tiếp b ij =f( i , j ). 257 [...]...4 a .Dạng song tuyến: f(x,y)=x1y1+2x1y2+2x2y1+3x2y2+x3y3 1 2 0 có ma trận B= 2 3 0 0 0 1 là ma trận đối xứng nên là dạng song tuyến đối xứng Khi đó 2 2 f(x,x)= x12 + 4 x1x2 + 3x2 + x3 là dạng toàn phơng trên R3 0 1 1 b f(x,y) có ma trận: 2 3 0 không đối xứng, nên 0 0 1 không là dạng toàn phơng 1 2 1 c f(x,y) có ma trận 2 3 2 không đối xứng nên không là 0 0 1 dạng toàn phơng... là một không gian tuyến tính n chiều thì ta cũng gọi E là không gian với tích vô hớng n chiều Hệ quả: Mỗi dạng song tuyến tính f(x,y) đối xứng xác định dơng là một tích vô hớng trên E Ngợc lại, mỗi tích vô hớng 263 là một dạng song tuyến đối xứng xác định dơng và f(x,x)= là một dạng toàn phơng xác định dơng trên E Định nghĩa: Ta gọi độ dài hay chuẩn của x là số ||x||= < x , x > hay =||x||2... dimF=1, một cơ sở là: 14 14 14 5 1 1 3 f dimF=1, một cơ sở là: , , , 6 6 6 6 Tìm hệ con độc lập tuyến tính của hệ các véc tơ đã cho và thực hiện trực chuẩn hoá hệ con độc lập tuyến tính đó, kết hợp với hệ cơ sở trực chuẩn của phần bù trực giao ta đợc hệ trực chuẩn phải tìm 21 Hiển nhiên {a,b} độc lập tuyến tính Hệ thuần nhất: x1 x 2 + x3 + x 4 = 0 5 x1 + x 2 3x3 + 3x 4 = 0 có hệ nghiệm cơ sở: c=(1,4,3,0)... 2 (iii) = ( x + y x 2 y ) 2 5 ánh xạ tuyến tính f: EF từ không gian với vô hớng E vào không gian với tích vô hớng F đợc gọi là đẳng cự khi và chỉ khi nó bảo toàn khoảng cách, tức là: d(f(x),f(y))=d(x,y) với bất kỳ x,y thuộc E Chứng minh ba điều kiện sau cho f là tơng đơng: (i) f là đẳng cự (ii) f bảo toàn độ dài, nghĩa là f ( x ) = x (iii) f bảo toàn tích vô hớng, nghĩa là (f(x),f(y)>=... Cho E là một không gian tuyến tính trên trờng số thực R Ta nói rằng trên E xác định một tích vô hớng nếu mỗi cặp x,yE đợc ứng với một số thực gọi là tích vô hớng của x,y ký hiệu thoả mãn các điều kiện: (i) = (ii) = R (iii) =+ (iv) 0 xE và =0 x= Khi đó E đợc gọi là không gian với tích vô hớng Nếu E là một không gian tuyến tính n chiều thì ta cũng... = x(t ) y (t )dt 0 7 Chứng tỏ = x1y1+2x2y2+8x3y3- x1y2- x2 y1-2x2y3- 2x3y2 là một tích vô hớng trên R3 Tìm một cơ sở trực giao và một cơ sở trực chuẩn bằng phép biến đổi dạng toàn phơng tơng ứng về dạng chính tắc và dạng chuẩn tắc Kiểm tra hệ trực giao và trực chuẩn đó bằng tích vô hớng đã cho 8 Cho E là không gian với tích vô hớng, S là không gian con của E sinh bởi hệ trực chuẩn: U={u1,u2,... ơclid R4 gọi M là không gian con sinh bởi các véc tơ u1=(1,5,-1,-1), u2=(2,-1,1,1) Hãy tìm véc tơ đơn vị thuộc M và trực giao với v=(2,-3,0,-1) C Lời giải hơng dẫn hoặc đáp số 1 a Vì f(x,y) là dạng song tuyến tính đối xứng, vì vậy ta chỉ cần chứng tỏ ma trận của nó xác định dơng Ta có ma trận của f 0 1 1 2 2 có 1=1>0, 2=1>0, 3=4>0 nên f xác là: A= 1 0 2 8 định dơng b.c.d.e,f: Kiểm tra theo... chuẩn hoá cơ sở trực giao ta đợc cơ sở trực chuẩn 276 * = 1 * = 3 1 f ( 1, 1) * = 2 =(1,0,0) 3 = 2 f ( 2, 2 ) =(1,1,0) ( 2,2,1) 1 =(1,1, ) 2 2 f ( , ) đó cũng là cơ sở chuẩn tắc của dạng toàn phơng f(x,x) 14 Dạng toàn phơng tơng ứng là: 2 2 f(x,x)= x12 4 x1 x 2 + 5 x 2 + 4 x 2 x3 + 5 x3 3 3 ( ) 2 2 2 2 = x12 4 x1 x 2 + 4 x 2 + ( x 2 + 4 x 2 x3 + 4 x3 ) + x3 =y + y + y xác định dơng nên biểu thức... 1,5 y 2 + 3,5 y 3 + 0,5 y 4 y = x = 0,5 y 2 0,5 y 3 + 0,5 y 4 2 x2 + x4 2 2 hay 0,5 x3 + 0,5 x 4 y3 + y4 y3 = x3 = y4 = x4 = 0,5 x3 0,5 x 4 y3 y4 Ta đa dạng toàn phơng về dạng chính tắc f(x,x)=y21- y22- 8y23+8y24 Chỉ số quán tính q=4, ma trận chuyển từ cơ sở ban đầu về cơ sở chính tắc là 1 1 1,5 3,5 0,5 3 2 0 1 2 0 1 0 0,5 0,5 0,5 0 T= = 0 0 1 1 0 0 0,5 0,5 0 0 0 1 1... x1y1+2x2y2+8x3y3- x1y2- x2 y1-2x2y3- 2x3y2 là một tích vô hớng trên R3 Đổi biến = t k +m dt = 273 y1 = x1 x2 x1 = y1 + y2 + 2 y3 x2 2 x3 từ đó y2 + 2 y3 y2 = x2 = y = x = x3 y3 3 3 dạng chính tắc của dạng toàn phơng là f(x,x)= y21+ y22 +4y23 ma trận chuyển từ cơ sở ban đầu sang cơ sở chính tắc là: 1 1 2 1 1 2 2 3 1 T= 0 1 2 cơ sở trực giao là: = 0 , = 1 , = 2 0 0 1 . 7 Dạng song tuyến tính dạng toàn phơng 7.1 Dạng song tuyến tính A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa Cho E là một không gian tuyến tính trên R. Định nghĩa: ánh xạ f: Eì ER đợc gọi là một dạng. tuyến tính trên R gọi là không gian tuyến tính thực. 2. Biểu thức của dạng song tuyến tính Định lý: Mọi dạng song tuyến tính f(x,y) trong không gian tuyến tính thực n chiều E trên cơ sở {e 1 ,e 2 ,. 2 = 2 1 1 3 = 1 1 1 4. Tìm ma trận của các dạng song tuyến tính, những dạng song tuyến nào là song tuyến đối xứng, lập dạng toàn phơng t- ơng ứng. a. f(x,y)=x 1 y 1 +2x 1 y 2 +2x 2 y 1 +3x 2 y 2 +x 3 y 3