Tính tích phân các hàm chứa dấu trị tuyệt đối

Trần Só Tùng Tích phân Trang 101 Vấn đề 4: TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài toán: Tính tích phân: b a If(x,m)dx.= ò PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xét dấu biểu thức f(x, m) trên [a, b] Từ đó phân được đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ, giả sử: 112k [a,b][a,c][c,c] .[c,b].=ÈÈÈ mà trên mỗi đoạn f(x, m) có một dấu. Bước 2: Khi đó: 12 1k cc b acc If(x,m)dxf(x,m)dx .f(x,m)dx.=+++ òòò Ví dụ 1: Tính tích phân: 4 2 1 Ix3x2dx - =-+ ò Giải: Ta đi xét dấu hàm số 2 f(x)x3x2=-+ trên [–1, 4], ta được: x –1 1 2 4 f(x) + 0 – 0 + Khi đó: 124 222 112 I(x3x2)dx(x3x2)dx(x3x2)dx - =-+--++-+ òòò 124 323232 112 13131319 xx2xxx2xxx2x. 3232322 - ỉưỉưỉư =-+--++-+= ç÷ç÷ç÷ èøèøèø Chú ý: Với các bài toán chứa tham số cần chỉ ra được các trường hợp riêng biệt của tham số để khéo léo chia được khoảng cho tích phân, ta xét hai dạng thường gặp trong phạm vi phổ thông sau: Dạng 1: Với tích phân: b a Ixdx.=-a ò PHƯƠNG PHÁP GIẢI Khi đó với x[a,b]Ỵ cần xét các trường hợp: Trường hợp 1: Nếu a ³ b thì: b b 2 a a x1 I(x)dxx(ab)(ab2) 22 ỉư =a-=a-=-+-a ç÷ èø ò Trường hợp 2: Nếu a < a < b thì: Tích phân Trần Só Tùng Trang 102 b b 22 a a xx I(x)dx(x)dx(x)(x) 22 a a a a =a-+-a=a-+-a òò 222 1 (ab)(ab). 2 =a++a++ Trường hợp 3: Nếu a £ a thì: b b 2 a a x1 I(x)dx(x)(ab)(2ab). 22 =-a=-a=-a-- ò Dạng 2: Với tích phân: b 2 a Ixxdx.=-a+b ò PHƯƠNG PHÁP GIẢI Khi đó với x[a,b]Ỵ cần xét các trường hợp: Trường hợp 1: Nếu 2 40D=a-b£ thì: b 2 a I(xx)dx=+a+b ò Trường hợp 2: Nếu D > 0 thì 2 xx0+a+b= có hai nghiệm phân biệt 12 xx.< · Nếu 1212 xxahoặcbxx<££< thì: b 2 a I(xx)dx.=+a+b ò · Nếu 12 xabx£<£ thì: b 2 a I(xx)dx.=+a+b ò · Nếu 12 xaxb£<< thì: 2 2 x b 22 ax I(xx)dx(xx)dx.=-+a+b++a+b òò · Nếu 12 axbx£<£ thì: 1 1 x b 22 ax I(xx)dx(xx)dx.=+a+b-+a+b òò · Nếu 12 axxb£££ thì: 12 12 xx b 222 axx I(xx)dx(xx)dx(xx)dx.=+a+b-+a+b++a+b òòò Chú ý: Với bài toán cụ thể thường thì các nghiệm x 1 , x 2 có thể được so sánh tự nhiên với các cận a, b để giảm bớt các trường hợp cần xét và đây là điều các em học sinh cần lưu tâm. Ví dụ 2: (ĐHYD TP.HCM_96) Tính tích phân: 1 0 Ix.xadx(a0)=-> ò Giải: Ta đi xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu a ³ 1 Khi đó: 1 11 32 2 00 0 xaxa1 Ix.(xa)dx(xax)dx. 3223 ỉư =--=--=--=- ç÷ èø òò Trường hợp 2: Nếu 0 < a < 1 Trần Só Tùng Tích phân Trang 103 Khi đó: a1a1 22 0a00 Ix.(xa)dxx.(xa)dx(xax)dx(xax)dx=--+-=--+- òòòò a1 32323 0a xaxxaxaa1 . 3232323 ỉưỉư =--+-=-+ ç÷ç÷ èøèø BÀI TẬP Bài 9. Tính các tích phân sau: a/ 5 3 (|x2||x2|dx; - +-- ò b/ 1 2 1 (|2x1|(x|)dx; - -- ò c/ 1 42 1 |x|dx ; xx12 - -- ò d/ 4 2 1 x6x9dx;-+ ò e/ 1 1 4|x|.dx; - - ò f/ 1 1 |x|xdx - - ò g/ 3 x 0 |24|dx;- ò h/ 3 32 0 x2xxdx.-+ ò ĐS: a/ 8; b/ 3 2 c/ 23 ln; 74 d/ 5 ; 2 e/ 2(53);- f/ 22 ; 3 g/ 1 4; ln2 + h/ 2438 . 15 + Bài 10. Tính các tích phân sau: a/ 2 2 |sinx|dx; p p - ò b/ 0 22cos2xdx p + ò c/ 0 1sin2xdx; p - ò d/ 2 0 1sinx.dx. p + ò ĐS: a/ 2; b/ 4; c/ 22; d/ 42. Bài 11. Cho 1 x 0 I(t)|et|.dx,tR=-Ỵ ò a/ Tính I(t). b/ Tìm giá trò nhỏ nhất của I(t), với tR.Ỵ ĐS: a/ t1e,te 2t.lnt3te1,1te et1,t1 +-³ ì ï -++<< í ï --£ ỵ b/ 2 minI(t)(31),te.=-= Bài 12. Tính các tích phân sau: a/ 1 0 |xm|dx;- ò b/ 2 2 1 |x(a1)xa|dx.-++ ò ĐS: a/ 2 1 m,m0 2 1 mm,0m1. 2 ì -£ ï ï í ï -+<£ ï ỵ b/ 3 3a5 ,a2 6 (a1)3a5 ,1a2 36 53a ,a1 6 - ì ³ ï ï ï -- -<< í ï ï - £ ï ỵ Tích phân Trần Só Tùng Trang 104 Vấn đề 5: CÁCH TÍNH: òò bb aa max[f(x),g(x)]dx,min[f(x),g(x)]dx. Phương pháp: · Ta tìm max[f(x),g(x)],min[f(x),g(x) bằng cách xét hiệu: f(x)g(x)- trên đoạn [a ; b] · Giả sử ta có bảng xét dấu: Từ bảng xét dấu ta có: – với x[a;c]thìmax[f(x),g(x)]f(x)Ỵ= – với x[c;b]thìmax[f(x),g(x)]g(x).Ỵ= · Từ đó: bcb aac max[f(x),g(x)dx[f(x),g(x)]dxmax[f(x),g(x)]dx=+ òòò cb ac f(x).dxg(x).dx=+ òò · Cách tìm min[f(x),g(x)] thực hiện tương tự. Ví dụ: Tính tích phân: 2 0 Imax[f(x),g(x)]dx,= ò trong đó 2 f(x)xvàg(x)3x2.==- Giải: Xét hiệu: 2 f(x)g(x)x3x2-=-+ trên đoạn [0 ; 2] : Do đó: – Với 2 x[0;1]thìmax[f(x);g(x)]xỴ= – Với x[1;2]thìmax[f(x);g(x)]3x2Ỵ=- Ta có: 12 01 Imax[f(x);g(x)]dxmax[f(x);g(x)]dx=+ òò 1 2 3 12 22 01 0 1 x3 xdx(3x2)dxx2x 32 1317 642. 326 ỉư =+-=+- ç÷ èø =+--+= òò BÀI TẬP Bài 13. Tính các tích phân sau: a/ 2 2 0 max(x;x)dx; ò b/ 2 2 1 min(1;x)dx; ò c/ 2 3 0 min(x;x)dx; ò d/ 2 0 (sinx,cosx)dx. p ò ĐS: a/ 55 ; 6 b/ 4 ; 3 c/ 7 ; 4 d/ 22.- x a c b f(x) – g(x) + 0 – x 0 1 2 f(x) – g(x) + 0 – 0 Trần Só Tùng Tích phân Trang 105 Vấn đề 6: LỚP CÁC TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT Trong vấn đề này ta đi chứng minh rồi áp dụng một số tính chất cho những lớp tích phân đặc biệt. Tính chất 1: Nếu f(x) liên tục và là hàm lẻ trên [–a ; a] thì: a a If(x)dx0. - == ò PHƯƠNG PHÁP GIẢI Biến đổi I về dạng: a0a aa0 If(x)dxf(x)dxf(x)dx -- ==+ òòò (1) Xét tính phân 0 a Jf(x)dx. - = ò Đặt xtdxdt=-Þ=- Đổi cận: x = –a Þ t = a; x = 0 Þ t = 0 Mặt khác vì f(x) là hàm lẻ Þ f(–t) = –f(t). Khi đó: 0aa a00 Jf(t)dtf(t)dtf(x)dx.=--=-=- òòò Thay (2) vào (1) ta được I = 0 (đpcm). Áp dụng: Ví dụ 1: Tính tích phân: 1/2 1/2 1x Icosx.lndx. 1x - - ỉư = ç÷ +èø ò Giải: Nhận xét rằng: hàm số 1x f(x)cosx.ln 1x - ỉư = ç÷ +èø có: · Liên tục trên 11 ; 22 éù - êú ëû · 1x1x f(x)f(x)cosx.lncos(x).ln 1x1x -- ỉưỉư +-=+- ç÷ç÷ ++èøèø 1x1x lnlncosxln1.cosx0. 1x1x éù-+ ỉưỉư =+== ç÷ç÷ êú +-èøèø ëû f(x)f(x).Þ-=- Vậy, f(x) là hàm lẻ trên 11 ; 22 éù - êú ëû , do đó theo tính chất 1 ta được I = 0. Chú ý quan trọng: 1. Khi gặp dạng tích phân trên thông thường học sinh nghó ngay tới phương pháp tích Tích phân Trần Só Tùng Trang 106 phân từng phần, xong đó lại không phải ý kiến hay. Điều đó cho thấy việc nhìn nhận tính chất cận và đặc tính của hàm số dưới dấu tích phân để từ đó đònh hướng việc lựa chọn phương pháp giải rất quan trọng. 2. Tuy nhiên với một bài thi thì vì tính chất 1 không được trình bày trong phạm vi kiến thức của sách giáo khoa do đó các em học sinh lên trình bày như sau: 01/2 1/20 1x1x Icosx.lndxcosx.lndx 1x1x - -- ỉưỉư =+ ç÷ç÷ ++èøèø òò . (1) Xét tính chất 0 1/2 1x Jcosx.lndx 1x - - ỉư = ç÷ +èø ò Đặt xtdxdt=-Þ=- Đổi cận: 11 xt. 22 =-Þ= x = 0 Þ t = 0. Khi đó: 01/21/2 1/200 1t1t1x Icos(t).lndtcost.lndtcosx.lndx 1t1t1x +-- ỉưỉưỉư =--=-=- ç÷ ç÷ç÷ -++èø èøèø òòò (2) Thay (2) vào (1) ta được I = 0. 3. Vậy kể từ đây trở đi chúng ta sẽ đi áp dụng ý tưởng trong phương pháp chứng minh tính chất để giải ví dụ trong mục áp dụng. Tính chất 2: Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên đoạn [–a ; a] thì: aa a0 If(x)dx2f(x)dx. - == òò PHƯƠNG PHÁP GIẢI Biến đổi I về dạng: a0a aa0 If(x)dxf(x)dxf(x)dx -- ==+ òòò (1) Xét tính phân 0 a Jf(x)dx. - = ò Đặt xtdxdt=-Þ=- Đổi cận: x = –a Þ t = a; x = 0 Þ t = 0 Mặt khác vì f(x) là hàm chẵn Þ f(–t) = f(t) Khi đó: 0aaa a000 Jf(t)dtf(t)dtf(t)dtf(x)dx=--=== òòòò (2) Thay (2) vào (1) ta được a 0 I2f(x)dx= ò đpcm. Chú ý quan trọng: 1. Trong phạm vi phổ thông tính chất trên không mang nhiều ý nghóa ứng dụng, do đó khi gặp các bài toán kiểu này chúng ta tốt nhất cứ xác đònh: a a If(x)dx - = ò Trần Só Tùng Tích phân Trang 107 bằng cách thông thường, thí dụ với tích phân: 1 2 1 Ixdx. - = ò Ta không nên sử dụng phép biến đổi: 1 1 3 2 0 0 2x2 I2xdx. 33 === ò bởi khi đó ta nhất thiết cần đi chứng minh lại tính chất 2, điều này khiến bài toán trở nên cồng kềnh hơn nhiều so với cách làm thông thường, cụ thể: 1 3 1 x2 I. 33 - == 2. Tuy nhiên không thể phủ nhận sự tiện lợi của nó trong một vài trường hợp rất đặc biệt. Tính chất 3: Nếu f(x) liên tục và là chẵn trên R thì : x 0 f(x)dx If(x)dxvớiRvàa0. a1 aa + -a =="> + òò PHƯƠNG PHÁP GIẢI Biến đổi I về dạng: 0 xxx 0 f(x)dxf(x)dxf(x)dx I a1a1a1 aa -a-a ==+ +++ òòò Xét tính phân 0 1 x f(x)dx I a1 -a = + ò Đặt xtdxdt=-Þ=- Đổi cận: x = 0 Þ t = 0; x = –a Þ t = a. Mặt khác vì f(x) là hàm chẵn Þ f)–t) = f(t). Khi đó: 0 tt 1 ttt 00 f(t)dtaf(t)dtaf(t)dt I a1a1a1 aa - a - === +++ òòò Vậy: tx txx 0000 af(t)dtf(x)dx(a1)f(x)dx If(x)dx. a1a1a1 aaaa + ==== +++ òòòò Áp dụng: Ví dụ 2: Tính tích phân: 1 4 x 1 xdx I 21 - = + ò Giải: Biến đổi I về dạng: 01 44 xx 10 xdxxdx I 2121 - =+ ++ òò (1) Xét tích phân 0 4 x 1 xdx J 21 - = + ò Đặt x = –t Þ dx = –dt Đổi cận: x = –1 Þ t = 1, x = 0 Þ t = 0. Tích phân Trần Só Tùng Trang 108 Khi đó: 011 44t4x ttx 100 (t)dtt.2.dtx.2.dx J 212121 - - =-== +++ òòò (2) Thay (2) vào (1) ta được: 1111 4x44x 4 xxx 0000 x.2.dxxdxx(21)dx1 Ixdx. 5 212121 + =+=== +++ òòòò Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên 0; 2 p éù êú ëû thì: /2/2 00 f(sinx)dxf(cosx)dx. pp = òò CHỨNG MINH Đặt txdxdt 2 p =-Þ=- Đổi cận: x0t, 2 p =Þ= xt0. 2 p =Þ= Khi đó: /20/2/2 0/200 f(sinx)dxf(sin(t)dtf(cost)dtf(cosx)dx 2 ppp p p =--== òòòò đpcm. Chú ý quan trọng: Như vậy việc áp dụng tính chất 4 để tính tích phân: /2/2 00 If(sinx)dx(hoặcIf(cosx)dx). pp == òò thường được thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Bằng phép đổi biến tx 2 p =- như trong phần chứng minh tính chất, ta thu được /2 0 If(cosx)dx. p = ò Bước 2: Đi xác đònh kI (nó được phân tích /2/2 00 kIf(sinx)dxf(cosx)dx)), pp =a+b òò thường là: /2/2/2 000 2If(sinx)dxf(cosx)dx[f(sinx)f(cosx)]dx ppp =+=+ òòò . Từ đó suy ra giá trò của I. Áp dụng: Ví dụ 3: Tính tích phân: /2 n nn 0 cosxdx I cosxsinx p = + ò Giải: Đặt txdxdt 2 p =-Þ=- Đổi cận: x0t, 2 p =Þ= xt0. 2 p =Þ= Trần Só Tùng Tích phân Trang 109 Khi đó: n 0/2/2 nn nnnn nn /200 cost(dt) sintdtsinx 2 Idx. costsintcosxsinx costsint 22 pp p p ỉư -- ç÷ èø === pp ỉưỉư++ -+- ç÷ç÷ èøèø òòò Do đó: /2/2 nn nn 00 cosxsinx 2IdxdxI. 24 cosxsinx pp +pp ===Þ= + òò Tính chất 5: Nếu f(x) liên tục và f(a + b – x) = f(x) thì bb aa ab Ixf(x)dxf(x)dx. 2 + == òò CHỨNG MINH Đặt xabtdxdt=+-Þ=- Đổi cận: x = a Þ t = b; x = b Þ t = a Khi đó: ab ba I(abt)f(abt)(dt)(abt)f(t)dt=+-+---+- òò bbbbb aaaaa (ab)f(t)dttf(t)dt(ab)f(t)dtxf(x)dx(ab)f(t)dtI=+-=+-=+- òòòòò bb aa ab 2I(ab)f(t)dtIf(x)dx. 2 + Û=+Û= òò Hệ quả 1: Nếu f(x) liên tục trên [0 ; 1] thì: Ixf(sinx)dxf(sinx)dx 2 p-ap-a aa p == òò Hướng dẫn chứng minh: Đặt x = p – t Þ dx = –dt. Áp dụng: Ví dụ 4: Tính tích phân: 2 0 xsinxdx I. 4cosx p = - ò Giải: Biến đổi I về dạng: 22 000 xsinxdxxsinxdx Ixf(sinx)dx. 4(1sinx)3sinx ppp === --+ òòò Đặt xtdxdt=p-Þ=- Đổi cận: x = p Þ t = 0; x = 0 Þ t = p. Khi đó: 0 2222 000 (t)sin(t)dt(t)sintdtsintdttsintdt I 4cos(t)4cost4cost4cost ppp p p-p-p-p =-==- -p---- òòòò 222 000 d(cost)d(cost)d(cost) I2I 4cost4costcost4 ppp =-p-Û=-p=p --- òòò 2 0 0 d(cost)1cost2ln9 I.ln. 224cost28 cost4 p p pp-p Û=== + - ò Tích phân Trần Só Tùng Trang 110 Hệ quả 2: Nếu f(x) liên tục trên [0 ; 1] thì: 22 Ixf(cosx)dxf(cosx)dx. p-ap-a aa ==p òò Hướng dẫn chứng minh: Đặt x = 2p – t Þ dx = –dt. Áp dụng: Ví dụ 5: Tính tích phân: 2 3 0 Ix.cosxdx p = ò Giải: Đặt x2tdxdt=p-Þ=- Đổi cận: x = 2p Þ t = 0; x = 0 Þ t = 2p. Khi đó: 02 33 20 I(2t).cos(2t)(dt)(2t).costdt p p =p-p--=p- òò 222 33 000 2costdttcostdt(cos3t3cost)dtI 2 ppp p =p-=+- òòò 2 0 1 2Isin3t3sint0I0. 23 p p ỉư Û=+=Û= ç÷ èø Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục và f(a + b – x) = –f(x) thì b a If(x)dx0.== ò CHỨNG MINH Đặt xabtdxdt=+-Þ=- Đổi cận: x = a Þ t = b; x = b Þ t = a Khi đó: abb baa If(abt)(dt)f(t)dtf(x)dxI2I0I0.=+--=-=-=-Û=Û= òòò Áp dụng: Ví dụ 6: (CĐSPKT_2000) Tính tích phân: /2 0 1sinx Ilndx. 1cosx p + ỉư = ç÷ + èø ò Giải: Đặt txdxdt 2 p =-Þ=- Đổi cận: x0t, 2 p =Þ= xt0. 2 p =Þ= Khi đó: 0/2 /200 1sint 1cost1sint 2 Iln(dt)lndtlndt 1sint1cost 1cost 2 pp p ỉưp ỉư +- ç÷ ç÷ ++ ỉưỉư èø =-==- ç÷ ç÷ç÷ p ++ỉư èøèø ç÷ +- ç÷ ç÷ èø èø òòò /2 0 1sinx lndxI2I0I0. 1cosx p + ỉư =-=-Û=Û= ç÷ + èø ò [...]... hãy tính các giá trò của I, J và K : K = ò ĐS: a/ I - 3J = 1 - 3; I + J = Bài 27.a/ b/ Chứng minh rằng: p 2 0 ò 1 ln 3; 4 cos2x.dx cos x - 3 sin x 1 3 -1 b/ K = ln 3 8 2 p cos6 x.cos6x.dx = ò02 cos5 x.sin x si n6x.dx p Tính: J = ò 2 cos5 x.cos7 x.dx 0 ĐS: b/ J = 0 Trang 116 Trần Só Tùng Tích phân Vấn đề 9: TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ (xem lại vấn đề 9 của bài học 1) BÀI TẬP Bài 28 Tính các tích phân. .. ò (x 2 + 1)dx x4 - x2 + 1 a/ p ; 16 1 21 3 7 b/ ln + ln ; 4 2 4 2 e/ b ; a + b2 p f/ ; 8 p g/ 4 Trang 114 1 32 c/ ln ; 4 17 d/ 1; Trần Só Tùng Tích phân TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯNG GIÁC Vấn đề 8: (xem lại vấn đề 8 của bài học 1) BÀI TẬP Bài 20 Tính các tích phân sau: a/ d/ g/ p 8 0 cos2x.dx ; sin 2x + cos2x p 4 0 sin x.dx ; 6 sin x + cos6 x p 2 0 sin x + 7 cos x + 6 dx; 4sin x + 3 cos x + 5 ò ò ò a/ 5p... g(x) = í ïf(0) , nếu x = p ï 2 ỵ Chứng minh rằng: é pù a/ g(x) liên tục trên ê 0; ú ; ë 2û b/ Trang 113 p 4 0 ò p 2 p 4 g(x).dx = ò g(x).dx Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 7: TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ (xem lại vấn đề 7 của bài học 1) BÀI TẬP Bài 18 Tính các tích phân sau: x4 - 1 dx; x2 + 9 a/ ò 3 e/ ò 4 2 0 0 x15 dx (x8 + 1)2 4 x.dx ; -1 (x + 2)2 b/ ò c/ ò 1 35 5 25 e/ 125 + ; 192 192 c/ 9 5 2 x dx... 0,n Ỵ N) a/ Với giá trò nào của n thì I không phụ thuộc vào a b/ Tính I với n tìm được 1 ĐS: a/ n = ; 2 b/ 2 ln(1 + 2 ) 3 Trang 118 Trần Só Tùng Tích phân TÍCH PHÂN CÁC HÀM SIÊU VIỆT Vấn đề 10: (xem lại vấn đề 10 của bài học 1) BÀI TẬP Bài 33 Tính các tích phân sau: a/ ò ln 2 d/ ò e 0 1 dx ; x(1 + ln 2 x ĐS: a/ ln 5 1 - e2x dx; b/ ò0 e/ ò e 1 ex e x - 1 dx; ex + 3 1 + ln 2 x dx; x 1ỉ 2- 3ư ç 3 + ln... 8: Tính tích phân: I = 2004 p ò 1 - cos2xdx 0 Giải: Viết lại I dưới dạng: I= 2 2004 p ò 0 2p 4p 0 2p sin x dx = 2( ò sin x dx + ò sin x dx + + Theo tính chất 8, ta được: Trang 112 2004 p ò 2002 p sin x dx) (1) Trần Só Tùng 2p ò Tích phân sin x dx = 0 4p ò 2p p 2p 0 p sin x dx = 1002( ò sin xdx - ò sin xdx) p 0 = 1002 2(cos x + cos x 2p p ) = 4008 2 Nhận xét: Như vậy nếu bài thi yêu cầu tính tích phân. .. 3); 3 Bài 22 Tìm hai số A, B để hàm số f(x) = Từ đó tính: cot g 3 sin3 x - sin x.dx ; sin3 x p 3 p 4 cos ( x ).dx; c/ ò 2 Trang 115 x.dx ; sin2 x Tích phân d/ Trần Só Tùng p 4 0 ò p3 8 0 x.tg x.dx; p2 a/ - 2; 4 ĐS: 2x x f/ ò x 2 sin dx; 0 2 e/ ò sin 3 x.dx; 2 3p2 1 b/ + ; 8 2 c/ p 1 p2 d/ - ln 2 - ; e/ 3p - 6; 4 2 32 p(9 - 4 3) ; 36 f/ -8(p2 + 4) Bài 24 Tính các tích phân sau: a/ c/ p n-1 ò0 sin p x.cos(n... sin xdx - ò sin xdx) p 0 = 1002 2(cos x + cos x 2p p ) = 4008 2 Nhận xét: Như vậy nếu bài thi yêu cầu tính tích phân dạng trên thì các em học sinh nhất thiết phải phát biểu và chứng minh được tính chất 8, từ đó áp dụng cho tích phân cần tìm BÀI TẬP Bài 14 Tính các tích phân sau: a/ ò 1 1p 2 p 2 e/ ò 1 - x2 dx; 1 + 2x b/ p 2 p 2 ò x 2 | sin 2 x | dx; 1 + 2x p x + cos x dx; c/ ò x.sin 3 x.dx; 2 0 4 -... 4-x 1 ò0 , m Ỵ N* c/ p - 4; 1 - 1 2 m Bài 29 Tính các tích phân sau: a/ d/ dx 4 ò2 x 2 ò-1 16 - x 2 ; b/ x 2 4 - x 2 dx; 1 ỉ pư ĐS: a/ - ln ç tg ÷ ; 4 è 12 ø d/ 5p 3 ; 6 4 dx 6 ò2 3 x x2 - 9 1 c/ ò x3 1 + x2 dx; ; 0 2 e/ ò x (x 2 + 4)3 dx; f/ ò 0 b/ p ; 18 e/ x 2 (3 - x 2 )3 2 ( 2 - 1); 15 32 (4 2 - 1); 5 c/ 0 3 2 f/ 9 (4 p + 9 3) 64 Bài 30 Tính các tích phân sau: a/ e/ 4 4 3 3 ò a ò0 x2 - 4 dx; x... ; 2 8 6 h/ 1 |b|+|a| Bài 21 Tính các tích phân sau: a/ d/ p 2 p 6 cis3 x.dx ; sin x p x.sin x.cos3 x.dx; ò ò0 p 4 0 b/ ò p 2 p 3 cos x - sin x dx; 2 + sin 2x c/ ò p x.sin x.dx ; cos2 x 3 p f/ ò x - cos4 x.sin3 x.dx e/ ò 3p 0 a/ ln( 2 + 1); ỉ 3+ 2ư b/ ln ç ÷; è 2 +1 ø p d/ ; 3 ĐS: e/ c/ - f(x) = A.cos x B.cos x + (2 + sin)2 2 + sin x 0 p f(x).dx 2 ò Bài 23 Tính các tích phân sau: a/ ò 2 x cos x.dx;... c/ p ; 6 f/ 3 3 ( 16 - 1) 8 Bài 34 Tính các tích phân sau: a/ 2 ò0 ln x dx; x2 e2 ỉ 1 1 ư b/ ò ç 2 ÷ dx; e è ln x ln x ø p 3 p 6 e ln x.dx ln(x + 1).dx d/ ò ; e/ ò1 ; 0 (x + 1)2 x +1 1 ĐS: a/ 1 (1 - 2 ln 2 ); 2 b/ d/ 2 ln 4 - 4 2 + 4; f/ ò 1 (2e - e2 ); 2 e/ 0; ln(lnx).dx ; x e3 c/ òe2 ln(sin x).dx cos2 x c/ ln f/ 27 ; 4e 3 3 3 p ln - 3 2 6 Bài 35 Tính các tích phân sau: a/ c/ p 2 0 ò log 2 (1 + . Trần Só Tùng Tích phân Trang 101 Vấn đề 4: TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài toán: Tính tích phân: b a If(x,m)dx.= ò PHƯƠNG. p = òò Tích phân Trần Só Tùng Trang 114 Vấn đề 7: TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ (xem lại vấn đề 7 của bài học 1) BÀI TẬP Bài 18. Tính các tích phân sau: