LIÊN PHÂN SỐ HỮU HẠN

Continued Fraction Nguồn Đột phá tư đỉnh cao số học – Văn Phú Quốc I Cơ sở lý thuyết Liên phân số hữu hạn Định nghĩa Liên phân số hữu hạn (continued fraction) biểu thức có dạng a0 + a1 + a2 + O + an-1 + an a0 Î ¡, a1 , a2 , , an Î ¡ + Các số thực a1 , a2 , , an gọi thương riêng liên phân số hữu hạn Một liên phân số hữu hạn gọi đơn a0 , a1 , a2 , , an ẻ Â Ký hiu [ a0 ; a1 , a2 , , an ] để liên phân số hữu hạn nói Định lý Mỗi liên phân số đơn hữu hạn đơn biểu diễn số hữu tỉ Chứng minh Ta chứng minh định lý phương pháp quy nạp a a +1 · Với n = [ a0 ; a1 ] = a0 + = ẻÔ a1 a1 · · Giả sử khẳng định đến n tức [ a0 ; a1 , a2 , , an ] ẻ Ô Ta s chng minh khng định đến n + tức éë a0 ; a1 , a2 , , an +1 ùû ẻ Ô Tht vy, ộở a0 ; a1 , a2 , , an+1 ùû = a0 + [ a0 ; a1 , a2 , , an ] Theo giả thiết quy nạp, tồn u , v với v ¹ cho [ a0 ; a1 , a2 , , an ] = v a u +v Khi éë a0 ; a1 , a2 , , an+1 ựỷ = a0 + = ẻÔ u u u v Vậy ta hoàn tất chứng minh Định lý Mỗi số hữu tỉ biểu diễn dạng liên phân số hữu hạn Chứng minh a Giả sử x = với a Ỵ ¢, b Ỵ ¢ + Đặt r0 = a, r1 = b b Theo thuật toán Euclid ta có r0 = r1q1 + r2 < r2 < r1 r1 = r2 q2 + r3 < r3 < r2 … rn-2 = rn-1qn-1 + rn < rn < rn-1 rn-1 = rn qn Trang | Bằng cách rút đẳng thức trên, ta tìm a = q1 + b q2 + q3 + O + qn-1 + qn a = [ q1 ; q2 , q3 , , qn ] Vậy ta hoàn tất chứng minh b Ví dụ Biểu diễn thành liên phân số 9 Lời giải Ta có = + Suy = [1;3, ] 7 3+ 47 Ví dụ Biểu diễn thành liên phân số hữu hạn 17 47 13 1 Lời giải Ta có = 2+ = 2+ = 2+ = 2+ 17 17 17 1+ 1+ 13 13 3+ 47 Suy = [ 2;1, 3, 4] 17 Chú ý Biểu diễn số hữu tỉ dạng liên phân số đơn hữu hạn Chẳng hạn từ đồng thức an = (an -1) + ta suy [ a0 ; a1 , , an-1 , an ] = [ a0 ; a1 , , an-1 , an -1,1] an > Suy = [0;1,1,1,3] = [0;1,1,1, 2,1] 11 Định nghĩa Các liên phân số hữu hạn [ a0 ; a1 , a2 , , ak ] với k ẻ Â v Ê k < n c gọi giản Ví dụ Đây biểu diễn không phân thứ k liên phân số hữu hạn [ a0 ; a1 , , ak ] Ký hiệu Ck Định lý Cho liên phân số hữu hạn [ a0 ; a1, , an ] Giả sử dãy số nguyên duơng p0 , p1 , , pn ì p0 = a0 , q0 = ï ï ï ï p1 = a0 a1 +1, q1 = a1 q0 , q1 , , qn xác định sau ïí (với £ k ẻ Ơ ) ù ù ù ù ù ï ỵ pk = ak pk-1 + pk -2 , qk = ak qk-1 + qk -2 p Khi giản phân thứ k Ck = [ a0 ; a1 , , ak ] xác định theo công thức Ck = k qk Chứng minh Ta chứng minh phương pháp quy nạp · Nếu k = 0, k = khẳng định ln · · Giả sử khẳng định đến k với £ k < n , tức p a p + pk -2 Ck = [ a0 ; a1 , , ak ] = k = k k-1 qk ak qk-1 + qk -2 Ta chứng minh khẳng định đến k + Tht vy, Trang | ổ ỗỗ a + ççè k a ÷÷ư p + p k -2 ÷÷ k -1 é ù k +1 ø ê ú = Ck +1 = éë a0 ; a1 , , ak , ak +1 ùû = a0 ; a1 , , ak -1 , ak + ê ak +1 úû ổỗ ữử ữ q + qk -2 ỗỗak + ak +1 ứữữ k -1 ốỗ ak +1 ( ak pk -1 + pk -2 ) + pk -1 ak +1 pk + pk -1 p = = k +1 ak +1 ( ak qk -1 + qk -2 ) + qk -1 ak +1qk + qk -1 qk +1 = Vậy ta hoàn tất chứng minh 173 Ví dụ Dễ thấy = [3; 6,1, ] 55 Áp dụng định lý ta tính đuợc số ïìï p0 = ïìïq0 = ïï ïï ïí p1 = 19 ïíq1 = ïï p2 = 22 ïïq2 = ïï ïï ïïỵ p3 = 173 ïïỵq3 = 55 19 22 173 Các giản phân C0 = = ; C1 = ; C2 = ; C3 = Dưới nhìn quy nạp, ta đến 55 định lý quan trọng thể mối liên hệ { pk } {qk } sau Định lý pk qk -1 - pk -1qk = (-1) k -1 , "k ³ Chứng minh Ta chứng minh phương pháp quy nạp · Nếu k = p1q0 - p0 q1 = ( a0 a1 + 1).1- a0 a1 = · · Giả sử khẳng định đến k với £ k < m , tức pk qk -1 - pk -1qk = (-1) k -1 Ta chứng minh khẳng định đến k +1 Thật pk +1qk - pk qk +1 = ( ak +1 pk + pk -1 ) qk - pk ( ak +1qk + qk -1 ) = pk -1qk - pk qk -1 = -(-1) k -1 = (-1) k Vậy ta hoàn tất chưng minh Hệ Với k ³ ta có gcd ( pk , qk ) = Chứng minh Đặt d = gcd ( pk , qk ) , d | pk d | qk Þ d | pk qk -1 - qk pk -1 = (-1) Þ d = k Vậy gcd ( pk , qk ) = Hệ Giả sử {Ck } dãy giản phân liên phân số hữu hạn đơn [ a0 ; a1 , , an ] Khi (i) Ck - Ck -1 = (ii) Ck - Ck -2 = (-1) k -1 với số nguyên k , k = 1, 2, , m qk qk -1 ak (-1) k -1 qk qk -2 với số nguyên k , k = 2,3, , n Chứng minh p p p q - pk -1qk (-1) (i) Ta có Ck - Ck -1 = k - k -1 = k k -1 = qk qk -1 qk qk -1 qk qk -1 k -1 (ii) Ta có Ck - Ck -2 = (sử dụng định lý 4) pk pk -2 p q - pk -2 qk = k k -2 qk qk -2 qk qk -2 Trang | = ( ak pk -1 + pk -2 ) qk -2 - pk -2 ( ak qk -1 + qk -2 ) qk qk -2 a ( p q - pk -2 qk -1 ) ak (-1) = k k -1 k -2 = qk qk -2 qk qk -2 k -1 Định lý Giả sử Ck giản phân thứ k liên phân số đơn [ a0 ; a1 , , ak ] Khi (i) C1 > C3 > C5 > (ii) C0 < C2 < C4 < Hơn giản phân lẻ C2 j -1 lớn giản phân chẵn C2i Chứng minh Theo hệ ta thấy Ck < Ck -2 k lẻ Ck > Ck -2 k chẵn Lại theo hệ ta thấy C2 m - C2 m-1 = (-1) m-1 q2m q2m-1 < Þ C2m < C2 m-1 Do với k , j tùy ý, k , j ³ ta có C2 j-1 > C2 j-1+2 k > C2 j +2 k > C2 k Vậy ta hoàn tất chứng minh Liên phân số vô hạn Định lý Cho a0 , a1 , a2 , dãy vô hạn số nguyên > với i = 1, 2, Khi lim Ck = u Ta gọi u liên phân số đơn vô hạn viết u = [ a0 ; a1 , a2 , ] k đƠ Chng minh Theo định lý ta có C1 > C3 > C5 > > C2 n-1 > C2 n+1 > C0 < C2 < C4 < < C2 n-2 < C2 n < Để ý rằng, dãy {C2 n +1 } dãy giảm bị chặn C0 dãy {C2n } dãy tăng bị chặn C1 Khi tồn lim C2k +1 = u, lim C2k = v k đƠ nđƠ Cn chng minh u = v Thật vậy, theo hệ ta có C2 k +1 - C2 k = q2k +1q2 k Bằng quy nạp ta chứng minh qk ³ k với k nguyên duơng Khi C2 k +1 - C2 k < (2k +1) 2k Điều có nghĩa lim (C2 k +1 - C2 k ) = hay u = v k đƠ nh lý Gi s a0 , a1 , a2 , số nguyên với a1 , a2 , duơng Khi u = [ a0 ; a1 , a2 , ] số vô tỉ Chứng minh Ta chứng minh phản chứng a Giả sử ngược lại, u = số hữu tỉ Theo định lý ta có C2 n < u < C2 n+1 Do b p 1 Û < u - 2n < < u - C2 n < C2 n +1 - C2 n = q2 n+1q2 n q2 n q2 n +1q2 n Trang | Û < uq2 n - p2 n < q2 n+1 Û < aq2 n - bq2 n < q2 n+1 Cho n đ Ơ ta gp iu mõu thun nh lý Mỗi số vô tỉ biểu diễn cách dạng liên phân số đơn vô hạn Chứng minh Trước hết, ta tồn Giả sử u = u0 Ỵ ¡ \Ô Ta xõy dng dóy a0 , a1 , a2 , sau ì ï ak = [uk ] ï ï ï í ï uk +1 = ï ï uk - ak ï ỵ Vì u = u0 ẻ Ă \Ô nờn u0 a0 Do a1 tồn Giả sử uk Ỵ ¡ \Ô Suy uk +1 tn ti v uk +1 ẻ Ă \Ô Ta cú < uk - ak < Suy uk +1 = >1 uk - ak Do ak +1 = éë uk +1 ùû ³ Như tất số a1 , a2 , số nguyên dương Dễ kiểm tra u = éë a0 ; a1 , a2 , , u k , uk +1 ùû -( pk qk +1 - pk -1qk ) u p + pk +1 (-1) = = Từ u - Ck = k +1 k (uk +1qk + qk +1 ) qk (uk +1qk + qk +1 ) qk (uk +1qk + qk +1 ) qk k -1 Vì (u k +1qk + qk +1 ) qk > ak +1qk + qk -1 = qk +1 nên u - Ck < Do u = [ a0 ; a1 , a2 , ] qk qk +1 Tiếp theo, ta tồn Giả sử u = [ a0 ; a1 , a2 , ] = [b0 ; b1 , b2 , ] Vì C0 = a0 , C1 = a0 + giản phân lẻ lớn giản phân chẵn nên a1 a0 < u < a0 + Þ a0 = [u ] a1 Để ý ỉ 1 ÷÷ư u = [ a0 ; a1 , a2 , ] = lim [ a0 ; a1 , a2 , , ak ] = lim ỗỗỗa0 + = b0 + ữữ = a0 + k đƠ k đƠ ỗ [ a1; a2 , ]ø [ a1; a2 , ] [b1; b2 , ] è Vì a0 = b0 = [u ] nên [ a1 ; a2 , ] = [b1 ; b2 , ] Giả sử có ak = bk éë ak +1 ; ak +2 , ùû = éëbk +1 ; bk +2 , ùû Lập luận tương tự trên, ta thu 1 ak +1 + = bk +1 + é ak +2 ; ak +3 , ù ébk +2 ; bk +3 , ù ë û ë û Suy éë ak +2 ; ak +3 , ùû = éëbk +2 ; bk +3 , ùû Bằng phương pháp quy nạp, ta đến ak = bk Ví dụ Biểu diễn Lời giải thành liên phân số vơ hạn Ta có a0 = éê ùú = ë û é + 2ù ú a1 = êê ú=2 ëê ûú u1 = u2 = +2 = -2 = +2 u1 - a1 Trang | a2 = éê + 2ùú = ë û u3 = +2 = = u1 u - a2 Điều dẫn đến a3 = a1 , a4 = a2 , nên = [2; 2, 4, 2, 4, 2, 4, ] Nhận xét Các giản phân liên phân số đơn vô hạn số hữu tỉ cho ta xấp xỉ tốt số vô p tỉ số hữu tỉ Thật vậy, giả sử k giản phân thứ k liên phân số số vơ tỉ u qk Lúc u - pk p 1 Suy u - k < (do qk < qk +1 ) < qk qk qk +1 qk qk Định lý ì ï pn üïï a Giả sử ï giản í ý dãy giản phân liên phân số đơn vô hạn số vô tỉ u ù b ù qn ùỵù ợ phõn ti gin vi mẫu số b > cho ub - a < aqn - pn với số n > b ³ qn+1 Chứng minh ïìqn x + qn+1 y = b Giả sử phản chứng b < qn+1 Xét hệ phương trình hai ẩn ïí ïïỵ pn x + pn +1 y = a q qn+1 n Định thức hệ n = qn pn+1 - qn+1 pn = (-1) ¹ pn pn+1 (1) Do hệ (1) có nghiệm nguyên ( x, y ) Ta thấy x ¹ y ¹ Thật vậy, · Nếu x = b = qn+1 y Vì b > 0, qn+1 > nên y số nguyên dương, b ³ Qn+1 trái với giả thiết phản chứng · Nếu y = b = qn x, a = pn x Khi ub - a = uqn x - pn x = x uqn - pn ³ uqn - pn Điều trái với giả thiết Hơn với giả thiết < b < qn+1 , qn +1 > từ đẳng thức b = qn x + qn +1 y suy x y phải trái dấu Mặt khác, u nằm kẹp hai giản phân liên tiếp p pn n +1 qn qn +1 nên ta có uqn - pn uqn+1 - pn+1 trái dấu Từ suy (uqn - pn ) x (uqn+1 - pn+1 ) y dấu với Hơn nữa, (uqn - pn ) x + (uqn+1 - pn+1 ) y = u (qn x + pn+1 y )- ( pn x + pn+1 y ) = ub - a Vậy ub - a = x (uqn - pn ) + y (uqn+1 - pn+1 ) > x (uqn - qn ) ³ uqn - pn Điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy định lý chứng minh ïì p ïü a Hệ Giả sử u số vô tỉ, ïí n ïý dãy giản phân liên phân số đơn vơ hạn u Nếu ïỵï qn ùỵù b l s hu t, ú a ẻ Â, b ẻ Ơ* v u Chng minh Gi s b £ qk u - p a < u - k b > qk b qk p a < u- k b qk Trang | Ta có b u - a p < qk u - k hay bu - a < qk u - pk , mâu thuẫn với định lý b qk Ví dụ Phân số liên tục đơn p p = [3;7,15,1, 292,1,1,1, 2,1,3, ] p = 3+ 7+ 15 + 1+ 292 + 1+ 1+ 1+ 2+ 1+ +O 22 333 335 103993 , , , , 106 113 33102 Tuy nhiên cách biểu diễn liên phân số khác (khơng tắc) p lại có quy luật Từ ta suy xấp xỉ tốt p 3, p= 1+ 12 2+ = 3+ 12 6+ 52 6+ 72 6+ 92 6+ +O = 1+ 12 3+ 22 32 5+ 42 7+ +O 52 72 2+ 92 2+ +O Trong dạng liên phân số đơn giản p quy luật, điều lại khơng với trường hợp e 2+ e = e1 = [2;1, 2,1,1, 4,1,1, 6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1, ] Tổng quát e n = [1; n -1,1,1,3n -1,1,1,5n -1,1,1, n -1,1,1, ] é n -1 ù 5n -1 n -1 11n - 13n -1 17 n -1 Và e n = ê1; , n, ,1,1, ,18n, ,1,1, , 30 n, ,1,1, ú êë úû 2 2 Với n = e = [7; 2,1,1,3,18, 5,1,1, 6,30,8,1,1,9, 42,11,1,1,12,54,14,1,1, ,3k ,12k + 6,3k + 2,1,1, ] Ví dụ Ta có · tan = [0; n,3n, 5n,7 n,9n,11n,13n,15n,17 n,19 n, ] với n số nguyên dương n · tan = [0; n -1,1, 3n - 2,1,5n - 2,1, n - 2,1,9n - 2,1, ] trường hợp riêng n = n · tan1 = [1;1,1,3,1,5,1, 7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19,1, ] Định lý 10 Giả sử u số vô tỉ, u- a số hữu tỉ (dạng tối gin) ú a ẻ Â, b ẻ Ơ* cho b a a < Khi giản phân liên phân số đơn u b 2b b Trang | a giản phân liên phân số đơn u Khi tồn b p p giản phân liên tiếp k k +1 cho qk £ b £ qk +1 qk qk +1 Chứng minh Giả sử Áp dụng định lý ta có qk u - pk £ bu - a = b u Vì bpk - aqk ³ (là số nguyên khác a p < Suy u - k < b 2b qk 2bqk a pk ¹ ) nên b qk bp - aqk p p a a 1 £ k = k - £ u- k + u- < + bqk bqk qk b qk b 2bqk 2b Do 1 < tức 2bqk > 2b hay qk > b Đây điều mâu thuẫn 2bqk 2b Vậy ta hoàn tất chứng minh Liên phân số vơ hạn tuần hồn Định nghĩa Một liên phân số đơn vô hạn [ a0 ; a1 , a2 , ] gọi tuần hoàn tồn số nguyên dương m k cho an = an+k với số nguyên dương n ³ m Số nguyên dương k gọi chu kỳ Trong trường hợp ta viết é a ; a , a , , a , a , a , , a ù m-1 m m +1 m+ k -1 úû êë Ví dụ éê 2; 4,11,1, 9, 4, 6ùú liên phân số [ 2; 4,11,1, 9, 4,6,1,9, ] ë û Định nghĩa Số vô tỉ u gọi vơ tỉ bậc hai nghiệm tam thức bậc hai với hệ số nguyên Ví dụ Số vơ tỉ u = + số vơ tỉ bậc hai nghiệm phương trình x - x +1 = Bổ đề Số thực u vô tỉ bậc hai tồn số nguyên a, b, c với b > khơng phương; c ¹ cho u = a+ b c Chứng minh Giả sử u số vơ tỉ bậc hai Khi tồn A, B, C ẻ Â cho u l nghim phương trình Ax + Bx + C = Do u = -B ± B - AC 2A Đặt a = -B , b = B - AC , c = A a = B, b = B - AC , c = -2 A a+ b u số vơ tỉ nghiệm phương trình bậc hai c c x - 2acx + a - b = ru + s Bổ đề Nếu u số vơ tỉ bậc hai số vơ tỉ bậc hai r , s, t , v Ỵ ¢ tu + v Đảo lại, u = Chứng minh Giả sử u = a+ b ru + s Thay vào tính tốn đơn giản ta c tu + v Trang | ru + s (ar + cs )( at + cv )- rtb + (r ( at + cv )- t (ar + cs )) b = tu + v (at + cv) - tb Đến ta suy điều phải chứng minh Định nghĩa Số vô tỉ u = a- b gọi liên hợp u ký hiệu u ¢ c Bổ đề Nếu số vô tỉ bậc hai u nghiệm phương trình Ax + Bx + C = liên hợp nghiệm phương trình Chứng minh Ta có u + u ¢ = 2a B a2 - b C = - uu ¢ = = Vì vậy, theo định lý Viet ta suy điều phải chứng c A c2 A minh Bổ đề Giả sử u1 = a1 + b1 d a + b2 d số vơ tỉ bậc hai Khi , u2 = c1 c2 (i) (u1 + u2 )¢ = u1¢ + u2¢ (ii) (u1 - u2 )¢ = u1¢ - u2¢ (iii) (u1u2 ) = u1¢u2 ¢ ỉ u1 ữửÂ u1Â (iv) ỗỗ ữữ = ỗố u2 ữứ u2Â Việc chứng minh bổ đề đơn giản, xem tập nhỏ dành cho bạn đọc Định lý 11 (Định lý Lagrange) Số vô tỉ u có biểu diễn liên phân số tuần hồn số vơ tỉ bậc hai Chứng minh Giả sử u = éê a0 ; a1 , a2 , , am-1 , am , am+1 , , am +k ùú Đặt v = éê am ; am+1 , , am+k ùú Khi ë û ë û é ù v = ë am ; am+1 , , am+k , vû Suy v = vpk + pk -1 p p (*) k , k -1 hai giản phân cuối éë am ; am +1 , , am+k ùû vqk + qk -1 qk qk -1 Từ (*) suy qk v + (qk-1 - pk ) v - pk -1 = Do v số vơ tỉ bậc hai Lại có u = [ a0 ; a1 , a2 , , am-1 , v ], u = vpm-1 + pm-2 vqm-1 + qm-2 Theo bổ đề ta có u số vơ tỉ bậc hai Ví dụ 10 Tìm x biết x = éê3;1, 2ùú ë û Lời giải Ta có x = [3; y ] với y = éê1; 2ùú Lại có y = [1; 2, y ] Khi ë û y +1 y = 1+ = Þ y - y -1 = y +1 2+ y Trang | Vì y > nên y = 1+ 4+ Vì x = + nên ta tìm x = + = y 1+ Ta sử dụng bổ đề sau để chứng minh phần ngược lại Bổ đề Nếu u số vô tỉ bậc hai biểu diễn dạng u = P+ d Q P, Q, d ẻ Â cho Q | d - P Chứng minh Ta có u = a + b a c + bc = c cc Đặt P = a c , d = bc , Q = c c = ±c Khi d - P = c (b - a ) | Q = ±c Giả sử u = u0 số vô tỉ bậc hai Ta xây dựng dãy ( a0 , a1 , a2 , ) sau Dựa vào bổ đề ta có số nguyên p0 , Q0 d cho u0 = Ta đặt a0 = [u0 ] xác định P1 = a0 Q0 - P0 , Q1 = d - P02 P+ d Tiếp theo, ta đặt a1 = [u1 ] , u1 = Q0 Q1 Mt cỏch tng quỏt, nu cú Pk ẻ Â; Qk ẻ Â; Qk | d - Pk2 ; uk = ta đặt Pk +1 = ak Qk - Pk , Qk +1 = P0 + d ; Q0 | d - P02 Q0 Pk + d ; ak = [uk ] Qk d - Pk2+1 P + d , uk +1 = k +1 , ak +1 = éëuk +1 ùû Qk Qk +1 Bằng tính toán, ta thu Qk +1 = d - Pk2 + ( 2ak Pk - ak2Qk ) Qk Qk +1 ẻ Â v vỡ Qk +1Qk = d - Pk2+1 Qk +1 | d - Pk2+1 Ta chứng minh u = [ a0 ; a1 , a2 , ] dãy số {an } xác định tuần hoàn Ví dụ 11 Khai triển liên phân số số u = + 28 Lời giải Ta có P0 = 6, Q0 = 4, d = 28, | 28 - 62 = -8, u0 = + 28 , a0 = [u0 ] = P1 = 2.4 - = 2, Q1 = 28 - 22 + 28 = 6, u1 = , a1 = [u1 ] = P2 = 1.6 - = 4, Q2 = 28 - 4 + 28 = 2, u2 = , a2 = [u2 ] = P3 = 4.2 - = 4, Q3 = 28 - 4 + 28 = 6, u3 = , a3 = [u3 ] = P4 = 1.6 - = 2, Q4 = 28 - 22 + 28 = 4, u4 = , a4 = [u4 ] = Trang | 10 28 - 2 + 28 = 4, u5 = , a5 = [u5 ] = Ta thấy P1 = P5 , Q1 = Q5 Do a1 = a5 dãy tuần hoàn với chu kỳ Ta có P5 = 1.4 - = 2, Q5 = + 28 é = ê 2;1, 4,1,1,1ùú ë û Định lý 12 Số vô tỉ bậc hai u có biểu diễn tuần hồn từ đầu u > -1 < u ¢ < Chứng minh định lý phức tạp chúng tơi khơng trình bày Việc cần làm xác định biểu diễn liên phân số d Xét u = d + éê d ùú Ta có u ¢ = éê d ùú - d Do u > -1 < u ¢ < ë û ë û Như u có biểu diễn tuần hoàn từ lúc đầu Số hạng a0 = éê d + éê d ùú ùú = éê d ùú = 2a với a = éê d ùú ë ûû ë û ë û ë Ta có d + a = d + éê d ùú = éê 2a; a1 , a2 , , an ùú = éê 2a; a1 , a2 , , an , 2a; a1 , a2 , , an ùú û ë û ë û ë Suy d = éê a; a1 , a2 , , an , a ùú ë û Hơn nữa, ta chứng minh a1 = an , a2 = an-1 , Suy dãy ( a1 , a2 , , an ) đối xứng, tức có d = éê a; a1 , a2 , , a1 , 2a ùú (ở a = d ) ë û Ví dụ 12 Ta có 23 = éê 4;1,3,1,8ùú ë û dạng 29 = éê5; 2,1,1, 2,10ùú ë û 31 = éê5;1,1,3,5,3,1,1,10ùú ë û 46 = éê 6;1, 2,1,1, 2, 6, 2,1,1, 2,1,12ùú ë û 97 = éê9;1,5,1,1,1,1,1,1, 5,1,18ùú ë û II Bài tập rèn luyện Biểu diễn phân số 62 2134 ;thành liên phân số hữu hạn 23 215 Lời giải Ta có 62 = 2.23 + 16 23 = 1.16 + 16 = 2.7 + = 3.2 + = 2.1 62 Suy = [ 2;1, 2,3, ] 23 2134 Tương tự = [-10;13, 2,3, 2] 215 Tính giản phân liên phân số [1; 2,1, 2,1] Lời giải Trang | 11 Ta lập bảng gồm cột Cột 1,2,3,4 thứ tự cột giá trị ak , pk , qk , ck Trước tiên, ta điền giá trị a0 , a1 , a2 , vào cột đầu tìm điền giá trị p0 , p1 , q0 , q1 vào bảng ak pk qk ck 1 11 15 11 11 15 11 Chú ý p0 = a0 , p1 = a0 a1 + 1, q0 = 1, q1 = a1 Để tìm giá trị p ( p2 ) ta lấy a dòng với dòng với ( a2 ) nhân với p dòng trước ( p1 ) cộng với p dòng trước ( p0 ) Tiếp tục trình này, ta tìm giá trị p, q cịn lại Tìm x biết x = éê 5; 2,1, 2, 2ùú ë û Lời giải Xét liên phân số tuần hoàn x = éê5; 2,1, 2, 2ùú = [5; 2,1, 2, 2,1, 2, 2, ] ë û 1 Đặt y = éê1, 2, 2ùú Khi x = + y = + ë û 1 2+ 2+ y 2+ y Do y - y - = Û y = ± 85 + 85 Vì y > nên y = 10 10 230 -10 85 = 60 2+ + 85 10 Tìm x biết x số vơ tỉ bậc hai thỏa mãn phương trình x + x -1 = Vậy x = + Lời giải Phương trình cho viết lại sau x ( x + 1) = Þ x = có x = 1 1+ 1+ x Vậy x = éê 0;1ùú ë û Tiếp tục ta x = 1+ 1+ 1 Thay x = vào vế phải ta 1+ x 1+ x 1+ O Trang | 12 Cho A = 30 + 12 10 + 2003 Viết lại A = ao + a1 + + an-1 + Viết kết theo thứ tự [ a0 ; a1 , , an-1 , an ] = [ ; , , ] an Lời giải 12 12.2003 24036 = 3+ = 30 + 20035 20035 10 + 2003 4001 1 = 30 + + = 31 + = 31 + 20035 30 20035 5+ 4001 4001 Tiếp tục tính trên, cuối ta A = 31 + 5+ 133 + 2+ 1+ 2+ 1+ Viết kết theo ký hiệu liên phân số [ a0 ; a1 , , an-1 , an ] = [31;5,133, 2,1, 2,1, ] Ta có A = 30 + Tìm giá trị x, y cho a) + b) x 1+ 2+ y 1+ = 3+ = 1 3+ x 4+ 3+ 2+ y 2+ 4+ Lời giải a) Đặt A = 1+ ; B= 2+ 1 3+ 4+ 3+ 2+ 844 12556 = -8 = B- A 1459 1459 24 b) Làm tương tự câu a) ta tìm y = 29 Ta có + Ax = Bx Þ x = Trang | 13 (APMOPS 2013) Nếu viết 2013 dạng a + 1990 b+ với a, b, c, d , e số nguyên c+ d+ e dương giá trị a + b + c + d + e bao nhiêu? Lời giải 2013 23 1 = 1+ = 1+ Ta biết = 1+ = 1+ 1990 12 1990 1990 86 + 86 + 23 23 23 12 1 = 1+ = 1+ = 1+ 1 86 + 86 + 86 + 1 1+ 1+ 1+ 12 12 1+ 11 11 Do a + b + c + d + e = + 86 + +1 +11 = 110 Trang | 14 ... 2, 4, 2, 4, ] Nhận xét Các giản phân liên phân số đơn vô hạn số hữu tỉ cho ta xấp xỉ tốt số vô p tỉ số hữu tỉ Thật vậy, giả sử k giản phân thứ k liên phân số số vơ tỉ u qk Lúc u - pk p 1 Suy... u số vô tỉ, u- a số hữu tỉ (dạng tối gin) ú a ẻ Â, b ẻ Ơ* cho b a a < Khi giản phân liên phân số đơn u b 2b b Trang | a giản phân liên phân số đơn u Khi tồn b p p giản phân liên tiếp k k +1... Các liên phân số hữu hạn [ a0 ; a1 , a2 , , ak ] với k ẻ Â v Ê k < n c gọi giản Ví dụ Đây biểu diễn không phân thứ k liên phân số hữu hạn [ a0 ; a1 , , ak ] Ký hiệu Ck Định lý Cho liên phân số