Chuyên đề PHƢƠNG TRÌNH LƢƠNG GIÁC CHUYÊN ĐỀ: Luyện thi THPT Quốc gia 2018 PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC - Chủ đề 1: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN I- LÝ THUYẾT: sinx a 1)Phƣơng trình (1) Thuật tốn: TH1: a Phương trình (1) vơ nghiệm sinx 1, x TH2: a Phương trình (1) có ngiệm: x k 2 , k x k 2 , k (trong đó: sin a ) x arcsina k 2 , k Hoặc: x arcsina k 2 , k 2) Phƣơng trình cosx a (2) Thuật toán: TH1: a Phương trình (2) vơ nghiệm cosx 1, x TH2: a Phương trình (2) có ngiệm: x k 2 , k x k 2 , k (trong đó: cos a ) x arccosa k 2 , k Hoặc: x arccosa k 2 , k 3) Phƣơng trình tanx a (3) k , k Phương trình (3) có nghiệm là: x k , k Thuật tốn: Điều kiện phương trình (3) là: x (trong đó: tan a ) Hoặc: 4) Phƣơng trình cotx a x arctana k , k (4) Thuật toán: Điều kiện phương trình (4) là: x k , k Phương trình (4) có nghiệm là: x k , k (trong đó: cot a ) Hoặc: x arccota k , k II- MỘT SỐ KỸ NĂNG CẦN LƢU Ý: I- Xử lý dấu “ ” : cos x cos cos a) Giải phương trình: cos x 3 3 6 sin x sin sin b) Giải phương trình: sin x 3 3 6 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề PHƢƠNG TRÌNH LƢƠNG GIÁC Luyện thi THPT Quốc gia 2018 c) Giải phương trình: tan x tan x tan tan 3 3 Nhận xét: Tại lại sử dụng kỹ này? + Giảm bớt tư “ nhớ” máy móc giá trị đặc biệt + Như vậy, xử lý dấu “ ” cos dùng cơng thức bù, sin, tan, cot dùng cơng thức đối II- Kỹ thuật lấy nghiệm khoảng, đoạn: VD: Tìm nghiệm x 0; 2 phương trình: cos2x Giải: cos x x k , k k Do x 0; 2 x 2 k 2 2 k 0, 1, 2, k Vậy: k : x , k : x , k : x , k : x 4 4 III- KỸ THUẬT GIẢI PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ĐIỀU KIỆN: Nhắc: Một số hàm số có điều kiện: 1) y tanx ®k: x k , k A( x) 3) y ®k: B( x) B( x) 2) y cotx ®k: x k , k 4) y n A( x) (n N*) ®k: A( x) THUẬT TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH: f ( x) (1) Bƣớc 1: Tìm điều kiện D f phương trình Bƣớc 2: Giải phương trình (1) có giá trị: x0 , x1 , , xn Bƣớc 3: Đối chiếu điều kiện D f kết luận nghiệm phương trình f ( x) Đặc biệt, phương trình lượng giác đặc thù có vơ số nghiệm dạng x k k,n Z n nên vấn đề đối chiếu nghiệm tương đối phức tạp khó khăn Khắc phục nhược điểm này, bàn luận cách xử lý vấn đề thông qua VD sau: 2cos2 x VD1: Giải phương trình: (1) sin x Bước 1: Điều kiện: sin x x k (*) Bước 2: (1) cos2x Cách 1: x k (2) cos2 x cos Thấy (2) không thoả (*) Vậy phương trình có x k (3) k Nhận xét: Đơi gặp phương trình cosx 0; 1; cơng thức nghiệm thuận lợi nghiệm x 2 sin x (lo³i) cos x sin x sin 2 x (1) cos x Cách 2: Do sin x 1 cos2 x Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề PHƢƠNG TRÌNH LƢƠNG GIÁC Cách 3: Vẽ đường tròn lượng giác đối chiếu điều kiện: Lƣu ý: Với họ nghiệm x k (1) cos2 x x + Biểu diễn cung dạng: x y có 2n cung nghiệm n k Luyện thi THPT Quốc gia 2018 A1 A2 k O Kí hiệu O A3 x A4 k Kí hiệu: Từ hình vẽ thấy, cung trùng A1 , A3 Suy A2 , A4 cung nghiệm: + Biểu diễn cung (điều kiện): x x 3 k Hoặc: x k , k 4 Cách 4: Điều kiện: x Ta xét: l k Nghiệm pt cos2x , x l , l k l k Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm là: x l l víi l k tan x 30 Điều kiện: cos x 30 Phương trình (1) cos x 150 Giải (2): tan x 30 x 30 k180 x 30 k180 , k VD2: Giải phương trình: tan x 300 cos x 1500 (1) 0 0 0 (2) (3) x 1500 900 k 3600 x 1200 k1800 Giải (3): cos 2x 1500 cos900 0 0 x 30 k180 x 150 90 k 360 Đối chiếu điều kiện: Thay nghiệm vào phương trình cos x 300 cos 300 k1800 300 cosk1800 x 300 k1800 l¯ nghiÖm pt 0 cos 120 k180 30 cos 900 k1800 x 1200 k1800 kh«ng l¯ nghiƯm cđa pt II- LUYỆN TẬP: Bài tập 1: Giải phương trình sau: tan x 3 4) 3cot 2x 4 1) 2) 2cosx 1 3cos2 x 5*) tan x 3cot x 3) 2sin x tan x 6*) tan 3x tan x Bài tập 2: Giải phương trình: 1) 5cosx 2sin x 2) sin x sinx 3) 2sin x 2sin x 3) sin x 2cosx 4) tan2x tanx 6) 2cos2 x cos2 x 7) 2sin x cos2 x 10) 8cosxcos2 xcos4 x 1 8) 8sin xcos2 xcos4 x 9) 8sinxcosxcos2 x 1 11) sin x 4sinxsin xsin 3x Bài tập 3: Giải phương trình: 1) sinx sin 3x sin 5x 2) cos2 x cos4 x cos6 x 4) cos3x cos4 x cos5x 5) sin7 x sin 3x cos5x 7) sinx sin2x sin3x cosx cos2x cos3x Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 3) cos3x cos5x sinx 6) sin2 x sin4 x sin6 x CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề PHƢƠNG TRÌNH LƢƠNG GIÁC Luyện thi THPT Quốc gia 2018 Bài tập 4: Giải phương trình: (Dùng kỹ hạ bậc) 1) sin x cos4 x 2) sin x sin 2 x sin 3x sin x 2 3) sin x cos4 x cos2 x 4) sin x cos6 x 4cos2 x 5) sin x cos3 x sinx cosx 6) sin x sin 2 x sin 3x a) sin cosx b) tan cos x sin x 4 Bài tập 6: T×m c²c nghiệm phương trình thuộc khong đ ra: Bài tập 5: Giải phương trình: a) sin 3x ; x 0; 6 ; x 2000 ;1800 b) cot 450 x Bi 7: Tìm nghiệm dương nhỏ cc phương trình: a) cos x2 x sin x2 2 b) cos x2 cos ( x 1)2 Bài tập 8: a) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (4m 1)sin x m sin x b) Với giá trị a phương trình sau có nghiệm thuộc ; 2 sin x cos x sin 2x a sin x cos3 x MỘT SỐ DẠNG: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP I- LÝ THUYẾT: Dạng 1: Phƣơng trình bậc hai theo hàm lƣợng giác: a 0 a sin2 x b sin x c Thuật toán: (5) Đặt t sinx ; t 1, x Pt (5) trở thành: at bt c Giải theo t suy x acos2 x bcosx c a tan x b tan x c Hoàn toàn tương tự, dạng: Dạng 2: a cot x b cot x c a Phƣơng trình đẳng cấp bậc hai theo sinx cosx : a sin2 x b sin x cos x c cos2 x d (6) Thuật toán: TH1: Kiểm tra x k , k có nghiệm pt (6)? TH2: Chia vế pt (6) cho cos2 x Ta đưa pt dạng bậc hai theo tanx Lƣu ý: Tư phương pháp cịn áp dụng cho phương trình đẳng cấp bậc bậc cao Phƣơng trình đẳng cấp bậc : Dạng 3: a sin3 x b cos3 x c sin2 x.cos x d cos x Phƣơng trình bậc sinx cosx : a sin x b cos x c Thuật tốn: ĐK phương trình (7) có nghiệm: Chia vế phương trình (7) cho: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… (7) a b c2 2 a2 b2 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề PHƢƠNG TRÌNH LƢƠNG GIÁC a Lúc (7)tt: a2 b2 sinx b a2 b2 Luyện thi THPT Quốc gia 2018 cosx c a2 b2 a cos a b2 Đặt: Đưa phương trình dạng b sin a2 b2 Dạng 4: Phƣơng trình đối xứng, phản xứng theo sinx cosx : a sinx cosx bsinxcosx c Thuật toán: Đặt t sinx cosx ; t , x Lúc đó: t 2sinxcosx Biểu diễn sinxcosx theo t , ta phương trình bậc hai theo t II- MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI PHƢƠNG TRÌNH: Bàn kỹ thuật giải phƣơng trình: asinx bcosx c (1) Phương pháp: (1) a a b2 sinx b a b2 cosx c a b2 Lúc (*) trở thành: cos sin x sin cos x a cos a b2 (*) Đặt (I) b sin a2 b2 c a b2 sin x c a2 b2 Giải phương trình đơn giản, tồn nội dung thuật tốn, vấn đề là: Có xác định hệ (I) hay khơng? Và kỹ thuật gì? Ta làm rõ kỹ thơng qua ví dụ sau: Ví dụ 1: sinx 3cosx (*) cos (1) (*) sinx Từ (1) chọn: , thy tho (2) cosx Đặt 2 sin (2) Vậy chọn Phương trình tt: cos sinx sin cosx sin x 3 3 Ví dụ 2: sinx 3cosx (*) cos (1) (*) sinx Từ (1) chọn: , thấy không thoả (2), mun tho cosx Đặt 2 sin (2) (2) chọn: (vì cos đối: sin sin )……… Ví dụ 3: sinx 3cosx (*) cos (1) (*) sinx Từ (2) chọn: , thấy không thoả (1), mun tho cosx Đặt 2 sin (2) 2 (vì sin bù: cos cos )… 3 Hoặc: Biến đổi nhanh sau: (2) chọn: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề PHƢƠNG TRÌNH LƢƠNG GIÁC Luyện thi THPT Quốc gia 2018 sinx 3cosx sinx cosx sin x 2 3 III- LUYỆN TẬP: Dạng 1: Phƣơng trình bậc hai HSLG Bài tập1: Giải phương trình sau: x x 1) sin x 3sin x 2) 2sin sin 2 Bài tập 2: Giải phương trình sau: 1) 6cos2 x 5sinx x x 4) sin 2cos 2 x 7) sinx cot 2 2) 3) 3tan x tan x tan x cot x 3) 3cos x 8cos2 xsin x 5) 8cos2 x 2sinx 6) tan x cot x 8) 2cos2 x 3sin x 9) cos2 x 2cosx 2sin 11) cos4 x sin x sin x 13) cot x cot x tan x 10) cos2 x sin x 12) x sin x cos4 x Dạng 2: Phƣơng trình đẳng cấp a.sin2 x b.sinx.cosx c.cos2 x d Bài tập 1: Giải phương trình sau: 1) 2sin x 5sinx.cosx cos x 2 2) 2sin x 5sinx.cosx cos2 x 3) 2sin x sinx.cosx 3cos2 x 4) sin x sin x 2cos2 x 5) cos2 x 2sinx.cosx 5sin x 2 6) 2cos x 3sin x 4sin x 4 7) 3sin x 8sinx.cosx cos x 8) 4sin x 3sin x 2cos x Bài tập 2: Giải phương trình sau: 1) sin 3x cos3x 2cosx x x sinx 3sin 2 4) cos x sinx 3sin xcosx 2) 4cos2 3) 2sin x sin xcosx 2sinxcos x cos x 5) cos3 x sin x sinx cosx 7) 3cos4 x 4cos2 x sin x sin x 9) sin x tan x 3sinx cosx sinx 11) 6sinx 2cos3 x 5cosxsin x 6) sin x 2sinx 4 8) cos x sin x sinx cosx 10) 4cos x cosx sinx 12) sinx cosx 4sinxcos2 x 13) sinxsin x sin 3x 6cos3 x Bài tập 3: Tìm m để phươngtrình sau có nghiệm a) m sin 2x cos2x sin2 x m b) (m 2)sin2 x 2(m 2)cos x cos2 x Dạng 3: Phƣơng trình bậc sin v¯ cos Bài tập 1: Giải phương trình sau: 1) sin 5x cos5x 1 4) cos3x sin 3x 7) 2sinx 2cosx Bài tập 2: 2) 2cosx sinx 3) 3cosx sinx 2 5) 3cosx sinx 2sin x 6) 3cosx sinx 2cos x 4 8) 5cos2x 12sin x 13 1) Tìm GTLN GTNN hàm số: cos x sin x cos x a) y b) y sin x cos x sin x cos x Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… c) y 2sin x cos x sin x 2cos x CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề PHƢƠNG TRÌNH LƢƠNG GIÁC sin x 2cos x 2) Chứng minh rằng: 2 1 sin x cos x Luyện thi THPT Quốc gia 2018 Dạng 4: Phƣơng trình đối xứng theo sin v¯ cos : a(sinx cosx) bsinxcosx c Bài tập 1: Giải phương trình sau: 1) (sinx cosx) 2sinxcosx 2 2) 6(sinx cosx) sinxcosx 3) 3(sinx cosx) 2sin x 4) sin x 12 sinx cosx 12 5) sin x cos x 6) sinx cosx 7) sinx cosx 4sin x 8) sinx cosx sin x 3 Bài tập 2: Cho phương trình sin x cos x 6(sin x cos x m) a) Giải phương trình m Bài tập 3: Giải phương trình sau: 1) sin x cos3 x b) Tìm m để phương trình có nghiệm 2 3) sinx cosx cot x tan x 5) sinxcosx sinx cosx 2 cos3 x sin x 1 10 9) cosx sinx cosx sinx 7) tan x 11) sin x 2sin x 4 3 13) cos x sin x cos x 17) tan x cos x sin x 8) tan x 2sinx 3 10) sinx sin x sin x 12) 2sinx cot x 2sin x 14) tan x sinx cot x cosx 16) cos2 x cosx sinx cosx 15) 2cos3 x cos2 x sinx 2) sin x sin x 4 2 4) sinx cosx sinxcosx 3 6) sin x cos3 x sin x 18) sinx sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC TUYỂN TẬP ĐỀ THI: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC (Trong kỳ thi Đại Học Tồn Quốc từ 20022015 ) 1) (ĐHA-02) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; 2 Luyện thi THPT Quốc gia 2018 tanx tanx 2sinx 6cosx 12) (Dự bị 03) cotx tanx 4sin x 14) (Dự bị 03) 3cos4x 8cos6 x 2cos2 x cosx 2sin 2x 4 sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x 3) (ĐHD-02) Tìm x thuộc đoạn 0;14 nghiệm phương trình : cos3x 4cos2x 3cosx 4) (Dự bị 02) sin x cos4 x 1 cot x 5sin x 8sin x 5) (Dự bị 02) sin 2x sin3x 2cosx cos x 6) (Dự bị 02) x tanx cosx cos2 x sinx tanxtan 2 sinx 8cos2 x 8) (Dự bị 02) Cho phương trình: 2sin x cosx a sin x 2cosx b) Tìm a để phương trình có a) Giải phương trình a nghiệm 9) (Dự bị 02) Xác định m để phương trình: sin x cos4 x cos x 2sin x m có nghiệm thuộc 0; 2 10) (ĐHA-03) cos2 x cotx sin x sin x tanx 11) (Dự bị 03) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 1 16) (ĐHD-03) x x sin tan x cos2 2 4 17) (Dự bị 03) cos2 x cosx 1 sinx cosx tan x sin2x 15) (Dự bị 03) 2) (ĐHB-02) 7) (Dự bị 02) 13) (ĐH B-03) phương trình: cos3x sin 3x sinx cos2 x 2sin2 x cos2x cosx 2tan x 1 sinx 18) (Dự bị 03) cotx tanx 2cos4 x sin x 19) (ĐHB-04) 5sinx 1 sinx tan2 x 20) (ĐHD-04) 2cosx 1 2sinx cosx sin2x sinx 21) (Dự bị 04) sin x cos3 x cosx 3sin x 22) (Dự bị 04) 1 2cos x sin x cos x 23) (Dự bị 04) 2sin xcos2x sin2xcosx sin4xcosx 24) (Dự bị 04) sin x cosx 25) (Dự bị 04) sin4xsin7 x cos3xcos6x 26) (Dự bị 04) sin x sin x cosx cos2x 27) (ĐHA-05) cos2 3xcos2x cos2 x 28) (ĐHB-05) sinx cosx sin2x cos2x 29) (ĐHD-05) cos4 x sin x cos x sin 3x 4 4 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 30) (Dự bị 05) 2cos3 x 3cosx sinx 4 31) (Dự bị 05) 4sin x 3 3cos2 x 2cos2 x 32) (Dự bị 05) cos2 x tan x 3tan x cos2 x 2 33) (Dự bị 05) sinxcos2x cos2 x tan x 2sin x 3 sinx 34) (Dự bị 05) tan x 2 cosx 35) (Dự bị 05) Luyện thi THPT Quốc gia 2018 1 sin x cosx 1 cos x sinx sin2x 48) (Dự bị 07) sin x sinx cos6 x sin x sinxcosx 2sinx 5x x 3x sin cos cos 4 2 4 50) (Dự bị 07) 2 sin x cos x 12 51) (Dự bị 07) 2cos2 x sin x cos x sin x cos x 52) (Dự bị 07) 0 23 1 tan x 1 sin 2x tan x sin x 40) (Dự bị 06) cos3 x sin3 x 2sin2 x 41) (Dự bị 06) 4sin3 x 4sin2 x 3sin2x 6cosx x 42) (ĐHB-06) cotx sinx tanxtan 2 sin3 x 3cos3 x sinxcos2 x 3sin2 xcosx 57) (Dự bị 08) tan x cot x 4cos2 2x 58) (Dự bị 08) cos3x cos2x cosx 55) (ĐHB-08) 2sinx 1 cos2x sin2x 2cosx 39) (ĐHD-06) 7 sin x 3 sin x 56) (ĐHD-08) 2sin x 4sinx 6 2sin x 1 tan sin x cos x tanx cot x cos x sin x 54) (ĐHA-08) 38) (Dự bị 06) 43) (Dự bị 06) 53) (Dự bị 07) 37) (Dự bị 06) cos3xcos3 x sin 3xsin x 1 2cot x 2sinx sin x 49) (Dự bị 07) sin2x cos2x 3sin x cos x 36) (ĐHA-06) 2x 2cos2 x 44) (Dự bị 06) cos2x 1 2cosx sinx cosx 45) (ĐHD-07) sin x sin x 4 4 59) (Dự bị 08) 2sin x sin x 3 6 60) (Dự bị 08) 3sin x cos x sin x 4sin x cos 61) (Dự bị 08) x sin4 x cos4 x cos x sin x 62) (ĐHA-2009) x x sin cos 3cosx 2 1 2sin x cos x 1 2sin x 1 sin x 46) (ĐHB-07) 2sin2 2x sin7 x sinx 47) (ĐHA-07) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 63) (ĐHB-2009) Luyện thi THPT Quốc gia 2018 83) (A- 2014) sin x 4cos x sin2x sin x cos x sin 2x cos 3x cos x sin x 84) (B- 2014) sin x 2cos x sin x 64) (ĐHD-2009) cos 5x 2sin 3x cos 2x sin x 65) (ĐH A- 2010) 1 sinx cos2x sin x 4 tanx cosx 66) (ĐH B- 2010) sin2x cos2x cosx 2cos2x sinx 67)( ĐH D-2010) sin2x cos2x 3sinx cosx 68) (ĐH A- 2011) sin2x cos2 x 2sinxsin2x cot x 69) (ĐH B- 2011) sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx 70) (ĐH D- 2011) 71) (ĐH A- 2012) sin2x 2cosx sinx tan x 0 3sin2x cos2x 2cosx 72) (ĐH B- 2012) cosx 3sinx cosx cosx 3sinx 73) (ĐH D- 2012) sin3x cos3x sinx cosx 2cos2x 74) (CĐ- 2008) sin 3x cos 3x 2sin x 75) (CĐ2009) 1 2sin x cos x sin x cos x 76) (CĐ- 2010) 5x 3x 4cos cos 8sin x 1 cos x 2 77) (CĐ- 2011) cos4x 12sin2 x 78) (CĐ- 2012) 2cos2x sin x sin3x 79) (ĐH A- 2013) tan x 2 sin x 4 80) (ĐH B- 2013) sin 5x 2cos2 x 81) (ĐH D- 2013) sin3x cos2x sin x 82) (CĐ- 2013) cos x sin x 2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giáo viên trẻ TP Huế ... 1) sin x cos4 x 2) sin x sin 2 x sin 3x sin x 2 3) sin x cos4 x cos2 x 4) sin x cos6 x 4cos2 x 5) sin x cos3 x sinx cosx 6) sin x sin 2 x sin 3x a) sin ... 2sin x 5sinx.cosx cos x 2 2) 2sin x 5sinx.cosx cos2 x 3) 2sin x sinx.cosx 3cos2 x 4) sin x sin x 2cos2 x 5) cos2 x 2sinx.cosx 5sin x 2 6) 2cos x 3sin x 4sin... 3) 2sin x sin xcosx 2sinxcos x cos x 5) cos3 x sin x sinx cosx 7) 3cos4 x 4cos2 x sin x sin x 9) sin x tan x 3sinx cosx sinx 11) 6sinx 2cos3 x 5cosxsin x