bài tập PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC có lời GIẢI

WWW.DAYHOCTOAN.VN HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN I PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Bài Giải phương trình sau : x x  a  sin  cos   3cosx=2 2  b c sinx+cosxsin2x+ 3cos3x=2  cos4x+sin3 x  1  2sin x  cosx  1  2sin x 1  s inx  d 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 Giải  x x a  sin  cos   3cosx=2  1+sinx+ 3cosx=2  sinx+ cosx= 2 2       x    k 2 x    k 2      6  sin  x    sin    k  Z  3   x    5  k 2  x    k 2      x    k 2    2sin x  cosx  7 s inx   b  Điều kiện :   k 2  x  1  2sin x 1  s inx  s inx      x   k 2  1  2sin x  cosx   cosx-sin2x=1-sinx+2sinx-2sin x Khi : 1  2sin x 1  s inx       cosx-sinx=sin2x+cos2x  2cos  2x-   2cos  x   4 4         x   k 2  x   x   k 2 2   xk k  Z   x  k 2  x     x    k 2   4 c s inx+cosxsin2x+ 3cos3x=2  cos4x+sin x   s inx+ sin3x+sinx 3sinx-sin3x  3cos3x=2cos4x+ 2  3s inx  sin 3x  3cos3x=4cos4x+3sinx-sin3x  2sin 3x  3cos3x=4cos4x  sin 3x  cos3x=cos4x 2     x  x   k  x   k 2     6  cos4x=cos  3x+     k  Z  6   x  3x    k 2  x     k 2   42 d 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0  3cos5x-  sin5x+sinx   s inx=0  3cos5x-sin5x=2sinx  cos5x- sin 5x  sinx 2 WWW.DAYHOCTOAN.VN Trang WWW.DAYHOCTOAN.VN    k   x    x  k 2 x      18  cos  5x+   s inx=cos   x     k  Z  6  2  5 x    x    k 2  x     k   6   Bài Giải phương trình sau : a  sin x  cos4 x   sin x  b 2  s inx+cosx  cosx=3+cos2x c cos x  sin x   s inx+cosx  d sin x  cos x  s inxcosx+1 Giải a  sin x  cos4 x   sin x   1  sin 2 x   sin x  2     1  2sin x   sin x   cos4x+ sin x  1  2   cos4x+ sin x    cos  4x-     cos 2 3   2  k    x    k 2 x     k  Z   x     2  k 2  x     k   3 12 b 2  s inx+cosx  cosx=3+cos2x  sin x  2cos x   cos2x  sin x  1  cos2x    cos2x  sin x  1   2,     36  Ta có : a  b2   11   5    c2    1 cos2x=3-   11  Do : 32   c2  a2  b2 Phương trình vơ nghiệm   c cos x  sin x   sinx+cosx   cos2x- sin x  2sin  x            cos2xsin x  sin  x    sin  x    sin  x   2 4 6 4      5    x   x   k 2  x  12  k 2   k  Z   x    3  x  k 2  x  11  k 2   36 4 d sin x  cos x  s inxcosx+1  cos2x+ sin x  1   2   cos2x+ sin x  1  cos  2x-   cos  x     k 2  x   k 2 3 3  Bài Giải phương trình sau : 2  4        a 4sin x sin   x  sin   x   3cosx cos  x   cos  x    3  3   b 2sin x  16sin x.cosx  3cos x    Giải    c  sin x  cos x  sin x 2  4      a 4sin x sin   x  sin   x   3cosx.cos  x   cos  x      3  3    Trang WWW.DAYHOCTOAN.VN WWW.DAYHOCTOAN.VN 2     2  2sin x  cos2x-cos   3cosx cos  x  2   cos      1  2sin xcos2x+2sinx  3cosx.cos2x-2 3cosx  2  sin x  s inx+sinx   cos3x+cosx  - 3cosx          sin 3x  3cos3x=  sin 3x  cos3x=  cos  3x-   cos 2 6   k 2   x  36   k  Z   x     k 2  36 b 2sin x  16sin x.cosx  3cos x  Ta có : 16sin xcosx  4cos x  3sin x  sin 3x   6sin x  2.2sin 3x.cosx =6sin2x-2  sin4x+sin2x   4sin x  2sin x Cho nên (1) : 2sin 4x  4sin 2x  2sin 4x+3cos2x=5  4sin2x.+3cos2x=5   sin x  cos2x=1  cos  2x-    x    k 2  x   k  k  Z  5 Và : cos = ;sin   5 c  sin x  cos x  sin x 3   cos4x  Do : sin x  cos6 x   sin 2 x       cos4x 4  8   Cho nên (c) trở thành :  sin x   cos4x  cos4x-sin4x=1  2cos  4x+   8 4  k     x 4x+   k 2      4  cos  4x+    cos    k  Z  4   x     k  4x+      k 2   4 Bài Giải phương trình sau : a sin x  cos6x=  sin x  cos8x  b cos7x-sin5x=  cos5x-sin7x  c 3sin 3x  3cos9x=1+4sin 3x d 3cos5x+sin5x-2cos2x=0 Giải a sin x  cos6x=  sin x  cos8x   sin x  3cos8x= sin x  cos6x Chia hai vế ơhw[ng trình cho ta có : 3      sin 8x  cos8x= sin x  cos6x  sin  8x-   sin  x   2 2 3 6          8 x   x   k 2  x   k 2  x   k    k  Z  8 x    6 x  5  k 2 14 x  7  k 2  x    k    12 b cos7x-sin5x=  cos5x-sin7x   cos7x+ sin x  3cos5x+sin5x Chia hai vế phương trình cho ta có kết : WWW.DAYHOCTOAN.VN Trang WWW.DAYHOCTOAN.VN 3      cos7x+ sin x  cos5x+ sin5x  cos  7x+   cos  5x-  2 2 3 6          7 x   x   k 2  x    k 2  x    k    k  Z  7 x    5 x    k 2 12 x     k 2  x     k    72 6 c 3sin 3x  3cos9x=1+4sin 3x  Từ công thức nhân ba : sin x  3sin x  4sin 3 x phương trình (c) viết lại : 3sin 3x  4sin 3x  3cos9x=1  sin x  3cos9x=1  sin x  cos9x= 2  k 2     9x-  k 2 x       18  cos  9x-  =  cos    k  Z  6  9x-      k 2  x     k 2 27     cos5x+ sin5x=cos2x  cos  5x-   cos2x 2 6    k 2     k 2 x   30  k  Z    k 2    k 2 x   10 d 3cos5x+sin5x-2cos2x=0    5 x   5 x    II PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài Giải phương trình sau :  cos3x+sin3x  a  sinx+ b cos 3x.cos2x-cos x     cos2x  2sin x       c cos4 x  sin x  cos  x-  sin  3x     d 4.s inxcosx+3sin x  6sin x  4  4 Giải cos3x+sin3x   a  sinx+    cos2x Điều kiện : sin x   (*)  2sin x   Phương trình (a) trở thành :  sinx+2sinx.sin2x+cos3x+sin3x   sinx+cosx-cos3x+cos3x+sin3x   5    cos2x      cos2x  2sin x  2sin x     s inx+cosx+sin3x  s inx+sin3x   cosx 2sin x.cosx+cosx cosx 1+2sin2x       cosx  2sin x  2sin x  2sin x  2sin x  cosx= 2  Cho nên (a)  5cos x   cos x  cos x  5cos x     cosx=2>1   x   k 2  Vậy : cos x    Kiểm tra điều kiện :   x    k 2  Trang WWW.DAYHOCTOAN.VN WWW.DAYHOCTOAN.VN  2 - 2sin   4k       Cho nên nghiệm phương trình x   k 2   2 - 2sin    4k         Vi phạm điều kiện , loại    2   k 2 1+cos2x 0 b cos x.cos2x-cos x   cos x.cos2x2  2cos2 3x.cos2x- 1+cos2x    cos2x 1+cos6x    cos2x=0  cos6x.cos2x=1 Tóm lại phương trình có họ nghiệm : x  cos4x=1  cos8x+cos4x=2  cos x  cos4x-3=0   cos4x=-  1  k Do : cos x   x  k 2  x  k  Z  2 c  1       cos4 x  sin x  cos  x-  sin  3x       sin 2 x  sin  x    sin x    4 2 2  2  4   1   sin 2 x   cos4x  sin x      sin 2 x    1  2sin 2 x   sin x    2 sin2x=1     sin x   x   k 2  x   k  k  Z   sin 2 x  sin 2x-2=0   sin2x=-21    x    k 2  Vậy phương trình có nghiệm : sin x      k  Z  ( Thỏa mãn diều kiện )  x  7  k 2  Bài Giải phương trình sau :   cosx 2sinx+3  2cos x  1  cos x  a 2sin x  b 1 s inx cosx  sin x x x x 3x c cos x.cos cos  s inx.sin sin  d 4cos3 x  sin x  8cos x 2 2 Giải sinx  1   cos x  Điều kiện :   x  k k  Z  s inx cosx cosx  1 2sin x.s inx-1 cos x.cosx   cos x    Khi : 2sin x  s inx cosx s inx cosx cos2x-cos4x-1 cos4x+cos2x  cos2x-2cos x cos2x+2cos 2 x     s inx cosx s inx cosx cosx-sinx-2cos2x  cosx-sinx  1-2cos2 x 1+2cos2 x   cos2x     cos2x 0  cosx  sinx.cosx  s inx a 2sin x  Trang WWW.DAYHOCTOAN.VN WWW.DAYHOCTOAN.VN  k  x      k  cos2x=0  x    1-2cos2x      cos2x  cosx-sinx   k  Z      tanx=1   x   k     sinx.cosx    x    k    cos2x=  x    k    Các họ nghiệm thỏa mãn điều kiện b   cosx 2sinx+3  2cos x  1  sin x Khi :   Điều kiện : sin x   x   cosx 2sinx+3  2cos x  1  sin x   k  k  Z  (*)   sin x+3 2cosx  2cos x    sin x  2  cosx=  2cos x  2cosx      cosx=  x    k 2 2 cosx=   Nhưng điều kiện (*) Ta có nghiệm : x    k 2 , thỏa mãn Đó nghiệm x 3x x 3x c cos x.cos cos  s inx.sin sin   cosx  cos2x+cosx   s inx  cosx-cos2x   2 2 2  cos2x  cosx+sinx   cos x  sin xcosx   cos2x  cosx+sinx   sinxcosx-sin x   cos2x  cosx+sinx   sinx  cosx+sinx     cosx+sinx  cos2x-sinx      x    k  t anx=-1   cosx+sinx    k 2     k  Z     x    cos2x=sinx=cos   x   cos2x-sinx     2   x     k 2    d 4cos3 x  sin x  8cos x  2cos x 2cos2 x  sinx-4  cosx=0   2cos x  cosx=0 sinx=    2   1  sin x   s inx-4=0  2sin x  s inx+2=0  s inx=     x   k cosx=0    Do Phương trình có nghiệm :   x   k 2  k  Z  sinx=     x  3  k 2  Bài Giải phương trình sau :     a cos  x    cos  2x-   4sin x   1  sinx   4  4   b 3cot x  2 sin x   cosx WWW.DAYHOCTOAN.VN c 4sin 2 x  6sin x   3cos x 0 cosx Trang WWW.DAYHOCTOAN.VN d Cho : f ( x)  s inx+ sin x  sin x Hãy giải phương trình : f'(x)=0 Giải a      cos  x    cos  2x-   4sin x   1  s inx  4 4    2cos x.cos    4sin x   1  s inx    sin x     s inx=    x    k 2 2+  sin    k  Z  4  x      k 2 b 3cot x  2 sin x   cosx Điều kiện : sin x   x  k Chia hai vế phương trình cho : sin x  Khi phương trình có dạng :      cosx   cosx   3cot x  2 sin x   cosx     2      sin x   sin x  t  cosx Đặt : t   3t   t  2    t  sin x  cosx=-  1   2  cosx= sin x c osx= c osx=   2cos x  cosx-   2     cosx= sin x   cos x  3cos x   cosx=  cosx=   cosx=-2 2(loai)   x    k 2       Bài 23 Giải phương trình sau: a) tan x sin x  sin x  3(cos2 x  sin x cos x) c) 48   (1  cot x cot x)  cos x sin x e) cos3 x  cos2 x  sin x   b) sin x(cot x  tan x)  cos2 x d) sin x  cos6 x  cos x f)  cos x  tan x Giải a) tan x sin x  sin x  3(cos2 x  sin x cos x) Điều kiện : cos x  Phương trình : 2  t anx sin x  2sin x  3cos x  3sin x  3sin xx cos x  cosx+sinx   t anx sin x  sin x  3cos x  3sin x cos x  sin x    3cos x  cosx+sinx    cosx  cosx+sinx=0  t anx=-1 cosx+sinx=0  sin x     cosx+sinx    3cos x        sin x  3  cosx  sin x  3cos x   tanx=   cos x Trang 62 WWW.DAYHOCTOAN.VN WWW.DAYHOCTOAN.VN    x=-  k   x=    k  k  Z  sinx  sinx   * sin2x  cosx  cos x s in2 x  )  cos x  Khi phương trình trở thành :  2sin xcosx( s inx cos2x 2  2sin x  cos2x  s in x s in x  2cos x+  cos x    cos x   cos x  0 cos2x cos2x cos2x       cos2x-cos2x=0  cos2x=  x    k 2  x    k  k  Z  b) sin x(cot x  tan x)  cos2 x Điều kiện :  ( Vì cosx khác hai nghiệm thỏa mãn điều kiện (*) ) sinx   (1  cot x cot x)  Điều kiện :  * Khi : cos x sin x cosx  co x cos x cos x  48   (1  )   48   ( )0 4 cos x sin x sin x.s inx cos x sin x 2sin x.cosx 1  48     cos x  sin x  48sin x cos x    sin 2 x  3sin x  cos x sin x  t   k t  sin x   t      sin 2 x   cos4x=0  x=  k  Z   t    0(loai) 6t  t    3   cos4x   3cos x d) sin x  cos6 x  cos x   sin 2 x  cos4x  cos4x=1-   4  k  8cos x   3cos x  cos4x=1  4x=k2  x= k  Z  e) cos3 x  cos2 x  2sin x    cos2 x  cosx-1   sinx-1  c) 48   1  sin x   cosx-1   sinx-1   1  sinx  1  sinx  cosx-1  2  s inx=1 s inx=1 1  s inx=0 s inx=1    1-t   t  20 cosx-sinx+sinxcosx-2=0  '=1-3=-20  sin2x>0  01 sin x sin x   5sin x  3sin x  2sin x   sin x  sin x  f)  2sin 3x  3.2cos x sin x   3sin x  4sin x   6sinxcos4x=0  sinx 6-4sin x  6cos x   s inx=0 s inx=0 s inx=0    2 cos2x=1  cos2x=- 6-2 1-cos2x    cos x  1  12 cos x-cos2x-10=0  -Trường hợp : sinx=0  x=k - Trường hợp : cos2x=1  2x=k2  x=k - Trường hợp : cos2x=-  cos  2x=   +k2  x=   x  k Tóm lại phương trình có nghiệm :   x     k  WWW.DAYHOCTOAN.VN   k 5   k  Z ; cos =-  6  Trang 71 ... Để phương trình có nghiệm  0;  m  ; 2 4   2 Bài Cho phương trình : cos3 x  sin x  m sin x cos x a Giải phương trình m= b Tìm m để phương trình có nghiệm Giải a Giải phương trình. .. a Giải phương trình với m= Bài 10 Cho phương trình : b Tìm m để phương trình có nghiệm Giải 2 Phương trình :  tan  cot x  m  t anx+cotx     t   tan x  cot x  t  Cho nên phương trình. ..  sin x   81  x  Phương trình vơ nghiệm VP  Suy ta có hệ : cos x    cos x  cos x   MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Bài Giải phương trình lượng giác sau: a) cos x  cos