Tich vô hướng

Trường THPT Thạnh Đông GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC A/KIẾN THỨC CƠ BẢN I.Các giá trò lượng giác của cung α Xét nửa đường tròn tâm O và hệ trục toạ độ Oxy cắt nửa đường tròn tại các điểm A(1;0) A’(-1;0) B(0;1) • Với mỗi góc xác đònh cho ta điểm M duy nhất trên nửa đường tròn sao cho: · MOx α = • Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên Ox và Oy 1.Đònh nghóa: • sin α =y= OK • cos α =x= OH • tan α = x y = α α cos sin (cos α ≠ 0) • cot α = y x = α α sin cos (sin α ≠ 0) II.Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản • 1cossin 22 =+ αα • 2 2 1 1 tan ( ) cos 2 k π α α π α = + ≠ + • 2 2 1 1 cot ( ) sin k α α π α = + ≠ 3.cung phụ nhau: α và 2 π - α * sin( 2 π - α )=cos α * tan( 2 π - α )=cot α * cos( 2 π - α )=sin α * cot( 2 π - α )=tan α 2.Hai cung bù nhau: α và180 o - α * sin(180 o - α )=sin α * cos(180 o - α )= - cos α * tan (180 o - α )= - tan α * cot(180 o - α )= - cot α 4. Giá trò lượng giác của một số góc đặc biệt. Góc 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o Sin 0 1 2 2 2 3 2 1 Cos 1 3 2 2 2 1 2 0 Tan 0 3 3 1 3 || cot || 3 3 3 0 BÀI TẬP 1. Tính giá trị lượng giác của cung sau. 1) sina = 3 5 với 0 < a < 90 o 2) tana = - 2 với 90 o < a <180 o 3) cosa = 5 1 với 90 o < a <180 o 2. Chứng minh các đẳng thức sau: 1) sin 2 x + tan 2 x = 2 1 cos x - cos 2 x 2) tan 2 x - sin 2 x = tan 2 xsin 2 x 3) 2 2 2 2 cos sin cot tan x x x x − − = sin 2 xcos 2 x TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Biên soạn:Trần Văn Dương 1 x y O A(1;0) B(0;1) A'(-1;0) t' M(x;y) H K α Trường THPT Thạnh Đông I .Góc giữa hai vectơ : Đònh nghóa:Cho 2 vectơ a r và b r (khác 0 r ).Từ điểm O bất kì vẽ OA a= uuur r , OB b= uuur r . Góc AOB ∧ với số đo từ 0 0 đến 180 0 gọi là góc giữa hai vectơ a r và b r KH : ( a r , b r ) hay ( ,b a r r ) Đặc biệt : Nếu ( a r , b r )=90 0 thì ta nói a r và b r vuông góc nhau .KH: a b⊥ r r hay b a⊥ r r Nếu ( a r , b r )=0 0 thì a b⇑ r r Nếu ( a r , b r )=180 0 thì a b↑↓ r r I. Đònh nghóa: Cho hai vectơ ,a b r r khác 0 r . Tích vô hướng của và ba r r là môt số kí hiệu: .a b r r được xác đònh bởi công thức: . . . ( , )a b a b Cos a b = r r r r r r Chú ý: * . 0a b a b⊥ ⇔ = r r r r * 2 .a b a b a= ⇔ = r r r r r 2 a r gọi là bình phương vô hướng của vec a r . * .a b r r âm hay dương phụ thuộc vào ( , )Cos a b r r 2) Các tính chất : Với 3 vectơ , ,a b c r r r bất kỳ. Với mọi số k ta có: . .a b b a= r r r r .( ) . .a b c a b a c+ = + r r r r r r r ( . ). .( . ) .( . )k a b k a b a k b= = r r r r r r * 2 2 0, 0 0a a a≥ = ⇔ = r r r r * Nhận xét : 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 . ( ) 2 . ( )( ) a b a a b b a b a a b b a b a b a b + = + + − = + + + − = − uur uur r r r r uur r r r r r uur uur r r r r III . Biểu thức tọa độ của tích vô hướng : Cho 2 vectơ 1 2 1 2 ( ; ), ( ; )a a a b b b r r Ta có : Nhận xét : .a b r r = 0 khi và chỉ khi 1 1 2 2 . .a b a b+ =0 ( , 0a b ≠ r r r ) IV . Ứng dụng : Cho 1 2 1 2 ( ; ), ( ; )a a a b b b r r a) Độ dài vectơ : b) Góc giữa hai vectơ : Biên soạn:Trần Văn Dương 2 b ur a r b ur a r O 1 1 2 2 . . .a b a b a b= + r r cos( , )a b r r = . . a b a b r r r r = 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . . . a b a b a a b b + + + 2 2 1 2 a a a = + r Trường THPT Thạnh Đông I. CÔNG THỨC CỘNG 1) cos(a ) cos cos sin sinb a b a b± = m 2) sin( ) sin cos cos sina b a b a b± = ± 3) tan(a tan tan ) 1 tan tan a b b a b ± ± = m II. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI: 1) sin2a=2sinacosa 2) cos2a=cos 2 a-sin 2 a =2cos 2 a-1 =1-2sin 2 a 3) tan2a= 2 2 tan 1 tan a a− CÔNG THỨC HẠ BẬC: 1) cos 2 a= 1 cos 2 2 a+ 2) sin 2 a= 1 cos 2 2 a− 3) tan 2 a= 1 cos 2 1 cos 2 a a − + III.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG 1) Cos [ ] 1 cos cos( ) cos( ) 2 a a α β β β = − + + 2) sin [ ] 1 sin cos( ) cos( ) 2 a a α β β β = − − + 3) sin [ ] 1 cos sin( ) sin( ) 2 a a α β β β = − + + IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH 1) cosa+cosb=2 cos cos 2 2 a b a b+ − 2) cosa-cosb= 2sin sin 2 2 a b a b+ − − 3) sina+sinb= 2sin cos 2 2 a b a b+ − 4) sina-sinb= 2cos sin 2 2 a b a b+ − PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC I.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình sinx=a Trường hợp 1: |a|>1 : phương trình vô nghiệm Trường hợp 2: |a| ≤ 1:  sinx=a ⇔ 2 , 2 x k k Z x k α π π α π = +  ∈  = − +  hoặc sinx=sin α ⇔ 360 , 180 360 o o o o o x k k Z x k α α  = + ∈  = − +   Với α là cung lượng giác mà sin α =a  Chú ý: 1) Nếu α thoả mãn điều kiện : 2 2 sin a π π α α  − ≤ ≤    =  thì ta viết α =arcsin a 2) sinf(x)=sing(x) ⇔ ( ) ( ) 2 , ( ) ( ) 2 f x g x k k Z f x g x k π π π = +  ∈  = − +  2. Phương trình cosx=a Trường hợp 1: |a|>1 : phương trình vô nghiệm Trường hợp 2: |a| ≤ 1:  cosx=a ⇔ 2 , 2 x k k Z x k α π α π = +  ∈  = − +  hoặc cosx=cos α ⇔ 360 , 360 o o o o x k k Z x k α α  = + ∈  = − +   Với α là cung lượng giác mà cos α =a  Chú ý: 1) Nếu α thoả mãn điều kiện : 0 cos a α π α ≤ ≤   =  thì ta viết α =arccos a 2) cosf(x)=cosg(x) ⇔ ( ) ( ) 2 , ( ) ( ) 2 f x g x k k Z f x g x k π π = +  ∈  = − +  • cosx=1 2 ,x k k Z π ⇔ = ∈ Biên soạn:Trần Văn Dương 3 Trường THPT Thạnh Đông • sinx=1 2 , 2 x k k Z π π ⇔ = + ∈ • Sinx=-1 2 , 2 x k k Z π π ⇔ = − + ∈ • Sinx=0 ,x k k Z π ⇔ = ∈ • cosx=-1 2 ,x k k Z π π ⇔ = + ∈ • cosx=0 , 2 x k k Z π π ⇔ = + ∈ 3. Phương trình tanx=a Điều kiện: x= , 2 k k Z π π + ∈  Với α là một cung lượng giác mà tan α =a Chú ý: 1) Nếu α thoả mãn điều kiện : 2 2 tan a π π α α  − < <    =  thì ta viết α =arctan a 2) tanf(x)=tang(x) ⇔ ( ) ( ) ,f x g x k k Z π = + ∈ 4. Phương trình cotx=a Điều kiện: x= ,k k Z π ∈  Với α là một cung lượng giác mà tan α =a Với α là một cung lượng giác mà tan α =a Chú ý: 1)Nếu α thoả mãn điều kiện : 0 tan a α π α < <   =  thì ta viết α =arccot a 2) cotf(x)=cot(x) ⇔ ( ) ( ) ,f x g x k k Z π = + ∈ BÀI TẬP Câu 1: Tìm giá trò lớn nhất và gía trò nhỏ nhất của hàm số a/ y=-2sin2x+1 b) y=5+4cosx-3sinx c)y= 5-3sinx Câu 2: Giải các phương trình sau: 1/ cosx=cos 2 3 π 2/ cosx= 6 2 2 − 3/ sinx= 1 2 − 1/ cos( 3 ) 1 6 x π − = − 2/ cos( 3 2 ) 4 2 x π + = 3/ sin(x- 3 ) 4 2 π = − 4/ cos(2x+ ) sin( ) 4 4 x π π = − 5/tan(x+ ) 3 4 π = − 6/ cot 3 (3 ) 6 3 x π − = 7/ sin(5x+2)= 1 5 8/ tan(2x ) 3 4 π − = 9/ tan(2x ) cot(3 ) 4 6 x π π + = − 10/ 3tanx = 11/2sinx=-1 12/ 2cosx= 2 13/ sinx+cosx= -1 14/ 4sin 2 =3 15/ tan 2 x=3 Biên soạn:Trần Văn Dương 4 tanx=a ,x k k Z α π ⇔ = + ∈ tanx=a 180 , o o x k k Z β ⇔ = + ∈ cotx=a ,x k k Z α π ⇔ = + ∈ cotx=a 180 , o o x k k Z β ⇔ = + ∈ Trường THPT Thạnh Đông MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC THƯỜNG GẶP I. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 1. Đònh nghóa: là phương trình có dạng : Với t là một hàm số lượng giác: sinx, cosx, tanx, cotx. 2. Cách giải: đưa phương trình về dạng cơ bản: b t a = − II. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 1. Đònh nghóa: là phương trình có dạng : Với t là một hàm số lượng giác: sinx, cosx, tanx, cotx. 2. Cách giải: B1: đặt ẩn phụ bằng biểu thức lượng giác và điều kiện của ẩn phụ (nếu có) B2: Giải phương trình với ẩn phụ vừa đặt B3: Từ kết quả cuả ẩn phụ, ta đưa về giải các phương trình lượng giác cơ bản. III. Phương trình bậc hai đối với sinx và cosx 1. Đònh nghóa: là phương trình có dạng: 2. Cách giải: Trường hợp 1: xét cosx=0 ( x= 2 k π π + ) có thoả mãn phương trình hay không? Từ đó rút ra kết luận. Trường hợp 2: cosx ≠ o, B1: chia hai vế của phương trình cho cos 2 x ta được phương trình có dạng: atan 2 x+btanx+c=d(1+tan 2 x) B2: giải phương trình trên để tìm nghiệm IV. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx 1.Đònh nghóa: là phương trình có dạng: 2. Cách giải: B1: chia hai vế của phương trình cho 2 2 a b+ B2: Đặt cos 2 2 a a b α = + ; sin 2 2 b a b α = + ta được phương trình : sinxcos α +cosxsin α = 2 2 c a b+ 2 2 sin( ) c x a b α ⇔ + = + B3: Giải phương trình trên để tìm nghiệm BÀI TẬP Bài 1: Giải các phương trình sau: a) 2sin2x- 2 =0 b) 2cos(3x-1)+ 3 =0 c) 5sin(x+20 o )+1=0 d) 3tanx+1=0 e) 6 3 cotx+6=0 f) sin(2x-1)=sin(x+3) g) sin3x=cos2x h) 2sinx+ 2 sin2x=0 i) sinx+cosx=1 j) cos5xsin4x=cos3xsin2x Bài 2: Giải các phương trình sau: 1/ 2sin 2 x -3sinx+1=0 2/ cos2x-3sinx-2=0 3/ cos2x+9cosx+5=0 4/ cos 2 x+4sinx=1 5/ 2sin 2 =3cosx 6/ tan 2 x-(1+ 3 )tanx+ 3 =0 7/ cotx+3= 2 1 sin x 8/ 2tanx-5cotx=3 Bài 3: Giải các phương trình sau: 1/ sin 2 x+3sinxcosx+2cos 2 x=0 2/ sin 2 x-8sin2x+7cos 2 x=0 3/ 2sin 2 x+sin2x=2 4/ 2sin 2 x+2sin2x=1+4cos 2 x Bài 4: Giải các phương trình sau: 1/ sinx+ 3 cosx= 2 2/ 3 sinx-1=cosx 3/ sin3x- 3 cos3x=1 4/ 3sinx- 3 cosx=3 5/ 3sinx+4cosx=5 6/ 3cosx=3- 3 sinx Biên soạn:Trần Văn Dương 5 at+b=0, a ≠ 0 at 2 +bt+c=0, a ≠ 0 asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=d, a,b,c,d ∈ R asinx+bcosx=c, a,b,c ∈ R và a,b ≠ 0 Trường THPT Thạnh Đông Bài 1: Một số phương trình lượng giác khác: a) cos5x.sin4x=cos3x.sin2x b) sinx+sin2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x c) sin3x+sin5x+sin7x=0 Bài 2: Giải các phương trình sau: a) sinx= 2 sin5x-cosx b) 3+2sinxsin3x=3cos2x c) 2sinxcos2x-1+2cos2x-sinx=0 Bài 3: Giải các phương trình sau: a) sin 2 x+sin 2 2x+sin 2 3x+sin 2 4x=2 b) 2cos 2 4x+sin10x=1 c) (1-tgx)(1+sin2x)=1+tgx Câu 3: 0 1 )2sin(2 30 ) 3 ) cos 3 3 2 ) cos3 sin 5 0 ) cos5 cos 3 0 sin 2 ) 0 )(5sin 2)(3sin 4) 0 cos 2 1 a x b x c x x d x x x e f x x x π   − = − =  ÷   + = + = = − − = − Câu 4:Tìm giá trò lớn nhất và gía trò nhỏ nhất của hàm số 2 2 ) 2 sin sin .cos cos sin 2 2sin 2 1 ) sin 2 cos 2 2 a y x x x x x x b y x x = − − + + = + + Biên soạn:Trần Văn Dương 6 . tan 2 xsin 2 x 3) 2 2 2 2 cos sin cot tan x x x x − − = sin 2 xcos 2 x TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Biên soạn:Trần Văn Dương 1 x y O A(1;0) B(0;1) A'(-1;0). )=180 0 thì a b↑↓ r r I. Đònh nghóa: Cho hai vectơ ,a b r r khác 0 r . Tích vô hướng của và ba r r là môt số kí hiệu: .a b r r được xác đònh bởi công thức: