Thể tích vật tròn xoay

Tích phân Trần Só Tùng Trang 144 Chú ý: Khi tìm thể tích của vật thể tròn xoay ta cần xác đònh: * Miền hình phẳng (H) sinh ra. ((H) giới hạn bởi 4 đường: x = ., x = ., y = ., y = .) * (H) quay quanh trục Ox hoặc trục Oy để ta dùng công thức thích hợp. Nếu (H) quay quanh trục Ox thì hàm dưới dấu tích phân là y = f(x), biến x và hai cận là x. Nếu (H) quay quanh trục Oy thì hàm dưới dấu tích phân là x = f(y), biến y và hai cận là y. Vấn đề 1: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: (C):yf(x);y0;xa;xb(ab)====<sinh ra khi quay quanh trục Ox được tính bởi công thức: bb 22 aa Vy.dx[d(x)].dx=p=p òò Diện tích: b a Sf(x).dx= ò Thể tích: b 2 a V[f(x)].dx=p ò Vấn đề 2: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: (C):xf(y),x0,ya,yb(ab)====<sinh ra khi quay quanh trục Oy được tính bởi công thức: bb 22 aa Vx.dy[f(y)].dy=p=p òò Diện tích: b a Sf(y)dy.= ò Thể tích: b 2 a V[f(y)].dy=p ò y x b a (H) (C) y x (H) (C) a b y x b a (H) (C) 0 y x (C) a b 0 §Bài 2: THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY Trần Só Tùng Tích phân Trang 145 Vấn đề 3: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: 12 (C):yf(x),(C):yg(x),xa,xb(ab)====< với f(x) và g(x) cùng dấu) sinh ra khi quay quanh trục Ox được tính bởi: b 22 a Vf(x)g(x).dx=p- ò (3) * f(x) và g(x) cùng dấu có nghóa là hai phần đồ thò cùng nằm một phía đối với trục Ox, với mọi x Ỵ đoạn [a; b]. * Để bỏ dấu “| |” trong công thức (3) ta chú ý các trường hợp sau: TH1: 12 (C)(C)vàf(x)g(x)0,x[a;b]:Ç=Ỉ>³"Ỵ b 22 a (3)V[f(x)g(x)].dxÛ=p- ò TH2: 12 (C)(C)vàf(x)g(x)0,x[a;b]:Ç=Ỉ<£"Ỵ b 22 a (3)V[f(x)g(x)].dxÛ=p- ò TH3: 12 (C)cắt(C) tại 2 điểm A, B có hoành độ x = a, x = b và d(x) > g(x) ³ 0, x[a;b]:"Ỵ b 22 a (3)V[f(x)g(x)].dxÛ=p- ò TH4: 12 (C)cắt(C) tại 2 điểm A, B có hoành độ x = a và f(x) < g(x) £ 0, x[a;b]:"Ỵ b 22 a (3)V[f(x)g(x)].dxÛ=p- ò y x 0 (H) a b (C 2 ) (C 1 ) y y x 0 (H) a b (C 1 ) (C 2 ) y y x (H) A B a b 0 (C 2 ) (C 1 ) y x (H) A B a b 0 (C 2 ) (C 1 ) Tích phân Trần Só Tùng Trang 146 TH5: 12 (C)cắt(C) tại 3 điểm A, B, C, trong đó x A = a x B = b, x C = c với a < c < b như hình bên: 12 (3)VVVÛ=+ cb 2222 ac [f(x)g(x)]dx[g(x)f(x)]dx.=p-+p- òò Vấn đề 4: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: 12 (C):xf(y),(C):xg(y),ya,yb(ab)====< với f(y) và g(y) cùng dấu) sinh ra khi quay quanh trục Oy được tính bởi: b 22 a Vf(y)g(x).dy=p- ò (4) TH1: 1212 (C)(C)vàxf(y)xg(y)0,Ç=Ỉ=>=³ với mọi y[a;b].Ỵ b 22 a (4)V[f(y)g(y)].d=p- ò TH3: 12 (C)cắt(C) tại 2 điểm A, B có tung độ AB yayb=<= và 12 xf(y)xg(y)0,=>=³ với mọi y[a;b].Ỵ b 22 a (4)V[f(y)g(y)].d=p- ò * Các TH2, TH4 và TH5 thực hiện tương tự như vấn đề 3. Ví dụ 1: Xét hình phẳng giới hạn bởi (P) : y 2 = 8x và đường thẳng x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng nói trên: a/ quanh trục hoành b/ quanh trục tung. Giải: a/ 2 (P):y8x(P):y8x(x0)=Û=±³ Thể tích V khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi (P) và x = 2 quanh trục Ox là: y x C (C 1 ) (C 2 ) V 2 V 1 A a c b B y x 2 (H) C 2 C 1 b a A B x 1 x (H) x 1 x 2 y x 0 C 2 C 1 a b Trần Só Tùng Tích phân Trang 147 22 2 00 Vy.dx8x.dx16=p=p=p òò (đvtt). b/ 22 1 (P):y8xxy 8 =Û= Thể tích V khối . quanh trục tung là: 2 44 2224 14 11899 V2ydu2ydy . 86432 -- p ỉưỉư =p-=p-== ç÷ç÷ èøèø òò (đvtt). Ví dụ 2: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol (p) : 2 y2xx=-. Tính thể tích của khối tròn xoay khi cho (H) a/ quay quanh trục hoành b/ quay quanh trục tung. Giải: a/ Thể tích V khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục hoành là: 22 222 00 16 Vy.dx(2xx)dx . 15 p =p=p-== òò (đvtt). b/ 22 (P):y2xxx2xy0(1)=-Û-+= 11 22 '1y00y1 x11y,(0x1) (1) x11y,(1x2) D=-³Û££ é =--££ Û ê ê =+-££ ë Thể tích V khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục tung là: 111 22 212121 000 8 V(xx)dy(xx)(xx)dy2(21y)dy 3 p =p-=p+-=p-== òòò Ví dụ 3: Cho hình giới hạn elip: 2 2 x y1 4 += quay quanh trục hoành. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo nên. Giải: 22 222 xx1 (E):y1y1y4x,(|x|2) 442 +=Û=-Û=±-£ Thể tích V khối tròn xoay cần tìm là: 22 22 22 8 Vy.dx(4x).dx . 43 -- pp =p=-== òò (đvtt). Ví dụ 4: Gọi (D) là miền kín giới hạn bởi các đường: yx,y2x==- và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay (D) quanh trục Oy. Giải: y x 0 –1 2 –2 1 y x 2 1 0 (H) 1 (P) x 2 x 1 x y 4 0 – x = 2 2 (P) Tích phân Trần Só Tùng Trang 148 · 1 yxxx2=Û== · 2 y2xxx2y.=-Û==- · Thể tích vật thể tròn xoay khi quay (D) quanh trục Oy là: 11 22222 21 00 V(xx)dy[(2y)(y)]=p-=p-- òò 32 15 p = (đvtt). BÀI TẬP Bài 18. Tính vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của miền (D) giới hạn bởi các đường: a/ y = lnx; y = 0; x = 2. b/ 2 xy50;xy30.+-=+-= c/ 2 yx;yx.== d/ 22 yx4x6;yx2x6.=-+=--+ e/ 2 yx(x1).=- f/ x yx.e;x1;y0(0x1)===££ g/ xx2 ye;y;x0;x2. -+ ==== h/ 3 yxln(1x);x1.=+= i/ 2 (P):yx(x0),y3x10;y1=>=-+= (miền (D)) nằm ngoài (P)). k/ 44 ycosxsinx;y0;x;x. 2 p =+===p ĐS: a/ 2 2(ln21);p- b/ 153 ; 5 p c/ 3 ; 10 p d/ 3p e/ . 105 p f/ 2 (e1) ; 4 p- g/ 22 (e1);p- h/ (2ln21). 3 p - i/ 56 . 5 p k/ 2 3 . 8 p Bài 19. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục oy hình phẳng giới hạn bởi các đường: a/ 2 yx;y1;y2.===. b/ 22 yx;xy.== c/ Đường tròn tâm I(3 ; 0), bán kính R = 2. ĐS: a/ 3 ; 2 p b/ 3 ; 10 p c/ 2 24.p Bài 20. Xét hình (H) giới hạn bởi đường cong 1 y; x = trục Ox; x = 1 và x = t a/ Tính diện tích S(t) của (H) và thể tích V(t) sinh bởi (H) khi quay quanh Ox. b/ Tính: t limS(t) ®+¥ và t limV(t). ®+¥ y x 4 2 1 0 1 2 yx= y2x=- A Trần Só Tùng Tích phân Trang 149 ĐS: a/ S(t)lnt;V(t); t p ==p- b/ tt limS(t);limV(t) ®+¥®+¥ =+¥=p Bài 21. Cho miền (D) giới hạn bởi đường tròn (C): 22 xy8+= và parabol (p): 2 y2x.= a/ Tính diện tích S của (D). b/ Tính thể tích V sinh bởi (D) khi quay quanh Ox. ĐS: a/ 4 2. 3 -p b/ 4 (827). 3 p - Bài 22. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt tạo nên khi quay các đường: a/ 2/3 x yb(0xa) a ỉư =££ ç÷ èø quanh trục Ox. b/ ysinx;y0(0x)==££p a/ quanh trục Ox b/ quanh trục Oy. c/ 2 xx yb;yb aa ỉư == ç÷ èø a/ quanh trục Ox. b/ Quanh trục Oy. d/ x ye;y0(0x) - ==£<+¥ quanh trục Ox và Oy. ĐS: a/ 2 3 ab; 7 p b/ 2 x /V; 2 p a= 2 y /V2.b=p c/ 2 x 4 /Vab; 15 a=p 2 y ab /V. 6 p b= d/ x /V; 2 p a= y /V2.b=p Tích phân Trần Só Tùng Trang 150 Bài 1. Tính các tích phân sau: a/ 2 2 2x.dx; - + ò b/ 1 2 2 0 xdx ; 4x- ò c/ 2 2 1 x1 dx; x - ò d/ 1 23 0 dx ; (1x)+ ò e/ 1 2 22 0 xdx ; (x1)+ ò f/ /4 2 0 x dx; cosx p ò g/ /2 x 0 e.cosxdx; p ò h/ /4 44 x /4 sinxcosx dx; 31 p -p + + ò i/ 0 cos2x.dx ; sinxcosx2 p ++ ò k/ 5/12 2 /12 dx ; sin2x23cosx23 p p ++- ò ĐS: a/ 8 (42); 3 - b/ 3 ; 32 p - c/ 3; 3 p - d/ 2 ; 2 e/ 11 ln2; 44 -+ f/ 2 ln; 42 p + g/ /2 1 (e1); 2 p - h/ 3 ; 16 p i/ 2ln3 – 2; k/ 3 . 4 Bài 2. Biết 2 2)x1),x0 f(x) K(1x),x0 -+£ ì = í -> ỵ . Tìm giá trò K để 1 1 f(x).dx1. - = ò ĐS: K = 3. Bài 3. a/ Cho hàm số 2x x e e f(x)t.lnt.dt.= ò Tìm hoành độ điểm cực đại x. b/ Tìm giá trò 3 x0; 2 p ỉư Ỵ ç÷ èø để hàm số 2x x sint f(x)dt t = ò đạt cực đại. ĐS: a/ xln2.=- b/ x. 3 p = Bài 4. Cho hàm số x 2 0 2t1 f(x)dt,1x1. t2t2 + =-££ -+ ò Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số f. ĐS: a/ 1 minff; 2 ỉư =- ç÷ èø b/ maxff(1).= Bài 5. Cho hàm số x 2 0 f(x)(t1)(t2)dt.=-- ò Tìm điểm cực trò và điểm uốn của đồ thò f. ÔN TẬP TÍCH PHÂN Trần Só Tùng Tích phân Trang 151 ĐS: 1744112 CT:1;;Đ.Uốn:2;;; 123381 ỉưỉưỉư -- ç÷ç÷ç÷ èøèøèø Bài 6. Đường thẳng (D): x – 3y + 5 = 0 chia đường tròn (C) : 22 xy5+= thành 2 phần, tính diện tích của mỗi phần. ĐS: 12 55155 S;S. 4242 pp =-=+ Bài 7. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C): 1 y;y0 x ==; x = 1; x = 2. Tìm toạ độ điểm M trên (C) mà tiếp tuyến tại M sẽ cắt từ (H) ra một hình thang có diện tích lớn nhất. ĐS: 32 M;. 23 ỉư ç÷ èø Bài 8. Cho điểm A thuộc (P): y = x 2 , (A khác gốc O); (D) là pháp tuyến tại A của (P) ((D) vuông góc với tiếp tuyến tại A với (P)). Đònh vò trí của A để diện tích giới hạn đỉnh bởi (P) và (D) là nhỏ nhất. ĐS: 41111 minS;A;hayA;. 32424 ỉưỉư =- ç÷ç÷ èøèø Bài 9. Cho hình (H) giới hạn bởi: 22 xy 1 164 x42 ì -= ï í ï = ỵ . Tính thể tích sinh ra khi (H) quay quanh Oy. ĐS: 128 . 3 p Bài 10. Cho hình (H) giới hạn bởi: 2 yax,a0 ybx,b0 ì => í =-> ỵ . Quay hình (H) ở góc phần tư thứ hai của hệ toạ độ quanh trục Ox. Tìm hệ thức giữa a và b để thể tích khối tròn xoay sinh ra là hằng số, không phụ thuộc vào a và b. ĐS: b 5 = K.a 3 , với K là hằng số dương bất kỳ. Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 yx4x3,yx3.=-+=+ (Đề thi chung của Bộ GDĐT–khối A_2002) ĐS: 109 6 (đvdt). Bài 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 22 xx y4vày. 4 42 =-= (Đề thi chung của Bộ GDĐT – khối B _ 2002) Tích phân Trần Só Tùng Trang 152 ĐS: 4 2 3 p+ (đvdt). Bài 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C): 3x1 y x1 -- = - và hai trục toạ độ. (Đề thi khối D_2002) ĐS: 4 14ln 3 + (đvdt). Bài 14. Tính tích phân 23 2 5 dx I. xx4 = + ò (Đề thi khối A_2003) ĐS: 15 ln. 43 Bài 15. Tính tích phân /2 2 0 12sinx Idx. 1sin2x p - = + ò (Đề thi khối B_2003) ĐS: 1 ln2. 2 Bài 16. Tính tích phân 2 2 0 Ixxdx.=- ò (Đề thi khối D_2003) ĐS: 1. Bài 17. Tính tích phân 2 1 x Idx. 1x1 = ++ ò (Đề thi khối A_2004) ĐS: 11 4ln2. 3 - Bài 18. Tính tích phân e 1 13lnx.lnx Idx x + = ò (Đề thi khối B_2004) ĐS: 116 . 135 Bài 19. Tính tích phân 3 2 2 Iln(xx)dx.=- ò (Đề thi khối D_2004) ĐS: 3ln3 – 2. . · Thể tích vật thể tròn xoay khi quay (D) quanh trục Oy là: 11 22222 21 00 V(xx)dy[(2y)(y)]=p-=p-- òò 32 15 p = (đvtt). BÀI TẬP Bài 18. Tính vật thể tròn. Diện tích: b a Sf(y)dy.= ò Thể tích: b 2 a V[f(y)].dy=p ò y x b a (H) (C) y x (H) (C) a b y x b a (H) (C) 0 y x (C) a b 0 §Bài 2: THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY