Định giá quyền chọn châu á

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MƠN TỐN  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN CHÂU Á GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN SINH VIÊN THỰC HIỆN THS NGUYỄN THỊ HỒNG DÂN VÕ THỊ KIỀU THANH (BỘ MƠN TỐN – KHOA KHTN) NGÀNH: TỐN ỨNG DỤNG CẦN THƠ - 05/2010 Trang LỜI CẢM ƠN  Em xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy Cơ Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Cần Thơ trực tiếp giảng dạy trang bị cho em đầy đủ kiến thức làm tảng cho trình viết luận văn Đặc biệt em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Nguyễn Thị Hồng Dân, cô tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian thực luận văn Em xin chân thành cám ơn Qu ý Thầy Cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn Con xin gửi tất lòng biết ơn sâu sắc kính trọng đến ơng bà, cha mẹ, tồn thể gia đình, người ni dạy trưởng thành đến ngày hôm Xin chân thành cám ơn giúp đỡ, động viên anh chị tất bạn, người giúp có đủ nghị lực v ý chí để hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng hết sức, song chắn luận văn không khỏi thiếu sót Em mong nhận thơng cảm bảo tận tình Q Thầy Cơ bạn Cần Thơ, ngày 26 tháng 05 năm 2010 Sinh viên thực Võ Thị Kiều Thanh Trang DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng Giá trị Quyền chọn mua châu Âu Trang 36 Bảng Giá trị Quyền chọn mua châu Á châu Âu Trang 38 Bảng Giá trị Quyền chọn mua châu Á với hai biến điều chỉnh U V Trang 40 Bảng Giá trị Quyền chọn mua châu Á với biến đối lập Trang 42 Trang Trang MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Trang CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trang 1.1 Xích Markov Trang 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên Trang 1.1.2 Xích Markov Trang 1.2 Tiến trình Trang 1.2.1 Định nghĩa Trang 1.2.2 Đường tiến trình Trang 1.2.3 Luật phân phối tiến trình Trang 1.3 Chuyển động Brown Trang 1.3.1 Định nghĩa Trang 1.3.2 Hiệp phương sai chuyển động Brown Trang 1.3.3 Các phân phối hữu hạn chiều chuyển động Brown Trang 1.3.4 Định nghĩa chuyển động Brown kết hợp với Lọc Trang 1.3.5 Định lý Trang 1.4 Martingale .Trang10 1.4.1 Định nghĩa Trang 10 1.4.2 Một số định lý Trang 11 1.5 Định lý Girsanov Trang 12 CHƯƠNG ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN CHÂU Á Trang14 2.1 Giới thiệu Quyền chọn Quyền chọn châu Á .Trang14 2.1.1 Quá trình hình thành Quyền chọn Trang 14 2.1.2 Quyền chọn Trang 15 2.1.3 Quyền chọn châu Á .Trang 15 Trang 2.2 Định giá Quyền chọn châu Á công thức Black-Scholes Trang 17 2.2.1 Mơ hình Black-Scholes Trang 17 2.2.2 Định giá loại Quyền chọn châu Á tính theo trung bình hình học Trang 20 2.3 So sánh Quyền chọn châu Á với Quyền chọn châu Âu Trang 25 2.4 Phương pháp Monte Carlo cho việc định giá Quyền chọn châu Á Trang 29 2.4.1 Phương pháp Monte Carlo đơn giản Trang 29 2.4.2 Kỹ thuật giảm phương sai Trang 30 2.4.3 Định giá Quyền chọn châu Âu Trang 32 2.4.4 Định giá Quyền chọn châu Á tính theo trung bình hình học Trang 33 CHƯƠNG SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATLAB TRONG ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN Trang 35 3.1 Ví dụ Trang 35 3.2 Ví dụ Trang 37 3.3 Ví dụ Trang 39 3.4 Ví dụ Trang 41 KẾT LUẬN Trang 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 44 Trang LỜI MỞ ĐẦU Hiện nay, thị trường toàn cầu nói chung, thị trường Việt Nam nói riêng đứng trước biến động khơng thể dự đốn giá “Liệu có biện pháp để phịng ngừa rủi ro hay bảo vệ lợi nhuận cho nhà đầu tư trước biến động biện pháp hữu hiệu sử dụng nước giới ?” Một công cụ bảo hiểm giúp nhà đầu tư quản lý hạn chế rủi ro ưa chuộng phổ biến giới Quyền chọn Trong Quyền chọn châu Á kiểu thực Quyền chọn mà nhiều nhà nghiên cứu kinh tế quan tâm chi phí cho thấp so với Quyền chọn Mỹ Quyền chọn châu Âu Nhưng làm để định giá xác hợp đồng Q uyền chọn kiểu châu Á, thật vấn đề quan trọng đầy thử thách Bởi cần biến động nhỏ tỷ giá ảnh hưởng đáng kể đến khả sinh lợi hợp đồng, cần phát triển mơ hình định giá cách xác nạp kiện vào máy tính để nhanh chóng điều chỉnh giá bán hợp đồng theo biến động tỷ giá thị trường giao Mặc dù Quyền chọn tồn quan niệm từ xa xưa, công bố công thức Black- Scholes (1973) áp dụng cho việc định giá Quyền chọn mua châu Âu việc định giá dùng Ngồi cịn có số phương pháp định giá Quyền chọn khác giới thiệu sử dụng để phân tích Quyền chọn phức tạp như: phương pháp nhị phân, mô hình sai phân hữu hạn mơ Monte Carlo Đối với nhiều loại Quyền chọn, kỹ thuật tính tốn truyền thống khó cơng cụ tính phức tạp Trong trường hợp này, phương pháp Monte Carlo thường sử dụng Trang Vì vậy, đề tài tìm hiểu cách định giá Quyền chọn châu Á công thức Black- Scholes phương pháp Monte Carlo Hơn với phát triển cơng nghệ thơng tin nay, đề tài cịn nghiên cứu cách sử dụng phần mềm Matlab để định giá Quyền chọn châu Á Với phạm vi nghiên cứu trên, nội dung đề tài bao gồm chương  Chương Cơ sở lý thuyết  Chương Định giá Quyền chọn châu Á  Chương Sử dụng phần mềm Matlab định giá Quyền chọn châu Á Trong trình nghiên cứu thực hiện, đề tài sử dụng phương pháp phân tích - tổng hợp tài liệu, đồng thời kết hợp với nguồn thông tin sưu tầm từ sách báo website có liên quan… Trang CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Xích Markov 1.1.1 Q trình ngẫu nhiên Q trình ngẫu nhiên { X (t ) , t ∈ T } tập hợp đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) Nghĩa là, với t ∈ T X t ĐLNN Chỉ số t xem thời gian X t trạng thái q trình thời điểm t Khơng gian trạng thái trình ngẫu nhiên xác định tập hợp tất giá trị ĐLNN Do đó, q trình n gẫu nhiên họ ĐLNN diễn tả diễn tiến theo thời gian q trình 1.1.2 Xích Markov Xét trình ngẫu nhiên { X n , n = 0, 1, 2, } nhận hữu hạn vơ hạn đếm giá trị Ta ký hiệu tập hợp giá trị q trình tập hợp số nguyên không âm {0, 1, 2, } Nếu X n = i trình trạng thái thứ i thời điểm n Ta giả sử trình trạng thái thứ i có xác suất cố định Pij để trình đến trạng thái thứ j Đó P ( X n= j / X= i, X n= in −1 , , X= i0= ) +1 −1 n với trạng thái i0 , , in −1 , i, j với n ≥ Quá trình gọi xích Markov Trang Pij (*) Phương trình (*) diễn tả phân phối có điều kiện trạng thái tương lai X n +1 xích Markov biết trạng thái khứ X , , X n −1 trạng thái X n , độc lập với trạng thái khứ phụ thuộc vào trạng thái Giá trị Pij xác suất để trình trạng thái thứ i biến đổi sang trạng thái thứ j Vì xác suất khơng âm trình phải biến đổi đến trạng thái nên: Pij ≥ , i, j ≥ ∞ P ∑= j =0 ij i 0, 1, 1,= Ký hiệu P ma trận xác suất qua bước biến đổi P00 P P = 10 P20 P01 P11 P21 P02 P12 P22 Tiến trình 1.2.1 Định nghĩa * Một tiến trình họ ĐLNN ( X t )t∈I , với I ∈ R + , t đại diện cho thời gian * Một lọc ( F t )t≥0 chuỗi không giảm tập A σ - đại số Nghĩa là, với ≤ s ≤ t F s ⊂ F t * Tiến trình tương thích: Một tiến trình ( X t )t∈I gọi tương thích với lọc ( F t )t≥0 nếu: ∀t ≥ 0, X t đo F t Trang 10 hay θˆ → θ n → ∞ (hầu khắp nơi) Mơ Monte Carlo khơng xác, mơ ln phải tính đến phương sai mẫu Và phương sai tính theo công thức s2 = ( n ∑ g ( X i ) − θˆ n − i =1 ) Theo định lý giới hạn trung tâm có n (θˆ − θ ) s → N ( 0,1) n → ∞ nói θˆ − θ xấp xỉ biến có phân phối chuẩn với tỷ lệ s / n , tức cho n đủ lớn có  s s   ≈ 1−α < θ < θˆ + z α Pθˆ − z α  n n 2   s s   Ví dụ, với độ tin cậy 95% ước lượng θ  θˆ − 1.96 , θˆ + 1.96  n n  Từ đó, có cách để tính xấp xỉ θ khoảng biến thiên Theo phương pháp Monte Carlo đơn giản, xem ước lượng θ θˆ Nhược điểm phương pháp Monte Carlo đơn giản tốc độ hội tụ chậm Chẳng hạn cho n tăng lên 100 lần sai số chuẩn s n giảm xuống 10 lần Vì để tăng độ xác cần tính tốn nhiều 2.4.2 Kỹ thuật giảm phương sai Thay đơn giản tăng số n, tập trung vào việc giảm kích thước s để thu hẹp khoảng tin cậy Kỹ thuật gọi kỹ thuật giảm phương sai Chúng ta giới thiệu vài kỹ thuật thường sử dụng a Phương pháp sử dụng biến điều chỉnh Giả sử ta muốn ước lượng θ = E (Y ) với Y = g ( X ) Giả sử ta tìm biến ngẫu nhiên Z với trung bình E ( Z ) biết Sau xây dựng nhiều ước lượng không chệch θ : Trang 34  θ = Y , ước lượng thông thường;  θ c =+ Y c ( Z − E ( Z )) c số thực Dễ thấy  E θ c =E (Y ) + c ( E ( Z ) − E ( Z ) ) =E (Y ) =θ , ( ) Do áp dụng Monte Carlo để có ước lượng thay ước lượng thông thường Trong phần này, biến ngẫu nhiên Z gọi biến điều chỉnh Bây câu hỏi đặt phương sai có thấp hay khơng? Ta có  Var θ c = Var (Y ) + c 2Var ( Z ) + 2cCov (Y , Z ) ( ) c số thực bất kỳ, nên ta chọn cho c nhỏ Với phép tính đơn giản suy cmin = − Cov (Y , Z ) Var ( Z ) Thay vào phương trình bậc hai, ta  Var θ c = Var (Y ) + cmin Var ( Z ) + 2cmin Cov (Y , Z ) ( ) = Var (Y )  ( ) = Var θ ( Cov (Y , Z ) ) − Var ( Z ) ( Cov (Y , Z ) ) − Var ( Z ) Miễn Cov (Y , Z ) ≠ , có phương sai nhỏ Đó ất t kỹ thuật liên quan đến phương pháp sử dụng biến điều chỉnh Việc giới thiệu biến điều chỉnh thích hợp cung cấp kỹ thuật giảm phương sai hiệu Tuy nhiên, khó tìm biến điều chỉnh phù hợp Vì sau xem xét phương pháp thay thế, phương pháp sử dụng biến đối lập, thường áp dụng dễ dàng Trang 35 b Phương pháp sử dụng biến đối lập Giả sử lần muốn ước lượng = θ E= (Y ) E ( g ( X ) ) , tạo hai mẫu Y1 Y2 Khi ước lượng khơng chệch θ cho  θ = Y1 + Y2 Do đó, có  Var θ ( ) = Var (Y1 ) + Var (Y2 ) + 2Cov (Y1 , Y2 ) Rõ ràng nhận phương sai nhỏ có hai mẫu tương quan nghịch Sau thuật toán cho trường hợp Giả sử = θ E= (Y ) E ( g ( X ) ) X ~ N (0,1) , Ước lượng Monte Carlo đơn giản  θ = n ∑ g(X i ) , n i =1 với X i ~ N ( 0,1) , Và ước lượng phương pháp sử dụng biến đối lập  θa = n g ( Xi ) + g (−Xi ) , ∑ n i =1 với X i ~ N ( 0,1) , X i − X i gọi biến đối lập Rõ ràng hai biến đối lập tương quan nghịch Vì vậy, hàm g đơn điệu, có th ể có phương sai nhỏ cách sử dụng phương pháp 2.4.3 Định giá Quyền chọn châu Âu Từ (1.4), có = S (T ) S (t ) ex (( r p− σ / 2) (T − t ) + σ ) (T − t ) X , với X ~ N (0,1) Để thuận lợi, lấy t = , ( ) S (T ) = S0 exp ( r − σ / ) T + σ T X , với X ~ N (0,1) Trang 36 Thuật toán phương pháp Monte Carlo đơn giản để định giá Quyền chọn mua châu Âu thể sau set sum = for i = to n generate S (T ) set sum = sum + max ( 0, S (T ) − K ) end = Cˆ K exp ( −rT ) sum / n set Tương tự , thuật toán phương pháp Monte Carlo đơn giản để định giá Quyền chọn bán châu Âu thể sau set sum = for i = to n generate S (T ) set sum =+ sum max ( 0, K − S (T ) ) end set = Pˆ K exp ( −rT ) sum / n Để kết tốt hơn, nên áp dụng phương pháp sử dụng biến đối lập để giảm sai số chuẩn 2.4.4 Định giá Quyền chọn châu Á tính theo trung bình số học Tương tự Quyền chọn châu Âu từ (1.4) ta có ( S= (T / m ) S ( t ) exp ( r − σ / ) (T / m − t ) + σ (T / m − t ) X ) , với X ~ N (0,1) Khi đó, thuật tốn phương pháp Monte Carlo đơn giản sử dụng cho việc định giá Quyền chọn mua châu Á tính theo trung bình số học viết sau set sum = for i = to n generate S (T / m ) , S ( 2T / m ) , , S (T ) Trang 37   m   ∑ S (iT / m ) i =0  set sum = sum + max 0, −K   m +1     end set K ,a exp(− rT ) sum / n Cˆ= Thuật toán phương pháp Monte Carlo đơn giản sử dụng cho việc định giá Quyền chọn bán châu Á tính theo trung bình số học set sum = for i = to n generate S (T / m ) , S ( 2T / m ) , , S (T ) m   S ( iT / m )  ∑  set sum = sum + max  0, K − i =0  m +1     end set K ,a Pˆ= exp(− rT ) sum / n Nhưng để có kết tốt nên sử dụng biến điều chỉnh Trên thực tế, có nhiều biến điều chỉnh ta dùng Và Quyền chọn mua châu Á tính theo trung bình hình ọhc xem biến điều chỉnh phù hợp mà tìm  m1+1∑ ln S  iTm     − rT  V e e = −K     m + i =0 Ngoài Quyền chọn mua châu Âu lựa chọn khác U = e − rT (S (T ) − K ) + Để làm rõ điều ta xét số ví dụ tính Quyền chọn chương trình Matlab Trang 38 CHƯƠNG SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATLAB TRONG ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN Để việc tính tốn xác nhanh chóng sử dụng phần mềm Matlab để định giá Quyền chọn 3.1 Ví dụ Định giá quyền chọn mua châu Âuới v = S0 100, = r 0.05, σ = 0.2, n = 10000 Câu lệnh Matlab % Phuong phap Monte Carlo don gian S0=100; K=90; T=2; r=0.05; sigma=0.2; n=10000; Z=randn(n,1) ST=S0*exp((r-(sigma^2)/2)*T+sigma*sqrt(T)*Z) Payoff=exp(-r*T)*max(0,ST-K) C_mceu=mean(Payoff) Stderr=std(Payoff)/sqrt(n) %Phuong phap su dung bien doi lap ST_=S0*exp((r-(sigma^2)/2)*T+sigma*sqrt(T)*(-Z)) Payoff_=exp(-r*T)*max(0,ST_-K) v=0.5*(Payoff+Payoff_) C_aveu=mean(v) Stderrav=std(v)/sqrt(n) %Công thuc Black-Scholes d1_=(log(S0/K)+(r+(sigma^2)/2)*T)/(sigma*sqrt(T)) d2_=(log(S0/K)+(r-(sigma^2)/2)*T)/(sigma*sqrt(T)) C_bseu=S0*normcdf(d1_)-K*exp(-r*T)*normcdf(d2_) Trang 39 K T thay tương ứng với K T bảng sau Bảng Giá trị Quyền chọn mua châu Âu K T 90 Giá trị quyền chọn mua châu Âu tính theo cơng thức BlackScholes 22.0334 30.6639 37.8256 44.0301 100 16.1268 25.2133 32.7762 39.3598 110 11.4555 20.5396 28.2889 35.1205 Giá trị quyền chọn mua châu Âu tính theo phương pháp Monte Carlo đơn giản 22.0635 30.9537 38.4300 44.4023 Giá trị quyền Sai số chuẩn Sai số chọn mua phương chuẩn châu Âu tính pháp phương theo Monte Carlo pháp phương pháp đơn giản đối lập biến đối lập biến 0.2514 0.3762 0.4870 0.5604 22.0253 30.7336 38.0202 43.7853 0.1027 0.1688 0.2288 0.2723 15.8331 25.3375 32.6012 39.3915 0.2245 0.3495 0.4592 0.5681 16.1204 25.4669 32.8997 39.5786 0.1139 0.1772 0.2368 0.2947 11.3019 20.8877 28.1503 35.1795 0.1951 0.3317 0.4332 0.5455 11.2098 20.6148 28.2346 35.3658 0.1125 0.1803 0.2365 0.3012 Bảng cho ta kết phương pháp định giá Quyền chọn mua châu Âu với tham số cho Chúng ta dễ dàng thấy giá trị Quyền chọn mà nhận hai phương pháp Monte Carlo đơn giản sử dụng biến đối lập gần với giá trị Quyền chọn tương ứng tính cơng thức Black–Scholes Và sai số phương pháp sử dụng biến đối lập nhỏ phương pháp Monte Carlo đơn giản Trang 40 3.2 Ví dụ Định giá quyền chọn mua châu Á tính theo trung bình hình học cơng thức Black-Scholes, quyền chọn mua châu Á tính theo trung bình số học phương pháp Monte Carlo đơn giản so sánh với quyền chọn mua châu Âu , với = S0 100, = r 0.05, = σ 0.2, T=1, n = 10000 Câu lệnh Matlab S0=100; K=90; sigma=0.2; r=0.05; T=1; m=10; Dt=T/m; n=10000; %Dinh gia quyen chon mua chau Au bang công thuc Black-Scholes d1_=(log(S0/K)+(r+(sigma^2)/2)*T)/(sigma*sqrt(T)) d2_=(log(S0/K)+(r-(sigma^2)/2)*T)/(sigma*sqrt(T)) C_bseu=S0*normcdf(d1_)-K*exp(-r*T)*normcdf(d2_) %Dinh gia quyen chon mua chau A tinh theo trung binh hinh hoc bang cong thuc Black-Scholes sigsq=sigma^2*(2*m+1)/(6*m+6) mu=0.5*sigsq+0.5*(r-0.5*sigma^2) d1=(log(S0/K)+(mu+0.5*sigsq)*T)/(sqrt(sigsq*T)) d2=(log(S0/K)+(mu-0.5*sigsq)*T)/(sqrt(sigsq*T)) gao=exp(-r*T)*(S0*exp(mu*T)*normcdf(d1)-K*normcdf(d2)) matrix=randn(n,m) St=S0*[ones(n,1),cumprod(exp((r-0.5*sigma^2)*Dt+sigma* sqrt(Dt)*matrix),2)] %Dinh gia quyen chon mua chau A tinh theo trung binh so hoc bang phuong phap Monte Carlo don gian arithave=mean(St,2) Parith=exp(-r*T)*max(arithave-K,0) Pmean=mean(Parith) Pstderr=std(Parith)/sqrt(n) Trang 41 Bảng Giá trị Quyền chọn mua châu Á châu Âu Giá trị quyền Giá trị quyền chọn mua chọn mua châu Á tính châu Á tính theo theo cơng thức phương pháp Black Monte Carlo Scholes đơn giản 12.2398 12.5200 12.2769 12.4823 12.3009 12.6846 12.3092 12.6028 12.3134 12.5876 12.3160 12.6580 K Giá trị quyền chọn mua châu Âu tính theo công thức Black-Scholes 90 16.6994 10 20 50 100 200 500 100 10.4506 10 20 50 100 200 500 5.4294 5.4856 5.5217 5.5217 5.5404 5.5443 5.6697 5.5817 5.9601 5.6351 5.7911 5.7823 0.0792 0.0774 0.0817 0.0779 0.0803 0.0790 110 6.0401 10 20 50 100 200 500 1.7500 1.7952 1.8243 1.8344 1.8395 1.8426 1.8872 1.8735 1.9960 2.0496 2.0218 2.0012 0.0479 0.0467 0.0484 0.0510 0.0496 0.0494 m Sai số chuẩn phương pháp Monte Carlo đơn giản 0.1027 0.1021 0.1042 0.1039 0.1045 0.1030 Các kết trình bày bảng 2, cho thấy số bước thời gian lớn sai số chuẩn phương pháp Monte Carlo đơn giản không nhỏ tất trường hợp Vì vậy, kỹ thuật giảm phương sai cần thiết trường hợp Ngoài ra, ũc ng thấy giá trị Quyền chọn mua châu Á nhỏ Quyền chọn mua châu Âu Trang 42 3.3 Ví dụ Định giá quyền chọn mua châu Á tính theo trung bình số học phương pháp sử dụng biến điều chỉnh với hai biến điều chỉnh nói với S0 = 100, r = 0.05, σ = 0.2, T=1, n = 10000 Câu lệnh Matlab S0=100; K=90; sigma=0.2; r=0.05; T=1;m=10; Dt=T/m; n=10000; matrix=randn(n,m) St=S0*[ones(n,1),cumprod(exp((r-0.5*sigma^2)*Dt+sigma* sqrt(Dt)*matrix),2)] arithave=mean(St,2) Parith=exp(-r*T)*max(arithave-K,0) %Dinh gia quyen chon chau A tinh theo trung binh so hoc bang phuong phap su dung bien dieu chinh(quyen chon mua chau Au) d1_=(log(S0/K)+(r+(sigma^2)/2)*T)/(sigma*sqrt(T)) d2_=(log(S0/K)+(r-(sigma^2)/2)*T)/(sigma*sqrt(T)) C_bseu=S0*normcdf(d1_)-K*exp(-r*T)*normcdf(d2_) europayoff=St(:,(m+1)) Peuro=exp(-r*T)*max(europayoff-K,0) cov_euro=cov(Parith,Peuro) c_euro=-cov_euro(1,2)/cov_euro(2,2) E=Parith+c_euro*(Peuro-C_bseu) Emean=mean(E) Estderr=std(E)/sqrt(n) %Dinh gia quyen chon mua chau A tinh theo trung binh so hoc bang cach su dung bien dieu chinh (quyen chon mua chau A tinh theo trung binh hinh hoc) sigsq=sigma^2*(2*m+1)/(6*m+6) mu=0.5*sigsq+0.5*(r-0.5*sigma^2) d1=(log(S0/K)+(mu+0.5*sigsq)*T)/(sqrt(sigsq*T)) Trang 43 d2=(log(S0/K)+(mu-0.5*sigsq)*T)/(sqrt(sigsq*T)) gao=exp(-r*T)*(S0*exp(mu*T)*normcdf(d1)-K*normcdf(d2)) gaoave=exp((1/(m+1))*sum(log(St),2)) Pgao=exp(-r*T)*max(gaoave-K,0) cov_gao=cov(Parith,Pgao) c_gao=-cov_gao(1,2)/cov_gao(2,2) Z=Parith+c_gao*(Pgao-gao) Zmean=mean(Z) Zstderr=std(Z)/sqrt(n) Bảng Giá trị quyền chọn mua châu Á với hai biến điều chỉnh U V Giá trị quyền Giá trị quyền chọn mua Sai số chuẩn chọn mua Sai số chuẩn châu Á với với biến điều châu Á với với biến điều biến điều chỉnh U biến điều chỉnh V chỉnh U chỉnh V 12.5477 0.0500 12.5469 0.0030 12.5895 0.0523 12.5682 0.0026 12.4902 0.0534 12.5854 0.0025 12.6092 0.0543 12.5923 0.0026 12.6706 0.0548 12.5903 0.0024 12.6318 0.0548 12.5978 0.0026 K m 90 10 20 50 100 200 500 100 10 20 50 100 200 500 5.7396 5.7122 5.7802 5.7185 5.7767 5.7346 0.0395 0.0413 0.0427 0.0429 0.0432 0.0434 5.6668 5.7152 5.7372 5.7537 5.7585 5.7610 0.0022 0.0023 0.0021 0.0022 0.0022 0.0021 110 10 20 50 100 200 500 1.8731 1.9646 1.9724 1.9293 2.0186 1.9623 0.0271 0.0286 0.0288 0.0289 0.0295 0.0289 1.9125 1.9521 1.9747 1.9818 1.9869 1.9904 0.0019 0.0021 0.0020 0.0020 0.0021 0.0020 Trang 44 Từ bảng nhận giá trị Quyền chọn từ phương pháp sử dụng biến điều chỉnh Ta thấy sai số chuẩn sử dụng Quyền chọn mua châu Âu làm biến điều chỉnh giảm xuống xấp xỉ 50% so với phương pháp Monte Carlo đơn giản Tiếp tục quan sát việc đưa Quyền chọn mua châu Á tính theo trung bình hình học vào làm biến điều chỉnh sai số chuẩn lại giảm thêm nhiều Vì biến điều chỉnh xem phù hợp 3.4 Ví dụ Định giá Quyền chọn mua châu Á tính theo trung bình số học phương pháp sử dụng biến đối lập với = S0 100, = r 0.05, = σ 0.2, T=1, = n 10000 Câu lệnh Matlab S0=100; K=90; sigma=0.2; r=0.05; T=1; m=10; Dt=T/m; n=10000; matrix=randn(n,m) St=S0*[ones(n,1),cumprod(exp((r-0.5*sigma^2)*Dt+sigma* sqrt(Dt)*matrix),2)] arithave=mean(St,2) %Su dung bien doi lap de dinh gia quyen chon mua chau A tinh theo trung binh hinh hoc St_=S0*[ones(n,1),cumprod(exp((r-0.5*sigma^2)*Dt+sigma* sqrt(Dt)* (-matrix)),2)] Uarithave=mean(St_,2) Aarith=exp(-r*T)*0.5*(max(arithave-K,0)+max(Uarithave-K,0)) Amean=mean(Aarith) Astderr=std(Aarith)/sqrt(n) Trang 45 Bảng Giá trị Quyền chọn mua châu Á với biến đối lập K m 90 10 20 50 100 200 500 Giá trị quyền chọn mua châu Á với biến đối lập 12.5120 12.5873 12.5539 12.5983 12.5850 12.6405 100 10 20 50 100 200 500 5.6384 5.6967 5.7839 5.7697 5.8053 5.7076 0.0379 0.0380 0.0397 0.0386 0.0389 0.0388 110 10 20 50 100 200 500 1.9096 1.9339 2.0171 1.9987 1.9570 1.9527 0.0304 0.0308 0.0322 0.0320 0.0311 0.0313 Sai số chuẩn với biến đối lập 0.0242 0.0253 0.0250 0.0259 0.0261 0.0265 Dựa vào số bảng ta thấy phương pháp sử dụng biến đối lập hiệu việc sử dụng Quyền chọn mua châu Âu làm biến điều chỉnh Nhưng biến điều chỉnh Quyền chọn mua châu Á tính theo trung bình hình học có hiệu thấp Tóm lại kết mơ từ bảng – thể bất đẳng thức C K , g ( S0 , T ) ≤ Cˆ K ,a ( S0 , T ) ≤ C K ( S0 , K ) điều phù hợp với hai mệnh đề ta đề cập phần trước Trang 46 KẾT LUẬN Trong đề tài này, dựa kiến thức xác suất thống kê học, ban đầu tiếp cận với khái niệm Quyền chọn, Quyền chọn châu Á, cách định giá Quyền chọn châu Á, em giới thiệu hai phương pháp định giá Quyền chọn châu Á: công thức Black-Scholes mô phỏn g Monte Carlo Với mô Monte Carlo để giảm sai số phải tăng số lần lặp lên nhiều, cải tiến hai kỹ thuật giảm phương sai hiệu quả: sử dụng biến điều chỉnh biến đối lập Bên cạnh đó, đề tài thực định giá Quyền chọn châu Á phần mềm Matlab Trong tương lai, em hy vọng tiếp tục nghiên cứu phương pháp cải tiến mô Monte Carlo mộ t số phương pháp định giá khác cho Quyền chọn châu Á, Quyền chọn châu Âu Quyền chọn Mỹ Do có hạn chế kiến thức thời gian nghiên cứu nên khơng thể tránh thiếu sót Em mong nhận dẫn, đóng góp Quý Thầy Cơ nhằm hồn thiện đề tài trở thành tài liệu hữu ích cho việc định giá Quyền chọn châu Á Trang 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO - [1] Hongbin Zhang, Pricing Asian Options using Monte Carlo Methods, Uppsala University, 2009 [2] Parasad Chalasani Somesh Jha, Stochastic Calculus and Finance, Carnegie Mellon University, 1997 [3] Philip Protter, Probability theory Trang 48 ... chọn châu Á tính theo trung bình số học việc định giá loại Quyền chọn cách sử dụng phương pháp định giá khác Trang 28 ) + 2.3 So sánh Quyền chọn châu Á với Quyền chọn châu Âu Quyền chọn châu Á sử... kiến thức xác suất thống kê học, ban đầu tiếp cận với khái niệm Quyền chọn, Quyền chọn châu Á, cách định giá Quyền chọn châu Á, em giới thiệu hai phương pháp định giá Quyền chọn châu Á: công thức... Pstderr=std(Parith)/sqrt(n) Trang 41 Bảng Giá trị Quyền chọn mua châu Á châu Âu Giá trị quyền Giá trị quyền chọn mua chọn mua châu Á tính châu Á tính theo theo cơng thức phương pháp Black Monte Carlo Scholes