Nguồn đồng dư

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM CÔNG BIÊN NGUỒN ĐỒNG DƯ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014 Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM CÔNG BIÊN NGUỒN ĐỒNG DƯ Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Cán hướng dẫn khoa học: GS.TS Đặng Huy Ruận Hà nội – 2014 Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor i To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Mở đầu Trong chương trình tốn Trung học sở, tốn chia hết chia có dư phức tạp thường gây khó khăn cho học sinh trình bày cách giải giáo viên hướng dẫn học sinh Chẳng hạn tốn sau: “Có số tự nhiên nhỏ 1000 chia cho dư 3?” Vì vậy, sử dụng kiến thức đồng dư mà luận văn đề cập đến nguồn đồng dư giúp em học sinh giáo viên có nhìn trực quan tốn dễ dàng giải Đồng thời, tác giả hy vọng luận văn tài liệu hữu ích giúp bạn sinh viên học tốt môn “ Lý thuyết đồng dư” Luận văn trình bày dạng đa đồ thị có hướng gán nhãn Đó nguồn Nguồn với tập nhãn gồm số gọi nguồn sinh số Nguồn với tập nhãn gồm số đồng dư gọi nguồn đồng dư Ngoài phần mở đầu, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: Chương I Trình bày số khái niệm cần sử dụng chương sau; Chương II Trình bày nguồn đồng dư; Chương III Trình bày nguồn đồng dư có nhiều tính chất Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo GS.TS Đặng Huy Ruận, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu Đồng thời, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn- Cơ- Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên- Đại học Quốc Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ii gia Hà Nội tận tình dạy bảo trình học tập tạo điều kiện tốt thủ tục hành để tác giả hồn thành luận văn Do thời gian hạn hẹp đề tài có số nguồn giao phức tạp, nên tránh khỏi sai sót Tác giả mong bảo tận tình thầy bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2014 Tác giả Phạm Công Biên iii MỤC LỤC Mục lục trang Mở đầu i Mục lục iii Chương I: Một số khái niệm bản…………………………………… §1 Tập xâu ký hiệu số phép tốn……………………………… §2 Đa đồ thị có hướng………………………………………………… §3 Nguồn sinh số………………………………………………………… 16 Chương II: Nguồn đồng dư…………………………………………… 21 §1 Nguồn đồng dư vịng đỉnh……………………………………… 21 §2 Nguồn đồng dư hai vịng đỉnh……………………………………… 26 Chương III: Nguồn đồng dư có nhiều tính chất………………………… 35 §1 Thuật tốn xây dựng nguồn giao…………………………………… 35 §2 Một số nguồn minh họa……………………………………………… 39 Danh mục tài liệu tham khảo…………………………………………… 73 CHƯƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương trình bày số khái niệm cần thiết cho chương §1 TẬP XÂU KÝ HIỆU VÀ MỘT SỐ PHÉP TOÁN I Bảng chữ Xâu ký hiệu Tập xâu ký hiệu Bảng chữ Tập ∑ ≠  gồm hữu hạn vô hạn đối tượng gọi bảng chữ (hay tự điển) Mỗi phần tử a ∑ gọi ký hiệu chữ (thuộc bảng chữ ∑) Ví dụ: P= 0,1 bảng chữ nhị phân Q= 0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 bảng chữ thập phân R= , , , ,  bảng chữ gồm: Hình tam giác, hình vng, hình trịn, hình chữ nhật, hình thoi Xâu ký hiệu Giả sử có bảng chữ ∑= a1,a , ,a n  Dãy α gồm ký hiệu thuộc bảng chữ ∑ α= ai1 ai2 a is a it ,a is  (1  s  t) gọi xâu ký hiệu hay xâu bảng chữ ∑ Tổng số vị trí tất ký hiệu xuất α gọi độ dài xâu α ký hiệu  Xâu có độ dài (tức xâu không chứa ký hiệu nào) gọi xâu rỗng hay xâu trống đồng thời ký hiệu   Xâu rỗng xâu thuộc bảng chữ Dễ dàng thấy rằng: Nếu α xâu thuộc bảng chữ ∑, xâu bảng chữ tùy ý  chứa ∑ Ví dụ: β= 101011 xâu bảng chữ nhị phân P= 0,1  = 6,  = 1223233 xâu bảng chữ S= 1, 2,3  =7 Các xâu β,  xâu bảng chữ thập phân Tập gồm tất xâu bảng chữ ∑ ký hiệu ∑*, tập gồm tất xâu khác rỗng bảng chữ ∑ ký hiệu ∑+ Dễ dàng thấy ∑+ = ∑*\  Tập xâu ký hiệu Giả sử có bảng chữ ∑ Mỗi tập A  ∑* gọi tập xâu ký hiệu bảng chữ ∑ (nếu ∑ bảng chữ số xâu ký hiệu thuộc A số, A gọi tập số ∑) Tập  gọi tập xâu trống Tập xâu trống tập xâu bảng chữ Hiển nhiên tập xâu trống khác với tập xâu gồm xâu rỗng Ví dụ: L= {  ,1,0,10,011 } tập xâu bảng chữ nhị phân P= 0,1 , L1= {a,bc,bac} tập xâu bảng chữ ∑={a,b,c} Tích ghép Đây phép toán thực xâu ký hiệu Định nghĩa Tích ghép xâu khơng rỗng α= a1a2…am β=b1b2…bn xâu  = c1c2…cm+n, c1= a1, c2= a2 ,…, cm= am , cm+1= b1, cm+2= b2,…, cm+n= bn Ngoài ra, xâu tùy ý α tích ghép α với xâu rỗng  tích ghép  với α α Dễ dàng thấy rằng, tích ghép có tính chất kết hợp, song giao hốn xâu bảng chữ ký hiệu Ta viết αn thay cho cách viết αα…α(n lần) quy ước α1= α, α0 xâu rỗng Ví dụ 1: Cho xâu α= ab, β= cde, µ= 543,  = 21 Khi đó, α.β= αβ= abcde, β.α= βα= cdeab, α.µ= αµ= ab543, µ  = 54321 Nếu xâu µ,α,β,γ bảng chữ ∑, mà µ= αβγ xâu α*β*γ với ký hiệu * không thuộc ∑ gọi vị trí xâu β xâu µ Xâu β gọi xâu xâu µ (hay xâu µ), tồn vị trí β µ Nếu α=  , tức µ= βγ, xâu β cịn gọi phần đầu Cịn γ=  tức µ= αβ xâu β gọi phần cuối xâu µ Khi β=  , ta có µ= α  γ=  µ= µ  , nên xâu rỗng xâu con, phần đầu, phần đuôi xâu gọi xâu tầm thường Trong trường hợp độ dài xâu β= 1, tức gồm ký hiệu Chẳng hạn β= b, b thuộc ∑, *b* gọi vị trí ký hiệu b xâu µ Đơi vị trí ký hiệu cịn gọi điểm Người ta dùng la(µ) để số vị trí ký hiệu a xâu µ Nếu α= t1*at2*, β= s1*bs2* điểm xâu µ= t1at2= s1bs2 Và t1 < s1 , ta viết α< β, đồng thời nói α nằm (hoặc đặt) bên trái β, β nằm bên phải α Nếu α< β< γ, ta nói β nằm α γ Đối với hai điểm tùy ý α, β xâu µ, mà α≤ β, tập hợp điểm δ thỏa mãn bất đẳng thức α≤ δ≤ β gọi đoạn xâu µ ký hiệu [α, β], tập hợp điểm mà α< δ< β gọi khoảng xâu µ ký hiệu (α, β) Đôi cần khoảng đặc biệt (-, α) (α, -) tập hợp điểm thỏa mãn bất đẳng thức δ< α α> δ Khoảng khác với đoạn chỗ rỗng Ví dụ 2: Xâu µ= abcbcb chứa vị trí xâu bcb: a*bcb*cb abc*bcb*, vị trí ký hiệu a: *a*bcbcb, vị trí xâu rỗng : **abcbcb, a**bcbcb, ab**cbcb, abc**bcb, abcb**cb, abcbc**b, abcbcb** Nếu ký hiệu vị trí chữ xâu µ α, β, δ, α< β< δ Các đoạn [α, β] [β, δ] tương ứng với hai vị trí khác xâu bcb II Các phép toán tập xâu ký hiệu Trên tập xâu ký hiệu, ngồi phép tốn lý thuyết tập hợp như: phép hợp, phép giao, phép lấy phần bù Cịn có phép tốn đặc thù như: tích ghép, lặp Giả sử L1, L2, L3 tập xâu ký hiệu bảng chữ ∑ A Phép hợp Định nghĩa Tập xâu ký hiệu {x  ∑*/ x  L1 x  L2} gọi hợp tập xâu ký hiệu L1 L2, đồng thời ký hiệu L1  L2 L1  L2 Ví dụ: Cho tập xâu ký hiệu L1= {  , a, ab, bc}, L2= {a,b,ca,ab,cb} Khi đó: L1  L2= {  , a, b, ab, bc, ca, cb} Tính chất a Giao hốn, nghĩa L1  L2= L2  L1 b Kết hợp, nghĩa (L1  L2)  L3= L1  (L2  L3) c L   =   L= L d L  ∑*= ∑* với L  ∑* B Phép giao Định nghĩa: Tập xâu ký hiệu {x  ∑*/ x  L1 x  L2} gọi giao tập xâu ký hiệu L1 L2, đồng thời ký hiệu L1∩ L2 L1  L2 Ví dụ: Với L1, L2 cho ví dụ có giao L1∩L2 = {a, ab} Tính chất: a Giao hốn, nghĩa L1∩ L2=L2∩ L1 b Kết hợp, nghĩa (L1∩ L2)∩ L3= L1∩ (L2∩ L3) c L∩ ∑*= L với L  ∑* d L∩  =  ∩ L=  59 Ví dụ 7: Hãy xây dựng nguồn I sinh tất số nguyên dương bắt đầu chữ số 1, chứa chữ số chia hết cho Nguồn giao I bao gồm nguồn I0 sinh tất số nguyên dương bắt đầu chữ số 1, chứa chữ số nguồn I07 sinh tất số nguyên dương chia hết cho Xây dựng nguồn giao thành phần: - Nguồn I0 x 013 y …9 013 z …9 - Nguồn I07 (xem trang 29) Nguồn giao I xây dựng theo nguồn giao hai vòng đỉnh sau: 60 I y, y, z, y, y, z, 4 z, x, V y, z, z, y, z, z, y, 61 Ví dụ 8: Hãy xây dựng nguồn I sinh tất số nguyên dương lẻ chia hết cho Nguồn giao I sinh tất số ngun dương gồm có hai tính chất là: - Lẻ - Và chia hết cho Ta xây dựng nguồn thành phần gồm: Nguồn I0 sinh tất số nguyên dương lẻ nguồn I07 sinh tất số nguyên dương chia hết cho - Xây dựng nguồn I0 x … y 13579 z - Xây dựng nguồn I07 (xem trang 29) Bằng cách xây dựng nguồn giao hai vòng đỉnh, ta xây dựng nguồn giao I sau: 62 I y, z, y, z, x, V y, y, z, z, 2 z, y, y, y, 63 Ví dụ 9: Hãy xây dựng nguồn I sinh tất số nguyên dương chẵn chia hết cho Nguồn giao I sinh tất số nguyên dương gồm hai tính chất: - Chẵn - Và chia hết cho Xây dựng nguồn thành phần: - Nguồn I0 sinh tất số nguyên dương chẵn x … y 02468 z - Nguồn I80 sinh tất số nguyên dương chia hết cho (xem trang 30) - Bằng cách xây dựng nguồn giao hai vòng đỉnh, ta nguồn giao I sau: 64 I y, z, y, y, y, x, V y, z, z, y, y, z, y, 65 Ví dụ 10: Hãy xây dựng nguồn I sinh tất số nguyên dương chia hết cho cho Nguồn giao I sinh tất số nguyên dương gồm có hai tính chất: - Chia hết cho - Và chia hết cho Xây dựng nguồn thành phần: - Nguồn I04 sinh tất số nguyên dương chia hết cho (xem trang 53) - Nguồn I50 sinh tất số nguyên dương chia hết cho (xem trang 25) Xây dựng nguồn giao I hai vòng đỉnh sau: 66 I 67 23 0, 0, 3, 0, 3, 0, 3, 1, 34 1, 3, V, V 3, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 89 56 54 0, 76 67 Ví dụ 11: Hãy xây dựng nguồn sinh tất số tự nhiên chứa chữ số chia hết cho Xây dựng nguồn thành phần: - Nguồn I0 sinh tất số tự nhiên chứa chữ số 1: x 23…9 y 02…9 1 02…9 z - Nguồn I 90 sinh tất số tự nhiên chia hết cho ( xem trang 31) 68 I 56 y, y, z, y, z, 7 y, z, x, V y, z, z, y, z, y, z, z, 23 y, y, z, 69 Ví dụ 12: Hãy xây dựng nguồn I sinh tất số nguyên dương gồm chẵn chữ số, có chữ số chẵn chữ số lẻ xen kẽ cài lược chia hết cho Nguồn I giao nguồn I0 sinh tất số nguyên dương gồm chẵn chữ số, có chữ số chẵn chữ số lẻ xen kẽ cài lược nguồn I 07 sinh tất số nguyên dương chia hết cho I Xây dựng nguồn thành phần Nguồn I0 s1 02468 s4 s0 s2 Nguồn I 07 ( (xem trang 29) II Xây dựng nguồn giao I s3 70 Nguồn I (phần tương ứng với mảng đỉnh {(s1,0), (s1,1), (s1,2), (s1,3), (s1,4), (s1,5), (s1,6)} tầng một): s0,V s1,1 s1,0 60 08 s0,0 s0,1 s0,2 s0,3 s0,4 s1,2 s1,3 s0,5 s0,6 s1,5 s1,4 s4,0 s4,1 s1,6 s4,2 s4,3 s4,4 s4,5 s4,6 71 Nguồn I (phần tương ứng với mảng đỉnh {(s2,0), (s2,1), (s2,2), (s2,3), (s2,4), (s2,5), (s2,6)} tầng một): s0,V s2,0 s2,1 s2,2 s2,4 s2,3 s2,5 s2,6 s3,0 s3,1 s3,2 s3,3 s3,4 s3,5 s3,6 s4,0 s4,1 s4,2 s4,3 s4,4 s4,5 s4,6 72 Nguồn I (phần tương ứng với mảng đỉnh {(s3,0), (s3,1), (s3,2), (s3,3), (s3,4), (s3,5), (s3,6)} tầng một): s3,0 s3,1 s3,2 s3,3 s3,4 s2,0 s2,1 s2,2 s3,6 s3,5 s2,3 s2,4 s2,5 s2,6 Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor 73 To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Danh mục tài liệu tham khảo Đặng Huy Ruận, (2002) , Bảy phương pháp giải toán logic, nhà xuất khoa học kỹ thuật, Hà Nội Đặng Huy Ruận, (2005), Phương pháp giải toán chia h t, nhà xuất khoa học kỹ thuật,Hà Nội