Tính noether của đại số đường leavitt

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN VĂN THẠNH TÍNH NOETHER CỦA ĐẠI SỐ ĐƯỜNG LEAVITT Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN GIANG NAM Thừa Thiên Huế, năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Nguyễn Văn Thạnh ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn Thầy giáo, TS Trần Giang Nam Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc kính trọng thầy Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến q Thầy Khoa Tốn, Thầy Đại học Huế Viện Toán học dạy dỗ truyền đạt kiến thức cho suốt trình học tập Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo sau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế tạo điều kiện cho tơi học tập nghiên cứu suốt khóa học Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, anh chị Cao học Tốn khóa XXIV (2015 - 2017) trường ĐHSP Huế chuyên ngành Đại số Lý thuyết số động viên, giúp đỡ trình học tập vừa qua Nguyễn Văn Thạnh iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời nói đầu Danh mục ký hiệu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị vành 1.2 Vành Noether 14 TÍNH NOETHER CỦA ĐẠI SỐ ĐƯỜNG LEAVITT 19 2.1 Đại số đường Leavitt 19 2.2 Tính Noether đại số đường Leavitt 28 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 LỜI NÓI ĐẦU Đại số đường Leavitt LK (E) đồ thị có hướng E với hệ số trường K giới thiệu cách độc lập Abrams, Aranda Pino [4] Ara, Moreno, Pardo [7] vào năm 2004, tổng quát đại số Leavitt LK (1, n) (n ≥ 2) giới thiệu Leavitt [8] Hơn thập kỷ qua, nhiều tính chất cấu trúc đại số đường Leavitt LK (E) khám phá với nhiều kết chủ đề theo dạng sau: LK (E) có tính chất đại số cụ thể đồ thị có hướng E có số tính chất túy đồ thị Chúng ta tham khảo [3] để nắm rõ kết Đặc biệt, vào năm 2008 Abrams, Aranda Pino Siles Molina [6] mô tả cách đầy đủ cấu trúc đại số đường Leavitt Noether Với mục đích tìm hiểu sâu đại số đường Leavitt, chúng tơi chọn đề tài “Tính Noether đại số đường Leavitt ” để làm luận văn tốt nghiệp Dựa chủ yếu tài liệu tham khảo [4] [6], chúng tơi trình bày lại số tính chất đại số đường Leavitt chứng minh chi tiết kết Abrams, Aranda Pino Siles Molina cấu trúc đại số đường Leavitt Noether Sử dụng tính chất vành Noether tính tốn trực tiếp điều kiện cần đủ cho tính Noether đại số đường Leavitt LK (E) khơng có chu trình đồ thị có hướng E có lối Luận văn bao gồm hai chương: Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị" trình bày số định nghĩa kết sử dụng Chương Đó khái niệm tính chất vành, mơđun, đại số vành Noether Chương 2: "Tính Noether đại số đường Leavitt" dựa báo G Abrams, G Aranda Pino and M Siles Molina (2008), "Locally finite Leavitt path algebras, Israel Journal of Mathematics, (165), 329 - 334" ([6]), chương trình bày cách xây dựng đại số đường Leavitt, nêu số ví dụ tính chất đại số đường Leavitt Đặc biệt chứng minh lại tiêu chuẩn G Abrams, G Aranda Pino and M Siles Molina tính Noether đại số đường Leavitt Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót định Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến từ quý Thầy cô bạn đọc giả để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn! Huế, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Văn Thạnh DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N tập số tự nhiên Z tập số nguyên Zn tập tất số nguyên môđulô n (n > 0) A⊂B A tập thực B |A| lực lượng tập A R/I vành thương vành R theo iđêan I M ⊕N tổng trực tiếp hai môđun M N Ker(f ) hạt nhân đồng cấu f HomR (M, N ) tập tất đồng cấu R-môđun từ M vào N Mn (K) tập ma trận vuông cấp n với hệ số K K[x] tập đa thức biến x với hệ số K K X đại số tự sinh tập X K[x, x−1 ] đại số đa thức Laurent với hệ số trường K K x, y : yx = đại số Toeplitz với hệ số trường K LK (m, n) đại số Leavitt với hệ số trường K E đồ thị có hướng (E = (E , E , r, s)) E0 tập đỉnh đồ thị có hướng E E1 tập cạnh đồ thị có hướng E LK (E) đại số đường Leavitt đồ thị có hướng E với hệ số trường K LK (E)n thành phần bậc n LK (E) Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm, ví dụ tính chất vành, mơđun, đại số vành Noether để làm sở cho phép chứng minh Chương dựa tài liệu [1], [2], [8], [9] 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị vành Trong tiết này, chúng tơi trình bày số khái niệm, ví dụ tính chất vành, môđun, đại số dựa tài liệu [1], [2], [8] Định nghĩa 1.1.1 (i) Một tập hợp khác rỗng R gọi vành R có hai phép tốn hai ngơi, gọi phép cộng gọi phép nhân cho điều kiện sau thỏa mãn: (1) Tập hợp R nhóm Aben phép cộng, (2) Tập hợp R nửa nhóm phép nhân, (3) Phép nhân phân phối phép cộng từ hai phía, tức x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx, với x, y, z ∈ R (ii) Một vành R gọi vành có đơn vị phép nhân R có đơn vị, tức có phần tử ∈ R cho 1x = x1 = x với x ∈ R (iii) Một vành R gọi vành giao hoán phép nhân R thỏa mãn tính chất giao hốn, tức xy = yx với x, y ∈ R (iv) Một vành R gọi trường R vành giao hốn, có đơn vị = phần tử khác R khả nghịch Ví dụ 1.1.2 (i) Các tập số Z, Q, R, C tập Zn (n số nguyên dương) với phép cộng phép nhân thông thường lập thành vành giao hoán Hơn nữa, Q, R, C trường Đồng thời, vành Zn trường n số nguyên tố (ii) Cho K trường Tập K[x] đa thức biến x với hệ số K với phép cộng phép nhân đa thức thông thường lập thành vành giao hoán (iii) Cho K trường n số nguyên dương Tập Mn (K) ma trận vuông cấp n với hệ số K với phép cộng phép nhân ma trận lập thành vành có đơn vị Hơn nữa, n ≥ vành vành khơng giao hoán Định nghĩa 1.1.3 Cho R vành I tập khác rỗng R (i) I gọi iđêan trái (phải) R thỏa mãn điều kiện sau: (1) Với a, b ∈ I ta có a − b ∈ I , (2) Với a ∈ I r ∈ R ta có ∈ I (ar ∈ I) (ii) I gọi iđêan (hai phía) R I vừa iđêan trái vừa iđêan phải R Nếu R vành giao hoán khái niệm iđêan, iđêan trái iđêan phải trùng Nếu R vành có đơn vị ∈ I , I iđêan trái (phải, hai phía) I = R (iii) I gọi iđêan thực R I iđêan khác không I = R Dễ thấy giao họ iđêan vành R iđêan R Khi đó, ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.4 Cho S tập vành có đơn vị R Giao họ tất iđêan R chứa S iđêan bé R chứa S , ký hiệu (S) Iđêan gọi iđêan sinh S S gọi hệ sinh iđêan Bổ đề 1.1.5 Cho R vành có đơn vị ∅ = A ⊆ R Khi đó, iđêan R sinh tập A tập hợp {r1 a1 r1 + r2 a2 r2 + · · · + rn an rn | n ∈ N, r1 , , rn , r1 , , rn ∈ R, a1 , , an ∈ A} Định nghĩa 1.1.6 Cho R vành có đơn vị Khi đó, iđêan (trái, phải, hai phía) sinh tập phần tử {a} R gọi iđêan (trái, phải, hai phía) R sinh a Cụ thể, iđêan trái R sinh a Ra = {ra : r ∈ R} Iđêan phải sinh a aR = {ar : r ∈ R} Iđêan sinh a m ri ari : ri , ri ∈ R, m ∈ N RaR = i=1 Iđêan sinh a thường ký hiệu (a) Iđêan sinh a1 , , an ký hiệu (a1 , , an ) Định nghĩa 1.1.7 Cho I J hai iđêan vành có đơn vị R Khi đó, iđêan sinh phần tử I ∪ J gọi iđêan tổng I J , ký hiệu I + J Iđêan sinh tích ab với a ∈ I b ∈ J gọi iđêan tích I J , ký hiệu IJ I + J = {a + b | a ∈ I, b ∈ J}, IJ = {a1 b1 + · · · + ar br | a1 , , ar ∈ I; b1 , , br ∈ J; r ≥ 1} toàn cấu Hơn nữa, ψ(xx−1 − 1) = ee∗ − v = 0, ψ(x−1 x − 1) = e∗ e − v = Do đó, ψ cảm sinh đồng cấu K -đại số ψ : K[x, x−1 ] −→ LK (C1 ) cho ψ(1) = ψ(1) = v, ψ(x) = ψ(x) = e, ψ(x−1 ) = ψ(x−1 ) = e∗ Kiểm tra được: ψ ◦ ϕ = idLK (C1 ) , ϕ ◦ ψ = idK[x,x−1 ] Vậy LK (C1 ) ∼ = K[x, x−1 ] (iii) Đại số Leavitt LK (1, n) với n ≥ 2: Cho đồ thị có hướng Rn sau: en Ø •v g s e1 e2 e3 Lập luận tương tự Ví dụ 2.1.4 (ii), ta chứng minh LK (Rn ) ∼ = LK (1, n) thông qua ánh xạ: ϕ : K v, e1 , , en , e∗1 , , e∗n −→ LK (1, n) v→1 e i → xi e∗i → yi (iv) Đại số Toeplitz K x, y : yx = : Cho đồ thị có hướng T sau: e @ •v 23 f G •w Khi đó, LK (T ) ∼ = K x, y : yx = Thật vậy, ánh xạ ϕ : K v, w, e, f, e∗ , f ∗ −→ K x, y : yx = v → xy w → − xy e → xxy f → x − xxy e∗ → xyy f ∗ → y − xyy đồng cấu K -đại số Mặt khác, ta có: ϕ(vw) = ϕ(v)ϕ(w) = xy(1 − xy) = xy − xyxy = xy − xy = Tương tự ta nhận được: ϕ(v − v) = 0, ϕ(w2 − w) = 0, ϕ(e − ve) = 0, ϕ(e − ev) = 0, ϕ(f − vf ) = 0, ϕ(f − f w) = 0, ϕ(e∗ e − v) = 0, ϕ(f ∗ f − w) = 0, ϕ(e∗ f ) = 0, ϕ(f ∗ e) = 0, ϕ(v − ee∗ − f f ∗ ) = Các đẳng thức I = (vw, v − v, w2 − w, e − ve, e − ev, f − vf, f − f w, e∗ e − v, f ∗ f − w, e∗ f, f ∗ e, v − ee∗ − f f ∗ ) ⊆ Ker(ϕ) Do đó, theo tính chất phổ dụng đại số đường Leavitt, ϕ cảm sinh đồng cấu K -đại số ϕ : LK (T ) −→ K x, y : yx = cho ϕ(v) = xy, ϕ(w) = − xy, ϕ(e) = xxy, ϕ(f ) = x − xxy, ϕ(e∗ ) = xyy, ϕ(f ∗ ) = y − xyy Xét đồng cấu K -đại số ψ : K x, y −→ LK (T ) sau: ψ(x) = e + f, ψ(y) = e∗ + f ∗ ψ(1) = v + w Ta có: ψ(yx − 1) = (e∗ + f ∗ )(e + f ) − (v + w) = e∗ e + f ∗ f − v − w = 24 Khi đó, ψ cảm sinh đồng cấu K -đại số ψ : K x, y : yx = −→ LK (T ) cho ψ(x) = e + f, ψ(y) = e∗ + f ∗ , ψ(1) = v + w Hơn nữa, ϕ ◦ ψ = idK x,y: yx=1 , ψ ◦ ϕ = idLK (T ) Vậy LK (T ) ∼ = K x, y : yx = Sử dụng tính chất phổ dụng đại số đường Leavitt LK (E) ta thấy ánh xạ: v → v (v ∈ E ), e → e∗ , e∗ → e (e ∈ E ) mở rộng thành phép tự đối hợp LK (E) với đường p = e1 en tồn p∗ := e∗n e∗1 Phần cịn lại tiết chúng tơi trình bày số tính chất đại số đường Leavitt LK (E) Mệnh đề 2.1.5 Cho E đồ thị có hướng K trường Khi đó, đại số đường Leavitt LK (E) có tính chất sau: (i) Mọi phần tử tập {v, e, e∗ : v ∈ E , e ∈ E } khác không (ii) Nếu k phần tử khác khơng K kv = với v ∈ E (iii) Mỗi đơn thức LK (E) có dạng kpq ∗ với k ∈ K, p, q đường E cho r(p) = r(q) (iv) p∗ q =     α       β ∗ q = pα p = qβ    r(p) p = q       0 trường hợp khác với p, q, α, β đường E Chứng minh (i) Ta xây dựng K -đại số sinh phần tử khác không thỏa mãn đồng thức (1), (2), (3), (4) Định nghĩa 2.1.2 Cho Z := K (I) tổng trực tiếp đếm K Với e ∈ E , v ∈ E đặt Ae := Z 25 Av :=    s(e)=v < |s−1 (v)| < ∞ Ae |s−1 (v)| =  Z Ta có: Ae ∼ = Ae ∼ = Av ∼ = Av với e, e , v, v ∈ E chúng tổng trực tiếp đếm K Đặt A := v∈E Av Với v ∈ E , đặt Tv : Av −→ Av ánh xạ đồng mở rộng thành đồng cấu K -đại số Tv : A −→ A cách định nghĩa Tv = A Av (ở đây, A Av có nghĩa xóa hạng tử trực tiếp Av A) Tương tự vậy, với e ∈ E , chọn đẳng cấu Te : Ar(e) −→ Ae ⊆ As(e) mở rộng thành đồng cấu K -đại số Te : A −→ A cách định nghĩa Te = A Ar(e) Cuối ta định nghĩa Te∗ : A −→ A cách lấy đẳng cấu Te−1 : As(e) ⊇ Ae −→ Ar(e) mở rộng thành Te∗ : A −→ A cách định nghĩa Te∗ = A Ae Đặt T đại số HomK (A, A) sinh tập {Tv , Te , Te∗ : v ∈ E , e ∈ E } Theo cách định nghĩa phần tử sinh T thỏa mãn đồng thức sau: (1) Tv ◦ Tw = δvw Tv với v, w ∈ E , (2) Te = Ts(e) ◦ Te = Te ◦ Tr(e) ; Te∗ = Tr(e) ◦ Te∗ = Te∗ ◦ Ts(e) với e ∈ E , 26 (3) Te∗ ◦ Tf = δef Tr(e) với e, f ∈ E , (4) Tv = {e∈E : s(e)=v} Te ◦ Te∗ với v ∈ E đỉnh quy Khi đó, tính phổ dụng LK (E) tồn tồn cấu ϕ : LK (E) −→ T v → Tv e → Te e∗ → Te∗ Rõ ràng Tv , Te , Te∗ đồng cấu K -đại số khác khơng Vậy ta có điều phải chứng minh (ii) Với v ∈ E , ta biểu diễn Av = K ⊕ M , với M K -mơđun Khi đó, với k ∈ K\{0} ta có: ϕ(kv)(1, 0) = kTv (1, 0) = Tv (k, 0) = (k, 0) = Do đó, kv = với v ∈ E , k ∈ K\{0} (iii) (iv) dễ dàng suy từ khẳng định e∗ f = δef r(e) với e, f ∈ E Mệnh đề 2.1.6 Cho E đồ thị có hướng hữu hạn K trường Khi đó, LK (E) K -đại số có đơn vị phần tử đơn vị Chứng minh Giả sử E = {v1 , , } α = n i=1 ki vi v∈E m j=1 λj + v đa thức LK (E), ki ∈ K, λj có dạng (iii) Mệnh đề 2.1.5 Ta n i=1 vi chứng minh: đơn vị LK (E) Thật vậy, ta có n n ( n vi )α = ( ki vi + vi )( i=1 n i=1 n i=1 m =( vi )( i=1 n λj ) j=1 n i=1 n ki vi + · · · + = v1 i=1 n vi )λm i=1 ki vi + λ1 + · · · + λm i=1 m ki vi + = i=1 Tương tự, ta có α( vi )λ1 + · · · + ( ki vi ) + ( i=1 n λj = α j=1 n i=1 vi ) = α Do đó, 27 n i=1 vi đơn vị LK (E) Định nghĩa 2.1.7 (i) Cho K trường Khi đó, K -đại số A gọi Z-phân bậc tồn họ {An }n∈Z K -không gian véctơ A cho A = n∈Z An An Am ⊆ An+m với n, m ∈ Z (ii) Mỗi phần tử x ∈ An gọi phần tử bậc n, An gọi thành phần bậc n A Mệnh đề 2.1.8 Cho E đồ thị có hướng K trường Khi đó, LK (E) đại số Z-phân bậc với phân bậc cảm sinh deg(v) = với v ∈ E ; deg(e) = deg(e∗ ) = −1 với e ∈ E Tức là, LK (E) = n∈Z LK (E)n , LK (E)0 = KE + A0 , LK (E)n = An với n = 0, An = {kpq ∗ | p, q đường E cho r(p) = r(q), |p|−|q| = n, k ∈ K} Chứng minh Từ (iii) Mệnh đề 2.1.5 ta dễ dàng suy LK (E) = n∈Z LK (E)n Hơn nữa, từ (iv) Mệnh đề 2.1.5 ta có LK (E)n LK (E)m ⊆ LK (E)n+m với n, m ∈ Z Từ suy điều cần chứng minh Tiếp theo chúng tơi trình bày nội dung luận văn 2.2 Tính Noether đại số đường Leavitt Trong tiết này, dựa tài liệu [6] chứng minh lại kết G Abrams, G Aranda Pino and M Siles Molina tiêu chuẩn tính Noether đại số đường Leavitt ([6, Theorem 3.10]) đưa số ví dụ minh họa Trước hết chúng tơi phát biểu số khái niệm đồ thị có hướng sử dụng tiết sau: Định nghĩa 2.2.1 Cho E đồ thị có hướng p = e1 en đường E Khi đó, (i) Một cạnh f gọi lối thoát p tồn i ∈ {1, , n} cho s(f ) = s(ei ) f = ei 28 (ii) p gọi chu trình s(p) = r(p) s(ei ) = s(ej ) với i = j Hơn nữa, với k ∈ Z ta ký hiệu pk = (p∗ )−k với k < p0 = s(e1 ) Khi đó, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2.2 Cho K trường E đồ thị có hướng hữu hạn chứa chu trình có lối Khi đó, LK (E) khơng Noether trái phải Chứng minh Giả sử E đồ thị có hướng hữu hạn chứa chu trình c = e1 en với lối f Khơng tính tổng quát ta giả thiết s(c) = r(c) = v, s(e1 ) = s(f ) = v e1 = f Khi đó, từ giả thiết ta có c∗ c = r(c) = v c∗ f = = f ∗ c Lúc này, với số tự nhiên n ta đặt xn = cn f f ∗ (c∗ )n Khi đó, {xn }n∈N tập vô hạn phần tử lũy đẳng trực giao LK (E) Thật vậy, với n, m ∈ N ta có: x2n = xn xn =cn f f ∗ (c∗ )n cn f f ∗ (c∗ )n = cn f f ∗ (c∗ c)n f f ∗ (c∗ )n =cn f f ∗ (r(c))n f f ∗ (c∗ )n = cn f f ∗ r(c)f f ∗ (c∗ )n =cn f f ∗ s(f )f f ∗ (c∗ )n = cn f f ∗ f f ∗ (c∗ )n =cn f r(f )f ∗ (c∗ )n = cn f f ∗ (c∗ )n = xn Bây với n > m, ta có: xn xm = cn f f ∗ (c∗ )n cm f f ∗ (c∗ )m = cn f f ∗ (c∗ )n−m (c∗ )m cm f f ∗ (c∗ )m = cn f f ∗ (c∗ )n−m−1 c∗ r(c)f f ∗ (c∗ )m = cn f f ∗ (c∗ )n−m−1 c∗ s(f )f f ∗ (c∗ )m = cn f f ∗ (c∗ )n−m−1 c∗ f f ∗ (c∗ )m = (do c∗ f = 0) Hồn tồn tương tự ta có xn xm = với n < m Tiếp theo ta xn = xm n = m Giả sử xn = xm n > m Khi đó, ta có cn f f ∗ (c∗ )n = cm f f ∗ (c∗ )m Nhân hai vế với f ∗ (c∗ )m vào bên trái ta f ∗ (c∗ )m cn f f ∗ (c∗ )n = f ∗ (c∗ )m cm f f ∗ (c∗ )m Suy = f ∗ cn−m f f ∗ (c∗ )n = f ∗ (c∗ )m cn f f ∗ (c∗ )n = f ∗ (c∗ )m cm f f ∗ (c∗ )m = f ∗ (c∗ )m Do đó, f ∗ (c∗ )m = Tiếp tục nhân cm f vào bên phải hai vế đẳng thức vừa nhận ta có r(f ) = Điều vơ lý r(f ) = (do (i) Mệnh đề 2.1.5) 29 Vậy {xn }n∈N tập vô hạn phần tử lũy đẳng trực giao LK (E) Khi đó, áp dụng Mệnh đề 1.2.12 ta nhận điều cần chứng minh Định nghĩa 2.2.3 Một đồ thị có hướng E gọi thỏa mãn điều kiện (NE) khơng có chu trình E có lối Định lý 2.2.4 Cho K trường E đồ thị có hướng hữu hạn thỏa mãn điều kiện (NE) Khi đó, l l LK (E) ∼ = −1 Mmi (K[x, x ]) ⊕ Mnj (K) , j=1 i=1 đó: l số chu trình E (gọi chúng c1 , , cl ); mi số đường kết thúc đỉnh vmi cố định chu trình ci mà không chứa ci (với ≤ i ≤ l); l số đỉnh đích E (gọi chúng wl+1 , , wl+l ) với j ∈ {1, , l }, nj số đường kết thúc đỉnh đích wl+j Chứng minh Với i ∈ {1, , l} ta đặt Λi tập gồm đường E kết thúc đỉnh vmi cố định chu trình ci mà khơng chứa ci Ta gọi ci = ei1 eimi i }, r(ei ) = v i , s(ei ) = v i s(ei ) = v i c0i = {v1i , , vm mi i k−1 với k k k k = 1, , mi Lúc ta bỏ cạnh ei1 đồ thị có hướng E để đồ thị có hướng ký hiệu F Với đỉnh đích wj , j = l + 1, , l + l , đặt Λj tập gồm đường E kết thúc đỉnh đích wj Đặt Λ tập gồm tất đường E xuất Λi Λj với i = 1, , l, j = l + 1, , l + l Xét tập X = {pr ckt p∗s : k ∈ Z; r, s = 1, , card(Λ); t = 1, , l + l }, với t > l ta ký hiệu ct = wt , wtk = wt với k ∈ Z ckt = (c∗t )−k với k < 0, t ∈ {1, , l} Đặt B tập gồm tất phần tử khác không X Chú ý phần tử pr ckt p∗s ∈ B pr , ps ∈ Λt với t ∈ {1, , l + l } Chúng ta chứng minh B sở K -không gian véctơ LK (E) Để chứng minh điều ta xác định ánh xạ bao hàm ϕ : LK (F ) −→ LK (E) theo 30 cách thơng thường Khi đó, ϕ đồng cấu K -đại số theo tính chất phổ dụng đại số đường Leavitt LK (E) nên điều kiện từ (1) - (4) Định nghĩa 2.1.2 LK (F ) LK (E) Để chứng minh ϕ đơn cấu ta xây dựng đồng cấu nghịch đảo trái ϕ sau: ψ : LK (E) −→ LK (F ) cho ψ(ei1 ) = (eimi )∗ (ei2 )∗ ψ(x) = x với x = ei1 Khi đó, kiểm tra trực tiếp ta thấy ψϕ = 1LK (F ) Bây giả sử x = r,s,k,t αrskt pr ckt p∗s = với αrskt ∈ K Khi đó, với r0 , s0 ∈ {1, , card(Λ)} tùy ý ta có = p∗r0 xps0 = r0 ,s0 ,k,t αr0 s0 kt ckt Suy αr0 s0 kt = với k ∈ Z; t = 1, , l + l (do Mệnh đề 2.1.8) Vì B tập độc lập tuyến tính Theo [5, Lemma 3.4 Proposition 3.5] ta có phần tử tập {pi p∗j : pi , pj ∈ Λt , t tùy ý} tập ma trận sở chuẩn (i, j ) Iv (iđêan sinh i , i = 1, , l} Lúc đó, hợp ký v ) với v ∈ {wl+1 , , wl+l } ∪ {vm i hiệu Γ sinh LK (F ) Vì ϕ đơn cấu nên ta có Y = Γ ∪ {ei1 , (ei1 )∗ , i = 1, , l} sinh LK (E) K -đại số Rõ ràng Y ⊆ B Y đóng kín phép nhân ta ln có (pi ckσ p∗j )(pr ctτ p∗s ) = δστ δjr pi cσk+t p∗s Do đó, B hệ sinh K -khơng gian véctơ LK (E) Vì B sở Tiếp theo ta xác định ánh xạ l l −1 φ : LK (E) −→ Mmi (K[x, x ]) ⊕ i=1 pi ckt p∗j −→ Λt − {0} Mnj (K) j=1   xk pi p∗ với t = 1, , l  pi p∗ với t = l + 1, , l + l j j Khi đó, ánh xạ đồng cấu K -đại số đẳng cấu biến sở LK (E) thành sở l l −1 Mmi (K[x, x ]) ⊕ i=1 Mnj (K) j=1 31 Ví dụ 2.2.5 (i) Xét đồ thị có hướng A3 sau: e1 e2 •v1 −−−−−→ •v2 −−−−−→ •v3 Rõ ràng đồ thị có hướng A3 hữu hạn thỏa mãn điều kiện (NE) Đồ thị khơng có chu trình, v3 đỉnh đích có đường kết thúc đỉnh e2 , e1 e2 v3 Khi đó, theo Định lý 2.2.4 ta có LK (A3 ) ∼ = M3 (K) (ii) Xét đồ thị có hướng E sau: •u f G •v v e Rõ ràng đồ thị có hướng E hữu hạn thỏa mãn điều kiện (NE) Đồ thị chứa chu trình e khơng chứa đỉnh đích nào, v đỉnh chu trình e có hai đường kết thúc v mà khơng chứa chu trình e f v Khi đó, theo Định lý 2.2.4 ta có LK (E) ∼ = M2 (K[x, x−1 ]) Tiếp theo định lý luận văn Định lý 2.2.6 Cho E đồ thị có hướng hữu hạn K trường Khi đó, điều kiện sau tương đương: (i) LK (E) Noether (ii) LK (E) Noether trái phải (iii) Đồ thị có hướng E thỏa mãn điều kiện (NE) (iv) l LK (E) ∼ = l −1 Mmi (K[x, x i=1 ]) ⊕ Mnj (K) , j=1 đó: l số chu trình E (gọi chúng c1 , , cl ); mi số đường kết thúc đỉnh vmi cố định chu trình ci mà khơng chứa ci (với ≤ i ≤ l); l 32 số đỉnh đích E (gọi chúng wl+1 , , wl+l ) với j ∈ {1, , l }, nj số đường kết thúc đỉnh đích wl+j Chứng minh (i) =⇒ (ii) Hiển nhiên (ii) =⇒ (iii) Từ Mệnh đề 2.2.2 ta có LK (E) Noether trái phải E khơng chứa chu trình có lối Tức E thỏa mãn điều kiện (NE) (iii) =⇒ (iv) Được suy từ Định lý 2.2.4 (iv) =⇒ (i) Từ Hệ 1.2.8 ta có Mn (K) Mn (K[x, x−1 ]) vành Noether Hơn nữa, theo Hệ 1.2.10 ta có tổng trực tiếp hữu hạn vành Noether Noether Khi đó, từ (iv) ta suy LK (E) Noether Bây xét số ví dụ để làm rõ định lý luận văn Ví dụ 2.2.7 Cho K trường n số nguyên dương Khi đó, (i) Đại số ma trận Mn (K) Noether Thật vậy, theo Ví dụ 2.1.4 (i) ta có Mn (K) ∼ = LK (An ) với đồ thị có hướng An cho sau: e1 en−1 e2 •v1 −−−−−→ •v2 −−−−−→ •v3 · · · · · · •vn−1 −−−−−→ •vn Rõ ràng đồ thị có hướng An hữu hạn thỏa mãn điều kiện (NE) Khi đó, theo Định lý 2.2.6 ta suy LK (An ) Noether Vậy đại số ma trận Mn (K) Noether (ii) Đại số đa thức Laurent K[x, x−1 ] Noether Thật vậy, theo Ví dụ 2.1.4 (ii) ta có K[x, x−1 ] ∼ = LK (C1 ) với đồ thị có hướng C1 cho sau: e @ •v Rõ ràng đồ thị có hướng C1 hữu hạn thỏa mãn điều kiện (NE) Khi đó, theo Định lý 2.2.6 ta suy LK (C1 ) Noether Vậy đại số đa thức Laurent K[x, x−1 ] Noether 33 (iii) Đại số Leavitt LK (1, n) với n ≥ khơng Noether Thật vậy, theo Ví dụ 2.1.4 (iii) ta có LK (1, n) ∼ = LK (Rn ) với đồ thị có hướng Rn cho sau: en Ø •v g s e1 e2 e3 Rõ ràng chu trình đồ thị có hướng Rn có lối nên Rn khơng thỏa mãn điều kiện (NE) Khi đó, từ Định lý 2.2.6 ta suy LK (Rn ) không Noether Vậy đại số Leavitt LK (1, n) với n ≥ không Noether (iv) Đại số Toeplitz K x, y : yx = không Noether Thật vậy, theo Ví dụ 2.1.4 (iv) ta có K x, y : yx = ∼ = LK (T ) với đồ thị có hướng T cho sau: e @ •v f G •w Vì đồ thị có hướng T chứa chu trình e với lối f nên T khơng thỏa mãn điều kiện (NE) Khi đó, từ Định lý 2.2.6 ta suy LK (T ) không Noether Vậy đại số Toeplitz K x, y : yx = không Noether 34 KẾT LUẬN Dựa chủ yếu tài liệu tham khảo [4] báo G Abrams, G Aranda Pino and M Siles Molina (2008), "Locally finite Leavitt path algebras, Israel Journal of Mathematics, (165), 329 - 334" ([6]), luận văn làm điều sau: - Trình bày khái niệm, ví dụ tính chất đại số đường Leavitt - Chứng minh lại cách chi tiết tiêu chuẩn tính Noether đại số đường Leavitt ([6, Theorem 3.10]) Ngồi ra, luận văn cịn đưa số ví dụ để làm rõ số khái niệm định lý 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục Tiếng Anh [3] G Abrams (2015), "Leavitt path algebras: the first decade", Bull Math Sci., (5), 59 - 120 [4] G Abrams and G Aranda Pino (2005), "The Leavitt path algebra of a graph", Journal of Algebra, (293), 319 - 348 [5] G Abrams, G Aranda Pino and M Siles Molina (2007), "Finite dimensional Leavitt path algebras", Journal of Pure and Applied Algebra, (209), 753 762 [6] G Abrams, G Aranda Pino and M Siles Molina (2008), "Locally finite Leavitt path algebras", Israel Journal of Mathematics, (165), 329 - 334 [7] P Ara, M A Moreno, E Pardo (2007), "Nonstable K-theory path algebras", Algebras and Representation Theory, (10), 157 - 178 [8] W G Leavitt (1962), "The module type of a ring", Trans Amer Math Soc., (42), 113 - 130 36 [9] K R Goodearl and R B Warfield, Jr (2004), An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings, London Mathematical Society Student Texts 61, Second Edition, Cambridge University Press [10] M Tomforde (2011), "Leavitt path algebras with coefficients in a commutative ring", J Pure Appl Algebra, (215), 471 - 484 37 ... cách xây dựng đại số đường Leavitt, nêu số ví dụ tính chất đại số đường Leavitt Đặc biệt chứng minh lại tiêu chuẩn G Abrams, G Aranda Pino and M Siles Molina tính Noether đại số đường Leavitt Mặc... tơi trình bày lại số tính chất đại số đường Leavitt chứng minh chi tiết kết Abrams, Aranda Pino Siles Molina cấu trúc đại số đường Leavitt Noether Sử dụng tính chất vành Noether tính tốn trực tiếp... I K -đại số gọi K -đại số tự sinh tập X (iii) Đại số đa thức Laurent: Xét K -đại số tự K x, y sinh X = {x, y} I = (xy − 1, yx − 1) iđêan K x, y Khi đó, K x, y /I K -đại số Đại số gọi đại số đa