Mục tiêu chính của tiết này là chứng minh chi tiết kết quả của Abrams và Kanuni [5, Theorem 9] rằng đại số đường Cohn của một đồ thị có hướng hữu hạn luôn có tính chất cơ sở bất biến.
Trước hết, chúng tôi sẽ mô tả vị nhóm V(LK(E)) với E = (E0, E1) là đồ thị có hướng hữu hạn. Để làm điều này, chúng tôi cần một vài khái niệm và tính chất dưới đây.
Định nghĩa 2.2.1. ChoE = (E0, E1) là đồ thị có hướng hữu hạn với|E0| =n. Ta xây dựng vị nhóm giao hoánME như sau. Ta ký hiệu T là vị nhóm giao hoán tự do (phép toán cộng) trên cơ sở E0 và định nghĩa các đồng nhất thức trên T
v = X
e∈s−1(v)
r(e) (M)
với các đỉnh chính quyv ∈E0. Xét ∼E là quan hệ tương đẳng trên T được sinh bởi các đồng nhất thức (M). Khi đó, ME = T / ∼E; ký hiệu một phần tử của ME là [x], trong đó x∈T. Phép toán trongME được xác định như sau:
[x] + [y] = [x+y]
với mọi x, y ∈T.
Ta có thể diễn giải định nghĩa trên theo một cách khác dưới đây. Nhưng trước hết ta cần nhớ lại rằng: Cho E = (E0, E1) là một đồ thị có hướng hữu hạn với E0 = {v1, v2, . . . , vn}. Khi đó, ta định nghĩa ma trận liên thuộc AE = (aij)n, trong đó aij là số cạnh e∈ E1 sao cho s(e) =vi và r(e) =vj.
Chú ý 2.2.2. Cho E = (E0, E1) là một đồ thị có hướng hữu hạn với
nhóm giao hoán (Z+)n các bộ n số nguyên không âm. Với mỗi đỉnh chính quy vi (1 ≤ i ≤ t), ta ký hiệu ~bi là véctơ (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0) (có 1 ở thành phần thứi) của(Z+)n. Ta xét quan hệ tương đẳng ∼E trong (Z+)n được sinh bởi các đồng nhất thức sau
~
bi ∼E (ai1, ai2, . . . , ain)
với mỗi đỉnh chính quy vi. Khi đó, ME = (Z+)n/∼E; nếu ta ký hiệu lớp tương đương của phần tử~a ∈(Z+)n là [~a] thì phép toán trong ME được xác định như sau:
[~a] + [~b] = [~a+~b]
với mọi~a,~b∈ (Z+)n.
Cho E = (E0, E1) là một đồ thị có hướng hữu hạn có E0 = {v1, v2, . . . , vn},
{vi |1≤ i ≤t} là tập các đỉnh chính quy. Với x=m1v1+· · ·+mnvn ∈T, m1, . . . , mn ∈ Z+ (T là vị nhóm giao hoán tự do trên cơ sở E0) và với mỗi
1 ≤ i ≤ t, ta ký hiệu Mi(x) là phần tử của T thu được khi tác động quan hệ
(M) lên x tại đỉnh vi. Với dãy bất kì σ được lấy từ {1,2, . . . , t} và x ∈ T, ký hiệuΛσ(x) ∈T là phần tử thu được khi tác động các quan hệMi lên x theo thứ tự được chỉ ra bởi σ.
Trong [7, Lemma 4.3], tác giả đã chỉ ra một kết quả như sau.
Bổ đề 2.2.3. Với mỗi cặp x, y ∈ T, [x] = [y] trong ME nếu và chỉ nếu tồn tại hai dãy σ và σ0 được lấy từ {1,2, . . . , t} sao cho Λσ(x) = Λσ0(y) trong T.
Ví dụ 2.2.4. (i) Cho n là một số nguyên dương và đồ thị có hướng An như sau:
Khi đó, ta có [v1] = [v2] = · · ·= [vn] trong MAn và
MAn ={m[vn] | m∈Z+} ∼=Z+.
Khi đó, ta có [v] = n[v] trong MRn và
MRn ={0,1[v],2[v], . . . ,(n−1)[v]}.
(iii) Cho đồ thị có hướng T như sau:
Khi đó, ta có MT ={m1[v] +m2[w]| m1, m2 ∈Z+ và [v] = [v] + [w]}. Trong [7], tác giả chứng minh được các kết quả quan trọng dưới đây.
Định lý 2.2.5. Cho E = (E0, E1) là một đồ thị có hướng hữu hạn và K là một trường bất kỳ. Khi đó, ánh xạ [v]7−→ [vLK(E)] xác định một đẳng cấu vị nhóm
ME ∼=V(L
K(E)). Đặc biệt, đẳng cấu này cho ta [P
v∈E0v]7−→ [LK(E)].
Từ định lý này ta có ngay hệ quả dưới đây.
Hệ quả 2.2.6. Cho E = (E0, E1) là một đồ thị có hướng hữu hạn và K là một trường bất kỳ. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:
(i) LK(E) có tính chất cơ sở bất biến, (ii) Với mỗi cặp số nguyên dương m và m0,
nếu m[P
v∈E0v] = m0[P
(iii) Với mỗi cặp số nguyên dương phân biệt m và m0, ta có
m[~ρ] 6=m0[ρ~] trong ME, trong đó ρ~= (1, . . . ,1).
Ví dụ 2.2.7. (i) Cho n là một số nguyên dương và đồ thị có hướng An (như trong Ví dụ 2.2.4(i)). Ta có MAn = {m[vn] | m ∈ Z+} ∼= Z+. Cho m và m0 là hai số nguyên dương bất kỳ sao cho
m[v1+v2+· · ·+vn] = m0[v1+v2+· · ·+vn] trong MAn. Vì
[v1] = [v2] = · · ·= [vn]
trong MAn nên
mn[vn] = m0n[vn].
Do đó mn=m0n, suy ra m=m0. Vậy LK(An) có tính chất cơ sở bất biến. (ii) Cho n là một số nguyên dương lớn hơn 1 và đồ thị có hướng Rn (như trong Ví dụ 2.2.4(ii)). Ta có [v] = n[v] trong MRn, nhưng 16=n. Do đó LK(Rn)
không có tính chất cơ sở bất biến.
(iii) Cho đồ thị có hướng T (như trong Ví dụ 2.2.4(iii)). Khi đó, ta có
MT ={m1[v] +m2[w] | m1, m2 ∈ Z+ và [v] = [v] + [w]}. Cho m và m0 là hai số nguyên dương bất kỳ sao cho
m[v+w] =m0[v+w] trong MT.
Do đó m[v] = m0[v] (vì [v] = [v] + [w]), suy ra m = m0 (bằng cách sử dụng Bổ đề 2.2.3). Vậy LK(T) có tính chất cơ sở bất biến.
Phần còn lại, chúng ta sẽ chứng minh các kết quả chính của luận văn.
Mệnh đề 2.2.8. Với các số nguyên không âm bất kỳ aij (1 ≤i ≤ t,1≤j ≤n), tồn tại w1, w2, . . . , wn+t trong Q thỏa mãn hệ t+ 1 phương trình tuyến tính sau: 1 = w1+w2+· · ·+wn+wn+1+· · ·+wn+t w1 = a11w1+a12w2+· · ·+a1nwn +a11wn+1+· · ·+a1twn+t w2 = a21w1+a22w2+· · ·+a2nwn +a21wn+1+· · ·+a2twn+t .. . wt = at1w1+at2w2 +· · ·+atnwn+at1wn+1+· · ·+attwn+t
Chứng minh. Xét ma trận B cấp (t+ 1)×(n+t) như sau: B = 1 1 . . . 1 . . . 1 1 . . . 1 a11−1 a12 . . . a1t . . . a1n a11 . . . a1t a21 a22−1 . . . a2t . . . a2n a21 . . . a2t .. . at1 at2 . . . att−1 . . . atn at1 . . . att .
Khi đó, sự tồn tại của các số hữu tỉ w1, w2, . . . , wn+t thỏa mãn hệ phương trình đã cho tương đương với sự tồn tại của một nghiệm trong Qn+t của hệ t + 1
phương trình được biểu diễn bởi phương trình véctơ B~x= (1,0,0, . . . ,0)t. Ta chứng minh rằng t+ 1 dòng của ma trận B là độc lập tuyến tính. Thật vậy, với 1 ≤ i ≤ t, ta trừ cột n+i cho cột i trong ma trận B thì thu được ma trận tương đương cột C như sau:
C = 1 1 . . . 1 . . . 1 0 0 ... . . . 0 a11−1 a12 . . . a1t . . . a1n 1 0 . . . 0 a21 a22−1 . . . a2t . . . a2n 0 1 . . . 0 .. . at1 at2 . . . att −1 . . . atn 0 0 . . . 1
Ta thấy rõ ràng t+ 1 cột cuối cùng của ma trận C là độc lập tuyến tính. Do đó, rank(C) ≥ t+ 1.
Nhưng rank(C) =rank(B) ≤ t+ 1 (vì B có t+ 1 dòng). Do đó,
rank(C) =rank(B) =t+ 1. Vì t+ 1 dòng của B độc lập tuyến tính trong Qn+t nên tồn tại một nghiệm của hệ phương trình bất kỳ có dạngB~x =~cvới~c∈Qn+t, đặc biệt ở đây với~c= (1,0,0, . . . ,0)t. Vậy tồn tại các số hữu tỉw1, w2, . . . , wn+t thỏa mãn hệ phương trình đã cho.
Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh nội dung chính của luận văn này.
Định lý 2.2.9. Cho E = (E0, E1) là một đồ thị có hướng hữu hạn và K là một trường bất kỳ. Khi đó, đại số đường Cohn CK(E) luôn có tính chất cơ sở bất biến.
Chứng minh. Theo Định lý 2.1.9, ta có CK(E) ∼= L
K(F), trong đó F = F(E). Ta cần chứng minh LK(F) có tính chất cơ sở bất biến.
NếuE0 ={v1, v2, . . . , vn}và tập các đỉnh chính quy củaE làY = {v1, v2, . . . , vt}, t≤ n thì F0 ={v1, v2, . . . , vn, v01, v20, . . . , v0t} và các đỉnh chính quy duy nhất của F là{v1, v2, . . . , vt}. Chú ý rằng |F0| =n+t. Ta có AE = (aij)n là ma trận liên thuộc của E nên ma trận liên thuộc của F là
AF = a11 . . . a1n a11 . . . a1t a21 . . . a2n a21 . . . a2t .. . at1 . . . atn at1 . . . att 0 . . . 0 0 . . . 0 .. . 0 . . . 0 0 . . . 0 n+t .
Khi đó, vị nhómMF là vị nhóm thương của(Z+)n+t trên quan hệ tương đẳng được sinh bởi các đồng nhất thức sau
~
bi ∼F (ai1, ai2, . . . , ain, ai1, ai2, . . . , ait),
với mỗi1≤i ≤t, trong đó cácb~i làtvéctơ cơ sở chính tắc đầu tiên của( Z+)n+t. Ta chứng minh với mỗi cặp số nguyên dương m 6= m0 thì m[ρ~] 6= m0[~ρ] trong MF, với ~ρ= (1, . . . ,1)∈ (Z+)n+t.
Cho w1, w2, . . . , wn+t ∈ Q là các số hữu tỉ thỏa mãn hệ phương trình tuyến tính đã cho trong Mệnh đề 2.2.8 và sự tồn tại của chúng được bảo đảm bởi Mệnh đề 2.2.8. Đặc biệt, với 1≤i ≤t, ta có wi = n X l=1 ailwl+ t X l=1 ailwn+l. Ta định nghĩa ánh xạ Γ : (Z+)n+t −→ Q như sau:
Γ((z1, z2, . . . , zn+t)) =
n+t
X
l=1 zlwl.
Ta định nghĩa quan hệ ∼Γ trên (Z+)n+t như sau: ~a ∼Γ ~b nếu và chỉ nếu
toàn phép cộng nên ∼Γ là một quan hệ tương đẳng và vì thế để chứng minh khẳng định trên, ta chỉ cần chỉ ra rằng các đồng nhất thức đối với ∼F ở trên đều thỏa mãn đối với ∼Γ. Ta có
Γ(~bi) = Γ((0, . . . ,0,1,0, . . . ,0)) = 1.wi =wi = n X l=1 ailwl + t X l=1 ailwn+l = Γ((ai1, ai2, . . . , ain, ai1, ai2, . . . , ait)).
Suy rab~i ∼Γ (ai1, ai2, . . . , ain, ai1, ai2, . . . , ait) với mỗi 1≤ i≤ t. Do đó, ta chứng minh được khẳng định trên.
Theo Mệnh đề 2.2.8, các wl có thể được chọn sao cho Pn+t
l=1 wl = 1. Vì thế, với mỗi số nguyên dương m, ta có
Γ(m~ρ) = Γ((m, m, . . . , m)) = n+t X l=1 mwl = m n+t X l=1 wl =m.1 =m.
Khi đó, vì m 6= m0 nên Γ(m~ρ) = m 6= m0 = Γ(m0ρ~). Do đó m~ρ Γ m0~ρ, suy ra m~ρ F m0~ρ (áp dụng chứng minh ở trên), nghĩa là m[~ρ] 6=m0[~ρ] trong MF. Áp dụng Hệ quả 2.2.6, LK(F) có tính chất cơ sở bất biến. Vậy CK(E) có tính chất cơ sở bất biến.
Để hiểu rõ hơn định lý trên, chúng ta xét một số ví dụ sau.
Ví dụ 2.2.10. (i) Cho đồ thị có hướng A3 như sau:
•u −−−−e→ •v −−−−→ •f w
Khi đó ta có đồ thị có hướng F(A3):
Ta chứng minh CK(A3) có tính chất cơ sở bất biến bằng cách chứng minh LK(F(A3)) có tính chất cơ sở bất biến.
Thật vậy, ta có [u] = [v] + [v0] và [v] = [w] trong MF(A3). Do đó
MF(A3) ={m1[w] +m2[u0] +m3[v0] | m1, m2, m3 ∈ Z+} ∼= (Z+)3. Cho m và m0 là hai số nguyên dương sao cho
m[u+v+w+u0+v0] = m0[u+v +w+u0+v0] trong MF(A3).
Khi đó
m[3w+u0+ 2v0] = m0[3w+u0+ 2v0].
Do đó
[3mw+mu0+ 2mv0] = [3m0w+m0u0+ 2m0v0].
Suy ra 3m = 3m0, m = m0 và 2m = 2m0, nên m = m0. Vậy LK(F(A3)) có tính chất cơ sở bất biến, tức là CK(A3) có tính chất cơ sở bất biến.
(ii) Cho đồ thị có hướng R2 = •v e f EE thì F(R2) = •v e f EE f0 44 e0 ** •v0. Ta chứng minh
CK(R2) có tính chất cơ sở bất biến bằng cách chứng minh LK(F(R2)) có tính chất cơ sở bất biến.
Thật vậy, ta có [v] = 2[v] + 2[v0] trong MF(R2) và
MF(R2) ={m1[v] +m2[v0] | m1, m2 ∈ Z+}.
Chomvàm0 là hai số nguyên dương sao chom[v+v0] = m0[v+v0] trongMF(R2). Suy ra[mv+mv0] = [m0v+m0v0] trong MF(R2). Theo Bổ đề 2.2.3, tồn tại hai số nguyên không âmkvà k0 sao cho(m−k)v+2kv+2kv0 = (m0−k0)v+2k0v+2k0v0 trong T. Khi đó(m+k)v+2kv0 = (m0+k0)v+2k0v0trong T. Do đóm+k = m0+k0 và 2k = 2k0, suy ra m=m0. Vậy LK(F(R2)) có tính chất cơ sở bất biến, tức là CK(R2) có tính chất cơ sở bất biến.
KẾT LUẬN
Trong luận văn này, chúng tôi đã làm được những việc dưới đây:
- Trình bày cách xây dựng đại số đường Leavitt, đại số đường Cohn của đồ thị có hướng, một số tính chất cơ bản của chúng.
- Chứng minh lại kết quả của Abrams và Kanuni [5, Theorem 9] rằng đại số đường Cohn của đồ thị có hướng hữu hạn luôn có tính chất cơ sở bất biến.
Ngoài ra, chúng tôi còn cung cấp thêm một số ví dụ để làm rõ hơn một số khái niệm và định lý của luận văn.