Định lý viet và ứng dụng

LÊ MINH CƯỜNG "Dù bạn nghĩ hay khơng thể làm việc bạn đúng" - Henry Ford Chuyên đề TỰ HỌC (theo chuyên đề có lời giải chi tiết) TỐN 10 Vol.1 CĐ1.ĐS Sài Gịn, mùa Giơng Bão – 2017 Tài liệu lưu hành nội GV Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Tài liệu CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU 1.1 Các tốn phương trình bậc hai phương trình qui bậc hai 1.1.1 Tìm tham số m 1.1.2 Biểu thức nghiệm đối xứng 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.1.6 1.1.7 Biểu thức nghiệm không đối xứng Tìm giá trị min/max biêu thức nghiệm Bài tập tổng hợp Bài tập nâng cao Phương trình trùng phương 1.1.8 Các tập trắc nghiệm 1.1.9 Lời giải chi tiết 10 7 GV Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Mục lục 1.1 Các toán phương trình bậc hai phương trình qui bậc hai 1.1 Các tốn phương trình bậc hai phương trình qui bậc hai Lý thuyết   ∆ = b2 − 4ac     −b Định lí Vietè điều kiện nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0, với S = a    c  P = a  −b   S = x1 + x2 = a • (Định lí Vietè) Nếu x1 , x2 hai nghiệm phương trình   P = x1 x2 = c a • Phương trình vơ nghiệm ⇐⇒ • Phương trình có nghiệm ⇐⇒ a=b=0 c=0 a=0 b=0 • Phương trình có nghiệm kép ⇐⇒ a=0 ∆0  a=0    ∆ > • Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ⇐⇒  S >    P>0  a=0    ∆ > • Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt ⇐⇒  S <    P>0 a=0 ∆≥0 GV Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Chương CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU Chương CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU • Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇐⇒ ac < Các biểu thức đối xứng qui S, P: GV Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231 a) x12 + x22 = S2 − 2P 1.1.1 b) x13 + x23 = S3 − 3PS √ e) |x1 − x2 | = S2 − 4P d) (x1 − x2 )2 = S2 − 4P c) x12 x2 + x22 x1 = PS Tìm tham số m Dạng 1.1.1.1 Tìm m để phương trình có nghiệm cho trước Thay nghiệm vào phương trình, từ giải tham số m, sau thay giá trị m vừa tìm vào phương trình ban đầu, giải nghiệm cịn lại Ví dụ 1.1.1 Biết phương trình x2 + 2mx − 12 = có nghiệm x1 = Tìm m nghiệm cịn lại • Thay x1 = vào phương trình ta + 6m − 12 = ⇔ m = • Thay m = vào phương trình ban đầu ta có: x2 + x − 12 = ⇔ x=3 x = −4 Vậy nghiệm lại x = −4 Bài tập 1.1.1 Tìm m để phương trình x2 − 9x + m = có nghiệm −3 Khi tìm nghiệm cịn lại Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 10 Ví dụ 1.1.2 Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + m2 − 4m + = (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu có hai nghiệm dương phân biệt Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu m2 − 4m + < ⇔ (m − 1)(m − 3) < ⇔ < m < Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt     ∆ >  2m − > S > ⇔ 2(m − 1) > ⇔ m >     P>0 (m − 1)(m − 3) > Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10 1.1 Các tốn phương trình bậc hai phương trình qui bậc hai Dạng 1.1.1.2 Biện luận theo m có áp dụng định lí Viète Định lí Vietè Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a = 0) có hai nghiệm x1 , x2 c x1 x2 = a Ngược lại, hai số u v có tổng u + v = S tích uv = P u v nghiệm phương trình x2 − Sx + P = 1.1.2 Biểu thức nghiệm đối xứng Ví dụ 1.1.3 Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m2 + = (1), với x ẩn số Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn đẳng thức: 2x1 x2 − 5(x1 + x2 ) + = Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆ = (m + 1)2 − (m2 + 5) > ⇔ m2 + 2m + − m2 − > ⇔ 2m − > ⇔ m > S = x1 + x2 = 2(m + 1) = 2m + Khi đó: P = x1 x2 = m2 + 2x1 x2 − 5(x1 + x2 ) + = ⇔ 2(m2 + 5) − 5(2m + 2) + = m = (loại) ⇔ 2m2 − 10m + = (a + b + c = 0) ⇔ Vậy m = m = (thỏa) Bài tập 1.1.2 Cho phương trình : x2 − 2mx − 6m − = (m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 trái dấu thỏa mãn: x12 + x22 = 13 Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 10 Bài tập 1.1.3 Cho phương trình bậc hai x2 − 2(k − 2)x − 2k − = (với k tham số) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị k Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị k cho x12 + x22 = 18 Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 10 Bài tập 1.1.4 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x2 − 2mx + m − = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn (x1 + x2 ) + x12 x22 = Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 10 Bài tập 1.1.5 Cho phương trình x2 − 2x − m = (m tham số) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện: (x1 x2 + 1)2 − 2(x1 + x2 ) = Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 11 Bài tập 1.1.6 Cho phương trình x2 + 2(m + 2)x + 4m − = (x ẩn số, m tham số) (1) Chứng minh với giá trị tham số m phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1), tìm m để x12 + x22 = 30 Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 11 Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 b x1 + x2 = − ; a Chương CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU Cho phương trình: x2 − 2(m + 1)x + m2 + m − = (m tham số) Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện: + = x1 x2 Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 11 GV Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231 Bài tập 1.1.7 Bài tập 1.1.8 Cho phương trình sau: x2 − 6x + m + = (1) (với x ẩn số, m tham số) a) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có nghiệm b) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm m để x12 + x22 = 20 Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 11 Bài tập 1.1.9 Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 + (4m + 1)x + 2m − = (m tham số) a Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với tham số m b Tìm m để hai nghiệm x1 ; x2 phương trình cho thỏa mãn điểu kiện |x1 − x2 | = 17 Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 11 Bài tập 1.1.10 Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x − (2m + 1) = (1) (m tham số) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Tìm m để phương trình (1) ln có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 12 Bài tập 1.1.11 Cho phương trình x2 − (2m − 1)x + m2 − 2m − = (m tham số) Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 + x22 − x1 x2 = Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 12 Bài tập 1.1.12 Tìm giá trị tham số m để phương trình x2 − (m + 4)x + 3(m + 1) = có hai nghiệm độ dài hai cạnh tam giác vuông, biết độ dài cạnh lại Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 12 Bài tập 1.1.13 Tìm tất giá trị m để phương trình x2 − 2x + m − = có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện x12 + x22 − x1 x2 + x12 x22 − 14 = Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 12 Bài tập 1.1.14 Cho phương trình: x2 − (m−1)x−m = (1) (với x ẩn số, m tham số) Xác định giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện: x1 (3 − x2 ) + 20 ≥ 3(3 − x2 ) Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 13 Bài tập 1.1.15 Tìm giá trị m để phương trình x2 + 2(m + 1)x + m2 + 2m − = (m tham số) ln 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn hệ thức + = x1 − x2 − Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 13 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10 1.1 Các tốn phương trình bậc hai phương trình qui bậc hai Bài tập 1.1.16 Cho phương trình: x2 − 2(m + 1)x + m2 − = Tìm tất giá trị tham số m để x1 x2 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: + = x2 x1 Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 13 1.1.3 Biểu thức nghiệm khơng đối xứng Ví dụ 1.1.4 Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − = (m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 3x1 + x2 = Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ m2 + m + > ⇔ m + Theo định lí Vi-ét ta có 2 + > (luôn đúng) x1 + x2 = −2(m + 1) x1 x2 = m −    x1 + x2 = −2(m + 1) x1 x2 = m − Mà 3x1 + x2 = Vậy ta có hệ:   3x1 + x2 = Giải hệ ta x1 = −1, x2 = m = −2 x1 = , x2 = −2 m = − 3 Bài tập 1.1.18 Cho phương trình x2 − 10mx + 9m = (1) (m tham số) Tìm giá trị tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa điều kiện x1 − 9x2 = Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 13 Bài tập 1.1.19 Tìm m để phương trình x2 − 2(m + 2)x + 6m + = có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 14 Bài tập 1.1.20 Biết phương trình x2 − x + m − = có hai nghiệm x1 , x2 với x1 < x2 x2 − x1 = Tìm m Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 14 Bài tập 1.1.21 Cho phương trình x2 − (2m + 1)x + m2 + = Tìm m để phương trình có nghiệm Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để x1 = 2x2 Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 14 Bài tập 1.1.22 Cho phương trình x2 − 2x + m − = (m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn 2x1 − x2 = Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 14 Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Bài tập 1.1.17 Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m2 = (m tham số) Tìm tất giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn (2x1 + 1) (2x2 + 1) = 13 Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 13 Chương CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU Bài tập 1.1.23 Cho phương trình mx2 + 2(m − 4)x + m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 − 2x2 = Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 15 GV Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231 1.1.4 Tìm giá trị min/max biêu thức nghiệm Ví dụ 1.1.5 Cho phương trình x2 − 2(m − 2)x − 6m = (1) (với m tham số) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x12 + x22 Ta có: ∆ = (m − 2)2 − 1.(−6m) = m2 + 2m + = (m + 1)2 + > 0, với m Vậy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m Theo định lí Vi-et, ta có: x1 + x2 = 2(m − 2) x1 x2 = −6m Ta có: P = x12 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = 4(m − 2)2 − 2.(−6m) = 4m2 − 4m + 16 = (2m − 1)2 + 15 ≥ 15 Vậy giá trị nhỏ P 15, đạt m = Bài tập 1.1.24 Tìm giá trị tham số thực m để phương trình x2 + (2m − 1)x + m2 − = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho biểu thức P = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 15 Bài tập 1.1.25 Tìm m để phương trình x2 − 2(m − 1)x + m2 − 3m = có hai nghiệm phân biệt x1 x2 cho T = x12 + x22 − (m − 1)(x1 + x2 ) + m2 − 3m đạt giá trị nhỏ Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 15 Bài tập 1.1.26 Cho phương trình x2 − 2x + − m = (1) (m tham số) Tìm m để phương trình có nghiệm Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm giá trị lớn biểu thức: A = −x1 x2 − x1 + x2 + Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 15 Bài tập 1.1.27 Cho phương trình 2x2 − 2mx + m2 − = (1) với m tham số a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn hệ thức A = |2x1 x2 − x1 − x2 − 4| đạt giá trị lớn Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 16 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 Tài liệu hỗ trợ tự học TỐN 10 1.1 Các tốn phương trình bậc hai phương trình qui bậc hai 1.1.5 Bài tập tổng hợp Bài tập 1.1.28 Cho phương trình bậc hai x2 − 2x + m + = (m tham số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = −1 Tính nghiệm cịn lại Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 16 Bài tập 1.1.29 Cho phương trình x2 − (m + 5)x − m + = (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x = −2 Tìm nghiệm cịn lại Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 + x22 = 13 Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 16 Bài tập 1.1.30 Cho phương trình mx2 − 6(m − 1)x + 9(m − 3) = Tìm giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = x1 x2 Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 17 Bài tập 1.1.31 Cho phương trình x2 − x + m + = (1) (m tham số) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Gọi x1 , x2 hai nghiệm phân biệt phương trình (1) Tìm giá trị m cho x12 + x1 x2 + 3x2 = Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 17 1.1.6 Bài tập nâng cao Bài tập 1.1.32 Tìm m để phương trình x2 + x − m + = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa x13 + x23 + x12 x22 = 17 Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 17 Bài tập 1.1.33 Cho phương trình x2 − (m − 1)x − m2 + m − (1) Chứng minh với m phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Giả sử hai nghiệm x1 ; x2 (x1 < x2 ), tìm m để |x2 | − |x1 | = Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 17 Bài tập 1.1.34 Cho phương trình: x2 − mx + m − = (có ẩn số x) a Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm x1 , x2 với m b Cho biểu thức B = 2x1 x2 + Tìm giá trị m để B = x12 + x22 + (1 + x1 x2 ) Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 18 Bài tập 1.1.35 Tìm m để phương trình x2 + 5x + 3m − = (với m tham số) có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x13 − x23 + 3x1 x2 = 75 Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn hệ thức x13 + x23 = Chương CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 18 Bài tập 1.1.36 Cho phương trình: x2 − (2m − 1)x + m2 − = (1) (x ẩn số) GV Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231 Tìm điều kiện m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt 1.1.7 Định m để hai nghiệm x1 , x2 phương trình (1) thỏa mãn (x1 − x2 )2 = x1 − 3x2 Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 18 Tìm m để phương trình: (m − 1)x2 − 2mx + m + = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác x1 x2 thỏa mãn hệ thức: + + = x2 x1 Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 19 Bài tập 1.1.37 Bài tập 1.1.38 Cho phương trình (m − 1)x2 − 2(m − 2)x + m + = (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Với giá trị m câu a) Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập m Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 19 Phương trình trùng phương Dạng 1.1.7.1 Phương trình bậc bốn trùng phương Để giải phương trình trùng phương dạng ax4 + bx2 + c = ( ) ta đặt t = x2 ≥ để đưa phương trình bậc hai at + bt + c = ( ) • Nếu phương trình ( ) vơ nghiệm có nghiệm âm phương trình ( ) vơ nghiệm • Nếu phương trình ( ) có nghiệm t = phương trình ( ) có nghiệm x = √ • Nếu phương trình ( ) có nghiệm t = t0 > phương trình ( ) có hai nghiệm x = ± t0 Ví dụ 1.1.6 Giải phương trình 2x4 − 7x2 + = Đặt t = x2 ≥ ta phương trình 2t − 7t + = ⇔ t = 1,t = Với t = x2 = ⇔ x = ±1 5 Với t = x = ± 2 Ví dụ 1.1.7 Tìm m để phương trình x4 − 2mx2 + 2m − = có bốn nghiệm phân biệt Đặt t = x2 ≥ ta phương trình t − 2mt + 2m − = Phương trình x4 − 2mx2 + 2m − = có  bốn nghiệm phân biệt phương trình t − 2mt + 2m −   ∆ = m − 2m + > 1 = có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ S = 2m > ⇔ < m =   P = 2m − > Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10 1.1 Các tốn phương trình bậc hai phương trình qui bậc hai Bài tập 1.1.39 Giải phương trình x4 − 5x2 + = Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 20 Bài tập 1.1.41 Tìm giá trị tham số m để phương trình x4 − (3m + 2)x2 + 3m + = có bốn nghiệm phân biệt nhỏ Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 20 1.1.8 Các tập trắc nghiệm Câu 1.1.1 Phương trình sau có tích nghiệm gấp lần tổng nghiệm nó? A x2 − 3x + = B x2 + 2x − = C x2 − x − = D x2 − 3x + = Câu 1.1.2 Cho phương trình mx2 − 2(m + 1)x − = 0, với m tham số Tìm giá trị m để phương trình có tích hai nghiệm A m = B m = −2 C m = D m = − Câu 1.1.3 Cho phương trình (m − 1)x2 − 2mx + 3m − = 0, với m tham số Tìm giá trị tham số m để có tổng nghiệm lần tích nghiệm A m = B m = C m = D m = −1 2 Câu 1.1.4 Cho phương trình (m + 2)x2 + (2m + 1)x + = 0, với m tham số Tìm giá trị tham số m để có hai nghiệm trái dấu tổng chúng A m = − B m = C m = D Không tồn m Câu 1.1.5 Tìm tổng giá trị tham số k để phương trình kx2 − 2x + k − = có tổng bình phương nghiệm lần tích nghiệm √ A B C D 29 Câu 1.1.6 Có giá trị tham số m để phương trình x2 − 3mx + = có nghiệm x1 , x2 thỏa x12 − 3x1 x2 + x22 = −1? A B C D Câu 1.1.7 Tìm tập hợp M tất giá trị m để phương trình 9x2 + 2(m2 − 1)x + = có hai nghiệm phân biệt âm A M = (−∞; −1√) ∪ (1;√ +∞) B M = (−∞; −2] ∪ [2; +∞) C M = (−∞; − 3] ∪ [ 3; +∞) D M = (−∞; −2) ∪ (2; +∞) Câu 1.1.8 Cho hai phương trình x2 − 5x + k = (1) x2 − 7x + 2k = (2) Biết hai phương trình (1) (2) có nghiệm chung x0 > k = k0 Tính giá trị biểu thức A = x02 + k02 20 A A = B A = C A = 45 D A = 81 Câu 1.1.9 Cho phương trình 2x2 − (a + 1)x + a + = 0, với a tham số Tìm tổng tất giá trị a để phương trình có hai nghiệm phân biệt hiệu chúng 25 46 A − B −3 C D − 7 Câu 1.1.10 Cho phương trình 2x2 − (k + 2)x + − k = Có tất giá trị nguyên k để phương trình có hai nghiệm phân biệt khơng nhỏ 1? A B C D Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Bài tập 1.1.40 Cho phương trình: x4 + 2(m − 3)x2 + 3m + = (với m tham số) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt Nếu cố gắng chưa giải xem lời giải trang 20 Chương CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU 10 GV Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231 Câu 1.1.11 Cho phương trình (k + 2)x2 − 2k2 x − = Gọi K tập hợp giá trị k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 đối xứng qua điểm x = trục số Tổng lập phương phần tử K A B −9 C D −7 1.1.9 Câu 1.1.12 Cho phương trình 3x2 + 5x + 2m + = Có giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x13 + x23 = 10? A B C D Đáp án phần trắc nghiệm 1.1.1.B 1.1.11.C 1.1.2.D 1.1.12.A 1.1.3.B 1.1.4.D 1.1.5.B 1.1.6.B 1.1.7.D 1.1.8.C 1.1.9.C 1.1.10.D Lời giải chi tiết Bài giải 1.1.1 (của Bài tập 1.1.1 trang 2) −3 + x2 = x2 = 12 Ta có ⇔ (−3).x2 = m m = −36 Bài giải 1.1.2 (của Bài tập 1.1.2 trang 3) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu thì: a.c < ⇔ −6m − < ⇔ m > − Mặt khác x12 + x22 = 13 ⇔ (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = 13 x1 + x2 = 2m Áp dụng định lí Viét ta có: x1 x2 = −6m − (1) √ −3 + (nhận) m = √ Thay vào (1) ta được: 4m2 − 2(−6m − 9) = 13 ⇔ 4m2 + 12m + = ⇔   −3 − (loại) m= √ −3 + phương trình có hai nghiệm x1 , x2 trái dấu thỏa x12 + x22 = 13 Vậy m =  Bài giải 1.1.3 (của Bài tập 1.1.3 trang 3) Ta có ∆ = [−2(k − 2)]2 − 4(−2k − 5) = 4(k2 − 2k + 9) = 4[(k − 1)2 + 8] ≥ 32 > với k ⇒ phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt Áp dụng Viet ta có x1 + x2 = 2(k − 2), x1 x2 = −2k − ⇒ x12 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = 4(k − 2)2 + 2(2k + 5) = 2(2k2 − 6k + 13) Theo đề x12 + x22 = 18 ⇔ 2k2 − 6k + 13 = ⇔ k2 − 3k + = ⇔ k = 1, k = Bài giải 1.1.4 (của Bài tập 1.1.4 trang 3) Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = m2 − m + > Vì m2 − m + = m − + > với m ∈ R nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt, kí hiệu x1 , x2 x1 + x2 = 2m, Áp dụng định lí Vi-ét ta có x1 x2 = m − Do đó, (x1 + x2 ) + x12 x22 = ⇔ 4m + (m − 1)2 = ⇔ m = −1 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 Tài liệu hỗ trợ tự học TỐN 10 1.1 Các tốn phương trình bậc hai phương trình qui bậc hai 11 Bài giải 1.1.6 (của Bài tập 1.1.6 trang 3) ∆ = (m + 2)2 − 4m + = m2 + > với m phương trình có nghiệm với m Theo định lí Viét ta có x12 + x22 = (x1 + x2 )2 −2x1 x2 = 4(m + 2)2 −2(4m−1) = 4m2 + 8m + 18 = 30 ⇐⇒ m = 1, m = −3 Bài giải 1.1.7 (của Bài tập 1.1.7 trang 4) ∆ = m+2 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ m > −2 x1 + x2 = 2(m + 1) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1 x2 = m2 + m − m2 + m − = 1 x1 + x2 2(m + 1) + =4⇔ =4⇔ =4⇔ x1 x2 x1 x2 m +m−1 m + = 2(m2 + m − 1)  m=1 m2 + m − =  ⇔ ⇔ 2m2 + m − = m=− Kết hợp với điều kiện suy m ∈ 1; − giá trị cần tìm Do đó: Bài giải 1.1.8 (của Bài tập 1.1.8 trang 4) a) ∆ = (−3)2 − (m + 1) = − m Để phương trình (1) có nghiệm ∆ ≥ ⇔ − m ≥ ⇔ m ≤ b) Với m ≤ 8, theo định lí Vi-ét ta có x12 + x22 x1 + x2 = x1 x2 = m + = 20 ⇔ (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = 20 hay 62 − 2.(m + 1) = 20 ⇔ m = Theo giả thiết ta có (TM) Vậy m = thỏa mãn yêu cầu toán Bài giải 1.1.9 (của Bài tập 1.1.9 trang 4) a Ta có: ∆ = (4m + 1)2 − 4(2m − 8) = 16m2 + 33 > 0, ∀m ∈ R Do đó, phương trình cho ln ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 b Do phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , nên theo định lý Vi-et ta có: x1 + x2 = −4m − x1 x2 = 2m − (1) Từ giả thiết |x1 − x2 | = 17 ⇔ x12 + x22 − 2x1 x2 = 172 ⇔ (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = 172 m=4 Thay (1) vào ta được: (−4m − 1)2 − 4(2m − 8) = 172 ⇔ m2 = 16 ⇔ m = −4 Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Bài giải 1.1.5 (của Bài tập 1.1.5 trang 3) Phương trình có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ + m > ⇔ m > −1  −b   x1 + x2 = =2 a Theo định lý Vi-ét   x1 x2 = c = −m a Thay vào điều kiện ta có: m=3 (nhận) (−m + 1)2 − 2.2 = ⇔ (1 − m)2 − = ⇔ m = −1 (loại) Chương CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU 12 Bài giải 1.1.10 (của Bài tập 1.1.10 trang 4) Phương trình (1) có ∆ = m2 + > 0, ∀m Vậy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m GV Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231 Theo hệ thức vi-ét ta có S = x1 + x2 = 2m − P = x1 x2 = −(2m + 1) Theo đề ta cần x1 , x2 hai nghiệm  đối phương trình (1) nên: m = S=0 2m − = ⇔ ⇔m=1 ⇔ m > −1 P Vậy giá trị cần tìm m = 3, m = √ 34 − Bài giải 1.1.13 (của Bài tập 1.1.13 trang 4) Phương trình cho có hai nghiệm ∆ = − m ≥ ⇔ m ≤ Áp dụng định lý Vi-ét, ta x1 + x2 = 2; x1 x2 = m − Ta có: x12 + x22 − x1 x2 + x12 x22 − 14 = ⇔ (x1 + x2 )2 − 3x1 x2 + x12 x22 − 14 = ⇔4 − 3(m − 1) + (m − 1)2 − 14 = ⇔ m2 − 5m − = ⇔ Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 m = −1 m = Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10 1.1 Các tốn phương trình bậc hai phương trình qui bậc hai 13 Kết hợp với điều kiện m ≤ 2, ta giá trị cần tìm m = −1 x1 (3 − x2 ) + 20 ≥ 3(3 − x2 ) ⇔ 3x1 − x1 x2 + 20 ≥ − 3x2 ⇔ 3(x1 + x2 ) − x1 x2 + 11 ≥ ⇔ 3(m − 1) + m + 11 ≥ ⇔ 4m ≥ −8 ⇔ m ≥ −2 Kết hợp với điều kiện m = −1, suy phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu toán m ≥ −2 m = −1 Bài giải 1.1.15 (của Bài tập 1.1.15 trang 4) Đặt f (x) = x2 + 2(m + 1)x + m2 + 2m − Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác ⇐⇒ 2>0 ∆ = (m + 1)2 − (m2 + 2m − 1) > √ ⇔ f (1) = m = −2 ± 1 Theo đề + = ⇐⇒ (x1 + x2 ) − 2x1 x2 − = ⇐⇒ m2 + 5m + = ⇐⇒ m = −1, m = −4 x1 − x2 − √ (thỏa điều kiện m = −2 ± 2) Bài giải 1.1.16 (của Bài tập 1.1.16 trang 5) Ta có: ∆ = (m + 1)2 − m2 + = 2m + Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: 2m + > ⇔ m > −2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2(m + 1) x1 x2 = m2 − Ta có : (1) x1 x2 + =2 x2 x1 ⇔(x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = ⇔ 4(m + 1)2 − 4(m2 − 3) = ⇔4m2 + 8m + − 4m2 + 12 = ⇔ m = −2 Từ (1) (2) suy khơng có giá trị m thỏa mãn để: (2) x1 x2 + = x2 x1 Bài giải 1.1.17 (của Bài tập 1.1.17 trang 5) Đây lúc tìm tịi, kiên trì học sinh phát huy sức mạnh Bài giải 1.1.18 (của Bài tập 1.1.18 trang 5) Điều kiện (1) có nghiệm phân biệt 25m2 − 9m >  x2 = m            x1 + x2 = 10m  10x2 = 10m  x2 = m  x1 = 9m ⇔ Theo định lý Vi-ét, ta có: x1 − 9x2 = ⇔ x1 − 9x2 = ⇔ x1 = 9m     m=0      x1 x2 = 9m x1 x2 = 9m  9m − 9m =  m=1 Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10 (*) Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Bài giải 1.1.14 (của Bài tập 1.1.14 trang 4) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ (m − 1)2 + 4m > ⇔ m2 + 2m + > ⇔ (m + 1)2 > ⇔ m + = ⇔ m = −1 Do với m = −1 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = m − Áp dụng hệ thức Vi-ét x1 x2 = −m Theo đề ta có: Chương CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU 14 • Với m = ta có 25m2 − 9m = 0, suy m = khơng thỏa mãn (∗) • Với m = ta có 25m2 − 9m = 25.12 − 9.1 = 16 > 0, suy m = thỏa mãn (∗) GV Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231 Vậy m = giá trị cần tìm Bài giải 1.1.19 (của Bài tập 1.1.19 trang 5) Phương trình có nghiệm x1 , x2 ⇔ = (m + 2)2 − (6m + 2) ≥ ⇔ (m − 1)2 + ≥ (Đúng với m) x1 + x2 = ( m + ) ( a ) Theo vi ét, ta có: x1 x2 = 6m + (b) Theo giả thiết giả sử x1 = 2x2 ta có:  4(m + 2)    x1 = x1 + x2 = ( m + ) x1 = x2 ⇔ ⇔  ( m + 2) x1 = 2x2 3x2 = 2(m + 2)   x2 = Thay vào (b) ta được:  m=1 4(m + 2) 2(m + 2) = 6m + ⇔ 4m2 − 11m + = ⇔  3 m= Vậy m = m = Bài giải 1.1.20 (của Bài tập 1.1.20 trang 5) x1 − x2 = −5 x1 = −2 ⇔ Ta có x1 + x2 = x2 = Do x1 x2 = m − = −6 ⇔ m = Bài giải 1.1.21 (của Bài tập 1.1.21 trang 5) Ta có ∆ = 4m − Để phương trình có nghiệm ∆ ≥ ⇔ m ≥ Phương trình có nghiệm m ≥ x1 + x2 = 2m + 1(1) Theo định lý Viet x1 x2 = m2 + 1(2)  2m +   x2 = Theo x1 = 2x2 , thay vào (1) ta  ( 2m + 1) x = Thay x1 , x2 vào (2) ta phương trình m2 − 8m + = Suy m = 1(loại) m = 7(thỏa mãn) Vậy m = thỏa mãn toán Bài giải 1.1.22 (của Bài tập 1.1.22 trang 5) Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ − m > ⇔ m < x1 + x2 = Theo định lí Vi-ét ta có x1 x2 = m − Mà 2x1 − x2 = ⇒ x2 = 2x2 − 7, ta thu x1 = 3, x2 = −1 m = −2 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 Tài liệu hỗ trợ tự học TỐN 10 1.1 Các tốn phương trình bậc hai phương trình qui bậc hai 15 m2 + 127m − 128 = ⇔ ( thỏa mãn (∗)) m = −128 ( thỏa mãn (∗)) m=1 Bài giải 1.1.24 (của Bài tập 1.1.24 trang 6) Phương trình x2 + (2m − 1)x + m2 − = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆ > ⇔ (2m − 1)2 − 4(m2 − 1) > ⇔ −4m + > ⇔ m < x1 + x2 = − 2m Với m < , áp dụng định lý Vi-ét, ta x1 x2 = m2 − Ta có: P = x12 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = (1 − 2m)2 − 2(m2 − 1) = 2m2 − 4m + + = 2(m − 1)2 + ≥ Dấu ” = ” xảy ⇔ m = (thỏa mãn điều kiện m < ) Vậy với m = P đạt giá trị nhỏ Bài giải 1.1.25 (của Bài tập 1.1.25 trang 6) Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ > ⇔ m > −1 x1 + x2 = 2(m − 1) Theo định lý Vi-ét ta có: x1 x2 = m2 − 3m T = x12 + x22 − (m − 1)(x1 + x2 ) + m2 − 3m = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 − (m − 1)(x1 + x2 ) + m2 − 3m = 4(m − 1)2 − 2(m2 − 3m) − 2(m − 1)(m − 1) + m2 − 3m = m2 + m + 2 7 = m+ + ≥ 4 Dấu ” = ” xảy m = − Vậy m = − T đạt giá trị nhỏ Bài giải 1.1.26 (của Bài tập 1.1.26 trang 6) Vì a = = Ta có: ∆ = (−2)2 − 4.1.(3 − m) = m − Để phương trình có nghiệm ∆ ≥ ⇔ m ≥ 2 Theo định lí Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2; x1 x2 = − m Khi đó: A = −x1 x2 − (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 + = − m2 Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Bài giải 1.1.23 (của Bài tập 1.1.23 trang  6) m = (∗) Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔  m < 16 15  2(m − 4)   x1 + x2 = − (1) m Theo định lí Viète, ta có   x x = m+7 (2) m −2m + −4m + 16 , x2 = Kết hợp (1) với điều kiện x1 − 2x2 = suy x1 = 3m 3m Thay vào (2) ta Chương CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU 16 Do m ≥ ⇒ m2 ≥ ⇒ −m2 ≤ −4 ⇔ − m2 ≤ −3 Suy A ≤ −3 Giá trị lớn A −3 m = GV Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231 Bài giải 1.1.27 (của Bài tập 1.1.27 trang 6) Phương trình (1) : 2x2 − 2mx + m2 − = a) Thay m = vào phương trình ta có 2x2 − 4x + = có ∆ = > ⇒ phương trình có nghiệm kép −b x= = 2a b) Phương trình (1) có hai nghiệm ⇔ ∆ = m2 − 2(m2 − 2) ≥ ⇔ − m2 ≥ ⇔ −2 ≤ m ≤   x1 + x2 = m Theo định lý Viete ta có:  x1 x2 = m − 2 25 2 Ta có: A = |2x1 x2 − x1 − x2 − 4| = |m − − m − 4| = |m − m − 6| = m − − Có: −2 ≤ m ≤ ⇒ − ≤ m − ≤ ⇒ ≤ m − 2 2 25 25 25 ⇒ − ≤ m− − ≤0⇒A≤ 4 25 m = Vậy giá trị lớn A 2 ≤ 25 Bài giải 1.1.28 (của Bài tập 1.1.28 trang 7) Xét phương trình x2 − 2x + m + = a) Khi phương trình có nghiệm x = −1 (−1)2 − 2(−1) + m + = ⇒ m = −6 −b Mà x1 + x2 = = ⇒ nghiệm lại x = a b) Ta có: ∆ = (−1)2 − 1(m + 3) = −m − Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ∆ > hay m < −2 Khi đó, theo Vi-et: x1 + x2 = 2; x1 x2 = m + Xét x13 + x23 = ⇔ (x1 + x2 )3 − 3x1 x2 (x1 + x2 ) = ⇒ 23 − 3.2(m + 3) = ⇒ m = −3 < −2 (thỏa) Vậy m = −3 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x13 + x23 = Bài giải 1.1.29 (của Bài tập 1.1.29 trang 7) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ −m + < ⇔ m > Ta có x = −2 nghiệm phương trình (1) nên (−2)2 − (m + 5).(−2) − m + = ⇔ m = −20 Với m = −20 thay vào phương trình (1) ta x2 + 15x + 26 = ⇔ x = −2 x = −13 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆ > ⇔ m2 + 14m + > Theo định lí Viète ta có x1 + x2 = m + x1 x2 = −m + Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 (∗) Khi x12 + x22 = x1 + x2 − 2x1 x2 = m2 + 12m + 13 Tài liệu hỗ trợ tự học TỐN 10 1.1 Các tốn phương trình bậc hai phương trình qui bậc hai 17 Do x12 + x22 = 13 ⇔ m2 + 12m + 13 = 13 ⇔ m2 + 12m = ⇔ m=0 m = −12 (thỏa mãn (*)) (không thỏa mãn (*)) Bài giải 1.1.30 (của Bài tập 1.1.30 trang 7) m=0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ m > −1  6(m − 1)    x1 + x2 = m Khi Theo định lí Viète, ta có  ( m − 3)   x1 x2 = m x1 + x2 = x1 x2 ⇔ 9(m − 3) 6(m − 1) = ⇔ m = m m Bài giải 1.1.31 (của Bài tập 1.1.31 trang 7) Có ∆ = −4m − Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ m < − Áp dụng hệ thức vi-ét, ta có x1 + x2 = x1 x2 = m + Khi x12 + x1 x2 + 3x2 = ⇔ x1 (x1 + x2 ) + 3x2 = ⇔ x1 + 3x2 = x1 + x2 = x1 = −2 Từ ta có hệ phương trình ⇔ x1 + 3x2 = x2 = ⇒ x1 x2 = −2.3 = m + ⇒ m = −7 Vậy m = −7 thỏa mãn điều kiện đề Bài giải 1.1.32 (của Bài tập 1.1.32 trang 7) Ta có ∆ = 12 − 4(−m + 2) = 4m − hệ số a = = Phương trình có hai nghiệm phân biệt S = x1 + x2 = −1 ∆ > ⇔ 4m − > ⇔ m > Theo Định lý Viete, ta có P = x1 x2 = −m + Theo yêu cầu toán: x13 + x23 + x12 x22 = 17 ⇔ (x1 + x2 )3 − 3x1 x2 (x1 + x2 ) + x12 x22 = 17 ⇔ S3 − 3PS + P2 = 17 ⇔ (−1)3 − 3(−m + 2)(−1) + (−m + 2)2 = 17 ⇔ −1 − 3m + + m2 − 4m + − 17 = ⇔ m2 − 7m − = ⇔ m = −1 (loại) m = (nhận) Vậy m = thỏa yêu cầu toán Bài giải 1.1.33 (của Bài tập 1.1.33 trang 7) Ta thấy a.c = −m2 + m − = − m − − < 0, ∀m Vậy với m phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu x1 < < x2 (x1 < x2 ) Từ suy |x2 | − |x1 | = x2 + x1 = Theo định lí Vi-et: x1 + x2 = m − nên m − = ⇔ m = Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10 Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Vậy m = Chương CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU 18 Vậy m = GV Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231 Bài giải 1.1.34 (của Bài tập 1.1.34 trang 7) Phương trình cho: x2 − mx + m − = (có ẩn số x) a ∆ = (−m)2 − 4(m − 1) = m2 − 4m + = (m − 2)2 ≥ với m Phương trình cho ln có hai nghiệm x1 , x2 với m b Theo định lí Vi-ét ta có: x1 + x2 = m x1 x2 = m − Ta có: B= 2x1 x2 + 2 x1 + x2 + (1 + x1 x2 ) = 2x1 x2 + (x1 + x2 ) − 2x1 x2 + (1 + x1 x2 ) (m − 1) + 2m + 2x1 x2 + = = = m2 + m +2 ( x1 + x2 ) + B=1⇔ 2m + = ⇔ m2 − 2m + = ⇔ (m − 1)2 = ⇔ m = m +2 Vậy với m = B = Bài giải 1.1.35 (của Bài tập 1.1.35 trang 7) ∆ = 29 − 12m a=0 29 Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 ⇔ m≤ 12 ∆≥0 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x2 = −5 x1 x2 = 3m − ⇔ x2 = −5 − x1 x1 x2 = 3m − Mặt khác, theo ta có: x13 − x23 + 3x1 x2 = 75 ⇔ x13 + (5 + x1 )3 − 3x1 (5 + x1 ) = 75 ⇔ x13 + 6x12 + 30x1 + 24 = ⇔ (x1 + 1)(x12 + 5x1 + 25) = ⇔ x1 = −1 ⇒ x2 = −4 Thay vào hệ thức x1 x2 = 3m − ⇒ 3m − = ⇔ m = Vậy giá trị cần tìm m m = Bài giải 1.1.36 (của Bài tập 1.1.36 trang 8) Xét phương trình: x2 − (2m − 1)x + m2 − = (1) (x ẩn số) Ta tính ∆ = (2m − 1)2 − 4(m2 − 1) = −4m + Do a = = 0, phương trình (1) có nghiệm phân biệt ∆ > ⇔ −4m + > ⇔ m < (∗) Với  điều kiện (∗), theo Định lý Viète phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa b   x1 + x2 = − = 2m − a   x1 x2 = c = m2 − a Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 Tài liệu hỗ trợ tự học TỐN 10 1.1 Các tốn phương trình bậc hai phương trình qui bậc hai 19 Kết hợp với giả thiết, ta có (x1 − x2 )2 = x1 − 3x2 ⇔ (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = x1 − 3x2 ⇔ x1 − 3x2 = (2m − 1)2 − 4(m2 − 1) = −4m + x1 + x2 = 2m − x1 − 3x2 = −4m + ⇔ Mặt khác m + 3(m − 1) = m2 − ⇔ m2 − = ⇔ m = ±1 2 x1 x2 = m2 − ⇔ (nhận) Vậy có giá trị m = ±1 thỏa yêu cầu toán Bài giải 1.1.37 (của Bài tập 1.1.37 trang 8) Phương trình (m − 1)x2 − 2mx + m + = có hai nghiệm phân biệt x1 x2  m > ∆ >0 3m − > m − (m − 1)(m − 2) > ⇔m> ⇔ ⇔ ⇔  m−1 = m=1 m=1 m=1  2m   x1 + x2 = m−1 Theo định lí Vi-ét ta có:   x1 x2 = m + m−1 x1 x2 x12 + x22 (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 Mà + + = ⇔ + =0⇔ + =0 x2 x1 x1 x2 x1 x2 2m m+2 2m2 − 2m + 4m2 −2· −2· m−1 m−1 (m − 1)2 (m − 1)2 ⇔ + =0⇔ + =0 m+2 m+2 2 m−1 m−1 2m2 − 2m + 4m2 − 2m2 − 2m + 5 (2m2 − 2m + 4) (m − 1)2 (m − 1)2 + =0⇔ + =0⇔ + =0 ⇔ m+2 m+2 2 (m − 1)(m + 2) m−1 m−1 √  −1 + 73  m1 = (4m2 − 4m + 8) + 5(m2 + m − 2) 9m2 + m − 18√ ⇔ =0⇔ =0⇔  2(m − 1)(m + 2) 2(m − 1)(m + 2) −1 − 73 m2 = 18 Bài giải 1.1.38 (của Bài tập 1.1.38 trang 8) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  m = m−1 = ∆ = (m − 2)2 − (m − 1)(m + 3) >  m < Theo định lí Viète, ta có Tài liệu hỗ trợ tự học TOÁN 10  m−2  = 1+  x1 + x2 = m−1 m−1   x1 x2 = m + = + m−1 m−1 (∗) (∗∗) Thầy Lê Minh Cường - 01666658231 GV Lê Minh Cường - fb.com/cuong.thayleminh.7 - 01666658231 Khi đó,  m+1   x1 = x1 + x2 = 2m − ⇔  ( 4x2 = 6(m − 1)  x = m − 1) 2 Chương CÁC BÀI VIẾT CHUYÊN ĐỀ - CHUYÊN SÂU 20 Từ (∗) suy = x1 + x2 − Do m−1 GV Lê Minh Cường - cuong11102@gmail.com - 01666658231 x1 x2 = + 4(x1 + x2 − 1) ⇔ x1 x2 − 4(x1 + x2 ) + = Bài giải 1.1.39 (của Bài tập 1.1.39 trang 9) Đặt t = x2 ≥ phương trình thành t − 5t + = ⇔ t = 1,t = Với t = x2 = ⇔ x = ±1 Với t = x2 = ⇔ x = ±2 Bài giải 1.1.40 (của Bài tập 1.1.40 trang 9) Đặt t = x2 (t ≥ 0) Phương trình cho trở thành: t + 2(m − 3)t + 3m + = (∗) Phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình (∗) có nghiệm dương phân biệt Điều đồng nghĩa với:      m>9   ∆ = (m − 3) − 3m − >  m ⇔   m <    P = t1 t2 = 3m + >  m > −3 Vậy với −3 < m < phương trình cho có nghiệm dương phân biệt Bài giải 1.1.41 (của Bài tập 1.1.41 trang 9) Đặt t = x2 ≥ ta phương trình t − (3m + 2)t + 3m + = ⇔ t = 1,t = 3m + Với t = x2 = ⇔ x = ±1 Với t = 3m + x2 = 3m + Phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt nhỏ  phương trình x = 3m + có hai −