Xây dựng quy trình giảng dạy phần ứng dụng đạo hàm lớp 12 trung học phổ thông theo hướng tiếp cận chuẩn quốc tế : Luận văn ThS. Giáo dục học: 60 14 10

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC - MAI XN ĐƠNG XÂY DỰNG QUY TRÌNH GIẢNG DẠY PHẦN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƢỚNG TIẾP CẬN CHUẨN QUỐC TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC Chuyên ngành : LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN HỌC) Mã số: 60 14 10 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS PHẠM VĂN QUỐC HÀ NỘI- 2010 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS: Phạm Văn Quốc Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, thầy giáo, cô giáo giảng dạy công tác trường Đại Học Giáo Dục- Đại Học Quốc Gia Hà Nội nhiệt tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu đề tài Tác giả xin trân trọng cám ơn thầy giảng dạy tổ tốn trường THPT chun Đại Học Quốc Gia Hà Nội đặc biệt thầy PGS.TS Nguyễn Vũ Lương người tạo giúp đỡ, bảo cho tác giả trình thực luận văn Tác giả chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, thầy giáo tổ tốn HS hai trường THPT Như Thanh 1, THPT Như Thanh tỉnh Thanh Hố nhiệt tình ủng hộ, tạo điều kiện cho tác giả q trình hồn thành luận văn Sự quan tâm giúp đỡ gia đình, người thân, đồng nghiệp bạn bè nguồn động viên, cỗ vũ lớn tiếp thêm niềm tin, nghị lực, sức mạnh cho tác giả suốt năm tháng học tập thực đề tài Dù cố gắng chắn luận văn tránh khỏi nhiều thiếu sót, tác giả mong ý kiến đóng góp q báu thầy bạn Hà Nội, tháng 11 năm 2010 Tác giả Mai Xuân Đông DANH TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN GV Giáo viên HS Học sinh PPDH Phƣơng pháp dạy học HTTCDH Hình thức tổ chức dạy học CNTT Công nghệ thông tin DHDA Dạy học dự án PPGQVĐ Phƣơng pháp giải vấn đề THPT Trung học phổ thông MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lịch sử nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Mẫu khảo sát 6 Vấn đề nghiên cứu Giả thuyết nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Kết đóng góp luận văn 10 Cấu trúc luận văn Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Một số khái niệm liên quan đến đề tài 1.1.1 Một số quan điểm dạy học 1.1.2 Phƣơng pháp dạy học 1.1.3 Giảng dạy 1.1.4 Hình thức tổ chức dạy học 10 1.1.5 Quy trình dạy học 11 1.1.6 Quy trình dạy học theo hƣớng tiếp cận chuẩn quốc tế 11 1.2 Một số phƣơng pháp dạy học tích cực 15 1.2.1 Khái niệm PPDH tích cực 15 1.2.2 PPDH giải vấn đề 16 1.2.3 PPDH theo dự án …………………………… 20 1.2.4 Phƣơng pháp dạy học hƣớng dẫn HS tự học, tự nghiên cứu 25 1.3 Kiểm tra đánh giá 28 1.3.1 Quan điểm kiểm tra đánh giá 28 1.3.2 Đổi PPDH điều kiện quan trọng để đổi cách đánh giá học tập 29 1.3.3 Nhiệm vụ kiểm tra đánh giá 29 1.3.4 Công cụ đánh giá 30 1.3.5 Các phƣơng pháp kiểm tra đánh giá 30 Chƣơng 2: MỘT SỐ BÀI GIẢNG VỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM THEO HƢỚNG TIẾP CẬN CHUẨN QUỐC TẾ 31 §1 KẾ HOẠCH DẠY HỌC PHẦN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ- GIẢI TÍCH 12- BAN NÂNG CAO 31 §2 KẾ HOẠCH BÀI DẠY NỘI DUNG “MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ” 38 §3 KẾ HOẠCH BÀI DẠY THEO DỰ ÁN 65 §4 KẾ HOẠCH BÀI DẠY HƢỚNG DẪN HS TỰ HỌC, TỰ NGHIÊN CỨU 80 Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 89 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm 89 3.1.1 Mục đích thực nghiệm sƣ phạm 89 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm 89 3.2 Phƣơng pháp thực nghiệm 89 3.3 Kế hoạch nội dung thực nghiệm 90 3.3.1 Kế hoạch đối tƣợng thực nghiệm 90 3.3.2 Nội dung thực nghiệm 91 3.4 Tiến hành thực nghiệm 91 3.5 Kết thực nghiệm sƣ phạm 92 3.5.1 Cơ sở để đánh giá kết thực nghiệm 92 3.5.2 Kết thực nghiệm sƣ phạm 92 3.6 Kết luận chung thực nghiệm 95 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 97 Kết luận 97 Khuyến nghị 97 TÀI LIỆU THAM KHẢO 99 PHỤ LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Sự hội nhập kinh tế toàn cầu tất yếu kéo theo nguồn nhân lực, ngƣời lao động phải có phẩm chất lực đáp ứng đƣợc yêu cầu xã hội Ngƣời lao động phải có khả sáng tạo, chủ động, vận dụng tri thức nhân loại vào hoàn cảnh cụ thể, tạo sản phẩm cụ thể cho xã hội Ngƣời lao động cần phải có trình độ chun mơn đạt mức tối thiểu nghành nghề nƣớc nói riêng giới nói chung, điều cần thiết quốc gia thời kỳ hội nhập Sự phát triển khoa học kỹ thuật, công nghệ thông tin, công nghệ sinh học… địi hỏi ngƣời lao động phải có lực, phẩm chất trí tuệ có khả thích ứng cao Sự hội nhập không diễn mạnh mẽ lĩnh vực kinh tế thƣơng mại, mà cịn diễn khu vực giáo dục Tồn cầu hoá mang lại cho giáo dục Việt Nam nhiều lợi, đặt giáo dục Việt Nam vào tranh chung giáo dục nƣớc giới, để từ giáo dục Việt Nam nhận đứng đâu, việc du nhập kinh nghiệm giáo dục phát triển tạo “cú hích” cần thiết để phá vỡ khn mẫu cũ kỹ, lạc hậu, phƣơng pháp dạy học, nội dung dạy học khơng cịn phù hợp Những kinh nghiệm tiên tiến góp phần đại hố giáo dục Việt Nam, nối giáo dục Việt Nam với giáo dục giới, hƣớng tới chuẩn mực chung “ có tính chất tồn nhân loại”, từ tạo nên ngƣời khơng bị bó hẹp lối tƣ cục mà biết tư có tính chất tồn cầu, có tinh thần dân chủ có khả hợp tác, làm việc môi trường quốc tế Ngành giáo dục Việt Nam xu hộ nhập với giới cần thiết phải có thay đổi đáp ứng đƣợc mục tiêu đào tạo ngƣời kỷ 1.2 Bộ giáo dục đào tạo Việt Nam dựa kinh nghiệm Giáo dục nƣớc có Giáo dục phát triển xây dựng chuẩn “Chuẩn nghề nghiệp GV trung học” Chuẩn giúp GV trung học tự kiểm tra, đánh giá đƣợc lực nghề nghiệp, phẩm chất đạo đức, trình độ chun mơn, để từ xây dựng cho kế hoạch giảng dạy rèn luyện chuyên môn đƣợc tốt Chuẩn giúp quan quản lý giáo dục, hiệu trƣởng trƣờng THPT đánh giá xếp loại GV dễ dàng công hơn, từ đề biện pháp nhằm khắc phục khắc phục hạn chế chuyên mơn nghề nghiệp Ở nƣớc có giáo dục tiên tiến giới ngƣời ta nghiên cứu đề xuất chuẩn dạy học THPT, chuẩn kỹ nghề nghiệp GV dạy mơn tốn THPT Ở Anh trƣờng đại học khảo thí quốc tế Cambrigde (University of cambrigde- International Exxamminations) đề xuất chuẩn kỹ nghề nghiệp cho GV THPT Đây chuẩn đƣợc sử dụng rộng rãi có tính hiệu cao (có 150 nƣớc giới sử dụng chuẩn này), chuẩn đƣa u cầu tối thiểu trình độ chun mơn, nghiệp vụ ngƣời GV lấy để đánh giá xếp loại GV theo chuẩn Do ngƣời ta gọi chuẩn “chuẩn quốc tế GV THPT ” Dạy học theo hƣớng tiếp cận chuẩn quốc tế đƣợc áp dụng nhiều nƣớc có giáo dục đại, phƣơng pháp mang lại hiệu cao Ở Việt Nam ban đầu hƣớng dẫn cho GV số trƣờng chuyên Hà Nội, thành phố HCM, Đà Nẵng, Huế Phƣơng pháp dạy học theo hƣớng tiếp cận chuẩn quốc tế, vài năm tới đƣợc hƣớng dẫn, huấn luyện cho GV trƣờng THPT toàn quốc 1.3 Trong giai đoạn ngƣời GV khơng đóng vai trị ngƣời truyền đạt tri thức mà phải ngƣời tổ chức, đạo, hƣớng dẫn cho hoạt động học tập tìm tòi, khám phá giúp học sinh chiếm lĩnh kiến thức cách chủ động GV phải có lực đổi phƣơng pháp dạy học, dạy học phải lấy học sinh làm trung tâm, tập trung vào vai trò học sinh hoạt đông học, từ cách dạy nêu khái niệm - giải thích - minh hoạ sang cách dạy hoạt động - tìm tịi -khám phá Trong xã hội đại ngƣời GV không ngừng nâng cao chuyên mơn, trình độ, nghiệp vụ sƣ phạm, phát huy tính chủ động sáng tạo công tác giảng dạy, từ hồn thành mục tiêu đƣợc giao, GV phải có lực giải vấn đề nảy sinh thực tiễn dạy học, tự học, tự nghiên cứu, có trình độ ngoại ngữ, cơng nghệ thơng tin, kỹ nghề nghiệp để đáp ứng đƣợc yêu cầu phát triển nội dung, đổi PPDH Bên cạnh ngƣời GV phải khơng ngừng hồn thiện nhân cách, đạo đức, lối sống, giữ gìn sắc văn hóa dân tộc 1.4 Về phƣơng pháp giáo dục đào tạo, nghị hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng Cộng Sản Việt Nam (Khoá VIII 1997), đề “…Phải đổi giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiếu, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến, phương tiện đại vào trình dạy học, bảo đảm điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho HS ” Trong luật giáo dục Việt Nam, năm 2005, điều 28.2 viết “ Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo HS…; cần phải bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn,…” Đổi phƣơng pháp dạy học làm cho HS học tập tích cực, chủ động chống lại thói quen học tập thụ động Thay cho lối truyền thụ chiều, thuyết trình giảng dạy, ngƣời GV cần phải tổ chức cho HS đƣợc học tập hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo (tài liệu bồi dƣỡng thƣờng xuyên GV THPT chu kỳ 3) Ngƣời thầy có vai trị trọng tài, cố vấn điều khiển tiến trình dạy PPDH ý đến đối tƣợng HS, coi trọng việc nâng cao quyền cho ngƣời học, GV ngƣời nêu tình huống, kích thích hứng thú, suy nghĩ phân sử tình xảy ra, từ hệ thống hố vấn đề, tổng kết nội dung, củng cố dạy Trong xã hội phát triển mặt, bùng nổ thông tin, khoa học kỹ thuật, công nghệ ngày, giờ, HS tiếp nhận đƣợc lƣợng kiến thức rộng lớn nhƣ thời gian lớp, ngƣời GV phải dạy cho HS cách học điều quan trọng phƣơng pháp tự học, tự nghiên cứu Khi HS có phƣơng pháp tự học, tự nghiên cứu, từ họ học lúc, nơi, học nhiều phƣơng tiện, nhiều đƣờng khác nhau, học ngƣời 1.5 Đổi PPDH phải gắn liền với đổi hình thức tổ chức dạy học Hình thức tổ chức dạy học phù hợp hút HS tham gia vào nội dung học, từ HS phát huy đƣợc tính tích cực, chủ động trình học, tạo điều kiện cho việc tiếp thu kiến thức có hiệu Hình thức tổ chức dạy học phù hợp khơng tạo điều kiện cho GV HS giao lƣu, tranh luận với mà tạo tranh luận HS với HS, nhóm HS với để từ đạt đƣợc mục đích kiến thức cách tự nhiên Trên giới xuất nhiều hình thức tổ chức dạy học mà áp dụng, nhiên ngƣời GV cần lựa chọn hình thức hiệu quả, phù hợp với đối tƣợng HS, sở vật chất trƣờng, điều kiện kinh tế, văn hố Các hình thức tổ chức dạy học mà áp dụng để phù hợp với đổi PPDH kể đến nhƣ: dạy học dựa dự án; dạy học tự học tự nghiên cứu; dạy học nhóm; dạy học thơng qua hoạt động vui chơi… 1.6 Mơn tốn mơn khoa học bản, có vai trị quan trọng phát triển tƣ duy, kỹ năng, tính sáng tạo HS, vấn đề cốt lõi đổi phƣơng pháp dạy học mơn tốn trƣờng THPT là: hƣớng dẫn HS học tập tích cực, chủ động, phát huy tính sáng tạo, rèn luyện kỹ giải tốn, phát triển tƣ toán học Để làm đƣợc điều địi hỏi mối GV trƣớc hết phải có trình độ chuyên môn vững vàng, đổi phƣơng pháp dạy học theo hƣớng tích cực, chủ động, lấy học sinh làm trung tâm trình dạy học Trong chƣơng trình toán THPT, phần ứng dụng đạo hàm – Chƣơng I, Giải tích lớp 12 phần quan trọng, đạo hàm đƣợc ứng dụng Đại số, Giải tích, Hình học Các tốn có liên quan đến đạo hàm ln có mặt kỳ thi tốt nghiệp THPT, thi đại học, thi học sinh giỏi cấp Do việc ứng dụng đạo hàm giải toán lớn, hệ thống tập đa dạng phong phú nên thời gian học lớp HS không đủ để rèn luyện hết kỹ ứng dụng nó, từ ngƣời GV phải có phƣơng pháp dạy tích cực, hình thức tổ chức phù hợp, để HS có kiến thức bản, phƣơng pháp học hiệu quả, tự học tự nghiên cứu 1.7 Trƣờng Đại học Giáo dục-Đại học Quốc Gia Hà Nội đƣợc trao nhiệm vụ nghiên cứu chuẩn Trƣờng Đại học Khảo thí Quốc tế Cambrigde (University of Cambrigde- International Exxaminations) đề xuất, chuẩn kỹ nghề nghiệp cho GV THPT, chỉnh sửa phù hợp với thực tiễn Việt Nam, truyền bá cách rộng rãi trƣờng THPT Việt Nam Bƣớc đầu trƣờng thực dự án “Xây dựng quy trình phát triển kỹ nghề nghiệp cho GV trường THPT chuyên tiếp cận chuẩn quốc tế” Trong năm vừa qua trƣờng tổ chức lớp huấn luyện cho GV trƣờng chuyên Hà Nội, Tp HCM, Đà Nẵng, Huế Bản thân học viên cao học lý luận phƣơng pháp dạy học mơn tốn khố trƣờng, tơi thấy phải có trách nhiệm trƣớc nhiệm vụ quan trọng nhà trƣờng, góp phần nhỏ bé thực dự án Trƣờng Đại học Giáo dục- Đại học Quốc gia Hà Nội Với tất lý trên, chọn đề tài nghiên cứu “Xây dựng quy trình giảng dạy phần ứng dụng đạo hàm lớp12 trung học phổ thông theo hướng tiếp cận chuẩn quốc tế ” Lịch sử nghiên cứu Trong năm gần có nhiều cơng trình nghiên cứu khoa học liên quan đến vấn đề đổi PPDH theo hƣớng tích cực nhƣng chƣa có cơng trình nào, viết đề cập đến vấn đề xây dựng quy trình giảng dạy phần “ứng dụng đạo hàm” theo hƣớng tiếp cận chuẩn quốc tế Mục tiêu nghiên cứu - Đƣa nội dung chuẩn quốc tế GV THPT mơn toán - Nghiên cứu sở lý luận số PPDH tích cực đạt hiệu cao nhƣ PPDH giải vấn đề, phƣơng pháp hƣớng dẫn HS tự học, tự nghiên cứu, PPDH theo dự án, - Đƣa quy trình, thực quy trình giảng dạy theo hƣớng tiếp cận chuẩn quốc tế, đặc biệt thực hành giảng dạy nội dung ứng dụng đạo hàmlớp 12 theo hƣớng tiếp cận chuẩn quốc tế II CÁC BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số y  x   x Bài 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số y  sin x  cos6 x  a sin x cos x 3cos x  4sin x Bài 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số y  3sin x  2cos x x 1 Bài 4: Tìm GTLN, GTNN hàm số y  đoạn  1;2 x2  1  sin x  cos6 x Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số y   sin x  cos x 4sin x  3cos x Bài 6: Tìm GTLN, GTNN hàm số y  3sin x  2cos x Bài 7: Tìm GTLN, GTNN hàm số y  sin x(1  cos x) Bài 8: Tìm GTLN, GTNN hàm số y  sin x  3sin x 1 Bài 9: Tìm GTLN, GTNN hàm số y    cos x  cos x  sin x  tan x Bài 10:Tìm GTLN, GTNN hàm số y   (a  1) a  sin x  tan x   với x  0,   4 Bài 11: Tìm GTLN, GTNN hàm số y  sin x  cos3 x Bài 12: Tìm GTLN, GTNN hàm số 1 y   cos x  cos x  cos3x  cos x 1 Bài 13: Tìm GTLN, GTNN hàm số y   cos x  cos x  cos3x Bài 14: Tìm GTLN, GTNN hàm số y  sin x  cos2 x  sin x sin x cos x  cos6 x sin x Bài 15: Tìm GTLN, GTNN hàm số y  sin x  cos x Bài 16: [ĐHBK 1997] Cho tam giác ABC có A  B  C Tìm GTNN hàm x  sin A x  sin B f ( x)   1 x  sin C x  sin C Bài 17:[ĐHBK 1996] Cho  x    m , n  Tìm GTLN hàm y  sin m x.cos n x Bài 18: Cho a  T ìm GTNN y  a  cos x  a  sinx 126 Bài 19: Tìm GTLN, GTNN x2  y g  x; y   với x  xy  y hàm số x2  y  Bài 20: Tìm GTLN, GTNN hàm số y   cos2 x   sin2x 12 Bài 21: Giả sử 12 x  6mx  m2    có nghiệm x1 , x2 Tìm GTLN, m 3 GTNN S  x1  x2 Bài 22: Tìm GTNN 2x 2x x x y      8       Bài 23: Tìm m để hàm số y  x  5x   mx có y           có nghiệm x1 , x2 p2 Tìm p  cho S  x14  x24 nhỏ Bài 24: Giả sử x  px  x2   x  y  Bài 25: Tìm GTLN, GTNN S  với x  y  2 x  4y a b4  a b2  a b Bài 26: Cho ab  Tìm GTNN y         b a b a  b a Bài 27: Cho x, y   0,1 x  y  Tìm GTNN S  x x  y y Bài 28: [HVQHQT 1999] Cho x, y  0, x  y  Tìm GTLN, GTNN biểu S  3x  9x thức Bài 29: [ĐH Ngoại thương 2001] Cho x, y  0, x  y  Tìm GTNN biểu x y thức S  1 x 1 y Bài 30: [ĐH Thương mại 2000] Tìm GTNN, GTLN hàm y  sin x  cos6 x  a sin x cos x Bài 31: [HV Quân Y 2000] Tìm GTNN, GTLN y  sin x  cos4 x  sin x cos x  Bài 32: [ĐH Cảnh sát 1999] Tìm GTLN, GTNN y  5cos x  cos5x với     x  ,   4 Bài 33: [HVQHT 1998] Cho x  y  z  Tìm GTLN, GTNN P  x  y  z  xy  yz  zx Bài 34: [ĐHQG TPHCM 1999] Cho hàm 127 f ( x)  cos2 x   sinx  cos x   3sin x  m Tìm GTLN, GTNN f ( x) Từ tìm m để  f ( x)  36 x Bài 35: Cho m   Tìm cực trị hàm số y  x m   x  Bài 36: Cho m  R Tìm cực trị hàm số y  (m  3) x  2mx  ln x 2 Bài 37: Cho phƣơng trình x   5a   x  a   với a  Tìm a để nghiệm lớn phƣơng trình đạt GTLN  x  y  2a  Bài 38: Giả sử  x, y  nghiệm hệ  2  x  y  a  2a  Xác định a để xy nhỏ Bài 39: Cho x, y thỏa mãn x  0, y  x  y  x y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  y 1 x 1 9 Bài 40: Tìm GTNN hàm số y  x   cos x khoảng  0,  x Bài 41: Cho hàm số y  x  2mx  , với m  Tìm GTNN hàm số đoạn  0,m Bài 42: Cho hàm số y  x  7bx  b3 Tìm GTNN hàm số đoạn  4,3 Bài 43: Gọi x1 , x2 nghiệm phƣơng trình 3x2  2(m  3) x  m2  5m   Tìm GTNN A  x1x2  3( x1  x2 ) Bài 44: Tìm GTLN hàm số y  lg x  lg x  2     Bài 45: Tìm m để  2sin x  m 1  cox  có nghiệm x   ,   2   x  3x  Bài 46: Tìm m để hệ bất phƣơng trình  có x  x x   m  m    nghiệm Bài 47: Tìm m để x nghiệm phân biệt Bài 48: Tìm a để BPT log  x    x  x   x  x  m có   x   log (ax  a  2) có nghiệm 128 x3 6 x 9 x 1 1  m2  m có nghiệm phân Bài 49: Tìm m để phƣơng trình   2 biệt Bài 50: CMR 2  x  12  3x2  x  R Bài 51: [ĐH Mỏ địa chất 2000] Cho tam giác ABC có  A  B  C  900 2cos3C  4cos2C   cos C Bài 52: CMR 2( x3  y3  z )  ( x2 y  y z  z x)  x, y, z  0,1 CMR C KẾT LUẬN Sản phẩm nhóm chúng tơi nghiên cứu số dạng Tốn ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị chƣơng trình lớp 12- THPT Chúng tơi đƣa số dạng tập hay gặp kỳ thi đại học, thi HS giỏi có liên quan đến việc sử dụng đạo hàm để giải nhƣ: Tìm cực trị biểu thức; tìm điều kiện để phƣơng trình- hệ phƣơng trình có nghiệm Chúng tơi hy vọng tài liệu giúp ích cho bạn kỳ thi đại học tới Do thời gian có hạn nên sản phẩm chúng tơi chắn cịn nhiều thiếu sót Rất mong đƣợc đóng góp, bổ sung bạn thầy cô D TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hồng Đức Phương pháp giải toán: Đạo hàm ứng dụng Nhà xuất Hà Nội, 2007 Tuyển tập đề thi đại học (1994-2004) Trần Phƣơng Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn tốn hàm số Nhà xuất Hà Nội, 2009 Phan Đức Chính, Vũ Dƣơng Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất Các giảng luyện thi mơn Tốn- Tập Nxb Giáo dục, 1994 129 ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU CỦA HỌC SINH Họ tên: Lê Văn Hoàng, Trần Thị Huệ, Hoàng Thị Lý, Vũ Sơn Nam, Nguyễn Thị Nhƣ Quỳnh Lớp: 12A1Trƣờng THPT Nhƣ Thanh 1- Thanh Hoá Tên đề tài: CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ LAGRANGGE I Tóm tắt Trong kỳ thi đại học HS giỏi có nhiều Tốn khó việc giải Tốn phƣơng pháp thƣờng khó khăn khơng muốn nói khơng thể, số Tốn nhƣ vậy, có Tốn giải đƣợc cách đơn giản việc sử dụng định lí Lagrange Tác giả viết xin đƣa số dạng tập ứng dụng định lý Lagrange ví dụ minh hoạ, bên cạnh tác giả đƣa tập để bạn đọc tự giải II Kiến thức - Đạo hàm - Tính đơn điệu hàm số - Định lí Lagrange hệ III Kết nghiên cứu Định lí Lagrange hệ * Định lí Lagrange: Nếu hàm số f  x  liên tục  a; b có đạo hàm f b  f  a  ba *Hệ 1: (Định lí Rolle) Nếu hàm số f  x  liên tục  a; b có đạo hàm  a; b  f  a   f  b  tồn số c   a; b  cho f c   *Hệ 2: Nếu hàm số f  x  liên tục  a; b f   x   x   a; b  f  x   const x  a; b *Hệ 3: Nếu hàm số f  x  liên tục  a; b f   x   có nghiêm đoạn  a; b phƣơng trình f  x   khơng thể có hai nghiệm Các dạng tập ứng dụng định lí Lagrange hệ Dạng 1: Ứng dụng định lí Lagrange để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Phƣơng pháp:  a; b  tồn số c   a; b  cho f c   Bước 1: Đƣa bất đẳng thức (đẳng thức) cần chứng minh dạng f (b)  f (a) 130 Bước 2: Xét hàm số f ( x) liên tục  a; b có đạo hàm  a; b  Bước 3: Sử dụng đẳng thức f (c)  f (b)  f (a) ba Bước 4: Đƣa điều phải chứng minh Ví dụ 1: Chứng minh sin a  sin b  a  b Lời giải: Xét hàm f  x   sinx, x  a; b f  x  liên tục đoạn  a; b , có đạo hàm  a; b  Theo định lí Lagrange tồn c   a; b  cho: f b  f  a   f  b   f  a   cos c  b  a  ba  f  b   f  a   cos c b  a f c   Do cos c  nên suy f  b   f  a   b  a suy (đpcm) Ví dụ 2: Chứng minh rằng: mãn  y  x   x y x y  t anx  tan y  với x, y thoả cos y cos x Lời giải: Xét hàm f (t )  tan t liên tục  y; x  có đạo hàm  y; x  , nên theo định lý Lagrange c   y; x  cho: f (c)  f ( x)  f ( y ) t anx  tan y x y    t anx  tan y  1 x y cos2c x y cos2 c   Do y  c  x y  cos t nghịch biến  0;  nên ta có:  2 x y x y x y     Từ 1 ,   ta có (đpcm) cos y cos c cos x Ví dụ 3: Cho a  b  c Chứng minh rằng: 3a  a  b  c  a  b2  c2  ab  bc  ca  a  b  c  a  b2  c  ab  bc  ca  3c 131 Lời giải: Xét hàm f ( x)   x  a  x  b  x  c  liên tục có đạo hàm  , ngồi f  a   f  b   f  c   1 Ta viết lại f  x   x3   a  b  c  x   ab  bc  ca  x  abc Theo định lí Lagrange tồn x1   a; b  , x2   b; c  cho f   x1   f b  f  a  f  c   f b  , f   x2    f   x1   f   x2   ( 1 ), ba c b mà f   x1   3x2   a  b  c  x  ab  bc  ca  nên: a  b  c  a  b2  c  ab  bc  ca a  b  c  a  b  c  ab  bc  ca x1  , x2  3 Mặt khác a  x1  x2  c  3a  3x1  3x2  3c  3a  a  b  c  a  b2  c  ab  bc  ca  a  b  c  a  b  c  ab  bc  ca  3c (đpcm) Ví dụ 4: Cho hàm f  x  có đạo hàm liên tục  a; b Đặt M  Max f   x  giả sử f  a   f  b    a ;b CMR: Với x   a; b ta có: i) f  x   M  x  a  2i) f  x   M  b  x  Lời giải: i) Với x   a; b ta có f  x   f  x   f  a  1 , áp dụng định lí Lagrange  a; b  c   a; x  cho f  x   f  a   f   c  x  a   2 Từ 1 ,   suy f  x   f   c  x  a   f  x   f   c   x  a   M  x  a  2i) Chứng minh tƣơng tự i) 132 Dạng 2: Sử dụng định lý Lagrange để chứng minh phƣơng trình có nghiệm Phƣơng pháp: Để chứng minh phƣơng trình f ( x)  có nghiệm  a; b  ta thực theo bƣớc: Bước 1: Xét hàm F ( x) liên tục  a; b , có đạo hàm  a; b  cho F ( x)  f ( x) x   a; b  Bước 2: Áp dụng định lí Lagrange (hoặc hệ nó)  a; b Bước 3: Kết luận phƣơng trình có nghiệm  a; b  Ví dụ 1: Chứng minh phƣơng trình: f   x   có ba nghiệm phân biệt với f  x   x  x  1 x   x    x  4  x1  x  2  x Lời giải: Ta có f  x    x  x  1 x   x       x  1  x3   x   x4 Trên đoạn  x1; x2 ; x2 ; x3 ; x3 ; x4 , f  x  liên tục có đạo hàm khoảng  x1; x2 ;  x2 ; x3 ;  x3; x4  Theo định lí Lagrange ci   xi ; xi 1  , i  1,2,3 cho f c i   f  xi 1   f  xi   0, i  1,2,3 xi 1  x i Dễ thấy c1  c2  c3  f   x   có ba nghiệm phân biệt Ví dụ 2: Chứng minh phƣơng trình: asin7 x  b cos5x  c sin3x  d cos x  ln có nghiệm  a, b, c, d  133 Lời giải: Xét hàm số a b c F ( x)   cos7 x  sin 3x  cos3x  d sin x, x  0;2  , ta có F ( x) liên tục 0;2  có đạo hàm  0;2  , nên theo định lý Lagrange tồn x0   0;2  cho: F (2 )  F (0)   a sin x0  b cos5 x0  c sin3x0  d cos x0  2  , điều có nghĩa phƣơng trình cho có nghiệm  0;2  suy F ( x0 )  phƣơng trình có nghiệm  Ví dụ 3: Cho m  a b c    Chứng minh phƣơng m  m 1 m trình: ax  bx  c  có nghiệm thuộc (0;1) Lời giải: Xét hàm F ( x)  ax m2 bx m1 cx m , F ( x) liên tục có đạo   m  m 1 m hàm  0;1 nên theo định lí Lagrange  x0   0;1 cho F ( x0 )  F (1)  F (0) 1  x0  ax  bx0  c    ax  bx0  c  Điều có nghĩa phƣơng trình ax  bx  c  có nghiệm thuộc (0;1) Chú ý: Ta giải tốn bẳng cách áp dụng tam thức bậc hai nhiên lời giải phức tạp Cụ thể lời giải nhƣ sau: Trƣờng hợp 1: a   b c  0 m 1 m -Nếu b   c   phƣơng trình nghiệm với x  nên có nghiệm khoảng  0;1 c m -Nếu b  , phƣơng trình trở thành bx  c   x    b m 1 134 Do m    m  m   m   0;1 , tức phƣơng trình có nghiệm m 1  0;1 Trƣờng hợp 2: a  Xét tam thức bậc hai f  x   ax  bx  c  m   m   m  Ta có f    c, f 1  a  b  c, f   a  b     c  m 1  m 1  m 1 Do a b c a  b    0    c  m  m 1 m m2  m 1  a 2m2  m  f   m    m  1  m   b c   a   Ta có f 1  a  b  c   m  1    m 1 m 1 m 1   a c c a c  a   m  1        m  1     m 1 m 1 m 1 m    m  1 m   m  m  1   m  -Nếu a   f  0 m     m  +) c   f     f   f    suy phƣơng trình có nghiệm  m 1 m   thuộc khoảng  0;    0;1  m 1  m  +) c   f 1   f 1 f    suy phƣơng trình có nghiệm  m 1 thuộc khoảng  0;1  m  -Nếu a   f  0  m 1 135  m  +) c   f 1   f 1 f    suy phƣơng trình có nghiệm m    m   thuộc khoảng  0;    0;1  m 1  m  +) c   f     f   f    suy phƣơng trình có nghiệm  m 1 thuộc khoảng  0;1 Vậy trƣờng hợp phƣơng trình ln có nghiệm khoảng  0;1 Ví dụ 4: Cho a0 , a1, an , (n ) số thực thoả mãn: a1 a2 an 22.a2 2n.an a0      a0  a1     n 1 n 1 Chứng minh phƣơng trình: a1  2a2 x  3a3 x2   nan x n1  có nghiệm thuộc khoảng  0;2  1 Lời giải: Xét hàm f  x   a0 x  a1x  a2 x3   an n1 n 1 Ta có f 1  a0   a1 a2 a a 22 a 2n     n , f     a0  a1    n  n 1 n 1   Từ giả thiết suy f    f 1  f    Áp dụng định lí Rolle tồn c1, c2   c1   c2   cho f   c1   f   c2   1 Từ 1 lại áp dụng định lí Rolle hàm f   x  ta thấy tồn  :  c1    c2  cho f       Do    c1; c2      0;2  , lại có f   x   a1  2a2 x   nan x n1  3 Từ   ,  3 suy  nghiệm phƣơng trình a1  2a2 x   nan x n1  Dạng 3: Sử dụng định lý Lagrange để giải phƣơng trình 136 Phƣơng pháp: Bước 1: Biến đổi phƣơng trình dạng phù hợp Bước 2: Xét hàm số phù hợp Bước 3: Sử dụng định lí Lagrange để tìm nghiệm phƣơng trình Ví dụ 1: Giải phƣơng trình  a  x    x  b    a  b  , với a, b n n n n   Lời giải: Khi n  phƣơng trình nghiệm x  Khi n  phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với phƣơng trình ax n  a  x   x b  t 1 trở thành t n  1  t          1 Đặt a b  a b   a b n n Xét hàm số g  t   t n  1  t  , t  , ta có n g   t   n t  n 1  1  t  n 1   n1   n1     , g     n        0,  2      n 1 n 1  2t   t   t  t  t n1   t  1  t  , n 1 n 1 t   2t    1  t   t    t  t   t  1  t   t  t n1 t Do phƣơng trình g   t   có nghiệm t  Giả phƣơng trình g  t   có ba nghiêm phân biệt t1  t2  t3 Áp dụng định lí Lagrange cho hàm lần lƣợt trê hai đoạn t1; t2  , t2 ; t3  , tồn c1   t1; t2  , c2   t2 ; t3  cho g   c1   g  t3   g  t2  g  t2   g  t1   0, g   c2    , điều có nghĩa t2  t1 t3  t2 phƣơng trình g   t   có hai nghiêm phân biệt c1  c2 , trái với lập luận (để phương trình g  t   có khơng q hai nghiệm ta áp dụng 137 trực tiếp hệ 3) Suy phƣơng trình g  t   khơng có q hai nghiệm phân biệt, suy phƣơng trình 1 khơng có q hai nghiệm phân biệt Lần lƣợt thay x  a, x  b vào phƣơng trình 1 ta thấy thoả mãn Vậy phƣơng trình cho có hai nghiệm x  a, x  b Tóm lại: Khi n  phƣơng trình nghiệm x  Khi n  phƣơng trình có hai nghiệm x  a, x  b Ví dụ 2: Giải phƣơng trình 2010x  2012x  2.2011x Lời giải: Ta có phƣơng trình cho  2012x  2011x  2011x  2010 x Gọi x0 nghiệm phƣơng trình, đặt f  t    t  1  t x0 , x suy f  2011  f  2010  Theo định lí Lagrange c   2010;2011 cho f c   f  2011  f  2010  0 2011  2010  x0  x 1 thử lại thấy  x0  c  1  c x0 1       x   Vậy phƣơng trình có hai nghiệm x  0, x  Ví dụ : Giải phƣơng trình a  c x  b x   b  c   a x , a  0, b  0, c  0, a  b x Lời giải: Giả sử x0 nghiệm phƣơng trình, nghĩa a  c x0  b x0  a x0   b  c    a  c   a x0   b  c   b x0 * x x x Xét hàm f  t    t  c   t x0 đoạn  a; b x Dễ dàng thấy hàm số f  t  liên tục có đạo hàm  a; b Áp dụng định lí Lagrange tồn    a; b  cho 138 x0 x0 x0 x0 f  b   f  a   b  c   b   a  c   b  f       ( * ) ba ba  x0   x0  x 1  x0   c   x0 x0 1     x0  x  thử lại thấy x0 1   c        Vậy phƣơng trình cho có hai nghiệm x  0, x  IV Bài tập tƣơng tự Bài 1: chứng minh a b a a b  ln  , 0 a b a b b Bài 2: Chứng minh alna  b ln b  a  b , a, b  Bài 3: Chứng minh Bài 4: Chứng minh n 1 , n ,n  n  x  1 cos  x 1  x cos  x  1, x  Bài 5: Cho a, b, c, r , s thoả mãn a  b  b  0; r  s  Chứng minh a r bs  br a s  a sbr  bsc r  c s a r Bài 6: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm đoạn  a; b thoả mãn điều kiện f (a)  a b ba ab , f (b)  , f( )  2 Chứng minh tồn ba điểm phân biệt  ,  ,    a; b  cho f ( ) f (  ) f ( )  Bài 7: Cho g  x  liên tục đoạn  0;1 có đạo hàm  0;1 thoả mãn g    g 1  Chứng minh c   0;1 cho g   c   g  c  Bài 8: Cho P  x  đa thức bậc n có n nghiệm thực phân biệt xi , i  1,2, , n Chứng minh P  xi    i 1 P  xi  n 139 Bài 9: Chứng minh phƣơng trình cos x  2cos2 x  3cos3x  4cos4 x  có nghiệm Bài 10: Chứng minh phƣơng trình sau có nghiệm  x  b  x  c  x  d    x  a  x  c  x  d    x  a  x  b  x  d    x  a  x  b  x  c   n Bài 11: Chứng minh đa thức pn  x    x  1     n có n nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng  1;1 Bài 12: Giả sử f  x  liên tục khoảng  a;   , f   x   k  x  a, k cho trƣớc Chứng minh f  a   phƣơng trình f  x   có nghiệm thực  f a thuộc khoảng  a; a   k     Bài 13: Giả sử f  x  có đạo hàm cấp hai liên tục  a; b  , f   c    a  c  b  Chứng minh tồn hai số x1, x2   a; b  cho f  x2   f  x1   f c  x2  x1 Bài 14: Cho hàm số f  x  liên tục có đạo hàm  0;  hàm Chứng minh phƣơng trình xf   x   f  x   af  b   bf  a  ba có nghiêm thuộc  a; b  Bài 15: Giải phƣơng trình 6x  2x  3x  5x Bài 16: Giải phƣơng trình a x  b x  c x  d x , với a, b, c, d  0, a  b  c  d Bài 17: Cho P  x  đa thức có n nghiệm thực phân biệt c số dƣơng tập tất số x để P  x   c hợp số hữu hạn khoảng không P x giao 140