BỘ tài LIỆU ôn tập TRẮC NGHIỆM GIẢI TÍCH II

BÁCH KHOA ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI BỘ TÀI LIỆU ÔN TẬP TRẮC NGHIỆM GIẢI TÍCH II Biên soạn bởi: Team GT2 – BKĐCMP Hà Nội, tháng năm 2021 MỤC LỤC Đề bài… …………………………………………………………………… ……1 Lời giải tham khảo……………………………………………………….………18 Tài liệu tham khảo……………………………………………………………….95 LỜI NĨI ĐẦU Hiện nay, với hình thức thi đổi từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm, chinh nhiều bạn sinh viên gặp khó khăn việc ơn tập Trong tinh hình đó, nhơm “BK – Đại cương môn phai” biên soạn “BỘ TÀI LIỆU ƠN TẬP TRẮC NGHIỆM MƠN GIẢI TÍCH II” để giúp bạn thuận tiện việc ôn tập Nhóm tác giả: Team Giải Tích II BK- Đại cương môn phái (Đỗ Tuấn Cường, Đinh Tiến Long, Phạm Thanh Tùng, Trần Trung Dũng, Đỗ Ngọc Hiếu, Nguyễn Thu Hiền, Nguyễn Minh Hiếu) Chịu trách nhiệm nội dung: Phạm Thanh Tùng Do trình soạn tài liệu gấp rút với hạn chế định kiến thức, dù cố gắng chắn tránh khỏi sai sót tính tốn, lỗi đánh máy, ý kiến góp ý bạn đọc xin gửi qua đường link fb “fb.com/tungg810” email tungcrossroad@gmail.com Tài liệu mang tính chất tham khảo, khơng có tác dụng thay giáo trình, sách giáo khoa thống Xin chân thành cảm ơn! I Bài tập trắc nghiệm Tích phân Euler Câu 5: Tính tích phân Câu 1: Kết tích phân A A Câu 2: Kết tích phân A Câu 3: Biết A − =−1 Câu 4: Biểu diễn tích phân A B 512 D D D < 100 D Câu 6: Tính tích phân D 27 A Câu 7: Tính tích phân D 9! D A 11! Câu 8: Tính tích phân 10! A 11 A Câu 9: Biểu diễn tích phân B Câu 10: Tính tích phân A C D D C 256 256 AI Bài tập trắc nghiệm Tích phân đường Tích phân đường loại I: Câu 11: ( x + y )ds với đoạn thẳng nối điểm (0; 0) (4; 3) Tính tích phân A B Câu 12: với nửa đường trịn { 0≤ ≤ Tính A + B + D + C = −18 với : = √9 − để ( mx − y ) ds Câu 13: Tìm C A Câu 14: Với B đường tròn =1 =2 + =2 , C D =3 =4 ( x − y )ds tính C B C ds với cung : A D B √6 = cos , y) Câu 15: Tính D √2 C √10 A √5 2/3 + đường cong ds Câu 16: Với 2/3 = góc phần tư thứ nối (1,0) (0,1), tính C 15 A B 15 Câu 17: Tính C −1) A (5 với chu tuyến hình chữ nhật với (0,0); (4,0), (4,2), (0,2) 20 A Câu 18: Tính xyd Câu 19: s Tính xy C ds A B 25 với biên miền B C.2 D.0 với : Câu 20: Tính A.8 D.10 x2 + L + =2 y B.6 C.4 Tích phân đường loại II: (x − 3y )dx + với ydy Câu 21: Tính ⏜ cung = − AB B A Câu 22: Tính y dx − 4x 3dy C.4 D.6 với điểm ABC đường gấp khúc qua (0,1); (1,0); (0, −1) A.2 B.3 Câu 23: Tìm để C − 10 với (x+ xy ) dx + m x 2dy = + cung bé đường tròn = từ (−2,0) đến (0,2) B 3/2 C − xy + e− Câu 24: Tính + D C A 2 A −3 D D 1/3 − x + sin y )dy với đường y L = theo chiều dương B C −2 ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⇒=( ( 2+ 2+ 2)2,( 2+ 2+ 2)2,( 2+ 2+ 2)2) ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⇒( )=(81, ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⇒2 ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⇒ cos (( ),( )) = ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⇒ (1 ⃗ Câu 86: Cho = trường ống Đáp án: B = −4 Giải: = Đặt { = ⃗ Để trường ống ⇔= ⇔ = −4 Câu 87: Xác định điểm khơng phải điểm xốy trường vecto ⃗ =( Đáp án: C (0,0,0) Giải: = −2 ⃗⃗⃗ = +2 =− ⇒⃗⃗=( ′ =2 , ′ =2 Đặt { = ′ Điểm xoáy − ; − −2 =0, ′ =0 ; ⇒{ − ′ =6 , ′ ) = (2 ; ; − ) trường vecto thỏa mãn ⃗⃗ ⃗⃗ Vậy điểm khơng xốy (0,0,0) ⃗ Câu 88: Biết )⃗] + = trường Tìm hàm vị 82 xyz + C Đáp án: A Giải: u=e Hàm vị = ∫ ( , 0, 0) Chọn ⇒ + +∫ ( , ,) + ∫ ( , , 0) 0= = 0 2+ +∫ = 2+ 2+ ∫ (2 =2 =0 =∫ + 2+ 2+ ∫ 2+ 2+ +∫ (2 + ) + + 1) + 2+ 2+ ∫ + Đặt { ⇒2 ∫ 2+ 2+ =2 ( = ⇒ = = + 2 + + + − + + − ∫ ∫ + + + + + + ⃗ Câu 89: Biết = (3 thế, tìm hàm vị Đáp án: D u = x + y arctan z + 3xy z + C Giải: 83 ∫ + + Hàm vị = Chọn = ⇒ = ∫3 = =0 +∫0 + ⃗ Câu 90: Biết = (3 hàm vị Đáp án: A u = x Giải: Hàm vị = ∫ ( , 0, 0) Chọn ⇒ =∫3 0= +∫6 = +∫ ( , ,) + ∫ ( , , 0) + =0 +∫( 2+ + ) + = = 3+2 3 + + + −1+ + + + = +2 + ậy hàm vị = +2 + +++3 ⃗ Câu 91: Tính thơng lượng = ⃗+( 84 | : 2+ 2+ = hướng Đáp án: D Giải: Đặt = +2 , Thông lượng cần tính là: = , =3 Φ=∬ Mặt mặt cong kín giới hạn miền ( ) ′ = 1, ′ =3 , ′ =3 2 + liên tục với , , ∈ + 2 − +( +2 ) +3 ) = ∭(3 Đặt { = sin sin Miền =∫ ∫ ∫3 (sin )2 sin= Câu 92: Tính thông lượng = = + 2, − ) ≤ hướng pháp tuyến Áp dụng công thức Ostrogradsky: Φ = ∭(1 + + (3 ≤ 4, hướng (Chọn kết gần nhất) 85 +3 ) + ( ) = + ( ) Đáp án: A −17 Giải: Thông lượng cần tính: Φ=∬ Bổ sung thêm mặt Mặt =4 ′: { + ≤4 − +( ,= + cos ⇒ ′ = 2, ′ = 0, ′ = ():2+2≤ + sin ) hướng lên ∪ ′ mặt cong kín, hướng pháp tuyến ngồi giới hạn miền Đặt = 2, = − ≤4 liên tục với , , ∈ Ta có: ∪ ′ Áp dụng công thức Ostrogradsky cho Φ=∯ 1, + + −∬ ta có: Hình chiếu lên 1= : 2 + ∭( + ′ + + ) ≤ 86 = cos Đặt { = sin = =∫ ∫ ∫ =∫ ∫ 3(4− 2) ⇒ = ′ :{ = ⇒= ,( ⃗ , ) + 2≤4 ⇒ =∬( 2 ′ = ∫ ∫ 2(cos )2 = 16 ∫ (cos )2 = 16 =1 −2 = tính chất đối xứng miền , hàm ( , ) = sin (∬ sin lẻ với ) ⇒Φ=1−2 Câu 93: Tính thơng lượng = ( mặt nón Đáp án: C =1+√ + cắt hai mặt phẳng = 2, =5 Giải: Thông lượng cần tính: Φ=∬( −2 + ) −( +2 ) + Bổ sung thêm hai mặt: =2 ′ :{ + 87 ′ Mặt ∪ :{ ≥1+√ + ′′ ∪ mặt cong kín, hướng pháp tuyến trong, giới hạn miền Đặt 2≤ = ≤5 −2 + , Áp dụng công thức Ostrogradsky cho Φ= = −( ∪ ′∪ +2 ), ∯ …−∬…−∬…= 1− 2− ′′ ′ = ⇒ ′ =2 , ′ = −2 , =0 ′ =2⇒ =0 + 2≤1 :{ ′′ ⇒ =∬ :{ =∬ ′ =5⇒ =∬ = (Dùng tính chất đối xứng) , ( ⃗, ) > /2, hình chiếu ′′ lên ′′: + ≤ 16 2+ 2≤16 =∬ = (Dùng tính chất đối xứng) =0 ′′ 88 Vậy Φ = − 2− 3=0 ⃗ Câu 94: Tính thơng lượng trường vecto =2 miền giới hạn Đáp án: A + Giải: = liên tục ⇒ 1=−∭(2 −2 +0) ⇒ ′ ′′ = 0, = √1 − 2, = 0, =2 Thông lượng cần tính là: Φ=∬2 2 + − Mặt kín giới hạn miển : ≤ ≤ √1 − 2, ≤ ≤ 2, hướng pháp tuyến Đặt = −2 liên tục Áp dụng công thức Ostrogradsky: Φ = ∬2 Đặt { = = = cos sin + 0≤ ⇒ Miền : {− /2 ≤ , = − , = 2, = − ⇒ ′=4 , ′=2 , ′= = ∭(4 +2 −2 ) ≤1 ≤ /2 ≤2 0≤ 89 Φ = ∫ ∫ ∫(2 + cos ) =2 − Câu 95: Tính thơng lượng trường vecto = miền : | − | ≤ 1, | − | ≤ 1, | + | ≤ Đáp án: D Giải: Thơng lượng cần tính Φ=∬ + +2 Mặt kín giới hạn miển : | − | ≤ 1, | − | ≤ 1, | + | ≤ hướng pháp tuyến Đặt Áp dụng công thức Ostrogradsky: = , = , = /2 ⇒ ′ =3 , ′ =2 , ′ = liên tục = − Đặt { = − ⇒ { = ( + − )/2 , = 1/2 Miền : −1 ≤ ≤ 1, −1 ≤ ≤ 1, −1 ≤ ≤ 1 ⇒Φ= Câu 96: Cho trường vô hướng ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ dọc t he o đoạn thẳng nối từ ( = + + −1, −1, −1 Đáp án: A 11 Giải: 90 Tính lưu số trường vecto ) đến ( 2,4,1 ) ∭[ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ′ ′ ′) ( ) ( ) ( ) ( )⃗⃗ = ,, = + ,+ ,+ = ⃗ + + ⃗ + ⃗ + + Đoạn :{ ⃗⃗ ⃗ vecto phương AB = (3,5,2) =3 −1 ⇒ qua A(−1, −1, −1) =∫(+) +(+) : : { = − với chạy từ đến =2 −1 Lưu số cần tìm: : ⇒ + = 1, +(+) = ∫[(5 −1+2 −1).3+ (3 −1+2 −1).5+(3 −1+5 −1).2] = √1 − = giới hạn mặt cầu − = 11 Đáp án: Giải: Lưu số cần tính là: Đường cong 23 =∮ + + giới hạn phần mặt cầu : = √1 − 91 − hướng lên (Đề khơng nói chiều hiều đường cong cho chiều dương) Áp dụng cơng thức Stoke: = ∬ −3 Hình chiếu mặt lên : + 2 ≤1 = cos Đặt { = sin , = ⇒ :{ ⇒ = ∬ −3 0≤ ≤2 2 = −3 ∫ ∫ 2sin2 cos2 =⋯= 2 Câu 98: Tính lưu số = ⃗ theo đường cong giao mặt Đáp án: C 4√3 + + = mặt − + = hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ chiều dương trục Giải: Lưu số cần tính là: =∮( +3 + ) +( + −5 ) +(1+2 ) Đường cong kín chiều dương giới hạn phần mặt phẳng : − + = nằm cầu, mặt hướng lên, có vecto pháp tuyến hợp trục < /2 92 Áp dụng công thức Stoke: =∬5 − −3 Vecto pháp tuyến ⃗ = ⇒ = ∬(5 ( hình trịn qua tâm cầu) Câu 99: Tính lưu số cong giao mặt cầu + + = mặt nón có phương trình = −√ + ( − 1)2 với hướng chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc O Đáp án: B Giải: Lưu số cần tính: 2 =∮( + ) Đường cong kín :{ + + ≤4 2 +( + ) chiều âm biên phần mặt cong cầu nằm nón = − ∬(2 − ) Vecto pháp tuyến mặt ⇒ | ⃗| = √(2 )2 + (2 )2 + (2 )2 = ⇒ cos = hướng xuống theo chiều âm ≤ Áp dụng công thức Stoke: (Dấu " − " ( ,⃗ ) > /2) +( + ) + (2 − ) ⃗ = −(2 , , ) + (2 − ) Áp dụng công thức liên hệ tích phân mặt loại II tích phân mặt loại I: ⇒ =∬[ (2 − 2 Câu 100: Tính thơng lượng = (6 − mặt cong : 2 + +3 = 1, ≥ hướng lên Đáp án: Giải: Thông lượng cần tính: Φ = ∬(6 − 2 Đặt ( , , ) = + +3 ) + (2 − ) + (2 −4 ) −1 Vecto pháp tuyến ⃗ = ( | ⃗| = √4 + 16 + 36 = 2√ { Áp dụng cơng thức liên hệ tích phân mặt loại I loại II ∬ ⇒Φ=∬ + (6 − 3) + 3(2 − ) + (2 + −4 ) = ∬( cos =0 √ +4 +9 94 + cos + cos ) Tài liệu tham khảo: − − − − − Bài giảng môn Giải tích II, thầy Bùi Xuân Diệu Bài tập giải sẵn Giải tích (Tóm tắt lý thuyết chọn lọc), thầy Trần Bình Bài tập Tốn học cao cấp, tập hai: Giải tích, GS.TS Nguyễn Đình Trí (chủ biên), PGS.TS Trần Việt Dũng, PGS.TS Trần Xuân Hiền, PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Bộ đề cương Giải tích II, Viện Tốn ứng dụng Tin học Bộ đề thi Giữa kì Cuối kì mơn Giải tích II Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội 95 ... việc ơn tập Trong tinh hình đó, nhơm “BK – Đại cương mơn phai” biên soạn “BỘ TÀI LIỆU ÔN TẬP TRẮC NGHIỆM MÔN GIẢI TÍCH II? ?? để giúp bạn thuận tiện việc ơn tập Nhóm tác giả: Team Giải Tích II BK-... tungcrossroad@gmail.com Tài liệu mang tính chất tham khảo, khơng có tác dụng thay giáo trình, sách giáo khoa thống Xin chân thành cảm ơn! I Bài tập trắc nghiệm Tích phân Euler Câu 5: Tính tích phân Câu 1: Kết tích. .. Biểu diễn tích phân B Câu 10: Tính tích phân A C D D C 256 256 AI Bài tập trắc nghiệm Tích phân đường Tích phân đường loại I: Câu 11: ( x + y )ds với đoạn thẳng nối điểm (0; 0) (4; 3) Tính tích phân