Chương 2 _ Lý thuyết về hệ lực

-15Ch−¬ng Lý thut vỊ hƯ lùc Trong tÜnh häc có hai toán bản: thu gọn hệ lực xác định điều kiện cân hệ lực Chơng giới thiệu nội dung hai toán nói 2.1 Đặc trng hình học hệ lực Hệ lực có hai đặc trng hình học véc tơ mô men chÝnh 2.1.1 VÐc t¬ chÝnh r r r XÐt hƯ lùc ( F1 , F2 , Fn ) t¸c dụng lên vật rắn (hình 2.1a) Véc tơ hệ lực véc tơ tổng hình học véc tơ biểu diễn lực hệ (hình 2.1b) r F2 r F1 r b F2 r F3 a c O m r F1 r F3 r Fn r R n r R r Fn a/ H×nh 2.1 r r r r R = F1 + F2 + Fn = n r ∑F i b/ (2-1) i= r Hình chiếu véc tơ R lên trục toạ độ oxyz đợc xác định qua hình chiếu lực hÖ: r R x = x1 + x2 + + xn = n ∑Xi; i= -16r R y = y1 + y2 + + yn = r R z = z1 + z2 + +zn = n ∑Yi; i= n ∑Zi i= Tõ ®ã cã thĨ xác định độ lớn, phơng, chiều véc tơ theo c¸c biĨu thøc sau: r R = R 2x + R y + R 2z ; cos(R,X) = Rx ; R cos(R,Y) = Ry R ; cos(R,Z) = Rz R Véc tơ véc tơ tự 2.1.2 Mô men hệ lực Véc tơ mô men hệ lực tâm O véc tơ tổng véc tơ mô men lực hệ lấy tâm O (hình 2.2) Nếu ký hiệu mô men r M o ta cã r Mo = r r m o( F i) ∑ n (2 -2) i= • r F1 A1 r z1 m2 r M0 r m 30 r m 20 r z2 A2 r F2 r z3 r m 10 O A3 r F3 H×nh 2.2 r Hình chiếu véc tơ mô men M o trục toạ độ oxyz đợc xác định qua mô men lực hệ lấy trơc ®ã: -17r r r r r r r r r ∑mx( F i); i= r n My = my( F1 ) + my( F2 ) + + my( Fn ) = Mz = mz( F1 ) + mz( F2 ) + +mz( Fn ) = r n Mx = mx( F1 ) + mx( F2 ) + + mx( Fn ) = ∑my( F i); i= r n mz( F i) i= Giá trị phơng chiều véc tơ mô men đợc xác định theo c¸c biĨu thøc sau: Mo = M x + M y + M z cos(Mo,x) = Mx ; Mo cos(Mo,y) = r My Mo ; cos(Mo,z) = Mz Mo r Khác với véc tơ R véc tơ mô men M o véc tơ buộc phụ thuộc vào tâm O Nói cách khác véc tơ đại lợng bất biến véc tơ mô men đại lợng biến ®ỉi theo t©m thu gän O 2.2 Thu gän hƯ lực Thu gọn hệ lực đa hệ lực dạng đơn giản Để thực thu gọn hệ lực trớc hết dựa vào định lý rời lực song song trình bày dới 2.2.1 Định lý 2.1 : Tác dụng lực lên vật rắn không thay ®ỉi nÕu ta rêi song song nã tíi mét ®iĨm đặt khác vật thêm vào ngẫu lùc phô r F r F' A B d r F '' Hình 2.3 -18có mô men mô men lực đà cho lấy điểm cần rời đến r Chứng minh: Xét vật rắn chịu tác dụng lực F đặt A Tại điểm B vật r r r đặt thêm cặp lực cân ( F ', F '') r r r ®ã F ' = F cßn F '' = - F (xem hình 2.3) r r r r Theo tiên ®Ò cã: F ∼ ( F , F ', F '') r r r r r HÖ ba lùc ( F , F ', F '') cã hai lùc ( F , F '') tạo thành ngẫu lực cã m« r r men m = m B(F) (theo định nghĩa mô men ngẫu lực) r r r r Ta đà chứng minh đợc F F ' + ngÉu lùc ( F , F '') 2.2.2 Thu gọn hệ lực tâm a Định lý 2.2: Hệ lực luôn tơng đơng với lực véc tơ đặt điểm O chọn tuỳ ý ngẫu lực có mô men mô men hệ lực tâm O r r r Chứng minh: Cho hệ lùc bÊt kú ( F1 , F2 , , Fn ) tác dụng lên vật rắn Chọn điểm O tuỳ ý vật, áp dụng định lý rời lực song song đa lực hệ r r r đặt O Kết cho ta hệ lực ( F1 , F2 , , Fn )o đặt O hệ ngẫu lực r r r r r r r r r phụ có mô men m = m o( F1 ) , m = m o( F2 ), m n = m o( Fn ) (hình 2.4) r r r Hợp đôi lực nhờ tiên đề đa hệ lùc ( F1 , F2 , Fn )o vÒ tơng r đơng với lực R Cụ thể cã: r r r r r r r r r F1 ( F1 , F2 ) ∼ R ®ã R = F1 + F2 r r r A1 M = Mo r m 20 r m 30 r ( R 1, F ) ∼ R ®ã R = R + F = r r r F1 + F2 + F r r r ( R (n-1), Fn ) ∼ R r A2 F2 A3 r F1 r m 10 O r r R F2 r F3 H×nh 2.4 r F3 -19r r r ®ã R = R (n-2) + Fn = n r ∑F i i= r r Hợp lực R lực đặt O véc tơ R hệ lực Các ngÉu lùc phơ cịng cã thĨ thay thÕ b»ng mét ngẫu lực tổng hợp theo cách lần lợt hợp đôi ngẫu lực nh đà trình bày chơng NgÉu lùc tỉng r hỵp cđa hƯ ngÉu lùc phơ cã m« men M o = n r r ∑ m o( F i) Đây mô men i= hệ lực đà cho tâm O Theo định lý 2.2, trờng hợp tổng quát thu gän hƯ lùc vỊ t©m O bÊt kú ta đợc véc tơ mô men Véc tơ tổng hình học lực hệ đại lợng không đổi mô men tổng mô men lực hệ lấy tâm thu gọn đại lợng biến đổi theo tâm thu gọn Để xác định quy luật biến đổi mô men tâm thu gọn khác ta thực thu gọn hệ lực hai tâm O O1 (hình 2.4a) Thực thu gọn hệ tâm O ta r r r M0 đợc R M o r R0 r R 01 r M 01 Trªn vật ta lấy tâm O1 khác O r sau ®ã rêi lùc R o vỊ O1 ta ®−ỵc O O1 r r r r R o ∼ R o1 + ngÉu lùc ( R o , R 'o1) r r r R '01 r Suy ( R o, M o) ∼ R o1 + ngÉu lùc r r H×nh 2.4a r ( R o , R 'o1) + M o r r NÕu thu gän hƯ vỊ O1 ta đợc M o1 R o1 Điều tất nhiên phải có : r r r r ( R o, M o) ∼ ( R o1 , M o1 ) Thay kết chứng minh ta cã: -20r r r r r r r ( R o, M o) ∼ Ro1 +( R o, R 'o1) + Mo ∼ ( R o +Mo1) r r hay M 01 ∼ M o + ( R o, R '01) r r (2.3) r NgÉu lùc ( R o, R 01) cã m« men M ' =mo1.(Ro) KÕt luËn: Khi thay đổi tâm thu gọn véc tơ mô men thay đổi đại lợng M' mô men véc tơ đặt tâm trớc lấy tâm sau 2.2.3 Các dạng chuẩn hệ lực Kết thu gọn hệ lực tâm xẩy trờng hợp sau 2.2.3.1 Véc tơ mô men không r R =0; r Mo=0 Hệ lực khảo sát cân 2.2.3.2 Véc tơ không mô men khác không r R = 0; r Mo0 Hệ lực tơng đơng với ngẫu lực có mô men mô men 2.2.3.3 Véc tơ khác không mô men chÝnh b»ng kh«ng r r R ≠ 0; M o = HƯ cã mét hỵp lùc b»ng vÐc tơ 2.2.3.4 Véc tơ mô men khác không nhng vuông góc với (hình 2.5) r r r r R ≠ 0; M o ≠ vµ R ⊥ M o r r r Trong trờng hợp thay mô men M o b»ng ngÉu lùc ( R ', R '') víi ®iỊu kiÖn: r r r r r r r R ' = R ; R '' = - R vµ M o = m o( R ') r Mo rn Ro r r Mo r Ro O O d r r O' R O' R P P' O -21- r r r r r Ta cã ( R , M o) ∼ ( R , R ', R '' ) r r Theo tiên đề R o R '' cân bớt cuối hệ lại lực véc tơ nhng đặt O1 Nói khác hệ có hợp lực đặt O1 2.2.3.5 Hai véc tơ mô men khác không nhng song song với (h×nh 2.6) r r r r R o ≠ 0; M o ≠ vµ R o // M o r r r Trong trờng hợp thay M o b»ng mét ngÉu lùc ( P P ') mặt phẳng r ngẫu vuông góc với véc tơ R r Hệ đợc gọi hệ vít động lực Nếu véc tơ R song song chiều với r véc tơ M o hệ gọi hệ vít động lực thuận (phải) ngợc lại gọi hệ vít động lực nghịch (trái) Hình 2.6 biểu diễn vít động lực thuận 2.2.3.6 Hai véc tơ mô men khác không hợp lực với góc (hình 2.7) Trờng hợp nµy nÕu thay thÕ r r r r M0 vÐc t¬ M o b»ng mét ngÉu lùc ( P P ') r cólực P đặt O lực r r P ' đặt O1 cho mo(P) = M o Rõ ràng mặt phẳng tác dụng cđa r r ngÉu lùc ( P P ') kh«ng vuông góc với r R o Mặt khác O hợp hai r r r lực P R o thµnh mét lùc R ' Nh− O1 r P' r P r R' ϕ r R0 H×nh 2.7 -22r r đà đa hệ tơng đơng với hai lùc P ', R ' hai lùc nµy chÐo 2.2.4 Định lý Va ri nhông r r Định lý: Khi hệ lực có hợp lực R mô men R tâm hay trục tổng mô men lực hệ lấy tâm hay trục r r m o( R ) = ∑ m o( F i) r r m z( R ) = r r m z( F i) ∑ n r r i= n (2.4) i= r r r Chøng minh: Cho hÖ lùc ( F1 , F2 , , Fn ) r tác dụng lên vật rắn Gọi R hợp lực cđa hƯ r F1 z r F2 r R (h×nh 2.8) r R' Tại điểm C đờng tác dụng r r r hợp lực R đặt thêm lực R ' = - R HƯ lùc ®· O r Fn x y r cho cïng víi R ' t¹o thành hệ lực cân Hình 2.8 bằng: r r r r ( F1 , F2 , Fn , + R ') ∼ Khi thu gän hÖ lùc tâm O ta đợc véc tơ mô men Các véc tơ không hệ cân bằng, ta có: r Mo= n r r r r ∑ m o( F i) + m o( R ') = i= r r Thay R ' = - R ta cã: n r r r r ∑ m o( F i) - m o( R ) = i= r Hay mo( R ) = r r m o( F i) n i= Chiếu phơng trình lên trục oz đợc: -23r r n mz( R ) = mz( F i) i= Định lý đà đợc chứng minh 2.2.5 Kết thu gọn hệ lực đặc biệt 2.2.5.1 Hệ lực đồng quy Hệ lực đồng quy hệ lực có đờng tác dụng lực giao điểm Trong trờng hợp hệ lực đồng quy chọn tâm thu gọn ®iĨm ®ång quy kÕt qu¶ thu gän sÏ cho vÐc tơ hợp lực mô men sÏ b»ng kh«ng R0 ≠ 0, Mo = víi O điểm đồng quy 2.2.5.2 Hệ ngẫu lực Nếu hƯ chØ bao gåm c¸c ngÉu lùc, thu gän hệ đợc ngẫu lực tổng hợp có mô men mô men hệ n M= m i =1 i ; mi mô men ngÉu lùc thø i vµ n lµ sè ngÉu lùc hệ 2.2.5.3 Hệ lực phẳng Hệ lực phẳng hệ có lực nằm mặt phẳng Nếu chọn tâm thu gọn nằm mặt phẳng hệ kết thu gọn r r r cho ta mô men M o véc t¬ chÝnh R o VÐc t¬ chÝnh R n»m r mặt phẳng hệ mô men M o vuông góc với mặt phẳng hệ Theo r kết thu gọn dạng chuẩn ta thấy: hệ lực phẳng có véc tơ R mô r men M o khác hợp lực nằm mặt phẳng hệ 2.2.5.4 HƯ lùc song song HƯ lùc song song lµ hệ lực có đờng tác dụng song song với r Kết thu gọn tâm cho ta véc tơ R mô r men chÝnh M o VÐc t¬ chÝnh cã đặc điểm song song với lực hệ -242.3 Điều kiện cân phơng trình cân hệ lực 2.3.1 Điều kiện cân phơng trình cân hệ lực không gian 2.3.1.1 Điều kiện cân Điều kiện cân hệ lực không gian véc tơ mô men thu gọn tâm không r R = r F1 = ∑ n i= r Mo= n r r ∑ m o( F 1) = (2-5) i= 2.3.1.2 Phơng trình cân Nếu gọi Rx, Ry, Rz Mx, My, Mz hình chiếu véc tơ mô men lên trục toạ độ oxyz điều kiện (2-5) biểu diễn phơng trình đại số gọi phơng trình cân hệ lực bất kú kh«ng gian Ta cã: n Rx = ∑Xi = 0, Ry = Mx = ∑mx( F i) = 0, i= n r i= n ∑Yi =0, Rz = i= n My = r n ∑Zi = i= ∑my( F i) = 0, i= n Mz = r ∑mz( F i) = (2-6) i= Trong phơng trình Xi, Yi, Zi thành phần hình chiếu lực Fi; r r r r mx( F i), my( F i), mz( F i) mô men lực F i ®èi víi c¸c trơc cđa hƯ täa ®é oxyz Ba phơng trình đầu gọi ba phơng trình hình chiếu phơng trình sau gọi phơng trình mô men 2.3.2 Phơng trình cân hệ lực đặc biệt 2.3.2.1 Hệ lực đồng quy r Nếu chọn tâm thu gọn điểm đồng quy O mô men M o không phơng trình mô men luôn tự nghiệm Vậy phơng trình cân hệ lực đồng quy cßn: -25n Rx = ∑Xi = i= n Ry = ∑Yi =0 (2-7) i= n Rz = ∑Zi = i= 2.3.2.2 HÖ ngÉu lùc r Khi thu gän hƯ ngÉu lùc vỊ mét t©m ta thấy véc tơ R = điều có nghĩa phơng trình hình chiếu luôn tự nghiệm Phơng trình cân hệ ngẫu lực lại ba phơng trình mô men sau: n Mx = i= n My = r n ∑mx( F i) = ∑mix = 0, i= r ∑my( F i) = i= r Mz = ∑mz( F i) = n i= n ∑miy = 0, (2-8) i= n miz = i= mĩx, miy, miz hình chiếu lên trục hệ tọa độ oxyz véc tơ mô r men m i cđa ngÉu lùc thø i 2.3.2.3 HƯ lùc song song Chọn hệ toạ độ oxyz cho oz song song với lực Khi hình chiếu Rx, Ry véc tơ Mz mô men luôn không Vì phơng trình cân hệ lực song song lại ba phơng trình sau: n Rz = Zi = 0; i= n Mx = r ∑mx( F i) = 0; i= (2-9) -26n My = r ∑my( F i) = i= Trong phơng trình đầu phơng trình hình chiếu hai phơng trình cuối phơng trình mô men 2.3.2.4 Hệ lực phẳng r r Cần lu ý hệ lực phẳng véc tơ R mô men M r luôn vuông góc với nhau, nghĩa hệ lực phẳng luôn có hợp lực R nằm mặt phẳng hệ đà cho Để đảm bảo điều kiện hợp lực hệ không tức điều kiện cân hệ ta viết phơng trình cân dới dạng khác Dạng hai phơng trình hình chiếu phơng trình mô men: Để hệ lực cân nh trờng hợp khác phải có R = vµ Mo = NÕu chän hƯ toạ độ oxy mặt phẳng chứa lực hệ ta thấy n phơng trình Rz = ∑ zi = 0; Mx = i= n ∑ mx(Fi) = vµ My = i= n ∑my(Fi) = luôn i= tự nghiệm phơng trình cân : n Rx = ∑Xi = 0; i= n Ry = ∑Yi = 0; (2-10) i= n Mz = ∑mz(Fi) i= Hai phơng trình đầu phơng trình hình chiếu phơng trình thứ ba phơng trình mô men Cần ý lực nằm mặt phẳng oxy n Mz = mz(Fi) tổng mô men đại số lực t©m O i= n Mz = ∑ ± mz(Fi) i= -272 Dạng phơng trình hình chiếu hai phơng trình mô men r Điều kiện hợp lực R cđa hƯ b»ng kh«ng cã thĨ biĨu diƠn b»ng ba phơng trình sau đây: n Rz = Xi = 0; i= n MA = ∑ ± mA(Fi) = 0; (2-11) i= n MB = ∑ ± mB(Fi) = i= Víi ®iỊu kiƯn trơc x không vuông góc với AB r Thạt từ phơng trình (1) cho thấy hợp lực R hệ lực không vuông góc với trục x r Theo định lý Va ri nhông ,từ phơng trình (2) ta thấy hợp lực R không đị qua A r Từ phơng trình (3) ta thấy hợp lực R hệ không qua B Kết hợp ba phơng trình ta thấy hợp lực hệ qua hai điểm A,B vuông góc với trục x (không vuông góc với AB) Điều kiện hợp lực vừa qua A, B vừa vuông góc với trục x không thực đợc trái với giả thiết Nh hệ thoả mÃn phơng trình (2-11) hợp lực không nghĩa hệ lực cân Dạng ba phơng trình mô men điểm Ngoài hai dạng phơng trình cân hệ lực phẳng có phơng trình cân theo d¹ng sau: n MA = r ∑ ±mA( F i) = i= -28n MB = (2-12) i= n MC = r ∑ ±mB( F i) = r ∑ ±mo( F i) =0 i= Víi ®iỊu kiện A, B, C không thẳng hàng r Thật vậy, hệ lực phẳng thoả mÃn phơng trình MA = mA( F ) = theo định lý Va ri nhông hợp lực hệ không ®i qua A Cịng lý ln t−¬ng tù ta thÊy để thoả mÃn MB = Mc = hợp lực phải qua B, qua C Vì chọn điểm A, B, C không thẳng hàng nên điều kiện để hợp lực qua điểm không thực đợc Chỉ hợp lực không, có nghĩa thoả mÃn hệ ba phơng trình (2-12) hệ lực phẳng cho cân 2.4 Bài toán cân vật rắn Vật rắn cân hệ lực tác dụng lên bao gồm lực đà cho phản lực liên kết cân Khi giải toán cân vật rắn áp dụng phơng pháp giải tích phơng pháp hình học nhng phổ biến có hiệu phơng pháp giải tích Giải toán cân vật thờng tiến hành theo bớc sau: Chọn vật khảo sát: vật khảo sát phải vật rắn mà cân cần thiết cho yêu cầu xác định toán Nếu nh toán tìm phản lực liên kết vật khảo sát phải vật chịu tác dụng phản lực liên kết cần tìm, toán tìm điều kiện cân vật vật khảo sát phải vật Giải phóng vật khảo sát khỏi liên kết xem vật tự dới tác dụng lực đà cho phản lực liên kết Thiết lập điều kiện cân cuả vật phơng trình cân hệ lực tác dụng lên vật khảo sát bao gồm lực cho phản lực liên kết -294 Giải hệ phơng trình cân để xác định trị số phơng chiều phản lực liên kết thiết lập mối quan hệ lực để đảm bảo điều kiện cân cho vật khảo sát Nhận xét kết thu đợc Cần ý chiều phản lực thờng cha đợc xác định lúc đầu phải tự chọn chiều Dựa vào kết giải hệ phơng trình cân ta xác định chiều phản lực chọn hay sai Nếu phản lực liên kết cho trị số dơng chiều chọn trị số âm chiều phải đảo lại Mặt khác cần lu ý toán có trờng hợp giải đợc (bài toán tĩnh định) số ẩn số cần xác định nhỏ số phơng trình cân Có trờng hợp không giải đợc (bài toán siêu tĩnh) ẩn số cần tìm lớn số phơng trình cân Thí dụ 2.1 Cột điện OA chôn thẳng đứng mặt đất đợc giữ hai sợi dây AB AD hợp với cột điện góc = 300 (xem hình 2-8a) Góc mặt phẳng AOD mặt phẳng AOB = 600 Tại đầu A cột điện có hai nhánh dây điện mắc song song với trục ox oy Các nhánh dây có lực kéo P1 P2 nh hình vẽ Cho biết P1 = P2 = P = 100kN Xác định lực tác dụng dọc cột điện dây căng AD, AB Bài giải: z r Chọn vật khảo sát đầu A cột điện Liên kết đặt lên đầu A hai sợi dây R3 r P2 r P1 AB, AD phần cột điện lại r R1 r Gọi phản lực liên kết dây AB R2 r r R1, dây AD R lực dọc cột R O víi chiỊu chän nh− h×nh vÏ 2-8 Khi giải phóng điểm A khỏi liên kết điểm A chịu tác B x y D dụng lực P1, P2 phản lực R1R2 Hình 2.8a -30r R Điều kiện để đầu A cân hệ lực tác dụng lên cân b»ng Ta cã: r r r r r ( P 1, P 2, R 1, R , R 3) Hệ lực đồng quy A phơng trình cân thiết lập theo phơng trình (2.7) Để tránh nhầm lẫn ta lập bảng (2-1) hình chiếu lực lên trục hệ tọa độ oxyz nh− sau: B¶ng 2-1 F1 P1 P2 R1 R2 R3 x1 -P R2sinαsinϕ y1 -P R1sinα R2sinαcosϕ z1 0 -R1cosα -R2cosα R3 Ph−¬ng trình cân viết đợc: Xi =- P + R2sinsin = 0; ∑Yi = - P + R1sinα + R2sinαcosϕ = ∑Zi = -R1cosα - R2cosα + R3 = (a) ( b) (c) Hệ phơng trình chứa ẩn số R1, R2, R3 nên toán tĩnh định Giải hệ phơng trình đợc: R1 = P P 1 − cot gϕ ; R2 = ; R3 = P cotgα(1-cotgϕ + ); sin α sin sin sin Thay trị số , P ta nhận đợc: R1 = 85kN; R2 = 231 kN; R3 = 273kN Kết dơng nên chiều phản lực chọn Thí dụ 2.2: Một xe bánh ABC đặt mặt đờng nhẵn nằm ngang Tam giác ABC cân có ®¸y AB = 1m, ®−êng cao OC = 1,5m, träng lợng xe P KN đặt trọng tâm G đoạn OC cách O 0,5m Tìm phản lực mặt đờng lên bánh xe (xem hình 2-9) -31Bài giải: Khảo sát cân xe z r NB Giải phóng xe khỏi mặt đờng B thay phản lực mặt đất r r r lên bánh xe N A, N B, N C Vì xe đặt mặt nhẵn nên A Xe trạng thái cân dới r y C r NA góc với mặt đờng r r NC G O phản lực có phơng vuông r r P r t¸c dơng cđa lùc P , N A, N B, N C x H×nh 2.9 HƯ lùc nµy lµ hƯ lùc song song NÕu chän hệ toạ độ oxyz nh hình vẽ phơng trình cân hệ lực theo (2-9) có dạng: Zi = NA + NB + NC - P = (a) ∑mx(Fi) = -P.0,5 + NC.1,5 = (b) ∑my(Fi) = - NA.0,5 + NB.0,5 = (c) HÖ ba phơng trình chứa ẩn số NA, NB, NC nên toán tĩnh định Giải phơng trình xác định đợc: NA = NB = NC = P/3 kN Kết cho giá trị dơng nên chiều phản lực hớng lên Thí dụ 2.3: Xà AB đợc giữ nằm ngang nhờ liên kết nh hình vẽ (2.10) Tại A có khớp lề cố q định Tại C đợc treo dây CD D A đặt xiên góc so với xà Tại B có dây kéo thẳng đứng nhờ trọng E C G H×nh 2.10 M B P -32vật P buộc đầu dây vắt qua ròng rọc Xà có trọng lợng G đặt giữa, chịu ngẫu lực nằm mặt phẳng hình vẽ có mô men M Đoạn dầm AE chịu lực phân bố có cờng độ q Xác định phản lực A, sợi dây CD cho biết G = 10kN, P = 5kN, M = kNm; q = 0,5 kN/m; = 300 Các kích thớc cho hình vẽ Bài giải: Chọn vật khảo sát xà AB Giải phóng liên kết đặt lên xà ta có: r Liên kết A đợc thay phản lực R A nằm mặt phẳng hình r vẽ Liên kết C đợc thay lực căng T hớng dọc theo dây Liên kết r r B thay lực căng P nhng có chiều hớng lên Chiều R A r T chọn nh hình vẽ Nh xà AB trạng thái cân dới tác dụng r r r r r c¸c lùc ( G , M , R A, T , P ), lực nằm mặt phẳng thẳng đứng tức mặt phẳng hình vẽ (hệ lực phẳng ) Chọn hệ toạ độ Axy nh hình vẽ lập phơng trình cân dạng (2-10) ®−ỵc: ∑Xi = XA - Tcos300; (a) ∑Yi = YA - Q - G +T cos600 + P = 0; (b) r ∑mA( F i) = - Q.1 - G.3 + T.4sin300 - M + 6P = (c) Trong phơng trình Q = 2q tổng hợp lực phân bố y đặt điểm AE Ba phơng trình chứa ẩn số XA, YA, T toán tĩnh định Giải hệ phơng trình ta YA A 900 r XA Q r G Hình 2.11 đợc: T= Q.1 + G.3 + M − p.6 1.1 + 10.3 + − 5.6 = = 4,5 kN; 4.0,5 4.sin 300 r P r T C M x B -33XA = Tcos300 = 4,5.0,866 = 3,90kN; YA = Q + G -T cos600 - P = + 10 - 4,5.0,5 - = 3,75, kN KÕt qu¶ cho trị số T, XA, YA dơng chiều chọn ban đầu Thí dụ 2.4: Trục truyền nằm ngang đặt hai gối đỡ lề cố định A B (xem hình vẽ 2-12) Trục nhận chuyển động quay từ dây đai dẫn z ZA đến bánh đai C có bán kính r1 = 20 cm để nâng trọng vật P buộc vào trống tời có bán kính r2 = 15cm Cho biết hai nhánh dây đai C b ZB đầu dây cáp vắt qua ròng rọc K T2 a a T1 y YA A B x YB α có phơng song song với trục oy P có lực căng T1 T2 với T1 = 2T2; Trọng vËt P= 180kN; a = 40cm; b = H×nh 2.12 60cm = 300 Xác định phản lực hai gối đỡ A B Bài giải: Chọn vật khảo sát trục BC r r r Liên kết lên trục ổ đỡ A, B Các lực tác dụng cho T 1, T F r r Lực F tác dụng dọc theo dây cáp có trị số P Vì ổ đỡ khớp lề cố định nên phản lực liên kết A B có hai thành phần theo trục oy oz Giải phóng liên kết đặt lên trục thay phản lực liên kết trục AC chịu r r r r r tác động lực: T 1, T 2, F , R A, R B Các lực phân bố không gian Phơng trình cân hệ lực thiết lập theo (2- 6) Để tránh nhầm lẫn ta lập bảng hình chiếu mô men hệ lực trục toạ độ (bảng 2-2) -34B¶ng 2-2 r F1 r F r T1 r T2 r RA r RB X1 0 0 Y1 Fcosα ThÐp T2 YA YB Z1 -Fsinα ZA ZB mx(F) -F.r2 -T2r1 0 my(F) Fsinα.b T1r1 0 -ZB(a+b) -T2a YA(a+b) mz(F) Fcos.b 45 -T1.a Các phơng trình cân thiết lập ®−ỵc: ∑Yi = Pcosα + T1+T2 + YA + YB = 0; ∑Zi = Fsinα + ZA + ZB = 0; ∑Mx = F.r2 + T1r1 - T2r1 = 0; ∑My = Fsinα.b - ZB(a+b) = 0; ∑Mz = Fcosα.b - T1a- T2a + YB(a+b) = 0; HƯ ph−¬ng trình chứa ẩn số YA, ZA, YB, ZB T1 nên toán tĩnh định Giải hệ phơng trình tìm đợc: T2 = P.r2 180.15 = = 135kN ; T1 = 2T2 = 270 kN; r 20 ZB = b.P sin α 60.180.0,5 = = 54 kN; a+b 40 + 60 40.3.135 − 180.60 a.3T2 − Pb cos α = 69 kN YB = = 40 + 60 a+b YA =- Pcosα-3T2 - YB = -180 -3.135- 69 ≈ -630KN ZA = Psinα - ZB = 180 0,5 - 54 = 36kN -35Trong kết tìm đợc có giá trị YA mang dấu âm chiều ngợc với chiều đà chọn Thí dụ 2.5: Cho hệ hai dầm AB BE nối khớp lề E D B (xem hình vẽ 2-13) Trọng lợng dầm AB Q đặt AB Trọng lợng dầm BE P A C B r P đặt BE Tại đầu A có khớp r Q lề cố định, điểm C, D điểm tựa nhọn Xác định phản lực Hình 2.13 gối đỡ A điểm tựa C,D Cho P = 40kN, Q = 20kN; CB = 1 AB; DE = BE; α = 450 3 Bài giải: Cần lu ý toán cân hệ vật Về nguyên tắc giải toán thuộc loại phải tách riêng vật để xét Trên hệ vật cần phân biệt hai loại vật vật phụ Vật vật tách đứng vững đợc Vật phụ vật tách đứng vững đợc Ta xét vật phụ trớc sau xét vật sau Cũng cần ý thêm tách vật khớp nối đợc thay lực tác dụng tơng hỗ, lực phơng trị số nhng ngợc chiều Đối với toán trên, hệ gồm hai dầm AB dầm BE dầm phụ Tách BE để xét Tại khớp nối có phản lực liên kết RB (lực tác dụng tơng hỗ dầm lên dầm BE) Phản lực RB nằm mặt phẳng thẳng đứng ( mặt phẳng hình vẽ) có hai thành phần XB YB ( xem hình 2-14) Giải r r phóng liên kết D thay vào phản lực N D ( N D vuông góc BE Dầm BE r r r chịu tác dụng lùc P , N D, R B HƯ lùc nµy nằm mặt phẳng oxy phơng trình cân viết đợc: X1 = XB - NDsin = 0; -36- r ND E ∑Y10 = YB - P + NDcosα = 0; D YB a ∑mB(F1) = ND a - P cosα = r P B XB Gải hệ phơng trình tìm đợc: 3 Pcosα = 40 ≈21,2 kN; 4 ND = H×nh 2.14 YA 3 XB = P sin2α = 40.1= 15kN; 8 XA A YB = P(1- 3 cos2α)= 40(1)= 25kN 4 XB r Q C YB Hình 2.15 Giá trị phản lực dơng điều chứng tỏ chiều chúng nh đà chọn Tiếp theo xét đến dầm AB Giải phóng liên kết dầm trạng r r r r thái cân d−íi t¸c dơng cđa hƯ lùc: Q , - R B, R A, N C Các lực nằm mặt phẳng oxy ( xem hình 2.15 ) Phơng trình cân hệ lực viết đợc: X1 = XA - X'B = 0; ∑mA(F) = - Y'B.b + NC ∑mC(F) = - YA b b - Q = 0; 2b b b + Q - Y'B = 0; Trong ®ã X'B = XB, Y'B = YB nhng có chiều ngợc lại Giải hệ phơng trình tìm đợc: XA = XB = 15kN; YA = 1 Q - YB = -7,5kN; YC = 3 Q + YB = 52,5kN Kết cho giá trị YA mang dấu âm có nghĩa chiều YA chọn sai phải đảo lại  ... R'' ϕ r R0 Hình 2. 7 -22 r r đà đa hệ tơng đơng với hai lực P '', R '' hai lực chéo 2. 2.4 Định lý Va ri nhông r r Định lý: Khi hệ lực có hợp lực R mô men R tâm hay trục tổng mô men lực hệ lấy tâm hay... thu gọn O 2. 2 Thu gän hƯ lùc Thu gän hƯ lùc lµ đa hệ lực dạng đơn giản Để thực thu gọn hệ lực trớc hết dựa vào định lý rời lực song song trình bày dới 2. 2.1 Định lý 2. 1 : Tác dụng lực lên vật... hệ mô men M o vuông góc với mặt phẳng hệ Theo r kết thu gọn dạng chuẩn ta thấy: hệ lực phẳng có véc tơ R mô r men M o khác hợp lực nằm mặt phẳng hệ 2. 2.5.4 Hệ lực song song Hệ lực song song hệ