TÀI LIỆU ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH - PHẦN 1_PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

[CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ TÀI LIỆU ƠN TẬP GIẢI TÍCH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Nội dung gồm phần : Phương trình vi phân cấp Phương trình vi phân cấp Hệ phương trình vi phân  Tài liệu biên soạn Ban Chuyên môn – CLB [CTCT] Chúng Ta Cùng Tiến  Đây tâm huyết anh/chị/bạn CLB [CTCT], gửi tặng đến em, bạn sinh viên K17 – Đại học Bách Khoa Tp.HCM (BKU)  Bản quyền thuộc cộng đồng Chúng Ta Cùng Tiến Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ PHẦN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Muốn làm dạng trước tiên ta phải nắm vững thục thao tác tích phân bất định Phương trình vi phân cấp chia thành dạng sau : DẠNG : TÁCH BIẾN 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 Nghiệm là: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 Dạng ta thấy cách làm từ tên nó, tức đưa vế phương trình có biến Gợi ý làm bài: dạng đề thi thường khơng có, ví chúng đơn giản, đề thi xuất phương trình vi phân cấp dạng khó chút ta đưa dạng tách biến để giải, cần nắm rõ cách làm dạng này, chúng xuất tốn có hai hình thức: Phương trình có dx, dy(dễ nhìn hơn) 𝑑𝑦 Phương trình có y’ ta viết lại 𝑦 ′ = 𝑑𝑥 Thêm lưu ý nhỏ để dễ nhận biết dạng tức ta chuyển dạng 𝑦′ = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑦) 𝑦′ = 𝑔(𝑦) 𝑓(𝑥) Hoặc Về chất dạng giống thông qua vài biến đổi đơn giản sau Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ 𝑔(𝑦) 𝐹(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑦′ = = = 𝑓(𝑥) 𝐺(𝑌) 𝑔(𝑦) Thường ta giải phương trình vi phân cấp 1(hay cấp hệ phương trình vi phân) nghiệm “dính” (hay vài) số C, đề khơng nói thêm ta kết luận nghiệm, có thêm vài kiện ví dụ y(0)=1 ta phải giải cụ thể số C Ví dụ 1.1 : Giải ptvp (2 + 3𝑦 )𝑑𝑦 − 2𝑥𝑑𝑥 = 0, 𝑦(0) = Giải : Bạn đọc tự vận dụng giải ví dụ Nghiệm phương trình 2𝑦 + 𝑦 − 𝑥 = Ví dụ 1.2 : Giải ptvp 3𝑦 𝑦 ′ = 2𝑥, 𝑦(0) = Giải : 𝑑𝑦 Gợi ý: Viết lại 𝑦 ′ = 𝑑𝑥 Nghiệm phương trình 𝑦 = √𝑥 + Ví dụ 1.3 : Giải ptvp 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦√1 − 𝑥 𝑦 ′ = Giải : Gợi ý : Ta viết lại dạng nói phần lưu ý 𝑦′ = −𝑥(𝑦 + 1) 𝑦√1 − 𝑥 𝑥 𝑥2 = √1 − 𝑦 𝑦+1 𝑑𝑦 Sau viết lại 𝑦 ′ = 𝑑𝑥 giải bình thường Ví dụ 1.4 : Giải ptvp (4𝑦 − 2𝑥)𝑦 ′ = 2(𝑥 − 2𝑦 + 1)2 , 𝑦(−1) = Giải : Hướng dẫn giải: Đặt u = x - 2y + 2𝑢2 Ta viết lại 𝑢′ = 𝑢−1 + 𝑑𝑢 Tới ta viết lại 𝑢′ = 𝑑𝑥 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Bình luận: Thật tốn ta đặt u=x-2y giải (x2y-1) nằm bình phương nên ta ưu tiện đặt u cách cho đơn giản Kinh nghiệm giải: Ở dạng tách biến đơn giản lưu ý Ví dụ 1.4 trên, nghĩa hai vế thấy xuất hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) (thường bậc theo x,y) bên lại hàm biểu diễn theo 𝑓(𝑥, 𝑦) ta đặt 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦), ví dụ ta chọn 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 2𝑦 + DẠNG : ĐẲNG CẤP 𝑦 𝑦 ′ = 𝑓( ) 𝑥 Cách giải, đặt 𝑢= 𝑦 𝑥 Khi phương trình trở thành dạng tách biến: 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑢) − 𝑢 𝑥 Dạng tách biến thường xuất hình thức (Dễ nhận ra) Khi bạn dùng tay che 𝑦′ phương trình, phương trình lại hàm đa thức hai biến 𝑓(𝑥, 𝑦), tổng bậc x,y số, ví dụ 𝑥𝑦𝑦 ′ = 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 Sau che tay ta thu 𝑥𝑦(𝑐ℎ𝑒 𝑡𝑎𝑦) = 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 Chúng ta thấy đa thức biến x,y tổng bậc x,y số hạng Nghĩa ta nhận dạng dạng đẳng cấp Sau ta đưa dạng 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑔(𝑥, 𝑦) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Trong f g hai hàm đẳng cấp bậc, đó, ta chia tử mẫu cho 𝑦 lượng 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 , a+b bậc hàm đẳng cấp nói để đưa 𝐹(𝑥 ), a,b số phù hợp với toán, Trong ví dụ ta đưa 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 𝑦 = 𝑥𝑦 ′ Ta chia tử mẫu cho xy, ứng với a=1, b=1 ta đưa dạng 𝑥 𝑦 𝑦′ = − + 𝑦 𝑥 (Ẩn thân chút) Phương trình dạng 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑔(𝑥, 𝑦) Trong f g hai hàm bậc theo x y, có thêm “hằng số dư” nữa, khơng có “hằng số dư” dạng bên 2𝑥−𝑦 Ví dụ 𝑦 ′ = 3𝑥−4𝑦+5 Như nói khơng có “hằng số dư” pt trở dạng 1, nên dạng ta cố gắng làm “hằng số dư”.(sẽ phân tích ví dụ) Đầu tiên ta phân tích dạng đẳng cấp 2.1, dạng đơn giản để nhận tác giả Ở nêu thêm vài ví dụ để bạn làm thử Ví dụ 1.5 : Giải ptvp 𝑥𝑦𝑦 ′ = 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 Giải : 𝑦 Nghiệm phương trình − 𝑥 − 𝑙𝑛|𝑥 − 𝑦| = 𝐶 Ví dụ 1.6 : Giải ptvp (𝑦 + 2𝑥𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = Giải : Gợi ý giải: Viết lại phương trình dạng 𝑥𝑦𝑦 ′ = −𝑦 − 2𝑥𝑦 𝑦 Nghiệm phương trình |𝑥 + 1| = 𝑥 𝑒 −2𝐶 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ 1.7 : Giải ptvp 𝑥𝑦 𝑦 ′ = 𝑥 + 𝑦 Giải : Nghiệm phương trình 𝑦 = 𝑥 √3(𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶) Ví dụ 1.8 : (cách giải cho dạng đẳng cấp 2.2) Giải ptvp 𝑦′ = 2𝑥 − 𝑦 3𝑥 − 4𝑦 + Ở tác giả trình bày cách giải, tới ngày thi :)), khơng cịn quan trọng chất nữa, cần biết cách làm ok :v Giải : Phần làm nháp 2𝑎 − 𝑏 = 𝑎=1 Đầu tiên ta giải hệ phương trình sau:{ →{ 𝑏=2 3𝑎 − 4𝑏 + = Trình bày thi Đặt X=x-1, Y=y-2 suy 𝑌 ′ = 𝑦′, nên phương trình viết lại thành 2𝑋 −1 2𝑋 − 𝑌 𝑋 𝑌 = = 𝑌 = 𝑓( ) 3𝑋 − 4𝑌 3𝑋 − 𝑌 𝑌 ′ Đã trở lại dạng đẳng cấp 2.1, bạn đọc tự giải tiếp  Tóm tắt cách giải sau 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑔(𝑥, 𝑦) Ta giải hệ phương trình bậc nhất(do quy ước dạng bậc nhất) { 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥=𝑎 Hệ có nghiệm {𝑦 = 𝑏 Ta đặt X=x-a, Y=y-b suy 𝑌 ′ = 𝑦 đưa dạng đẳng cấp 2.1 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ DẠNG : TOÀN PHẦN Đầu tiên phải kiểm tra điều kiện sau ∶ { 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 𝑃𝑦′ = 𝑄𝑥′ Ta phát biểu thành lời sau: Hai hàm P dính với dx Q dính với dy, hàm dính với dx đạo hàm theo y, dính với dy đạo hàm theo x, hai đạo hàm làm theo dạng toàn phần Nghiệm 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝐶, 𝑥 𝑦 𝑈(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑃(𝑥, 0) + ∫ 𝑄(𝑥, 𝑦) 0 Ta vào ví dụ để bạn đọc rõ Ví dụ 1.9 : Giải ptvp : (3𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥 + (2𝑥 − 9𝑦)𝑑𝑦 = Giải : 𝑃(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 2𝑦 Đạo hàm P theo biến y ta có 𝑃𝑦′ = Tương tự 𝑄𝑥′ = Vậy ta xét với ptvp tồn phần 𝑥 𝑦 𝑈(𝑥, 𝑦) = ∫ 3𝑥𝑑𝑥 + ∫ (2𝑥 − 9𝑦)𝑑𝑦 = Vậy nghiệm tổng quát 3𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 9𝑦 2 3𝑥 9𝑦 + 2𝑥𝑦 − 2 =𝐶 Ví dụ 1.10 : Giải ptvp : (3𝑥 𝑦 + 7)𝑑𝑥 + (2𝑥 𝑦)𝑑𝑦 = Giải : 𝑃(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 𝑦 + Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Đạo hàm P theo biến y ta có 𝑃𝑦′ = 6𝑥 𝑦 Tương tự 𝑄𝑥′ = 6𝑥 𝑦 Vậy ta xét với ptvp tồn phần 𝑥 𝑦 𝑈(𝑥, 𝑦) = ∫ 7𝑑𝑥 + ∫ 2𝑥 𝑦𝑑𝑦 = 7𝑥 + 𝑥 𝑦 0 Vậy nghiệm 7𝑥 + 𝑥 𝑦 = 𝐶 Sau vài ví dụ để bạn đọc tiếp tục nghiên cứu tốn Ví dụ 1.11 : 𝑎) 𝑦 ′ = − 2𝑥 + 𝑦𝑒 𝑥𝑦 + 𝑥𝑒 𝑥𝑦 𝑏) 𝑦 ′ = − 𝑥2 − 𝑦 𝑦2𝑥2 + 𝑥 Gợi ý câu b Viết dạng (1 − 𝑦 ) 𝑑𝑥 + (𝑦 + ) 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑥 DẠNG : TUYẾN TÍNH 𝑦 ′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥) Quy tắc chung  ℎ(𝑥) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥  Suy nghiệm 𝑦(𝑥) = (∫ 𝑓(𝑥)𝑞(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶) ℎ(𝑥) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ h(x) ta chọn hàm tùy ý Ta thấy trường hợp tổng quát dạng tách biến : Nếu q(x)=0 pt trở thành 𝑑𝑦 + 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑦 Đây dạng tách biến Ở dạng cần học thuộc công thức, nên tác giả cho vài ví dụ để bạn đọc làm thử Ví dụ 1.12 : 𝑦 𝑦 ′ − 𝑥 = 𝑥 , 𝑦(1) = 1 𝑝(𝑥) = − , 𝑞(𝑥) = 𝑥 𝑥 ℎ(𝑥) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 ∫ −𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 −ln|𝑥| = ± 𝑥 Chọn ℎ(𝑥) = 𝑥 Giải bước tương tự kiến thức học bên Vậy nghiệm phương trình 𝑦(𝑥) = 𝑥( 𝑦 𝑥2 + 𝐶) 𝑥 𝑦 ′ − 𝑥+1 = 𝑥+1 Bài bạn đọc tự giải DẠNG : BERNULLI 𝑦 ′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑦)𝑦 𝛼 , 𝛼 ≠ 0,1 (nếu 𝛼 = ℎ𝑜ặ𝑐 𝛼 = pt trở lại dạng phương trình tuyến tính) Cách làm : Đặt 𝑧 = 𝑦 1−𝛼 đưa dạng tuyến tính trở lại Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ 1.13 : Giải phương trình vi phân : 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥 𝑦 Giải : Đặt 𝑧 = 𝑦 −2 suy 𝑧 ′ = − 2𝑦 ′ 𝑦3 Thay vào phương trình ta − 𝑧′ + 2𝑥𝑧 = 𝑥𝑒 𝑥 Tới ta trở dạng tuyến tính Bình luận : Trong lúc thi chắn khơng có nói ta phải làm toán cách hay cách khác, ta biết phải giải dạng nào??? Tác giả xin gợi ý cho bạn vài cách để “xoay sở” phịng thi với tốn 1) Dựa vào kinh nghiệm : thường kinh nghiệm có dạng  Dạng 1: Làm tập nhiều đến cần nhìn vào nhận dạng  Dạng 2: Học hỏi kinh nghiệm từ anh chị, bạn có kinh nghiệm, ví dụ tác giả đưa vài lưu ý chút gọi kinh nghiệm thân 2) Liệt kê : Có thể bạn chưa có kinh nghiệm tích lũy kinh nghiệm khơng khí thi cử làm cho bạn căng thẳng khơng nghĩ gì, đừng lo làm theo dẫn o Hít thở thật sâu o Uống ngụm nước(đừng để đổ nước vào làm :v, tạch :v) o Hãy liệt kê tất bạn học phần Ví dụ bạn giải phương trình vi phân cấp 1: bạn viết dạng nó: tách biến, đẳng cấp, tồn phần, tuyến tính bernulli -Thứ giúp cho bạn giữ bình tĩnh -Thứ hai giúp bạn nhìn dạng mà làm -Nếu giả sử bạn khơng nhìn dạng, thử dạng với tốn xét(với điều kiện cịn thời gian, tốt nên cân nhắc thời gian để làm khả trước) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 10 [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Lưu ý : Các vị dụ sau, tác giả không trình bày phần tìm nghiệm nữa, thi bạn phải trình bày đầy đủ để 10 điểm giải tích Ví dụ 2.3 : (không nhất-dạng 1) 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ + 4𝑦 = (2𝑥 + 1)𝑒 −2𝑥 Giải : Nghiệm phương trình là: 𝑦0 = 𝐶1 𝑒 −2𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 −2𝑥 Ta có 𝑃(𝑥) = 2𝑥 + nên Q(x) đa thức bậc có dạng 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝛼 = −2, nghiệm kép (nghĩa trùng với nghiệm) phương trình đặc trưng nên → 𝑠 = Vậy ta có nghiệm riêng phương trình là: 𝑦𝑟 = 𝑥 𝑠 𝑄(𝑥)𝑒 𝛼𝑥 = 𝑥 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑒 −2𝑥 𝑦𝑟 ′ = (−2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑥 + 3𝑎𝑥 + 2𝑏𝑥)𝑒 −2𝑥 𝑦𝑟 ′′ = (4𝑎𝑥 + 4𝑏𝑥 − 12𝑎𝑥 − 8𝑏𝑥 + 6𝑎𝑥 + 2𝑏)𝑒 −2𝑥 Thay vào phương trình cho ta có 𝑦𝑟 ′′ + 4𝑦𝑟 ′ + 4𝑦𝑟 = (2𝑥 + 1)𝑒 −2𝑥 Từ ta có: (−8𝑏𝑥 + 6𝑎𝑥 + 2𝑏) + 4.2𝑏𝑥 + = 2𝑥 + Đồng hệ số vế ta −8𝑏 + 6𝑎 + 8𝑏 = →{ 2𝑏 = 1 →{ 𝑏= 𝑎= Vậy nghiệm 1 𝑦 = 𝐶1 𝑒 −2𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 −2𝑥 + 𝑥 ( 𝑥 + )𝑒 −2𝑥 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 16 [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ 2.4 : (khơng nhất-dạng 1) 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ − 4𝑦 = 2𝑥𝑒 −𝑥 Giải : Nghiệm phương trình là: 𝑦0 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 𝑒 4𝑥 Ta có 𝑃(𝑥) = 2𝑥 nên Q(x) đa thức bậc có dạng 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝛼 = −1, nghiệm đơn (nghĩa trùng với nghiệm) phương trình đặc trưng nên → 𝑠 = Vậy ta có nghiệm riêng phương trình là: 𝑦𝑟 = 𝑥 𝑠 𝑄(𝑥)𝑒 𝛼𝑥 = 𝑥1 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑒 −𝑥 𝑦𝑟 ′ = (−𝑎𝑥 + 2𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 + 𝑏)𝑒 −𝑥 𝑦𝑟 ′′ = (𝑎𝑥 − 4𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 2𝑎 − 2𝑏)𝑒 −𝑥 Thay vào phương trình cho ta có 𝑦𝑟 ′′ − 3𝑦𝑟 ′ − 4𝑦𝑟 = 2𝑥𝑒 −𝑥 Đồng hệ số vế ta 𝑎 = −5 −10𝑎 = →{ →{ 2𝑎 − 5𝑏 = 𝑏=− 25 Vậy nghiệm 𝑦 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 4𝑥 + 𝑥(− 𝑥 − )𝑒 −𝑥 25 Ví dụ 2.5 : (khơng nhất-dạng 1) 𝑦 ′′ + 4𝑦 = (2𝑥 + 3)𝑒 −2𝑥 Giải : Nghiệm phương trình là: 𝑦0 = 𝐶1 cos(2𝑥) + 𝐶2 sin(2𝑥) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 17 [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ta có 𝑃(𝑥) = 2𝑥 + nên Q(x) đa thức bậc có dạng 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝛼 = −2, không nghiệm (nghĩa trùng với nghiệm) phương trình đặc trưng nên → 𝑠 = Vậy ta có nghiệm riêng phương trình là: 𝑦𝑟 = 𝑥 𝑠 𝑄(𝑥)𝑒 𝛼𝑥 = 𝑥 (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑒 −2𝑥 𝑦𝑟 ′ = (−2𝑎𝑥 + 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑥 + 𝑏 − 2𝑐)𝑒 −2𝑥 𝑦𝑟 ′′ = (4𝑎𝑥 − 8𝑎𝑥 + 4𝑏𝑥 + 2𝑎 − 4𝑏 + 4𝑐)𝑒 −2𝑥 Thay vào phương trình cho ta có 𝑦𝑟 ′′ + 4𝑦𝑟 = (2𝑥 + 3)𝑒 −2𝑥 Đồng hệ số vế ta 𝑎=4 8𝑎 = → { −8𝑎 + 8𝑏 = → 2𝑎 − 4𝑏 + 8𝑐 = 𝑏=4 { 𝑐 = 16 Vậy nghiệm 1 𝑦 = 𝐶1 cos(2𝑥) + 𝐶2 sin(2𝑥) + ( 𝑥 + 𝑥 + )𝑒 −2𝑥 4 16 Lưu ý: Nguyên lý chồng chất nghiệm: Nếu 𝑦𝑟1 𝑦𝑟2 nghiệm riêng phương trình 𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 𝑓1 (𝑥) 𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 𝑓2 (𝑥) Khi nghiệm riêng phương trình 𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 𝑓1 (𝑥) + 𝑓2 (𝑥) Chính 𝑦𝑟 = 𝑦𝑟1 + 𝑦𝑟2 Bạn đọc tự áp dụng vào ví dụ sau Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 18 [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ 2.6 : (khơng dạng 1-áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm) 𝑦 ′′ + 6𝑦 ′ + 8𝑦 = 𝑥(𝑒 −𝑥 + 𝑒 −2𝑥 ) Mẹo hay làm dạng này: Nếu vế trái phương trình vi phân cấp có lũy thừa số e khác ta áp dụng ngun lý chồng chất nghiệm nói trên, hai hàm số lũy thừa độc lập tuyến tính với nhau(muốn biết độc lập tuyến tính gì, mời bạn đọc xem sách giáo khoa giải tích để biết thêm) Chúng ta thêm số trường hợp dùng nguyên lý ví dụ sau o Phương trình vi phân cấp khơng – Dạng : 𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝑎𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥) (2) 𝑦𝑟 = 𝑥 𝑠 𝑒 𝛼𝑥 (𝐴𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥) Trong s số nghiệm trùng 𝛼 + 𝛽𝑖 với phương trình đặc trưng (*) Trong dạng này, ta giải hệ số A,B thỏa phương trình sau: 𝑦𝑟 ′′ + 𝑝𝑦𝑟 ′ + 𝑞𝑦𝑟 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝑎𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥) Ví dụ 2.7 : (không nhất-dạng 2) 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑒 2𝑥 sin(𝑥) Giải : Nghiệm phương trình là: 𝑦0 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑥 Ta có 𝛼 + 𝛽𝑖 = + 𝑖 Không nghiệm phương trình đặc trưng(nghĩa trùng với khơng nghiệm) nên 𝑠 = Nên 𝑦𝑟 = 𝑒 2𝑥 (𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥) 𝑦𝑟 ′ = 𝑒 2𝑥 (3𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 19 [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ 𝑦𝑟 ′′ = 𝑒 2𝑥 (3𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥 − 4𝐴𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥) Thay vào phương trình 𝑦𝑟 ′′ + 𝑝𝑦𝑟 ′ + 𝑞𝑦𝑟 = 𝑒 2𝑥 sin(𝑥) Ta tìm { 𝐴 = −2 𝐵=0 Vậy nghiệm 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑒 2𝑥 (− ) 𝑐𝑜𝑠𝑥 Ví dụ 2.8 : (khơng nhất-dạng 2) 𝑦 ′′ + 𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 Đáp số: 𝑦 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑥(−𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥) Ví dụ 2.9 : (khơng nhất-dạng 2-áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm) 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 9𝑦 = 𝑒 3𝑥 (𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥) Lưu ý: Ta nhận thấy có hàm đa thức hàm lượng giác sinx(chúng độc lập tuyến tính, nên ta phải tách chúng áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm) o Phương trình vi phân cấp không – Dạng : 𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝑃(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑄(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥) (3) 𝑦𝑟 = 𝑥 𝑠 𝑒 𝛼𝑥 (𝐻(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐾(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥) Trong s số nghiệm trùng 𝛼 + 𝛽𝑖 với phương trình đặc trưng (*) H(x),K(x) đa thức có bậc bậc lớn P(x) Q(x) Trong dạng này, ta giải hệ số H(x),K(x) thỏa phương trình sau: 𝑦𝑟 ′′ + 𝑝𝑦𝑟 ′ + 𝑞𝑦𝑟 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝑃(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑄(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥) Ta thấy thực chất dạng kết hợp dạng dạng 2, hay nói cách khác tổng quát hóa hai dạng nói trên: Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 20 [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Khi cho 𝛽 = 0, dạng trở dạng Khi cho P(x) Q(x) đa thức có bậc dạng trở dạng Nói cách khác, thi ta cần nhớ cách giải dạng ta làm tất phương trình vi phân cấp Những năm gần đây,đề thi thường xuất dạng dạng 2, thấy dạng 3, có dạng hàm P(x) Q(x) đề cho đơn giản(nếu khơng đơn giản xui : ))) Mời bạn đọc giải thử số ví dụ sau: Ví dụ 2.10 : 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ + 3𝑦 = 𝑒 −3𝑥 (𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥) Gợi ý giải Dùng nguyên lý chồng chất nghiệm Ví dụ 2.11 : 𝑦 ′′ + 3𝑦 ′ − 4𝑦 = 𝑒 −𝑥 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 Gợi ý giải Đây khơng nhất-dạng với P(x)=0 (Đây dạng đơn giản dạng mà tác giả muốn đề cập bên trên) Ví dụ 2.12 : 𝑦 ′′ + 6𝑦′ + 9𝑦 = 𝑒 −3𝑥 + (𝑥 + 2𝑥) + 𝑠𝑖𝑛𝑥 Gợi ý giải -Áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm -Đây trường hợp riêng dạng dạng *Đối với 𝑒 −3𝑥 áp dụng với dạng P(x)=1, áp dụng với dạng a=b=0 *Đối với (𝑥 + 2𝑥) áp dụng với dạng 𝛼 = *Đối với 𝑠𝑖𝑛𝑥 áp dụng với dạng 𝛼 = 0, a=0 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 21 [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ 2.13 : 𝑦 ′′ + 𝑦 = sin(𝑥) cos(3𝑥) Bài tốn Hồng Hải Hà cho đề tài matlab giải tích ca tác giả khơng nhớ rõ :))) Có nhiều bạn thắc mắc tốn chí chưa biết cách giải tay, làm matlab Nên tác giả xin hướng dẫn gợi ý nhỏ sau: Do sin(𝑥) cos(3𝑥) không thuộc loại dạng không trên, ta thấy có e mũ nhân với đa thức nhân với sin cos, ta chưa thấy có hai hàm lượng giác nhân nhau, ta phải tách ghép thành hay tổng(hiệu) hàm lượng giác Từ ý tưởng ta tách thành tổng hai hàm lượng giác sau: sin(𝑥) cos(3𝑥) = (sin(4𝑥) − sin(2𝑥)) 1 Sau ta giải nghiệm riêng phương trình với sin(4𝑥) sin(2𝑥), dễ thấy chúng độc lập tuyến tính với 22 1 Đáp số: 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 15 sin(𝑥) − 30 sin(4𝑥) − sin(2𝑥) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 22 [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Do năm số lớp chưa học đại số tuyến tính nên ta học giải hệ phương trình vi phân phương pháp khử Nội dung phương pháp khử Đưa hệ phương trình vi phân phương trình vi phân cấp cao cách đạo hàm phương trình khử hàm chưa biết Từ giải nghiệm phương trình vi phân lại vào hệ để tìm hàm khác Ưu điểm: Giải hệ phương trình nhanh Nhược điểm: Rất khó giải hệ nhiều phương trình, nhiều hàm Chúng ta tạm chia thành loại hệ phương trình vi phân đề thi: Hệ phương trình ẩn 𝑥1 , 𝑥2 , giải ta thường thu phương trình vi phân cấp dạng khơng nhất(để giải xem lại dạng bên trên) Hệ phương trình ẩn 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , giải ta thường thu phương trình vi phân cấp dạng khơng nhất(ít gặp hơn) (chúng ta bổ sung kiến thức cho phương trình vi phân cấp phần ví dụ) Ta vào ví dụ để làm rõ phương pháp o Loại 1-hệ phương trình ẩn Ví dụ 3.1 : Giải hệ phương trình { 𝑥1′ = 𝑥1 + 2𝑥2 (1) 𝑥2′ = 4𝑥1 + 3𝑥2 (2) Giải : (2)-4*(1) (Ta quy ước: điều có nghĩa phương trình (2) trừ lần phương trình 1) −4𝑥1′ + 𝑥2′ = −5𝑥2 (∗) (2)’(Ta quy ước: điều nghĩa lấy đạo hàm vế phương trình (2) ) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 23 [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ 𝑥2′′ = 4𝑥1′ + 3𝑥2 ′ Thay vào (*) ta 𝑥2′′ − 4𝑥2′ − 5𝑥2 = Từ ta giải 𝑥2 (𝑡) = 𝐶1 𝑒 −𝑡 + 𝐶2 𝑒 5𝑡 Thay vào (2), ta 𝑥1 (𝑡) = −𝐶1 𝑒 −𝑡 + 𝐶2 𝑒 5𝑡 Lưu ý: Ta không ghi nghiệm 𝑥1 (𝑡) = 𝐶1 𝑒 −𝑡 + 𝐶2 𝑒 5𝑡 Vì số bạn làm phương trình vi phân cấp cấp có “thói quen”, số số nên đến đặt số 𝐶1 , 𝐶2 , ta thấy điều khơng 𝑥1 , 𝑥2 phụ thuộc tuyến tính nên phải thay vào giải hệ phương trình bình thường ta làm Ta làm rõ ví dụ trên: -Đầu tiên ta khử 𝑥1 , bước tương tự khử biến giải hệ phương trình làm cấp (xem 𝑥1 , 𝑥2 biến) -Tiếp theo làm xuất 𝑥1′ từ đạo hàm phương trình (2) để thay vào phương trình khử 𝑥1 , ta có phương trình cấp theo 𝑥2 Ví dụ 3.2 : Giải hệ phương trình { 𝑥1′ = 3𝑥1 + 𝑥2 + 𝑒 𝑡 (1) 𝑥2′ = 2𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑡 (2) Giải : (2)-2*(1) −2𝑥1′ + 𝑥2′ = 4𝑥1 + 𝑡 − 2𝑒 𝑡 (∗) (1)’ 𝑥1′′ = 3𝑥1′ + 𝑥2′ + 𝑒 𝑡 Thay vào (*) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 24 [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ta 𝑥1′′ − 5𝑥1′ + 4𝑥1 = 𝑡 − 𝑒 𝑡 Giải nghiệm 𝑥1 (𝑡) = 𝐶1 𝑒 𝑡 + 𝐶2 𝑒 4𝑡 + 𝑒 𝑡 𝑡𝑒 𝑡 𝑡 + + + 16 Thay lại vào (1) ta tìm 𝑥2 (𝑡) = −2𝐶1 𝑒 𝑡 + 𝐶2 𝑒 4𝑡 − 8𝑒 𝑡 2𝑡𝑒 𝑡 3𝑡 11 − − − 16 Ví dụ tương tự Ví dụ 3.1 có thêm vài hàm nên phương trình vi phân thu dạng không o Loại 2-hệ phương trình vi phân ẩn Bổ sung kiến thức giải phương trình vi phân cấp 3: Nghiệm phương trình vi phân cấp nhất: 𝑦 ′′′ + 𝑝𝑦 ′′ + 𝑞𝑦′ + 𝑟𝑦 = Giải nghiệm phương trình đặc trưng: 𝑘 + 𝑝𝑘 + 𝑞𝑘 + 𝑟 = 0(*) (*) có nghiệm phân biệt 𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3 , nghiệm 𝑦0 = 𝐶1 𝑒 𝑘1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑘2 𝑥 + 𝐶3 𝑒 𝑘3 𝑥 (*) có nghiệm kép 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 nghiệm đơn 𝑘3 , nghiệm 𝑦0 = 𝐶1 𝑒 𝑘𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑘𝑥 + 𝐶3 𝑒 𝑘3 𝑥 (*) có nghiệm bội 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘3 = 𝑘 𝑦0 = 𝐶1 𝑒 𝑘𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑘𝑥 + 𝐶3 𝑥 𝑒 𝑘𝑥 (*) có nghiệm phức 𝑘 = 𝛼 ± 𝛽𝑖 nghiệm đơn 𝑘3 (hiển nhiên k có trường hợp nghiệm phức pt bậc có nghiệm thực) 𝑦0 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝐶1 cos(𝛽𝑥) + 𝐶2 sin(𝛽𝑥)+𝐶3 𝑒 𝑘3 𝑥 Cịn dạng phương trình vi phân cấp không nhất, tác giả để lại cho bạn đọc suy nghĩ thêm