LÝ THUYẾT cơ BẢN về QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương trình bày cách xây dựng mơ hình quy hoạch tuyến tính tốn dạng đơn giản Đây kiến thức quan trọng để xây dựng mơ hình cho tốn phức tạp thực tế sau Các khái niệm ‘’ lồi’’ đuợc trình bày để làm sở cho phương pháp hình học giải quy hoạch tuyến tính Một ví dụ mở đầu trình bày cách trực quan để làm rõ khái niệm phương án tối ưu quy hoạch tuyến tính Nội dung chi tiết chương bao gồm : I- GIỚI THIỆU BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1- Bài tốn vốn đầu tư 2- Bài toán lập kế hoạch sản xuất 3- Bài toán vận tải II- QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT VÀ CHÍNH TẮC 1- Quy hoạch tuyến tính tổng quát 2- Quy hoạch tuyến tính dạng tắc 3- Phương án III- ĐẶC ĐIỂM CỦA TẬP HỢP CÁC PHƯƠNG ÁN 1- Khái niệm lồi tính chất 2- Đặc điểm tập phương án 3- Phương pháp hình học IV- MỘT VÍ DỤ MỞ ĐẦU V- DẤU HIỆU TỐI ƯU 1- Ma trận sở - Phương án sở - Suy biến 2- Dấu hiệu tối ưu LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH I- GIỚI THIỆU BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Có thể tạm định nghĩa quy hoạch tuyến tính lĩnh vực tốn học nghiên cứu toán tối ưu mà hàm mục tiêu (vấn đề quan tâm) ràng buộc (điều kiện toán) hàm phương trình bất phương trình tuyến tính Đây định nghĩa mơ hồ, toán quy hoạch tuyến tính xác định rõ ràng thơng qua ví dụ Các bước nghiên cứu ứng dụng tốn quy hoạch tuyến tính điển hình sau : a- Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập liệu b- Lập mơ hình tốn học c- Xây dựng thuật tốn để giải tốn mơ hình hố ngơn ngữ thuận lợi cho việc lập trình cho máy tính d- Tính tốn thử điều chỉnh mơ hình cần e- Áp dụng giải toán thực tế 1- Bài tốn vốn đầu tư Người ta cần có lượng (tối thiểu) chất dinh dưỡng i=1,2, ,m thức ăn j=1,2, ,n cung cấp Giả sử : aij số lượng chất dinh dưỡng loại i có đơn vị thức ăn loại j (i=1,2, ,m) (j=1,2, , n) bi nhu cầu tối thiểu loại dinh dưỡng i cj giá mua đơn vị thức ăn loại j Vấn đề đặt phải mua loại thức ăn để tổng chi phí bỏ mà đáp ứng yêu cầu dinh dưỡng Vấn đề giải theo mơ hình sau : Gọi xj ≥ (j= 1,2, ,n) số lượng thức ăn thứ j cần mua Tổng chi phí cho việc mua thức ăn : LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH z= n ∑c x j j = c x + c x + + c n x n j =1 Vì chi phí bỏ để mua thức ăn phải thấp nên yêu cầu cần thỏa mãn : z = n ∑c x j j = c1 x1 + c x + + c n x n j =1 Lượng dinh dưỡng i thu từ thức ăn : ai1x1 (i=1→m) Lượng dinh dưỡng i thu từ thức ăn : ai2x2 Lượng dinh dưỡng i thu từ thức ăn n : ainxn Vậy lượng dinh dưỡng thứ i thu từ loại thức ăn : ai1x1+ai2x2+ +ainxn (i=1→m) Vì lượng dinh dưỡng thứ i thu phải thỏa yêu cầu bi dinh dưỡng loại nên ta có ràng buộc sau : ai1x1+ai2x2+ +ainxn ≥ bi (i=1→m) Khi theo yêu cầu tốn ta có mơ hình tốn sau : z = n ∑c x j j = c1 x1 + c x + + c n x n j =1 ⎧a11 x + a12 x + + a1n x n ≥ b1 ⎪ ⎪a 21 x + a 22 x + + a 2n x n ≥ b ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪a m1 x + a m2 x + + a mn x n ≥ b m ⎪ ⎪⎩x j ≥ (j = 1,2, , n) 2- Bài toán lập kế hoạch sản xuất Từ m loại nguyên liệu có người ta muốn sản xuất n loại sản phẩm Giả sử : aij lượng nguyên liệu loại i dùng để sản xuất sản phẩm loại j (i=1,2, ,m) (j=1,2, , n) bi số lượng nguyên liệu loại i có cj lợi nhuận thu từ việc bán đơn vị sản phẩm loại j LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Vấn đề đặt phải sản xuất loại sản phẩm cho tổng lợi nhuận thu từ việc bán sản phẩm lớn điều kiện nguyên liệu có Gọi xj ≥ số lượng sản phẩm thứ j sản xuất (j=1,2, ,n) Tổng lợi nhuận thu từ việc bán sản phẩm : z= n ∑c x j j = c x + c x + + c n x n j=1 Vì yêu cầu lợi nhuận thu cao nên ta cần có : max z = n ∑c x j j = c1 x1 + c x + + c n x n j =1 Lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ ai1x1 Lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ ai2x2 Lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ n ainxn Vậy lượng nguyên liệu thứ i dùng để sản xuất sản phẩm ai1x1+ai2x2+ +ainxn Vì lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất loại sản phẩm vượt lượng cung cấp bi nên : ai1x1+ai2x2+ +ainxn ≤ bi (i=1,2, ,m) Vậy theo yêu cầu toán ta có mơ hình sau : max z = n ∑c x j j = c1 x1 + c x + + c n x n j =1 ⎧a11 x + a12 x + + a1n x n ≤ b1 ⎪ ⎪a 21 x + a 22 x + + a 2n x n ≤ b ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪a m1 x + a m2 x + + a mn x n ≤ b m ⎪ ⎪⎩x j ≥ (j = 1,2, , n) 3- Bài toán vận tải Người ta cần vận chuyển hàng hoá từ m kho đến n cửa hàng bán lẻ Lượng hàng hoá kho i si (i=1,2, ,m) nhu cầu hàng hoá cửa hàng j dj LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (j=1,2, ,n) Cước vận chuyển đơn vị hàng hoá từ kho i đến hàng j cij ≥ đồng Giả sử tổng hàng hố có kho tổng nhu cầu hàng hoá cửa hàng nhau, tức : m ∑ si = i =1 n ∑d j j =1 Bài toán đặt lập kế hoạch vận chuyển để tiền cước nhỏ nhất, với điều kiện cửa hàng nhận đủ hàng kho trao hết hàng Gọi xij ≥ lượng hàng hoá phải vận chuyển từ kho i đến cửa hàng j Cước vận chuyển chuyển hàng hoá i đến tất kho j : n ∑c ij x ij j =1 Cước vận chuyển tất hàng hoá đến tất kho : z= m n ∑∑c ij x ij i=1 j =1 Theo yêu cầu toán ta có mơ hình tốn sau : z = m n ∑∑c i=1 j=1 ij x ij ⎧m (j = 1,2, , n) ⎪∑ x ij = d j ⎨ i=1 ⎪x ≥ (i = 1,2, , m) (j = 1,1, , n) ⎩ ij II- QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT VÀ CHÍNH TẮC 1- Quy hoạch tuyến tính tổng qt Tổng qt tốn quy hoạch tuyến tính cụ thể trên, tốn quy hoạch tuyến tính mơ hình tốn tìm cực tiểu (min) cực đại (max) hàm mục tiêu tuyến tính với ràng buộc bất đẳng thức đẳng thức tuyến tính Dạng tổng quát tốn quy hoạch tuyến tính : LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH min/ max z = n ∑c x j =1 ⎧⎧ n ⎪⎪∑ a ij x j ⎪⎪ j=1 ⎪⎪⎪ n ⎪⎨∑ a ij x j ⎪⎪ j=1 ⎪⎪ n ⎨⎪∑ a ij x j ⎪⎪⎩ j=1 ⎪ ⎪⎧ x j ≥ ⎪⎪ ⎪⎨ x j ≤ ⎪⎪x tùy ⎩⎩ j j j = bi (i ∈ I1 ) ≤ bi (i ∈ I ) ≥ bi (i ∈ I ) ý ( j ∈ J1 ) (j ∈ J ) (j ∈ J ) (I) (II) (III) Trong : • (I) Hàm mục tiêu Là tổ hợp tuyến tính biến số, biểu thị đại lượng mà ta cần phải quan tâm tốn • (II) Các ràng buộc tốn Là phương trình bất phương trình tuyến tính n biến số, sinh từ điều kiện tốn • (III) Các hạn chế dấu biến số Người ta thường trình bày tốn quy hoạch tuyến tính dạng ma trận sau : ⎡x ⎤ ⎢ ⎥ ⎢x ⎥ x=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢x ⎥ ⎣ n⎦ ⎡a11 a12 a1n ⎤ ⎢ ⎥ ⎢a 21 a 22 a 2n ⎥ ⎥ A = [a ij ] = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢a ⎥ a a m2 mn ⎦ ⎣ m1 ⎡c ⎤ ⎢ ⎥ ⎢c ⎥ c=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢c ⎥ ⎣ n⎦ Gọi (i=1→m) dòng thứ i ma trận A, ta có : 10 ⎡b1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢b ⎥ b=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢b ⎥ ⎣ m⎦ LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH min/max z( x ) = c T x ⎧⎧a i x = b i ⎪⎪ ⎪⎨a i x ≤ b i ⎪⎪a x ≥ b i ⎪⎩ i ⎨ ⎪⎧ x j ≥ ⎪⎪ x ≤ ⎪⎨ j ⎪⎪⎩x j tùy ý ⎩ (I) (i ∈ I1 ) (i ∈ I ) (II) (i ∈ I ) ( j ∈ J1 ) (j ∈ J ) (j ∈ J ) (III) Người ta gọi : - A ma trận hệ số ràng buộc - c vectơ chi phí (cT chuyển vị c) - b vectơ giới hạn ràng buộc 2- Quy hoạch tuyến tính dạng tắc Bài tốn quy hoạch tuyến tính tắc tốn quy hoạch tuyến tính mà ràng buộc có dấu = biến số không âm min/max z = n ∑c x j (I) j j =1 ⎧n (i = 1,2, , m) ⎪⎪∑ a ij x j = b i j =1 ⎨ ⎪ (j = 1,2, , n) ⎪⎩x j ≥ min/max z( x ) = c T x ( m≤ n ) (II) (III) (I) ⎧⎪Ax = b ⎨ ⎪⎩x ≥ (II) rang(A)=m (III) Người ta biến đổi tốn quy hoạch tuyến tính dạng tổng qt thành tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc nhờ quy tắc sau : - Nếu gặp ràng buộc i có dạng ≤ người ta cộng thêm vào vế trái ràng buộc biến phụ xn+i ≥ để dấu = 11 LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH - Nếu gặp ràng buộc i có dạng ≥ người ta trừ vào vế trái ràng buộc biến phụ xn+i ≥ để dấu = Các biến phụ đại lượng giúp ta biến ràng buộc dạng bất đẳng thức thành đẳng thức, phải khơng ảnh hưởng đến hàm mục tiêu nên không xuất hàm mục tiêu - Nếu biến xj ≤ ta đặt xj = -x’j với x’j ≥ thay vào tốn - Nếu biến xj tuỳ ý ta đặt x j = x ′j − x ′j′ với x ′j , x ′j′ ≥ thay vào toán - Trong trường hợp số ràng buộc có dịng mà vế phải dịng giá trị âm đổi dấu hai vế để vế phải giá trị không âm Dựa vào phép biến đổi mà người ta nói tốn quy hoạch tuyến tính tắc tốn quy hoạch tuyến tính mà ràng buộc có dấu = , vế phải biến số không âm Ví dụ : Biến đổi tốn quy hoạch tuyến tính sau dạng tắc : z( x ) = 2x − x + x + x − x ⎧⎧ x − x + x + x + x ≤ ⎪⎪ ⎪⎪x + x + x ≥ −1 ⎪⎪⎨ ⎪⎪2 x + x + 3x ≥ 10 ⎪⎪ ⎪⎪x + x − x + x = 20 ⎨⎩ ⎪ ⎪⎧ x , x ≥ ⎪⎪ ⎪⎪⎨x ≤ ⎪⎪ ⎪⎪x , x tùy ý ⎩⎩ Bằng thay : x = − x ′4 x = x ′2 − x ′2′ (x ′4 ≥ 0) (x ′2 , x ′2′ ≥ 0) x = x ′3 − x ′3′ (x ′3 , x ′3′ ≥ 0) ta : 12 LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH z( x ) = x − ( x ′2 − x ′2′ ) + 2( x ′3 − x ′3′ ) − x ′4 − x ⎧x − 2( x ′2 − x ′2′ ) + ( x ′3 − x ′3′ ) − x ′4 + x + x = ⎪ ′ ⎪( x − x ′2′ ) + 2( x ′3 − x ′3′ ) + x − x = −1 ⎨ ⎪2( x ′3 − x ′3′ ) − x ′4 + 3x − x = 10 ⎪x + ( x ′ − x ′′ ) − 2( x ′ − x ′′ ) − x ′ = 20 2 3 ⎩ x , x , x , x , x , x ′2 , x ′2′ , x ′3 , x ′3′ , x ′4 ≥ hay : z( x ) = x − ( x ′2 − x ′2′ ) + 2( x ′3 − x ′3′ ) − x ′4 − x ⎧x − 2( x ′2 − x ′2′ ) + ( x ′3 − x ′3′ ) − x ′4 + x + x = ⎪ ⎪− ( x ′2 − x ′2′ ) − 2( x ′3 − x ′3′ ) − x + x = ⎨ ⎪2( x ′3 − x ′3′ ) − x ′4 + 3x − x = 10 ⎪x + ( x ′ − x ′′ ) − 2( x ′ − x ′′ ) − x ′ = 20 2 3 ⎩ x , x , x , x , x , x ′2 , x ′2′ , x ′3 , x ′3′ , x ′4 ≥ 3- Phương án Xét toán quy hoạch tuyến tính tắc : min/max z( x ) = c T x ⎧Ax = b ⎨ ⎩x ≥ • (P) x=[x1 x2 xn] T phương án (P) Ax = b • x=[x1 x2 xn] T phương án khả thi (P) Ax = b x ≥ • Một phương án tối ưu (P) phương án khả thi (P) mà giá trị hàm mục tiêu tương ứng đạt min/max 13 LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH III- ĐẶC ĐIỂM CỦA TẬP HỢP CÁC PHƯƠNG ÁN 1- Khái niệm lồi tính chất a- Tổ hợp lồi - Cho m điểm xi không gian Rn Điểm x gọi tổ hợp lồi điểm xi : m x = ∑ α i x i = α x + α x + + α m x m i =1 α , α , , α n ≥ α + α + + α n = - Khi x tổ hợp lồi hai điểm x1, x2 người ta thường viết : x=λx1+(1-λ)x2 (0≤λ≤1) Nếu 0 Dựa vào cs người ta xây dựng vectơ x sau : ⎡ x = x B* − B −1Nx N ⎤ x=⎢ B ⎥ ⎣ x N = θI s ≥ ⎦ Trong θ>0 Is vectơ có (n-m) thành phần 0, trừ thành phần thứ s Vậy ⎡ x N = θI s ≥ ⎤ x=⎢ ⎥ * −1 −1 −1 ⎣ x B = x B − B NθI s = B b − B NθI s ⎦ (*) Do B-1b ≥ nên người ta chọn θ>0 đủ nhỏ để xB > Vậy x chọn thoả : x≥0 (3) Ta kiểm chứng x thỏa ràng buộc toán cách tính : Ax ⎡x ⎤ = [B N] ⎢ B ⎥ = Bx B + Nx N ⎣x N ⎦ ( = B( B ) = B x B* − B −1NθI s + NθI s −1 ) b − B −1NθI s + NθI s = BB −1b − BB −1NθI s + NθI s = b − NθI s + NθI s =b (4) Từ (3) (4) cho thấy x phương án khả thi toán Bây ta mâu thuẩn so sánh giá trị hàm mục tiêu x x* Ta có : z(x) = cTx [ = c BT ⎡x ⎤ c NT ⎢ B ⎥ = c BT x B + c NT x N ⎣x N ⎦ ] ( ) = c BT x B* − B −1Nx N + c NT x N = c BT x B* − c BT B −1Nx N + c NT x N = c BT x B* + c NT x N* − c BT B −1Nx N + c NT x N [ = c BT ⎡x * ⎤ c NT ⎢ B* ⎥ + c NT − c BT B −1N x N ⎣x N ⎦ ] ( ( ) ) = c T x * + c NT − c BT B −1N θI s 26 (vì c NT x N* = 0) LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH T T = c T x * + c N θI s = c T x * + c N I s θ = z(x*) + c s θ > z(x*) ( c s θ > ) Vậy x* phương án tối ưu nên mâu thuẩn với giả thiết Chú ý Qua việc chứng minh định lý dấu hiệu tối ưu ta thấy từ phương án sở khả thi chưa tối ưu tìm phương án khả thi lúc tốt nhờ lặp lại nhiều lần công thức (*) Vấn đề đặt đại lượng θ chọn để nhanh chóng nhận phương án tối ưu Bổ đề Xét toán quy hoạch tuyến tính tắc max z( x ) = c T x ⎧Ax = b ⎨ ⎩x ≥ với B sở khả thi x0 phương án sở tương ứng, tức ⎡ x = B −1b ≥ ⎤ x = ⎢ B0 ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ x N = z(x ) = c BT B −1b T Xét c N = c NT − c BT B −1N Nếu tồn biến sở xs cho c s >0 với c s thành phần thứ s c N : a- Hoặc người ta làm tăng cách vô hạn giá trị xs mà không khỏi tập hợp phương án khả thi, trường hợp phương án tối ưu tốn khơng giới nội ∧ b- Hoặc người ta xác định sở khả thi khác B có phương án sở ∧ khả thi x tương ứng với tốt , tức : ∧ z(x0) < z( x ) Chứng minh Trong trình chứng minh định lý dấu hiệu tối ưu ta có phương án xác định sau : ⎡ x N = θI s ≥ ⎤ x=⎢ ⎥ −1 −1 −1 * ⎣ x B = x B − B NθI s = B b − B NθI s ⎦ 27 LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Ký hiệu : N = B −1N N s cột s N b = B −1 b ⎡x = b − θ Ns ⎤ Như ta có : x = ⎢ B ⎥ ⎣⎢ x N = θI s ⎦⎥ Hai trường hợp xảy sau : a- Trường hợp N s ≤ Trong trường hợp xs nhận giá trị θ lớn tuỳ mà đảm bảo xB ≥ 0, nghĩa x ln ln thoả ≥ Khi biết giá trị hàm mục tiêu tương ứng z(x) [ = c BT ⎡x B ⎤ c NT ⎢ ⎥ = c BT x B + c NT x N ⎣x N ⎦ ] ( ) = c BT B −1b − B −1NθI s + c NT θI s = c BT B −1b − c BT B −1NθI s + c NT θI s ( ) = z( x ) + c NT − c BT B −1N θI s T = z( x ) + c N θI s = z(x0) + c s θ với c s θ lớn vơ hạn giá trị hàm mục tiêu khơng giới nội b- Trường hợp tồn i=1→m cho N is > ( N is > thành phần thứ i N s ) Trong trường hợp giá trị θ>0 mà xs nhận khơng thể tăng vơ hạn phải đảm bảo xB>0 Giá ∧ trị lớn θ θ mà xs nhận xác định sau : ∧ ⎧ bi θ = ⎨ , Nis > ⎩Nis (∀i = → m) ⎫ br 0⎬ = ⎭ Nrs Phương án sở khả thi có thành phần sau : ∧ ⎡∧ ⎤ x B = b − θ Ns ⎢ ⎥ x= ∧ ∧ ⎢ ⎥ ⎢⎣ x N = θ I s ⎥⎦ ∧ 28 LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH giá trị hàm mục tiêu tương ứng : ∧ ∧ z( x) = z( x ) + θ c s > z( x ) Ghi : ∧ Trong trường hợp tốn khơng suy biến, θ xác định cách ∧ phương án x có m thành phần khác Thật : - Biến xs phương án x0 trở thành dương thật ˆ xs = θ - Biến xr dương thật nhận giá trị : ∧ br ∧ x r = b r − θ Nrs = b r − Nrs Nrs = b r − b r = ∧ ∧ Vậy phương án x phương án sở Nó tương ứng với sở B suy từ B cách thay cột r cột s ∧ Người ta nói hai sở B B kề nhau, chung tương ứng với điểm cực biên kề tập hợp lồi S phương án khả thi toán CÂU HỎI CHƯƠNG 1- Trình bày bước nghiên cứu quy hoạch tuyến tính 2- Định nghĩa quy hoạch tuyến tính tắc 3- Trình bày khái niệm phương án quy hoạch tuyến tính 4- Trình bày sở lý thuyết phương pháp hình học giải quy hoạch tuyến tính hai biến 29 LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH BÀI TẬP CHƯƠNG 1- Một nhà máy cán thép sản xuất hai loại sản phẩm : thép thép cuộn Nếu sản xuất loại sản phẩm nhà máy sản xuất 200 thép 140 thép cuộn Lợi nhuận thu bán thép 25USD, thép cuộn 30USD Nhà máy làm việc 40 tuần thị trường tiêu thụ tối đa 6000 thép 4000 thép cuộn Vấn đề đặt nhà máy cần sản xuất loại sản phẩm tuần để đạt lợi nhuận cao Hãy trình bày tốn quy hoạch tuyến tính cho vấn đề 2- Có người phải quảng đường dài 10km mà có xe đạp chổ ngồi Tốc độ người thứ 4km/h, người thứ hai 2km/h, người thứ ba 2km/h Tốc độ xe đạp người thứ 16km/h, người thứ hai 12km/h, người thứ ba 12km/h Vấn đề đặt để thời gian người cuối đến đích ngắn Hãy trình bày tốn quy hoạch tuyến tính cho vấn đề 3- Một nhà máy sản xuất ba loại thịt : bò, lợn cừu với lượng sản xuất ngày 480 thịt bò, 400 thịt lợn, 230 thịt cừu Mỗi loại bán dạng tươi nấu chín Tổng lượng loại thịt nấu chín để bán 420 30 LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 250 Lợi nhuận thu từ việc bán loại thịt cho bảng sau : Tươi 4 Bò Lợn Cừu Nấu chín 14 12 13 Nấu chín ngồi 11 Hãy trình bày tốn quy hoạch tuyến tính để nhà máy sản xuất đạt lợi nhuận cao 4- Một xưởng mộc làm bàn ghế Một công nhân làm xong bàn phải giờ, ghế phải 30 phút Khách hàng thường mua nhiều ghế kèm theo bàn tỷ lệ sản xuất ghế bàn nhiều 4:1 Giá bán bàn 135USD, ghế 50USD Hãy trình bày tốn quy hoạch tuyến tính để xưởng mộc sản xuất đạt doanh thu cao nhất, biết xưởng có cơng nhân làm việc ngày 5- Một nhà máy sản xuất hai kiểu mũ Thời gian để làm mũ kiểu thứ nhiều gấp lần thời gian làm kiểu thứ hai Nếu sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai nhà máy làm 500 ngày Hàng ngày, thị trường tiêu thụ nhiều 150 mũ kiểu thứ 200 kiểu thứ hai Tiền lãi bán mũ kiểu thứ 8USD, mũ thứ hai 5USD Hãy trình bày tốn quy hoạch tuyến tính để nhà máy sản xuất đạt lợi nhuận cao 6- Trong hai tuần gà mái đẻ 12 trứng ấp trứng nở gà Sau tuần bán tất gà trứng với giá 0,6USD gà 0,1USD trứng Hãy trình bày tốn quy hoạch tuyến tính bố trí 100 gà mái đẻ trứng ấp trứng cho doanh thu nhiều 7- Giải tốn quy hoạch tuyến tính sau phương pháp hình học : 31 LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH max z = x − x a)- w = − x + x ⎧3x + x ≥ ⎪ ⎪x + x ≥ ⎪ ⎪ ⎨x − x ≤ ⎪ ⎪x ≤ ⎪ ⎪⎩x ≤ b)- w = -2x − x max z = 5x + x c)- ⎧x − x ≥ ⎪ ⎨− x + x ≥ ⎪x , x ý ⎩ d)- ⎧2x + x ≤ ⎪⎪ ⎨3x + x ≥ ⎪ ⎪⎩x , x ≥ f)- min/ max z(x) = x + 3x g)- ⎧x + x ≤ ⎪⎪ ⎨x − x ≥ ⎪ ⎪⎩x , x ≥ max z = 3x − x max z = 3x + x e)- ⎧− x − x ≤ ⎪ ⎪x − x ≤ ⎨ ⎪− x + x ≤ ⎪x , x ≤ ⎩ ⎧2x − 3x ≥ −12 ⎪ ⎪2x + 3x ≤ 24 ⎪ ⎨3x − x ≤ 14 ⎪x + x ≥ ⎪ ⎪⎩2x + x ≥ x1 , x ≥ 32 ⎧ x − x ≥ −4 ⎪ ⎪2x + x ≤ 14 ⎪ ⎨x ≤ ⎪x ≤ ⎪ ⎪⎩x , x ≥ ... n ∑c x j j = c1 x1 + c x + + c n x n j =1 ⎧a 11 x + a12 x + + a1n x n ≥ b1 ⎪ ⎪a 21 x + a 22 x + + a 2n x n ≥ b ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪a m1 x + a m2 x + + a mn x n ≥ b m ⎪ ⎪⎩x j ≥ (j = 1, 2, , n) 2- Bài... n ∑c x j j = c1 x1 + c x + + c n x n j =1 ⎧a 11 x + a12 x + + a1n x n ≤ b1 ⎪ ⎪a 21 x + a 22 x + + a 2n x n ≤ b ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪a m1 x + a m2 x + + a mn x n ≤ b m ⎪ ⎪⎩x j ≥ (j = 1, 2, , n) 3- Bài... nghịch đảo B -1 ⇒ ⎧⎪Bx B + Nx N = b ⎨ ⎪⎩x B ≥ xN ≥ ⇒ ⎧⎪B -1Bx B + B -1Nx N = B -1b ⎨ ⎪⎩x B ≥ xN ≥ 24 (B -1B = I) LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ⇒ ⎧⎪x B + B -1Nx N = B -1 b ⎨ ⎪⎩x B ≥