BÀI GIẢNG : QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH.PGS.TS.LÊ ANH VŨ

Bài giảng Qui hoạch tuyến tính Chương : PGS-TS Lê Anh Vũ QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH Qui hoạch tuyến tính (Linear Programming) khai sinh lịch sử phát triển từ năm 1939, nhà tốn học Nga nởi tiếng, Viện sĩ L.V Kantorovich đề xuất thuật toán để giải mợt loạt cơng trình nghiên cứu kế hoạch hố sản xuất, và thực sự phát triển mạnh mẽ kể từ nhà toán học Mỹ G.B Dantzig đề xuất phương pháp đơn hình (simplex method) năm 1947 để giải bài tốn xuất phát từ việc lập kế hoạch cho không quân Mỹ Như vậy, nói là, qui hoạch tuyến tính hình thành vào khoảng thế kỷ 20 nhu cầu bài tốn quản lý Mơ hình tún tính là mơ hình phở biến thực tế Mặt khác, mặt lý thuyết, xấp xỉ với đợ chính xác cao bài tốn tối ưu phi tuyến dãy bài toán qui hoạch tuyến tính Bởi thế, từ đời, qui hoạch tuyến tính chiếm một vị trí hết sức quan trọng Tốn học ứng dụng nói chung, ngành tối ưu hóa nói riêng §1 MỢT SỚ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN QHTT TRONG THỰC TIỄN 1.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất Vấn đề thực tiễn Một xí nghiệp dùng hai loại vật liệu V1, V2 để sản xuất ba loại sản phẩm là S1, S2 và S3 Để làm được đơn vị S1 cần đơn vị vật liệu V1, đơn vị vật liệu V2 Để làm được đơn vị S2 cần đơn vị V1, đơn vị V2 Để làm được đơn vị S3 cần đơn vị V1, đơn vị V2 Giá bán đơn vị S1, S2 và S3 lần lượt là 50, 30 và 40 ngàn đồng Hỏi xí nghiệp nên sản xuất đơn vị sản phẩm S 1, S2 và S2 để tổng thu nhập là lớn nhất, biết rằng xí nghiệp có 1200 đơn vị vật liệu V và 1080 đơn vị vật liệu V2 Chi phí Sản phẩm vật liệu Vật liệu S1 S2 S3 V1 : 1200 V2 : 1080 Thiết lập mô hình toán học 53 Gọi x1, x2, x3 lần lượt là số đơn vị sản phẩm S 1, S2, S3 cần sản xuất Số đơn vị vật liệu V1 cần có là 4x1 + 3x2 + 2x3 Do22 xí nghiệp có 1200 đơn vị vật liệu V 3Giá 4x đvị đồng) 503040 nên x1, x2 và x3 phải thỏa mãn 3x(ngàn +SP + 2x  1200 Bài giảng Qui hoạch tuyến tính PGS-TS Lê Anh Vũ Tương tự, số đơn vị vật liệu V2 cần có là 5x1 + 2x2 + 3x3 thế x1, x2 và x3 phải thoả mãn 5x1 + 2x2 + 3x3  1080 Tất nhiên ta còn phải có x1  0, x2  và x3  Tổng thu nhập xí nghiệp (cần làm cực đại) là f = 50x + 30x2 +40x3 (ngàn đờng) Khi vấn đề thực tiễn đặt được phát biểu thành bài tốn sau: Tìm biến số x1, x2 và x3 cho f = 50x1 + 30x2 +40x3  max, với điều kiện 4x1 + 3x2 + 2x3  1200, 5x1 + 2x2 + 3x3  1080, (1.1) x1  0, x2  0, x3  1.2 Bài toán xác định khẩu phần thức ăn Vấn đề thực tiễn Một xí nghiệp chăn nuôi cần mua hai loại thức ăn tổng hợp T 1, T2 cho gia súc với tỉ lệ chế biến : kg T1 chứa đơn vị dinh dưỡng D1 (chất béo), đơn vị dinh dưỡng D2 (Hyđrat cacbon) và đơn vị dinh dưỡng D (Protein); kg T2 chứa đơn vị D1, đơn vị D2 và đơn vị D3 Mỗi bữa ăn cho gia súc cần tối thiểu 60 đơn vị D1, 40 đơn vị D2 và 60 đơn vị D3 Hỏi xí nghiệp cần mua kg T 1, T2 cho mỗi bữa ăn, cho vừa đảm bảo tốt dinh dưỡng cho bữa ăn gia súc, vừa để tổng số tiền chi mua thức ăn là nhỏ Cho biết kg T giá 20 ngàn đồng, kg T2 giá 15 ngàn đồng Các chất D1 D2 D3 Mức tối thiểu 60 40 60 Giá kg thức ăn Các loại thức ăn T1 T2 1 1 20 ngàn Thiết lập mô hình toán học 15 ngàn Bài giảng Qui hoạch tuyến tính PGS-TS Lê Anh Vũ Gọi x1, x2 lần lượt là số kg thức ăn T 1, T2 cần mua cho mỗi bữa ăn Số đơn vị chất D1 có mỡi bữa ăn là 3x1 + x2, thế x1 và x2 cần thỏa mãn 3x1 + x2  60, Tương tự, để đáp ứng nhu cầu chất D và D3 cho mỗi bữa ăn, x1 và x2 cần thỏa mãn x1 + x2  40, x1 + 2x2  60, Tất nhiên, ta cũng đòi hỏi x1  và x2  Số tiền chi mua thức ăn (cần làm cực tiểu) bằng f = 20x1 + 15x2 (ngàn đờng) Khi vấn đề thực tiễn đặt được phát biểu thành bài tốn sau: Tìm biến số x1 và x2 cho f = 20x1 + 15x2  min, với điều kiện 3x1 + x2  60, x1 + x2  40, (1.2) x1 + 2x2  60, x1  0, x2  1.3 Bài toán vận tải Vấn đề thực tiễn : Cần vận chuyển xi măng từ kho K 1, K2, K3 tới công trường xây dựng T1, T2, T3, T4 Cho biết lượng xi măng có mỡi kho, lượng xi măng cần mỗi công trường và giá cước vận chuyển (ngàn đồng) một xi măng từ mỗi kho tới mỗi công trường sau : Kho xi măng Công trường xây dựng T1 : 130 T2 : 160 T3 : 120 T4 : 140 K1 : 170 20 18 22 25 K2 : 200 15 25 30 15 K3 : 180 45 30 40 35 Vấn đề là tìm kế hoạch vận chuyển xi măng từ kho tới công trường cho mọi kho phát hết lượng xi măng có, mọi cơng trường nhận đủ lượng xi măng cần và tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất? Vân đề nêu mơ hình hoá sau: Đặt x ij là lượng xi măng cần vận chuyển từ kho Ki (i = 1, 2, 3) tới công trường Tj (j = 1, 2, 3, 4) Bài giảng Qui hoạch tuyến tính PGS-TS Lê Anh Vũ Các biến số cần thoả mãn điều kiện sau: x11 + x12 + x13 + x14 = 170 (kho K1 giao hết lượng xi măng có), x21 + x22 + x23 + x24 = 200 (kho K2 giao hết lượng xi măng có), x31 + x32 + x33 + x34 = 180 (kho K3 giao hết lượng xi măng có), x11 + x21 + x31 = 130 (công trường T1 nhận đủ số xi măng cần), (1.3) x12 + x22 + x32 = 160 (công trường T2 nhận đủ số xi măng cần), x13 + x23 + x33 = 120 (công trường T3 nhận đủ số xi măng cần), x14 + x24 + x34 = 140 (công trường T4 nhận đủ số xi măng cần), xij  0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, (lượng hàng vận chuyển không âm), Tổng chi phí vận chuyển (cần làm cực tiểu) bằng: f = 20x 11 + 18x12 + 22x13 + 25x14 + 15x21 + 25x22 + 30x23 + 15x24 + 45x31 + 30x32 + 40x33 + 35x34 Ta được bài tốn : Tìm biến số x ij thỏa mãn điều kiện (1.3) cho hàm f đạt cực tiểu (f  min) §2 CÁC DẠNG BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH Qui hoạch tún tính (QHTT) là mợt ngành Tốn học ứng dụng nghiên cứu mơ hình tốn học mợt lớp bài tốn tối ưu (đánh giá giá trị lớn hay nhỏ nhất) mà dó đại lượng nhận giá trị thực và mối quan hệ đại lượng được biểu thị hệ phương trình hay bất phương trình tuyến tính 2.1 Bài toán tởng quát (G) Tìm biến số x1, x2, , xn cho: n f(x) = c j 1 j x j  (hay max) (2.1) thỏa mãn điều kiện n a ij x j  bi, i = 1, , m1, (2.2) ij x j  bi, i = m1 + 1, , m1 + m2, (2.3) ij x j = bi, i = m1 + m2 + 1, , m, (2.4) j 1 n a j 1 n a j 1 xj  0, j = 1, , n1, xj  0, j = n1 + 1, , n1 + n2  n, (2.5) Trong bài toán trên, f gọi là hàm mục tiêu, mỗi hệ thức (2.2) - (2.5) gọi là một ràng buộc Mỗi ràng buộc (2.2) - (2.4) gọi là một ràng buộc chính (dạng Bài giảng Qui hoạch tuyến tính PGS-TS Lê Anh Vũ đẳng thức hay bất đẳng thức), mỗi ràng buộc xj  hay xj  gọi là một ràng buộc về dấu Điểm x = (x1, x2, , xn)  Rn thỏa mãn mọi ràng buộc gọi là một điểm chấp nhận được, hay một phương án Tập hợp tất phương án, ký hiệu là D, gọi là miền ràng buộc hay miền chấp nhận được Một phương án thoả mãn (2.1) gọi là một phương án tối ưu (PATU) hay mợt lời giải bài tốn cho Bài tốn có ít mợt phương án tối ưu gọi là bài tốn có lời giải Bài tốn khơng có phương án (miền ràng ḅc rỡng D = ) có phương án khơng có phương án tối ưu, hàm mục tiêu giảm vơ hạn (bài tốn tìm min) tăng vơ hạn (bài tốn tìm max), gọi là bài tốn khơng có lời giải Chú y m1 là số ràng buộc , m2 là số ràng buộc , m là tổng số ràng buộc chính, n là số biến số bài toán, n là số ràng buộc xj  0, n2 là số ràng ḅc xj  (có thể n1 = 0, n2 = 0) Nếu khơng có ràng ḅc  m1 = 0, khơng có ràng ḅc  m2 = 0, khơng có ràng ḅc đẳng thức m = m1 + m2 Với bài toán bất kỳ, ta cũng viết ràng ḅc chính dạng cho mọi bi  0, i = 1, , m (nếu có b i < ta nhân hai vế ràng buộc i với -1, rồi đổi chiều dấu bất đẳng thức và sắp xếp lại thứ tự ràng buộc chính nếu cần) 2.2 Dạng tắc dạng chuẩn tắc toán quy hoạch tuyến tính Người ta thường xét bài tốn QHTT có mợt ba dạng n Dạng chính tắc (C): f(x) = c j 1 n a ij j x j  (hay max), x j = bi, i = 1, 2, , m, j 1 xj  0, j = 1, 2, , n, (ràng buộc chính là đẳng thức và mọi biến không âm) Dạng chuẩn hay chuẩn tắc: n f(x) = c j 1 n a j 1 ij j x j  (hay max), x j  (  ) bi, i = 1, 2, , m, xj  0, j = 1, 2, , n, Bài giảng Qui hoạch tuyến tính PGS-TS Lê Anh Vũ (ràng ḅc chính gờm bất đẳng thức “  ” bài toán “  ” bài toán max, và mọi biến không âm) Để viết bài toán gọn hơn, ta dùng ký hiệu véctơ và ma trận sau:  a11 a12 a a 22 A   21      a m1 a m  a1n   a1 j   b1   c1   x1   0 a          0  a 2n  b c x 2j , A j    , b    , c   , x    , O                            a mn   a mj   0 bm  cn   xn  (A là ma trận mxn gồm hệ số vế trái ràng buộc chính, A j là véctơ cột thứ j ma trận A tương ứng với biến xj, b là véctơ hệ số vế phải ràng buộc chính, c là véctơ cột hệ số hàm mục tiêu, x là véctơ cột ẩn số, O là véctơ cột không) Với ký hiệu trên, bài tốn QHTT chính tắc và ch̉n tắc có dạng ma trận sau: Dạng chính tắc (C) Dạng chuẩn tắc f(x) =  (max) f(x) =  (max) Ax  b (Ax  b) Ax = b x0 x ( là tích vô hướng hai véctơ c và x) Dạng chính tắc chuẩn (N): Đó là bài tốn QHTT dạng chính tắc với b  0, A và A chứa một ma trận đơn vị cấp m là ma trận cấp m sơ cấp nhận được từ ma trận đơn vị cấp m bằng cách đổi chỗ hai dòng hai cợt nào (m là số dòng A và cũng là số ràng buộc chính) Dạng chính tắc chuẩn (N) f(x) =  (max) Ax = b  x ( A chứa ma trận cấp m sơ cấp) 2.3 Chuyển đổi dạng toán qui hoạch tuyến tính Bằng cách thực hiện phép biến đởi nêu đây, ta chuyển bài tốn QHTT từ dạng này sang dạng khác Vì vậy, ta cần chọn một dạng thuận tiện Bài giảng Qui hoạch tuyến tính PGS-TS Lê Anh Vũ để nghiên cứu là đủ (thường là dạng chính tắc chuẩn) mà không làm tính tổng quát kết nghiên cứu n a) Mỗi ràng buộc đẳng thức a ij x j· = bi thay bằng ràng buộc bất j 1 đẳng thức n a j 1 ij x j·  bi và n a ij j 1 x j·  bi b) Mỗi ràng buộc bất đẳng thức n a ij x j  bi j 1 n a ij x j  bi , j 1 đưa ràng buộc đẳng thức nhờ thêm vào một biến mới, gọi là biến phụ, xn+i  0: n  a ij x j  x n i  bi j 1 n c) Một ràng buộc a n a ij x j  x n  i  bi j 1 ij x j  bi viết lại thành  j 1 n a j 1 ij x j  – bi ngược lại d) Nếu biến xj khơng bị ràng ḅc dấu ta thay hiệu hai     biến không âm bằng cách đặt x j  x j  x j với x j 0, x j 0, Còn nếu xj  bằng cách đặt biến yj = – xj ta sẽ có yj  e) Bài tốn tìm cực đại: g  max đưa bài tốn tìm cực tiểu: f = – g  với ràng ḅc và ta có hệ thức max{g(x) : x  D} = – min{f(x) : x  D} Ví dụ Đưa bài tốn qui hoạch tún tính sau dạng chính tắc và dạng chuẩn tắc f(x) = 2x1 – x2  min, với điều kiện: x1 – 2x2 + x3  2, 2x1 – 2x2 – x3  3, x1 + x2 + x3 = 4, x2  0, x3  Dạng chính tắc: bằng cách thay x1 = x4 – x5 với x4, x5  và thêm biến phụ x6, x7  0, ta đến bài toán: f(x) = – x2 + 2x4 – 2x5  min, với điều kiện: Bài giảng Qui hoạch tuyến tính PGS-TS Lê Anh Vũ – 2x2 + x3 + x4 – x5 + x6 = 2, – 2x2 – x3 + 2x4 – 2x5 – x7 = 3, x2 + x3 + x4 – x5 = 4, xj  0, j = 2, 3, 4, 5, 6, Dạng chuẩn tắc: bằng cách thay x1 = x4 - x5 với x4, x5  0, đổi dấu hai vế bất đẳng thức đầu và thay bất đẳng thức cuối bằng hai bất đẳng thức , ta đến bài toán: f(x) = – x2 + 2x4 – 2x5  min, với điều kiện: 2x2 – x3 – x4 + x5 – 2x2 – x3 + 2x4 – 2x5 x2 + x3 + x4 – x5 – x2 – x3 – x4 + x5 xj  0, j = 2, 3, 4,  –2,  3,  4,  -4, Chú y quan trọng Mọi tốn QHTT tổng qt (G) đưa tốn tương đương dạng tắc chuẩn (N) Cụ thể ta thực hiện bước sau đây:  Bước 1: Đưa bài toán (G) cho bài toán dạng chính tắc (C) với hàm mục tiêu đạt Rõ ràng bài tốn (G) có lời giải và bài tốn (C) có lời giải Hơn nữa, từ phương án tối ưu (C), dễ dàng nhận được PATU (G)  Bước 2: Nếu ma trận A chưa chứa một ma trận cấp m sơ cấp thêm vào m biến giả xn 1 , xn  , , xn  m với hệ số giả M ( < M đủ lớn) (Đương nhiên nếu A chứa một ma trận cấp m sơ cấp khơng cần phải làm bước này) Lúc hai bài tốn (C) và (N) tương đương theo nghĩa sau đây:  x*  ( x1 , x2 , , xn ) là PATU (C) và x*  ( x1 , x2 , , xn , 0, , 0) là PATU (N)  Bài tốn (N) có PATU mà có ít mợt biến xn i  (i  1, , m) bài tốn (C ) khơng có phương án (miền ràng ḅc D rỡng) Bài giảng Qui hoạch tuyến tính PGS-TS Lê Anh Vũ 2.4 Phương pháp hình học giải toán qui hoạch tuyến tính hai biến Khi bài tốn QHTT có hai biến, ta giải bằng hình học dễ dàng Chú ý rằng trường hợp riêng này cũng cho phép ta tưởng tượng hình học bài tốn tởng qt Cơ sở ly thuyết phương pháp hình học  Miền ràng buộc D là miền phẳng lồi nếu chứa mợt điểm Nếu D bị chặn D là đa giác lồi  Mỗi đường thẳng : ax + by = m chia mặt phẳng làm hai nửa có bờ là  xác định bất đẳng thức ax + by  m, ax + by  m r  Khi tịnh tiến  song song với chính theo phương pháp vectơ n =(a, b) ta được: r  m tăng tịnh tiến  theo hướng n r  m giảm tịnh tiến  ngược hướng n Nội dung phương pháp hình học giải toán QHTT hai biến Xét bài toán qui hoạch tuyến tính với hai biến số f(x) = ax + by  (max); (x, y)  D (miền ràng buộc) Khi m thay đởi, phương trình ax + by = m xác định mặt phẳng họ đường thẳng m song song với mà ta sẽ gọi là đường mức (với giá trị mức m thay đổi) Theo ngôn ngữ hình học, bài tốn trở thành: số đường mức cắt D tìm đường mức với giá trị mức m nhỏ (lớn nhất) r Nếu dịch chuyển song song đường mức theo hướng véctơ pháp tuyến n = (a, b) giá trị mức sẽ tăng, còn nếu dịch chuyển theo hướng ngược lại giá trị mức sẽ giảm Vì vậy, để giải bài tốn đặt ta tiến hành bước  Bước 1: Dựng miền ràng buộc D  Bước 2: Bắt đầu từ mợt đường mức m nào cắt D, ta dịch chuyển song r r song ngược hướng n = (a, b) bài toán theo hướng n = (a, b) bài toán max, cho đến việc dịch chuyển tiếp theo làm cho đường mức khơng cắt D dừng Điểm D (có thể nhiều) nằm đường mức cuối này sẽ là mợt lời giải cần tìm bài tốn, còn giá trị mức chính là giá trị nhỏ (lớn nhất) hàm mục tiêu f Bài giảng Qui hoạch tuyến tính PGS-TS Lê Anh Vũ Qua phương pháp giải trình bày ta thấy a) Nếu miền ràng ḅc D bài tốn qui hoạch tún tính khác rỡng và giới nợi bài tốn chắc chắn sẽ có lời giải b) Nếu bài tốn qui hoạch tún tính có lời giải có ít mợt đỉnh miền ràng ḅc D là lời giải Sở dĩ nói ít là có trường hợp đường mức vị trí giới hạn trùng với một cạnh (hữu hạn hay vô hạn) D, mỡi điểm cạnh này là mợt lời giải Vì thế, để giải bài tốn qui hoạch tuyến tính ta cần xét đỉnh D (số đỉnh này là hữu hạn) Phương pháp đơn hình nêu chương sau sẽ sử dụng tính chất này Với mỡi bài tốn qui hoạch tún tính xảy mợt ba trường hợp sau: Bài tốn khơng có phương án (miền ràng ḅc D rỡng) Bài tốn có phương án, khơng có phương án tối ưu Bài tốn có phương án tối ưu (lời giải) §3 PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT 3.1 Định ly tồn lời giải toán QHTT Nếu mợt bài toán qui hoạch tún tính tìm hàm mục tiêu có ít nhất một phương án và hàm mục tiêu bị chặn dưới miền ràng ḅc bài toán chắc chắn có phương án tối ưu 3.2 Phương án cực biên Sau ta xét bài toán QHTT dạng chính tắc (C) với điều kiện số ràng buộc chính m không quá số biến n và ma trận hệ số A có hạng m Dạng chính tắc (C) f(x) =  (max) Ax = b x (Ma trận A cấp mn hạng m, mn) 10 Bài giảng Qui hoạch tuyến tính PGS-TS Lê Anh Vũ Nhớ rằng mỡi bài toán dạng chính tắc chuẩn (N) cũng thỏa mãn điều kiện này Đối với bài toán dạng chính tắc thế, phương án đặc biệt mà được gọi là phương án cực biên đóng vai trò hết sức Về mặt hình học, miền ràng ḅc D là một khúc lồi; một phương án x  D mà đồng thời là đỉnh D gọi là một phương án cực biên (PACB), nghĩa là x biểu diễn dạng một tổ hợp lồi hai phương án bất kỳ nào khác D Bằng ngơn ngữ đại số, ta có định nghĩa PACB Định nghĩa phương án cực biên  Phương án x0 = ( x1 , x2 ,  , xn ) bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc gọi là phương án cực biên (PACB) nếu hệ các véctơ cột A j ma trận A ứng với các thành phần x j > là hệ độc lập tuyến tính 0 0  Mỗi biến (ẩn) dương x j PACB x0 được gọi là một biến sở, vectơ Aj tương ứng gọi là các vectơ sở Hệ các vectơ sở {A j / x j > 0} gọi là sở ứng với PACB x0 xét (đương nhiên hệ này độc lập tuyến tính) Các biến và vectơ cột còn lại gọi là các biến và vectơ phi sở Nhận xét  Số ẩn sở mỡi PACB bài tốn QHTT dạng chính tắc tối đa bằng m (m là số dòng ma trận A và cũng là số ràng buộc chính)  Số phương án cực biên mỗi bài toán QHTT dạng chính tắc là hữu hạn Định nghĩa PACB suy biến không suy biến Người ta phân hai loại PACB không suy biến và suy biến Cụ thể sau:  PACB gọi là không suy biến nếu có số biến sở (tức là số thành phần dương) đúng bằng m  Trái lại, PACB được gọi là suy biến nếu số biến sở nhỏ m  Bài tốn QHTT được gọi là không suy biến nếu tất PACB khơng suy biến (tức là có số thành phần dương bằng m) Nếu trái lại, bài toán được gọi là suy biến Nhận xét quan trọng  Nếu bài toán QHTT dạng chính tắc (C) có ít nhất mợt phương án nó cũng có PACB (miền ràng buộc D có đỉnh)  Nếu bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc có PATU cũng có PACB tối ưu 11 Bài giảng Qui hoạch tuyến tính PGS-TS Lê Anh Vũ Các tính chất cho phép tìm PATU bài tốn QHTT dạng chính tắc (C) số PACB bài toán (số này là hữu hạn) Ví dụ Cho bài tốn qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc với điều kiện sau: x1 + x2 + x3 = 4, x1 – x2 = 0, xj  0, j = 1, 2, (3.1) Hãy cho biết véctơ x1 = (2, 2, 0), x2 = (0, 0, 4), x3 = (1, 1, 2) có phải là phương án cực biên bài tốn hay khơng? Giải: Kiểm tra trực tiếp ta thấy x 1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện (3.1) nên chúng là phương án bài tốn Mặt khác, 1 A1   , 1  1 A2   ,   1 1 A3    0 nên ta thấy hệ {A1, A2} và hệ gồm một véctơ {A3  O} là hệ đợc lập tún tính Do x1, x2 là PACB bài toán Hơn nữa, x không suy biến, x2 suy biến Còn hệ {A1, A2, A3} phụ thuộc tuyến tính (do A + A2 – 2A3 = O) nên x3 là PACB bài tốn Ví dụ Cho bài tốn qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc với điều kiện sau: 5,  3x1  x  x3  x  x  3x 5,    x3  x 6,  x1  x j  ( j 1, 2, 3, 4) (3.2) Xét xem véctơ x = (1, 0, 1, 3) có phải là phương án cực biên bài tốn hay khơng? Giải: Kiểm tra trực tiếp ta thấy véctơ x thỏa mãn (3.2) Vậy x là mợt phương án bài tốn Mặt khác, hệ véctơ cột  3 A1  2 ,  2  2 A3  3 ,    0 A4  0 1 độc lập tuyến tính (vì định thức A1, A3, A4 =  0) nên x là một PACB, lx không suy biến Ví dụ Tìm phương án cực biên khơng suy biến bài tốn qui hoạch tún tính với ràng buộc sau: 3x1 – 2x2 + 3x3 = 6, –x1 + 2x2 – x3 = 4, 12 Bài giảng Qui hoạch tuyến tính PGS-TS Lê Anh Vũ xj  0, j = 1, 2, Giải Bài tốn này có m = ràng ḅc chính và n = biến Một PACB không suy biến phải có đúng m = thành phần dương, tức là có đúng n – m = thành phần bằng Vì thế, lần lượt cho x1, x2, x3 = ta được: + Với x1 = 0, hệ phương trình cho ta x2 = 9/2; x3 = + Với x2 = 0, hệ phương trình vơ nghiệm + Với x3 = 0, hệ phương trình cho ta x1 = 5; x2 = 9/2 Như vậy, ta nhận được hai phương án bài toán: (0, 92 , 5) và (5, 92 , 0) Kiểm tra trực tiếp cho thấy hệ {A = (–2, 2)T, A3 = (3, –1)T} và {A1 = (3, –1)T, A2 = (–2, 2)T} là độc lập tuyến tính, nên hai phương án là PACB không suy biến (số thành phần dương bằng m = 2) Ví dụ Tìm phương án cực biên khơng suy biến bài toán qui hoạch tuyến tính với ràng buộc sau: x1 + x2 + x3 + x4 = 10, 2x2 + x3 – x4 = 6, xj  0, j = 1, 2, 3, Giải Bài tốn này có m = ràng ḅc chính và n = biến Một phương án cực biên không suy biến phải có đúng m = thành phần dương, tức là có đúng n – m = thành phần bằng Vì thế, lần lượt cho mỡi cặp biến x 1, x2, x3, x4 = ta được: + Với x1 = x2 = 0, hệ phương trình cho ta x3 = 8; x4 = + Với x1 = x3 = 0, hệ phương trình cho ta x2 = 16/3; x4 = 14/3 + Với x1 = x4 = 0, hệ phương trình vơ nghiêm (khơng có nghiệm khơng âm) + Với x2 = x3 = 0, hệ phương trình vơ nghiêm (khơng có nghiệm khơng âm) + Với x2 = x4 = 0, hệ phương trình cho ta x1 = 4; x3 = + Với x3 = x4 = 0, hệ phương trình cho ta x1 = 7; x2 = Như ta nhận được phương án sau đây: x1 = (0, 0, 8, 2); x2 = (0, 16 , 0, 14 ); x3 = (4, 0, 6, 0); x4 = (7, 3, 0, 0) Kiểm tra trực tiếp cho thấy phương án là PACB không suy biến (số thành phần dương bằng m = 2) 13 Bài giảng Qui hoạch tuyến tính PGS-TS Lê Anh Vũ BÀI TẬP Mợt xí nghiệp đóng tàu đánh cá cần đóng hai loại tàu 100 mã lực và 50 mã lực Trong xí nghiệp có ba loại thợ chính quyết định sản lượng kế hoạch Thợ rèn có 2000 cơng, thợ sắt có 3000 cơng và thợ mợc có 1500 cơng Định mức lao động cho mỗi loại tàu được cho bảng sau: Định mức tàu lao động Loại 100 mã lực 50 mã lực 150 120 80 70 50 40 Loại thợ Thợ sắt (3000) Thợ rèn (2000) Thợ mợc (1500) (cơng/sản phẩm) Hỏi xí nghiệp nên đóng tàu mỗi loại để đạt tổng số mã lực cao nhất? Mợt xí nghiệp sử dụng tối đa 510 máy cán, 360 máy tiện và 150 máy mài để chế tạo ba loại sản phẩm A, B và C Để chế tạo một đơn vị sản phẩm A cần máy cán, máy tiện, máy mài; một đơn vị sản phẩm B cần máy cán, máy tiện; một đơn vị sản phẩm C cần máy cán, máy tiện, máy mài Mỗi sản phẩm A trị giá 48 ngàn đồng, mỗi sản phẩm B trị giá 16 ngàn đồng và mỗi sản phẩm C trị giá 27 ngàn đồng Vấn đề đặt là xí nghiệp cần chế tạo đơn vị sản phẩm mỗi loại để tổng số giá trị sản phẩm xí nghiệp thu được là lớn nhất, với điều kiện không dùng số hiện có mỡi loại máy? Mợt xí nghiệp điện sản xuất quạt điện loại Cần cắt từ một loại tôn cánh quạt điện theo ba kiểu A, B, C Có mẫu cắt khác theo bảng sau: Kiểu cánh quạt A B C Mẫu cắt 0 1 1 0 0 Chỉ tiêu sản lượng sản phẩm xí nghiệp phải hoàn thành ít 4000 cánh quạt kiểu A, 5000 cánh quạt kiểu B và 3000 cánh quạt kiểu C Hỏi xí nghiệp có phương án cắt thế nào để có phế liệu ít ? 14 Bài giảng Qui hoạch tuyến tính PGS-TS Lê Anh Vũ Cần vận chuyển một loại hàng hoá từ ba xí nghiệp A 1, A2, A3 đến cửa hàng B1, B2, B3, B4 Lượng hàng có mỡi xí nghiệp, lượng hàng cần mỡi cửa hàng và chi phí vận chuyển đơn vị hàng từ mỗi xí nghiệp đến mỗi cửa hàng được cho bảng sau: Cửa hàng Chi phí Vận chuyển B2 B3 B1 B4 Khả Hàng hoá Xí nghiệp A1 A2 A3 Nhu cầu hàng hoá 1 5 20 25 30 15 40 30 30 Hãy lập kế hoạch vận chuyển cho tổng chi phí vận chuyển là bé ? Một trại chăn nuôi gia súc cần mua ba loại thức ăn tổng hợp T 1, T2, T3 Theo cơng thức chế biến :  kg T1 có đơn vị dinh dưỡng D1, đơn vị dinh dưỡng D2,  kg T2 có đơn vị dinh dưỡng D1, đơn vị dinh dưỡng D2,  kg T3 có đơn vị dinh dưỡng D1, đơn vị dinh dưỡng D2 Cho biết giá mua kg T1 là 15 ngàn đồng, kg T2 là 12 ngàn đồng, kg T3 là 10 ngàn đồng và mỗi bữa ăn cho gia súc cần tối thiểu 160 đơn vị dinh dưỡng D 1, 140 đơn vị dinh dưỡng D2 Vấn đề là tìm số lượng kg T 1, T2, T3 cần mua để chi phí mua thức ăn cho một bữa ăn gia súc là nhỏ nhất? a) Lập bài toán qui hoạch tuyến tính cho vấn đề nêu b) Đưa bài toán qui hoạch tuyến tính thu được dạng chính tắc Đưa dạng chính tắc (C) và dạng chính tắc chuẩn (N) bài toán qui hoạch tuyến tính sau: a) f(x) = 2x1 – x2  max, b) f(x) = 3x1 + x2  min, điều kiện điều kiện x1 – 2x2 + x3  2, 2x1 – 2x2 – x3  3, x1 + x2 + x3 = 4, x1  0, x3  0, x2 tuỳ ý x1  3, x1 + x2  4, 2x1 – x2 = 5, x1  0, x2  Viết bài toán qui hoạch tuyến tính sau dạng chính tắc (C): a) f(x) = 4x1 + 3x2 – 2x3  min, b) f(x) = 2x1 – 3x2 + x3  max, 15 Bài giảng Qui hoạch tuyến tính PGS-TS Lê Anh Vũ điều kiện điều kiện – x1 – x2 + 4x3 = 6, 2x1 + x2 – 3x3  8, 3x1 + 4x2 –2x3  3, 4x1 + 2x2 – x3  15, 5x1 + 2x2 – x3 = 10, –3x1 – 6x2 + 2x3  25, x1  0, x2  0, x3 tuỳ ý x1  0, x3  0, x2 tuỳ ý Tìm phương án cực biên khơng suy biến bài tốn qui hoạch tuyến tính với điều kiện ràng buộc sau đây: a) b) x1 -– x2 – x3 = 1, x1 + x2 + x3 = 3, xj  (j = 1, 2, 3) c) x1 + x2 + x3 = 10, 2x1 – x2 + 3x3 = 14, xj  (j = 1, 2, 3) x1 + x2 + x3 = 4, x1 – x2 = 0, xj  (j = 1, 2, 3) Dùng phương pháp hình học giải qui hoạch tuyến tính biến sau: a) f = –x1 + x2  max, b) f = 5x1 + 4x2  max, c) f = 5x1 + 3x2  max,  1, x1 + 2x2  8, 2x1 + x2  6, 3x1 + 2x2  6, x1 – 2x2  4, x1 – x2  0,  9, 3x1 + 2x2  12, 2x1 – x2  0, x1 + x2 3x1 + x2 x1  0, x2  x1  0, x2  16 x1  0, x2 