Tính chất cơ sở bất biến cho đại số đường cohn

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRƯƠNG THỊ BÍCH DUYÊN TÍNH CHẤT CƠ SỞ BẤT BIẾN CHO ĐẠI SỐ ĐƯỜNG COHN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN GIANG NAM Thừa Thiên Huế, năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Trương Thị Bích Dun ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn Thầy giáo, TS Trần Giang Nam Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi q trình làm luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến q thầy Khoa Tốn, thầy Đại học Huế Viện Toán học dạy dỗ truyền đạt kiến thức cho suốt q trình học tập Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo sau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế tạo điều kiện cho tơi suốt khóa học Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, anh chị Cao học Tốn khóa XXIV (2015 - 2017) trường ĐHSP Huế chuyên ngành Đại số Lý thuyết số động viên, giúp đỡ trình học tập vừa qua Trương Thị Bích Duyên iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời nói đầu Danh mục ký hiệu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị vành 1.2 Vành với tính chất sở bất biến 11 TÍNH CHẤT CƠ SỞ BẤT BIẾN CHO ĐẠI SỐ ĐƯỜNG COHN 15 2.1 Đại số đường Leavitt Cohn 15 2.2 Tính chất sở bất biến cho đại số đường Cohn 27 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 LỜI NÓI ĐẦU Đại số đường Leavitt LK (E) đồ thị có hướng E với hệ số trường K giới thiệu cách độc lập Abrams, Aranda Pino [4] Ara, Moreno, Pardo [7] vào năm 2004, tổng quát đại số Leavitt LK (1, n) (n ≥ 2) giới thiệu Leavitt [10] Trong chuyên ngành Đại số kết hợp, người ta thường xét lớp vành với điều kiện hạn chế môđun xạ ảnh Một điều kiện tính chất bất biến sở Một vành gọi có tính chất sở bất biến (the invariant basis property or invariant basis number ) hai sở môđun tự hữu hạn sinh có số phần tử Có nhiều lớp vành có tính chất sở bất biến chẳng hạn trường, vành giao hoán vành Noether Đại số Leavitt LK (1, n) vành khơng có tính chất (Leavitt xây dựng đại số LK (1, n) bắt nguồn từ việc tác giả muốn tìm vành khơng có tính chất sở bất biến) Nói chung khơng dễ để kiểm tra vành cho trước có tính sở bất biến hay không? Gần số tác giả sử dụng phương pháp tổ hợp để nghiên cứu lớp vành thơng qua việc xét tính chất sở bất biến cho đại số đường Leavitt ([5], [6], [8] [11]) Đặc biệt, Abrams Kanuni [5] chứng minh đại số đường Cohn (một trường hợp đặc biệt đại số đường Leavitt) đồ thị có hướng hữu hạn ln có tính chất sở bất biến Tính đến nay, việc tìm tiêu chuẩn túy đồ thị đại số đường Leavitt có tính sở bất biến cịn tốn mở Với mục đích tìm hiểu sâu tính chất sở bất biến, chúng tơi chọn đề tài “Tính chất sở bất biến cho đại số đường Cohn ” để làm luận văn tốt nghiệp Dựa chủ yếu hai tài liệu tham khảo [4] [5], trình bày lại số tính chất đại số đường Leavitt chứng minh chi tiết kết Abrams - Kanuni [5] đại số đường Cohn đồ thị có hướng hữu hạn ln có tính chất sở bất biến Cụ thể, luận văn có bố cục sau: Chương 1: Chúng tơi trình bày số kiến thức vành, vành với tính chất sở bất biến nhằm phục vụ cho Chương Chương 2: Chúng tơi trình bày số định nghĩa, tính chất đại số đường Leavitt LK (E) đại số đường Cohn CK (E) đồ thị có hướng E; vị nhóm giao hốn V(LK (E)); đặc biệt trình bày nội dung luận văn, đại số đường Cohn CK (E) đồ thị có hướng hữu hạn E ln có tính chất sở bất biến (Định lý 2.2.9) Tuy nhiên, thời gian thực luận văn kiến thức hạn chế, nên nhiều vấn đề luận văn chưa giải triệt để, khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong q thầy bạn đọc góp ý, bổ sung để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Huế, tháng năm 2017 Tác giả Trương Thị Bích Duyên DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N tập hợp số tự nhiên Z tập hợp số nguyên Q tập hợp số hữu tỉ R tập hợp số thực C tập hợp số phức Zn tập hợp tất số nguyên môđulô n ∅ tập rỗng a∈A phần tử a thuộc tập hợp A a∈ /A phần tử a không thuộc tập hợp A A⊆B A tập B A∪B hợp hai tập A B |A| lực lượng tập A M ⊕N tổng trực tiếp hai môđun M N Ker(f ) hạt nhân đồng cấu f HomR (M, N ) tập tất đồng cấu môđun từ M vào N EndR (M ) tập tất tự đồng cấu môđun M LK (E) đại số đường Leavitt đồ thị có hướng E với hệ số trường K CK (E) đại số đường Cohn đồ thị có hướng E với hệ số trường K R/I vành thương vành R theo iđêan I Eij ma trận sở chuẩn (i,j) Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất vành, môđun đại số làm sở cho Chương Chương trình bày chủ yếu dựa tài liệu [1], [2], [9], [10] [11] 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị vành Trong tiết này, chúng tơi trình bày số khái niệm, tính chất vành, môđun đại số Định nghĩa 1.1.1 (i) Một tập hợp R khác rỗng gọi vành R có hai phép tốn hai ngôi, gọi phép cộng gọi phép nhân cho điều kiện sau thỏa mãn: (1) Tập hợp R nhóm Aben phép cộng, (2) Tập hợp R nửa nhóm phép nhân, (3) Phép nhân phân phối hai bên phép cộng, tức x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx, với x, y, z ∈ R (ii) Một vành R gọi vành có đơn vị phép nhân R có đơn vị, tức có phần tử ∈ R cho 1x = x1 = x, với x ∈ R (iii) Một vành R gọi vành giao hoán phép nhân R thỏa mãn tính chất giao hốn (iv) Một vành giao hốn có đơn vị R gọi trường |R| ≥ phần tử khác khơng R khả nghịch Ví dụ 1.1.2 (i) Các tập số Z, Q, R, C tập Zn với phép toán nhân phép cộng thơng thường lập thành vành giao hốn Hơn nữa, Q, R, C trường Đồng thời vành Zn trường n số nguyên tố (ii) Cho K trường Tập K[x] đa thức biến x với hệ số K với phép cộng phép nhân đa thức thơng thường lập thành vành giao hốn (iii) Cho K trường n số nguyên dương Tập Mn (K) ma trận vuông cấp n với hệ số K với phép cộng nhân ma trận lập thành vành có đơn vị Hơn nữa, n ≥ vành vành khơng giao hốn Định nghĩa 1.1.3 Cho R vành I tập khác rỗng R Khi đó, (i) I gọi iđêan trái (phải) R thỏa mãn điều kiện sau: (1) Với a, b ∈ I, a + b ∈ I, −a ∈ I, (2) Với a ∈ I r ∈ R, ∈ I (ar ∈ I) (ii) I gọi iđêan I vừa iđêan trái vừa iđêan phải R (iii) Một iđêan I R gọi iđêan tối đại thỏa mãn điều kiện sau: (1) I R, (2) Với iđêan J R, I J J = R Mệnh đề 1.1.4 Cho R vành giao hốn có đơn vị I iđêan R Khi đó, I iđêan tối đại R/I trường Định nghĩa 1.1.5 Cho S tập vành có đơn vị R Giao họ tất iđêan R chứa S iđêan bé R chứa S, ký hiệu (S) Iđêan gọi iđêan sinh S S gọi hệ sinh iđêan Bổ đề 1.1.6 Cho R vành có đơn vị ∅ = A ⊆ R Khi đó, iđêan R sinh tập A tập hợp {r1 a1 r1 +r2 a2 r2 +· · ·+rn an rn | n ∈ N, r1 , , rn , r1 , , rn ∈ R, a1 , , an ∈ A} Định nghĩa 1.1.7 Cho R S hai vành tùy ý Ánh xạ f : R −→ S gọi đồng cấu vành thỏa mãn điều kiện sau: (i) f (x + y) = f (x) + f (y), (ii) f (xy) = f (x)f (y), với x, y ∈ R Nếu R S hai vành có đơn vị ta cần bổ sung thêm điều kiện sau: (iii) f (1R ) = 1S Đồng cấu vành f gọi đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) ánh xạ f tương ứng đơn ánh (toàn ánh, song ánh) Định lý 1.1.8 Cho R, S hai vành tùy ý, f : R −→ S đồng cấu vành I iđêan R Khi đó, (i) R/I vành với phép cộng phép nhân định nghĩa sau: (x + I) + (y + I) = (x + y) + I, (x + I)(y + I) = (xy) + I, với x, y ∈ R (ii) Nếu J iđêan S f −1 (J) iđêan R Đặc biệt, hạt nhân Ker(f ) = f −1 (0S ) iđêan R (iii) Nếu I ⊆ Ker(f ) f cảm sinh đồng cấu f : R/I −→ S cho f = f ◦ p, p : R −→ R/I, x → x tồn cấu tắc Định nghĩa 1.1.9 Cho R vành có đơn vị (i) Tập hợp M gọi R−môđun trái hay cịn gọi mơđun trái R, M nhóm cộng Aben tồn ánh xạ f : R × M −→ M (r, x) −→ f (r, x) = rx, gọi phép nhân với vơ hướng R cho tính chất sau thỏa mãn: (1) (rr )x = r(r x), (2) r(x + y) = rx + ry, (3) (r + r )x = rx + r x, cách lấy đẳng cấu Te−1 : As(e) ⊇ Ae −→ Ar(e) mở rộng thành Te∗ : A −→ A cách định nghĩa Te∗ = A Ae Đặt T đại số HomK (A, A) sinh tập {Tv , Te , Te∗ | v ∈ E , e ∈ E } Theo cách định nghĩa phần tử sinh T thỏa mãn đồng thức sau: (V) Tv ◦ Tw = δvw Tv với v, w ∈ E , (E1) Te = Ts(e) ◦ Te = Te ◦ Tr(e) với e ∈ E , (E2) Te∗ = Tr(e) ◦ Te∗ = Te∗ ◦ Ts(e) với e ∈ E , (CK1) Te∗ ◦ Tf = δef Tr(e) với e, f ∈ E , (CK2) Tv = {e∈E : s(e)=v} Te ◦ Te∗ với v ∈ E đỉnh quy Khi đó, tính phổ dụng LK (E) tồn toàn cấu ϕ : LK (E) −→ T v → Tv e → Te e∗ → Te∗ Rõ ràng Tv , Te , Te∗ đồng cấu khác khơng Vậy ta có điều phải chứng minh (ii) Với v ∈ E , ta biểu diễn Av = K ⊕ M , với M K-mơđun trái Khi đó, với k ∈ K ∗ ta có: ϕ(kv)(1, 0) = kTv (1, 0) = Tv (k, 0) = (k, 0) = Do đó, kv = với v ∈ E , k ∈ K ∗ (iii) (iv) Dễ dàng suy từ khẳng định e∗ f = δef r(e) với e, f ∈ E Mệnh đề 2.1.6 Cho E = (E , E ) đồ thị có hướng hữu hạn K trường Khi đó, LK (E) K-đại số có đơn vị phần tử đơn vị 23 v∈E v Chứng minh Giả sử E = {v1 , , } m n λj ki vi + α= j=1 i=1 đa thức LK (E), ki ∈ K, λj có dạng (iii) n i=1 vi Mệnh đề 2.1.5 Ta chứng minh: ki vi + · · · + = v1 i=1 m ki vi + i=1 Tương tự, ta có α( ki vi + λ1 + · · · + λm i=1 n = vi )λm i=1 i=1 n i=1 i=1 n n vi )λ1 + · · · + ( ki vi ) + ( vi )( =( j=1 n i=1 n i=1 n i=1 λj ) ki vi + vi )( vi )α = ( ( m n n n đơn vị LK (E) Thật vậy, ta có λj = α j=1 n i=1 vi ) = α Do n i=1 vi đơn vị LK (E) Phần lại tiết này, đại số đường Cohn trường hợp đặc biệt đại số đường Leavitt, trước hết cần định nghĩa Định nghĩa 2.1.7 Cho E = (E , E , sE , rE ) đồ thị có hướng Y tập đỉnh quy E Cho Y = {v | v ∈ Y } tập có lực lượng độc lập với Y Với v ∈ Y với cạnh e E cho rE (e) = v, ta xét kí hiệu e Ta định nghĩa đồ thị có hướng F = F (E) sau: F = E ∪ Y , F = E ∪ {e | rE (e) = v ∈ Y }; với e ∈ E , sF (e) = sE (e), sF (e ) = sE (e), rF (e) = rE (e), rF (e ) = rE (e) Để làm rõ định nghĩa trên, ta xét ví dụ Ví dụ 2.1.8 (i) Cho đồ thị có hướng A3 sau: 24 Ta thấy Y = {u, v} tập đỉnh quy đồ thị A3 đồ thị có hướng F (A3 ) sau: e e Ø (ii) Cho đồ thị có hướng R2 = •i v Ta có F (R2 ) = •i v Ø e B v R• f f f Định lý chứng minh [3, Theorem 1.5.17] cho trường hợp tổng quát Định lý 2.1.9 Cho E = (E , E ) đồ thị có hướng K trường Khi đó, ta có đẳng cấu K-đại số CK (E) ∼ = LK (F (E)) Chứng minh Chúng ta định nghĩa đồng cấu φ : CK (E) −→ LK (F ), với F = F (E), sau Với v ∈ E , φ(v) = v+v v ∈ Y φ(v) = v v ∈ / Y Hơn nữa, với e ∈ E , φ(e) = e + e rE (e) ∈ Y φ(e) = e rE (e) ∈ / Y , φ(e∗ ) = φ(e)∗ Rõ ràng đồng thức (V) bảo toàn φ Để chứng minh đồng thức (E1) bảo toàn φ, trước hết xét trường hợp rE (e) ∈ / Y Khi đó, φ(e) = e, φ(rE (e)) = rE (e) sF (e) = sE (e) ≤ φ(sE (e)) Do đó, φ(sE (e))φ(e) = sE (e)e = e = φ(e) = erE (e) = φ(e)φ(rE (e)) Nếu v := rE (e) ∈ Y φ(e) = e+e , φ(v) = v+v sF (e) = sF (e ) ≤ φ(sE (e)) Do đó, φ(sE (e))φ(e) = sE (e)(e + e ) = e + e = φ(e) = (e + e )(v + v ) = φ(e)φ(rE (e)) Đồng thức (E2) chứng minh tương tự cách thêm vào dấu * Bây ta xét đồng thức (CK1) Nếu e = f rõ ràng φ(e)∗ φ(f ) = Nếu rE (e) ∈ / Y φ(e)∗ φ(e) = e∗ e = rE (e) = φ(rE (e)) Nếu rE (e) ∈ Y φ(e)∗ φ(e) = (e∗ + (e )∗ )(e + e ) = rE (e) + rE (e) = φ(rE (e)) 25 Do đó, ta chứng minh φ đồng cấu từ CK (E) đến LK (F ) Hơn nữa, với v ∈ Y , ta có φ(v) = v + v −1 s−1 F (v) = sE (v) ∪ {e | sE (e) = v rE (e) ∈ Y } φ(e)φ(e)∗ = v + v − Khi đó, φ(v) − e∈s−1 E (v) ee∗ − (e + e )(e∗ + (e )∗ ) rE (e)∈Y / rE (e)∈Y ee∗ − =v+v − sE (e)=v Suy φ(qv ) = v , qv := v − e (e )∗ = v sE (e)=v,rE (e)∈Y {e∈E |sE (e)=v} ee ∗ Bây giờ, định nghĩa đồng cấu ngược ψ : LK (F ) −→ CK (E) Đồng cấu suy từ phép tính nên ta phải đặt ψ(v) = v v∈ / Y ψ(v) = v − qv , ψ(v ) = qv v ∈ Y Hơn nữa, với e ∈ E , ψ(e) = e rE (e) ∈ / Y ψ(e) = e(v − qv ), ψ(e ) = eqv rE (e) ∈ Y Khi đó, cách chứng minh tương tự trên, đồng thức (V), (E1), (E2) (CK1) bảo toàn ψ Ta kiểm tra đồng thức (CK2) Ta thấy đỉnh quy đồ thị E đỉnh quy đồ thị F , nên ta cần xét đỉnh quy E Với v ∈ Y, đồng thức (CK2) LK (F ) sau: ee∗ + ee∗ + v= sE (e)=v,rE (e)∈Y / sE (e)=v,rE (e)∈Y e (e )∗ sE (e)=v,rE (e)∈Y Vì v ∈ Y nên ψ(e)ψ(e)∗ + sE (e)=v,rE (e)∈Y / ψ(e)ψ(e)∗ + sE (e)=v,rE (e)∈Y ee∗ + = sE (e)=v,rE (e)∈Y / sE (e)=v,rE (e)∈Y sE (e)=v,rE (e)∈Y / sE (e)=v,rE (e)∈Y / eqv qv e∗ sE (e)=v,rE (e)∈Y e(v − qv )e∗ + sE (e)=v,rE (e)∈Y ee∗ + = sE (e)=v,rE (e)∈Y sE (e)=v,rE (e)∈Y sE (e)=v,rE (e)∈Y / eqv qv∗ e∗ e(v − qv )(v − qv )e∗ + ee∗ + = sE (e)=v,rE (e)∈Y e(v − qv )(v − qv )∗ e∗ + ee∗ + = ψ(e )ψ(e )∗ eqv e∗ sE (e)=v,rE (e)∈Y ee∗ = sE (e)=v,rE (e)∈Y ee∗ = v − qv = ψ(v) sE (e)=v Do đó, ψ đồng cấu từ LK (F ) đến CK (E) 26 Chúng ta kiểm tra trực tiếp ψ ◦ φ φ ◦ ψ đồng phần tử sinh đại số tương ứng, chúng đồng hai miền tương ứng chúng Suy φ đẳng cấu Vì có điều phải chứng minh 2.2 Tính chất sở bất biến cho đại số đường Cohn Mục tiêu tiết chứng minh chi tiết kết Abrams Kanuni [5, Theorem 9] đại số đường Cohn đồ thị có hướng hữu hạn ln có tính chất sở bất biến Trước hết, chúng tơi mơ tả vị nhóm V(LK (E)) với E = (E , E ) đồ thị có hướng hữu hạn Để làm điều này, chúng tơi cần vài khái niệm tính chất Định nghĩa 2.2.1 Cho E = (E , E ) đồ thị có hướng hữu hạn với |E | = n Ta xây dựng vị nhóm giao hốn ME sau Ta ký hiệu T vị nhóm giao hốn tự (phép tốn cộng) sở E định nghĩa đồng thức T v= r(e) (M ) e∈s−1 (v) với đỉnh quy v ∈ E Xét ∼E quan hệ tương đẳng T sinh đồng thức (M) Khi đó, ME = T / ∼E ; ký hiệu phần tử ME [x], x ∈ T Phép toán ME xác định sau: [x] + [y] = [x + y] với x, y ∈ T Ta diễn giải định nghĩa theo cách khác Nhưng trước hết ta cần nhớ lại rằng: Cho E = (E , E ) đồ thị có hướng hữu hạn với E = {v1 , v2 , , } Khi đó, ta định nghĩa ma trận liên thuộc AE = (aij )n , aij số cạnh e ∈ E cho s(e) = vi r(e) = vj Chú ý 2.2.2 Cho E = (E , E ) đồ thị có hướng hữu hạn với E = {v1 , v2 , , } Ta xây dựng vị nhóm giao hốn ME sau Xét vị 27 nhóm giao hốn (Z+ )n n số nguyên không âm Với đỉnh quy vi (1 ≤ i ≤ t), ta ký hiệu bi véctơ (0, , 0, 1, 0, , 0) (có thành phần thứ i) (Z+ )n Ta xét quan hệ tương đẳng ∼E (Z+ )n sinh đồng thức sau bi ∼E (ai1 , ai2 , , ain ) với đỉnh quy vi Khi đó, ME = (Z+ )n / ∼E ; ta ký hiệu lớp tương đương phần tử a ∈ (Z+ )n [a] phép tốn ME xác định sau: [a] + [b] = [a + b] với a, b ∈ (Z+ )n Cho E = (E , E ) đồ thị có hướng hữu hạn có E = {v1 , v2 , , }, {vi | ≤ i ≤ t} tập đỉnh quy Với x = m1 v1 + · · · + mn ∈ T, m1 , , mn ∈ Z+ (T vị nhóm giao hốn tự sở E ) với ≤ i ≤ t, ta ký hiệu Mi (x) phần tử T thu tác động quan hệ (M ) lên x đỉnh vi Với dãy σ lấy từ {1, 2, , t} x ∈ T , ký hiệu Λσ (x) ∈ T phần tử thu tác động quan hệ Mi lên x theo thứ tự σ Trong [7, Lemma 4.3], tác giả kết sau Bổ đề 2.2.3 Với cặp x, y ∈ T, [x] = [y] ME tồn hai dãy σ σ lấy từ {1, 2, , t} cho Λσ (x) = Λσ (y) T Ví dụ 2.2.4 (i) Cho n số nguyên dương đồ thị có hướng An sau: Khi đó, ta có [v1 ] = [v2 ] = · · · = [vn ] MAn MAn = {m[vn ] | m ∈ Z+ } ∼ = Z+ (ii) Cho n số nguyên dương lớn đồ thị có hướng Rn sau: 28 Khi đó, ta có [v] = n[v] MRn MRn = {0, 1[v], 2[v], , (n − 1)[v]} (iii) Cho đồ thị có hướng T sau: Khi đó, ta có MT = {m1 [v] + m2 [w] | m1 , m2 ∈ Z+ [v] = [v] + [w]} Trong [7], tác giả chứng minh kết quan trọng Định lý 2.2.5 Cho E = (E , E ) đồ thị có hướng hữu hạn K trường Khi đó, ánh xạ [v] −→ [vLK (E)] xác định đẳng cấu vị nhóm ME ∼ = V(LK (E)) Đặc biệt, đẳng cấu cho ta [ v∈E v] −→ [LK (E)] Từ định lý ta có hệ Hệ 2.2.6 Cho E = (E , E ) đồ thị có hướng hữu hạn K trường Khi đó, phát biểu sau tương đương: (i) LK (E) có tính chất sở bất biến, (ii) Với cặp số nguyên dương m m , m[ v∈E v] = m [ v∈E 29 v] ME m = m , (iii) Với cặp số nguyên dương phân biệt m m , ta có m[ρ] = m [ρ] ME , ρ = (1, , 1) Ví dụ 2.2.7 (i) Cho n số nguyên dương đồ thị có hướng An (như Ví dụ 2.2.4(i)) Ta có MAn = {m[vn ] | m ∈ Z+ } ∼ = Z+ Cho m m hai số nguyên dương cho m[v1 + v2 + · · · + ] = m [v1 + v2 + · · · + ] MAn Vì [v1 ] = [v2 ] = · · · = [vn ] MAn nên mn[vn ] = m n[vn ] Do mn = m n, suy m = m Vậy LK (An ) có tính chất sở bất biến (ii) Cho n số nguyên dương lớn đồ thị có hướng Rn (như Ví dụ 2.2.4(ii)) Ta có [v] = n[v] MRn , = n Do LK (Rn ) khơng có tính chất sở bất biến (iii) Cho đồ thị có hướng T (như Ví dụ 2.2.4(iii)) Khi đó, ta có MT = {m1 [v] + m2 [w] | m1 , m2 ∈ Z+ [v] = [v] + [w]} Cho m m hai số nguyên dương cho m[v + w] = m [v + w] MT Do m[v] = m [v] (vì [v] = [v] + [w]), suy m = m (bằng cách sử dụng Bổ đề 2.2.3) Vậy LK (T ) có tính chất sở bất biến Phần cịn lại, chứng minh kết luận văn Mệnh đề 2.2.8 Với số nguyên không âm aij (1 ≤ i ≤ t, ≤ j ≤ n), tồn           w1 w2          wt w1 , w2 , , wn+t Q thỏa mãn hệ t + phương trình tuyến tính sau: = w1 + w2 + · · · + wn + wn+1 + · · · + wn+t = a11 w1 + a12 w2 + · · · + a1n wn + a11 wn+1 + · · · + a1t wn+t = a21 w1 + a22 w2 + · · · + a2n wn + a21 wn+1 + · · · + a2t wn+t = at1 w1 + at2 w2 + · · · + atn wn + at1 wn+1 + · · · + att wn+t 30 Chứng minh Xét ma trận B cấp (t + 1) × (n + t) sau:  1  a − a12  11  B= a22 −  a21    at1 at2 1   a1n a11 a1t    a2t a2n a21 a2t      att − atn at1 att a1t Khi đó, tồn số hữu tỉ w1 , w2 , , wn+t thỏa mãn hệ phương trình cho tương đương với tồn nghiệm Qn+t hệ t + phương trình biểu diễn phương trình véctơ Bx = (1, 0, 0, , 0)t Ta chứng minh t + dòng ma trận B độc lập tuyến tính Thật vậy, với ≤ i ≤ t, ta trừ cột n + i cho cột i ma trận B thu ma trận tương đương cột C sau:  1  a − a12  11  C= a22 −  a21    at1 at2 0 a1t a1n a2t a2n att − atn 0   0   0     Ta thấy rõ ràng t + cột cuối ma trận C độc lập tuyến tính Do đó, rank(C) ≥ t + Nhưng rank(C) = rank(B) ≤ t + (vì B có t + dịng) Do đó, rank(C) = rank(B) = t + Vì t + dịng B độc lập tuyến tính Qn+t nên tồn nghiệm hệ phương trình có dạng Bx = c với c ∈ Qn+t , đặc biệt với c = (1, 0, 0, , 0)t Vậy tồn số hữu tỉ w1 , w2 , , wn+t thỏa mãn hệ phương trình cho Bây giờ, chứng minh nội dung luận văn Định lý 2.2.9 Cho E = (E , E ) đồ thị có hướng hữu hạn K trường Khi đó, đại số đường Cohn CK (E) ln có tính chất sở bất biến 31 Chứng minh Theo Định lý 2.1.9, ta có CK (E) ∼ = LK (F ), F = F (E) Ta cần chứng minh LK (F ) có tính chất sở bất biến Nếu E = {v1 , v2 , , } tập đỉnh quy E Y = {v1 , v2 , , vt }, t ≤ n F = {v1 , v2 , , , v1 , v2 , , vt } đỉnh quy F {v1 , v2 , , vt } Chú ý |F | = n + t Ta có AE = (aij )n ma trận liên thuộc E nên ma trận liên thuộc  a  11 a  21     AF =   at1       F a1n a11 a1t   a2n a21 a2t       atn at1 att    0      0 n+t Khi đó, vị nhóm MF vị nhóm thương (Z+ )n+t quan hệ tương đẳng sinh đồng thức sau bi ∼F (ai1 , ai2 , , ain , ai1 , ai2 , , ait ), với ≤ i ≤ t, bi t véctơ sở tắc ( Z+ )n+t Ta chứng minh với cặp số nguyên dương m = m m[ρ] = m [ρ] MF , với ρ = (1, , 1) ∈ (Z+ )n+t Cho w1 , w2 , , wn+t ∈ Q số hữu tỉ thỏa mãn hệ phương trình tuyến tính cho Mệnh đề 2.2.8 tồn chúng bảo đảm Mệnh đề 2.2.8 Đặc biệt, với ≤ i ≤ t, ta có n wi = t ail wl + l=1 + n+t Ta định nghĩa ánh xạ Γ : (Z ) ail wn+l l=1 −→ Q sau: n+t Γ((z1 , z2 , , zn+t )) = zl wl l=1 Ta định nghĩa quan hệ ∼Γ (Z+ )n+t sau: a ∼Γ b Γ(a) = Γ(b) Ta chứng minh a ∼F b a ∼Γ b Thật vậy, Γ bảo 32 tồn phép cộng nên ∼Γ quan hệ tương đẳng để chứng minh khẳng định trên, ta cần đồng thức ∼F thỏa mãn ∼Γ Ta có n Γ(bi ) = Γ((0, , 0, 1, 0, , 0)) = 1.wi = wi = t ail wl + l=1 ail wn+l l=1 = Γ((ai1 , ai2 , , ain , ai1 , ai2 , , ait )) Suy bi ∼Γ (ai1 , ai2 , , ain , ai1 , ai2 , , ait ) với ≤ i ≤ t Do đó, ta chứng minh khẳng định Theo Mệnh đề 2.2.8, wl chọn cho n+t l=1 wl = Vì thế, với số nguyên dương m, ta có n+t Γ(mρ) = Γ((m, m, , m)) = n+t mwl = m l=1 wl = m.1 = m l=1 Khi đó, m = m nên Γ(mρ) = m = m = Γ(m ρ) Do mρ mρ F Γ m ρ, suy m ρ (áp dụng chứng minh trên), nghĩa m[ρ] = m [ρ] MF Áp dụng Hệ 2.2.6, LK (F ) có tính chất sở bất biến Vậy CK (E) có tính chất sở bất biến Để hiểu rõ định lý trên, xét số ví dụ sau Ví dụ 2.2.10 (i) Cho đồ thị có hướng A3 sau: f e •u −−−−→ •v −−−−→ •w Khi ta có đồ thị có hướng F (A3 ): Ta chứng minh CK (A3 ) có tính chất sở bất biến cách chứng minh LK (F (A3 )) có tính chất sở bất biến 33 Thật vậy, ta có [u] = [v] + [v ] [v] = [w] MF (A3 ) Do MF (A3 ) = {m1 [w] + m2 [u ] + m3 [v ] | m1 , m2 , m3 ∈ Z+ } ∼ = (Z+ )3 Cho m m hai số nguyên dương cho m[u + v + w + u + v ] = m [u + v + w + u + v ] MF (A3 ) Khi m[3w + u + 2v ] = m [3w + u + 2v ] Do [3mw + mu + 2mv ] = [3m w + m u + 2m v ] Suy 3m = 3m , m = m 2m = 2m , nên m = m Vậy LK (F (A3 )) có tính chất sở bất biến, tức CK (A3 ) có tính chất sở bất biến e e Ø (ii) Cho đồ thị có hướng R2 = •i v F (R2 ) = •i v Ø e B v R• Ta chứng minh f f f CK (R2 ) có tính chất sở bất biến cách chứng minh LK (F (R2 )) có tính chất sở bất biến Thật vậy, ta có [v] = 2[v] + 2[v ] MF (R2 ) MF (R2 ) = {m1 [v] + m2 [v ] | m1 , m2 ∈ Z+ } Cho m m hai số nguyên dương cho m[v + v ] = m [v + v ] MF (R2 ) Suy [mv + mv ] = [m v + m v ] MF (R2 ) Theo Bổ đề 2.2.3, tồn hai số nguyên không âm k k cho (m−k)v +2kv +2kv = (m −k )v +2k v +2k v T Khi (m+k)v+2kv = (m +k )v+2k v T Do m+k = m +k 2k = 2k , suy m = m Vậy LK (F (R2 )) có tính chất sở bất biến, tức CK (R2 ) có tính chất sở bất biến 34 KẾT LUẬN Trong luận văn này, làm việc đây: - Trình bày cách xây dựng đại số đường Leavitt, đại số đường Cohn đồ thị có hướng, số tính chất chúng - Chứng minh lại kết Abrams Kanuni [5, Theorem 9] đại số đường Cohn đồ thị có hướng hữu hạn ln có tính chất sở bất biến Ngồi ra, chúng tơi cịn cung cấp thêm số ví dụ để làm rõ số khái niệm định lý luận văn 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Tiếng Anh [3] G Abrams, P Ara, M Siles Molina, Leavitt path algebras, Lecture Notes in Mathematics series, Springer-Verlag Inc (to appear) [4] G Abrams and G Aranda Pino (2005), "The Leavitt path algebra of a graph", Journal of Algebra, (293), 319-334 [5] G Abrams and M Kanuni (2016), "Cohn path algebras have invariant basis number", Communications in Algebra, (44), 371-380 [6] G Abrams, T G Nam and N T Phuc (2017), "Leavitt path algebras having unbounded generating number", Journal of Pure and Applied Algebra, (221), 1322-1343 [7] P Ara, M A Moreno, E Pardo (2007), "Nonstable K-theory path algebras", Algebras and Representation Theory, (10), 157-178 [8] M Kanuni and M Ozaydin (2016), "Cohn-Leavitt path algebras and the invariant basis number property", arXiv:1606.07998v1 [math.RA], 26 Jun 2016 36 [9] T Y Lam (1999), Lectures on Modules and Rings, Spring-Verlag New York - Berlin [10] W G Leavitt (1962), "The module type of a ring", Trans Amer Math Soc., (42), 113-130 [11] T G Nam and N T Phuc (2016), "A cretirion for Leavitt path algebras having invariant basis number", arXiv:1606.04607v1 [math.RA], 15 Jun 2016 [12] M Tomforde (2011), "Leavitt path algebras with coefficients in a commutative ring", J Pure Appl Algebra, (215), 471-484 37 ... BỊ 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị vành 1.2 Vành với tính chất sở bất biến 11 TÍNH CHẤT CƠ SỞ BẤT BIẾN CHO ĐẠI SỐ ĐƯỜNG COHN 15 2.1 Đại số đường Leavitt Cohn ... có tính chất sở bất biến 14 Chương TÍNH CHẤT CƠ SỞ BẤT BIẾN CHO ĐẠI SỐ ĐƯỜNG COHN Trong chương này, dựa chủ yếu tài liệu tham khảo [3], [4], [5] [12], chúng tơi trình bày lại số tính chất đại số. .. trình bày cách xây dựng đại số đường Leavitt, đại số đường Cohn, số ví dụ tính chất đại số đường Leavitt, kết thúc tiết định lý nói đại số đường Cohn trường hợp đặc biệt đại số đường Leavitt Định