BỘ TÀI LIỆU ÔN TẬP TRẮC NGHIỆM GIẢI TÍCH II

BÁCH KHOA ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI BỘ TÀI LIỆU ÔN TẬP TRẮC NGHIỆM GIẢI TÍCH II Biên soạn bởi: Team GT2 – BKĐCMP Hà Nội, tháng năm 2021 MỤC LỤC Đề bài… …………………………………………………………………… ……1 Lời giải tham khảo……………………………………………………….………18 Tài liệu tham khảo……………………………………………………………….95 LỜI NĨI ĐẦU Hiện nay, với hình thức thi đổi từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm, chinh nhiều bạn sinh viên gặp khó khăn việc ơn tập Trong tinh hình đó, nhơm “BK – Đại cương môn phai” biên soạn “BỘ TÀI LIỆU ƠN TẬP TRẮC NGHIỆM MƠN GIẢI TÍCH II” để giúp bạn thuận tiện việc ôn tập Nhóm tác giả: Team Giải Tích II BK- Đại cương môn phái (Đỗ Tuấn Cường, Đinh Tiến Long, Phạm Thanh Tùng, Trần Trung Dũng, Đỗ Ngọc Hiếu, Nguyễn Thu Hiền, Nguyễn Minh Hiếu) Chịu trách nhiệm nội dung: Phạm Thanh Tùng Do trình soạn tài liệu gấp rút với hạn chế định kiến thức, dù cố gắng chắn tránh khỏi sai sót tính tốn, lỗi đánh máy, ý kiến góp ý bạn đọc xin gửi qua đường link fb “fb.com/tungg810” email tungcrossroad@gmail.com Tài liệu mang tính chất tham khảo, khơng có tác dụng thay giáo trình, sách giáo khoa thống Xin chân thành cảm ơn! I Bài tập trắc nghiệm Tích phân Euler + Câu 1: Kết tích phân A  B 0 x5e − x dx là:  C  D  D 3 512  Câu 2: Kết tích phân  sin x cos xdx là: A 7 512 2 512 B + Câu 3: Biết 0 x 3− x dx = A 𝑎 − 𝑏 = −1 C  512 a  , chọn khẳng định đúng: b(ln 3)7/2 B 𝑎 + 𝑏 = 10 + Câu 4: Biểu diễn tích phân 0 C 𝑎 > 𝑏 x2 dx theo hàm Gamma: (1 + x )    13        4 A     6. ( )    13        4 C     4. ( ) 3 1       4 B     4. ( ) 3 5       4 D     4. ( ) Câu 5: Tính tích phân  30 A    30sin    20  B D 𝑎 𝑏 < 100 − x 30 dx  C   30sin    30     sin    30  D    50sin    30  + 0 Câu 6: Tính tích phân A 3 27 x4 dx ( x3 + 1) 2 27 B C 2 27 D 3 27 10  1 Câu 7: Tính tích phân   ln  dx x 0 A 11! B 10! C 12! D 9! Câu 8: Tính tích phân A 10! 511 0 x (ln x) B 10 dx 10! 611 C 11! 511 D 11! 611 D 7 256 Câu 9: Biểu diễn tích phân − e 2x − e3 x dx theo hàm Gamma: 2 4       3 A     2. ( )  2 1       3 C     9. ( )  2 1       3 B     3. ( ) 2 4       3 D     3. ( )  Câu 10: Tính tích phân A 5 128 0 B sin x cos5 x dx 3 256 C  256 II Bài tập trắc nghiệm Tích phân đường Tích phân đường loại I: Câu 11: Tính tích phân  ( x + y)ds với 𝐿 đoạn thẳng nối điểm 𝑂(0; 0) 𝐴(4; 3) L A 35 B 35 C 35 D 35 𝑥 = + cos 𝑡 Câu 12: Tính ( x + y )ds với 𝐿 nửa đường tròn { 𝑦 = sin 𝑡 L 0≤𝑡≤𝜋  A + 8 C 4 B + 4 D + 4 Câu 13: Tìm 𝑚 để  (mx − y )ds = −18 với 𝐶: 𝑦 = √9 − 𝑥 C A 𝑚 = B 𝑚 = C 𝑚 = D 𝑚 = Câu 14: Với 𝐶 đường tròn 𝑥 + 𝑦 = 2𝑥, tính  ( x − y )ds C A 𝜋 B 2𝜋 C 3𝜋 Câu 15: Tính  ( x + y )ds với cung 𝐶: 𝑟 = cos 2𝜑, C A √5 B √6 D 6𝜋 −    4 C √10 D √2 Câu 16: Với 𝐶 đường cong 𝑥 2/3 + 𝑦 2/3 = góc phần tư thứ nối 𝐴(1,0) 𝐵(0,1), tính  ( y + 1)ds C A 15 B 15 C 15 D 15 D (5 − 1) Câu 17: Tính  yds với 𝐶 đường 𝑥 = 𝑦 từ 𝑂(0,0) đến 𝐴(1,1) C A (5 − 1) B (5 − 1) 12 C (5 − 1) Câu 18: Tính  xyds với 𝐿 chu tuyến hình chữ nhật 𝐴𝐵𝐶𝐷 với 𝐴(0,0); 𝐵(4,0), L 𝐶 (4,2), 𝐷 (0,2) A 20 B 25 Câu 19: Tính C 24 D 18  xyds với 𝐶 biên miền |𝑥| + |𝑦| ≤ C A B C D Câu 20: Tính  x + y ds với 𝐿: 𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 L A B C D 10 Tích phân đường loại II: ⏜ cung 𝑦 = − 𝑥 , 𝐴(1,0), 𝐵(−1,0) Câu 21: Tính  ( x − y)dx + ydy với 𝐴𝐵 AB A B Câu 22: Tính  C D y 4dx − x3dy với 𝐴𝐵𝐶 đường gấp khúc qua điểm ABC 𝐴(0,1); 𝐵(1,0); 𝐶 (0, −1) A B C Câu 23: Tìm 𝑚 để  ( x + xy )dx + m.x 2dy = C D −10 với 𝐶 cung bé đường tròn 𝑥 + 𝑦 = từ 𝐴(−2,0) đến 𝐵(0,2) 2 A B 3/2 C D 1/3 Câu 24: Tính  ( xy + e x sin x + x + y )dx + (− xy + e − y − x + sin y )dy với 𝐿 đường L 𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 theo chiều dương A −3𝜋 B 3𝜋 C −2𝜋 D 4𝜋 Câu 25: Tính  xdx −  x + 2y + e y +1 + sin(y ) dy với 𝐿 chu tuyến tam giác   L 𝐴𝐵𝐶 có 𝐴(−1,0), 𝐵(0,2), 𝐶 (2,0) chiều chiều kim đồng hồ A B C D ⏜ cung 𝑦 = √1 − 𝑥 từ điểm Câu 26: Tính  ( xy + e x )dx + ( y10 − x )dy với 𝐴𝐵 AB 𝐴(−1,0) đến 𝐵(1,0) e2 − C 2e e2 − B e e2 − A 2e e2 D Câu 27: Tính  (2e x + y )dx + ( x + e y )dy với 𝐶: 𝑦 = √1 − 𝑥 từ 𝐴(−1,0) đến C 𝐵(1,0) A  − + 2e e B  − −𝑒 e (3,0) Câu 28: Tính tích phân  (x C  − e D  − + 3e e + xy ) dx + (6 x y − y )dy ( −2, −1) A 61 B 62 C 63 Câu 29: Tìm 𝑚 để tích phân  e x +y D 64  xy dx + ( y + m y )dy  = e với 𝐿 đường L 𝑥 = − 𝑦 từ 𝐴(1,0) đến 𝐵(0,1) A B C D − y + xy − x + x − x2 − dx + dy với 𝐿: 𝑦 = 2𝑥 + Câu 30: Tính tích phân  ( y − x − 1) ( y − x − 1) L từ 𝐴(0,2) đến 𝐵(2,6) A B C D Câu 31: Tìm 𝑎, 𝑏 để tích phân  e x ( x + ay + 1) dx + ( bx + y ) dy  không phụ L thuộc vào đường A {𝑎 = B {𝑎 = 𝑏=0 C {𝑎 = 𝑏=1 D {𝑎 = 𝑏=0 𝑏=1 Câu 32: Tìm số 𝑎, 𝑏 để biểu thức [𝑦 + 𝑎𝑥𝑦 + 𝑦 sin(𝑥𝑦)]𝑑𝑥 + [𝑥 + 𝑏𝑥𝑦 + 𝑥 sin(𝑥𝑦)]𝑑𝑦 vi phần toàn phần hàm số 𝑢(𝑥, 𝑦) A {𝑎 = B {𝑎 = 𝑏=1 Câu 33: Tính C {𝑎 = 𝑏=2  L xe x + y2 dx + ye x ( x − 1) e3 − A 2 + y2 +y 𝑏=1 dy C 𝑏=2 với L : y = x − x từ 𝑂(0,0) đến 𝐴(2,0) e2 − C e4 − B Câu 34: Cho tích phân 𝐼 =  D {𝑎 = D (2 x − y )dx + (5 x + y)dy với 𝐶 biên hình x2 + y phẳng 𝐷: 𝑥 + 𝑦 ≤ 9, theo chiều dương, bạn 𝐴 lập luận “Ta đặt P = Q= e −1 2x − y x2 + y 5x + y , Qx' − Py' = , 𝐶 đường cong kín, chiều dương, giới hạn miền 𝐷 nên 2 x +y 𝐼 = 0” Hỏi bạn 𝐴 làm có khơng? Nếu sai, sửa lại đáp án xác A Đúng B Sai, 𝐼 = 10𝜋 Câu 35: Tìm 𝑚 để tích phân C Sai, 𝐼 = 𝜋  ( x − y)dx + ydy = với D Sai, 𝐼 = 5𝜋 AB : y = m − x hai AB điểm A(1,0), B(−1,0) A Câu 36: Tính B −1 C D −2  ydx + zdy + xdz với 𝐶: 𝑥 = cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 , 𝑧 = 2𝑡, ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 theo C chiều tăng 𝑡 A 2𝜋 B 𝜋 C −𝜋 (4,5,6) Câu 37: Tính tích phân  e dx + xe dy + ( z + 1)e dz (1,2,3) y y z D 3𝜋 A 4𝑒 + 6𝑒 − 𝑒 − 3𝑒 C 4𝑒 + 6𝑒 − 2𝑒 − 3𝑒 B 4𝑒 + 6𝑒 − 𝑒 − 3𝑒 D 4𝑒 + 6𝑒 − 2𝑒 − 3𝑒 Câu 38: Tìm hàm vị biểu thức (𝑥 + 4𝑥𝑦 )𝑑𝑥 + (6𝑥 𝑦 − 5𝑦 )𝑑𝑦 A x + x2 y3 − y5 C 2 x + x2 y3 − y5 B 2 x + x2 y3 − y5 D x + x2 y3 − y5 Câu 39: Tính  (2 xy − 5)dx + (2 x + y)dy với 𝐿 biên miền 𝐷 xác định L đường 𝑦 = 𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, chiều dương A B C D     Câu 40: Tính   x y +  dx +  3x y +  dy với 𝐶 đường cong x + y +     C 𝑦 = √1 − 𝑥 từ 𝐴(1,0) đến 𝐵(−1,0) A − arctan C − 3arctan B − 2arctan D + 2arctan Ứng dụng tích phân đường Câu 41: Tính diện tích miền D giới hạn 𝐿: { 𝑥 = 2(𝑡 − sin 𝑡 ) với trục 𝑂𝑥 𝑦 = 2(1 − cos 𝑡 ) biết 𝑡 từ 2𝜋 dến A 13𝜋 (đvdt) B 12𝜋 (đvdt) C 11𝜋 (đvdt) D 10𝜋 (đvdt) Câu 42: Tính cơng lực 𝐹⃗ = (𝑥 + 2𝑦)𝑖⃗ + (3𝑥 + 4𝑦)𝑗⃗ làm dịch chuyển chất điểm từ 𝐴(1,3) đến 𝐵(2,4) dọc theo đoạn thẳng 𝐴𝐵 (đvc: đơn vị công) A 21 (đvc) B 21,5 (đvc) C 26 (đvc) D 27 (đvc) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢(𝑂) = (0, −1,0) 𝑙⃗ = 𝑔𝑟𝑎𝑑 Câu 84: Cho điểm 𝐴(2, −1,0), 𝐵(1,1,3) Tính đạo hàm hàm 𝑢 = 𝑥 + 3𝑦 + 𝑒 𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 điểm 𝐴 theo hướng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 Đáp án: C −3 14 Giải: 𝑢𝑥′ (𝐴) = 12 𝑢𝑥′ = 3𝑥 + 𝑦𝑧 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 3𝑦 + 𝑒 𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 ⇒ { 𝑢𝑦′ = 6𝑦 + 𝑥𝑧 ⇒ {𝑢𝑦′ (𝐴) = −6 𝑢𝑧′ (𝐴) = 𝑢𝑧′ = 𝑒 𝑧 + 2𝑥𝑦𝑧 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √14 ⇒ cos 𝛼 = 𝐴𝐵 = (−1,2,3) ⇒ |𝐴𝐵 ⇒ −1 √14 , cos 𝛽 = √14 , cos 𝛾 = √14 𝜕𝑢 −1 −3√14 (𝐴) = 12 + (−6) + = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜕𝐴𝐵 √14 √14 √14 Câu 85: Tính góc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢, u = x điểm 𝐴(1,2,2) 𝐵(−3,1,0) x + y2 + z2  −8  Đáp án: A arccos     Giải: −𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )2 𝑥 −2𝑥𝑦 ′ 𝑢= ⇒ 𝑢 = 𝑦 𝑥 + 𝑦2 + 𝑧2 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )2 −2𝑥𝑧 𝑢𝑧′ = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )2 { 𝑢𝑥′ ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 = ( −𝑥 + 𝑦 + 𝑧 −2𝑥𝑦 −2𝑥𝑧 , , ) (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )2 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ) (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )2 −4 −4 −2 ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢(𝐴) = ( , , ) ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢(𝐵) = ( , , 0) 81 81 81 25 50 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧2 (𝑀) = (2, ⇒ 𝑔𝑟𝑎𝑑 −9 ) 81 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢(𝐴), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ cos (𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢(𝐵)) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧1 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ (𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑧2 ) = arccos ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧1 (𝑀 ) 𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧2 (𝑀) 𝑔𝑟𝑎𝑑 −8 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧1 (𝑀)| |𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧2 (𝑀)| |𝑔𝑟𝑎𝑑 −8 Câu 86: Cho 𝐹⃗ = 𝑥 𝑦𝑧𝑖⃗ + 3𝑥𝑦 𝑧𝑗⃗ + 𝑚𝑥𝑦𝑧 𝑘⃗⃗ với 𝑚 tham số thực Tìm 𝑚 để 𝐹⃗ trường ống Đáp án: B 𝑚 = −4 Giải: 𝑃𝑥′ = 2𝑥𝑦𝑧 𝑃 = 𝑥 𝑦𝑧 Đặt { 𝑄 = 3𝑥𝑦 𝑧 ⇒ { 𝑄𝑦′ = 6𝑥𝑦𝑧 ⇒ 𝑑𝑖𝑣𝐹⃗ = 𝑃𝑥′ + 𝑄𝑦′ + 𝑅𝑧′ = (8 + 2𝑚)𝑥𝑦𝑧 𝑅𝑧′ = 2𝑚𝑥𝑦𝑧 𝑅 = 𝑚𝑥𝑦𝑧 Để 𝐹⃗ trường ống ⇔ 𝑑𝑖𝑣𝐹⃗ = ⇔ 𝑚 = −4 Câu 87: Xác định điểm khơng phải điểm xốy trường vecto 𝐹⃗ = (𝑧 + 2𝑥𝑦)𝑖⃗ + (3𝑥 − 2𝑦𝑧)𝑗⃗ − 𝑧 𝑘⃗⃗ Đáp án: C (0,0,0) Giải: 𝑃𝑦′ = 2𝑦, 𝑃𝑧′ = 2𝑧 𝑃 = 𝑧 + 2𝑥𝑦 Đặt {𝑄 = 3𝑥 − 2𝑦𝑧 ⇒ {𝑄𝑥′ = 6𝑥, 𝑄𝑧′ = −2𝑦 𝑅𝑥′ = 0, 𝑅𝑦′ = 𝑅 = −𝑧 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹⃗ = ( ⇒ 𝑟𝑜𝑡 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑃 − ; − ; − ) = (2𝑦; 2𝑧; 6𝑥 − 2𝑦) 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Điểm xoáy 𝑀 trường vecto thỏa mãn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑜𝑡 𝐹⃗ (𝑀) = ⃗0⃗ ⇔ { 2𝑦 = 𝑥=0 2𝑧 = ⇔ {𝑦 = 6𝑥 − 2𝑦 = 𝑧=0 Vậy điểm khơng xốy 𝑀(0,0,0) 2 Câu 88: Biết 𝐹⃗ = 𝑒 𝑥 +𝑦 +𝑧 [(2𝑥 𝑦𝑧 + 𝑦𝑧)𝑖⃗ + (2𝑦 𝑥𝑧 + 𝑥𝑧)𝑗⃗ + (2𝑧 𝑦𝑥 + 𝑥𝑦)𝑘⃗⃗] trường Tìm hàm vị 82 Đáp án: A u = e x + y2 + z2 xyz + C Giải: Hàm vị 𝑦 𝑥 𝑧 𝑢 = ∫ 𝑃 (𝑡, 𝑦0 , 𝑧0 )𝑑𝑡 + ∫ 𝑄(𝑥, 𝑡, 𝑧0 )𝑑𝑡 + ∫ 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑡 )𝑑𝑡 + 𝐶 𝑥0 𝑦0 𝑧0 Chọn 𝑥0 = 𝑦0 = 𝑧0 = 𝑦 𝑥 𝑧 𝑡2 ⇒ 𝑢 = ∫ 𝑒 0𝑑𝑡 + ∫ 𝑒 𝑥 +𝑡 0𝑑𝑡 + ∫ 𝑒 𝑥 +𝑦 +𝑡 (2𝑥𝑦𝑡 + 𝑥𝑦)𝑑𝑡 + 𝐶 𝑧 = 𝑥𝑦 ∫ 𝑒 𝑥 +𝑦 +𝑡 (2𝑡 + 1)𝑑𝑡 + 𝐶 𝑧 = 2𝑥𝑦 ∫ 𝑒 𝑧 𝑥 +𝑦 +𝑡 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑥𝑦 ∫ 𝑒 𝑥 +𝑦 +𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 𝑡=𝑢 2 Đặt { 𝑥2 +𝑦2 +𝑡 ⇒{ 𝑣 = 𝑒 𝑥 +𝑦 +𝑡 𝑒 𝑡𝑑𝑡 = 𝑑𝑣 𝑧 𝑧 𝑧 𝑡 2 2 2 2 ⇒ 2𝑥𝑦 ∫ 𝑒 𝑥 +𝑦 +𝑡 𝑡 𝑑𝑡 = 2𝑥𝑦 ( 𝑒 𝑥 +𝑦 +𝑡 | − ∫ 𝑒 𝑥 +𝑦 +𝑡 𝑑𝑡 ) 2 0 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧𝑒 𝑥 +𝑦 +𝑡 − 𝑥𝑦 ∫ 𝑒 𝑥 +𝑦 +𝑡 𝑑𝑡 𝑧 ⇒ 𝑢 = 𝑥𝑦𝑧𝑒 𝑥 +𝑦 +𝑡 − 𝑥𝑦 ∫ 𝑒 𝑥 𝑧 +𝑦 +𝑡 𝑑𝑡 + 𝑥𝑦 ∫ 𝑒 𝑥 +𝑦 +𝑡 𝑑𝑡 = 𝑥𝑦𝑧𝑒 𝑥 +𝑦 +𝑡 +𝐶 𝑦 Câu 89: Biết 𝐹⃗ = (3𝑥 − 3𝑦 𝑧)𝑖⃗ + (arctan 𝑧 − 6𝑥𝑦𝑧)𝑗⃗ + (1+𝑧 + 3𝑥𝑦 ) 𝑘⃗⃗ trường thế, tìm hàm vị Đáp án: D u = x3 + y arctan z + 3xy z + C Giải: 83 Hàm vị 𝑦 𝑥 𝑧 𝑢 = ∫ 𝑃 (𝑡, 𝑦0 , 𝑧0 )𝑑𝑡 + ∫ 𝑄(𝑥, 𝑡, 𝑧0 )𝑑𝑡 + ∫ 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑡 )𝑑𝑡 + 𝐶 𝑥0 𝑦0 𝑧0 Chọn 𝑥0 = 𝑦0 = 𝑧0 = 𝑦 𝑥 𝑧 ⇒ 𝑢 = ∫ 3𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 0𝑑𝑡 + ∫ 0 𝑦 + 3𝑥𝑦 𝑑𝑡 + 𝐶 = 𝑥 + 𝑦 arctan 𝑧 + 3𝑥𝑦 + 𝐶 + 𝑡2 Câu 90: Biết 𝐹⃗ = (3𝑥 + 𝑦𝑧)𝑖⃗ + (6𝑦 + 𝑥𝑧)𝑗⃗ + (𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑒 𝑧 )𝑘⃗⃗ trường thế, tìm hàm vị z3 Đáp án: A u = x + y + + e z + xyz + C 3 Giải: Hàm vị 𝑦 𝑥 𝑧 𝑢 = ∫ 𝑃 (𝑡, 𝑦0 , 𝑧0 )𝑑𝑡 + ∫ 𝑄(𝑥, 𝑡, 𝑧0 )𝑑𝑡 + ∫ 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑡 )𝑑𝑡 + 𝐶 𝑥0 𝑦0 𝑧0 Chọn 𝑥0 = 𝑦0 = 𝑧0 = 𝑦 𝑥 𝑧 ⇒ 𝑢 = ∫ 3𝑡 𝑡 + ∫ 6𝑡 𝑑𝑡 + ∫(𝑡 + 𝑥𝑦 + 𝑒 𝑡 )𝑑𝑡 + 𝐶 0 𝑦 𝑥 3 =𝑡 | + 2𝑡 | 0 𝑧 𝑡3 𝑡 + ( + 𝑥𝑦𝑡 + 𝑒 ) | + 𝐶 𝑧3 = 𝑥 + 2𝑦 + + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑒 𝑧 − + 𝐶 3 𝑧3 = 𝑥 + 2𝑦 + + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑒 𝑧 + 𝐶 3 𝑧3 Vậy hàm vị 𝑢 = 𝑥 + 2𝑦 + + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑒 𝑧 + 𝐶 3 Câu 91: Tính thơng lượng 𝐹⃗ = 𝑥𝑖⃗ + (𝑦 + 2𝑧)𝑗⃗ + (3𝑥 𝑧 − 𝑥)𝑘⃗⃗ qua mặt cầu 84 𝑆: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = hướng Đáp án: D 44 15 Giải: Đặt 𝑃 = 𝑥, 𝑄 = 𝑦 + 2𝑧, 𝑅 = 3𝑥 𝑧 − 𝑥 Thông lượng cần tính là: Φ = ∬ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝑦 + 2𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑥 + (3𝑥 𝑧 − 𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 Mặt 𝑆 mặt cong kín giới hạn miền (𝑉) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ hướng pháp tuyến 𝑃𝑥′ = 1, 𝑄𝑦′ = 3𝑦 , 𝑅𝑧′ = 3𝑥 liên tục với 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 Áp dụng công thức Ostrogradsky: Φ = ∭(1 + 3𝑥 + 3𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∭(3𝑥 + 3𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑉(𝑉) = 𝐼 + 𝑉(𝑉) 𝑉 𝑉 0≤𝑟≤1 𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑 Đặt { 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑 Miền (𝑉) : { ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 |𝐽| = 𝑟 sin 𝜃 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 2𝜋 𝜋 2𝜋 𝜋 𝐼 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑑𝜃 ∫ 3𝑟 (sin 𝜃)2 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝑟 = ∫ 𝑑𝜑 ∫(sin 𝜃 )3 𝑑𝜃 = 𝜋 5 0 ⇒ Φ = 𝐼 + 𝑉(𝑉) = 0 44 𝜋+ 𝜋= 𝜋 15 Câu 92: Tính thơng lượng 𝐹⃗ = 𝑥𝑦 𝑖⃗ − 𝑧𝑒 𝑥 𝑗⃗ + (𝑥 𝑧 + sin 𝑦)𝑘⃗⃗ qua 𝑆 mặt 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 , 𝑧 ≤ 4, hướng (Chọn kết gần nhất) 85 Đáp án: A −17 Giải: Thơng lượng cần tính: Φ = ∬ 𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑧𝑒 𝑥 𝑑𝑧𝑑𝑥 + (𝑥 𝑧 + sin 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 𝑧=4 Bổ sung thêm mặt 𝑆 ′ : {𝑥 + 𝑦 ≤ hướng lên Mặt 𝑆 ∪ 𝑆′ mặt cong kín, hướng pháp tuyến ngồi giới hạn miền (𝑉 ): 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ Đặt 𝑃 = 𝑥𝑦 , 𝑄 = −𝑧𝑒 𝑥 , 𝑅 = 𝑥 𝑧 + cos 𝑦 ⇒ 𝑃𝑥′ = 𝑦 , 𝑄𝑦′ = 0, 𝑅𝑧′ = 𝑥 liên tục với 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 Ta có: Φ = ∯ 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∬ 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐼1 − 𝐼2 𝑆∪𝑆 ′ 𝑆′ Áp dụng công thức Ostrogradsky cho 𝐼1 , ta có: 𝐼1 = ∭(𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 Hình chiếu 𝑉 lên 𝑂𝑥𝑦 𝐷: 𝑥 + 𝑦 ≤ 86 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 0≤𝑟≤2 Đặt { 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 𝐽 = 𝑟 Miền (𝑉): {0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 𝑧=𝑧 𝑟2 ≤ 𝑧 ≤ 2𝜋 2𝜋 ⇒ 𝐼1 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑑𝑟 ∫ 𝑟 𝑟𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟 (4 − 𝑟 )𝑑𝑟 = 𝑆′: { 𝑟2 0 32 𝜋 𝑧 = ⇒ 𝑑𝑧 = , (𝑛⃗⃗, 𝑂𝑧) < 𝜋/2, hình chiếu 𝑆 ′ lên 𝑂𝑥𝑦 𝐷: 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ ⇒ 𝐼2 = ∬(𝑥 𝑧 + sin 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬(4𝑥 + sin 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 4𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆′ 𝐷 2𝜋 𝐷 2𝜋 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟 (cos 𝜑)2 𝑟𝑑𝑟 = 16 ∫ (cos 𝜑)2 𝑑𝜑 = 16𝜋 0 (∬ sin 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = tính chất đối xứng miền 𝐷, hàm 𝑓 (𝑥, 𝑦) = sin 𝑦 lẻ với 𝑦) 𝐷 ⇒ Φ = 𝐼1 − 𝐼2 = −16 𝜋 Câu 93: Tính thơng lượng 𝐹⃗ = (𝑥 − 2𝑦 + 𝑧)𝑖⃗ − (𝑧 + 2𝑥𝑦)𝑗⃗ + 𝑥𝑘⃗⃗ qua phía mặt nón 𝑧 = + √𝑥 + 𝑦 cắt hai mặt phẳng 𝑧 = 2, 𝑧 = Đáp án: C Giải: Thơng lượng cần tính: Φ = ∬(𝑥 − 2𝑦 + 𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧 − (𝑧 + 2𝑥𝑦)𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 Bổ sung thêm hai mặt: 𝑆′ : { 𝑧=2 𝑧=5 hướng lên trên, 𝑆 ′′ : { hướng xuống 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑥 + 𝑦 ≤ 16 87 Mặt 𝑆 ∪ 𝑆 ′ ∪ 𝑆 ′′ mặt cong kín, hướng pháp tuyến trong, giới hạn miền 2 𝑉: {𝑧 ≥ + √𝑥 + 𝑦 2≤𝑧≤5 Đặt 𝑃 = 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧, 𝑄 = −(𝑧 + 2𝑥𝑦), 𝑅 = 𝑥 ⇒ 𝑃𝑥′ = 2𝑥, 𝑄𝑦′ = −2𝑥, 𝑅𝑧′ = liên tục Φ= ∯ … − ∬ … − ∬ … = 𝐼1 − 𝐼2 − 𝐼3 𝑆∪𝑆 ′ ∪𝑆 ′′ 𝑆′ 𝑆 ′′ Áp dụng công thức Ostrogradsky cho 𝐼1 ⇒ 𝐼1 = − ∭(2𝑥 − 2𝑥 + 0)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑉 𝑆′ : { 𝑧 = ⇒ 𝑑𝑧 = , (𝑛⃗⃗, 𝑂𝑧) < 𝜋/2, hình chiếu 𝑆 ′ lên 𝑂𝑥𝑦 𝐷 ′ : 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ ⇒ 𝐼2 = ∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 = (Dùng tính chất đối xứng) 𝑆′ 𝑆 ′′ : { 𝐷 𝑧 = ⇒ 𝑑𝑧 = , (𝑛⃗⃗, 𝑂𝑧) > 𝜋/2, hình chiếu 𝑆 ′′ lên 𝑂𝑥𝑦 𝐷 ′′ : 𝑥 + 𝑦 ≤ 16 𝑥 + 𝑦 ≤ 16 ⇒ 𝐼3 = ∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 = (Dùng tính chất đối xứng) 𝑆 ′′ 𝐷 88 Vậy Φ = 𝐼1 − 𝐼2 − 𝐼3 = Câu 94: Tính thơng lượng trường vecto 𝐹⃗ = 2𝑥 𝑖⃗ + 𝑦 𝑗⃗ − 𝑧 𝑘⃗⃗ qua S mặt miền giới hạn 𝑦 = 0, 𝑦 = √1 − 𝑧 , 𝑥 = 0, 𝑥 = Đáp án: A 4 + Giải: Thơng lượng cần tính là: Φ = ∬ 2𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑥 − 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 Mặt 𝑆 kín giới hạn miển 𝑉: ≤ 𝑦 ≤ √1 − 𝑧 , ≤ 𝑥 ≤ 2, hướng pháp tuyến Đặt 𝑃 = 2𝑥 , 𝑄 = 𝑦 , 𝑅 = −𝑧 ⇒ 𝑃𝑥′ = 4𝑥, 𝑄𝑦′ = 2𝑦, 𝑅𝑧′ = −2𝑧 liên tục Áp dụng công thức Ostrogradsky: Φ = ∬ 2𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑧 − 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∭(4𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑆 𝑉 𝑦 = 𝑟 cos 𝜑 0≤𝑟≤1 Đặt { 𝑧 = 𝑟 sin 𝜑 , 𝐽 = 𝑟 ⇒ Miền 𝑉: {−𝜋/2 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋/2 𝑥=𝑥 0≤𝑥≤2 89 𝜋 𝜋 2 Φ = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑑𝑟 ∫(2𝑥 + 𝑟 cos 𝜑) 𝑟𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝜑 ∫(4𝑟 + 2𝑟 cos 𝜑)𝑑𝑟 = 4𝜋 + −𝜋 −𝜋 0 Câu 95: Tính thơng lượng trường vecto 𝐹⃗ = 𝑥 𝑖⃗ + 𝑦 𝑗⃗ + miền 𝑉: |𝑥 − 𝑦| ≤ 1, |𝑦 − 𝑧| ≤ 1, |𝑧 + 𝑥| ≤ 𝑧2 𝑘⃗⃗ qua 𝑆 biên Đáp án: D Giải: Thơng lượng cần tính Φ = ∬ 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑧 + 𝑆 𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦 Mặt 𝑆 kín giới hạn miển 𝑉: |𝑥 − 𝑦| ≤ 1, |𝑦 − 𝑧| ≤ 1, |𝑧 + 𝑥| ≤ hướng pháp tuyến Đặt 𝑃 = 𝑥 , 𝑄 = 𝑦 , 𝑅 = 𝑧 /2 ⇒ 𝑃𝑥′ = 3𝑥 , 𝑄𝑦′ = 2𝑦, 𝑅𝑧′ = 𝑧 liên tục Áp dụng công thức Ostrogradsky: Φ = ∭(3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 𝑥 = (𝑢 + 𝑣 + 𝑤)/2 𝑢 =𝑥−𝑦 Đặt { 𝑣 = 𝑦 − 𝑧 ⇒ {𝑦 = (𝑣 + 𝑤 − 𝑢)/2 , 𝐽 = 1/2 𝑤 =𝑧+𝑥 𝑧 = (𝑤 − 𝑢 − 𝑣)/2 Miền 𝑉𝑢𝑣𝑤 : −1 ≤ 𝑢 ≤ 1, −1 ≤ 𝑣 ≤ 1, −1 ≤ 𝑤 ≤ 1 3(𝑢 + 𝑣 + 𝑤 )2 𝑤−𝑢−𝑣 ] 𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤 = ⋯ = ⇒ Φ = ∭[ + (𝑣 + 𝑤 − 𝑢 ) + 𝑉𝑢𝑣𝑤 Câu 96: Cho trường vô hướng 𝑢 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 Tính lưu số trường vecto ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑢 dọc theo đoạn thẳng nối từ 𝐴(−1, −1, −1) đến 𝐵(2,4,1) 𝑔𝑟𝑎𝑑 Đáp án: A 11 Giải: 90 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑢 = (𝑢𝑥′ , 𝑢𝑦′ , 𝑢𝑧′ ) = (𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑧)𝑖⃗ + (𝑥 + 𝑧)𝑗⃗ + (𝑥 + 𝑦)𝑘⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑 Đoạn 𝐴𝐵: { 𝑥+1 𝑦+1 𝑧+1 vecto phương ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB = (3,5,2) ⇒ 𝐴𝐵: = = =𝑡 qua A(−1, −1, −1) 𝑥 = 3𝑡 − ⇒ 𝐴𝐵: {𝑦 = 5𝑡 − với 𝑡 chạy từ đến 𝑧 = 2𝑡 − Lưu số cần tìm: 𝐶 = ∫ (𝑦 + 𝑧)𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑧)𝑑𝑦 + (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑧 𝐴𝐵 = ∫[(5𝑡 − + 2𝑡 − 1) + (3𝑡 − + 2𝑡 − 1) + (3𝑡 − + 5𝑡 − 1) 2]𝑑𝑡 = 11 Câu 97: Tính lưu số 𝐹⃗ = 𝑥 𝑦 𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 𝑧𝑘⃗⃗ dọc theo đường trịn có phương trình 𝐶: 𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑧 = giới hạn mặt cầu 𝑧 = √1 − 𝑥 − 𝑦 Đáp án: Giải: Lưu số cần tính là: 𝐶 = ∮ 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑧𝑑𝑧 𝐶 Đường cong 𝐶 giới hạn phần mặt cầu 𝑆: 𝑧 = √1 − 𝑥 − 𝑦 hướng lên 91 (Đề khơng nói chiều hiều đường cong cho chiều dương) Áp dụng công thức Stoke: 𝐶 = ∬ −3𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 Hình chiếu mặt 𝑆 lên 𝑂𝑥𝑦 𝐷: 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 0≤𝑟≤1 Đặt { 𝑦 = sin 𝜑 , 𝐽 = 𝑟 ⇒ 𝐷: {0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 2𝜋 ⇒ 𝐶 = ∬ −3𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = −3 ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟 sin2 𝜑 𝑟 cos2 𝜑 𝑟𝑑𝑟 = ⋯ = 𝑆 0 −𝜋 Câu 98: Tính lưu số 𝐹⃗ = (𝑦𝑒 𝑥𝑦 + 3𝑦 + 𝑧)𝑖⃗ + (𝑥𝑒 𝑥𝑦 + 𝑦 − 5𝑧)𝑗⃗ + (1 + 2𝑥)𝑘⃗⃗ dọc theo đường cong 𝐿 giao mặt 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = mặt 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ chiều dương trục 𝑂𝑧 Đáp án: C 4√3𝜋 Giải: Lưu số cần tính là: 𝐶 = ∮ (𝑦𝑒 𝑥𝑦 + 3𝑦 + 𝑧)𝑑𝑥 + (𝑥𝑒 𝑥𝑦 + 𝑦 − 5𝑧)𝑑𝑦 + (1 + 2𝑥)𝑑𝑧 𝐿 Đường cong kín 𝐿 chiều dương giới hạn phần mặt phẳng 𝑆: 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = nằm cầu, mặt hướng lên, có vecto pháp tuyến hợp trục 𝑂𝑧 < 𝜋/2 92 Áp dụng công thức Stoke: 𝐶 = ∬ 5𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑑𝑧𝑑𝑥 − 3𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 Vecto pháp tuyến 𝑆 𝑛⃗⃗ = (1, −1,1) ⇒ cos 𝛼 = ⇒ 𝐶 = ∬ (5 𝑆 √3 + 1 √3 − √3 √3 , cos 𝛽 = −1 √3 , cos 𝛾 = √3 ) 𝑑𝑆 = √3 ∬ 𝑑𝑆 = √3𝑆𝑆 = 4√3𝜋 𝑆 (𝑆 hình trịn qua tâm cầu) Câu 99: Tính lưu số 𝐹⃗ = (𝑦 + 𝑧 )𝑖⃗ + (𝑥 + 𝑧 )𝑗⃗ + (𝑥 + 𝑦 )𝑘⃗⃗ dọc theo đường cong 𝐶 𝐶 giao mặt cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = mặt nón có phương trình 𝑧 = −√𝑥 + (𝑦 − 1)2 với hướng chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc O Đáp án: B Giải: Lưu số cần tính: 𝐶 = ∮ (𝑦 + 𝑧 )𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑧 )𝑑𝑦 + (𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑧 𝐶 Đường cong kín 𝐶 chiều âm biên phần mặt cong cầu nằm nón 𝑆: { 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ hướng xuống theo chiều âm 𝑂𝑧 𝑧≤0 Áp dụng công thức Stoke: 𝐶 = − ∬(2𝑦 − 2𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (2𝑧 − 2𝑥)𝑑𝑧𝑑𝑥 + (2𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 Vecto pháp tuyến mặt 𝑆 𝑛⃗⃗ = −(2𝑥, 2𝑦, 2𝑧) ⇒ |𝑛⃗⃗| = √(2𝑥)2 + (2𝑦)2 + (2𝑧)2 = (Dấu " − " (𝑛⃗̂ ⃗, 𝑂𝑧) > 𝜋/2) ⇒ cos 𝛼 = −2𝑥 −𝑥 −2𝑦 −𝑦 −2𝑧 −𝑧 = , cos 𝛽 = = , cos 𝛾 = = 4 93 Áp dụng cơng thức liên hệ tích phân mặt loại II tích phân mặt loại I: 𝑥 𝑦 𝑧 ⇒ 𝐶 = ∬ [ (2𝑦 − 2𝑧) + (2𝑧 − 2𝑥) + (2𝑥 − 2𝑦)] 𝑑𝑆 = 2 𝑆 Câu 100: Tính thơng lượng 𝐹⃗ = (6𝑧 − 2𝑦 )𝑖⃗ + (2𝑥 − 3𝑧)𝑗⃗ + (2𝑦 − 4𝑥)𝑘⃗⃗ qua mặt cong 𝑆: 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 1, 𝑧 ≥ hướng lên Đáp án: Giải: Thơng lượng cần tính: Φ = ∬(6𝑧 − 2𝑦 )𝑑𝑦𝑑𝑧 + (2𝑥 − 3𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑧 + (2𝑦 − 4𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 Đặt 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 − Vecto pháp tuyến 𝑛⃗⃗ = (𝐹𝑥′ , 𝐹𝑦′ , 𝐹𝑧′ ) = (4𝑥, 4𝑦 , 6𝑧) (do (𝑛⃗̂ ⃗, 𝑂𝑧) < 𝜋/2) |𝑛⃗⃗| = √4𝑥 + 16𝑦 + 36𝑧 = 2√𝑥 + 4𝑦 + 9𝑧 cos 𝛼 = 𝑛𝑥 2𝑥 = |𝑛⃗⃗| √𝑥 + 4𝑦 + 9𝑧 𝑛𝑦 2𝑦 = ⇒ cos 𝛽 = |𝑛⃗⃗| √𝑥 + 4𝑦 + 9𝑧 𝑛𝑧 3𝑧 cos 𝛾 = = |𝑛⃗⃗| √𝑥 + 4𝑦 + 9𝑧 { Áp dụng công thức liên hệ tích phân mặt loại I loại II ∬ 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬(𝑃 cos 𝛼 + 𝑄 cos 𝛽 + 𝑅 cos 𝛾 )𝑑𝑆 𝑆 ⇒Φ=∬ 𝑆 𝑆 2𝑥(6𝑧 − 2𝑦 ) + 2𝑦 (2𝑥 − 3𝑧) + 3𝑧(2𝑦 − 4𝑥) √𝑥 + 4𝑦 + 9𝑧 94 𝑑𝑆 = Tài liệu tham khảo: − Bài giảng mơn Giải tích II, thầy Bùi Xn Diệu − Bài tập giải sẵn Giải tích (Tóm tắt lý thuyết chọn lọc), thầy Trần Bình − Bài tập Tốn học cao cấp, tập hai: Giải tích, GS.TS Nguyễn Đình Trí (chủ biên), PGS.TS Trần Việt Dũng, PGS.TS Trần Xuân Hiền, PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo − Bộ đề cương Giải tích II, Viện Tốn ứng dụng Tin học − Bộ đề thi Giữa kì Cuối kì mơn Giải tích II Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội 95