150 CÂU TỈ SỐ THỂ TÍCH MỨC VẬN DỤNG

Tư mở trắc nghiệm toán lý Sưu tầm tổng hợp 150 CÂU TỈ SỐ THỂ TÍCH Mơn: Tốn (Đề thi có 73 trang) Thời gian làm phút (150 câu trắc nghiệm) Họ tên thí sinh: Mã đề thi 267 Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt đáy Gọi M trung điểm BC Mặt phẳng (P ) qua A vng góc với SM cắt SB, SC E, F Biết VS.AEF = VS.ABC Tính thể tích V khối chóp S.ABC a3 a3 2a3 a3 A V = B V = C V = D V = 12 Lời giải S Gọi H = (P ) ∩ SM Do (P ) ⊥ SM ⇒ (P ) ⊥ (SAM ) (P ) ⊥ (SAM ) ⇒ BC (P ) hay BC (AEF ) ⇒ BC ⊥ (SAM ) BC EF SE SF VS.AEF SE SH = · = = = ⇒ VS.ABC SB SC SB SM SH = ⇒ H trung điểm SM SM Vậy tam giác SAM vuông cân A ⇒ SA = AM = √ a √ √ 1 a a2 a3 Vậy VS.ABC = · SA · SABC = · · = 3 Có H F E A C M B Chọn đáp án A Câu Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi, tam giác ABD cạnh a, tam giác BCD cân C BCD = 120◦ , SA ⊥ (ABCD) SA = a Mặt phẳng (P ) qua A vng góc với SC cắt M , N , P Tính √ cạnh SB, SC, SD3 √ √ thể tích khối chóp √S.AM N P a3 a 2a3 a3 A B C D 42 14 21 12 Lời giải S Vì AB = AD CB = CD nên AC đường trung trực BD Do mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD S.AM N P thành hai phần tích Xét tứ giác ABCD có BAD = 60◦ , BCD = 120◦ ⇒ AD ⊥ CD √ M N 1 a a2 Suy S ADC = AD · DC = · a · √ = 2 √ 6√ P 1 a a3 ⇒ VS.ACD = S ACD · SA = · ·a= 3 18 Xét tam giác √ SAC vuông A có SA =2a, A B 2a 7a ◦ AC = ⇒ SC = SA2 + AC = 60 ◦ 3 12 Ta có SN SA2 a2 C SN · SC = SA2 ⇒ = = = (1) 2 SC SC 7a D Vì SC ⊥ (AM N P ) nên SC ⊥ N P Mặt khác, SDC vuông D, SP SP · SD SN · SC SA2 a2 = = = = = (2) 2 2 2 SD SD SD SA + AD a +a Trang 1/73 − Mã đề 267 VS.AN P SN SP 3 = · = · = V.S.ACD SC√ SD √7 14 a3 a3 3 · = ⇒ VS.AN P = VS.ACD = 14 14 18 84 √ √ a3 a3 Vậy VS.AM N P = 2VS.AN P = · = 84 42 Chọn đáp án A Từ (1) (2) ⇒ Câu Cho tứ diện ABCD tích V Điểm M thay đổi tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song với DA, DB, DC cắt mặt phẳng (ACD), (ABD), (DBC) N, P, Q Giá trị lớn thể tích khối chóp M N P Q 3V V V V A B C D 54 27 16 Lời giải D Gọi V1 , V2 , V3 thể tích khối chóp V1 V2 V3 M CBD, M DCA, M DAB Ta có + + = (*) V V V d(M, (DBC)) VM CBD MQ V1 = = = Do M Q DA ta có V VA.BCD d(A, (DBC)) AD N Q V2 M N V3 MP P Tương tự = , = Do thay vào (*) ta được: C V AD V CD A MQ MN MP + + = H M K AD BD CD B Gọi V4 thể tích khối chóp M N P Q Vì M Q AD, M P CD, M N BD có phép −−→ dời hình để biến M trùng với S (đó hợp phép đối xứng phép tịnh tiến theo M D), điểm N, P, Q nằm cạnh BD, CD, AD hình chóp S.ABC V4 MQ MN MP V4 Do = · · Từ V4 lớn ⇔ lớn V AD BD CD V MP V4 MQ MN MP MQ MQ MN + + = nên = · · đạt giá trị lớn = Vì AD BD CD V AD BD CD AD MN MP = = , điều xảy M trọng tâm tam giác ABC BD CD V Vậy M trọng tâm tam giác ABC VM N P Q lớn 27 Chọn đáp án C Câu Cho tứ diện M N P Q Gọi I; J; K trung điểm cạnh M N ; M P ; M Q.Gọi V1 V1 thể tích M JIK V2 thể tích M N P Q Tính tỉ số V2 1 1 A B C D Lời giải V1 MI MJ MK 1 1 M Ta có = · · = · · = V2 MN MP MQ 2 I K J Q N P Chọn đáp án A Câu Cho khối tứ diện OABC với OA, OB, OC vng góc đơi OA = a, OB = 2a, OC = 3a Gọi M, N trung điểm hai cạnh AC, BC Thể tích khối tứ diện OCM N theo a Trang 2/73 − Mã đề 267 A a3 B a3 C 2a3 D Lời giải VCOM N CO · CM · CN VOCM N = = = Ta có : VOABC VCOAB CO · CA · CB 1 1 a3 Suy VOCM N = · VOABC = · · a · · 2a · 3a = 4 3a3 A M O C N B Chọn đáp án B Câu Cho khối chóp tứ giác S.ABCD tích V Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên ba lần giảm độ dài đường cao xuống hai lần ta khối chóp tích A 9V B 3V C V D V 2 Lời giải Thể tích khối chóp bằng, phần ba tích diện tích đáy với đường cao Khi tăng độ dài cạnh đáy lên lần, diện tích đáy tăng lên lần Khi thể tích tăng lên lần Khi giảm độ dài đường cao xuống lần, thể tích giảm xuống lần Vậy khối chóp tích V Chọn đáp án D Câu Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C Gọi M , N , P , Q điểm thuộc BN CP CQ AM = , = , = , = Gọi V1 , V2 cạnh AA , BB , CC , B C thỏa mãn AA BB CC BC V1 thể tích khối tứ diện M N P Q khối lăng trụ ABC.A B C Tính tỉ số V2 V1 V1 V1 V1 22 11 19 11 A B C D = = = = V2 45 V2 45 V2 45 V2 30 Lời giải A C Q B M P N A C B Ta có: SC P Q CP CQ 3 3 + = · = · = ⇒ SC P Q = SC CB = SC B BC SC CB CC CB 20 20 40 SB N Q BN BQ 8 + = · = · = ⇒ SB N Q = SB BC = SC B BC SB BC BB BC 15 15 15 Trang 3/73 − Mã đề 267 BN 1 SN P CB CP = = = + + ⇒ SN P CB = SC B BC SC B BC BB CC 24 24 SC P Q + SB N Q + SN P CB SN P Q 11 =1− =1− = Suy + + SC B BC SC B BC 40 15 24 30 Mặt khác AM CC nên d(A, (C B BC)) = d(M, (C B BC)) 11 11 11 · VABC.A B C ⇒ V1 = V2 Do VM.N P Q = VA.BB C C = 30 30 45 V1 11 Vậy = V2 45 Chọn đáp án B + Câu Cho lăng trụ ABC.A B C Gọi E, F trung điểm BB , CC Đường thẳng AE cắt A B E , đường thẳng AF cắt A C F Tỉ số thể tích khối chóp A.B C F E thể tích khối lăng trụ ABC.A B C A B C D Lời giải C A F B F E E A C B Vì B C đường trung bình tam giác A E F nên SA E F = 4SA B C SB C F E = 3SA B C VABC.A B C = SA B C · d A, (A B C ) Ta có VA.B C F E = SB C F E · d A, (A B C ) = SA B C · d A, (A B C ) = VABC.A B C VA.B C F E Vậy = VABC.A B C Chọn đáp án D Câu Cho hình chóp S.ABC tích 24 Gọi M , N , P điểm nằm đoạn thẳng AB, BC, CA cho M B = 2M A, BC = 4N C P trung điểm cạnh AC Tính thể tích V khối tứ diện SM N P A V = B V = C V = D V = 12 Lời giải Trang 4/73 − Mã đề 267 S Ta có • AM · AP SAM P AM AP 1 = = · = ⇒ SAM P = · SABC SABC AB · AC AB AC 6 • BM BN SBM N 1 = · = · = ⇒ SBM N = · SABC SABC BA BC 2 • CN CP 1 1 SCN P = · = · = ⇒ SCN P = · SABC SABC CB CA 8 P A Diện tích tam giác M N P SM N P = SABC − (SAM P + SBM N + SCN P ) = · SABC 24 C N M B Khi · SM N P · d(S, (M N P )) VS.M N P 5 = = ⇒ VS.M N P = · VS.ABC = VS.ABC 24 24 · SABC · d(S, (ABC)) Chọn đáp án C Câu 10 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M trung điểm SC Mặt phẳng (P ) qua AM song song với BD cắt SB, SD N, K Tính tỉ số thể tích khối chóp S.AN M K khối chóp S.ABCD A B C D Lời giải S Gọi O = AC ∩ BD, I = AM ∩ SO ⇒ I trọng tâm tam giác SAC (1) Do mặt phẳng (P ) qua AM song song với BD nên (P ) cắt (SBD) theo giao tuyến N K qua I song song với BD (2) SN SI Từ (1) (2), suy = = M SB SO Ta có: K VS.ABCD = 2VS.ABC ; VS.AN M K = 2VS.AN M I VS.AN M K 2VS.AN M = Suy N VS.ABCD 2VS.ABC D C VS.AN M SA SN SM 1 = · · = · = = VS.ABC SA SB SC 3 O A B Chọn đáp án C √ a Câu 11 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với nhau, OA = , OB = OC = a Gọi H hình chiếu điểm O lên mặt phẳng (ABC) Tính thể tích khối tứ diện OABH √ √ √ √ a3 a3 a3 a3 A B C D 12 48 24 Lời giải Trang 5/73 − Mã đề 267 √ √ a a2 = √ , BC = a Ta có AB = AC = + 2 Vì OH ⊥ (ABC) ⇒ OK ⊥ AB ⇒ = 2+ = 2 OK a a a a a 2a ⇒ OK = √ ⇒ CK = a2 + =√ 3 Vì tam giác ABC cân A nên √ 3a2 a2 AE ⊥ BC ⇒ AE = BA2 − BE = − = a 2 √ a2 Ta có S∆ABC = nên a a2 · √ a3 OH · S∆ABC = √ = VOABC = 6 a a2 a2 a ⇒ OH = ⇒ HK = − = √ VHOAB HK a3 Mà = = ⇒ VHOAB = √ VCOAB CK 24 Chọn đáp án A C a2 Câu 12 Cho khối chóp S.ABC có M ∈ SA, N ∈ SB phẳng (α) qua hai điểm M , N song song với SC chia thể tích hai khối đa diện (số bé chia số lớn) A B C Lời giải Kẻ M Q SC, N P SC M N P Q thiết diện tạo (α) hình chóp Và hình chóp chia làm hai phần tích V1 = VCSM N P Q V2 = VBAM N P Q Gọi K = M N ∩ AB ∩ P Q (Vì giao tuyến mặt phẳng đồng quy, song song) Theo định lí Menelaus ta có M A N S KB KB · · =1⇒ = M S N B KA KA BA N K SM NK KN KP · · =1⇒ =1⇒ = = BK N M SA NM KM KQ H E O A K B −−→ −−→ −−→ −−→ cho M A = −2M S, N S = −2N B Mặt khối chóp thành hai khối đa diện Tính tỉ số D S M N A B K Q P C VKAM Q VKBN P 1 1 KA · AM · AQ 16 ⇒ = · · = Mà = = VKAM Q 2 16 VBASC BA · AS · AC 27 V1 15 16 · VS.ABC = VS.ABC ⇒ = ⇒ V2 = 16 27 V2 Chọn đáp án D Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm SA, SB Mặt phẳng M N CD chia hình chóp cho thành phần Tỉ số thể tích hai phần S.M N CD M N ABCD 3 A B C D 5 Lời giải Trang 6/73 − Mã đề 267 S Ta vẽ đường chéo BD Mặt phẳng (SBD) chia S.ABCD thằng tứ diện S.ABD S.BCD Ta có VS.ABD = VS.BCD = VS.ABCD Mặt phẳng (SBD) giao với (M N CD) N D Ta có VS.M N CD = SM SN VS.M N D = · · VS.M N D + VS.CN D Mà: VS.ABD SA SB SC SD SN SD VS.CN D = = Và · · = SD VS.BCD SC SD SB 3 Vậy VS.M N CD = VS.ABD = ⇒ VM N ABCD = 8 VS.M N CD = ⇒ VM N ABCD M N A B C D Chọn đáp án A Câu 14 Cho tứ diện ABCD có cạnh Trên cạnh AB CD lấy điểm −−→ −−→ → −−→ −−→ − M, N cho M A + M B = N C = −2N D Mặt phẳng (P ) chứa M N song song với AC chia khối tứ diện thành hai khối đa diện, có khối đa diện chứa đỉnh A tích V Tính V √ √ √ √ 2 11 A B C D 108 216 18 216 Lời giải A M Q D B S O N P C −→ −−→ Gọi O tâm tam giác ABC; P trung điểm BC, Q thoả QA = −QD, S = M Q ∩ BD Suy BD, √M Q, P N đồng qui S VABCD = 12 1 VS.M P B = · d (S, (ABC)) · · SABC = d (D, (ABC)) · SABC VS.DN Q 2 7 = · · = ⇒ VBP N DQM = · VS.M P B = · VABCD = VABCD · VS.M P B 3 9 18 √ √ 11 11 11 VAM P CN Q = VABCD − VBP N DQM = VABCD − VABCD = · VABCD = · = 18 18 18 12 216 Chọn đáp án D Câu 15 √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SA = a Gọi B , D hình chiếu A SB, SD Mặt phẳng (AB D ) cắt SC C Thể tích khối chóp √ S.AB C D √ √ √ 2a3 2a3 2a3 a3 A V = B V = C V = D V = 3 9 Lời giải BC ⊥ AB Từ , suy BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB BC ⊥ SA Từ BC ⊥ AB SB ⊥ AB , suy AB ⊥ (SBC) ⇒ AB ⊥ SC Trang 7/73 − Mã đề 267 Tương tự, ta có AD ⊥ SC Từ AB ⊥ SC AD ⊥ SC suy SC ⊥ (AB√D ) ⇒ SC ⊥ AC (a 2)2 SA2 SB √ = Ta có SA2 = SB · SB ⇒ = = Tương 2 SB SB (a 2) + a √ SC SA2 (a 2)2 √ √ Ta có SA2 = SC · SC ⇒ = = = SC SC (a 2)2 + (a 2)2 Từ ta có • tự SD = SD SA SB SC VS.AB C 1 = · · = · = ⇒ VS.AB C = VS.ABC VS.ABC SA SB SC 3 SA SD SC 1 VS.AD C = · · = · = ⇒ VS.AD C = VS.ADC VS.ADC SA SD SC 3 √ a3 1 √ Mặt khác VS.ABC = VS.ADC = VS.ABCD = · · a · a = 2 √ √ 3 a a Do VS.AB C D = VS.AB C + VS.AD C = · · = • S D C B D A B C Chọn đáp án D Câu 16 Cho hình hộp ABCD.A B C D tích V Tính theo V thể tích khối tứ diện ACB D C V D V A V B V 3 Lời giải C B D A I C B O A D Gọi O = BD ∩ AC; I = B O ∩ BD d(D , (AB C)) ID BD Ta có BD cắt (AB C) I nên = = = d(B, (AB C)) IB BO Suy VD AB C = 2VB.AB C 1 Mặt khác VB.AB C = VABCD.A B C D = V 6 Từ (1) (2) suy VD AB C = V Chọn đáp án D (1) (2) Trang 8/73 − Mã đề 267 Câu 17 Cho hình chóp tứ√giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy SA = a Một mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB, SC, SD B , C , D√ Thể tích khối chóp S.AB √ C D √ √ a3 a3 a3 a3 A B C D Lời giải S Tam giác SAC vuông cân nên C trung điểm SC K trọng tâm giác SAC, B D BD SB SD nên = = SB SD SB SC SD SA D C = 1, = , = , = Suy SA SB SC SD VS.A B C D xyzt 1 1 Do = + + + B K VS.ABCD 4√ x y z t a = ⇒ VS.A B C D = D A O B C Chọn đáp án B Câu 18 Cho khối chóp S.ABCD có chiều cao đáy hình bình hành có diện tích 10 Gọi M , N , P Q trọng tâm mặt bên SAB, SBC, SCD SDA Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm M , N , P , Q, B D 50 25 A B C 30 D Lời giải Cách 1: S E Q T X M Y P F A N B D Z C BN , CP cắt trung điểm F SC BM , DQ cắt trung điểm E SA Gọi X, Y , Z, T thuộc SA, SB, SC, SD cho SX SY SZ ST = = = = SA SB SC SD ⇒ X, Y , Z, T , M , N , P , Q đồng phẳng Ta có VM N P QDB = VXY ZT.ABCD − VN P Z.BCD − VM QX.BDA − VB.M N Y − VD.QP T • Tính VXY ZT.ABCD theo VS.ABCD Hình chóp S.XY ZT đồng dạng với hình chóp S.ABCD theo tỉ số 19 ⇒ VS.XY ZT = VS.ABCD ⇒ VXY ZT.ABCD = VS.ABCD 27 27 • Tính VB.M N Y VD.QP T theo VS.ABCD (1) Trang 9/73 − Mã đề 267 VB.M N Y BY BN BM 2 = · · = · · = VB.SEF BS BF BE 3 27 SE SF VB.SEF 1 = mà · = · = VB.SAC SA SC 2 1 ⇒ VB.SEF = VB.SAC = VS.ABCD Suy VB.M N Y = VS.ABCD 54 Tương tự, ta có VD.QP T = VS.ABCD 54 • Tính VN ZP.BCD VM XQ.BAD theo VS.ABCD VF.N ZP FN FZ FP 1 1 26 Ta có = · · = · · = ⇒ VN ZP.BCD = VF.BCD VF.BCD FB FC FD 3 27 27 1 13 Mà VF.BCD = VS.BCD = VS.ABCD ⇒ VN ZP.BCD = VS.ABCD 54 13 Chứng minh tương tự, ta có VM XQ.BAD = VS.ABCD 54 Thay vào (1) ta Ta có VM N P QDB = 19 VS.ABCD − 27 1 13 13 + + + 54 54 54 54 VS.ABCD = 5 50 VS.ABCD = · · · 10 = 27 27 Cách S M P M S1 D S4 N B Q N A S3 O S2 C Gọi V , h thể tích chiều cao khối chóp tổn, v thể tích khối M N P QBD SSAC Để ý khối chóp B.SAC có SOM N = ⇒ VB.OM N = VB.SAC 4 VBM N O 2 Theo tỉ số thể tích tứ diện, ta có = · · = VB.SAC 3 VD.P QO 2 Tương tự = · · = VD.SAC 3 V Từ VBM N O = VDP QO = 18 S Gọi S1 , S2 , S3 , S4 tương ứng trung điểm AB, BC, CD, DA Ta có SS1 S2 S3 S4 = hai hình 2 bình hành M N P Q S1 S2 S3 S4 đồng dạng theo tỉ số Chiều cao hạ từ đỉnh O xuống mặt phẳng (M N P Q) h nên 4 1 2V SM N P Q = SS1 S2 S3 S4 = · SABCD = SABCD ⇒ VO.M N P Q = · h · SABCD = 9 3 27 V V 2V 5V 50 + + = = · · · 10 = 18 18 27 27 27 Chọn đáp án A Như v = Trang 10/73 − Mã đề 267 Câu 124 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 60◦ Gọi M điểm đối xứng C qua D, N trung điểm SC Mặt phẳng (BM N ) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích V1 , V2 V1 phần thể tích chứa đỉnh A Tính tỉ số V2 V1 5 12 A B C D 12 Lời giải S Gọi M N ∩ SD = P M B ∩ AD = Q Khi đó, mặt phẳng (BM N ) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện SABN P Q BCN P QD Gọi V thể tích khối chóp N S.ABCD Theo giả thiết V2 thể tích khối P đa diện BCN P QD Xét tam giác SCM có N , D trung điểm SC, D 60◦ M C M C ⇒ P trọng tâm tam giác MP SCM ⇒ = MN Q O Vì M đối xứng với C qua D nên M D = AB A B M D AB ⇒ ABDM hình bình hành MQ ⇒ = MB VM.DP Q MD MP MQ 1 Theo cơng thức tỉ số thể tích = · · = · · = VM.CN B MC MN MB Suy V2 = VM.CN B (1) Ta có SABCD = · S BCD = S BCM d(N, (ABCD)) = d(S, (ABCD)) (vì N trung điểm SC) 1 1 Mặt khác VM.CN B = VN.BCM = · S BCM · d(M, (ABCD)) = · SABCD · d(S, (ABCD)) = V.(2) 3 2 V2 Từ (1) (2) suy V2 = V ⇒ V1 = V ⇒ = 12 12 V1 Chọn đáp án C Câu 125 Cho tứ diện ABCD Gọi B C trung điểm AB AC Tính tỉ số thể tích khối tứ diện ABCD khối tứ diện AB C D 1 B C D A Lời giải A Áp dụng tỉ số thể tích ta có VABCD AB AC = · = · = VAB C D AB AC B C B C D Chọn đáp án B Câu 126 Cho hình lăng trụ ABC.A B C Gọi M , N , P điểm thuộc cạnh AA , BB , CC cho AM = 2M A , N B = 2N B, P C = P C Gọi V1 , V2 thể tích hai khối V1 đa diện ABCM N P A B C M N P Tính tỉ số V2 Trang 60/73 − Mã đề 267 V1 V1 V1 = B = C = V2 V2 V2 Lời giải Gọi S diện tích thiết diện mặt phẳng (P ) vng góc với cạnh bên hình lăng trụ cắt tất cạnh bên hình lăng trụ Khi ta có A 1 V1 = (AM + BN + CP ) · S, V2 = (A M + B N + C P ) · S 3 D V1 = V2 A C B P M V1 nên = V2 N A C B Chọn đáp án C Câu 127 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M trung điểm SC Mặt phẳng (P ) qua AM song song với BD cắt SB, SD N, K Tính tỉ số thể tích khối chóp S.AN M K khối chóp S.ABCD 1 A B C D Lời giải S Gọi O = AC ∩ BD, I = AM ∩ SO ⇒ I trọng tâm tam giác SAC (1) Do mặt phẳng (P ) qua AM song song với BD nên (P ) cắt (SBD) theo giao tuyến N K qua I song song với BD (2) SN SI Từ (1) (2), suy = = M SB SO Ta có: K VS.ABCD = 2VS.ABC ; VS.AN M K = 2VS.AN M I VS.AN M K 2VS.AN M Suy = N VS.ABCD 2VS.ABC C VS.AN M SA SN SM 1 D = = · · = · = VS.ABC SA SB SC 3 O A B Chọn đáp án A Câu 128 Cho hình lăng trụ ABC.A B C tích V Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, A C , BB Tính thể tích V khối tứ diện CM N P A V = V 24 B V = V C V = V 24 D V = V N A C B P A C M B Trang 61/73 − Mã đề 267 Lời giải X N A C B P A C M B Y Gọi X, Y giao điểm CN AA , XP AB 1 Dễ thấy N trung điểm XC nên SCN M = SCM X , suy VP CN M = VP CM X 2 Áp dụng định lí Thales ta có YP YB PB XP = = = ⇒ = Y M = AB YX YA XA XY Ta có VP CM X XP = = , mà VXM CY XY VXM CY SCM Y MY = = = VXABC SABC AB nên VP CM X = 5 5V · VXABC = · · 2VA ABC = · · · VABC.A B C = 6 12 5V Vậy VP CN M = VP CM X = 24 Chọn đáp án A Câu 129 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M điểm cạnh SC cho 5SM = 2SC, mặt phẳng (α) qua A, M song song với đường thẳng BD cắt hai cạnh SB, VB.AHM K SD hai điểm H, K Tính tỉ số thể tích · VS.ABCD B C D A 35 35 Lời giải Trang 62/73 − Mã đề 267 S Mặt phẳng (α) song song BD cắt SB, SD H, K nên HK BD Gọi I = SO ∩ AM ⇒ I = HK ∩ SO SH SK SI Suy = = SB SD SO Mặt khác ta lại có c M SSAO + SSOC = SSAC ; SSAO = SSOC Mà SM SSAM = SSAC SC SSAI SI = SSAO SO K I H A D (1) (2) O B SSIM SI SM = · (3) SSOC SO SC SI SSAM SM SM SI = Từ (2), (3) suy × +1 ⇒2× = × SSAO SO SC SC SO SM Theo giả thiết 5SM = 2SC nên = SC SI SH Do = ⇒ = SO SB Ta lại có VB.AHM K = × SAHM K × d(B, (AHM K)) d(B, (AHM K)) BH Do = = d(S, (AHM K)) SH 3 nên VB.AHM K = × SAHM K × d(S, (AHM K)) = VS.AHM K 4 Mặt khác VS.AHM K = VS.AM K + VS.AM H VS.AM K SM SK VS.AM H SM SH = · = , = · = · VSACD SC SD 35 VS.ACB SC SB 35 VB.AHM K ⇒ VS.AHM K = · VS.ABCD ⇒ = · = · 35 VS.ABCD 35 35 Chọn đáp án C Câu 130 Cho hình lăng trụ ABC.A B C Gọi E, F trung điểm BB CC Mặt phẳng (AEF ) chia khối trụ thành hai phần V1 tích V1 V2 hình vẽ Tỉ số V2 1 A B C D C SM +1 SC A C V1 B F V2 E A C B Lời giải Trang 63/73 − Mã đề 267 Gọi M trung điểm AA , h chiều cao khối lăng trụ, thể tích khối lăng trụ V Ta có V2 = VAM EF + VM EF.A B C h 1 Trong VM EF = · SM EF · = · SABC · h = V 6 VM EF.A B C = V 1 Suy V2 = V + V = V ⇒ V1 = V − V2 = V 3 V1 Vậy = V2 A C V1 B M F V2 E A C B Chọn đáp án A Câu 131 Cho hình lập phương OBCD.O1 B1 C1 D1 có cạnh a, M điểm thuộc đoạn OO1 Tỉ số thể tích hình chóp M BCC1 B1 hình lăng trụ OBCO1 B1 C1 1 A B C D Lời giải O1 D1 Đặt V1 = VM BCC1 B1 , V2 = VOBCO1 B1 C1 1 Ta có V2 = a , V1 = OB · SBCC1 B1 = a · a2 = a3 3 a3 B1 V1 Khi = 33 = C1 V2 a M O D B C Chọn đáp án A Câu 132 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt phẳng chứa AK cắt cạnh SB, SD M N Gọi V1 , V theo thứ tự thể tích khối V1 chóp S.AM KN khối chóp S.ABCD Giá trị nhỏ tỉ số V2 1 A B C D 3 Lời giải SM SN S ,y= Điều kiện < x, y ≤ Đặt x = SB SD Ta có ABCD hình bình hành nên ta có VS.ABC VS.AM KN ⇒ V1 V = VS.ACD = VS.ABCD = V = VS.AM K + VS.AKN SM SK = · · VS.ABC + SB SC 1 1 = x· V + y· V = 2 2 = (x + y) K N M D A SK SN · · VS.ACD SC SD V · (x + y) B C Trang 64/73 − Mã đề 267 Mặt khác VS.AM KN = VS.AM N + VS.KM N SM SN SK SM SN = · · VS.ABD + · · · VS.ABC SB SD SC SB SD 1 xy · V + xy · V = 2 3xy = V 3xy = ⇒ V1 ⇒ (x + y) = Áp dụng bất đẳng Do V1 V xy ⇒ x + y = 3xy thức Cauchy, ta có √ 3xy = x + y ≥ xy √ ⇒ xy ≥ ⇒ xy ≥ V1 3 ⇒ = xy ≥ · = V 4 Dấu “=” xảy x + y = 3xy x=y>0 V1 Vậy giá trị nhỏ V Chọn đáp án B ⇔x=y= Câu 133 Cho hình chóp tứ √ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy SA = a Một mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB, SC, SD B , C , D√ Thể tích khối chóp S.AB √ C D √ √ a3 a3 a3 a3 A B C D 3 Lời giải S C B D K D A O B C Tam giác SAC vuông cân nên C trung điểm SC K trọng tâm giác SAC,√B D SB SD VS.AB C D 1 1 √ a3 nên = = Suy = · = ; VS.AB C D = · · a · a2 = SB SD VS.ABCD 3 3 Chọn đáp án A BD Trang 65/73 − Mã đề 267 Câu 134 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M, N P trung điểm đoạn BC, CD SA Mặt phẳng (M N P ) chia khối chóp thành hai phần tích V1 V1 V2 Biết V1 ≤ V2 , tính tỉ số V2 A B C D Lời giải S P K H A D F N B M C E EB AP SH SH Theo định lí menelaus ta có · · = ⇒ SH = 3HB ⇒ = EA P S HB SB SK Tương tự, ta có = SD Gọi VA VS thể tích phần chứa đỉnh A đỉnh S Ta chia khối chóp chứa đỉnh A thành ba khối tích sau VA = VM.BHP A + VP.AM N + VN.AP KD 8 Ta có SSAB = SA · SB · sin ASB = · SA · SB · sin ASB = SSP H ⇒ SBHP A = SSAB 3 Suy 1 5 5 VM.BHP A = VC.BHP A = · VC.SAB = · VS.ABC = VS.ABCD = V 2 8 32 32 Tương tự, ta có VN.AP KD = V 32 1 Dễ dàng tính SAM N = SABCD ⇒ VP.AM N = VS.AM N = · VS.ABCD = V 2 16 Khi VA = VM.BHP A + VP.AM N + VN.AP KD 5 VA = V + V + V = V ⇒ = 32 16 32 VS Chọn đáp án A Câu 135 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD với BC = 2AB, SA ⊥ (ABCD) M điểm cạnh AD cho AM = AB Gọi V1 , V2 thể tích hai khối chóp V1 S.ABM S.ABC V2 Trang 66/73 − Mã đề 267 1 B Lời giải 1 · SA · S∆ABM · AB · AM AB V1 = = = = 1 V2 BC · SA · S∆ABC · AB · BC A C D S A D M B C Chọn đáp án B Câu 136 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi B , D hình chiếu vng góc A cạnh SB, SD Mặt phẳng (AB D ) √ cắt cạnh SC C Tính thể tích khối chóp S.AB C D a3 a3 16a3 a3 A B C D 45 Lời giải S Ta có SB SB · SB SA2 = = = 2 SB SB SA + AB Chứng minh tương tự ta có SD = SD BC ⊥ AB nên BC ⊥ (SAB) BC ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD)) suy BC ⊥ AB , mà AB ⊥ SB nên AB ⊥ (SBC), ta AB ⊥ SC Hồn tồn tương tự, ta có AD ⊥ SD, SC ⊥ (AB C D ) Suy Ta có SC SC · SC SA2 = = = 2 SC SC SC C B D A Do VS.AB C D VS.AB C SB SC = = · = VS.ABCD VS.ABC SB SC 15 Vậy VS.AB C D = D B C 8 16a3 VS.ABCD = · · 2a · a2 = 15 15 45 Chọn đáp án C Câu 137 (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hình hộp ABCD.A B C D có chiều cao diện tích đáy Gọi M, N, P Q tâm mặt bên ABB A , BCC B , CDD C DAA D Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C, D, M, N, P Q A 30 B 27 C 18 D 36 Lời giải Dạng tốn: Đây dạng tốn tính thể tích khối đa diện Hướng giải: B1 Tính thể tích khối B.EM N theo thể tích khối hộp với E trung điểm cạnh BB B2 Hồn tồn tương tự, tính thể tích khối nhỏ VC.N F P ; VD.GP Q ; VA.M HQ Trang 67/73 − Mã đề 267 B3 Thể tích khối đa diện cần tìm thể tích khối EF GH.ABCD trừ thể tích khối nhỏ VB.EM N ; VC.N F P ; VD.GP Q ; VA.M HQ Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: A D B C Q H E M N F P A B G D C Gọi E, F, G, H trung điểm BB , CC , DD AA Ta có (EM N ) (A B C ) VB.EM N 1 1 = ⇒ ⇒ VB.EM N = VB.A B C = · VABCD.A B C D = VABCD.A B C D VB.A B C 8 24 Hoàn toàn tương tự, VC.N F P = VD.GP Q = VA.M HQ = VABCD.A B C D 48 Thể tích khối đa diện cần tìm thể tích khối EF GH.ABCD trừ thể tích khối nhỏ VB.EM N ; VC.N F P ; VD.GP Q ; VA.M HQ VABCD.A B C D − VABCD.A B C D = VABCD.A B C D Suy VM N P QABCD = 48 12 Mà VABCD.A B C D = · = 72 nên VM N P QABCD = · 72 = 30 (đvtt) 12 Chọn đáp án A Câu 138 Cho hình lăng trụ ABC.A B C Gọi E, F trung điểm BB CC Mặt phẳng (AEF ) chia khối lăng trụ thành hai phần tích V1 V1 V2 hình vẽ Tính V2 1 A B C D A C B V1 F E V2 A C B Lời giải Đặt VABC.A B C = V 1 Ta có: V1 = VABCF E = VABCC B = (VABC.A B C − VA.A B C ) = 2 2 Và V2 = V − V1 = V V1 Vậy = V2 Chọn đáp án B V − V = V √ Câu 139 Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy tam giác ABC vng cân A, cạnh BC = a Góc mặt phẳng (AB C) mặt phẳng (BCC B ) 60◦ Tính thể tích V khối đa diện AB CA C√ √ √ √ a3 3a3 a3 3 A B a C D 2 Lời giải Trang 68/73 − Mã đề 267 Gọi M trung điểm BC AM ⊥ (BCC B ) nên M B C hình chiếu AB C (BCC B ) Đặt AA = x ta có √ ax SM B C = · x · BC = 4 √ √ Ta có AB = x2 + 3a2 , AC = a Mà AC ⊥ (ABB A ) nên AC ⊥ AB nên SAB C = √ ·a 3· A C B M x2 + 3a2 √ √ x SM B C ◦ = √ Lại có = cos 60 = ⇒ x = a 2 SAB C x + 3a Từ thể tích khối lăng trụ cho V = 3a3 √ A C B nên thể tích đa diện cần tính √ V = a3 3 Chọn đáp án B Câu 140 Nếu độ dài cạnh hình lập phương tăng gấp k lần, với k ∈ R thể tích tăng lên gấp lần? k3 lần A k lần B k lần C k lần D Lời giải Giả sử khối lập phương ban đầu có cạnh a thể tích a3 , tăng lên gấp k lần ta có cạnh ka thể tích trở thành (ka)3 = k · a3 , nên thể tích tăng gấp k lần Chọn đáp án B Câu 141 Nếu ba kích thước khối hộp chữ nhật tăng lên lần thể tích tăng lên lần? A 64 lần B 192 lần C lần D 16 lần Lời giải Giả sử khối hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c thể tích ban đầu V1 = abc Nếu tăng kích thước lên lần thể tích khối hộp sau tăng V2 = 4a · 4b · 4c = 64abc Điều có nghĩa thể tích khối hộp tăng lên 64 lần Chọn đáp án A Câu 142 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, M trung điểm SB G trọng tâm tam giác SBC Gọi V , V thể tích khối M.ABC G.ABD, tính V tỉ số V V V V V A = B = C = D = V V V V Lời giải d(M ; (ABCD) CM S Ta có S∆ABC = S∆ABD = = nên d(G; (ABCD) CG V = V M G D A B C Chọn đáp án C Trang 69/73 − Mã đề 267 Câu 143 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P trọng tâm tam giác ABC, ACD, ADB Tính tỉ số thể tích khối tứ diện AM N P khối tứ diện ABCD 2 A B C D 27 27 Lời giải Gọi E, F, G trung điểm BC, CD, DB A Suy VAEF G = VABCD Do M, N, P trọng tâm tam giác ABC, ACD, AM AN AP ADB nên ta có = = = AE AF AG AM AN AP VA.M N P P = Lại có · · = Suy VA.EF G AE AF AG 27 VA.M N P M 8 = · VA.EF G = · VABCD = · VABCD 27 27 27 N B D G E F C Chọn đáp án B Câu 144 Tứ diện OABC có OA = 1; OB = 2; OC = chúng đơi vng góc Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm AB, BC, CA Tính thể tích khối tứ diện OM N P 1 A B C D Lời giải A M P B O N C OA · OB · OC VOM N P S∆M N P VOABC = = ⇒ VOM N P = = = Ta có VOABC S∆ABC 4 4 Chọn đáp án D Câu 145 Cho khối hộp ABCD.A B C D Tính tỉ số thể tích khối hộp khối tứ diện ACB D A B C D 3 Lời giải Trang 70/73 − Mã đề 267 Ta có VACB D = VABCD.A B C D − VACDD − VAA D B − VABCB − VCC B D Mặt khác VACDD = VAA D B = VABCB = VCC B D = VABCD.A B C D VABCD.A B C D = Từ suy VACB D = VABCD.A B C D ⇒ VACB D D C A B C D A B Chọn đáp án C Câu 146 Gọi V thể tích khối hộp ABCD.A B C D V thể tích V A ABC D Tính tỉ số V V V V V 1 A B C D = = = = V V V V Lời giải A Ta có SABC D = 2S AC D ⇒ VA ABC D = 2VA AC D 1 Mặt khác VA AC D = VA.A B C D = · VABCD.A B C D = 2 V D V 1 = Vậy V = V ⇒ V khối đa diện B C A D B C Chọn đáp án C Câu 147 Cho hình chóp S.ABC tích V Gọi P, Q trung điểm SB, SC G trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối chóp G.AP Q theo V 1 V A V B V C V D 8 12 Lời giải S Gọi M trung điểm BC, d(G, (AP Q)) = d(M, (AP Q)) 2 = d(C, (AP Q)) = d(S, (AP Q)) Q 3 Do VG.AP Q = d(G, (AP Q)) · S∆AP Q P 2 = · · d(S, (AP Q)) · S∆AP Q = VSAP Q 3 VS.AP Q SP · SQ A Mặt khác = = C VSABC SB · SC G 1 M ⇒ VS.AP Q = VS.ABC = V 4 V B Vậy VG.AP Q = · V = Chọn đáp án C Trang 71/73 − Mã đề 267 Câu 148 Cho tứ diện ABCD tích V Gọi M, N, P, Q trọng tâm tam giác ABC, ACD, ABD, BCD Tính thể tích khối tứ diện M N P Q V 4V V 4V A B C D 27 27 9 Lời giải D Ta có (N P Q) (ABC) ∆N P Q ∼ ∆CBA theo tỷ số nên SN P Q = SABC Gọi I giao điểm DM với mặt phẳng (N P Q) Theo Thales N d (M, (N P Q)) MI = , hay = MD d (D, (ABC)) I Q P VM N P Q SN P Q · d (M, (N P Q)) 1 Vậy = = · = , hay C VDABC SABC · d (D, (ABC)) 27 A V VM N P Q = M 27 B Chọn đáp án A √ Câu 149 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, AB = a, BC = a 3, biết SA = a vng góc với mặt phẳng đáy Một mặt phẳng (α) qua A, vng góc với SC H, cắt SB K Tính thể √ tích khối chóp S.AHK √ theo a √ √ 3 5a a a3 a3 A B C D 60 10 60 30 Lời giải √ √ √ S Ta có AC = AB + BC = 2a SC = SA2 + AC = a 5; SH = √ √ SA a = √ ; SB = SA2 + AB = a Ta có ∆SHK ∆SBC ⇒ SC H VS.AHK SH SK a SH SK = ⇒ SK = √ Vậy = = ⇒ VS.AHK = SB SC VS.ABC SC SB 10 √ 1 a3 VS.ABC = · SA · S∆ABC = 10 10 60 K A C B Chọn đáp án C Câu 150 Cho hình chóp S.ABC Gọi M , N trung điểm SA, SB Khi tỉ số thể tích khối chóp S.M N C khối chóp S.ABC 1 A B C D 2 Lời giải Ta có: S VS.M N C SM SN SC = · · = VS.ABC SA SB SC N M C B A Chọn đáp án C Trang 72/73 − Mã đề 267 HẾT Trang 73/73 − Mã đề 267 ĐÁP ÁN MÃ ĐỀ 267 A 16 D 31 D 46 A 61 A 76 B 91 A 106 A 121 A 136 C A 17 B 32 C 47 A 62 C 77 C 92 D 107 D 122 D 137 A C 18 A 33 D 48 C 63 D 78 B 93 C 108 C 123 D 138 B A 19 A 34 C 49 C 64 A 79 C 94 B 109 D 124 C 139 B B 20 C 35 A 50 A 65 D 80 C 95 B 110 B 125 B 140 B D 21 B 36 B 51 B 66 C 81 B 96 B 111 A 126 C 141 A B 22 C 37 B 52 A 67 D 82 B 97 C 112 B 127 A 142 C D 23 C 38 C 53 B 68 C 83 C 98 A 113 C 128 A 143 B C 24 A 39 A 54 D 69 A 84 B 99 C 114 C 129 C 144 D 10 C 25 C 40 A 55 D 70 D 85 D 100 D 115 A 130 A 145 C 11 A 26 C 41 A 56 B 71 D 86 D 101 A 116 D 131 A 146 C 12 D 27 C 42 B 57 B 72 C 87 A 102 D 117 B 132 B 147 C 13 A 28 D 43 B 58 C 73 D 88 D 103 B 118 B 133 A 148 A 14 D 29 D 44 D 59 C 74 C 89 A 104 D 119 A 134 A 149 C 15 D 30 D 45 C 60 B 75 A 90 A 105 A 120 C 135 B 150 C Trang 1/1 − Đáp án mã đề 267 ... S.ABC có A B trung điểm SA SB Biết thể tích khối chóp S.ABC 24 Tính thể tích V khối chóp S.A B C A V = B V = C V = D V = 12 Lời giải S Áp dụng cơng thức tỉ số thể tích ta có VS.A B C SA SB SC 1 =... CBD + VBB A C ) = V B C VA C BD = Vậy tỷ số thể tích V Chọn đáp án A Câu 48 Cho khối chóp S.ABC, gọi G trọng tâm tam giác ABC Tỉ số thể tích Lời giải A B C D · SABC · d [S, (ABC)] VS.ABC... lớn 27 Chọn đáp án C Câu Cho tứ diện M N P Q Gọi I; J; K trung điểm cạnh M N ; M P ; M Q.Gọi V1 V1 thể tích M JIK V2 thể tích M N P Q Tính tỉ số V2 1 1 A B C D Lời giải V1 MI MJ MK 1 1 M