Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích làm sáng tỏ hệ thống kiến thức về phương trình, bất phương trình vô tỉ ở trường phổ thông để hình thành cho học sinh phương pháp giải các dạng toán này một cách chủ động, tự tin và khoa học.
PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1. Với mục tiêu “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có tri thức và tay nghề, có năng lực thực hành, năng động, sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần u nước, u chủ nghĩa xã hội " (Trích văn kiện Đại hội Đảng tồn quốc lần thứ VII). Tại Hội nghị Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khóa XI), ngày 29/10/2012 cũng đã ban hành Kết luận số 51 KL/TW về Đề án “Đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng u cầu cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế”. Trong những năm qua giáo dục nước ta đã và đang có những đổi mới mạnh mẽ cả về nội dung, phương pháp và đã thu được những kết quả khả quan 2. Việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạo những con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt. Đổi mới phương pháp dạy học khơng chỉ trong các bài giảng lí thuyết, mà ngay cả trong q trình luyện tập. Luyện tập ngồi việc rèn luyện kỹ năng tính tốn, kỹ năng suy luận mà thơng qua qua đó cịn giúp học sinh biết tổng hợp, khái qt các kiến thức đã học, sắp xếp các kiến thức một cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập một cách năng động sáng tạo 3. Về mặt phương pháp, từ các phương pháp dạy truyền thống như phương pháp dùng lời (thuyết trình, đàm thoại ), các phương pháp trực quan, các phương pháp thực hành, luyện tập đến các xu hướng dạy học hiện đại như: dạy học giải quyết vấn đề, lý thuyết tình huống, dạy học phân hóa, dạy học có sự hỗ trợ của cơng nghệ thơng tin, có sử dụng máy tính đã tạo ra một khơng khí học tập hồn tồn mới. 4. Với tinh thần đó, tơi cũng đã có những đổi mới về mặt phương pháp giảng dạy để phù hợp với giáo dục trong giai đoạn hiện nay. Trong cơng tác giảng dạy, tơi đã ln trau dồi, tích luỹ kinh nghiệm qua từng bài học, qua từng tiết dạy cũng như đã dự nhiều tiết dạy của đồng nghiệp giúp tơi ngày càng hồn thiện từ đó giúp các em học sinh hăng say trong tìm tịi nghiên cứu và học tập, các em đã linh hoạt và sáng tạo hơn trong con đường chiếm lĩnh tri thức của mình II. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Qua đề tài này, tác giả cố gắng làm sáng tỏ hệ thống kiến thức về phương trình, bất phương trình vơ tỉ trường phổ thơng để hình thành cho học sinh phương pháp giải các dạng tốn này một cách chủ động, tự tin và khoa học III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Các bài tốn về phương trình, bất phương trình vơ tỉ trường THPT thường gặp trong các kỳ thi THPT Quốc Gia và thi HSG. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách bài tập, Sách tham khảo, đề thi THPT, đề thi HSG và các tài liệu liên quan 2. Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ của đồng nghiệp, quan sát việc dạy và học phần bài tập này 3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành trên các tập thể lớp PHẦN HAI: NỘI DUNG A. CỞ SỞ LÝ LUẬN: Muốn giải một bài tốn ta thường thực hiện 2 bước: Bước 1: Huy động kiến thức: Là một thao tác tư duy nhằm tái hiện các kiến thức có liên quan với bài tốn, từ lý thuyết, phương pháp giải, các bài tốn đã gặp, do đó người làm tốn phải biết và cần biết ý tưởng kiểu như: ta đã gặp bài tốn nào gần gũi với bài tốn này hay chưa? Nhà bác học Polia đã viết ra một quyển sách kinh điển với nội dung: "Giải bài tốn như thế nào trong đó ơng có đề cập đến nội dung trên như một điều kiện thiết yếu” Bước 2: Tổ chức kiến thức: Là một tổ hợp các hành động, thao tác để sắp xếp các kiến thức đã biết và các u cầu của bài tốn lên hệ với nhau như thế nào để từ đó trình bày bài tốn theo một thể thống nhất. Có nhiều cách lựa chọn cho việc tổ chức kiến thức mà trong đó phương pháp tương tự hay tổng qt hóa là những thao tác tư duy cần thiết cho người làm tốn. B. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1. Trong chương trình Tốn cấp THCS và THPT học sinh thường gặp nhiều bài tốn về phương trình và bất phương trình vơ tỉ (có ẩn trong dấu căn thức). Như vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để có thể giải tốt đượ c loại tốn này? Để trả lời đượ c câu hỏi đó bản thân học sinh cần có kiến thức và nắm vững kỹ năng giải tốn. Song hiểu theo cách nói là một lẽ, nhưng để giải quyết tốt loại tốn này lại là một vấn đề khơng dễ. Khi làm các bài tập dạng này đa số học sinh cịn gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt ch ẽ d ẫn đến khơng có kết quả tốt, hoặc nếu có thì kết quả cũng khơng cao. 2. Với những đặc điểm như vừa nêu, tơi cũng đã nghiên cứu, tìm tịi qua nhiều tài liệu, suy nghĩ nhiều giải pháp với mong muốn giúp các em học sinh có thể tiếp cận các bài tốn về phương trình, bất phương trình vơ tỉ một cách đơn giản, nhẹ nhàng nhưng vẫn đảm bảo các u cầu cần thiết của đối với nội dung này, giúp học sinh có cái nhìn cụ thể, rõ ràng hơn đối với một trong những vấn đề khó ở trường phổ thơng, bởi vậy tơi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh gi ải ph ương trình, bất phương trình vơ tỉ trong thi tốt nghi ệp THPT Qu ốc Gia và thi học sinh Giỏi ”. Tơi mong rằng qua đề tài này có thể góp phần làm tăng thêm khả năng tư duy khoa học, khả năng thực hành, kỹ năng giải tốn về phương trình và bất phươ ng trình vơ tỉ của phần đa các em học sinh C. CÁC GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP THU KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Những định lý về dấu thường được sử dụng: 1.1. Định lý về dấu nhị thức bậc nhất: b a Cho nhị thức f ( x) = a.x + b ( a, b ι R, a ) có nghiệm x0 = − Khi đó dấu của f ( x) được thể hiện tóm tắt qua bảng sau: − x0 + x Dấu f ( x) của trái dấu hệ số a 0 cùng dấu hệ số a 1.2: Định lý về dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức f ( x) = a.x + b.x + c ( a, b, c ι R; a ). Kí hiệu ∆ = b − 4ac ( hoặc ∆ ' = b '2 − ac ). Khi đó: + Nếu ∆ < thì tam thức cùng dấu hệ số a với ∀x ﾡ (có nghĩa là a f ( x) > ∀x ﾡ ) + Nếu ∆ = tam thức dấu hệ số a với ∀x ι ﾡ , x − a f ( x) > ∀x − b ) 2a + Nếu ∆ > thì tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = b (nghĩa là 2.a −b − ∆ −b + ∆ , x2 = 2a 2a Khi đó dấu của tam thức được thể hiện tóm tắt qua bảng sau x − x1 x2 + Dấu của f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a 2. Các bước thực hiện giải một phương trình, bất phương trình vơ tỉ Bước 1: Nêu điều kiện xác định hoặc điều kiện nghiệm (nếu có) Bước 2: Dùng các phép biến đổi tương đương để khử dần các căn thức Bước 3: Đưa về một hệ gồm các phương trình, bất phương trình đơn giản và giải hệ thu được đó Bước 4: Lấy giao các tập nghiệm vừa tìm được để xác định tập nghiệm cho bài tốn ban đầu (có thể sử dụng trục số để lấy nghiệm) 3. Các phương trình, bất phương trình vơ tỉ cơ bản: Dạng 1. Phương trình f ( x) = g ( x) (1). Đối với phương trình dạng (1) ta đưa về giải hệ sau g ( x) f ( x) = [g ( x )]2 Ví dụ 1: Giải phương trình 3x − x + = x − Lời giải: Phương trình tương đương với hệ 2x − x − x + = (2 x − 2) x x Vậy, tập nghiệm PT là x = �x = x − 4x + = S = { 1;3} Ví dụ 2: Giải phương trình − x + x − = x − Lời giải: Phương trình tương đương với hệ 2x − − x + x − = x − 20 x + 25 2 x − 24 x + 28 = x 14 � 14 � � x = Vậy S = � � 14 �5 x = �x = x Dạng 2. Bất phương trình f ( x) g ( x) (2) g ( x) Đối với bất phương trình dạng (2) ta đưa về giải hệ f ( x) f ( x) [ g ( x) ] Ví dụ 3: Giải bất phương trình x − x + < x + (3) x +1 > Lời giải: Bất phương trình (3) � x − x + �0 x − x + < ( x + 1) Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = x > −1 −x ڳ1 x 6x − > x − Lời giải: Bất phương trình tương đương với hai hệ sau: x−3 x2 − x (A) và (B) x−3< x − x > ( x − 3) *) Hệ (A) ta có x �ڳ x x 2x > �9 � � � ;0] � ; +�� Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = ( −�� Ví dụ 6: Giải bất phương trình x − x + + x Lời giải: Bất phương trình đã cho được viết lại x − x + − x (6) Bất phương trình (6) tương đương với hai hệ sau: − 2x x2 − x + (A) và (B) − 2x < x − x + (3 − x) ∀x ﾡ x * Giải hệ (A) ta � x > * Giải hệ (B) ta x> 3x − x + 2 � x Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là S = � � ;+ � � II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG VẬN DỤNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ TRONG THI THPT QUỐC GIA VÀ THI HỌC SINH GIỎI Phương pháp 1: Nâng lũy thừa và các phép biến đổi tương đương để đưa các phương trình, bất phương trình về một hệ 1. Thuật tốn chung: Bước 1: Nhận dạng đặc điểm bài tốn, nêu điều kiện xác định (ĐKXĐ) Bước 2: Biến đổi để hai vế cùng khơng âm, nếu cần Bước 3: Nâng lũy thừa (thường là bậc hai) hai vế để khử dần các căn thức Bước 4: Gộp các điều kiện lại để được một hệ gồm các PT, BPT cơ bản. Bước 5: Giải hệ thu được để từ đó xác định tập nghiệm của bài tốn 2. Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình 2( x + 4) − x = x + (1) Lời giải: Điều kiện xác định: x Ta có (1) � 2( x + 4) = x + + x � 2( x + 4) = x + + (2 x + 3)(2 x) + x � (2 x + 3)(2 x) = − x Ta có (1’) − 2x 4(2 x + 3)(2 x) = (5 − x) x 2 12 x + 44 x − 25 = (1’) �1 � � x = Vậy, tập nghiệm là S = � � 25 �2 x = �x = − x Ví dụ 2: Giải bất phương trình x + − x − x (2) Lời giải: Điều kiện xác định: x Ta có (2) � x + � x − + x � x − x �2 − x (2’), vì x � � − x �0 , do đó BPT 4 (2’) ln thỏa mãn. Vậy, tập nghiệm cần tìm là S = [ ; + ) Ví dụ 3: Giải bất phương trình x + − x − Lời giải: Điều kiện xác định: x x − (3) Ta có (3) � x + � x − + x − � x + �3x − + 2 x − x − � x − x + �3 − x (3’) 3− x x x2 + x − (3’) � x − x + �0 2 x − x + (3 − x) x 3 � 2 −3 x � � x � � Tập nghiệm của bất phương trình là S = � ; � Ví dụ 4: Giải phương trình x − x + x − x = x + 3x (4) x2 − x x x=0 x −3 Lời giải: Điều kiện: x − x �� x + 3x Bình phương cả hai vế phương trình đã cho ta được ( x − x) + ( x − x) + x − x x − x = x + x � x − x x − x = x − x x − x2 0 4( x − x)( x − x) = (6 x − x ) � x x =0 x=0 � 3x = 28 x= 21 � 21 � � � � Vậy, tập nghiệm của phương trình là S = �0; Ví dụ 5: Giải bất phương trình 2( x2 − 16) x−3 + x−3 > 7− x x−3 (5) x2 − 16 ۳ x Lời giải: Điều kiện: x−3> Biến đổi bất phương trình về dạng 2( x2 − 16) + x − > − x � 2( x2 − 16) > 10 − 2x (5’) 10 − 2x < Bất phương trình (5’) � 10 − 2x � 2( x2 − 16) > (10 − 2x)2 x>5 10 − 34 < x Vậy, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = ( 10 − 34; + � x > 10 − 34 ) Ví dụ 6: Giải bất phương trình −3x + x + + < (6) x 3x2 + x + 4 � −1 �x � , x �0 Lời giải: Điều kiện: x Ta xét theo hai trường hợp sau: Trường hợp 1: < x , khi đó (6) � −3x + x + < x − (6.1) 2x − > x >1 � −1 �x � � < x � −3 x + x + < (2 x − 2) 2 7x − 9x > Ta có (6.1) � −3x + x + �0 Trường hợp 2: −1 x < , bất phương trình (6) � −3x + x + > x − (6.2) Bất phương trình (6.2) ln ln đúng (vì x − < ∀x < ) Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = [ − 1;0) (0; ] Nhận xét: Đối với các bất phương trình có chứa cả ẩn mẫu thức, ta có thể chia miền xác định của bài tốn để xét Phương pháp 2: Dùng ẩn phụ để đưa về một phương trình, hệ phương trình hoặc một bất phương trình đơn giản 1. Thuật toán chung: Bước 1. Đặt t = f ( x) (hoặc t = a f ( x) + b g ( x) + ) , với f ( x), g ( x), là các biểu thức của x và a, b, là các hằng số. Nêu điều kiện cho t (nếu cần) Bước 2. Đưa bài tốn về phương trình, bất phương trình ẩn t. Giải bài tốn theo t Bước 3. Với mỗi giá trị nghiệm thỏa mãn, thay trở lại để tìm x. Kết luận tập nghiệm 2. Các trường hợp thường gặp trong đối với cách đặt ẩn phụ: Loại 1: Trong phương trình, bất phương trình có chứa: f ( x) , f ( x) * Trong trường hợp này ta thường đặt t = f ( x) Ví dụ 1: Giải phương trình x + x + = − x − x Lời giải: Đặt t = x + x + ( t ) � t = x + x + Phương trình trở thành t + t − = � t = �t = −3 Vì t nên ta chọn t = � x + x + = � x + x = Giải phương trình ta được x = 0, x = −2 Ví dụ 2: Giải bất phương trình ( x + 1) ( x + ) < x + x + 28 Lời giải: Đặt t = x + x + 28 ( t ) � t = x + x + 28 Bất phương trình trở thành t − 5t − 24 < � −3 < t < Vì t nên ta có t < � x + x − 36 < � −9 < x < Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (−9; 4) Loại 2: Phương trình, bất phương trình đã cho hoặc biến đổi về dạng ( A( A f ( x) f ( x) ) g ( x) ) + B g ( x ) + B f ( x).g ( x ) + C.h( x) = (hoặc f ( x).g ( x ) + C.h( x) Trong đó: A, B, C là các hằng số, f ( x), g ( x), h( x) là các biểu thức của x * Trong trường hợp này ta thường đặt t = f ( x) trình, bất phương trình về ẩn t g ( x) rồi biến đổi đưa phương Ví dụ 3: Giải phương trình 2( x − 1)( x + 2) + = (3 − x − x ) x + x + Lời giải: Điều kiện xác định: x ﾡ Phương trình tương đương với 2( x + x + 2) − = [5 − ( x + x + 2)] x + x + Đặt t = x + x + ( t ). Phương trình trở thành 2t − = (5 − t )t � t + 2t − 5t − = � (t − 2)(t + 1)(t + 3) = � t = (vì t ) từ ta x + x + = � x + x − = � x = −2 �x = Vậy, tập nghiệm của phương trình là S = { −2;1} Ví dụ 4: Giải phương trình − x + x + x − x = Lời giải: Điều kiện xác định: x Đặt t = − x + x � t = + 2 x − x (với t ), phương trình trở thành t+ 5 12 t − ) = � t + t − 12 = � t = hoặc t = − ( 2 Do t nên ta chọn t = � x − x = � x − x + = � x = Ví dụ 5: Giải phương trình + x − − x + 4 − x = 10 − 3x Lời giải: Điều kiện xác định −2 x Đặt t = + x − 2 − x � t = + x − 4 − x + − x t =0 t =3 phương trình trở thành 3t + 10 − t = 10 � t − 3t = * t = � + x − 2 − x = � + x = 2 − x � x = (thỏa mãn điều kiện) * t = � + x − 2 − x = � + x = + 2 − x � + x = + 12 − x + 4(2 − x) � 12 − x = x − 15 ( PT này vô nghiệm do x �2 � VP = x − 15 < �VT ) �6 � �5 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = � � Loại 3: Sử dụng kỹ thuật nhân, chia cho một đại lượng (khác 0) để xuất hiện ẩn phụ 10 Ví dụ 6: Giải phương trình x − x + + x + 11x + = x Lời giải: Điều kiện x *Xét x = khơng thỏa mãn phương trình *Xét x , chia hai vế của phương trình cho x ta được phương trình x −1 + 4 + x + 11 + = x x x+ 4 − + x + + 11 = x x x Đặt t = x + − ( t ), phương trình trở thành t + 12 + t = � t + 12 = − t 6−t t + 12 = (6 − t ) 2 � t 4 � t = Với t = � x + − = � x + − = t=2 x x x = Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = { 1; 4} x=4 � x2 − 5x + = Ví dụ 7: Giải bất phương trình x + + x − x + x Lời giải: Điều kiện x * Xét x = : thỏa mãn bất phương trình * Xét x , chia hai vế của bất phương trình cho x ta được x+ 1 + x+ −4 x x t + t2 − Đặt t = x + ( t > ), bất phương trình trở thành x � t − �3 − t � − t < hoặc Với t � � x + � ۳ x x hoặc x 3−t t −6 ( 3−t) 1 >� x �ڳ Giải ra ta được t x 4 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = [0; ] �[ 4; +�) Ví dụ 8: Giải phương trình x − x + = x3 + Lời giải: Điều kiện x −2 Phương trình được biến đổi thành 2( x − x + 4) − 2( x + 2) − ( x + 2)( x − x + 4) = Chia hai vế của phương trình cho x − x + > ta được 2( x + 2) 2( x + 2) x+2 −3 = Đặt t = ( t ), phương trình trở 2 ( x − x + 4) ( x − x + 4) x − 2x + 1 thành 2t + 3t − = � t = �t = −2 Do t nên ta chọn t = 2 2− � x+2 x+2 = � x2 − 6x − = = � 2 x − 2x + 4 x − 2x + x = − 13 x = + 13 11 Ví dụ 9: Giải bất phương trình ( x − 1)2 + x3 − Lời giải: Điều kiện x Bất phương trình được biến đổi thành � 1− ( x + x + 1) − 2( x − 1) − ( x − 1)( x + x + 1) x −1 ( t x + x +1 Đặt t = 3( x − 1) x −1 −2 �0 ( x + x + 1) x + x +1 t−ڣڣڣڣڣ۳ t ), khi đó bất phương trình trở thành 3t + 2t − Do t nên ta chọn t x −1 x + x +1 x −1 ۳ x + x +1 � x − x + 10 �0 − 6; + � � − �x �4 + Vậy, tập nghiệm của BPT là S = � � � Ví dụ 10: Giải bất phương trình x − x − 20 + x 5x − x − Lời giải: Điều kiện x Bình phương hai vế ta được x − x − 20 + x + x ( x − x − 20) x − x − � x( x − x − 20) �2 x( x − 2) − 2( x + 1) Chia hai vế bất phương trình cho x + > ta được x( x − 2) ( t x +1 Đặt t = x( x − 2) x +1 x( x − 2) −2 x +1 ), khi đó bất phương trình trở thành 2t − 3t − Do t nên ta chọn t ۳ x( x − 2) x +1 � x − x − �0 x+ڳ3 13 t−ڣڣڣڣڣ۳ t x− Kết hợp điều kiện xác định ta suy ra tập nghiệm của BPT là S = + 13; + 13 ) Loại 4: Sử dụng hai ẩn phụ để chuyển về một hệ đơn giản Ví dụ 11: Giải phương trình 3x − − x − = Đặt 3x − = u, x − = v với u Lời giải: Điều kiện x 0, v � u = 3x − , v = x − � 2u − 3v = −1 Khi đó ta thu được hệ 2u − v = v = 2u − 2u − 3v = −1 10u − 12u + = 2 u =1 u = 1/ hoặc v =1 v = −3 / Do điều kiện đối với u, v nên ta chọn u =1 � 3x − = x − = � x = v =1 Ví dụ 12: Giải phương trình x + + (1 − x)(4 x + 5) = − − x Lời giải: Điều kiện − x Đặt x + = u , − x = v với u 0, v � u + v = 12 (u + v) − uv = Khi đó ta thu được hệ u + v + 2uv = (3 − 2uv) − uv = � 4u v − 12uv = u + v = − 2uv uv = \ uv = * uv = � ( x + ) ( − x ) = � x = �x = −5 / * uv = � ( x + ) ( − x ) = � 16 x − 16 x + 11 = (VN). Vậy, tập nghiệm là S = { 1; − / 4} Ví dụ 13: Giải phương trình x + = Lời giải: Điều kiện x Ta được hệ 5x + = y y2 + = 4x 4x − 4x − Đặt = y ( y ) � y + = x � ( x − y )(5 x + y + 4) = � x = y �5 x + y + = Vì x 0, y � x + y + > , do đó x = y � x − x + = (VN) Vậy, bài tốn vơ nghiệm Phương pháp 3: Nhóm nhân tử chung để đưa về dạng tích 1. Thuật tốn chung: 1) Nêu điều kiện xác định và điều kiện nghiệm, nếu có 2) Nhận dạng các biểu thức xuất hiện trong bài tốn để ghép thành các cặp sao cho xuất hiện nhân tử chung 3) Biến đổi để đưa về phương trình, bất phương trình có dạng tích 4) Giải các phương trình, bất phương trình thu được từ kết quả trên. Lấy nghiệm bài tốn 2. Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải bất phương trình x + 10 x + 21 x + + x + − Lời giải: Điều kiện x −3 BPT tương đương với ( x + 3)( x + 7) − x + − x + + � ( x + − 2)( x + − 3) �0 Hệ (A) �۳ x+3 x+7 x x+3 x+7 Hệ (B) � (A) hoặc x+3 x+7 x+3 x+7 (B) x Tập nghiệm của bất phương trình là S = [ −3;1] �[ 2; +�) Ví dụ 2: Giải phương trình x3 + x + 3x + + x = x + + x + x 13 Lời giải: Điều kiện x Phương trình đã cho tương đương với (3 + x )( x + 1) + x = x + + x( x + 1) � x + 1( x + − x ) − ( x + − x ) = � ( x + − x )( x + − 1) = 2 x2 + = 2x x +1 = Từ đó suy ra nghiệm của phương trình là x = Ví dụ 3: Giải phương trình x + x + = x + Lời giải: Điều kiện x −3 / Phương trình tương đương với x − x + = ( x + ) − x + + 2 ( )( ) 1� � 3� � � �2 x − �= � x + − �� x − x + − x + x + − = 2� � 2� � Giải các phương trình dạng cơ bản trên ta tìm được x = 2x −1 = 2x + 2x − = 2x + − 21 + 17 , x = 4 Phương pháp 4: Nhân chia với biểu thức liên hợp 1.Thuật tốn chung: Bước 1. Nhận dạng đặc điểm bài tốn. Nêu điều kiện xác định và điều kiện nghiệm, nếu có Bước 2. Nhân hai vế của phương trình, bất phương trình với biểu thức liên hợp tương ứng, từ đó biến đổi làm xuất hiện các nhân tử chung của chúng Bước 3. Đưa phương trình, bất phương trình về dạng đơn giản. Giải các phương trình, bất phương trình đó. Lấy nghiệm của bài tốn 2. Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình x + + = x + 3x Lời giải: Điều kiện x Phương trình tương đương với (4 x − 1) + x − x + = � (2 x − 1)(2 x + 1) + � (2 x − 1)(2 x + + 2x −1 =0 3x + x + 1 ) = � x − = (do x + + > ∀x ) 3x + x + 3x + x + 1 Vậy, nghiệm của phương trình là x = Ví dụ 2: Giải phương trình x − + x = x − 14 Lời giải: Điều kiện x Phương trình tương đương với � x=3 hoặc (1) =2 2x − (2) Do x x−3 − 2( x − 3) = � ( x − 3)( − 2) = 2x − + x 2x − + x 3 � 2x − + x 2 (2) vơ nghiệm Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3 x2 < x + 21 Ví dụ 3: Giải bất phương trình (3 − x + 9) Lời giải: Điều kiện x − , x Nhân, chia vế trái của BPT với ( + + 2x ) ta được 2 �x(3 + x + 9) � �3 + + x � 2� < x + 21 � < x + 21 � + x < � x < � � � �(9 − (2 x + 9) � � � 2 � � � � �9 � � 7� Kết hợp điều kiện xác định ta suy ra tập nghiệm của BPT là S = − ;0 � �0; � 2 � � � � Ví dụ 4: Giải bất phương trình 4( x + 1)2 < (2 x + 10)(1 − + x ) Lời giải: Điều kiện x − Nhân hai vế của BPT với ( + + 2x ) ta được 4( x + 1) (1 + + x ) < (2 x + 10)(1 − + x ) (1 + + x ) � 4( x + 1) (1 + + x ) < (2 x + 10)(−2 − x) x −1 x (1 + + x ) < (2 x + 10) −1 + 2x < x −1 �3 � Kết hợp điều kiện xác định ta suy ra tập nghiệm là S = − ; −1 �( −1;3) x ( x + 2) x + (2) Lời giải: Điều kiện x −1 Khi đó (2) � (2 x)3 + x > ( ( x + 1)3 + x + (2’) Xét hàm số f (t ) = t + t với t ﾡ , ta có f '(t ) = 3t + > ∀t ﾡ 16 BPT đã cho có dạng f (2 x) = f ( x + 1) � x + < x 2x x x + < 4x2 x2 − x −1 > � + 17 ;+ � � � � � Giải hệ trên kết hợp điều kiện xác định ta suy ra tập nghiệm là S = � � Ví dụ 3: Giải bất phương trình ( x − 1) x − x + − x x + x + Lời giải: Điều kiện x ﾡ Bất phương trình tương đương với ( x − 1)( x − x + + 1) x x + + x � ( x − 1)( ( x − 1) + + ( x − 1) �2 x x + + x Xét hàm số f (t ) = t + t t + với t 2 ﾡ , ta có f '(t ) = + t + + t2 > ∀t t2 + f (2 x) �−x�−1 x x hàm đồng biến, do đó BPT tương đương với f ( x − 1) ﾡ f là Vậy, tập nghiệm của BPT là S = ( − ; −1] Ví dụ 4: Giải phương trình x3 − 36 x + 53x − 25 = 3x − (3) Lời giải: Điều kiện x ﾡ Phương trình tương đương với (2 x − 3)3 + (2 x − 3) = ( 3 x − 5)3 + 3 x − Xét hàm số f (t ) = t + t với t ﾡ . Ta có f '(t ) = 3t + > ∀t ﾡ suy ra hàm số đồng biến trên R, do đó phương trình (3) tương đương với f (2 x − 3) = f ( x − 3) � x − = x − � x − 36 x + 51x − 22 = � ( x − 2)(8 x − 20 x + 11) = x=2 x=2 x − 20 x + 11 = x= Ví dụ 5: Giải phương trình 2 x + + − x = x + 16 (4) Lời giải: Điều kiện −2 x Bình phương hai vế của phương trình ta được 16 −2 x + = x + x − 32 �x � �x � � 4(−2 x + 8) + 16 −2 x + = � �+ 16 � � do −2 �2 � �2 � x x − và −2 x + Xét hàm số f (t ) = 4t + 16t với t −1 ta có f '(t ) = 8t + 16 > ∀t −1 do đó hàm f đồng x biến trên miền đang xét, suy ra phương trình (1) tương đương với −2 x + = x x2 −2 x + = x x = 32 �x= 17 Ví dụ 6: Giải phương trình x2 + x − = ( x + 1)( x + − 2) x2 − x + Lời giải: Điều kiện x −2 Phương trình tương đương với ( x − 2)( x + 4) ( x − 2) x+4 = ( x + 1) = � x = hoặc 2 x − 2x + x − 2x + x+2 −2 x +1 x+2+2 (*) Phương trình (*) tương đương ( x + 4) x + + 2) = ( x + 1)( x − x + 3) � (( x + 2) + 2) x + + 2) = (( x − 1) + 2)(( x − 1) + 2) Xét hàm số f (t ) = (t + 2)(t + 2) với t ﾡ , ta có f '(t ) = 3t + 4t + > ∀t ﾡ x −1 x + 13 � �2 �x= x − 3x − = x + = ( x − 1) do đó PT tương đương với x + = x − � � � + 17 � � � � Vậy, tập nghiệm của PT là S = �2; Ví dụ 7: Giải bất phương trình x − 3x − x − x − x x + (6) Lời giải: Điều kiện x / Ta có (6) � x + x x + � 3x − + (3x − 2).3x � x + x x + � 3x − + 3x − (3 x − 2) + Xét hàm số f (t ) = t + t t + với t ﾡ , ta có f '(t ) = + t + + hàm đồng biến, do đó BPT tương đương với f ( x) � x − x + �0 � x (vì x t2 > ∀t ﾡ t2 + f ( x − 2) � x < x − (*) f là / nên hai vế của BPT (*) đều dương) Vậy, tập nghiệm của BPT là S = [ 1; 2] Phương pháp 6: Sử dụng bảng biến thiên hàm số để biện luận các bài tốn có chứa tham số 1.Thuật tốn chung: Bước 1: Nêu điều kiện xác định và điều kiện nghiệm, nếu có Bước 2: Cơ lập tham số về một vế của phương trình, bất phương trình Bước 3: Xét hàm số tương ứng vế cịn lại. Lập bảng biến thiên của hàm số vừa xét Bước 4: Căn cứ vào bảng biến thiên để qua đó xác định các giá trị của tham số cần tìm 2. Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau x − + 21 − x − x − m = 18 a) Có nghiệm. b) Có đúng 1 nghiệm. c) có 2 nghiệm phân biệt Giải : Tập xác định D= 7;3 , Xét hàm số f ( x ) = x − + 21 − x − x , ta có f '( x ) = − 3(2 + x ) 21 − x − x , f’(x) = 0 x= 6 (Loại) v x = 2. Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x) x 7 2 3 f’(x) + 0 15 f(x) 30 10 f ( x ) m max f ( x ) 30 m 15 a) Phương trình có nghiệm khi [ −7;3] [ −7;3] b) Phương trình có đúng 1 nghiệm khi 30 m � g ( x ) = x + x + 12 Ví dụ 3: Tìm m để phương trình: x −1 − và tăng; h ( x ) > 0 và giảm hay h ( x ) > và tăng có nghiệm h ( x) = − x + − x > � h ( x) = f ( x) = f ( x ) ; max f ( x ) �= [ f ( ) ; f ( ) ] = � 2( � Suy ra f ( x ) = m có nghiệm � m �� [ 0;4] �[ 0;4] � g ( x) h ( x) tăng 15 − 12 ) ;12 � � Phương pháp 7: Sử dụng tính chất bất đẳng thức để đánh giá 19 Ví dụ 1: Giải phương trình x + x + = 2 x + Lời giải: Điều kiện x −3 / Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có (2 x + 3) + 2 x + kết hợp với phương trình đã cho ta được x + x + x + � x + x + �0 � ( x + 1)2 �0 � x = −1 Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = −1 Ví dụ 2: Giải bất phương trình: x− x − 2(x − x + 1) Lời giải: Ta có 1 − 2(x − x + 1) < nên BPT � 2(x − x + 1) �1 − x + x (1) Mặt khác ta lại có: 2(x − x + 1) = 2(1 − x) + 2( x ) − x + x (2) Từ (1) và (2) � 2(x − x + 1) = − x + x Dấu bằng khi − x = x � x = 3− (nhận) Ví dụ 3: Giải phương trình x − + − x = x − 10 x + 27 Lời giải: Điều kiện x Áp dụng bất đẳng thức Cau chy ta có 1 x − 1+ x − ; 1 − x 1+ − x VT Mặt khác: VP = x − 10 x + 27 = ( x − 5) + 2 , do đó phương trình xảy ra khi và chỉ khi VT = VP = � 1= x−4 = 6− x � x = Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = x −5 = x Ví dụ 4: Giải phương trình x = x − + − x Lời giải: Điều kiện x Áp dụng bất đẳng thức Cau chy ta có 1( x − ) x x− 1 + 1− x x x ; ( x − 1) x 1+ x + 1= x− x , do đó phương trình xảy ra khi và chỉ kh Giải ra kết hợp điều kiện xác định ta được x = x = x −1 x + x −1 suy ra x � x2 − x −1 = 1+ PHẦN BA: KẾT LUẬN 1. Kết quả đạt được 20 Sau một thời gian giảng dạy như trên tôi thấy đã thu được những kết quả hết sức khả quan: Đa số học sinh tiếp thu được kiến thức cơ bản. Nhiều kĩ năng về giải quyết bài tốn, trình bày bài tốn, cách tiến hành một số dạng bài tập cơ bản cũng như bài tập vận dụng nâng cao được học sinh thực hiện thành thạo Nhiều kĩ năng về giải quyết bài tốn, trình bày bài tốn, cách tiến hành một số dạng bài cơ bản cũng như các bài vận dụng nâng cao được học sinh thực hiện thành thạo Nhiều kĩ năng về giải quyết bài tốn, trình bày bài tốn, cách tiến hành một số dạng bài cơ bản cũng như các bài vận dụng nâng cao được học sinh thực hiện thành Tinh thần học tập của các em học sinh khi được nghiên cứu phần này tăng lên đáng kể, các em hứng thú hơn trong việc tìm tịi, khám phá các lời giải, đồng thời tạo ra một động lực để thúc đẩy trong việc nghiên cứu tiếp thu các phần kiến thức khác Kết quả học phần này được nâng lên rõ rệt. Trong các bài thi kiểm tra định kỳ, bài thi học kỳ, bài thi THPT có nhiều em đạt điểm 10 mơn Tốn, có nhiều em đạt kết quả điểm thi vào Đại học, Cao đẳng với điểm số rất cao Trên cơ sở của chun đề này cùng với sự đồng ý của Ban giám hiệu nhà trường, tổ chun mơn ,tơi đã tiến hành thực hiện nội dung chun đề nêu trên của mình trên ba năm liên tục, đó là các lớp 12A3, 12A9, 12A10 (năm học 2013 2014), các lớp 12A1, 12A5, 12A7 (năm học 2014 2015) và các lớp 12A3,12A5, 12A9 (năm học 2015 2016), (Tổng số học sinh bình qn là 140), kết quả thu được trong các kì thi thử THPT ở trường với bảng số liệu sau: Số em tham gia làm bài thi Đạt điểm dưới 5,0 Đạt từ 5,0 Đạt từ 6,5 Đạt từ 7,5 đến 6,5 đến 7,5 đến 8,5 Đạt trên 8,5 Thi lần 1 35 23 32 32 18 Thi lần 2 30 20 36 32 22 Thi lần 3 20 23 37 34 26 21 2. Bài học kinh nghiệm: Nắm vững chun mơn nghiệp vụ, có kiến thức sâu rộng, khả năng bao qt kiến thức, có tinh thần trách nhiệm trong cơng việc Trong cơng tác giảng dạy cần đổi mới phương pháp dạy học, tìm ra phương pháp phù hợp cho nội dung bài học. Trước khi lên lớp cần có sự nghiên cứu kĩ nội dung chương trình, đặc biệt là tình hình học sinh để đưa ra bài học sát với khả năng của học sinh, chọn lọc hệ thống bài tập phù hợp, có sự hướng dẫn hợp lý, dễ hiểu để học sinh vận dụng được tốt Mặc dù tơi đã rất cố gắng hồn thiện bài viết một cách cẩn thận nhất, song vẫn khơng tránh khỏi những sai sót, rất mong các cấp chun mơn đóng góp ý kiến bổ sung để chun đề ngày càng hồn thiện và hữu ích hơn nữa. Cũng rất mong được sự góp ý của q đồng nghiệp để chúng tơi có dịp được trau dồi và tích lũy kiến thức nhằm hồn thành tốt nhiệm vụ giáo dục được giao XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2016 ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, khơng sao chép nội dung của người khác Lê Đức Trung 22 ... GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ TRONG THI? ?THPT? ?QUỐC GIA VÀ THI HỌC SINH GIỎI Phương? ?pháp? ?1: Nâng lũy thừa và? ?các? ?phép biến đổi tương đương để đưa? ?các phương? ?trình, ? ?bất? ?phương? ?trình? ?về một hệ... ứng, từ đó biến đổi làm xuất hiện? ?các? ?nhân tử chung của chúng Bước 3. Đưa? ?phương? ?trình, ? ?bất? ?phương? ?trình? ?về ? ?dạng? ?đơn giản.? ?Giải? ?các? ?phương? ? trình, ? ?bất? ?phương? ?trình? ?đó. Lấy nghiệm của bài tốn 2. Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1:? ?Giải? ?phương? ?trình? ? x + +... 2) Nhận? ?dạng? ?các? ?biểu thức xuất hiện trong bài tốn để ghép thành? ?các? ?cặp sao cho xuất hiện nhân tử chung 3) Biến đổi để đưa về? ?phương? ?trình, ? ?bất? ?phương? ?trình? ?có? ?dạng? ?tích 4)? ?Giải? ?các? ?phương? ?trình, ? ?bất? ?phương? ?trình? ?thu được từ kết quả trên. Lấy nghiệm bài