Lý thuyết về hệ lực

Lý thuyết về hệ lực

-15-Chơng 2 Lý thuyết về hệ lực Trong tĩnh học có hai bài toán cơ bản: thu gọn hệ lực và xác định điều kiện cân bằng của hệ lực. Chơng này giới thiệu nội dung của hai bài toán cơ bản nói trên. 2.1 Đặc trng hình học cơ bản của hệ lực Hệ lực có hai đặc trng hình học cơ bản là véc tơ chính và mô men chính. 2.1.1. Véc tơ chính Xét hệ lực (1Fr, 2Fr, nFr) tác dụng lên vật rắn (hình 2.1a). Véc tơ chính của hệ lực là véc tơ tổng hình học các véc tơ biểu diễn các lực trong hệ (hình 2.1b) a/ b/ FrFr1 2 FrFr3 n Rr Hình 2.1n FrFr1 ac Fr3 2 b FrORr m n Rr = + + . = 1Fr2FrnFr=n1iFri (2-1) Hình chiếu véc tơ lên các trục toạ độ oxyz đợc xác định qua hình chiếu các lực trong hệ: RrRrx = x1 + x2 + .+ xn = =n1iXi; -16-Rry = y1 + y2 + .+ yn = =n1iYi; Rrz = z1 + z2 + . +zn = =n1iZi. Từ đó có thể xác định độ lớn, phơng, chiều véc tơ chính theo các biểu thức sau: Rr = z2y2x2RRR ++; cos(R,X) = RRx; cos(R,Y) = RRy; cos(R,Z) = RRz. Véc tơ chính là một véc tơ tự do. 2.1.2. Mô men chính của hệ lực Véc tơ mô men chính của hệ lực đối với tâm O là véc tơ tổng của các véc tơ mô men các lực trong hệ lấy đối với tâm O (hình 2.2). Nếu ký hiệu mô men chính là Mro ta có Mro = =n1imro(Fri) (2 -2) 30 mrA3 A2 Fr3 2 FrA1 Fr1 3zr 2zrMr0 mr20 10 mrOm2 1zr Hình 2.2Hình chiếu của véc tơ mô men chính Mro trên các trục toạ độ oxyz đợc xác định qua mô men các lực trong hệ lấy đối với các trục đó: -17-Mx = mx(1Fr) + mx( ) + .+ m2Frx(nFr) = =n1imx(Fri); My = my(1Fr) + my( ) + .+ m2Fry(nFr) = =n1imy(Fri); Mz = mz( ) + m1Frz( ) + . +m2Frz(nFr) = =n1imz(Fri). Giá trị và phơng chiều véc tơ mô men chính đợc xác định theo các biểu thức sau: Mo = z2y2x2MMM++ cos(Mo,x) = oxMM; cos(Mo,y) = oyMM; cos(Mo,z) = ozMM. Khác với véc tơ chính Rrvéc tơ mô men chính Mro là véc tơ buộc nó phụ thuộc vào tâm O. Nói cách khác véc tơ chính là một đại lợng bất biến còn véc tơ mô men chính là đại lợng biến đổi theo tâm thu gọn O. 2.2. Thu gọn hệ lực Thu gọn hệ lực là đa hệ lực về dạng đơn giản hơn. Để thực hiện thu gọn hệ lực trớc hết dựa vào định lý rời lực song song trình bày dới đây. 2.2.1. Định lý 2.1 : Tác dụng của lực lên vật rắn sẽ không thay đổi nếu ta rời song song nó tới một điểm đặt khác trên vật và thêm vào đó một ngẫu lực phụ Fr' Fr FrdAB '' Hình 2.3 -18-có mô men bằng mô men của lực đã cho lấy đối với điểm cần rời đến. Chứng minh: Xét vật rắn chịu tác dụng lực Fr đặt tại A. Tại điểm B trên vật đặt thêm một cặp lực cân bằng (Fr', Fr'') trong đó Fr' = Fr còn F'' = - rFr. (xem hình 2.3). Theo tiên đề 2 có: F (rFr, Fr', Fr''). Hệ ba lực (Fr, ', '') có hai lực (FFrFrr, Fr'') tạo thành một ngẫu lực có mô men mr = mrB(F) (theo định nghĩa mô men của ngẫu lực). Ta đã chứng minh đợc Fr Fr' + ngẫu lực (Fr, Fr'') 2.2.2 Thu gọn hệ lực bất kỳ về một tâm a. Định lý 2.2: Hệ lực bất kỳ luôn luôn tơng đơng với một lực bằng véc tơ chính đặt tại điểm O chọn tuỳ ý và một ngẫu lực có mô men bằng mô men chính của hệ lực đối với tâm O đó. Chứng minh: Cho hệ lực bất kỳ (1Fr, 2Fr, .,nFr) tác dụng lên vật rắn. Chọn điểm O tuỳ ý trên vật, áp dụng định lý rời lực song song đa các lực của hệ về đặt tại O. Kết quả cho ta hệ lực (1Fr, 2Fr, .,nFr)o đặt tại O và một hệ các ngẫu lực phụ có mô men là mr1 = mro( ) , 1Frmr2 = mro(2Fr), . mrn = o(nFr) (hình 2.4). mrHợp từng đôi lực nhờ tiên đề 3 có thể đa hệ lực (1Fr, , .F)2Frnro về tơng đơng với một lực . RrCụ thể có: A3 FrFrFr1 A1 Omr20 mr30 M = Mo Fr1 RrFr2 Fr3 3 2 A2 (, ) 1Fr2FrRr1 trong đó Rr1 = 1Fr +2Fr (Rr1,Fr3 ) Rr2 trong đó RrRrFr2 = 1 + 3 = + + F1Fr2Frr3mr10 (Rr(n-1),F) nrRrHình 2.4 -19- trong đó = RrRr(n-2) +nFr= =n1iFriHợp lực Rcủa các lực đặt tại O là véc tơ chính rRr0 của hệ lực. Các ngẫu lực phụ cũng có thể thay thế bằng một ngẫu lực tổng hợp theo cách lần lợt hợp từng đôi ngẫu lực nh đã trình bày ở chơng 1. Ngẫu lực tổng hợp của hệ ngẫu lực phụ có mô men Mro = =n1imro(Fri). Đây là mô men chính của hệ lực đã cho đối với tâm O Theo định lý 2.2, trong trờng hợp tổng quát khi thu gọn hệ lực về tâm O bất kỳ ta đợc một véc tơ chính và một mô men chính. Véc tơ chính bằng tổng hình học các lực trong hệ và là một đại lợng không đổi còn mô men chính bằng tổng mô men các lực trong hệ lấy đối với tâm thu gọn và là đại lợng biến đổi theo tâm thu gọn. Để xác định quy luật biến đổi của mô men chính đối với các tâm thu gọn khác nhau ta thực hiện thu gọn hệ lực về hai tâm O và O1 bất kỳ (hình 2.4a). Thực hiện thu gọn hệ về tâm O ta đợc Rr r0 và Mo. Rr0 MrMr01 O1 O RrRr0 01 Trên vật ta lấy một tâm O1 khác O sau đó rời lực Rro về O1 ta đợc Rro Rro1 + ngẫu lực (Rro , Rr'o1). '01 Suy ra (Rro, Mro) Rro1 + ngẫu lực (Rr r ro , 'Ro1) + Mo Hình 2.4a Nếu thu gọn hệ về O1 ta đợc Mro1 và Rro1 . Điều tất nhiên phải có là : (Rro, Mro) (Rro1 ,Mro1 ). Thay kết quả chứng minh ở trên ta có: -20-(Rro, Mro) Ro1 +(Rro, Rr'o1) + Mo (Rro +Mo1) hay Mr01 Mro + ( Rro, Rr'01) (2.3) Ngẫu lực ( Rro, Rr01) có mô men Mr' =mo1.(Ro) Kết luận: Khi thay đổi tâm thu gọn véc tơ mô men chính thay đổi một đại lợng M' bằng mô men của véc tơ chính đặt ở tâm trớc lấy đối với tâm sau. 2.2.3. Các dạng chuẩn của hệ lực Kết quả thu gọn hệ lực về một tâm có thể xẩy ra 6 trờng hợp sau 2.2.3.1. Véc tơ chính và mô men chính đều bằng không Rr = 0 ; Mro = 0 Hệ lực khảo sát cân bằng. 2.2.3.2. Véc tơ chính bằng không còn mô men chính khác không Rr = 0; Mro 0 Hệ lực tơng đơng với một ngẫu lực có mô men bằng mô men chính. 2.2.3.3. Véc tơ chính khác không còn mô men chính bằng không 0; RrMro = 0 Hệ có một hợp lực bằng véc tơ chính. 2.2.3.4. Véc tơ chính và mô men chính đều khác không nhng vuông góc với nhau (hình 2.5) Rr 0; Mro 0 và MRrroTrong trờng hợp này thay thế mô men chính Mro bằng ngẫu lực (Rr', Rr'') với điều kiện: Rr' = ; RrRr'' = - và RrMro = mro(Rr') PRr O' O P' noRrd ORrRro Mro o O'OMrRr a)'b)O' -21- Ta có ( , MRr ro) ( , RRrr', Rr'' ). Theo tiên đề 1 Rro và '' cân bằng do đó có thể bớt đi và cuối cùng hệ còn lại một lực bằng véc tơ chính nhng đặt tại ORr1. Nói khác đi hệ có một hợp lực đặt tại O1. 2.2.3.5. Hai véc tơ chính và mô men chính khác không nhng song song với nhau (hình 2.6). Rro 0; Mro 0 và Rro // MroTrong trờng hợp này nếu thay Mro bằng một ngẫu lực ( ') mặt phẳng của ngẫu này vuông góc với véc tơ chính PrPrRr. Hệ đợc gọi là hệ vít động lực. Nếu véc tơ Rr song song cùng chiều với véc tơ Mro hệ gọi là hệ vít động lực thuận (phải) và ngợc lại gọi là hệ vít động lực nghịch (trái). Hình 2.6 biểu diễn vít động lực thuận 2.2.3.6. Hai véc tơ chính và mô men chính khác không và hợp lực với nhau một góc bất kỳ (hình 2.7) Trờng hợp này nếu thay thế véc tơ Mro bằng một ngẫu lực (PrPr') trong đó cólực Pr đặt tại O còn lực ' đặt tại OPr1 sao cho mo(P) = Mro. Rõ ràng mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực (P') không vuông góc với rPrRro. Mặt khác tại O có thể hợp hai lực và Pr rRo thành một lực Rr'. Nh Rr'Rr0 O1 Pr Pr' Mr0 Hình 2.7 -22-vậy đã đa hệ về tơng đơng với hai lực Pr', Rr' hai lực này chéo nhau. 2.2.4. Định lý Va ri nhông Định lý: Khi hệ lực có hợp lực Rr thì mô men của Rr đối với một tâm hay một trục nào đó bằng tổng mô men của các lực trong hệ lấy đối với tâm hay trục đó. mro( ) = Rr=n1imro(Fri) mrz(R) = r=n1imrz(Fri) (2.4) Frn O Rr' Rr Fr2 Fr1 xyzChứng minh: Cho hệ lực (1Fr, 2Fr, .,nFr) tác dụng lên vật rắn. Gọi là hợp lực của hệ (hình 2.8). RrTại điểm C trên đờng tác dụng của hợp lực đặt thêm lực ' = - RrRrRr.Hệ lực đã cho cùng với ' tạo thành một hệ lực cân bằng: RrHình 2.8 (, , . 1Fr2FrnFr, + ') 0 RrKhi thu gọn hệ lực này về một tâm O bất kỳ ta đợc một véc tơ chính và một mô men chính. Các véc tơ này bằng không vì hệ cân bằng, ta có: Mro = =n1imro(Fri) + mro(Rr') = 0 Thay ' = - ta có: RrRr=n1imro(Fri) - mro( ) = 0 RrHay mo( ) = Rr=n1imro(Fri) Chiếu phơng trình trên lên trục oz sẽ đợc: -23-mz( ) = Rr=n1imz(Fri) Định lý đã đợc chứng minh 2.2.5. Kết quả thu gọn các hệ lực đặc biệt 2.2.5.1. Hệ lực đồng quy Hệ lực đồng quy là hệ lực có đờng tác dụng của các lực giao nhau tại một điểm. Trong trờng hợp hệ lực đồng quy nếu chọn tâm thu gọn là điểm đồng quy kết quả thu gọn sẽ cho véc tơ chính đúng bằng hợp lực còn mô men chính sẽ bằng không. R0 0, Mo = 0 với O là điểm đồng quy. 2.2.5.2. Hệ ngẫu lực Nếu hệ chỉ bao gồm các ngẫu lực, khi thu gọn hệ sẽ đợc một ngẫu lực tổng hợp có mô men đúng bằng mô men chính của hệ. M = ; m=n1iimi là mô men của ngẫu lực thứ i và n là số ngẫu lực của hệ.2.2.5.3. Hệ lực phẳng Hệ lực phẳng là hệ có các lực cùng nằm trong một mặt phẳng. Nếu chọn tâm thu gọn nằm trong mặt phẳng của hệ thì kết quả thu gọn vẫn cho ta một mô men chính Mro và véc tơ chính Rro. Véc tơ chính nằm trong mặt phẳng của hệ còn mô men chính MRrro vuông góc với mặt phẳng của hệ. Theo kết quả thu gọn ở dạng chuẩn ta thấy: hệ lực phẳng khi có véc tơ chính Rrvà mô men chính Mro khác không bao giờ cũng có một hợp lực nằm trong mặt phẳng của hệ. 2.2.5.4. Hệ lực song song Hệ lực song song là hệ lực có đờng tác dụng song song với nhau. Kết quả thu gọn về một tâm bất kỳ cho ta một véc tơ chính và một mô men chính RrMro . Véc tơ chính có đặc điểm song song với các lực của hệ. -24-2.3. Điều kiện cân bằng và phơng trình cân bằng của hệ lực 2.3.1. Điều kiện cân bằng và phơng trình cân bằng của hệ lực bất kỳ trong không gian 2.3.1.1. Điều kiện cân bằng Điều kiện cân bằng của hệ lực bất kỳ trong không gian là véc tơ chính và mô men chính của nó khi thu gọn về một tâm bất kỳ đều bằng không. Rr = =n1iFr1 = 0 Mro = =n1imro(Fr1) = 0 (2-5) 2.3.1.2. Phơng trình cân bằng Nếu gọi Rx, Ry, Rz và Mx, My, Mz là hình chiếu của các véc tơ chính và mô men chính lên các trục toạ độ oxyz thì điều kiện (2-5) có thể biểu diễn bằng các phơng trình đại số gọi là phơng trình cân bằng của hệ lực bất kỳ trong không gian. Ta có: Rx = =n1iXi = 0, Ry = =n1iYi =0, Rz = =n1iZi = 0 Mx = =n1imx(Fri) = 0, My = =n1imy(Fri) = 0, Mz = =n1imz(Fri) = 0. (2-6) Trong các phơng trình trên Xi, Yi, Zi là thành phần hình chiếu của lực Fi; mx(Fri), my(Fri), mz(Fri) là mô men của các lực Fri đối với các trục của hệ tọa độ oxyz. Ba phơng trình đầu gọi là ba phơng trình hình chiếu còn 3 phơng trình sau gọi là 3 phơng trình mô men. 2.3.2. Phơng trình cân bằng của các hệ lực đặc biệt 2.3.2.1 Hệ lực đồng quy Nếu chọn tâm thu gọn là điểm đồng quy O thì mô men chính Mro sẽ bằng không do đó 3 phơng trình mô men luôn luôn tự nghiệm. Vậy phơng trình cân bằng của hệ lực đồng quy chỉ còn: [...]... điểm O tuỳ ý trên vật, áp dụng định lý rời lực song song đa các lực của hệ về đặt tại O. Kết quả cho ta hệ lực ( 1 F r , 2 F r , , n F r ) o đặt tại O và một hệ các ngẫu lực phụ có mô men là m r 1 = m r o ( ) , 1 F r m r 2 = m r o ( 2 F r ), m r n = o ( n F r ) (h×nh 2.4). m r Hợp từng đôi lực nhờ tiên đề 3 có thể đa hệ lực ( 1 F r , , F ) 2 F r n r o về tơng đơng víi mét lùc . R r Cơ... đồng quy. 2.2.5.2. Hệ ngẫu lực Nếu hệ chØ bao gåm c¸c ngÉu lùc, khi thu gän hƯ sẽ đợc một ngẫu lực tổng hợp có mô men ®óng b»ng m« men chÝnh cđa hƯ. M = ; m = n 1i i m i là mô men của ngẫu lực thứ i và n là số ngẫu lực của hệ. 2.2.5.3. Hệ lực phẳng Hệ lực phẳng là hệ có các lực cùng nằm trong một mặt phẳng. Nếu chọn tâm thu gọn nằm trong mặt phẳng của hệ thì kết quả thu gọn vẫn cho ta một... cách lần lợt hợp từng đôi ngẫu lực nh đà trình bày ở chơng 1. Ngẫu lực tổng hợp của hệ ngẫu lực phụ có mô men M r o = = n 1i m r o ( F r i ). Đây là mô men chính của hệ lực đà cho đối với tâm O Theo định lý 2.2, trong trờng hợp tổng quát khi thu gọn hệ lực về tâm O bất kỳ ta đợc một véc tơ chính và một mô men chính. Véc tơ chính bằng tổng hình học các lực trong hệ và là một đại lợng không đổi... biến đổi theo tâm thu gän O. 2.2. Thu gän hÖ lùc Thu gän hệ lực là đa hệ lực về dạng đơn giản hơn. Để thực hiện thu gọn hệ lực trớc hết dựa vào định lý rời lực song song trình bày dới đây. 2.2.1. Định lý 2.1 : Tác dụng của lực lên vật rắn sẽ không thay đổi nếu ta rời song song nó tới một điểm đặt khác trên vật và thêm vào đó một ngẫu lực phụ F r ' F r F r d A B '' H×nh 2.3... Định lý đà đợc chứng minh 2.2.5. Kết quả thu gọn các hệ lực đặc biƯt 2.2.5.1. HƯ lùc ®ång quy HƯ lùc ®ång quy là hệ lực có đờng tác dụng của các lực giao nhau tại một điểm. Trong trờng hợp hệ lực đồng quy nếu chọn tâm thu gọn là điểm đồng quy kết quả thu gọn sẽ cho véc tơ chính đúng bằng hợp lực còn mô men chính sẽ bằng kh«ng. R 0 ≠ 0, M o = 0 víi O là điểm đồng quy. 2.2.5.2. Hệ ngẫu lực. .. ngẫu lực có mô men m r = m r B (F) (theo định nghĩa mô men của ngẫu lực) . Ta đà chứng minh đợc F r F r ' + ngẫu lực ( F r , F r '') 2.2.2 Thu gän hƯ lùc bÊt kú vỊ mét tâm a. Định lý 2.2: Hệ lực bất kỳ luôn luôn tơng đơng với một lực bằng véc tơ chính đặt tại điểm O chọn tuỳ ý và một ngẫu lùc cã m« men b»ng m« men chÝnh cđa hƯ lực đối với tâm O đó. Chứng minh: Cho hệ lực. .. các lực trong hệ lấy đối với tâm thu gọn và là đại lợng biến đổi theo tâm thu gọn. Để xác định quy luật biến đổi của mô men chính đối với các tâm thu gọn khác nhau ta thực hiện thu gọn hệ lực về hai tâm O và O 1 bÊt kú (h×nh 2.4a). Thùc hiƯn thu gän hƯ về tâm O ta đợc R r r 0 và M o . R r 0 M r M r 01 O 1 O R r R r 0 01 Trªn vËt ta lÊy mét tâm O 1 khác O sau đó rời lực R r o về. .. chính nằm trong mặt phẳng của hệ còn mô men chính M R r r o vuông góc với mặt phẳng của hệ. Theo kết quả thu gọn ở dạng chuẩn ta thấy: hệ lực phẳng khi có véc tơ chính R r và mô men chính M r o khác không bao giờ cũng có một hợp lực nằm trong mặt phẳng cđa hƯ. 2.2.5.4. HƯ lùc song song HƯ lùc song song là hệ lực có đờng tác dụng song song với nhau. Kết quả thu gọn về một tâm bất kỳ cho ta một... -24- 2.3. Điều kiện cân bằng và phơng trình cân bằng của hệ lực 2.3.1. Điều kiện cân bằng và phơng trình cân bằng của hệ lực bất kỳ trong không gian 2.3.1.1. Điều kiện cân bằng Điều kiện cân bằng của hệ lực bất kỳ trong không gian là véc tơ chính và mô men chính của nó khi thu gọn về một tâm bất kỳ đều bằng không. R r = ∑ = n 1i F r 1 = 0 M r o = ∑ = n 1i m r o ( F r 1 )... đối với các trục của hệ tọa độ oxyz. Ba phơng trình đầu gọi là ba phơng trình hình chiếu còn 3 phơng trình sau gọi là 3 phơng trình mô men. 2.3.2. Phơng trình cân bằng của các hệ lực đặc biệt 2.3.2.1 Hệ lực đồng quy Nếu chọn tâm thu gọn là điểm đồng quy O thì mô men chính M r o sẽ bằng không do đó 3 phơng trình mô men luôn luôn tự nghiệm. Vậy phơng trình cân bằng của hệ lực đồng quy chỉ còn: . gọn O. 2.2. Thu gọn hệ lực Thu gọn hệ lực là đa hệ lực về dạng đơn giản hơn. Để thực hiện thu gọn hệ lực trớc hết dựa vào định lý rời lực song song trình. Định lý đã đợc chứng minh 2.2.5. Kết quả thu gọn các hệ lực đặc biệt 2.2.5.1. Hệ lực đồng quy Hệ lực đồng quy là hệ lực có đờng tác dụng của các lực giao