Thông tin tài liệu
Giỏo ỏn bi dng HS gii lp Ngày soạn : 14 / /2019 Buæi 1: Chuyên đề 1: Các dạng toán luỹ thừa phơng pháp giải I Mục tiêu : Qua tập giúp em nhớ lại cách giải dạng tập đà học Các công thức luỹ thừa: ( víi n, m ∈N ; x, y ∈ R; x,y ≠0 ) 1, xn = x.x…x ( n thõa sè x) n m n+m 2, x x =x n 3, x : xm = xn - m (n >m ) n m n.m 4, (x ) = x 5, (x y)n = xn yn 6, (x : y)n = xn : yn * Qui íc: xo =1 ; x1 = x x−n = 7, xn Néi Dung Dạng 1: Tính giá trị biểu thức Bài Tính giá trị biểu thức: A= 72 3.54 108 B= 312.13 + 312.3 311.2 C= 210.13 + 210.65 8.104 D= Gi¶i: 810 + 410 + 411 (2 ) ( 2.3 ) 72 54 9.36.2 2.36 211.312 = = = = 23 = (2 2.33 ) 108 8.312 8.312 312.13 + 312.3 312 (13 + 3) 312.2 B= = = 11 = 311.2 311.2 10 10 10 13 + 65 (13 + 65) 210.78 211.3.13 C= = = = =3 8.104 8.2 3.13 211.13 211.13 20 (210 + 1) 810 + 410 30 + 20 D = 11 = 12 22 = 12 = 28 = 256 10 (1 + ) +4 +2 A= * Phơng pháp giải: - Biểu thức A ta biến đổi luỹ thừa biểu thức tích luỹ thừa số nguyên tố råi rót gän - BiĨu thøc B, C ta sư dông tÝnh chÊt ab ± ac = a (b ± c), đa tử mẫu dạng tích rút gọn - Biểu thức D, ta kết hợp hai phơng pháp BT tng t: A = 310.11 + 310.5 39.24 E= 46.34.95 612 F= 213 + 25 210 + 22 Dạng 2: Tìm số số mũ luỹ thừa Bài 2: Tìm x N biết: x a, = 128 c, (2x – 3)3 = 343 b, 2 x −1 = d, (2x – 3)2 = Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp e, (x – 3)6 = (x – 3)7 g, x100 = x x −1 x Gi¶i: a, = 1 1 b, = 2 2 ⇒ 2x – = ⇒ 2x = ⇒ x=2 ⇒ 2x = 26 : 22 ⇒ 2x = 24 ⇒ x=4 c, (2x - 3)3 = 73 ⇒ 2x – = d, (2x – 3)2 = ⇒ (2x – 3)2 = (± 3)2 2 x = ⇒ 2 x = x=5 x = x = ⇒ e, (x – 3)6 = (x – 3)7 TH 1: NÕu x – = ⇒ x = (v× 06 = 07 = 0) TH 2: NÕu x – ≠ 0, chia vÕ cho (x 3) ta đợc ( x 3) =1 ( x − 3) 1100 = 1) g, C1: x100 hay x – = ⇒ x = = x ⇒ x = hc x = (vì 100 = C2: x100 = x ⇒ x100 – x = ⇒ x( x99 1) = * Phơng pháp giải: - câu a, b ta biến đổi vế đẳng thức luỹ thừa số, đẳng thức xảy sè mò ë vÕ b»ng - câu c, d ta biến đổi vế luỹ thừa số mũ, đẳng thức xảy số vế - câu e, g ta sư dơng c«ng thøc n = 1n = (nN*) đa dạng tích(câu g) Bài 3: Cho A= + 32 + 33 +…+ 32008 T×m x biÕt 2A + = 3x Gi¶i : Ta cã 3A = 3( + 32 + 33 +…+ 32008) = 32 + 33 +…+ 32008 +32009 A = + + 33 + … + 32008 3A - A = 32009- 2A = 32009- ⇒ 2A + = 32009- + ⇒ 2A + = 32009 Mặt khác: 2A + = 3x Suy ra: 32009 = 3x hay x = 2009 * Phơng pháp giải: Tỉng qu¸t A = n + n2 + n3 +…+ nk nA - A = nk+1- n ⇒ A= n k +1 − n n −1 ( n, k ∈ N; n >1, k ≥ 1) Cao h¬n ta cã dạng toán ẩn x,y sau: Bài T×m x, y biÕt: a, ( x- 3)2 + (y+2)2 = Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp Gi¶i: b, (x-12 + y)200 + ( x- - y)200= c, 2x + 2x+3 = 136 (x-3)2 ≥ ∀x ; (y+2)2 ≥ ∀y a, §Ĩ (x- 3) + (y+2) = ⇔ 2 (x - 3) = ( y + 2) = x = y = −2 x = y = b, T¬ng tù câu a ta tìm đợc Vì 136 = 2.4 + 27 c, ⇔ 2 x = 2.4 Nªn 2x + 2x+3 = 2.4 + 27 ⇒ 2 x +3 x = ⇒ ⇒ x= =2 x + = 7 * Phơng pháp giải: - Câu a, b hạng tử lớn nên đẳng thức xảy hạng tử - Câu c ta biến đổi vế phải dạng tổng thích hợp với vế trái, đẳng thức xảy ta đồng hạng tử thích hợp vế Bài toán sở để phát triễn toán cao khã h¬n sau: x x +1 x + 18 { : c) (22 : 4).2n = d) 34.3n = 37 BT tương tự:a) 5 ≤ 100 18 c / s x+1 Bµi T×m x, y biÕt: a, 2x+1 3y = 12x y x a, = 12 b, 10x : 5y = 20y c, 23x 7y= 562x 5x-1 Gi¶i ⇔ 2x+1 3y = (23.3)x ⇔ 2x+1 3y = 22x 3x x + = x ⇔ ⇔ y = x b, 10x : 5y = 20y ⇔ 10x = 20y 5y ⇔ 10x = x = y = 100y ⇔ x= y =1 ⇔ 10x = 102y x = 2y c, 23x 7y = 562x 5x-1 ⇔ 23 23x.7y = (23.7)2x 5x-1 ⇔ 26x 72x 5x-1 ⇔ 23x+3 7y = 3 x + = x x = ⇔ y = 2x y = x = *Phơng pháp giải: Ta biến đổi vế luỹ thừa số nguyên tố, đẳng thức xảy số mũ cđa l thõa cïng c¬ sè ë vÕ b»ng (câu a, b) Đồng thời triệt tiêu số mũ luỹ thừa không số(câu c) BTVN: Bài 1.Tính giá trị biểu thức: 126 54 A= 12 5.189 Bµi 2: G= 212.14.125 355.6 T×m x biÕt: H= 453.204.182 1805 a, (2x + 3)4 = 2401 b, 32x 27 = 2187 Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp e) n + 4.2n = 9.25 g) 13 + 23 + 33 + + 103 = ( x +1)2 T×m x, y biÕt:a) 2x 3y+2 = 122y b)35x + = 5y Buæi 2: Chuyên đề 1: Các dạng toán luỹ thừa phơng pháp giảI (Tip) I.Mục tiêu : (ở Buổi 1) II.Nội Dung Dạng 3: So sánh luỹ thừa Dạng 3.1: Đa hai luỹ thừa số Bi Bài 50 So sánh: a, 30 b, 17 Giải: a, 450 = (22)50 = 2100 ; 830 = (23)30 = 290 V× sè mũ 100 > 90 số 2( >1) ⇒ 2100 > 290 1 = 9 17 b, 17 34 1 = ; 3 12 = 27 Vì số mũ 34 < 36 sè lµ 17 1 > 9 27 12 1 = 3 27 12 36 1 1 ( < < 1) nªn 3 3 34 36 1 > 12 *Phơng pháp giải: Tổng quát Với m, n ∈N* vµ m > n , a≥ Ta cã: - NÕu a>1 th× a m > an ( câu a) - Nếu a =1; a= a m = an - NÕu < a < a m < an (câu b) Đối với số số âm ta có toán sau Bài So sánh: a, (-27)27 (-243)13 b, 25 −1 128 13 Giải: a, (-27)27 = (-33)27 = (-3)81 ; (-243)13= (-35)13 = (3)65 V× số mũ 81 > 65 ( số lẻ) số -3 (-3 < 0) nên (-3) 81 < (-3)65 ⇒ (-27)27 n m, n số lẻ, a < Ta có: - Nếu a < -1 a m < an (câu a) - NÕu a = -1 th× am = an - NÕu -1 < a < th× am > an (câu b) Lu ý: Với trờng hợp m, n số chẵn ta đa dạng Dạng 3.2: §a vỊ l thõa cïng sè mị 10 Bµi 3: So sánh: a, 32 Giải: a, 3230 = (25)30 = 2150; Vì < nên 2150 < 3150 b, 10 16 = 25 10 4 = 5 > Vì nên 49 *Phơng pháp giải: 20 30 16 b, vµ 25 7 75 40 975 = (32)75 = 3150 ⇒ 3230 < 940 40 3 = 7 20 ; 20 10 20 16 3 > ⇒ > 49 25 7 = 49 20 40 Tổng quát Với m N* a , b∈ R Ta cã: - NÕu a < b th× a m < bm - NÕu a = b th× a m = bm - NÕu a > b a m > bm Trong nhiều trờng hợp việc đa luỹ thừa số hay ®a vỊ cïng sè mị mét c¸ch trùc tiÕp ®Ĩ so sánh chúng việc Từ ta có dạng so sánh cao Dạng 3.3: Dùng luỹ thừa trung gian để so sánh Bài 4: So sánh: a, 637 1612 b*, 1714 3111 Giải: a, Vì 63 < 647 < 648 1612 = (42)12 = 424 = 648 VËy 637 < 1612 b, Ta cã: 1714 > 1614 = (24)14 = 256 vµ 3111 < 3211 = (25)11 = 255 Vì 256 > 55 nên 1714 > 3155 *Phơng pháp giải: Tính chất bắc cầu: Nếu a > b b > c a>c ( b gọi thành phần trung gian) - Câu a ta sử dụng 64 làm luỹ thừa trung gian để so sánh - Câu b ta sử dụng 1614 3211 làm luỹ thừa trung gian để so sánh Đối với toán sử dụng đợc phơng pháp ta có phơng pháp cao khó sau: Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp D¹ng 3.4: Sử dụng tính chất đơn điệu phép nhân Bài 5: So sánh: 1031 2100 Giải Ta có 1031 = 231 531 ; 2100 = 231 269 Vậy để so sánh 1031 2100 ta cần so sánh 531 269 531 = 53 528 = 53 (54)7 = 125 6257 269 = 26 263 = 26 (29)7 = 64 5127 Ta so sánh cặp thừa số tơng øng víi 125 > 64 ⇒ 125 6257 > 64 5127 ⇒ 531 >269 hay 1031 > 2100 625 > 512 a > b *Phơng pháp giải: Với a, b, c, d N* NÕu ⇒ a c > c > d V× 7 b d Trng hợp luỹ thừa có mặt biểu thức ta có dạng so sánh sau Dạng 4: So sánh biểu thức có chứa luỹ thừa Bài 6: So sánh biểu thức A B tõng trêng hỵp: 1015 + A = 16 10 + 2008 − C = 2007 Giải: 1016 + a, B= 1017 + 2007 − b, vµ D = 2006 −1 15 15 10 + 10 + 1016 + 10 Ta cã A = 16 => 10A = 10 16 = 10 + 1016 + 10 + a, 1016 + ⇒ 10B = 10 17 10 + 17 10 + + 9 = + 17 17 10 + 10 + B= 1016 + + 9 = + 16 = 16 10 + 10 + 16 17 10 + = 10 + 10 = 17 10 + 1017 + V× 1016 + < 1017 + nªn ⇒ 1+ 10 + 16 > 1+ 10 + 17 10 + 16 > 10 + 17 ⇒ 10A > 10B hay A > B 2008 − 2008 − 2008 − − 1 = b, C = 2007 = 2008 −1 −2 2008 − 2 2 = − 2008 −2 2007 2007 2007 2 −3 −3 − −1 1 2007 − ⇒ D = = D = 2006 2006 = 2007 = − 2007 2007 −1 −2 −2 2 −2 −1 2 1 ⇒ − 2008 < 2007 V× 22008 - > 22007 - nªn > 2008 −2 −2 −2 1 − 2007 −2 2008 − Ta cã C = 2007 −1 ⇒ Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp ⇒ 1 C > D 2 hay C > D *Phơng pháp giải: - câu a, biểu thức A B cã chøa luü thõa c¬ sè 10 -> ta so sánh 10A và10B - câu b, biểu thức C D có chứa luỹ thừa số nên ta so sánh 1 C D 2 Lu ý: Đối với trờng hợp bậc luỹ thõa ë tư lín h¬n hay bÐ h¬n bËc cđa luỹ thừa mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên so sánh phần tơng ứng Với a, n, m, K N* Ta cã: - NÕu m > n th× K- - NÕu m < n th× K - a m >K- a a < Km n a n vµ K + vµ K + a m a m < K+ > K+ a n a n (còn gọi phơng pháp so sánh phần bù) Bài 7: Giải 7 + vµ N= 3+ 8 8 3 3 + + = + + 8 8 8 3 3 + = + + = + + 8 8 8 3 3 + + < + + ⇒ M < N 8 8 8 So s¸nh + 4= 8 83 4 V× < ⇒ 8 Ta có: BTVN : Bài 1.So sánh a) 3500 vµ 7300 999910 d) 202303 vµ 303202 371320 h) 1010 48.505 Bài Tìm số tự nhiên n biÕt a) 5n = 12534 3n = 37 b) < 3n < 81 M= b) 85 vµ 3.47 e) 321 vµ 231 g) 111979 vµ i) 199010 + 19909 vµ 199110 3n = 243 25 ≤ 5n ≤ 125 Bài So sánh giá trị biểu thức A vµ B biÕt: B c) 9920 vµ 49.7n = 2401 A= 23 2000 +3 vµ 23 2001 + 40 23 2001 + 23 2002 + 40 Bµi So sánh : a) 7245 7244 7244 7243 b) 291 vµ 535 c) 544 vµ 2112 d) 222777 777 222 Buổi 3: Chuyờn : Các dạng toán luỹ thừa phơng pháp giảI (Tip) Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp I Môc tiêu : Vn dng công thức l thõa vµo giải tốn chia hết: II.Néi Dung Dạng 5: Tìm số chữ số luỹ thừa Bài 1: Tìm chữ số số n m trờng hợp sau: a, n = 83 155 b, m = 416 525 Gi¶i: a, Ta cã n = 83 155 = (23)3.(3.5)5 = 29 35 55 = 24 35 (2.5)5 = 16.243 105 = 3888 105 Sè 3888 105 gåm 3888 theo sau chữ số nên số có chữ số Vậy n có chữ sè b, Ta cã : m = 416 525 = (22)16 525 = 232.525 = 27.(225.525) = 128.1025 Sè 128.1025 gồm 128 theo sau 25 chữ số nên số có tất 28 chữ số Vậy m có 28 chữ số.* Phơng pháp giải: Nhóm luỹ thừa thích hợp nhằm làm xuất luỹ thừa 10, từ lập luận tìm số chữ số số Dạng 6: Tìm chữ số tận luỹ thừa Dạng 6.1: Tìm chữ số tận Bài 2: Tìm chữ số tận số sau a, 342008 b, 735 Giải: a, 342008 = (34)1004 = (342)1004 = (…6)1004 = (…6) VËy 342008 cã tËn cïng lµ b, 735 = (7)4.8 + = (74)8 73 = (…1)8 243 = (…3) VËy 735 cã tËn cïng lµ * Nhận xét: Tìm chữ số tận luü thõa - C¸c sè cã tËn cïng b»ng 0; 1; 5; nâng lên luỹ thừa ( khác ) tận số - Các số có tận 2; 4; nâng lên luỹ thừa 4n (nN*) có tận - Các số có tận 3; 7; nâng lên luỹ thừa 4n (nN*) có tận Dạng 6.2: Tìm hai chữ số tận Bài 3: Tìm hai chữ số tận cđa a, 100 b, 72007 Gi¶i a, Ta thÊy 10 = 1024 Bình phơng số có tận 24 tận 76 Số có tận 76 nâng lên luỹ thừa nào( khác 0) cịng cã tËn cïng lµ 76 Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp Do ®ã: 2100 = (210)10 = 102410 = ( 10242)5 = (…76)5 =(…76) VËy 2100 có hai chữ số tận 76 b, Vì 74 = 2401 Sè cã tËn cïng lµ 01 nâng lên luỹ thừa nào( khác 0) có tận cïng lµ 01 72007 = (74)501 73 = ( 2401)501 343 = (…01) 43 = (…43) VËy 72007 cã hai chữ số tận 43 * Nhận xét: -Các số có tận 01; 25; 76 dù nâng lên luỹ thừa (khác 0) có tận -Các số 320 (hay 815) ; 74 ; 512; 992 cã tËn cïng b»ng 01 -C¸c sè 220; 65; 184; 242; 684; 742 cã tËn cïng lµ 76 -Sè 26n (n >1) cã tËn cïng lµ 76 Dạng 6.3: Tìm ba chữ số tận trở lên Bài 4: Tìm ba chữ số tận 52005 Giải: Vì 54 = 625 Số có tận 625 dù nâng lên luỹ thừa (khác 0) có tận 625 Do : 52005 = (54)501 = (625)501 = (…625) = (125) Vậy 52005 có ba chữ số tận 125 * NhËn xÐt: - C¸c sè cã tËn cïng 001; 376; 625 dù nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) có tận - Các số có tận 0625 dù nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) có tận 0625 Dạng 7: Luỹ thừa toán chứng minh chia hết Dạng 7.1: VËn dơng ch÷ sè tËn cïng cđa l thõa Bµi 5: Chøng minh : 197 a, 7777 - 3333163 chia hÕt cho 10 Do ®ã: b, 4n + + số tự nhiên (nN) Giải: a,Vì số có tận chia hết cho 10 nên ta cần chứng tỏ hiệu 7777197 - 3333163 cã tËn cïng b»ng Ta cã: 7777197 = (7777)196+1 = (77774)49 = (…1)49 = (…7) 3333163 = (3333)160+3 = ( 33334)40 33 = (…1)40 27 = (…7) Do ®ã 7777197 - 3333163 cã tËn cïng lµ - = nên chia hết cho 10 b, Để c/m cho mÉu 4n + + lµ mét số tự nhiên, ta cần c/m tử chia hết ( tøc lµ 24n+2 + ; ∀n∈N) Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp Ta cã: 24n+2 + = (24)n 22 + = (…6)n + = (…5) (∀n∈N) VËy 24n+2 + có tận nên chia hết cho 4n + + hay lµ mét số tự nhiên (nN) *Phơng pháp giải: - Sử dụng cách tìm chữ số tận luỹ thõa - Sư dơng dÊu hiƯu chia hÕt cho 5; 10; … D¹ng 7.2: Sư dơng tÝnh chia hÕt cđa mét tÝch Bµi5 Chøng minh r»ng: a, 76 + 75 - 74 chia hÕt cho 11 b*, 2454 5424 210 chia hÕt cho 7263 Gi¶i: a, Ta cã: 76 + 75 - 74 = 74 (72 + - 1) = 74 (49 + - 1) = 74 55 = 74 11 11 b, Ta cã 7263 = (8.9)63 = (23 32)63 = 23.63 33.63 = 2189 3126 2454 = (3.8)54 = (3 23)54 = 354 23 54 = 354 2162 5424 = (2.27)24 = (2.33)24 = 224 33.24 = 224 372 Do ®ã: 2454 5424 210 = 354 2162 224 372 210 = 2162 + 24 + 10 354 + 72 = 2196 3126 = 27 (23)63 (32)63 = 27 (8.9)63 = 27 7263 7263 VËy 2454 5424 210 7263 Bµi6: Chøng minh với số nguyên dơng n thì: a, 3n +2 - 2n+2 + 3n - 2n 10 b, 3n+3 + 3n+1 + 2n+3 + 2n+2 6 Gi¶i: a, 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n = 3n (32 + 1) - 2n (22 + 1) = 3n 10 - 2n = 3n 10 - 2n-1 = 3n 10 - 2n-1 10 = (3n - 2n-1) 10 10 VËy 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n chia hÕt cho 10 b, 3n + + 3n + + 2n + + 2n + = 3n + (32 + 1) + 2n + (2 + 1) = 3n 10 + 2n + = 3n + 2n + = (3n + 2n + 1) 6 VËy 3n+3 + 3n+1 + 2n+3 + 2n+2 6 Bµi 7: Chøng minh r»ng: A = 75 (42007 + 42006 + … + 42 + + 1) + 25 lµ sè chia hÕt cho 100 Gi¶i: Ta cã: A = 75 (42007 + 42006 + … + 42 + + 1) + 25 = 25.3 (42007 + 42006 … + 42 + + 1) + 25 = 25 (4-1) (42007 + 42006 … + 42 + + 1) + 25 = 25 (42008 + 42007 + … + 42 + - 42007 - 42006 -…- 42 - 1) + 25 = 25 (42008 - 1) + 25 = 25 (42008 - + 1) = 25.42008 = 25.4.42007 = 100.42007 Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp 10 Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp Giải: a) Chứng minh HA + HB + HC < AB + AC Ta kẻ NH // AC HM //AB Khi ta có HA < AM + HM = AM + AN (1) (Theo tính chất đoạn chắn) Do BH vng góc với AC mà HN //AC nên BH ⊥ HN Do BH < BN (2) Tương tự ta chứng minh đựơc HC < CM (3) Từ (1) ; (2) (3) suy HA + HB + HC < AM + AN + BN + CM = AC + AB (đpcm) b) Ta có HA + HB + HC < AB + AC ( Theo câu a) Tương tự HA + HB + HC < BC + AC HA + HB + HC < AB + BC Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta được: ( HA + HB + HC ) < ( AB + BC + AC ) ⇒ HA + HB + HC < ( AB + BC + AC ) (đpcm) Bài 53: Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M, N trung điểm AB, AC Kẻ NH ⊥ CM H Kẻ HE ⊥ AB E Chứng minh tam giác ABH cân HM phân giác góc BHE Giải: ⊥ CM Từ A ta kẻ AK K AQ ⊥ HN Q Hai tam giác · vng MAK NCH có MA = NC = AB ÷ ·ACH = MAK (cùng phụ với góc KAC) nên ∆MAK = ∆NCH (cạnh huyền, góc nhọn) Suy AK = HC (1) Ta lại có · ∆BAK = ∆ACH ( c.g.c ) ⇒ BKA = ·AHC Hai tam giác vuông · AQN CHN có NA = NC ·ANQ = HNC (đ.đ) nên ∆ANQ = ∆CNH (cạnh huyền, góc nhọn) Suy AQ = CH (2) Từ (1) (2) suy AK = AQ nên HA tia phân giác góc KHQ suy ·AHQ = 450 ⇒ ·AHC = 900 + 450 = 1350 ⇒ ·AKB = 1350 Từ ·AKB + BKH · · · + ·AKH = 3600 ⇒ BKH = 1350 Tam giác AKH có KHA = 450 nên vng cân K ⇒ KA = KH Xét hai tam giác BKA cà BKH có BK chung ; · · · · BKA = BKH = 1350 ; AK = KH ⇒ ∆BKA = ∆BKH ( c.g c ) ⇒ KHB = MAK ; AB = BH hay tam giác BAH cân B · · · · Ta có KHB KE // CA nên ·ACH = EHM (đồng vị) ·ACH = MAK suy = MAK · · nên HM tia phân giác EHB EHM = MHB Dùng phương pháp phản chứng để chứng minh hình học: Bài 54: Tam giác ABC có hai góc B C nhọn Kẻ AH ⊥ BC Chứng minh H nằm BC Giải: Ta thấy H, B, C ba điểm phân biệt Thật vậy, H trùng với B C Bµ = 900 Cµ = 900 Trái với giả thiết Trong ba điểm phân biệt có điểm nằm hai điểm Giả sử C nằm B H Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp 84 Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp · ·ACH < 900 suy BCA > 900 trái với giả thiết Giả sử B nằm C H ·ABH < 900 suy CBA · > 900 trái với giả thiết Vậy H nằm B C Bài 55: a) Tam giác ABC có Bµ = 600 BC = AB Chứng minh Cµ = 900 µ b) Tam giác ABC có B = 60 BC = 2dm; AB = 3dm Gọi D trung điểm BC Chứng minh AD = AC Giải: µ ≠ 90 Kẻ AH ⊥ BC H khơng trùng C nên ∆ABH vuông H suy a) Giả sử C 1 · BAH = 300 nên BH = AB Theo giả thiết ta có BC = AB nên BH = BC 2 µ suy H trùng với C mâu thuẩn Nên C = 90 b) Gọi H trung điểm DC BH = 1,5dm Do BH = ·AHB = 900 nên ∆AHD = ∆AHC ( c.g.c ) suy AD = AC AB Theo câu a) Bài 56: Cho tam giác ABC đều, đường cao AH Trên tia HD lấy điểm C cho HD = HA Trên nửa mặt phẳmg bờ BD không chứa điểm A vẽ tia Dx cho · BDx = 150 Dx cắt AB E Chứng minh HD = HE Giải: · Giả sử HD > HE HED > 150 (1) Mặt khác HD > HE nên HA > HE ·AEH > 300 (2) Từ (1) (2) BED · · · > 450 nên ·ABD = BED + BDE > 450 + 150 = 600 TráI với giả thiết tam giác ABC Tương tự giả sử HD < HE ta chứng minh ·ABD < 600 , trái với giả thiết Nên HD = HE (đpcm) Bài 57: Tam giác ABC nhọn , đường cao AH, đường trung tuyến BI, đường phân giác CK cắt ba điểm phân biệt D, E, F Chứng minh tam giác DEF tam giác Giải: · · Giả sử tam giác DEF CFH = 600 nên FCH = 300 · · suy ·ACF = 300 Ta lại có CEI = 600 suy BIC = 900 Tam giác ABC có BI trung tuyến đường cao nên tam giác ABC cân B lại có ·ACB = 600 nên tam giác ABC Do AH, BI, CK đồng quy tức D, E, F trùng nhau, trái với giả thiết Vậy tam giác DEF tam giác Bài 58: Tam giác ABC có ba góc nhọn, đường phân giác AD, đường trung tuyến BM, đường cao CH đồng quy Chứng minh µA > 450 Giải: µ Giả sử A ≤ 45 Trên tia Hx lấy điểm E cho HE = HA ·AEC = EAC · · nên trái với giả thiết tam ≤ 450 ⇒ ·ACE ≥ 900 Ta chứng minh ·ACB > ACE giác ABC góc nhọn Thật vậy, ta chứng tỏ B thuộc tia Ex Gọi O giao điểm đường CH,BM,AD F giao điểm EO AC Xét tam giác EAC có EA > EC ( Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp 85 Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp EA đối diện với góc lớn hơn) mà FE phân giác góc CEA nên AF > FC suy AC M trung điểm AC nên M nằm A F B thuộc tia Ex Do ·ABC > ·ACE mà ·ACE ≥ 900 ⇒ ·ACB > 900 Trái với giả thiết nên µA > 450 AF > Bài 59: Cho tam giác ABC có BC = AB Gọi M trung điểm BC D trung điểm BM Chứng minh AC = 2AD Giải: Trên tia AD lấy điểm E cho AD = DE nên ta có ·ADB = EDM · (đ.đ) DB = DM nên ∆ABD = ∆EMD (c.g.c) suy BC · AB = ME ·ABD = DME Vì AB = ME = MC = nên · µ · MC = ME Ta lại có AMC = B + BAM ( góc ngồi tổng hai góc khơng kề tam giác ABM) mà ·ABD = DME · · · BAM (Do tam giác BAM cân B) = BMA · · Suy ·AMC = BME + BMA = ·AMC = ·AME Vậy ∆AME = ∆AMC ( c.g c ) Suy AC = AE =2AD (đpcm) Bài 60:Cho tam giác ABC vuông cân A M trung điểm BC Trên tia BC lấy điểm D với D khác B M Kẻ BK vng góc với AD K Chứng minh KM phân giác phân giác tam giác BKD đỉnh K Giải: Khi D trùng với C K trùng với A Khi AM ⊥ BC M nên kết luận Từ M ta hạ MH ⊥ KB MI ⊥ KD nên MH ⊥ MI M MH //KD Do ·AMI = 900 − ·AMH = BMH · · · ·AMI = 900 − BMI = BMH Khi M nằm đoạn BD Do ∆BMH = ∆AMI ( cạnh huyền, góc nhọn) Suy · MI = MH Do M cách hai đoạn thẳng KB KD nên KM phân giác BKD Tính số đo góc tam giác Bài 61: Tam giác ABC cân A có µA = 200 Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = BC Tính ·ACD ? Cách giải 1: Vẽ tam giác BCE ( với E nằm phia với A có bờ 1800 − 200 · = − 600 = 200 Hay đường thẳng BC) nên ECA · · ECA = DAC = 20 Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp 86 Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp · · Xét tam giác ∆DAC ∆ECA có DA = EC; ECA ; AC cạnh chung nên ∆DAC = DAC · · · = ∆ECA (c.g.c) suy CAE = ·ACD mà ∆AEB = ∆AEC ( c.c.c ) nên BAE = CAE = 100 Vậy ·ACD = 100 Cách giải 2: Vẽ tam giác ADE nằm ngồi tam giác ABC · CAE = 800 Do ∆CAE = ∆ABC ( c.g c ) nên CE =AC ·ACE = BAC · = 200 Nên ∆ACD = ∆ECD ( c.c.c ) suy ·ACD = ECD · = 100 Cách giải 3: Vẽ tam giác ACK ta chứng · minh tam giác CDK cân K (vì KAD = 800 , KA = AB; AD = BC nên ∆KAD = ∆ABC ( c.g c ) suy KD = AC = KC ) nên · DKC = ·AKC − ·AKD = 600 − 200 = 400 suy · · · KCD = (1800 − DKC ) : = (1800 − 400 ) : = 700 ⇒ DCA = 700 − 600 = 100 Cách giải 4: Vẽ tam giác FAB với F C phía AB Nên tam · giác AFC cân A Tính FAC = 400 nên 0 ·AFC = 180 − 40 = 700 ⇒ BFC · · · · = 100 ⇒ CBF = 200 ⇒ ∆ADC = ∆BCF ( c.g c ) ⇒ ACD = BFC = 100 Chú ý : Nếu giả thiết cho ·ACD = 100 AD = BC ta xét ∆DAC = ∆ECA (c.g.c) Bài 62: Cho tam giác ABC cân có Bµ = Cµ = 500 Gọi K điểm tam · · giác cho KBC = 100 ; KCB = 300 Chứng minh tam giác · ABK cân tính BAK ? Giải: Dựng tam giác EBC có đỉnh E A nằm nửa mặt phẳng có bờ BC Nên ∆EAB = ∆EAC ( c.c.c ) Do Bµ = Cµ = 500 · · nên EBA = ECA = 600 − 500 = 100 EA phân giác · · · BEC ⇒ BEA = CEA = 300 Do ∆EBA = ∆CBK (g.c.g) nên AB = BK hay tam giác BAK cân B · BAK = 1800 − ·ABK : = ( 1800 − 400 ) : = 700 ( ) Bài 63: Tính góc tam giác ABC cân A biết cạnh AB lấy điểm D cho AD = DC = BC Giải: µ · · µ = x mà tam giác ABC có Đặt A = x ACD = x Do BDC = 2x ; B µA + B µ +C µ = 1800 nên x + x + x = 1800 ⇔ x = 1800 ⇔ x = 360 Vậy x = µA = 360 Nên Bµ = Cµ = ( 1800 − 360 ) : = 720 Bài 64: Tam giác ABC có Bµ = 600 ; Cµ = 300 Lấy điểm D cạnh AC Điểm E cạnh AB cho ·ABD = 200 ; ·ACE = 100 Gọi K giao điểm BD CE Tính góc tam giác KDE Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp 87 Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp Giải: Tam giác ABC có Bµ = 600 ; Cµ = 300 suy µA = 900 · · Do CEA = 900 − 100 = 800 ; BDA = 900 − 200 = 700 ; ( ) · · · · CKB = DKE = 1800 − KCB + CBK = 1800 − (200 + 400 ) = 1200 Gọi I giao điểm hai · · · · ; KBC đường phân giác góc BCK nên CKI = BKI = 600 Do · · · · · · KEA = BKE + KBE ⇔ BKE = KEA − KBE = 800 − 200 = 600 nên ∆IKB = ∆EKB ( g c.g ) suy KI = KE Tương tự ta chứng minh ∆IKC = ∆DKC ( g.c.g ) suy KI = KD Do KD = KE Tam · · = KED = (1800 − 1200 ) : = 300 giác KDE cân K suy KDE Bài 65: Cho tam giác ABC góc µA ≠ 900 góc B, C nhọn, đường cao AH vẽ điểm D E cho AB đường trung trực HD , AC đường trung trực HE Gọi I, K theo thứ tự giao điểm DE với AB AC Tính góc ·AIC ·AKB Giải: µ Trường hợp A < 90 Thì IB KC hai phân giác tam giác IHK Do HA phân giác Do ·AHC = 900 nên HC phân giác đỉnh H Các phân giác cắt C nên IC phân giác · góc HIK Do 180 · · · BIH + HIC = = 900 ⇒ BIC = 900 hay ·AIC = 900 Chứng minh tương tự ta có BK ⊥ KC ( phân giác KB phân giác ngồi góc K) nên ·AKB = 900 Trường hợp µA > 900 Tam giác HIK có KC, · · , HIK IB tia phân giác góc HKI KB , IC tia phân giác · · HKI , HIK nên ·AIC = ·AKB = 900 Bài 66: Cho tam giác ABC có AH đường cao, phân giác BD ·AHD = 450 Nêu cách vẽ hình tính ·ADB Giải: · *) Vẽ tam giác BHD cho BHD = 1350 , vẽ đường thẳng vng góc với BH H vẽ tia Bx cho · · cắt đường thẳng vừa vẽ điểm A Hai HBD = DBx tia AD BH cắt C, ta hình thoả mãn đề cần vẽ Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp 88 Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp · Xét ∆ABH ta có HAx = ·ABH + ·AHB = ·ABH + 900 = ·ABD + 900 ( Do BD tia phân giác · · góc B) Ta lại có HAx (vì tia BD phân giác tia HD phân = 2CAx giác cắt D nên AD phân giác tam giác BHA) Vậy · · ⇔ ·ABD + 450 = CAx (1) Mặt khác, tam giác ABD có ·ABD + 900 = 2CAx · CAx = ·ABD + ·ADB ( ) (định lý góc ngồi tam giác ABD) Từ (1) (2) suy ·ABD + 450 = ·ABD + ·ADB ⇔ ·ADB = 450 Bài 67: Cho tam giác ABC có K giao điểm đương phân giác, O giao điểm đường trung trực, BC đường trung trực OK Tính góc tam giác ABC Giải: Do O giao điểm đường trung trực tam giác ABC nên OB = OC Suy ∆OBC cân O suy · · , Mà BC đường trung trực OK nên OBC = OCB · · · · = KBC ; OCB = BCK BO = BK ; OC = CK Do OBC K giao điểm đường phân giác nên · · · · · · OBC = KBC = KBA = OCB = BCK = KCA = α Ta lại có OA = · · · · OB nên OBA = OAB CA = OC nên OCA Do đó, = OAC · · · · BAC = BAO + OAC = ·ABO + OCA = 3α + 3α = 6α mà ∆ABC có · · · BAC + ABC + BCA = 1800 ⇔ 2α + 6α + 2α = 1800 ⇔ 10α = 1800 ⇔ α = 180 · · = 360 ; BAC = 1080 Vậy ·ABC = BCA Bài 68: Cho tam giác ABC có Bµ = 600 ; Cµ = 450 Trong góc ABC vẽ tia Bx · · cho xBC = 150 Đường vng góc với BA A cắt Bx I Tính ICB Giải: Trên cạnh BC lấy điểm K cho AB = BK nên tam giác ABK cân B có Bµ = 600 nên tam giác ABK Do KB = KA Ta lại có tam giác ABI vng A mà ·ABI = ABC · · − IBC = 600 − 150 = 450 nên tam giác ABI vuông cân A suy AB = AK = AI Do Bµ = 600 ; Cµ = 450 nên µA = 750 · · · Nên KAC = BAC − BAK = 750 − 600 = 150 ; · CAI = 900 − µA = 900 − 750 = 150 Do · · ∆AKC = ∆AIC ( c.g c ) ⇒ ·ACK = ·ACI = 450 ⇒ ICB = ·ACK + ·ACI = 900 Vậy ICB = 900 Bài 69: Cho tam giác ABC có Bµ = 750 ; Cµ = 450 Trên cạnh BC lấy điểm · D cho BAD = 450 Đường vng góc với DC C cắt tia · phân giác ·ADC E Tính CBE Giải: · · Ta có Bµ = 750 ; Cµ = 450 BAD = 450 suy BDA = 600 nên ·ADC = 1200 mà DE phân giác ·ADC nên Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp 89 Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp ·ADE = EDC · = 600 Ta lại có CE phân giác ∆DCE DA phân giác · EDC cắt A nên EA phân giác E · · ∆DCE vng C có EDC = 600 ⇒ DEC = 300 Do ·AED = 1800 − DEC · : = 1800 − 300 : = 750 ( ) ( ) (do EA phân giác E) suy · DAE = 450 Do ∆ABD = ∆ADE ( g c.g ) ⇒ BD = ED nên tam giác BDE cân D nên · = (1800 − 1200 ) : = 300 ta có EBD Bài 70:Cho tam giác ABC, vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABE; ACF Gọi I trung điểm BC, H trực tâm tâm giác ABE Tính góc cuả tam giác FIH Giải: Trên tia đối tia IH lấy điểm K cho IH = IK Gọi 0 · · BAC = α HAF = 60 + 30 + α = 90 + α ( 1) ( ∆ACF · nên FAC = 600 tam giác EAB có H trực tâm nên · HAB = 300 < α ≤ 90 ) Ta lại có: ∆BIH = ∆CIK ( c.g c ) · · nên suy KCI = HBI = ·ABC + 300 nên ( ) ·ACB = 1800 − ·ABC + α ( ) 0 · · · Do đó: KCI + BCA + ·ACF = ·ABC + 300 + 180 − ABC + α + 60 = 270 − α ( ) ( ) · · · KCF = 3600 − KCI + BCA + ·ACF = 3600 − 2700 − α = 900 + α ( ) Từ (1) (2) suy · · · · ⇒ HFK = 600 Nên ∆AHF = ∆CKF ( c.g c ) ⇒ HF = KF ; ·AFH = CFK HAF = KCF tam giác HFK suy tam giác HFI nửa tam giác cạnh HF Các góc · · · = 900 ; IHF = 600 ; HFI = 300 tam giác HFI có số đo là: HIF · Bài 71: Cho tam giác ABC cân A có BAC = 200 Trên nửa mặt phẳng khơng chứa B có bờ AC vẽ tia Cx cho ·ACx = 600 , tia lấy điểm D cho AB = CD Tính ·ADC Giải: Trên nửa mặt phẳng chứa B có bờ AC vẽ tia Cy cho ·ACy = 600 Tia · cắt AB E Do tam giác ABC cân A có BAC = 200 nên µ =C µ = (1800 − 200 ) : = 800 Trong tam giác BCE có B µ = 800 Góc BEC · B · · góc ngồi tam giác AEC nên ta có BEC = µA + ECA = 200 + 600 = 800 Nên tam giác CEB cân C suy CE = CB Từ ta có ∆AEC = ∆ADC ( c.g c ) ⇒ ·AEC = ·ADC = 1800 − 800 = 1000 Bài 72: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm E nằm tam giác cho tam giác EAC cân · E có góc đáy 150 Tính góc BEA Giải: Cách giải 1: Vẽ tam giác ACD Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp 90 Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp · · Ta có tam giác EAC cân E nên EAC = ·ACE = 150 nên BAE = 900 − 150 = 750 · · Xét ∆BAE ∆DAE có AB = AD = AC ; BAE = DAE = 750 ; · = ·AED Do AD = AC EA = EC AE cạnh chung Nên ∆BAE = ∆DAE ( c.g.c ) ⇒ AEB nên ED đường trung trực AC Đồng thời AE phân giác ·AEC nên · ·AED = AEC = 180 − 2.15 = 750 2 Cách giải 2: Vẽ tam giác EAK nằm tam giác AEC Ta · · · ∆ABK = ∆ACE ( c.g c ) ∆ABK = ∆BEK ( c.g.c ) ⇒ BEA = BEK + KEA = 150 + 600 = 750 Bài 73: Cho tam giác ABC cân A có µA = 1000 Điểm M nằm tam giác ABC cho · · MBC = 100 ; MCB = 200 Tính ·AMB Giải: 1800 − 1000 = 400 mà Tam giác ABC cân A nên ·ACB = · · · MBC = 200 ⇒ MCA = 200 nên CM tia phân giác BCA Trên tia CA lấy điểm E cho CB = CE nên · · ∆MCB = ∆MCE ( c.g c ) ⇒ ME = MB EMC = BMC = 1800 − 300 = 1500 · · ⇒ EMB = 3600 − 2.BMC = 3600 − 3000 = 600 Do tam giác BME suy BM =BE · Ta có: EAB + ·AEM = 800 + 100 = 900 nên AB ⊥ ME suy BA phân giác góc 0 · · · · · MBE ⇒ EBA = MBA = 600 : = 300 nên ∆ABM = ∆ABE ( c.g c ) ⇒ BEA = AMB = 60 + 10 = 70 Bài 74: Cho tam giác cân A có µA = 800 Trên cạnh BC lấy điểm D · · cho CAD = 300 Trên cạnh AC lấy điểm E cho EBA = 300 Gọi I giao điểm AD BE Chứng minh tam giác IDE cân tính góc Giải: Ta có tam giác ABC cân A có µA = 800 nên Bµ = Cµ = 500 mà · · · CAD = 300 nên BAD = µA − DAC = 800 − 300 = 500 Khi ∆DBA cân D suy AD = BD Trên BI lấy điểm K cho · BAK = 100 nên · · · BEA = 1800 − ( BAE + EBA ) = 1800 − (800 + 300 ) = 700 (1) · · (2) KAE = ·ABC − BAK = 800 − 100 = 700 Từ (1) (2) suy ∆KAE cân K nên KA = KE Ta chứng minh tam giác AkD cân A nên AK = AD Do AD = KE (3) · Mặt khác, KAI = ·AKI = 400 ⇒ ∆IKA cân I nên IA = IK (4) Từ (3) (4) suy IE = ( ) · · = 1800 − IAK = 1800 − 800 = 1000 ID nên tam giác IED cân I ·AIK = DIE 1800 − 1000 ·IDE = IED · = = 400 Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp 91 Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp Bài 75: Cho tam giác ABC cân A có µA = 200 , điểm M,N theo thứ tự · · · thuộc cạnh bên AB, AC cho BCM = 500 ; CBN = 600 Tính MNA Giải: Trên cạnh AB lấy điểm D cho AN = AD DN //BC ·AND = 800 Ta tính DNM · Gọi I giao điểm BN CD tam giác IBC IDN · tam giác IBC = 600 tam giác ABC cân A Ta chứng minh · MN tia phân giác DNB Thật vậy, Trong tam giác BDC có ( ) ( ) · · · · MDI = BDC = 1800 − DBC + DCB = 180 − 800 + 600 = 400 (1) · · · = 800 ; MCB = 500 ⇒ BMC = 500 ⇒ ∆BMC cân Trong tam giác BMC có MBC B Do BM = BC mà tam giác BIC nên IB = BC suy MB = 1800 − 200 · · = 200 ⇒ BIM = = 800 Do BI hay tam giác BMI cân B mà MBI ( ) · · · · · = 180 − MIB + DIN = 180 − ( 80 + 60 ) = 40 (2) Từ (1) (2) suy MDI MID = DIM nên ∆MDI cân M Suy MD = MI Ta lại có NI = ND nên MN đường trung 0 0 · DNB 60 · · = = = 300 trực DI suy MN phân giác DNB hay DNM · · · Vậy MNA = MND + DNA = 30 + 80 = 110 0 2 Bài 76: Điểm M nằm bên tam giác ABC vuông cân B cho KA: MB: MC = 1: 2: Tính ·AMB Giải: Vẽ tam giác MBK vng cân B ( K A nằm phía BM) Đặt MA = a; MB = 2a; MC = 3a Khi ta có · AB = BC; MBC = ·ABK ; BM = BK nên ∆ABK = ∆CBM ( c.g c ) suy CM = KA = 3a Xét tam giác vuông MBK vuông B 2 ta có MK = MB + MK = ( 2a ) + ( 2a ) = 8a Xét tam giác AMB có AM + MK = a + 8a = 9a = ( 3a ) = AK ( AK = MC) nên tam giác KMA vuông M Vậy ·AMB = ·AMK + KMB · = 900 + 450 = 1350 Bài 77: Nếu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thoả mãn điều kiện a + b > 5c c độ dài cạnh nhỏ Giải: Giả sử c ≥ a c + c ≥ a + c > b ⇒ 2c > b ⇒ 4c > b c ≥ a ⇒ c ≥ a nên ta có 5c > a + b trái với giả thiết Giả sử c ≥ b c + c ≥ b + c > a ⇒ 2c > a ⇒ 4c > a c ≥ b ⇒ c ≥ b nên ta có 5c > a + b trái với giả thiết Vậy c độ dài nhỏ tam giác 2 Câu Cho tam giác ABC có góc B 45 , góc C 1200 Trên tia đối cđa tia CB lÊy ®iĨm D cho CD = 2CB TÝnh gãc ADE Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp 92 Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp Câu 6: Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngồi ∆ABC ∆ ABD ACE Gọi M giao điểm BE CD Chứng minh rằng: 1, ∆ABE = ∆ADC · 2, BMC = 1200 Câu 7: Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vng góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm 1, ∆ABC ∆ ? Chứng minh điều 2, Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Chứng minh: AE = AB Câu : Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b Qua M trung điểm BC kẻ đường vng góc với đường phân giác góc A, cắt đường thẳng AB, AC D, E 1, Chứng minh BD = CE 2, Tính AD BD theo b, c Câu 9: · Cho ∆ABC cân A, BAC = 1000 D điểm thuộc miền ∆ABC cho · · DBC = 100 , DCB = 200 Tính góc ADB ? Câu 10 Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngồi ∆ABC ∆ ABD ACE 1, Chứng minh: BE = DC 2, Gọi H giao điểm BE CD Tính số đo góc BHC C©u 11: Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 90 0, B E nằm hai nửa mặt phẳng khác bờ AC Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900 F vµ C n»m ë hai nửa mặt phẳng khác bờ AB a) Chứng minh r»ng: ∆ABF = ∆ACE Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A = x − 2011 + x − 2012 b) B = x − 2010 + x − 2011 + x − 2012 c) C = x − + x − + + x − 100 HD : a) Ta có A = x − 2011 + x − 2012 = x − 2011 + 2012 − x ≥ x − 2011 + 2012 − x = với x ⇒ A ≥ với x Vậy Min A = Khi ( x − 2011)(2012 − x) ≥ ⇔ 2011 ≤ x ≤ 2012 b) ta có B = x − 2010 + x − 2011 + x − 2012 = ( x − 2010 + 2012 − x ) + x − 2011 Do x − 2010 + 2012 − x ≥ x − 2010 + 2012 − x = với x (1) Và x − 2011 ≥ với x (2) Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp 93 Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp Suy B = ( x − 2010 + 2012 − x ) + x − 2011 ≥ Vậy Min B = BĐT (1) ( x − 2010)(2012 − x) ≥ ⇒ x = 2011 x − 2011 = (2) xẩy dấu “=” hay c) Ta có x − + x − + + x − 100 = ( x − + 100 − x ) + ( x − + 99 − x ) + + ( x − 50 + 56 − x ) ≥ x − + 100 − x + x − + 99 − x + + x − 50 + 56 − x = 99 + 97 + + = 2500 Suy C ≥ 2050 với x Vậy Min C = 2500 ( x − 1)(100 − x ) ≥ 1 ≤ x ≤ 100 ( x − 2)(99 − x) ≥ 2 ≤ x ≤ 99 ⇔ ⇔ 50 ≤ x ≤ 56 ( x − 50)(56 − x ) 50 x 56 chuyên đề: giá trị nguyên biến, giá trị biểu thức Các kiến thức vận dụng: - Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, - Phân tích TSNT, tính chất số nguyên tố, hợp số , số phương - Tính chất chia hết tổng , tích - ƯCLN, BCNN số Bài tập vận dụng : * Tìm x,y dạng tìm nghiệm đa thức Bài 1: a) Tìm số nguyên tố x, y cho: 51x + 26y = 2000 b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7( x − 2004)2 = 23 − y c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = d) Tìm số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1 HD: a) Từ 51x + 26y = 2000 ⇒ 17.3.x = 2.( 1000 – 13 y) 3;17 số NT nên x M2 mà x NT ⇒ x = Lại có 1000 – 13y M51 , 1000 – 13y > y NT ⇒ y = 73 b) Từ 7( x − 2004)2 = 23 − y (1) 7(x–2004)2 ≥ ⇒ 23 − y ≥ ⇒ y ≤ 23 ⇒ y ∈ {0, 2,3, 4} Mặt khác số NT ⇒ 13 − y M7 y = y = thay vào (1) suy : x= 2005 ,y =4 x = 2003, y = x −1 = y +3 = c)Ta có xy + 3x - y = ⇔ ( x – 1)( y + 3) = ⇔ x −1 = x − = −3 y +3 =1 y + = −1 2 d)x -2y =1 ⇔ x − = y ⇔ ( x − 1)( x + 1) = y x − = −1 y + = −3 VP = 2y2 chia hết cho suy x > , mặt khác y nguyên tố x +1 = y x = ⇒ ⇔ x −1 = y y = Bài a) Tìm số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = b) Tìm x, y ∈ ¥ biết: 25 − y = 8( x − 2012)2 Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp 94 Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp HD : a) Từ x – y + 2xy = ⇔ 2x – 2y + 2xy = ⇔ (2x - 1)( 2y + 1) = 13 b) Từ 25 − y = 8( x − 2012)2 ⇒ y2 ≤ 25 25 – y2 chia hết cho , suy y = y = y = , từ tìm x 1 + = Bài a) Tìm giá trị nguyên dương x y, cho: x y b) Tìm số a, b, c nguyên dương thoả mãn : a + 3a + = 5b a + = 5c 1 x M5 + = ⇒ ( x + y) = xy (*) ⇒ xy M5 ⇒ x y y M5 + Với x chia hết cho , đặt x = q ( q số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy HD : a) Từ ra: 5q + y = qy ⇒ 5q = ( q – ) y Do q = không thỏa mãn , nên với q khác ta 5q có y = q − = + q − ∈ Z ⇒ q − 1∈ Ư(5) , từ tìm y, x b) a + 3a + = 5b ⇒ a2 ( a +3) = 5b – , mà a + = 5c ⇒ a2 5c = 5( 5b –1 – 1) 5b −1 − Do a, b, c nguyên dương nên c = 1( c >1 b – - khơng c −1 chia hết cho a khơng số nguyên.) Với c = ⇒ a = b = ⇒ a2 = Bài 4: Tìm cặp số nguyên tố p, q thoả m·n: 52 p + 2013 = 52 p + q HD : 52 p + 2013 = 52 p + q ⇒ 2013 − q = 25 p − 25 p ⇒ 2013 − q = 25 p (25 p − 1) Do p nguyên tố nên 2013 − q M252 2013 – q2 > từ tìm q Bài : T ìm tất số nguyên dương n cho: 2n − chia hết cho HD : Với n < 2n khơng chia hết cho 2 Với n ≥ n = 3k n = 3k + n = 3k + ( k ∈ N * ) Xét n = 3k , 2n -1 = 23k – = 8k – = ( + 1)k -1 = 7.A + -1 = 7.A M7 Xét n = 3k +1 n – = 23k+1 – = 2.83k – = 2.(7A+1) -1 = 7A + không chia hết cho Xét n = 3k+2 2n – = 23k +2 -1 = 4.83k – = 4( 7A + 1) – = A + không chia hết cho Vậy n = 3k với k ∈ N * * Tìm x , y để biểu thức có giá trị nguyên, hay chia ht: Bi Tìm số nguyên m để: a) Giá trị biểu thức m -1 chia hết cho giá trị biểu thức 2m + b) 3m − < HD : a) Cách : Nếu m >1 m -1 < 2m +1 , suy m -1 không chia hết cho 2m +1 Nếu m < -2 m − < 2m + , suy m -1 không chia hết cho 2m +1 Vậy m ∈ { -2; -1; 0; 1} Cách : Để m − 1M2m + ⇒ 2(m − 1)M2m + ⇒ (2m + 1) − 3M2m + ⇒ 3M2m + Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp 95 Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp b) 3m − < ⇒ - < 3m – < ⇒ Bài m = −2 1 x số CP 1006 x + > 2012 > 2009 suy 2009 không chia hết cho 1006 x + để Với x = thay vào khơng thỏa mãn Với x = 2009 :1006 x + = 2009 Ngày soạn - -2018 Buổi 15 chuyên đề: giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 1.Cỏc kin thc vận dụng : * a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 ≥ với a,b * a2 – 2.ab + b2 = ( a – b)2 ≥ với a,b *A2n ≥ với A, - A2n ≤ với A * A ≥ 0, ∀A , − A ≤ 0, ∀A * A + B ≥ A + B , ∀A, B dấu “ = ” xẩy A.B ≥ * A − B ≤ A − B , ∀A, B dấu “ = ” xẩy A,B ≥ Bài tập vận dụng: * Dạng vận dụng đẳng thức : a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 ≥ với a,b Và a2 – ab + b2 = ( a – b)2 ≥ với a,b Bài 1: Tìm giá trị nhỏ đa thức sau: a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 HD : a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 = 2(x2 – 2.x + 12 ) + 2010 = 2( x – 1)2 + 2010 Do ( x - 1)2 ≥ với x , nên P(x) ≥ 2010 Vậy Min P(x) = 2010 ( x - 1)2 = hay x = b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 = ( x + 50)2 – 3500 ≥ - 3500 với x Vậy Min Q(x) = -3500 Từ ta có tốn tổng qt : Tìm GTNN đa thức P(x)= ax2 + bx + c(a > 0) Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp 96 Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp b b b2 + ( )2 ) + ( c ) 2a 2a 4a b b 4ac − b 4ac − b2 4ac − b )≥ , ∀x Vậy Min P(x) = = a( x + )2 + ( x = − 2a 2a 4a 4a 4a HD: P(x) = a x2 + bx +c = a( x2 + 2.x Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: d) A = - a2 + 3a + e) B = x – x2 3 25 25 25 Do −(a − ) ≤ 0, ∀a nên A ≤ , ∀a Vậy Max A = a = 4 2 2 f) B = x − x = −( x − 2.x.1 + ) + = −( x − 1) + Do −( x − 1) ≤ 0, ∀x ⇒ B ≤ 1, ∀x HD : a) A = - a2 + 3a + = −(a − 2.a + ( ) ) + (4 + ) = −(a − ) + Vậy Max B = x = Bài : Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a 2012 + 2013 b) Q = 2012 a + 2011 2012 a) P = x + x + 2013 * Dạng vận dụng A2n ≥ với A, - A2n ≤ với A Bài : Tìm GTNN biểu thức : a) P = ( x – 2y)2 + ( y – 2012)2012 b) Q = ( x + y – 3)4 + ( x – 2y)2 + 2012 HD : a) ( x − y ) ≥ 0, ∀x, y ( y − 2012)2012 ≥ 0, ∀y suy : P ≥ với x,y x − y = x = 4024 ⇒ Min P = ⇒ y − 2012 = y = 2012 b) Ta có ( x + y − 3) ≥ 0.∀x, y ( x − y ) ≥ 0.∀x, y suy : Q ≥ 2012 với x,y ( x + y − 3) = x = ⇒ Min Q = 2012 ⇔ ( x − y ) = y =1 2013 Bài : Tìm GTLN R = ( x − 2) + ( x − y ) + 3x +2 Cho phân số: C = x − (x ∈ Z) a) Tìm x ∈ Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn b) Tìm x ∈ Z để C số tự nhiên Bài : x +2 4.(3 x + 2) 12 x + 23 HD : C = x − = 3.(4 x − 5) = 12 x − 15 = (1 + 12 x − 15 ) 23 C lớn 12 x − 15 lớn ⇒ 12 x − 15 nhỏ 12 x − 15 > ⇒ x = Vậy Max C = 23 (1 + ) = x = Bài : T×m sè tự nhiên n để phân số 7n có giá trị lớn 2n Giỏo viờn: Nguyn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp 97 Giáo án bồi dưỡng HS giỏi lớp 7n − 2(7 n − 8) 14n − 16 HD : Ta có 2n − = 7(2n − 3) = 14n − 21 = (1 + 14n − 21) 7n − lớn lớn ⇔ 14n − 21 > 14n – 21 có giá trị nhỏ 14n − 21 2n − 21 ⇒ n > = n nhỏ ⇒ n = 14 * Dạng vận dụng A ≥ 0, ∀A , − A ≤ 0, ∀A Để A + B ≥ A + B , ∀A, B dấu “ = ” xẩy A.B ≥ A − B ≤ A − B , ∀A, B dấu “ = ” xẩy A,B ≥ Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức d) A = ( x – 2)2 + y − x + 2011 e) B = 2012 − x − 2010 HD: a) ta có ( x − 2)2 ≥ với x y − x ≥ với x,y ⇒ A ≥ với x,y ( x − 2) = x = ⇒ Suy A nhỏ = y = y − x = c) Ta có − x − 2010 ≤ với x ⇒ 2012 − x − 2010 ≤ 2012 với x ⇒B⇒B≤ 2011 với x, suy Min B = 2011 x = 2010 2012 2012 Bµi Cho tam giác vuông ABC ( A = 90 0), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC E F I A B H C M D Đờng thẳng AB cắt EI F ABM = ∆ DCM v×: AM = DM (gt), MB = MC (gt), A Mˆ B = D Mˆ C (®®) => B Aˆ M = C Dˆ M =>FB // ID => ID ⊥ AC Vµ F Aˆ I = C Iˆ A (so le trong) (1) IE // AC (gt) => F Iˆ A = C Aˆ I (so le trong) (2) Tõ (1) vµ (2) => ∆ CAI = ∆ FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) vµ góc E FA = 1v (4) ˆ ˆ Mặt khác E A F = B A H (đđ), B Aˆ H = A Cˆ B ( cïng phô A Bˆ C) => E Aˆ F = A Cˆ B (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => ∆ AFE = ∆ CAB =>AE = BC Giáo viên: Nguyễn Hồng Quân– Trường THCS Diễn Tháp 98 ... 1 97 a, 77 77 - 3333163 chia hÕt cho 10 Do ®ã: b, 4n + + số tự nhiên (nN) Giải: a,Vì số có tận chia hết cho 10 nên ta cần chứng tỏ hiÖu 77 771 97 - 3333163 cã tËn cïng b»ng Ta cã: 77 771 97 = (77 77) 196+1... tËn cïng b»ng Ta cã: 77 771 97 = (77 77) 196+1 = (77 774 )49 = (…1)49 = (? ?7) 3333163 = (3333)160+3 = ( 33334)40 33 = (…1)40 27 = (? ?7) Do ®ã 77 771 97 - 3333163 cã tËn cïng lµ - = nên chia hết cho... biÕt: B c) 9920 vµ 49.7n = 2401 A= 23 2000 +3 vµ 23 2001 + 40 23 2001 + 23 2002 + 40 Bµi So sánh : a) 72 45 72 44 72 44 − 72 43 b) 291 vµ 535 c) 544 vµ 2112 d) 22 277 7 vµ 77 7 222 Bi 3: Chun đề :
Ngày đăng: 30/09/2020, 09:59
Xem thêm:
