TÀI LIỆU ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH - KHẢO SÁT HÀM SỐ

[CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ TÀI LIỆU ƠN TẬP GIẢI TÍCH KHẢO SÁT HÀM SỐ  Tài liệu biên soạn Ban Chuyên môn – CLB [CTCT] Chúng Ta Cùng Tiến  Đây tâm huyết anh/chị/bạn CLB [CTCT], gửi tặng đến em, bạn sinh viên K17 – Đại học Bách Khoa Tp.HCM (BKU)  Bản quyền thuộc cộng đồng Chúng Ta Cùng Tiến Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Để làm hoàn chỉnh khảo sát hàm số cần nắm vững bước làm sau đây: Tìm miền xác định Tìm đạo hàm cấp Tính giới hạn tìm tiệm cận Lập bảng biến thiên Xác định điểm đặc biệt vẽ đồ thị TÌM CÁC TIỆM CẬN Kiến thức cần nắm: 1.1 lim 𝑓(𝑥) = ±∞ → 𝑥 = 𝑎 tiệm cận đứng 𝑥→𝑎 1.2 lim 𝑓(𝑥) = 𝑏 → 𝑦 = 𝑏 tiệm cận ngang 𝑥→±∞ 1.3 lim 𝑓(𝑥) = ∞ , ta tìm tiệm cận xiên: 𝑥→±∞ lim 𝑓(𝑥) 𝑥→∞ 𝑥 = 𝑎 ; lim 𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥 = 𝑏 𝑥→∞  𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 tiệm cận xiên đồ thị hàm số Lưu ý: o Có tiệm cận ngang 𝑥 → +∞ khơng có tiệm cận xiên 𝑥 → +∞ Tương tự 𝑥 → −∞ o Nhiều trường hợp tìm tiệm cận đứng cần xét giới hạn trái giới hạn phải (Chẳng hạn a giới hạn không tồn hay hàm số xác định khoảng có a đầu mút) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ 1.1: Tìm tiệm cận hàm số: 𝑓(𝑥) = √𝑥 +1 |𝑥−2| Giải : TXĐ: D=R\{2} lim 𝑓(𝑥) = +∞ → 𝑥 = 𝑙à 𝑡𝑖ệ𝑚 𝑐ậ𝑛 đứ𝑛𝑔 𝑥→2 lim 𝑓(𝑥) = → 𝑦 = 𝑙à 𝑡𝑖ệ𝑚 𝑐ậ𝑛 𝑛𝑔𝑎𝑛𝑔 𝑥→∞ 2𝑥 − 𝑥 , 𝑥 < Ví dụ 1.2 : Tìm tiệm cận hàm số: 𝑦 = { ln(1+𝑥) 𝑥+1 ,𝑥 ≥ Giải : TXĐ: D=R o Như nêu phần lưu ý, toán xét giới hạn trái x tiến đến 0, nhận thấy : lim 𝑓(𝑥) = +∞ → 𝑥 = 𝑙à 𝑡𝑖ệ𝑚 𝑐ậ𝑛 đứ𝑛𝑔 𝑥→0− o Tiệm cận ngang : lim 𝑓(𝑥) = → 𝑦 = 𝑙à 𝑡𝑖ệ𝑚 𝑐ậ𝑛 𝑛𝑔𝑎𝑛𝑔 𝑏ê𝑛 𝑝ℎả𝑖 𝑥→+∞ lim 𝑓(𝑥) = −∞ → 𝑘ℎơ𝑛𝑔 𝑐ó 𝑡𝑖ệ𝑚 𝑐ậ𝑛 𝑛𝑔𝑎𝑛𝑔 𝑘ℎ𝑖 𝑥 → −∞ 𝑥→−∞ Do phải cần xét 𝑥 → −∞ hàm số có tiệm cận xiên hay không o Tiệm cận xiên : lim 𝑓(𝑥) 𝑥→−∞ 𝑥 = ; lim 𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥 = 𝑥→−∞  y = 2x tiệm cận xiên 𝑥 → −∞ Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ TÌM CÁC CỰC TRỊ - BẢNG BIẾN THIÊN Kiến thức cần nắm: 1.1 Tìm đạo hàm cấp hàm só 1.2 Tìm điểm 𝑥0 cho 𝑦 ′ = ℎ𝑜ặ𝑐 𝑦 ′ 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑡ồ𝑛 𝑡ạ𝑖 1.3 Lập bảng biến thiên : Sắp xếp tập điểm 𝑥0 đầu mút tập xác định xét dấu 𝑦 ′ - Nếu qua qua 𝑥0 𝑦 ′ đổi dấu từ (+) sang ( - ) hàm số đạt cực đại 𝑥0 Ngược lại, hàm số đạt cực tiểu Ví dụ 1.3: Lập bảng biến thiên tìm cực trị hàm số sau: 𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝑥 + 2) Giải : TXĐ D=R\{0} 𝑦′ = 𝑥2 − 𝑥 − 𝑒𝑥 𝑥2 𝑦 ′ = ↔ 𝑥 = ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 = −1 𝑥 −∞ -1 + 𝑦′ 𝑦 −∞ 𝑒 − − || +∞ Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ +∞ + +∞ √𝑒 Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ VẼ ĐỒ THỊ o Ở phần này, chủ yếu làm kĩ thao tác để vẽ đồ thị đánh dấu điểm đặc biệt đồ thị Những điểm cần đặc biệt lưu ý vẽ tiệm cận cực trị o Lưu ý: Một số trường hợp đặc biệt + Nếu 𝑓(𝑥) hàm chẵn ( ∀𝑥 𝜖 𝐷 𝑡ℎì 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) hàm số đối xứng qua trục Oy Do cần vẽ phần ứng với 𝑥 < 0, phần 𝑥 > lấy đối xứng qua trục Oy + Nếu 𝑓(𝑥) hàm lẻ ( ∀𝑥 𝜖 𝐷 𝑡ℎì 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) hàm số có tâm đối xứng gốc O Do cần vẽ phần ứng với 𝑥 < 0, phần 𝑥 > lấy đối xứng qua O Ví dụ 1.4 : Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 𝑦= 𝑥2 |𝑥 − 2| Giải : TXĐ: D= R\{2} o Tiệm cận đứng: 𝑥 = 𝑦 =𝑥+2 o Tiệm cận xiên : { 𝑦 = −𝑥 − 𝑥 ′ 𝑥 −4𝑥 , (𝑥−2)2 o 𝑦 = { 4𝑥−𝑥 (𝑥−2)2 𝑥>2 , 𝑥