Sáng kiến kinh nghiệm: “Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ” được chia bài tập theo các mức độ nhận thức của học sinh giúp học sinh làm những bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng một cách dễ dàng. Học sinh sẽ không con thấy lo sợ khi gặp các bài toán hình học.
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Tốn học là mơn học rèn luyện khả năng tư duy, logic trong giải quyết vấn đề. Đặc biệt là mơn hình học địi hỏi học sinh phải tư duy, liên kết các giải thiết và phát hiện các tính chất đặc biệt mà đề bài cịn ẩn từ đó đưa ra hướng giải quyết bài tốn Vectơ là chương đầu tiên của hình học lớp 10, vectơ có nhiều ứng dụng thực tế như là tính cơng trong vật lý. Ngồi ra vectơ cịn là cơng cụ hữu hiệu để giải các bài tốn khó như giải phương trình, giải bất phương trình chứng minh bất đẳng thức. Một trong những ứng dụng của vectơ trong hình học là chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Nói đến hình học đa số học sinh đều sợ vì hình học địi hỏi học sinh phải tuy duy nhiều và mỗi bài lại có những điểm khác nhau mà học sinh gặp khó khăn trong việc quy lạ về quen. Có những bài hình học địi hỏi học sinh phải vẽ hình phụ khiến học sinh gặp khá nhiều khó khăn. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng là dạng tốn hay gặp trong các đề thi học sinh giỏi và có thể phát triển thành các bài trắc nghiệm sử dụng trong các đề thi khảo sát chất lượng lớp 10 Sáng kiến kinh nghiệm: “ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ” tơi chia bài tập theo các mức độ nhận thức của học sinh giúp học sinh làm những bài tốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng một cách dễ dàng. Học sinh sẽ khơng con thấy lo sợ khi gặp các bài tốn hình học. Sáng kiến kinh nghiệm tơi viết do nhiều yếu tố khách quan nên vẫn cịn nhiều tồn tại. Rất mong nhận được sự đóng góp của đồng nghiệp và học sinh để sáng kiến của tơi hồn thiện hơn 2. Tên sáng kiến: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ 3. Tác giả sáng kiến Họ và tên: Phan Thị Kim Sang SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ Địa chỉ: xã Thổ Tang Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc Số điện thoại: 0979909495 email: minhsang909495@gmail.com 4. Chủ đầu tư ra sáng kiến Phan Thị Kim Sang 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng trong lĩnh vực hình học phẳng Sáng kiến kinh nghiệm giúp giải quyết được các bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong hình học phẳng, Các bài tốn trong vật lý 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử Ngày 15 tháng 11 năm 2018 7. Mơ tả bản chất của sáng kiến Nội dung của sáng kiến được chia làm 3 phần Phần 1: Những bài tập về phân tích một vectơ qua 2 vectơ khơng cùng phương Phần 2: Những bài tập về chứng minh 3 điểm thẳng hàng được chia theo 4 mức độ nhận thức và phát triển một số bài tự luận sang trắc nghiệm Phần 3: Một số bài tốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ trong một số đề thi học sinh giỏi Về khả năng áp dụng của sáng kiến Sáng kiến kinh nghiệm: “ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ” có khẳ năng áp dụng cho học sinh khá, giỏi SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ” Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ thì điều qua trọng các em học sinh phải biết phân tích 1 vectơ qua 2 vectơ khơng cùng phương. Vì vậy phần đầu tiên tơi đưa ra bài tập về phân tích một vectơ qua hai vectơ khơng cùng phương Phần 1: Phân tích 1 vectơ qua 2 vectơ khơng cùng phương Cơ sở lí luận: Cho 2 vectơ khơng cùng phương và . Khi đó mọi vectơ đều có thể phân tích duy nhất qua hai vectơ và , nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho Bài 1. Cho ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt . Hãy phân tích các vectơ theo hai vectơ Hướng dẫn giải Ta có Bài 2. Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ theo hai vectơ Hướng dẫn giải Ta có SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ mà Bài 3. Cho tam giác . Đặt . Lấy các điểm M, N thỏa mãn. Hãy phân tích qua các véc tơ và A M B C N Hướng dẫn giải Vì suy ra M thuộc cạnh AB và ; , suy ra N thuộc tia BC và Ta có: Bài 4. Cho tam giác , trên cạnh BC lấy M sao cho , trên đoạn AM lấy N sao cho . G là trọng tâm tam giác . a) Phân tích các vectơ qua các véc tơ và b) Phân tích các vectơ qua các véc tơ và Hướng dẫn giải A N B M C a) Theo giả thiết ta có: và suy ra b) Vì G là trọng tâm tam giác nên suy ra Ta có SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ Bài 5. Cho hình bình hành . Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho và G là trọng tâm tam giác . Phân tích các vectơ qua các véc tơ và A D M N B G C Hướng dẫn giải Ta có: Vì G là trọng tâm tam giác nên Suy ra Phần 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Cơ sở lí luận: Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng chúng ta chứng minh chúng ta chứng minh 2 trong 6 vectơ lập được từ 3 điểm A, B, C cùng phương từ đó suy ra 3 điểm A, B, C thẳng hàng. Đơi khi chúng ta khơng chứng minh trực tiếp được mà chúng ta phải chứng minh qua các vectơ trung gian Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng chia làm 4 mức độ I. Mức độ nhận biết Bài tập ở phần này được chia thành nhiều phần nhỏ để dẫn dắt học sinh đến bước chứng minh 3 điểm thẳng hàng một cách dễ dàng Bài 1. Cho tam giác . Đặt a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ b) Hãy phân tích qua các véc tơ và c) Gọi I là điểm thỏa: . Chứng minh thẳng hàng. Hướng dẫn giải a) Vì suy ra M thuộc cạnh AB và ; , suy ra N thuộc tia BC và b) Ta có: c) Ta có: A, I, N thẳng hàng Bài 2. Cho 4 điểm O, A, B, C thỏa mãn . Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng Hướng dẫn giải Ta có Suy ra 3 điểm A, B, C thẳng hàng Bài 3. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D là điểm đối xứng của A qua B, và E là điểm trên đoạn AC sao cho a) Hãy phân tích các vectơ theo b) Chứng minh 3 điểm D, E, G thẳng hàng Hướng dẫn giải SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ a) ta có b) Theo phần a ta có cùng phương 3 điểm D, E, G thẳng hàng Bài 4. Cho tam giác ABC, gọi I là trung điểm của BC. Gọi D, E là hai điểm sao cho a) Chứng minh rằng b) tính vectơ theo , chứng minh 3 điểm A, I, S thẳng hàng Hướng dẫn giải a) ta có b) SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ Vì nên hai vectơ cùng phương nên 3 điểm A, I, S thẳng hàng Bài 5. Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, P sao cho: , , a) Hãy phân tích theo hai vectơ b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng Hướng dẫn giải a) Ta có b) Từ (1) và (2) ta có cùng phương M, N, P thẳng hàng II. Mức độ thơng hiểu Ở mức độ thơng hiểu những bài chứng minh ba điểm thẳng hàng sẽ phức tạp hơn, sẽ khơng có những phần gợi ý học sinh sẽ phải phân tích đề bài rồi đưa ra hướng giải quyết bài tốn Bài 1. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là điểm thuộc AC sao. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng Hướng dẫn giải SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ Để chứng minh 3 điểm B, K, I thẳng hàng ta chứng minh hai vectơ cùng phương Chúng ta sẽ phân tích hai vectơ theo hai vectơ và Ta có Từ (1)&(2) B, I, K thẳng hàng Bài 2. Cho tam giác ABC có E là trung điểm của AB, M là trung điểm của BC. Điểm F thuộc cạnh AC sao cho AF=2FC, điểm I thuộc EF sao cho 4EI=3FI. Chứng minh 3 điểm A, M, I thẳng hàng Hướng dẫn giải Vì M là trung điểm của BC ta có Theo bài ra 4EI=3FI Từ (1) và (2) ta có vậy 3 diểm A, I, M thẳng hàng Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của CD. Lấy điểm M trên đoạn BI sao cho BM=2MI. Chứng minh rằng 3 điểm A, M, C thẳng hàng. SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ Hướng dẫn giải Theo bài ra ta có Vì I là trung điểm của CD nên thế vào (1) ta được Vậy 3 điểm A, M, C thẳng hàng Bài 4. Cho hình bình hành . Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm đối xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng và K là trung điểm của EF. Hướng dẫn giải Ta có: , Từ (1) và (2) ta có Vậy 3 điểm K, E, F thẳng hàng. Và K là trung điểm EF Bài 5. Cho 3 điểm A, B, C và O là 1 điểm tùy ý. Chứng minh rằng A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi 10 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ Hướng dẫn giải Để 3 điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi III. Mức độ vận dụng thấp Bài tập phần này độ khó tăng nên rõ ràng, bài tập phần này thường chưa tham số, và u cầu bài tốn thường là tìm điều kiện của tham số để 3 điểm nào đó thẳng hàng Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn , . Tìm vị trí điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng Hướng dẫn giải Giả sử Ta có Để 3 điểm B, E, K thẳng hàng thì từ (1) và (2) ta có . Bài 2. Cho tam giác . Điểm thuộc cạnh sao cho , I là điểm thuộc đoạn sao cho . Xác định điểm thuộc cạnh sao cho ba điểm thẳng hàng Hướng dẫn giải 11 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ Đặt: và Khi đó: Ta có: Mà Để ba điểm thẳng hàng thì Suy ra Vậy điểm thuộc cạnh sao cho Bài 3. Cho gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho , I là trung điểm đoạn AM, N là điểm thỏa mãn Tìm để 3 điểm C, I, N thẳng hàng Hướng dẫn giải Ta có Mà 12 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ Vậy để 3 điểm C, I, N thẳng hàng thì theo (1) và (2) ta có Vậy với thì 3 điểm C, N, I thẳng hàng Bài 4. Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc cạnh AC sao cho , N là điểm thuộc BM sao cho , P là điểm thuộc BC sao co . Tìm để 3 điểm A, N, P thẳng hàng Hướng dẫn giải Ta có Mà Mặt khác ta có Để 3 điểm A, N, P thẳng hàng từ (1) và (2) ta có Vậy với k=2 thì 3 điểm A, N, P thẳng hàng IV. Mức độ vận dụng cao 13 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ Bài tập phần này đỏi hỏi học sinh phải tổng hợp được nhiều kiến thức thì mới giải quyết được bài tốn. Những biến đổi hay phân tích một vectơ qua hai vectơ khơng cùng phương cũng gặp nhiều khó khăn vì chúng ta chưa biết tỉ lệ các đoạn thẳng vì vậy việc tính tỉ lệ đoạn thẳng cũng là ứng dụng quan trọng của vectơ Bài 1. Cho hai tam giác và ; lần lượt là trọng tâm các tam giác . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác , . Chứng minh rằng thẳng hàng và tính Hướng dẫn giải Vì là trọng tâm tam giác suy ra Tương tự là trọng tâm tam giác suy ra Mặt khác Mà lần lượt là trọng tâm các tam giác Suy ra Do đó Vậy Bài 2. Cho tam giác .Các điểm M, N, P lần lượt nằm trên đường thẳng BC, CA, AB sao cho Tìm điều kiện của , , để M, N, P thẳng hàng Hướng dẫn giải 14 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ Ta có: Ta có: Và Để M, N, P thẳng hàng thì ta phải có Bài 3. Cho tam giác . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho . Gọi O là giao điểm của CM và BN. Trên đường thẳng BC lấy E . Đặt . Tìm để A, O, E thẳng hàng Hướng dẫn giải Để tìm được sao cho 3 điểm A, O, E thẳng hàng thì chúng ta cần tính tính tỉ số và A M N B O C Giả sử ; Ta có ; Và Vì chỉ có một cách biểu diễn duy nhất qua và suy ra Vậy và Sau khi tính được tỉ số ta phân tích 15 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ Ta có: A, E, O thẳng hàng Vậy thì 3 điểm A, O, E thẳng hàng Bài 4. Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC ta lấy các điểm M, N sao cho Gọi I là giao điểm của AN và CM, E là điểm thuộc AC sao cho . Tìm để 3 điểm B, I, E thẳng hàng Hướng dẫn giải Đặt Ta có: Vì M, I, C thẳng hàng nên ta có: Tương tự: Ta có Mà Từ (1) và (2) để 3 điểm B, I, E, thẳng hàng thì 16 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ Vậy với thì 3 điểm B, I, E thẳng hàng V. Phát triển một số bài tập tự luận sang bài tập trắc nghiệm ở phần ngày tơi sẽ chuyển một số bài tập trong phần III và phần IV sang dạng bài trắc nghiệm Bài 1. ( bài 1 trong phần III ) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn , . Lấy K trên AD sao cho Tìm để 3 điểm B, K, E thẳng hàng A. . B. . C. . D. . Bài 2. ( bài 3 trong mục III ) Cho gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho , I là trung điểm đoạn AM, N là điểm thỏa mãn Tìm để 3 điểm C, I, N thẳng hàng A. . B. . C. . D. . Bài 3. ( bài 4 trong mục III) Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc cạnh AC sao cho , N là điểm thuộc BM sao cho , P là điểm thuộc BC sao co . Tìm để 3 điểm A, N, P thẳng hàng A. . B. . C. . D. Bài 4. ( bài 2 trong mục IV ) Cho tam giác .Các điểm M, N, P lần lượt nằm trên đường thẳng BC, CA, AB sao cho .Tìm điều kiện của , , để M, N, P thẳng hàng A. . B. . C. . D. 17 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ Bài 5. (bài 4 trong phần IV) Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC ta lấy các điểm M, N sao cho Gọi I là giao điểm của AN và CM, E là điểm thuộc AC sao cho . Tìm để 3 điểm B, I, E thẳng hàng A. . B. . C. . D. Phần 3. Một số bài chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ trong một số đề thi học sinh giỏi Bài 1. (đề HSG Hồn Kiếm Hà Nội năm học 20142015) Cho tam giác ABC đều, O là trọng tâm của tam giác. M là một điểm nằm trong tam giác M khác O.Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vng góc của M lên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng đường thẳng OM đi qua trọng tâm của tam giác DEF Hướng dẫn giải Ta chứng minh Qua M kẻ đường thẳng song song với BC lần lượt cắt AB, AC tại A1, A2; kẻ đường thẳng song song với AC lần lượt cắt BC, AB tại B1, B2; kẻ đường thẳng song song với AB lần lượt cắt BC, AC tại C1, C2 Các tam giác MB1C1, MA2C2, MA1B2 đều, Gọi G là trọng tâm của tam giác DEF. Ta có Từ (1), (2) ta có M, O, G thẳng hàng. Vậy OM đi qua trọng tâm của tam giác DEF Bài 2. (đề HSG Hà Nam năm học 20122013) 18 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c ( b