LÝ THUYẾT VỀ HỆ LỰC

Please purchase a personal license CHƯƠNG LÝ THUYẾT VỀ HỆ LỰC MỤC ĐÍCH: NỘI DUNG: §1 NGẪU LỰC, CÁC ĐẶC TRƯNG TÁC DỤNG CỦA NGẪU LỰC §2 PHÂN LOẠI HỆ LỰC, CÁC ĐẶC TRƯNG TÁC DỤNG CỦA HỆ LỰC §3 THU GỌN HỆ LỰC §4 DẠNG TỐI GIẢN CỦA HỆ LỰC §5 BÀI TỐN THU GỌN HỆ LỰC §6 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG, PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG HỆ LỰC §1 NGẪU LỰC, CÁC ĐẶC TRƯNG TÁC DỤNG CỦA NGẪU LỰC Ngẫu lực Định nghĩa : Ngẫu lực hai lực tác dụng lên vật mà chúng song song, ngược chiều độ lớn, Kí hiệu ( F , F ′) Các yếu tố: F' +) Hai lực ngẫu F F' : +) Mặt phẳng tác dụng (Π): d +) Cánh tay đòn d: F Π +) Chiều tác dụng: +) Giá trị mômen: m = F.d = F’.d Ngẫu lực có tác dụng làm quay (xoay) vật quanh tâm trục Các đặc trưng tác dụng ngẫu lực: 2.1 Ngẫu lực mặt phẳng (áp dụng cho hệ lực phẳng) Định lý 1: Trong mặt phẳng, hai ngẫu lực có chiều quay giá trị mơmen tương đương với Nhận xét: tác dụng ngẫu lực mặt phẳng đặc trưng chiều quay giá trị mơmen Mơ men đại số ngẫu lực: Mômen đại số ngẫu lực đại lượng đại số thay cho tác dụng ngẫu lực (F, F’) mặt phẳng , kí hiệu m : m = ± Fd m F’ A Dấu: + ngược kđh; - chiều kđh d B Chú ý: 1)Tên gọi: Π F 2) Tác dụng ngẫu không đổi ta di chuyển tùy ý mp tác dụng 2.2 Ngẫu lực khơng gian (áp dụng cho hệ lực không gian) Định lý 2: Tác dụng ngẫu lực không thay đổi ta dời mặt phẳng tác dụng ngẫu lực song song với Nhận xét: ngẫu lực khơng gian đặc trưng ba yếu tố: F’ A + chiều quay ngẫu lực, B + giá trị mơmen + phương mặt phẳng tác dụng, m Có thể thay ngẫu lực véc tơ Gọi Véctơ mômen ngẫu lực: Là véctơ, xác định theo cơng thức tốn: m = ABxF′ = BAx F Có phương, chiều, độ lớn? F Π A Π F F’ d B §2 PHÂN LOẠI HỆ LỰC, CÁC ĐẶC TRƯNG TÁC DỤNG CỦA HỆ LỰC Dựa vào đường tác dụng lực hệ ta có loại hệ lực : Hệ lực không gian: Hệ lực đồng qui: Hệ lực song song: Hệ lực phẳng: Hệ ngẫu lực: Hệ lực có hai đặc trưng sau: Véctơ hệ lực *) Định nghĩa: Véctơ hệ lực tổng hình học véctơ biểu diễn lực thành phần thuộc hệ, kí hiệu R ′ n R ' = F1 + F2 + + Fn = ∑ Fk k =1 *) Cách xác định: => Phương pháp hình học: => Phương pháp giải tích: Trong hệ tọa độ Oxyz: Fk = X k i + Yk j + Z k k Véc tơ lực: A1 F2 F1 … Fn n n n k =1 k =1 k =1 Hình chiếu: R ′x = ∑ X k , R ′y = ∑ Yk , R ′z = ∑ Z k A2 A … R’ An-1 An 2 R = R ′x + R ′y + R ′z R ′y R ′x R ′z ′ ; cos(R ′, Ox) = ; cos( R , Oy ) = Góc nghiêng: cos(R ′, Ox ) = R′ R′ R′ 2 Mơ men hệ lực 2.1 Mơmen hệ lực phẳng a) Mômen lực lấy tâm O mặt phẳng: đại lượng đại số, đặc trưng cho tác dụng làm quay vật quanh tâm đó, xác định theo công thức: mO ( F ) = ± Fd + Dấu: + Độ lớn: *) Chú ý: mO (F) = mO(F) O F d A P b) Mômen hệ lực phẳng tâm: tổng đại số mômen lực thuộc hệ lấy tâm n M O = ∑ mO (Fk ) k =1 2.2 Véctơ mơmen hệ lực không gian a) Véctơ mômen lực tâm không gian: đại lượng vật lý đặc trưng cho tác dụng làm quay vật quanh tâm đó, xác định theo cơng thức: m O (F) = OAxF mO( F ) + Có hướng theo quy tắc bàn tay phải + Độ lớn : mO(F) = F.d (N.m) Nếu đặt vào tâm O hệ trục cố định Oxyz ta có cơng thức giải tích: i j k m O (F) = x A yA zA Fx Fy Fz O A d F P b) Véctơ mơmen hệ lực khơng gian tâm: n tổng hình học véctơ mômen lực M O = ∑ m O (Fk ) thuộc hệ lấy tâm k =1 z F mz(F) A F’ O 2.3 Mômen hệ lực lấy trục a) Mômen lực lấy trục: đại lượng đại số, đặc trưng cho tác dụng làm quay vật quanh trục đó, xác định theo cơng thức: m (F) = ± F ′d z Trong đó, F′ = hch ⊥( π ) [F] ; (π) ┴ z, (π) x z = O A1 d d = k/c từ O đến đ/thẳng chứa F′ π Dấu “+”: chiều dương; “ – ”: Chiều âm Chú ý: mz (F) = n b) Mơmen hệ lực trục: tổng M z = ∑ m z ( Fk ) mômen lực thuộc hệ lấy trục đó: k =1 Chú ý: Đặt vào O hệ trục Oxyz, ta có mơ men hệ lực lấy trục tọa độ: M x , M y , M z Ảnh hưởng tâm thu gọn: Định lý: Véc tơ khơng phụ thuộc vào tâm thu gọn, véc tơ mơmen biến đổi theo tâm thu gọn theo quy luật: M A = M O + m A ( RO′ ) hình chiếu lên phương véc tơ lại khơng phụ thuộc vào tâm thu gọn MO (F , F , , F ) ~ (R′ , M ) (R ′ , M ) ~ (R ′ , m (R ′ ), M (F , F , , F ) ~ (R ′ , M ) O n O O A n (b), (c) => O A A O A (a) (b) O) R ′O O A MA (c) M A = M O + m A (R ′O ) R ′A m A (R ′O ) §4 DẠNG TỐI GIẢN CỦA HỆ LỰC Dạng tối giản hệ lực không gian: Định lý: Hệ lực không gian tương đương với bốn dạng tối giản sau:  R′ = 1) F1 , F2 , , Fn ~ ⇔  M O =  R′ = 2) F1 , F2 , , Fn ~ (F, F′) ⇔  M O ≠ ( ) ( )  R′ ≠ 3) F1 , F2 , , Fn ~ R ⇔  R ′.M O = ( ) ( ) 4) F1 , F2 , , Fn ~ (R , R chéo nhau) ⇔ R ′.M O ≠ => Định lý Varignon: Định lý: Nếu hệ lực có hợp lực véctơ mơmen hợp lực tâm véctơ momen hệ lực tâm mO ( R ) = M O Ý nghĩa: Nếu hệ lực có hợp lực vị trí điểm đặt hợp lực xác định dựa vào định lý Varignon => Phương trình trục xoắn: RO′ M O ≠ *) Định nghĩa 1: Hệ lực xoắn hệ lực gồm lực ngẫu lực có véctơ mơmen song song với véctơ lực *) Định nghĩa 2: Trục xoắn đường tác dụng lực hệ trục xoắn ⇒ Phương trình trục xoắn (tiếp) R ′O Có hai trường hợp: MO Trường hợp Khi R ′O M O phương O M O: Gọi mômen xoắn Trường hợp R ′O tạo M O với góc α ≠ 90o Trục xoắn Phân tích: M O = M1 + M với M1 // R ′O , M ⊥ R ′O Thay M = ( R , R 1′ ) / R = −R O (R ′O , M O ) ~ (R ′O , M1 , M ) ~ (R O , R , R 1′ , M1 ) ~ (R 1′ , M1 ) M O Mômen xoắn: M1 = Phương trình trục xoắn: M x − (yRz′ − zR′y ) M y − (zR′x − xR′z ) M z − (xR′y − yR′x ) = = Rx′ R′y R′z M1 R 1′ M1 M O R ′ R′ R 'O O M2 A R1 Trục xoắn Dạng tối giản hệ lực khác: Hệ lực đồng quy: Hệ lực đồng qui tương đương với hệ lực cân véctơ có hợp lực véctơ khác Hệ ngẫu lực: Hệ ngẫu lực tương đương với ngẫu lực véctơ mơmen khác khơng, tương đương với hệ lực cân véctơ mơmen khác Hệ lực phẳng: Hệ lực phẳng thu gọn tâm thuộc mặt phẳng: (F , F , , F ) ~ (R ′ , M n O O ) Hệ lực phẳng tương đương với ba dạng tối giản sau:  R′ = 1) F1 , F2 , , Fn ~ ⇔  M O = ( ) ( ) 2) F1 , F2 , , Fn ~ R ⇔ R ′ ≠  R′ = 3) F1 , F2 , , Fn ~ MO ⇔  M O ≠ ( ) Dạng tối giản hệ lực (tiếp) Hệ lực song song: Có R ′O ⊥ M O => R ′O M O = , nên tương đương: Tương đương với hệ lực cân véctơ mơmen Tương đương với lực véctơ khác Tương đương với ngẫu lực véctơ mơmen khác Hệ lực song song chiều có hợp lực (*) Áp dụng tìm hợp lực hệ lực phân bố: Hệ lực phân bố: hệ lực song song chiều phân bố theo quy luật miền xác định vật Áp dụng tìm hợp lực hệ lực phân bố (tiếp): Xét hệ lực phân bố phẳng: q(x) phân bố lực vị trí x, đơn vị N/m Hợp lực Q hệ lực có: +) Phương chiều: hệ lực phân bố L +) Độ lớn: Q = ∫ q( x )dx +) Điểm đặt: Cách A: d = A q(x) Q B x d L L ∫ q(x ).xdx q0 L ∫ q(x)dx A Trường hợp đặc biệt P/C: hvẽ d  Hệ lực phân bố q0: thu gọn: Q = Q = q L  d = L/2  qmax Trường hợp đặc biệt A Hệ lực phân bố tam giác qmax:  d P/C: hvẽ  q L Thu gọn: Q = Q = max   d = L/3 B x L B L §5 BÀI TỐN THU GỌN HỆ LỰC Bài toán: Cho hệ lực Hãy xác định dạng tối giản hệ lực Phương pháp giải: Xác định hai đại lượng véctơ véctơ mơmen tâm Dựa vào chúng để nhận biết dạng tối giản hệ lực Nếu hệ lực có hợp lực ta dùng định lý Varignon để xác định điểm đặt hợp lực Nếu hệ lực tương đương với hệ lực xoắn, ta xác định phương trình trục xoắn mơmen xoắn Ví dụ Cho hệ lực (F1 , F2 , F3 , F4 , F5 ) đặt đỉnh hình lập phương cạnh a, ABCD.A’B’C’D’, F1 = F2 = F3 = F4 = P z A’ Thu gọn hệ lực B’ F4 C’ Véctơ chính: R ′ = i + P j + P 2k Véctơ mơmen chính/A: M A = i − Pa j + Pa 2k A Tích: M A R ′ = 0.0 + (− Pa ).P + Pa P = F2 Hệ lực có hợp lực F3 C +) Độ lớn R = R ′x + R ′y2 + R ′z2 = 2P x D’ F1 D B y +) Điểm đặt lực Gọi N(x,y,z) điểm đặt lực Ta có: m A (R ) = M A => AN × R = M A i j x y P k z P = (0,−Pa , Pa ) y − z =   x = a Là đường thẳng chứa N Ví dụ Trọng lực tháp truyền hình với móng bê tơng nặng G = 14tấn Lực căng dây ăng ten F = 2tấn hợp lực áp lực gió P = 5tấn Biết F // Oy, P // Ox , H = 15m, h = 6m z F Hãy thu gọn hệ lực tâm O đáy móng kết luận chất hệ lực P Bài giải: R ′ = 50 i + 20 j − 140k M O = −300 i + 300 j − 0k R O ' ≠ 0;  R O '.M O = −9000KN m H G Hệ lực xoắn x +) Phương trình trục xoắn: − 30 + 14 y + z 30 − z − 14 x x − y = = 14 +) Mômen xoắn M1 M O R ′ 9000 M1 = = = 60KNm 150 R′ O h y § ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG, PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG HỆ LỰC Hệ lực không gian Điều kiện cân tổng quát: n  m O (Fk ) = M O = k∑ =1 F1 , F2 , , Fn ~ ⇔  n n n R ′ = ∑ X i + ∑ Y j + ∑ Z k = k k k  k =1 k =1 k =1 ( ) Phương trình cân bằng: n  R ′x = ∑ X k = ; k =1  n  R ′y = ∑ Yk = ; k =1  n R ′ = Z = ; k  z ∑ k =1 n M x = ∑ m x (Fk ) = k =1 n M y = ∑ m y (Fk ) = k =1 n M z = ∑ m z (Fk ) = k =1 § ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG… (tiếp) Hệ lực phẳng n  M O = ∑ m O (Fk ) =  k =1 F1 , F2 , , Fn ~ ⇔  n n R ′ = X i + Y j = ∑ ∑ k k  k =1 k =1 Điều kiện cân bằng: ( ) Các dạng phương trình cân bằng: *) Dạng *) Dạng n   R ′x = ∑ X k = k =1  n   R ′y = ∑ Yk = k =1  n M = m (F ) = O k  O ∑ k =1 n  M A = ∑ m A (Fk ) = k =1  n   M B = ∑ m B (Fk ) = k =1  n  R′ = X = ∑ x k  k =1 đ/k: x không ⊥ AB *) Dạng n  M A = ∑ m A (Fk ) = k =1  n   M B = ∑ m B (Fk ) = k =1  n  M = m (F ) = C k  C ∑ k =1 đ/k: ABC không thẳng hàng Hệ lực đồng quy Điều kiện cần đủ để hệ lực đồng qui cân tổng hình chiếu lực lên ba phương không đồng phẳng (F , F , , F ) n   R ′x =   ~ ⇔  R ′y =  R′ =  z n ∑X k = 0; k = 0; k = 0; k =1 n ∑Y k =1 n ∑Z k =1 Chú ý: Nếu hệ lực đồng quy phẳng hai phương trình hình chiếu mặt phẳng Hệ lực song song Điều kiện cần đủ để hệ lực song song cân tổng hình chiếu lực lên trục song song với hệ lực tổng mômen lực hai trục vuông góc với hệ lực n  M x = ∑ m x (Fk ) = k =1  n  F1 , F2 , , Fn ~ ⇔ M y = ∑ m y (Fk ) = k =1  n  R ′z = ∑ Z k = k =1  ( ) Với z phương hệ lực Chú ý: Nếu hệ lực song song phẳng hai phương trình cân Hệ ngẫu lực Điều kiện cần đủ để hệ ngẫu lực cân tổng hình chiếu ngẫu lực lên ba phương khơng đồng phẳng Để tiện tính tốn ta dùng hệ tọa độ đề các: n  M x = ∑ m kx = k =1  n  (m1 ,m , , m ) ~ ⇔ M y = ∑ m ky = k =1  n  M z = ∑ m kz = k =1  Chú ý: Nếu hệ ngẫu lực phẳng phương trình cân ... tối giản sau:  R′ = 1) F1 , F2 , , Fn ~ ⇔  M O =  R′ = 2) F1 , F2 , , Fn ~ (F, F′) ⇔  M O ≠ ( ) ( )  R′ ≠ 3) F1 , F2 , , Fn ~ R ⇔  R ′.M O = ( ) ( ) 4) F1 , F2 , , Fn ~ (R , R chéo nhau)... Véctơ mơmen chính/A: M A = i − Pa j + Pa 2k A Tích: M A R ′ = 0.0 + (− Pa ).P + Pa P = F2 Hệ lực có hợp lực F3 C +) Độ lớn R = R ′x + R ′y2 + R ′z2 = 2P x D’ F1 D B y +) Điểm đặt lực Gọi N(x,y,z)... đồng quy biểu diễn véctơ hệ lực F n F1 F 12 đó, tương đương với hệ lực cân R véctơ hệ lực F2 O  Đặt điểm đồng quy  n R= R = ∑ Fk  k =1 F 12 ( n −1 ) F F 123 Thu gọn hệ ngẫu lực: Định lý:Hệ ngẫu