Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán học chương 3 phan văn tân

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Phan Văn Tân Bộ mơ Khí tượng 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.1 Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên • Kết ngẫu nhiên phép thử đặc trưng định tính kiện ngẫu nhiên o • • Mơ tả lời: A={ Đồng tiền nhận mặt sấp } Để đặc trưng định lượng cho kết ngẫu nhiên phép thử người ta dùng khái niệm đại lượng ngẫu nhiên Các định nghĩa: o o Một đại lượng nhận giá trị với xác suất tương ứng gọi đại lượng ngẫu nhiên Đại lượng ngẫu nhiên đại lượng mà tiến hành loạt phép thử điều kiện lần nhận giá trị giá trị khác hồn tồn khơng biết trước 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.1 Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên • Cách gọi: o • Nhiều đại lượng ngẫu nhiên cịn gọi biến ngẫu nhiên Ỵ Hai cách gọi tương đương Ký hiệu: o o Thông thường đại lượng ngẫu nhiên (hay biến ngẫu nhiên) ký hiệu chữ Latinh in hoa: X, Y, Z,…, ký tự Hylạp: ξ, η, ζ,… Các giá trị đại lượng ngẫu nhiên (các giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên nhận) ký hiệu chữ Latinh in thường tương ứng: x, y, z,… 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.1 Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên • Phân loại: o Căn vào tập giá trị đại lượng ngẫu nhiên người ta phân biệt hai loại đại lượng ngẫu nhiên Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Tập hợp giá trị có hữu hạn vơ hạn đếm • o Ví dụ: Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số điểm nhận gieo xúc xắc Vậy X={1,2,3,4,5,6} hay x1=1, x2=2,…, x6=6 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Tập hợp giá trị lấp đầy khoảng trục số trục số, tức tập hợp vơ hạn khơng đếm • Ví dụ: Gọi Y đại lượng ngẫu nhiên nhiệt độ khơng khí (oC) đo Hà Nội Vậy Y={y, y∈[-10; 50]} 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc • Xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X mà giá trị tập {x1, x2,…, xn,…} với P(X=xi) = pi, i=1,2,… o o • Để mơ tả biến ngẫu nhiên rời rạc X ta sử dụng bảng phân bố xác suất sau X x1 x2 xi … xn P p1 p2 pi … pn Trong Σpi = 1, pi ≥ ∀i=1,2,… Ví dụ 1: Gieo đồng thời hai đồng tiền giống hệt Gọi X biến ngẫu nhiên số lần xuất mặt sấp Hãy lập bảng phân bố X o o o o Giải: Số lần xuất mặt sấp 0, 2, X={0,1,2} Gọi Ai đồng tiền thứ i xuất mặt sấp (i=1,2), P(Ai)=0.5 Sự kiện X=0: A1 A2 X=1: A1 A2 A1 A2 Sự kiện X=2: A1 A2 Vì Ai độc lập nhau: P(X=0)=0.5x0.5, P(X=1)=2x(0.5x0.5), P(X=2)=0.25 Î X P 0.25 0.5 0.25 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc • Ví dụ 2: Một xạ thủ có viên đạn Anh ta bắn phát trúng mục tiêu hết viên thơi Hãy lập bảng phân bố xác suất số đạn chi phí, biết xác suất trúng đích phát 0.8 o o o o Giải: Gọi X biến ngẫu nhiên số đạn chi phí Vậy X={ 1, 2, } Sự kiện X = 1: Bắn phát thứ trúng đích (do khơng bắn tiếp nữa), Ỵ P(X=1) = p1= 0.8 Sự kiện X = 2: Bắn phát thứ trượt phát thứ hai trúng, P(X=2)= p2 = (1-0.8)0.8 = 0.16 Sự kiện X = 3: Bắn phát thứ thứ hai trượt (do cần bắn phát thứ ba), P(X=3) = p3 = (1-0,8)2 = 0,04 X P 0.8 0.16 0.04 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc • Ví dụ 3: Tiến hành n phép thử độc lập, xác suất xuất kiện A phép thử không đổi p Gọi X biến ngẫu nhiên số lần xuất kiện A n phép thử Hãy lập bảng phân bố xác suất X o o o Giải: Ta có X={ 0, 1, 2, 3,…, n } Xác suất kiện X=k (0 ≤ k ≤ n) tính theo cơng thức Bernoulli pk = P ( X = k ) = Pn ( k ) = Cnk p k (1 − p ) n −k , k = 0,1, , n Từ X … k … n P Cn0 p q n −0 Cn1 p1q n −1 … Cnk p k q n −k (q = 1-p) n Để ý đến hệ thức n ( a + b) = ∑ Cnk a k bn −k nhị thức Newton k =0 … Cnn p n q n −n ta có đẳng thức n n ∑ p = ∑C k =0 k k =0 k n p k q n −k = ( p + q)n = 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.3 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục • Xét đại lượng ngẫu nhiên X mà giá trị lấp đầy khoảng trục số Khi X đại lượng ngẫu nhiên liên tục o o Để mô tả biến ngẫu nhiên liên tục X ta sử dụng khái niệm hàm mật độ (hay hàm mật độ xác suất) Hàm f(x) gọi hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục X thỏa mãn hai điều kiện sau: 1) f ( x ) ≥ , ∀ x ∈ ( −∞ , + ∞ ) +∞ 2) ∫ f ( x ) dx = −∞ o Khi đó, xác suất để X nhận giá trị khoảng (a,b) xác định b P (a < X < b) = ∫ f ( x ) dx a 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.3 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục • Ví dụ: Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên X có dạng a ≤ x ≤ b x < a, x > b ⎧c f ( x) = ⎨ ⎩0 Hãy xác định giá trị c +∞ o ∫ Giải: Theo định nghĩa, f ( x ) dx = −∞ o o Ta có: Vậy, +∞ b b −∞ a a ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = ∫ cdx = c(b − a ) = c= b−a 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Hàm phân bố • Định nghĩa: Hàm phân bố biến ngẫu nhiên X hàm biến x xác định F(x) = P(X < x) o Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm phân bố F(x) có dạng F ( x) = ∑ P( X = x ) = ∑ p i xi < x o xi < x i Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục, F(x) xem xác suất để gieo điểm ngẫu nhiên điểm rơi vào nửa bên trái trục số x (hình vẽ) x 10:10:14 ... x1=0, x2=1, x3=2, x4 =3 Khi đó: p1 = P(X=x1)=P(X=0) = C30(0.4)0( 1-0 .4 )3= 0.216 p2 = P(X=x2)=P(X=1) = C31(0.4)1( 1-0 .4)2= 0. 432 X 2 p3 = P(X=x3)=P(X=2) = C3 (0.4) ( 1-0 .4) = 0.288 P 0.216 0. 432 0.288... Hãy xác định tứ vị X Giải: Ta có x0.25: F(x0.25)=(x0.25-a)/(b-a)=0.25 Ỵ x0.25=a+(b-a)/4 x0.5: F(x0.5)=(x0.5-a)/(b-a)=0.5 Ỵ x0.5=a+(b-a)/2 x0.75: F(x0.75)=(x0.75-a)/(b-a)=0.75 Ỵ x0.75=a +3( b-a)/4... =M[(X-M[X])2 + (Y-M[Y])2 ± 2(X-M[X])(Y-M[Y])] = = M[(X-M[X])2] + M[(Y-M[Y])2] ± 2M[(X-M[X])(Y-M[Y])] =D[X] =D[Y] =0 X Y độc lập Ỵ D[X±Y] = D[X] + D[Y] 10:10:14 Chương ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ