Chứng minh tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương.. Ta biết rằng 1 số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ..[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n các dãy số sau a 3, 8, 15, 24, 35, b 3, 24, 63, 120, 195, c 1, 3, 6, 10, 15, d 2, 5, 10, 17, 26, e 6, 14, 24, 36, 50, f 4, 28, 70, 130, 208, g 2, 5, 9, 14, 20, h 3, 6, 10, 15, 21, i 2, 8, 20, 40, 70, Đáp số: a n(n + 2) b 3n(3n – 2) c n(n + 1)/2 d + n² e n(n + 5) f (3n – 2)(3n + 1) g n(n + 3)/2 h (n + 1)(n + 2)/2 i n(n + 1)(n + 3)/3 Bài 2: Tính a A = + + + … + (n – 1) + n b A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 Đáp số: a n(n + 1)/2 b A = 333300 Tổng quát: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +.… + (n – 1)n = (n – 1)n(n + 1)/3 Bài 3: Tính A = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + 99.101 Hướng dẫn: A = 1(2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) + + 99(100 + 1) A = 1.2 + + 2.3 + + 3.4 + + + 99.100 + 99 A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + (1 + + + + 99) A = 333300 + 4950 = 338250 Tổng quát: A = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + (n – 1)(n + 1) = (n – 1)n(2n + 1)/6 Bài 4: Tính A = 1.4 + 2.5 + 3.6 + + 99.102 Bài 5: Tính: A = + 12 + 24 + 40 + + 19800 Hướng dẫn: (1/2)A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 99.100 A= 666600 Bài 6: Tính A = + + + 10 + + 4851 + 4950 Hướng dẫn: 2A = 333300 Bài 7: Tính A = + 16 + 30 + 48 + + 19998 Bài 8: Tính A = + + + 14 + + 4949 + 5049 Bài 9: Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100 Hướng dẫn: 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 – 1) + 3.4.5.(6 – 2) + + 98.99.100.(101 – 97) 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5 + + 98.99.100.101 – 97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 A = 2449755 Tổng quát: A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + (n – 2)(n – 1)n A = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)/4 Bài 10: Tính A = 1² + 2² + 3² + + 99² + 100² Hướng dẫn: A = + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + + 99(98 + 1) + 100(99 + 1) A = + 1.2 + + 2.3 + + + 98.99 + 99 + 99.100 + 100 A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + (1 + + + + 99 + 100) A = 333300 + 5050 ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (2) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** A = 338050 Tổng quát: A = 1² + 2² + 3² + + (n – 1)² + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6 Bài 11: Tính A = 2² + 4² + 6² + + 98² + 100² Hướng dẫn: A = 2²(1² + 2² + 3² + + 49² + 50²) Bài 12: Tính A = 1² + 3² + 5² + + 97² + 99² Hướng dẫn: A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – (2² + 4² + 6² + + 98² + 100²) A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – 2²(1² + 2² + 3² + + 49² + 50²) Bài 13: Tính A = 1² – 2² + 3² – 4² + + 99² – 100² Hướng dẫn: A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – 2(2² + 4² + 6² + + 98² + 100²) Bài 14: Tính A = 1.2² + 2.3² + 3.4² + + 98.99² Hướng dẫn: A = 1.2(3 – 1) + 2.3(4 – 1) + 3.4(5 – 1) + + 98.99(100 – 1) A = 1.2.3 – 1.2 + 2.3.4 – 2.3 + 3.4.5 – 3.4 + + 98.99.100 – 98.99 A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99) Bài 15: Tính A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99 + 99.101 Hướng dẫn: A = 1(1 + 2) + 3(3 + 2) + 5(5 + 2) + + 97(97 + 2) + 99(99 + 2) A = (1² + 3² + 5² + + 97² + 99²) + 2(1 + + + + 97 + 99) Bài 16: Tính A = 2.4 + 4.6 + 6.8 + + 98.100 + 100.102 Hướng dẫn: A = 2(2 + 2) + 4(4 + 2) + 6(6 + 2) + + 98(98 + 2) + 100(100 + 2) A = (2² + 4² + 6² + + 98² + 100²) + 4(1 + + + + 49 + 50) Bài 17: Tính A = 1³ + 2³ + 3³ + + 99³ + 100³ Hướng dẫn: A = 1²(1 + 0) + 2²(1 + 1) + 3²(2 + 1) + + 99²(98 + 1) + 100²(99 + 1) A = (1.2² + 2.3² + 3.4² + + 98.99² + 99.100²) + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) A = [1.2(3 – 1) + 2.3(4 – 1) + 3.4(5 – 1) + + 98.99(100 – 1)] + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) A = 1.2.3 – 1.2 + 2.3.4 – 2.3 + 3.4.5 – 3.4 + + 98.99.100 – 98.99 + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99) (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) Bài 18: Tính A = 2³ + 4³ + 6³ + + 98³ + 100³ Bài 19: Tính: A = 1³ + 3³ + 5³ + + 97³ + 99³ Bài 20: Tính: A = 1³ – 2³ + 3³ – 4³ + + 99³ – 100³ Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC – TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU I TỈ LỆ THỨC Định nghĩa: a c Tỉ lệ thức là đẳng thức hai tỉ số b d Các số a, b, c, d gọi là các số hạng tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng hay trung tỉ Tính chất: ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (3) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** a c Tính chất 1: Nếu thì ad = bc b d Tính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ thì ta có các tỉ lệ thức sau a c a b d c d b , , , b d c d b a c a Nhận xét: Từ năm đẳng thức trên ta có thể suy các đẳng thức còn lại II TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU a c a c a c – Tính chất: b d bd bd a c e a bc a bc – Tính chất trên còn mở rộng: b d f bd f bd f (với giả thiết các tỉ số trên có nghĩa) a b c Chú ý: Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, Có thể viết a: b: c = 2: 3: 5 DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC x y Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết và x + y = 20 Cách 1: Đặt ẩn phụ x y Đặt k , suy ra: x = 2k, y = 3k Theo giả thiết: x + y = 20 nên 5k = 20 hay k = Do đó: x = và y = 12 Cách 2: Sử dụng tính chất dãy tỉ số x y x y 20 4 23 Do đó: x = và y = 12 Cách 3: Phương pháp x y 2y x 3 mà x + y = 20 suy 5y/3 = 20 nên y = 12 Do đó: x = x y y z Ví dụ 2: Tìm ba số x, y, z biết , và 2x – 3y + z = x y x y y z y z (1) và (2) 12 12 20 x y z Từ (1) và (2) suy ra: (*) 12 20 x y z 2x 3y z 2x 3y z Ta có: 3 12 20 18 36 20 18 36 20 Do đó: x = 27, y = 36, z = 60 x y Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết và xy = 40 Cách 1: (đặt ẩn phụ) x y Đặt k , suy x = 2k, y = 3k Theo giả thiết: xy = 40 suy 10k² = 40 hay k² = suy k = k = –2 + Với k = ta có: x = 4, y = 10 + Với k = –2 ta có: x = –4, y = –10 Cách 2: Hiển nhiên x ≠ ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (4) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** x y x xy 40 Nhân hai vế với x ta được: 8 5 Suy x² = 16 nên x = x = –2 + Với x = ta có y = 10 + Với x = –4 ta có y = –10 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tìm các số x, y, z biết x y z x y y z a và 5x + y – 2z = 28 b , và 2x + 3y – z = 124 10 21 2x 3y 4z x y c và x + y + z = 49 d và xy = 54 x y z x y e và x² – y² = f x yz y z 1 z x 1 x y Bài 2: Tìm các số x, y, z biết x 1 y z a 3x = 2y, 7y = 5z, x – y + z = 32 b và 2x + 3y – z = 50 x y z c 2x = 3y = 5z và x + y – z = 95 d và xyz = 810 y z 1 z x x y e f 10x = 6y và 2x² – y² = –28 x y z xyz 2y 4y 6y Bài 3: Tìm x, y biết 18 24 6x a b c d Bài 4: Cho a + b + c + d ≠ và Tìm giá trị bcd a cd a bd a bc a b bc cd da A cd a d a b bc Bài 5: Tìm các số x; y; z biết x y x a và 5x – 2y = 87; b và 2x – y = 34 19 21 y x y3 z3 2x 3y 2x 3y và x² + y² + z² = 14 d 6x 64 216 Bài 6: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30 Bài 7: Tìm các số x, y, z biết a x: y: z = 3: 4: và 5z² – 3x² – 2y² = 594 b x + y = x: y = 3(x – y) Đáp số: a x = 9; y = 12; z = 15 x = – 9; y = – 12; z = – 15 b x = 4/3; y = 2/3 Bài Tìm hai số hữu tỉ a và b biết hiệu a và b thương a và b và hai lần tổng? DS: a = –2,25; b = 0,75 a b c Bài 9: Cho Biết a + b + c ≠ Tìm giá trị tỉ số đó bc ca a b Bài 10 Số học sinh khối 6, 7, 8, trường THCS tỉ lệ với 9; 10; 11; Biết số học sinh khối nhiều số học sinh khối là em Tính số học sinh trường đó Bài 11: Chứng minh có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: [ab(ab – 2cd) + c²d²][ab(ab – 2) + 2(ab + 1)] = thì chúng lập thành tỉ lệ thức DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC A C Để chứng minh tỉ lệ thức: ta thường dùng số phương pháp sau B D Phương pháp 1: Chứng tỏ A.D = B.C c ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (5) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** A C Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số và có cùng giá trị B D Phương pháp 3: Sử dụng tính chất tỉ lệ thức Một số kiến thức cần chú ý: a na * (n ≠ 0) b nb n * a c a c b d b d n ab cd a c Chứng minh rằng: a b cd b d Cách 1: (a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd (1); (a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd (2) a c Từ giả thiết: → ad = bc (3) b d Từ (1), (2), (3) suy (a + b)(c – d) = (a – b)(c + d) ab cd Suy a b cd Cách 2: a c Đặt = k suy a = bk, c = dk b d a b kb b b(k 1) k (1) a b kb b b(k 1) k c d kd d d(k 1) k (2) c d kd d d(k 1) k ab cd Từ (1) và (2) suy (đpcm) a b cd Cách 3: a c a b Từ b d c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có a b a b a b c d cd cd ab cd Vậy (đpcm) a b cd ab a b a c Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức Chứng minh rằng: cd c2 d b d a c a b ab a b a b Từ giả thiết: b d c d cb c2 d c2 d ab a b Vậy (đpcm) cd c2 d BÀI TẬP VẬN DỤNG a c Bài 1: Cho tỉ lệ thức: Chứng minh ta có các tỉ lệ thức sau b d 3a 5b 3c 5d a b cd ab a b (a b) a b a b c d (c d) c2 d cd c d 2 3a 5b 3c 5d ab cd Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức e 2a 5b 2c 5d a c f 3a 4b 3c 4d ab cd g 7a 5ac 7b 5bd 7a 5ac 7b 5bd ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (6) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** a b c abc a Bài 2: Cho Chứng minh b c d bcd d a b c Bài 3: Cho Chứng minh 4(a – b)(b – c) = (c – a)² 2003 2004 2005 2014 a a a a 2014 a a a a a Bài 4: Cho 2014 Chứng minh a 2015 a a a a 2015 a a3 a a 2015 a a a a Bài 5: Cho và a1 + a2 + + a9 ≠ Chứng minh a1 = a2 = = a9 a a3 a a1 a b2 a a b thì b d2 d b d a b ca Bài 7: Chứng minh thì a² = bc a b ca a b ab a c Bài 8: Cho tỉ lệ thức Chứng minh rằng: c d cd b d u 2 v3 u v Bài 9: Chứng minh thì u 2 v 3 Bài 10: Chứng minh a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) đó a, b, c khác và khác thì ta có yz zx xy a(b c) b(c a) c(a b) xa yb xc yd a c Bài 11: Cho Các số x, y, z, t thỏa mãn xa + yb ≠ và zc + td ≠ Chứng minh za tb zc td b d Bài 12: Cho a, b, c, d là số khác thỏa mãn b² = ac; c² = bd và b³ + c³ + d³ ≠ Chứng minh a b c3 a b c3 d d ax bx c a b c Bài 13: Cho P Chứng minh thì giá trị P không phụ thuộc vào x a1x b1x c1 a1 b1 c1 a b' b c' Bài 14: Cho và Chứng minh abc + a’b’c’ = a' b b' c 2a 13b 2c 13d a c Bài 15: Cho tỉ lệ thức Chứng minh 3a 7b 3c 7d b d bz cy cx az ay bx x y z Bài 16: Cho dãy tỉ số Chứng minh a b c a b c Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI * Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm trên trục số là giá trị tuyệt đối số thực a * Giá trị tuyệt đối số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối số âm là số đối nó Nếu a ≥ → |a| = a Nếu a < → |a| = –a Nếu x ≥ a => |x – a| = x – a; và x ≤ a => |x – a| = a – x * Tính chất: Giá trị tuyệt đối số không âm |a| = <=> a = |a| ≠ <=> a ≠ * Hai số đối thì có giá trị tuyệt đối nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối thì chúng là hai số đối a b a b a b * Mọi số lớn đối giá trị tuyệt đối nó và đồng thời nhỏ giá trị tuyệt đối nó Bài 6: Chứng minh ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (7) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** a a a và a a a 0;a a a * Trong hai số âm số nào nhỏ thì có giá trị tuyệt đối lớn Nếu a < b < → |a| > |b| * Trong hai số dương số nào nhỏ thì có giá trị tuyệt đối nhỏ Nếu < a < b → |a| < |b| * Giá trị tuyệt đối tích tích các giá trị tuyệt đối |a.b| = |a|.|b| * Giá trị tuyệt đối thương thương hai giá trị tuyệt đối a a b b * Bình phương giá trị tuyệt đối số bình phương số đó: |a|² = a² * Tổng hai giá trị tuyệt đối hai số luôn lớn giá trị tuyệt đối hai số, dấu xảy và hai số cùng dấu |a| + |b| ≥ |a + b| và |a| + |b| = |a + b| <=> ab ≥ Dạng 1: |A(x)| = k đó A(x) là biểu thức chứa x, k là số cho trước – Nếu k < thì không có giá trị nào x thỏa mãn đẳng thức – Nếu k = thì A(x) = A(x) k – Nếu k > thì |A(x)| = k <=> A(x) k Bài 1: Tìm x, biết 1 1 a |2x – 5| – = b 2x c x d 2x 4 Bài 2: Tìm x, biết a 2x b 7,5 – 3|5 – 2x| = –4,5 c x 3, 75 2,15 15 Bài 3: Tìm x, biết x a 2|3x – 1| + = b c x 3,5 Bài 4: Tìm x, biết 5 5 a x b x c 4,5 x 4 4 Bài 5: Tìm x, biết 15 11 21 x a 6,5 : x b c d : 4x 2,5 : x 3: 4 4 5 Dạng 2: |A(x)| = |B(x)| đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x A(x) B(x) A(x) B(x) A(x) B(x) Bài 1: Tìm x, biết a 5x x b 2x 3x c 3x 4x d 7x 5x Bài 2: Tìm x, biết 3 a x 4x b x x c x x 2 Dạng 3: A(x) B(x) đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x * Cách 1: Ta thấy B(x) < thì không có giá trị nào x thỏa mãn vì giá trị tuyệt đối số không âm Do ta giải sau: |A(x)| = B(x) (1) Điều kiện: B(x) ≥ (*) ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (8) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** A(x) B(x) (1) <=> và đối chiếu giá tri x tìm với điều kiện (*) A(x) B(x) * Cách 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối |A(x)| = B(x) (1) Nếu A(x) ≥ thì (1) trở thành A(x) = B(x); đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện A(x) ≥ Nếu A(x) < thì (1) trở thành –A(x) = B(x); đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện A(x) < Bài 1: Tìm x, biết a x 2x b |x – 1| = 3x + c |7 – x| = 5x + Bài 2: Tìm x, biết a |9 + x| – 2x = b |5x| – 3x – = c |x + 6| – = 2x d |2x – 3| + x = 21 Bài 3: Tìm x, biết: a |3x – 1| + = x b |x + 15| + = 3x c |2x – 5| + x = Bài 4: Tìm x, biết a |2x – 5| = x + b |3x – 2| – = x c |3x – 7| = 2x + Bài 5: Tìm x, biết a |x – 5| + = x b |x + 7| – x = c |3x – 4| + = 3x Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều giá trị tuyệt đối Bước Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối Bước Căn bảng trên xét khoảng giải bài toán; đối chiếu điều kiện tương ứng Ví dụ: Tìm x biết |x – 1| + |x – 3| = 2x – (1) Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Từ đó tìm x x – = <=> x = x – = <=> x = Ta có bảng xét dấu các đa thức x – và x – đây x x–1 – + | + x–3 – | – + Xét x < ta có: (1 – x) + (3 – x) = 2x – <=> x = (giá trị này không thuộc khoảng xét) Xét ≤ x ≤ ta có (x – 1) + (3 – x) = 2x – <=> x = (giá trị này thuộc khoảng xét) Xét x > ta có: (x – 1) + (x – 3) = 2x – <=> –4 = –1 Vậy x = Bài 1: Tìm x, biết a |x| + 2|x – 5| = b 3|x + 4| – 5|x + 3| + |x – 9| = 1 1 c x x d x x x 2 5 Bài 2: Tìm x, biết a |x + 5| + |x – 3| = b |x – 2| + 2|x – 3| + |x – 4| = c |x + 1| + |x + 3| + |2x – 1| = d 2|x + 2| + |4 – x| = 11 Bài 3: Tìm x, biết a |x – 2| + |x – 3| + |2x – 8| = b |x + 1| – |x + 2| – = c |x – 1| + 3|x – 3| – 2|x – 2| = d |x + 5| – |1 – 2x| – |3x + 4| = e |x| – |2x + 3| – x + = f |x| + |1 – x| = x + |x – 3| Bài 4: Tìm x, biết a |x – 2| + |x – 5| – = b |x – 3| + |x + 5| – = c |2x – 1| + |2x – 5| – = d |x – 3| + |3x + 4| + |2x – 1| = Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (9) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** |A(x)| + |B(x)| + |C(x)| = D(x) (1) Điều kiện: D(x) ≥ kéo theo A(x) ≥ 0; B(x) ≥ 0; C(x) ≥ Do (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x) Bài 1: Tìm x, biết a |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| = 4x – b |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4| = 5x c x x x 4x d |x + 1,1| + |x + 1,2| + |x + 1,3| + |x + 1,4| = 5x + 5,5 5 Bài 2: Tìm x, biết 100 a x x x x 101x 101 101 101 101 1 1 b x x x x 100x 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 c x x x x 50x 1.3 3.5 5.7 97.99 1 1 d x x x x 101x 1.5 5.9 9.13 397.401 Dạng 6: Dạng hỗn hợp Bài 1: Tìm x, biết a 2x b x x x c x x x 2 Bài 2: Tìm x, biết 3 1 x 1 a 2x b c x x x 5 Bài 3: Tìm x, biết 1 3 3 a x x x b x 2x 2x c x 2x 2x 2 4 4 Bài 4: Tìm x, biết a ||2x – 3| – x + 1| = 4x – b ||x – 1| – 1| = c ||3x + 1| – 5| = Dạng 7: |A| + |B| = Vận dụng tính chất không âm giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức Nhận xét: Tổng các số không âm là số không âm và tổng đó và các số hạng tổng đồng thời Bước 1: Đánh giá |A| ≥ và |B| ≥ suy |A| + |B| ≥ A Bước 2: A B B Bài 1: Tìm x, y thỏa mãn a |3x – 4| + |3y + 5| = b |x – 2y| + |y + 1,5| = c |3 – 2x| + |4y + 5| = Bài 2: Tìm x, y thỏa mãn 1 a x y b x 1,5 y c |2x – 2014| + |5y – 2015| = 3 Chú ý: Bài toán có thể cho dạng |A| + |B| ≤ cách làm cũ Bài 3: Tìm x, y thỏa mãn a |5x + 10| + |6y – 9| ≤ b |x + 2y| + |2y – 3| ≤ c |x – y + 2| + |2y + 4| ≤ Bài 4: Tìm x, y thỏa mãn a |12x + 8| + |11y – 5| ≤ b |3x + 2y| + |4y – 1| ≤ c |x – 2| + |xy – 10| ≤ Chú ý: Do tính chất không âm giá trị tuyệt đối tương tự tính chất không âm luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta có các bài tương tự Bài 5: Tìm x, y thỏa mãn a |x – 3y|11 + (y + 4)12 = b (x + y)2014 + 2015|y – 1| = c |x – y – 5| + 2015(y – 3)2014 = ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (10) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** Bài 6: Tìm x, y thỏa mãn a (x – 1)² + (y + 3)4 = b 2(x – 5)6 + 5|2y – 7|5 = c (x 2y) 2014 y 2014 d |x + 3y – 1| + (3y – 2) =0 Bài 7: Tìm x, y thỏa mãn a x y 10 y 1 3 b x 2 4 2014 12 y 0 13 25 Dạng 8: |A| + |B| = |A + B| Sử dụng tính chất: |a| + |b| ≥ |a ± b| Từ đó ta có: |a| + |b| = |a ± b| <=> ab ≥ Bài 1: Tìm x, biết a |x + 5| + |3 – x| – = b |x – 2| + |x – 5| – = c |x – 5| + |x + 1| – = d 2|x + 3| + |2x + 5| = 11 e |x + 1| + |2x – 3| = |3x – 2| f |x – 3| + |5 – x| + 2|x – 3| = Bài 2: Tìm x, biết a |x – 4| + |x – 6| – = b |x + 1| + |x + 5| – = c |3x + 7| + 3|2 – x| = 13 d |5x + 1| + |3 – 2x| – |4 + 3x| = e |x + 2| | |3x – 1| + |x – 1| = f |x – 2| + |x – 7| – = Tìm cặp giá trị (x; y) nguyên thỏa mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng 1: |A| + |B| = m với m ≥ * Nếu m = thì |A| + |B| = <=> A = và B = * Nếu m > thì |A| ≥ nên ≤ |B| ≤ m từ đó tìm giá trị |B| và |A| tương ứng Bài 1: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn a |x – y – 2| + |y + 3| = b (x + y)² + 2|y – 1| = Bài 2: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn a |x – 3y|5 + |y + 4| = b |x – y – 5| + (y – 3)4 = c |x + 3y – 1| + 3|y + 2| = Bài 3: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn a |x + 4| + |y – 2| – = b |2x + 1| + |y – 1| – = c |3x| + |y + 5| = d |5x| + |2y + 3| = Bài 4: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn a 3|x – 5| + |y + 4| – = b |x + 6| + 4|2y – 1| = 12 c 6|x| + |y + 3| = 10 d 12|x + 1| + |2y + 3| = 21 Bài 5: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn a y² = – |2x – 3| b y² = – |x – 1| c 2y² = – |x + 4| d 3(2y + 1)² = 12 – |x – 1| Dạng 2: |A| + |B| < m với m > Bài 6: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn a |x| + |y| ≤ b |x + 5| + |y – 2| ≤ c |2x + 1| + |y – 4| – ≤ d |3x| + |y + 5| ≤ Bài 7: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn a 5|x + 1| + |y – 2| – ≤ b 4|2x + 5| + |y + 3| ≤ c 3|x + 5| + 2|y – 1| ≤ d 3|2x + 1| + 4|2y – 1| ≤ Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: |a| + |b| ≥ |a ± b| xét khoảng giá trị ẩn số Bài 8: Tìm số nguyên x thỏa mãn a |x – 1| + |4 – x| = b |x + 2| + |x – 3| = c |x + 1| + |x – 6| = d |2x + 5| + |2x – 3| = Bài 9: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn các điều kiện sau a x + y = 4; |x + 2| + |y| = b x + y = 4; |2x + 1| + |y – x| = c x – y = 3; |x| + |y| = d x – 2y = và |x| + |2y – 1| = Bài 10: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đồng thời a x + y = và |x + 1| + |y – 2| = b x – y = và |x – 6| + |y – 1| = c x – y = và |2x + 1| + |2y + 1| – = d 2x + y = và |2x + 3| + |y + 2| – = Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm giá trị tuyệt đối và dấu tích Bài 11: Tìm số nguyên x thỏa mãn a (x + 2)(x – 3) < b 3(2x – 1)(2x – 3) < c 4(3x + 1)(5 – 2x) > Bài 12: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn a (2 – x)(x + 1) = |y + 1| b (x + 3)(1 – x) – 2|y| = c (x – 2)(5 – x) – |y – 1| – = Bài 13: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn a (x + 1)(3 – x) = 2|y| + b (x – 2)(5 – x) – |y + 1| = c (x – 3)(5 – x) = |y + 2| Dạng 5: Sử dụng phương pháp so sánh hai vế ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng 10 Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (11) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** A m Nếu A ≥ m và B ≤ m thì A B B m Bài 14: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn 30 a |x + 2| + |x – 1| = – 2(y + 2)² b |3x + y + 2| + = y5 6 10 c |y – 4| + = d |x – 1| + |3 – x| = 2y (x 1) e |2x + 3| + |2x – 1| = (y 5) f |x + 3| + |x – 1| = 16 y2 y2 20 12 h |2x – y| + = y4 4 (y 3) 14 20 i (x + y – 2)² + = j (x – 2)² + = y 1 y 3 y 3y Tính giá trị biểu thức Bài 1: Tính giá trị biểu thức a A = 2x + 2xy – y với |x| = 2,5; y = –3/4 b B = 3a – 3ab – b với |a| = 1/3; |b| = 0,25 c C = 3x² – 2x + với |x| = 1/2 Bài 2: Tính giá trị biểu thức a A = 6x³ – 3x² + 2|x| + với x = –2/3 b B = 2|x| – 3|y| với x = 1/2; y = –3 c C = 2|x – 2| – 3|1 – x| với x = Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức x 2 a A = 0,5 – |x – 3,5| b B = –|1,4 – x| – c C x 5 g |3x + 1| + |3x – 5| = d D x 3 x 1 e E = – |2x – 1,5| g G = – |5x – 2| – (3y + 12)² h H f F = –|10,2 – 3x| + 14 12 x 5 4 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a A = 1,7 + |3,4 – x| b B = |x + 2,8| – 3,5 d D = |4x – 3| + |5y + 7| + e E = 2(3x – 1)² – Bài 3: Tìm giá trị lớn biểu thức 15 1 21 a A b B 3x 3 15x 21 i I = x 2 3 c C = |3x + 8,4| – 14,2 c C 20 3x 4y 24 21 e E 2 x 2y 2x (x 3y) x 14 Bài 4: Tìm giá trị lớn biểu thức 7x 11 2y 13 15 x 32 a A b B c C 7x 2y 6 x 1 Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức 8 14 15 28 a A b B c C 5x 24 5 6y 35 12 x 3y 2x 35 Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức 4x 10 y 14 6 x 30 a A b B c C y 14 4x x7 4 Bài 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức d D 6 ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng 11 Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (12) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** a A = |x + 5| + – x b B = |2x – 1| + 2x + c C = |4x + 3| + 4x – d D = |6 – 5x| + + 5x e F = |2x – 7| + – 2x Bài 8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a A = 2|x – 3| + 2x + b B = 3|x – 1| + – 3x c C = 4|x + 5| + 4x Bài 9: Tìm giá trị lớn biểu thức a A = –|x – 5| + x + 12 b B = –|2x + 3| + 2x + c C = –|3x – 1| + – 3x Bài 10: Tìm giá trị lớn biểu thức a A = –2|x – 5| + 2x + b B = –3|x – 4| + – 3x c C = –5|5 – x| + 5x + Bài 11: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a A = |x + 1| + |x – 5| + b B = |x – 2| + |x – 6| + c C = |2x – 4| + |2x + 1| Bài 12: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a A = |x + 2| + |x – 3| – b B = |2x – 4| + |2x + 5| c C = 3|x – 2| + |3x + 1| Bài 13: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a A = |x + 3| + |2x – 5| + |x – 7| b B = |x + 1| + |3x| + |x – 1| + c C = |x + 2| + 4|2x – 5| + |x – 3| d D = |2x + 3| + 5|x + 1| + 2|x – 1| + Bài 14: Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = |x + 1| + |y – 2| Bài 15: Cho x – 2y = 3, tìm giá trị biểu thức B = |x – 6| + |2y + 1| Bài 16: Cho x – y = 2, tìm giá trị nhỏ biểu thức C = 2|x + 1| + |1 – 2y| Bài 17: Cho 2x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức D = |2x + 3| + |y + 2| + 12 DÃY SỐ TỰ NHIÊN, PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tính tổng S = + – – + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 … + 2012 Bài 2: Cho A = – + – + + 99 – 100 a Tính A b A có chia hết cho 2, cho 3, cho không? c A có bao nhiêu ước tự nhiên Bao nhiêu ước nguyên? Bài 3: Cho A = – + 13 – 19 + 25 – 31 + a Biết A = 181 Hỏi A có bao nhiêu số hạng? b Biết A có n số hạng Tính giá trị A theo n? Bài 4: Cho A = – + 13 – 19 + 25 – 31 + a Biết A có 40 số hạng Tính giá trị A b Tìm số hạng thứ 2012 A Bài 5: Tìm giá trị x biết (x + 2) + (x + 7) + (x + 12) + + (x + 47) = 655 Bài 6: a Tìm x biết x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + … + (x + 2012) = 2012.2013 b Tính M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 2012 2013 Bài 7: Tính tổng S = 9.11 + 99.101 + 999.1001 + 9999.10001 + 99999.100001 Bài 8: Cho A = + 3² + 3³ + + 3100 Tìm số tự nhiên n biết 2A + = 3n Bài 9: Cho A = + 3² + 3³ + + 32004 a Tính tổng A b Chứng minh A chia hết cho 130 c A có phải là số chính phương không? Vì sao? Bài 10: a Cho A = – + 3² – 3³ + – 32003 + 32004 Chứng minh 4A – là lũy thừa b Chứng minh B là luỹ thừa với B = 2² + 2³ + + 22004 Bài 11: a Cho A = + 2² + 2³ + + 260 Chứng minh A chia hết cho 3, và 15 b Chứng minh tổng + 2² + 2³ + … + 22003 + 22004 chia hết cho 42 Bài 12: Cho A = + 2² + 2³ + + 299 + 2100 Chứng minh A chia hết cho 31 Bài 13: Cho S = + 5² + 5³ + + 596 a Chứng minh S chia hết cho 126 b Tìm chữ số tận cùng tổng S Bài 14: Cho A = 1.2.3 29.30 và B = 31.32.33 59.60 a Chứng minh B chia hết cho 230 b Chứng minh B – A chia hết cho 61 ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng 12 Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (13) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** Bài 15: Cho A = + 2² + 2³ + + 22002 và B = 22003 So sánh A và B Bài 16: Cho M = + 3² + 3³ + + 3100 a M có chia hết cho 4, cho 12 không? Vì sao? b Tìm số tự nhiên n biết 2M + = 3ⁿ Bài 17: Cho biểu thức: M = + + 3² + 3³ + + 3119 a Thu gọn biểu thức M b Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? 1 2003 Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết: 10 n(n 1) 2004 Bài 19: 2 2 a Tính A = 1.3 3.5 5.7 99.101 3 3 b Cho S với n là số tự nhiên Chứng minh: S 1.4 4.7 7.10 n(n 3) 2 2 5 5 Bài 20: So sánh A = và B = 60.63 63.66 117.120 2006 40.44 44.48 76.80 2006 Bài 21: Tính 1 1 1 1 1 a A = b B = 10 40 88 154 238 340 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 1 1 Bài 22: So sánh A = 100 và B = 2 2 Bài 23: Tính 2 2 a A = 15 35 63 99 143 3 3 b B = + 1 1 1 100 1 1 99 Bài 24: Tính giá trị các biểu thức A = 1 1 1.99 3.97 5.95 99.1 1 1 100 Bài 25: Tính B = 99 98 97 99 99 1 Bài 26: Chứng minh rằng: 100 – 1 100 100 A 1 1 198 199 Bài 27: Tính biết: A = và B = B 200 199 198 197 1 1 1 Bài 28: Tìm tích 98 số đầu tiên dãy số ;1 ;1 ;1 ;1 ; 15 24 35 1 1 Bài 29: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên dãy sau: ; ; ; ; 66 176 336 A 1 1 1 1 1 Bài 30: Tính biết A = và B = B 1.2 3.4 5.6 17.18 19.20 11 12 13 19 20 1 1 1 Bài 31: Tìm x, biết x 10.110 1.11 2.12 100.110 1.101 2.102 Bài 32: Tính a S = + a + a² + a³ + + aⁿ, với a ≥ 2, n là số nguyên dương b S1 = + a² + a4 + + a2n, với a ≥ 2, n là số nguyên dương c S2 = a + a³ +a5 + + a2n+1, với a ≥ 2, n là số nguyên dương ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng 13 Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (14) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** Bài 33: Cho A = + + 4² + 4³ + + 499, B = 4100 Chứng minh 3A < B Bài 34: Tính giá trị biểu thức: a A 99 999 999 b B 99 999 999 50 ch÷ sè 200 ch÷ sè Bài 35: Tính |x| biết 1 1 1 x a b 1.3 3.5 47.49 x 1.4 4.7 97.100 4 2x 1 1 c d (1 )(1 )(1 ) (1 )x 1.5 5.9 97.101 101 100 f 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 = 11x – g (1² + 2² + 3² + + 49²)(2 – x) = –11/5 CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN, SỐ THỰC, CĂN BẬC HAI Bài 1: Viết các số thập phân dạng phân số tối giản 0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13) Bài 2: Tính a 10,(3) + 0,(4) – 8,(6) b [12,(1) – 2,3(6)]:4,(21) c 0,(3) + 3,(3) – 0,4(2) 116 Bài 3: Tính tổng các chữ số chu kỳ tối thiểu biểu diễn số dạng số thập phân vô hạn tuần 99 hoàn Bài 4: Tính tổng tử và mẫu phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0,(12) Bài 5: Tính giá trị biểu thức sau và làm tròn đến hàng đơn vị (11,81 8,19).2, 25 (4, : 6, 25).4 a A b B 6, 75 4.0,125 2,31 0,5 0, (3) 0,1(6) Bài 6: Rút gọn biểu thức M 2,5 1, (6) 0,8(3) Bài 7: Chứng minh 0,(27) + 0,(72) = Bài 8: Tìm x biết 0, (3) 0, (384615) x 0,1(6) 0, (3) 13 50 a b .x 0, (2) 0, (3) 1,1(6) 0, 0(3) 85 c [0,(37) + 0,(62)]x = 10 d 0,(12): 1,(6) = x: 0,(4) m3 3m2 2m Bài 9: Cho phân số A với m là số tự nhiên m(m 1)(m 2) a Chứng minh A là phân số tối giản b Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao? Bài 10: So sánh các số sau a 0,5 100 và b 25 và 25 :5 25 16 c Chứng minh với a, b > thì a b a b Bài 11: Tìm x biết a (x – 3)² = |3 – x| b (x – 1)² + |2 – 2x| = Bài 12: Tìm x biết a x x b (x – 1)² = 16 16 25 x 1 Bài 13: Cho A Chứng minh với x x thì A có giá trị là số nguyên 9 x 1 Bài 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là số nguyên x 1 a A b B c C = x 3 x 1 x ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng 14 Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (15) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** x 1 Bài 15: Cho A Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên x 3 1 1 49 49 (7 7) Bài 16: Tính giá trị biểu thức sau theo cách hợp lý A 64 343 Bài 17: Tính cách hợp lý 5 25 ( 5) M 1 374 196 (2 21) 204 Bài 18: Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức (x 2)2 (y 2)2 x y z SỐ HỮU TỈ Bài 1: Tính 11 12 1 1 5 5 a 31 0, 75.8 b : 4 c : : 23 23 2 7 7 7 1 3 d e B 1 1 1 với n là số nguyên dương n 2 4 33 3333 333333 33333333 1 1 f C 66 124.(37) 63.(124) g D 12 2020 303030 42424242 11 Bài 2: Tính 1 A (1 2) (1 3) (1 16) 16 Bài 3: Tìm x biết 21 3 a (2x 3) x 1 b x c x 10 13 3 4 3 3 1 d x e (5x 1) 2x f : x 7 14 3 1 1 Bài 4: Cho A = ( 1)( 1) ( 1) So sánh A với 10 1 1 11 Bài 5: Cho B = ( 1)( 1)( 1) ( 1) So sánh B với 16 100 21 193 33 11 1931 Bài 6: Tính [( ) ]:[( ) ] 193 386 17 34 1931 3862 25 23 1,11 0,19 13.2 1 Bài 7: Cho A ( ) : và B (5 0,5) : 26 2, 06 0,54 a Rút gọn A, B b Tìm số nguyên x để A < x < B Bài 8: Tính giá trị các biểu thức 1 3 3 1 1 0,125 0, 5 7 a A 13 16 64 256 b 2 1 3 3 1 0,375 0,5 13 16 64 10 20 4141 6363 Bài 9: Tìm x biết x 128 (4 5) : ( 1) : ( 1) 21 4242 6464 Bài 10: Tìm x biết 13 a x b |x² – 3x| + |(x + 1)(x – 3)| = x 14 Bài 11 Tìm số nguyên x cho ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng 15 Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (16) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** a |2x – 5| < b |10x + 7| < 37 c |4x + 3| + 4|x – 1| < Bài 12 Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện a 2|x| + 3|y| = b 2|x| + 3|y| < c 4x² + 5|y| = 13 2x Bài 13 Tìm số nguyên x thỏa mãn điều kiện 0 3 x Chuyên đề: CHỨNG MINH TAM GIÁC Bài Chứng minh tổng các góc ngoài tam giác 360° Bài 2: Cho ΔABC có AC > AB Vẽ phân giác AD, D thuộc BC Chứng minh góc ADC – góc ADB = góc B – góc C Bài Cho ΔABC có góc A = 60° Vẽ tia phân giác BD và CE (D tuộc AC; E thuộc AB) cắt O a Tính góc BOC b Vẽ phân giác ngoài B và C cẳt I Tính góc BIC Bài 4: Tính các góc và ngoài tam giác ABC Biết góc A – góc B = góc B – góc C = 20° Bài 5: Cho tam giác ABC có góc A = 80°, góc B = 60° Hai tia phân giác góc B và C cắt I Vẽ tia phân giác ngoài đỉnh B cắt tia CI D Chứng minh góc BDC = góc ACB Bài 6: Cho tam giác ABC có góc A gấp lần góc B và góc B gấp lần góc C a Tính góc A; B; C b Gọi E giao điểm đường thẳng AB với tia phân giác góc ngoài đỉnh C Tính góc AEC? Bài 7: Cho ΔABC có các góc A; B; C tỷ lệ với 3; 2; Hỏi ΔABC là tam giác nào? Bài 8: Cho tam giác ABC có chu vi 21 cm Độ dài canh là số lẻ liên tiếp và AB < BC < CA Tìm độ dài cạnh tam giác ABC Bài 9: Cho góc xOy Trên tia Ox lấy A, B và trên Oy lấy C, D cho OA = OC; AB = CD Chứng minh a ΔABC = ΔCDA b ΔABD = ΔCDB Bài 10: Cho tam giác ABC Biết AB = cm, BC = cm và CA = cm Gọi đường thẳng qua A và song song với BC là a Đường qua B song song với CA là b và đường thẳng qua C và song song vơi AB là c Gọi M, N, P theo thứ tự giao điểm các đường thẳng b và c; a và c; a và b Tìm độ dài các cạnh tam giác MNP Bài 11: Gọi M trung điểm cạnh BC tam giác ABC, kẻ BH vuông góc với AM và CK vuông góc với AM Chứng minh a BH // CK b M là trung điểm HK c HC // BK ? Bài 12: Cho tam giác LMN có góc nhọn Người ta vẽ phía ngoài tam giác ba tam giác LMA; MNB và NLC Chứng minh LB = MC = NA Bài 13: Cho tam giác ABC có góc  = 90°; góc B = 60° Phân giác góc B và phân giác góc C cắt I và AI cắt BC M a Chứng minh góc BIC là góc tù b Tính góc BIC Bài 14: Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 20° Tia phân giác góc A cắt BC D Tính số đo các góc ADC và góc ADB Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và AB (D và C khác phía AB) Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và AC (E và B khác phía AC) Chứng minh a DC = BE b DC vuông góc với BE Bài 16: Cho tam giác ABC có góc B gấp hai lần góc C Tia phân giác góc B cắt AC D Trên tia đối BD lấy điểm E cho BE = AC Trên tia đối CB lấy điểm K cho CK = AB Chứng minh AE = AK Bài 17: Cho tam giác ABC với K là trung điểm AB và E trung điểm AC Trên tia đối tia KC lấy điểm M cho KM = KC Trên tia đối EB lấy điểm N cho EN = EB Chứng minh A là trung điểm MN Bài 18: Cho tam giác ABC Vẽ phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông A là ΔADB; ΔACE Kẻ AH vuông góc BC; DM vuông góc AH và EN vuông góc AH Chứng minh a DM = AH b MN qua trung điểm DE ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng 16 Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (17) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** Bài 19: Cho tam giác ABC Gọi D trung điẻm AB và E trung điểm AC Vẽ điểm F cho E là trung điểm DF Chứng minh a DB = CF b ΔDBC = ΔFCD c 2DE = BC Bài 20: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D; E cho AD = BE Qua D và E vẽ các đường song song BC chúng cắt AC theo thứ tự M và N Chứng minh DM + EN = BC Bài 21: Cho tam giác ABC có góc A = 60° Các tia phân giác góc B, góc C cắt I và cắt AC; AB theo thứ tự D; E Chứng minh ID = IE Bài 22: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt E Các tia phân giác góc ACE và DBE cắt K Chứng minh góc BKC = (góc BAC + góc BDC)/2 Bài 23: Cho tam giác ABC với M trung điểm BC Trên nửa nặt phẳng không chứa C bờ AB vẽ A x vuông góc AB và lấy D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa B bờ AC vẽ Ay vuông góc AC và lấy AE = AC Chứng minh a AM = ED / b AM vuông góc với DE Bài 24: Miền góc nhọn xÔy vẽ Oz cho góc xOz = (1/2)yÔz Qua điểm A thuộc Oy vẽ AH vuông góc Ox cắt Oz B Trên tia Bz lấy D cho BD = OA Chứng minh tam giác AOD cân Bài 25: Cho góc xÔz = 120° Oy là tia phân giác xÔz; Ot là tia phân giác góc xÔy M là điểm miền góc yOz Vẽ MA vuông góc Ox, vẽ MB vuông góc Oy, vẽ MC vuông góc Ot Chứng minh OC = MA – MB Bài 26: Cho tam giác cân ABC có  = 100° Tia phân giác góc B cắt AC D Chứng minh BC = BD + AD Bài 27: Cho tam giác ABC nhọn Vẽ đường cao BD, CE Trên tia đối BD lấy điểm I Trên tia đối CE lấy điểm K cho BI = AC, CK = AB Chứng minh ΔAIK vuông cân Bài 28: Cho góc xÔy = 90° Lấy điểm A trên Ox và điểm B trên Oy Lấy điểm E trên tia đối Ox và điểm F trên tia Oy cho OE = OB và OF = OA a Chứng minh AB = EF và AB vuông góc với EF b Gọi M, N là trung điểm AB, EF Chứng minh tam giác OMN vuông cân Bài 29: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm M và N cho AM = CN Gọi O là giao điểm CM và BN Chứng ninh rằng: a CM = BN b Số đo góc BOC không đổi M và N di động trên AB, AC thỏa mãn điều kiện AM = CN Bài 30: Cho tam giác ABC vuông A và góc C = 45° Vẽ phân giác AD Trên tia đối AD lấy AE = BC Trên tia đối CA lấy CF = AB Chứng minh a BE = CF b BE = BF Bài 31: Cho tam giác ABC có BC = 2AB M trung điểm BC; D trung điểm BM Chứng minh AC = 2AD Bài 32: Cho tam giác ABC vuông A và góc B = 60° Vẽ tia Cx vuông góc với BC và lấy CE = CA (CE và CA cùng phía với BC) Kéo dài CB và lấy F cho BF = BA Chứng minh a ΔACE b Ba điểm E, A, F thẳng hàng Bài 33: Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác góc B và C cắt O Qua O kẻ đường song song BC, cắt AB D và cắt AC E Chứng minh a Góc BOC không đổi b DE = DB + EC Bài 34: Cho tam giác ABC có góc B = góc C Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC) Trên tia đối BA lấy BE = BH Đường thẳng EH cắt AD F Chứng minh: FH = FA = FC Bài 35: Cho tam giác ABC có góc A = 90° Ở miền ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABD B, ACF C a Chứng minh D, A, F thẳng hàng b Từ D và F kẻ các đường DD’, FF’ vuông góc xuống BC Chứng minh DD’ + FF’ = BC Bài 36: Cho ΔABC có góc BAC = 120° Kẻ AD phân giác góc A Từ D hạ DE vuông góc với AB E; DF vuông góc với AC F a Tam giác DEF là tam giác gì? ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng 17 Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (18) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** b Qua C vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB M, ACM là tam giác gì? Bài 37: Tam giác ABC có AB > AC Từ trung điểm M BC kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A và cắt tia phân giác H cắt AB, AC E và F Chứng minh a BE = CF AB AC AB AC b AE = và BE 2 ˆ ˆ ACB ABC c BME Bài 38: Cho tam giác nhọn ABC có góc  = 60° Đường cao BD Gọi M, N là trung điểm AB; AC a Xác định dạng tam giác BMD và tam giác AMD b Trên tia AB lấy điểm E cho AE = AN Chứng minh CE vuông góc AB Bài 39: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh BC lấy điểm M, N cho BM = BA; CN = CA Tính góc MÂN Bài 40: Cho tam giác ABC đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc a Chứng minh tam giác ABC vuông b Tam giác ABM là tam giác Gợi ý: a Vẽ MI vuông góc AC Bài 41: Cho tam giác ABC có góc B = 75°, góc C = 60° Kéo dài BC đoạn CD cho CD = (1/2)BC Tính góc ADB Gợi ý: Kẻ BH vuông góc với AC Bài 42: Cho tam giác ABC có AB = 24 cm; BC = 40 cm và AC = 32 cm Trên cạnh AC lấy M cho AM = cm Chứng minh a Tam giác ABC vuông b góc AMB = góc ACB Bài 43: Cho tam giác ABC có AB = 25 cm; AC = 26 cm Đường cao AH = 24 cm Tính BC hai trường hợp góc B là góc nhọn và góc B là góc tù Bài 44: Độ dài hai cạnh góc vuông tam giác vuông tỷ lệ và 15 Cạnh huyền 51 cm Tính độ dài cạnh góc vuông Bài 45: Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH, trên đó lấy điểm D Trên tia đối HA lấy E cho HE = AD Đường vuông góc AH D cắt AC F Chứng minh EB vuông góc EF Bài 46: Một cây tre cao m Bị gãy ngang thân Ngọn cây chạm đất và cách gốc 3m Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu? Bài 47: Trong mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(5; 4); B(2; 3) và C(6; 1) Tính các góc ΔABC Bài 48: Cho tam giác ABC Trung tuyến AM là phân giác a Chứng minh tam giác ABC cân b Cho biết AB = 37 cm; AM = 35 cm Tính độ dài BC Bài 49: Cho tam giác ABC có ba đường cao a Chứng minh tam giác đó a b Cho biết đường cao có độ dài Tính độ dài cạnh tam giác đó Bài 50: Cho tam giác ABC cân A và  = 80° Gọi O là điểm nằm tam goác cho góc OBC = 30°; góc OCB = 10° Chứng minh tam giác COA cân Gợi ý: Vẽ thêm tam giác BCM cho M, A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC Bài 51: Cho tam giác ABC cân A và góc Â= 100° Gọi O là điểm nằm trên tia phân giác góc C cho góc CBO = 30° Tính góc CAO Gợi ý: Vẽ tam giác BCM cho M, A cùng nửa mặt phẳng bờ BC Bài 52: Cho tam giác cân ABC có AB = AC Kẻ đường vuông góc AB B và vuông góc AC C Hai đường này cắt D a Chứng minh AD là phân giác góc A b Hãy so sánh AD và CD Bài 53: Cho tam giác cân ABC có AB = AC D là điểm thuộc AB và E là môt điểm thuộc AC cho AD = AE Từ D và E hạ đường vuông góc với BC Chứng minh BM = CN ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng 18 Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (19) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** Bài 54: Cho góc xÔy trên Ox lấy điểm A Trên Oy lấy điểm B Gọi M trung điểm AB Từ A, B hạ đường thẳng AE; BF cùng vuông góc với tia OM Chứng minh AE = BF Bài 55: Cho tam giác ABC các tia phân giác góc B, góc C cắt O Kẻ OE, OF, OG thứ tự vuông góc với AC, AB, BC a Chứng minh OE = OF = OG b Tia AO cắt BC D Chứng minh góc BOD = góc COG BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Bài 1: Tính giá trị biểu thức A = x² + y4 + 4xy – 6xy³ với |x| = và |y| = 4x 4y Bài 2: Cho x – y = 9, tính giá trị biểu thức: B = (x ≠ –3y; y ≠ –3x) 3x y 3y x Bài 3: Tính giá trị các biểu thức sau: x (x 2y)(x 2y)(x 2y )(x 2y8 ) a A = với x = 4; y = x16 2y16 b B = 2m² – 3m + với |m| = c C = 2a² – 3ab + b² với |a| = và |b| = Bài 4: Xác định các giá trị biến để biểu thức sau có nghĩa ax by x 1 x 1 a b c xy 3y x 4 x 1 6x x Bài 5: Tính giá trị biểu thức: N = với x 2x Bài 6: Tìm các giá trị biến để a A = (x + 1)(y² – 6) có giá trị b B = x² – 12x + có giá trị 5x 3y x y Bài 7: Tính giá trị biểu thức A = với 2 10x 3y z x y Bài 8: Cho x, y, z ≠ và x = y + z Tính giá trị biểu thức B = (1 )(1 )(1 ) x y z Bài 9: a Tìm GTNN biểu thức C = (x + 2)² + (y – ) ² – 10 b Tìm GTLN biểu thức D = (2x 3) 5x Bài 10: Cho biểu thức E = Tìm các giá trị nguyên x để E có x2 a giá trị nguyên b giá trị nhỏ Bài 11: Tìm các GTNN các biểu thức sau: a A = (x – 3)² + b B = (2x + 1)4 – c C = (x² – 1)² + |y – 3| – Bài 12: Tìm GTNN biểu thức A = |x – 2| + |x – 10| 10x 15 Bài 13: Tìm các giá trị nguyên x, để biểu thức A = nhận giá trị nguyên 5x Bài 14: Cho f(x) = ax + b đó a, b là các số nguyên Chứng minh không thể đồng thời có f(17) = 71 và f(12) = 35 Bài 15: Cho f(x) = ax² + bx + c Chứng minh không có số nguyên a, b, c nào làm cho f(x) = x = 1998 và f(x) = x = 2000 Bài 16: Chứng minh biểu thức P = x8 – x5 + x² – x + luôn nhận giá trị dương với giá trị x Bài 17: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức B = |x – 1| – |x + 3| với x ≤ 7/11 Bài 18: Rút gọn biểu thức đại số a A = (15x + 2y) – [(2x + 3) – (5x + y)] b B = –(12x + 3y) + (5x – 2y) – [13x + (2y – 5)] Bài 19: Chứng tỏ ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng 19 Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (20) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** a Biểu thức x² + x + luôn luôn có giá trị dương với giá trị x b Biểu thức – 2x² + 3x – không dương với giá trị x Bài 20*: Tìm x, y là các số hữu tỷ biết a x 1 b x c x y x d (x – 2) 25n + y – = (n là số tự nhiên) x x Bài 21: Tìm x, y là các số nguyên biết x2 2x a y b y x 1 x 1 ĐƠN THỨC, ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG Bài 1: Cộng và trừ các đơn thức a 3a² b + (–a²b) + 2a²b – (–6a²b) b (–7y²) + (–y²) – (–8y²) c (–4,2p²) + (–0,3p²) + 0,5p² + 3p² d 5an + (–2an) + 6an Bài 2: Thực các phép tính sau x x 3x a A = b B = 3ab ac – 2a.abc – a²bc 3 2 2 c C = ( ac) c² – a².(c.c)² + ac².ac – a²c² Bài 3: Cho các đơn thức A = x²y và B = xy² Chứng tỏ x, y nguyên và x + y chia hết cho 13 thì A + B chia hết cho 13 Bài 4: Cho biểu thức P = 2a2n+1 – 3a2n + 5a2n+1 – 7a2n + 3a2n+1 (n là số tự nhiên) Với giá trị nào a thì P > Bài 5: Cho biểu thức: Q = 5xk+2 + 3xk + 2xk+2 + 4xk + xk+2 + xk (k là số tự nhiên) Với giá trị nào x và k thì Q < Bài 6: Tìm x biết: xn – 2xn+1 + 5xn – 4xn+1 = (n là số nguyên dương) Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau: a 10n+1 – 66.10n b 2n+3 + 2n+2 – 2n+1 + 2n c 90.10k – 10k+2 + 10k+1 d 2,5.5n–3.10 + 5n – 6.5n–1 Bài 8: Cho biểu thức M = 3a²x² + 4b²x² – 2a²x² – 3b²x² + 19 (a ≠ 0; b ≠ 0) Tìm GTNN M Bài 9: Cho A = 8x5y³; B = –2x6y³; C = –6x7y³ Chứng tỏ rằng: Ax² + Bx + C = Bài 10: Chứng minh với n nguyên dương a 8.2n + 2n+1 có tận cùng b 3n+3 – 2.3n + 2n+5 – 7.2n chia hết cho 25 c 4n+3 + 4n+2 – 4n+1 – 4n chia hết cho 300 Bài 11: Cho A = (– 3x5y³)4 và B = (2x²z4)5 Tìm x, y, z biết A + B = Bài 12: Rút gọn a M + N – P với M = 2a² – 3a + 1, N = 5a² + a, P = a² – b 2y – x – {2x – y – [y + 3x – (5y – x)]} với x = a² + 2ab + b², y = a² – 2ab + b² Bài 13: Tìm x, biết (0,4x – 2) – (1,5x + 1) + (4x + 0,8) = 3,6 Bài 14: Tìm số tự nhiên abc (a > b > c) cho: abc bca cab = 666 Bài 15: Có số tự nhiên abc mà tổng abc bca cab là số chính phương không? Bài 16: Rút gọn biểu thức a A = (3x + y – z) – (4x – 2y + 6z) b B = (x³ – 6x² + 5y³) – (2x³ – 5x² + 7y³) c C = 2x.(–3x + 5) + 3x(2x – 12) + 26x 2x x 2 5x x d D = 3x 5 Bài 17: Tìm x biết 1 1 a x + 2x + 3x + 4x + … + 100x = –213 b x x x x x x x 10 x 11 x 32 x 23 x 38 x 27 c d 0 10 11 12 11 12 13 14 e 3|x – 2| + |4x – 8| = f |x + 2| + |x – 2| = g (x – 1)³ = (x – 1) ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng 20 Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (21) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** h (x + 3)y+1 = (2x – 1)y+1 với y là số tự nhiên Chủ đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Định nghĩa: Số chính phương là số bình phương số tự nhiên Ví dụ: = 3²; 225 = 15² gọi là các số chính phương Một số tính chất a Số chính phương có thể tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; không thể tận cùng 2; 3; 7; b Một số chính phương có chữ số tận cùng là thì chữ số hàng chục phải là Giả sử M = (10a + 5)² = 100a² + 100a + 25 Vì chữ số hàng chục 100a² và 100a là số nên chữ số hàng chục số M là c Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là thì chữ số hàng chục nó là số lẻ Giả sử số chính phương N = a² có chữ số tận cùng là thì chữ số hàng đơn vị số a có thể là Giả sử hai chữ số tận cùng số a là b4 (nếu là b6 thì chứng minh tương tự), Khi đó (10b + 4)² = 100b² + 80b + 16 Vì chữ số hàng chục số 100b² và 80b là chẵn nên chữ số hàng chục N là số lẻ d Khi phân tích thừa số nguyên tố, số chính phương chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn Giả sử A = axbycz đó a, b, c, … là các số nguyên tố khác nhau, còn x, y, z, là các số nguyên dương thì A² = (axbycz )² = a2xb2yc2z Từ tính chất này suy số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 4, số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 9, số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 25, số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 64 Ví dụ Chứng minh a Một số chính phương không thể viết dạng 4n + 4n + với n nguyên b Một số chính phương không thể viết dạng 3n + với n nguyên Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k, đó (2k)² = 4k² là số chia hết cho còn số tự nhiên lẻ có dạng 2k + 1, đó (2k + 1)² = 4k² + 4k + là số chia cho dư Vậy số chính phương chia hết cho chia cho dư Một số tự nhiên có thể viết dạng 3k 3k + 1, 3k – 1; đó bình phương nó có dạng (3k)² = 9k² là số chia hết cho 3, có dạng (3k + 1)² = 9k² + 6k + 1, (3k – 1)² = 9k² – 6k + là số chia cho thì dư Vậy số chính phương chia hết cho chia cho dư Ví dụ 2: Cho số chính phương có chữ số hàng chục khác còn chữ số hàng đơn vị là Chứng minh tổng các chữ số hàng chục số chính phương đó là số chính phương Cách Ta biết số chính phương có chữ số hàng đơn vị là thì chữ số hàng chục nó là số lẻ Vì chữ số hàng chục số chính phương đã cho là 1, 3, 5, 7, đó tổng chúng + + + + = 25 = 5² là số chính phương Cách Nếu số chính phương có M = a² có chữ số hàng đơn vị là thì chữ số tận cùng số a là số chẵn, đó a chia hết cho nên a² chia hết cho Theo dấu hiệu chia hết cho thì chữ số tận cùng số M có thể là 16, 36, 56, 76, 96 Từ đó, ta có: + + + + = 25 = 5² là số chính phương Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên n có chữ số, biết số 2n + và 3n + đồng thời là số chính phương n là số tự nhiên có chữ số nên 10 ≤ n < 100, đó 21 ≤ 2n + < 201 Mặt khác 2n + là số chính phương lẻ nên 2n + có thể nhận các giá trị: 25; 49; 81; 121; 169 Từ đó n có thể nhận các giá trị 12, 24, 40, 60, 84 Khi đó số 3n + có thể nhận các giá trị 37; 73; 121; 181; 253 Trong các số trên có số 121 = 11² là số chính phương Vậy số tự nhiên có chữ số cần tìm là n = 40 Ví dụ 4: Chứng minh p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p – và p + không thể là các số chính phương Vì p là tích n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho và p không chia hết cho Giả sử p + là số chính phương Đặt p + = m² Vì p là số chẵn nên p + là số lẻ, đó m² là số lẻ, vì m là số lẻ Đặt m = 2k + Ta có m² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + suy p + 1= 4k² + 4k + ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng 21 Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (22) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ****************************************************************************** đó p = 4k(k + 1) là số chia hết cho 4, mâu thuẫn với giả thuyết trên Vậy p + không là số chính phương Ta có p = 2.3.5… là số chia hết cho Do đó p – = 3k + không là số chính phương BÀI TẬP Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết mệnh đề sau có mệnh đề đúng và mệnh đề sai a n có chữ số tận cùng là b n + 20 là số chính phương c n – 69 là số chính phương Nếu mệnh đề (1) đúng thì từ (2) suy n + 20 có số tận cùng là 2; từ mệnh đề (3) suy n – 69 có chữ số tận cùng là Một số chính phương không có chữ số tận cùng là Như (1) đúng thì (2) và (3) sai, trái giả thiết Vậy mệnh đề (1) sai và mệnh đề (2) và (3) đúng Đặt n + 20 = a²; n – 69 = b² (a, b là các số tự nhiên và a > b) => a² – b² = 89 => (a + b)(a – b) = 89.1 Do đó: a + b = 89 và a – b = suy a = 45 Vậy n = 45² – 20 = 2005 Bài 2: Cho N là tổng số chính phương Chứng minh a 2N là tổng số chính phương b N² là tổng số chính phương Gợi ý: a 2N = (a + b)² + (a – b)² là tổng số chính phương b N² = (a² – b²)² + (2ab)² Bài 3: Cho A, B, C, D là các số chính phương Chứng minh (A + B)(C + D) là tổng số chính phương Bài 4: Cho số nguyên x, y, z cho x = y + z Chứng minh rằng: 2(xy + xz – yz) là tổng số chính phương Gợi ý: Chứng minh 2(xy + xz – yz) = x² + y² + z² Bài 5: Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn: a – b = c + d Chứng minh rằng: a² + b² + c² + d² luôn là tổng số chính phương Đáp số: a² + b² + c² + d² = (a – b)² + (a – c)² + (a – d)² Bài 6: Cho số chính phương liên tiếp Chứng minh tổng số đó cộng với tích chúng là số chính phương lẻ Đáp số: n² + (n + 1)² + n²(n + 1)² = (n² + n + 1)² Bài 7: Cho an = + + + + n a Tính an b Chứng minh an + an+1 là số chính phương Bài Cho số tự nhiên A và B đó số A gồm có 2m chữ số 1, số B gồm m chữ số Chứng minh rằng: A + B + là số chính phương Bài Tìm số tự nhiên có chữ số, biết hiệu các bình phương số đó và số viết hai chữ số số đó theo thứ tự ngược lại là số chính phương Bài 10 Tìm số chính phương có chữ số, biết chữ số hàng trăm, hàng nghìn, hàng chục, hàng đơn vị là số tự nhiên liên tiếp tăng dần Bài 11 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập các số có chữ số, số gồm các chữ số khác Hỏi các số lập có số nào chia hết cho 11 không? Có số nào là số chính phương không? Bài 12 Viết liên tiếp các số: 1, 2, 3, …, 2013 thành hàng ngang theo thứ tự tùy ý Hỏi số tạo thành theo cách viết trên có thể là số chính phương không? Hướng dẫn: Giả sử các số 1, 2, 3, , 2013 đã viết theo thứ tự a1, a2, , a2013 Khi đó số lập thành có dạng a1.10n1 a 10n a 2013.10n 2013 với n1, n2, , n2013 là các số mũ tự nhiên với số tự nhiên n thì 10ⁿ ≡ (mod 9) nên a.10ⁿ ≡ a (mod 9) Nên số lập chia đồng dư với a1 + a2 + + a2013 = + + + 2013 chia cho mà + + + 2013 = (1 + 2013).2013 : = 2027091 không chia hết cho Suy số đã viết không chia hết cho Lập luận tương tự thì số đã viết chia hết cho Không thể có số chính phương chia hết cho mà không chia hết cho Vậy số tạo thành không thể là số chính phương ************************************************************************************* GV: Nguyễn Tiến Dũng 22 Trường THCS Lại Thượng – Thạch Thất – Hà Nội (23)