TÍNH đơn của đại số ĐƯỜNG đi LEAVIT

Mục lục Lời nói đầu Danh mục ký hiệu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành 1.2 Vành đơn 13 1.3 Đại số Leavitt 17 ĐẠI SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT 2.1 Đại số đường Leavitt 21 21 2.2 Tính đơn đại số đường Leavitt 32 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Lời nói đầu Một vấn đề quan trọng lý thuyết vành kết hợp mô tả cấu trúc vành thông qua tự đồng cấu không gian vectơ Tuy nhiên điều nói chung thực Kết quan trọng hướng nghiên cứu định lý phân loại đại số nửa đơn hữu hạn chiều (trên trường) chứng minh J.H.M Wedderburn vào năm 1907 Hai mươi năm sau, E Artin chứng minh kết tương tự định lý Wedderburn cho vành nửa đơn tổng quát Ngày kết gọi Định lý WedderburnArtin Định lý nói vành nửa đơn tích trực tiếp hữu hạn vành ma trận vành chia Từ phép chứng minh Định lý Wedderburn-Artin, nhận vành nửa đơn phân tích thành tích hữu hạn vành đơn Artin Đồng thời vành đơn Artin vành ma trận vành chia Điều đưa đến cho vấn đề mô tả vành đơn tổng quát Một lý khác để vành đơn quan tâm nghiên cứu vành có đơn vị có vành thương đơn Điều có nghĩa hiểu cấu trúc vành đơn hiểu phần cấu trúc vành kết hợp tùy ý Hiện vành đơn đề tài khó quan tâm lĩnh vực nghiên cứu đại số kết hợp Năm 2005, G Abrams G Aranda Pino xây dựng đại số trường từ đồ thị có hướng gọi Đại số đường Leavitt (Leavitt path algebra) (xem [3]) Đại số mở rộng đại số Leavitt LK (1, n) [8] Trong [3, Theorem 3.11] Abrams Aranda Pino đưa tiêu chuẩn túy đồ thị để đại số đường Lời nói đầu Leavitt đơn Để chứng minh tiêu chuẩn Abrams Aranda Pino đưa cấu trúc Z-phân bậc cho đại số đường Leavitt (xem [3, Lemma 1.7]) Tuy nhiên kiểm tra khẳng định dựa theo gợi ý Mục đích luận văn trình bày lại nội dung báo Abrams Aranda Pino [3] Đồng thời, dựa chứng minh Abrams Aranda Pino, luận văn đưa phép chứng minh ngắn gọn cho tiêu chuẩn nói Luận văn gồm hai chương: Chương 1: “Kiến thức chuẩn bị” trình bày số định nghĩa kết sử dụng Chương Đó khái niệm tính chất vành, vành đơn, trường, môđun, đại số, đại số Leavitt Chương 2: “Đại số đường Leavitt” dựa báo G Abrams G Aranda Pino (2005): “The Leavitt path algebra of a graph, Journal of Algebra, (293), 319-334” (xem [3]), chương trình bày cách xây dựng, số tính chất đại số đường Leavitt chứng minh lại tiêu chuẩn Abrams Aranda Pino tính đơn đại số đường Leavitt Qua luận văn, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô cán nhân viên Viện toán học dạy bảo giúp đỡ tác giả suốt trình học Tác giả chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn TS Trần Giang Nam tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ tác giả suốt trình làm luận văn Cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, động viên giúp đỡ để tác giả hoàn thành nhiệm vụ Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót định Rất mong quý độc giả đóng góp ý kiến để luận văn hoàn chỉnh Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Hà Thị Thu Trang DANH MỤC KÝ HIỆU Z tập hợp số nguyên N tập hợp số tự nhiên Q tập hợp số hữu tỷ R tập hợp số thực C tập hợp số phức Zn tập hợp số nguyên môđun n ∅ tập rỗng a∈A phần tử a thuộc tập A a∈ /A phần tử a không thuộc tập A A⊂B A tập B A∪B hợp hai tập A B A∩B giao hai tập A B A\B hiệu hai tập A B ∀a với a ∃a tồn a R/I vành thương vành R theo iđêan I M ⊕N tổng trực tiếp hai module M N Ker(f ) hạch đồng cấu f Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày khái quát cấu trúc đại số xác định hai phép toán Mục đầu chương trình bày định nghĩa vành, trường, môđun, đại số số tính chất đặc trưng Kiến thức mục tác giả dựa theo tài liệu [1], [2], [7] Dựa tài liệu [7, Chapter 1], mục hai trình bày số tính chất ví dụ vành đơn Mục cuối trình bày khái quát đại số Leavitt mà tác giả tham khảo dựa tài liệu [4], [5], [6], [8], [9] 1.1 Vành Định nghĩa 1.1 (i) Một tập hợp R gọi vành R có hai phép toán hai ngôi, gọi phép cộng gọi phép nhân, cho điều kiện sau thỏa mãn: (1) Tập hợp R nhóm Abel phép cộng, (2) Tập hợp R nửa nhóm có đơn vị phép nhân, (3) Phép nhân phân phối phép cộng từ hai phía Ta thường ký hiệu phần tử đơn vị phép nhân R 1R phần tử không nhóm Abel cộng R 0R Trường hợp vành R xác định cụ thể ta ký hiệu đơn giản cho phần tử đơn vị cho phần tử không R Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ (ii) Một vành R gọi vành giao hoán phép nhân R thỏa mãn tính chất giao hoán (iii) Một vành K gọi trường K vành giao hoán phần tử khác không K có nghịch đảo Nghĩa tập hợp K ∗ := K \ {0} lập thành nhóm giao hoán phép nhân K Ví dụ 1.1 (i) Các tập số Z, Q, R, C tập Zn với phép toán nhân cộng thông thường lập thành vành giao hoán Hơn Q, R, C trường Đồng thời, vành Zn trường n số nguyên tố (ii) Cho K trường Tập K[x] đa thức biến x có hệ số K với phép cộng nhân đa thức thông thường lập thành vành giao hoán (iii) Tập C[a, b] hàm số thực liên tục đoạn [a, b], a < b, với phép cộng nhân hàm số vành giao hoán (iv) Cho R vành Mn (R)(n ≥ 1) tập gồm tất ma trận vuông cấp n vành R Khi Mn (R) lập thành vành không giao hoán với phép cộng nhân ma trận thông thường (v) Cho K trường V K-không gian vectơ Ký hiệu EndK (V ) tất ánh xạ tuyến tính từ V vào V Khi EndK (V ) với phép cộng cộng ánh xạ thông thường phép nhân phép lấy ánh xạ hợp thành lập thành vành không giao hoán Định nghĩa 1.2 Cho R vành I tập khác rỗng R (i) I gọi iđêan trái (phải ) R thỏa mãn điều kiện sau: (1) Với a, b ∈ I, a + b ∈ I, (2) Với a ∈ I r ∈ R, ∈ I (ar ∈ I) (ii) I gọi iđêan I vừa iđêan trái vừa iđêan phải R (iii) Một iđêan J R gọi cực đại thỏa mãn điều kiện sau: (1) J = R, (2) Với iđêan J ′ R, J ⊆ J ′ J = J ′ J ′ = R Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Dễ thấy giao họ iđêan vành R lại iđêan R Khi ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.3 Cho S tập vành R Giao họ tất iđêan R chứa S iđêan bé R chứa S, ký hiệu (S) Iđêan gọi iđêan sinh S S gọi hệ sinh iđêan Bổ đề 1.1 Cho R vành ∅ = A ⊆ R Khi iđêan R sinh tập A tập hợp {r1 a1 r1′ + + rn an rn′ : n ∈ N, r1 , , rn , r1′ , , rn′ ∈ R, a1 , , an ∈ A} Chứng minh Ta ký hiệu tập hợp nói I chứng minh I = (A) Trước hết ta chứng minh I iđêan chứa A Thật vậy, với a ∈ A ta có a = 1.a.1 ∈ I nên A ⊆ I Do A = ∅ nên I = ∅ Giả sử a, b ∈ I Ta tìm n, m ∈ N: ri , ri′ ∈ R, ∈ A cho a = n ′ i=1 ri ri , n+m ′ i=n+1 ri ri b= n n+m ri ri′ a+b = Khi đó, ta có i=1 n+m ri ri′ + i=n+1 với r ∈ R n i=1 n ri ri′ = r (rri )ai ri′ ∈ I, = i=1 i=1 n n ri ri′ r = ar = ri ri′ ∈ I = i=1 ri (ri′ r) ∈ I i=1 Vậy I iđêan chứa A Giả sử J iđêan R chứa A Lấy a ∈ I, ta có n ri ri′ a= i=1 với n ∈ N, ri , ri′ ∈ R ∈ A Vì A ⊆ J J iđêan nên ri ri′ ∈ J, ∀ i = 1, n Do a = n ′ i=1 ri ri ∈ J, suy I ⊆ J Điều I iđêan bé R chứa A hay I = (A) Định nghĩa 1.4 Cho R S hai vành tùy ý Ánh xạ f : R → S gọi đồng cấu vành, thỏa mãn điều kiện sau với x, y ∈ R: Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ (1) f (x + y) = f (x) + f (y), (2) f (xy) = f (x)f (y), (3) f (1R ) = 1S Đồng cấu vành f gọi đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu ánh xạ f tương ứng đơn ánh, toàn ánh hay song ánh Định lý 1.1 Cho f : R → S đồng cấu vành từ vành R vào vành S I iđêan R Khi đó: (i) R/I vành với phép cộng phép nhân định nghĩa sau: Với x, y ∈ R (x + I) + (y + I) = (x + y) + I, (x + I)(y + I) = xy + I (ii) Nếu I iđêan S f −1 (I) iđêan R Đặc biệt hạt nhân Ker(f ) = f −1 (0S ) iđêan R (iii) Nếu I ⊆ Ker(f ) f cảm sinh đồng cấu f : R/I → S cho f = f ◦ p, p : R → R/I, x → x toàn cấu tắc Chứng minh (i) Trước hết, ta chứng minh định nghĩa không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện lớp ghép Cụ thể, cho x′ , y ′ ∈ R cho x + I = x′ + I y + I = y ′ + I x − x′ ∈ I y − y ′ ∈ I Từ (x + y) − (x′ + y ′ ) = (x − x′ ) + (y − y ′) ∈ I, (x + y) + I = (x′ + y ′) + I Mặt khác tồn a, b ∈ I cho x′ = x + a y ′ = y + b Khi nhờ luật phân phối R, ta có x′ y ′ = (x+ a)(y + b) = xy + (xb+ ay + ab) Rõ ràng xb+ ay + ab ∈ I I iđêan Suy x′ y ′ − xy ∈ I Vậy xy + I = x′ y ′ + I Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Như định nghĩa hợp lí Không khó khăn để với hai phép toán trên, R/I lập thành vành với phần tử không lớp ghép + I phần tử đơn vị lớp ghép + I Vành R/I xác định gọi vành thương vành R theo iđêan I (ii) Cho I iđêan S x, y ∈ f −1 (I) Khi f (x), f (y) ∈ I kéo theo f (x) + f (y) = f (x + y) ∈ I Vậy x + y ∈ f −1 (I) Mặt khác, với r ∈ R: f (rx) = f (r)f (x) ∈ I, f (xr) = f (x)f (r) ∈ I, tức rx, xr ∈ f −1 (I) Vậy f −1 (I) iđêan R (iii) Xét tương ứng f : R/I → S x → f (x) = f (x) Để chứng tỏ f ánh xạ, ta cần với x, y ∈ R, x+I = y +I f (x) = f (y) Thật từ điều kiện x + I = y + I suy x − y ∈ I ⊆ Ker(f ) Do f (x) − f (y) = f (x − y) = 0S f (x) = f (y) Ta chứng minh f đồng cấu Cho x = x + I y = y + I hai phần tử R/I Khi đó, ta có f (x + y) = f (x + y) = f (x + y) = f (x) + f (y) = f (x) + f (y), f (x y) = f (xy) = f (xy) = f (x)f (y) = f (x)f (y), f (1) = f (1) = Vậy f đồng cấu Bây với x ∈ R ta có: (f ◦ p)(x) = f (x) = f (x), nghĩa f = f ◦ p Tiếp theo, ta giả sử có f ′ : R/I → S đồng cấu cho f ′ ◦ p = f Khi với x ∈ R/I ta có f ′ (x) = f ′ (p(x)) = (f ′ ◦ p)(x) = f (x) = (f ◦ p)(x) = f (x) Định nghĩa 1.5 (i) Cho R vành Tập M gọi R-môđun trái hay gọi môđun trái R, M nhóm cộng Abel tồn ánh Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ xạ R × M → M, (r, m) → rm, gọi phép nhân với vô hướng cho tính chất sau thỏa mãn với r, r ′ ∈ R x, y ∈ M: (1) (r ′ r)x = r(r ′x), (2) r(x + y) = rx + ry (r + r ′ )x = rx + r ′ x, (3) 1m = m Tương tự ta có định nghĩa cho R-môđun phải cách xét phép nhân với vô hướng bên phải Tuy nhiên đơn giản ta xét R-môđun trái gọi ngắn gọn R-môđun (ii) Giả sử M R-môđun, tập N M gọi môđun M N nhóm cộng nhóm Abel M RN ⊆ N (iii) Cho M N hai R-môđun Một ánh xạ f :M →N gọi đồng cấu môđun, hay gọi R-đồng cấu thỏa mãn hai điều kiện sau phần tử x, y ∈ M r ∈ R: f (x + y) = f (x) + f (y), f (rx) = rf (x) Đồng cấu f gọi đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu môđun, ánh xạ tương ứng đơn ánh, toàn ánh hay song ánh Tập hợp tất R-đồng cấu từ M vào N ký hiệu HomR (M, N) Ví dụ 1.2 (i) Mọi nhóm Abel cộng M xem Z-môđun: Với x ∈ M n ∈ Z tùy ý, phép nhân với vô hướng xác định    x + + x (n lần ) n >    nx = n =     (−x) + + (−x) (-n lần) n < (ii) Không gian vectơ môđun trường 10 Chương ĐẠỊ SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT r i=1 ci , dj ∈ CSP(v) cho |p| = quát, giả sử r s j=1 |ci | = |dj | Không tính tổng d Nhân c∗1 vào bên trái hai vế (*), ta nhận vc2 cr = δc1 ,d1 d2 ds Vế trái đẳng thức khác không nên δc1 ,d1 = hay c1 = d1 Do ta có c2 cr = d2 ds Nhân vào bên trái hai vế đẳng thức với c∗2 , lập luận tương tự ta có c2 = d2 Lặp lại trình ta thu ci = di , ∀i = 1, r Khi đó, r < d r |p| = r s |ci | = i=1 |di | < i=1 |dj | = |p| j=1 Điều mâu thuẫn dẫn đến r = s Ta có điều cần chứng minh Bổ đề 2.3 Cho đồ thị E, điều kiện sau tương đương: (i) Mọi chu trình có lối rẽ; (ii) Mọi đường đóng có lối rẽ; (iii) Mọi đường đóng đơn có lối rẽ; (iv) Với v ∈ E , CSP(v) = ∅ tồn c ∈ CSP(v) có lối rẽ Chứng minh (ii) ⇒ (iii) ⇒ (i) dễ thấy theo định nghĩa (iii) ⇒ (iv) hiển nhiên (i) ⇒ (ii) Xét p ∈ CP(v) Trước tiên, theo Bổ đề 2.2 ta phân tích p = c1 cm , với cj ∈ CSP(v), ta xét cm Nếu cm chu trình theo (i) ta tìm cho cm lối rẽ tìm lối rẽ cho p Ngược lại, cm không chu trình, cm qua đỉnh (khác v) thuộc nhiều lần Viết cm = e1 es với ei ∈ E đặt es0 cạnh sau số cạnh ej mà s(ej ) ∈ {s(ei ): ≤ i ≤ s, i = j} Do đó, tồn s1 < s0 cho s(es0 ) = s(es1 ) Ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: es0 = es1 s0 < s Khi r(es0 ) = r(es1 ), s(es0 +1 ) = s(es1 +1 ), mâu thuẫn với cách chọn es0 31 Chương ĐẠỊ SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT Trường hợp 2: es0 = es1 s0 = s Nghĩa s(es1 +1 ) = r(es1 ) = r(es0 ) = r(es ) = v, điều xảy cm ∈ CSP(v) Trường hợp 3: es0 = es1 Trong trường hợp này, es1 lối rẽ cm lối rẽ p Trong trường hợp, ta tìm thấy mâu thuẫn tìm lối rẽ cho p (iv) ⇒ (iii) Xét c1 ∈ CSP(v) Bởi giả thiết ta tìm c2 ∈ CSP(v) có lối rẽ Nếu c1 = c2 ta có điều cần chứng minh Nếu không, ta viết c1 = e1 es , c2 = f1 fr tiếp tục thực bước sau: Bước Nếu e1 = f1 từ s(e1 ) = s(f1 ) = v ta có f1 lối rẽ c1 Bước Nếu e1 = f1 r(e1 ) = r(f1 ), s(e2 ) = s(f2 ) Bước Nếu e2 = f2 tương tự Bước 1, f2 lối rẽ c1 Bước Nếu e2 = f2 ta tiếp tục làm Bước Với trình này, ta tìm lối rẽ cho c1 xảy hai trường hợp sau: Trường hợp 1: c1 = c2 et es với t ≤ s Nhưng điều s(et ) = r(c2 ) = v c1 ∈ CSP(v) Trường hợp 2: c2 = c1 fq fr với q ≤ r Trường hợp xảy với cách lập luận Trong trường hợp nào, ta tìm thấy mâu thuẫn, điều có nghĩa tìm lối rẽ cho c1 2.2 Tính đơn đại số đường Leavitt Theo Mệnh đề 2.1(iii), đơn thức LK (E) có dạng kpq ∗ với k ∈ K p, q đường E cho r(p) = r(q) Bây giờ, đơn thức LK (E) gọi đường thực (realpath) có dạng kp với k ∈ K p đường E Một phần tử LK (E) gọi đa thức có cạnh thực tổng hữu hạn đường thực Bổ đề 2.2 nói rằng: Với p ∈ CP(v), tồn c1 , , cm ∈ CSP(v) cho p = c1 cm Khi đó, số m phân tích gọi bậc lặp lại (tại 32 Chương ĐẠỊ SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT v) p, ký hiệu RD(p) = RDv (p) = m Ta quy ước RDv (v) = 0, với đa thức khác không dạng ks ps , ta quy ước RD( ks ps ) = max{RD(ps )} ps ∈ CP(v) ∪ {v} ks ∈ K ∗ Trong [3], Abrams Aranda Pino chứng minh khẳng định sau: Trong đồ thị mà chu trình có lối rẽ, α ∈ LK (E) đa thức có cạnh thực khác không tồn a, b ∈ LK (E) cho aαb ∈ E Họ chứng minh kết nói theo cách sau: +) Quy α đa thức có cạnh thực mà đơn thức có điểm gốc v +) Tiến hành liên tiếp trình giảm bậc lặp lại v đa thức bậc lặp lại không Bây đưa cách chứng minh khác, đơn giản cho kết nêu Bổ đề 2.4 Cho K trường E đồ thị mà chu trình có lối rẽ Nếu α đa thức có cạnh thực khác không tồn a, b ∈ LK (E) cho aαb ∈ E Chứng minh Xét: n α= k i pi i=1 đa thức LK (E), ki ∈ K ∗ , pi đường thực phân biệt Không tính tổng quát, ta coi s(pi ) = w, r(pi ) = v, ∀i = 1, n Giả sử p1 đường có độ dài ngắn pi Do pi = pj với i = j nên áp dụng Mệnh đề 2.1 (iv) ta có n p∗1 α ki p∗1 pi = k1 p∗1 p1 + + kn p∗1 pn = i=1 = k1 v + h2 α2 + + hm αm , hi ∈ K ∗ , m ≤ n (1) (t) (j) Chú ý αi ∈ CP(v), theo Bổ đề 2.2 ta có αi = ci ci , ci ∈ CSP(v) Ta cố định 33 Chương ĐẠỊ SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT (1) c ∈ {ci : i = 2, m}, viết αi = cni qi , ni ∈ N   v qi =  di q ′ , với c = di ∈CSP(v), q ′ ∈CP(v) i i Đặt k = max{ni : i = 2, m} Ta có   (c∗ )k−ni ∗ k (c ) αi :=  0 qi = v qi = di qi′ Suy (c∗ )k p∗1 α = (c∗ )k (k1 v + h2 α2 + + hm αm ) = k1 (c∗ )k v + h2 (c∗ )k α2 + + hm (c∗ )k αm = k1 (c∗ )k + + hj (c∗ )k−j + hv = P (c∗ )c∗ + hv (*) ≤ k − j < k, P (c∗ ) đa thức c∗ h ∈ K ∗ Do chu trình có lối rẽ, nên theo Bổ đề 2.3, c có lối rẽ giả sử e0 Điều có nghĩa c = e1 es tồn j ∈ {1, , s} cho s(ej ) = s(e0 ) ej = e0 Đặt z := e1 ej−1 e0 ta có c∗ z = Khi đó, từ (∗) ta nhận (c∗ )k p∗1 αz = (P (c∗ )c∗ + hv)z = hz Nhân vào bên trái đẳng thức với h−1 z ∗ ta có h−1 z ∗ (c∗ )k p∗1 αz = h−1 z ∗ hz = h−1 hz ∗ z = r(z) ∈ E Nếu đặt a := h−1 z ∗ (c∗ )k p∗1 b := z a, b hai phần tử cần tìm Từ Mệnh đề ta có hệ sau: Hệ 2.1 Cho K trường E đồ thị mà chu trình có lối rẽ Nếu J iđêan LK (E) chứa đa thức khác cạnh thực E ∩ J = ∅ Định nghĩa 2.4 Cho đồ thị E, tập H ⊆ E v, w ∈ E 34 Chương ĐẠỊ SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT (i) v ≤ w v = w tồn đường µ cho s(µ) = v r(µ) = w (ii) Tập H gọi di truyền v ∈ H v ≤ w w ∈ H (iii) Tập H dược gọi bão hòa với s−1 (v) = ∅ {r(e): s(e) = v} ⊆ H v ∈ H Ta dễ dàng thấy với đồ thị E, tập E có hai tập di truyền bão hòa E ∅ Ta gọi chúng di truyền bão hòa tầm thường Ví dụ 2.2 (i) Cho đồ thị E xác định E = {v1 , , }, E = {e1 , , en−1 } s(ei ) = vi , r(ei ) = vi+1 ∀i = 1, n − Giả sử H = ∅ tập di truyền bão hòa E Chọn vi ∈ H Vì H tập di truyền nên ta có vi+1 , , ∈ H Mặt khác, tính bão hòa H vi ∈ H nên ta có vi−1 ∈ H Quy nạp ta có vi−1 , , v1 ∈ H Và H = E Điều có nghĩa không tồn tập di truyền bão hòa không tầm thường E (ii) Cho đồ thị xác định E = {v}, E = {e1 , , en } Rõ ràng E có tập di truyền bão hòa tầm thường (iii) Cho đồ thị xác định E = {v, w}, E = {e, f } s(e) = s(f ) = v, r(e) = v, r(f ) = w Khi đặt H1 = {v}, H2 = {w} ta kiểm tra được: 35 Chương ĐẠỊ SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT +) H1 không tập di truyền tập bão hòa +) H2 tập di truyền bão hòa Bổ đề 2.5 Nếu J iđêan LK (E) J ∩ E tập di truyền bão hòa E Chứng minh Trước hết ta chứng minh J ∩ E tập di truyền Xét v, w ∈ E cho v ∈ J v ≤ w Ta cần chứng minh w ∈ J ∩ E hay w ∈ J Do v ≤ w nên tồn đường µ = µ1 µn cho s(µ) = v r(µ) = w Ta có: µ∗1 vµ1 = µ∗1 µ1 = r(µ1) = s(µ2 ) ∈ J, µ∗2 s(µ2 )µ2 = µ∗2 µ2 = r(µ2) = s(µ3 ) ∈ J Lặp lại trình n lần ta nhận được: µ∗n s(µn )µn = µ∗n µn = r(µn ) = w ∈ J Bây ta J ∩ E tập bão hòa: Xét v ∈ E cho s−1 (v) = ∅ {r(e): s(e) = v} ⊆ J Khi đó, s−1 (v) = ∅ nên v = e∈s−1 (v) ee∗ Vì e xuất tổng có r(e) ∈ J J iđêan nên e = er(e) ∈ J, suy ee∗ ∈ J Do đó, v = e∈s−1 (v) ee∗ ∈ J Vậy E ∩ J tập bão hòa Chú ý 2.2 (1) Trong [3, Lemma 1.7], Abrams Aranda Pino đưa cấu trúc Z-phân bậc cho LK (E) sau: LK (E) = ⊕n∈Z LK (E)n , đó: LK (E)0 = KE + A0 , LK (E)n = An , n = 0, An = {kpq ∗ : |p| − |q| = n} (2) Hai Bổ đề 2.6 2.7 (dưới đây) đóng vai trò quan trong phép chứng minh Định lý 2.1 (bên dưới) Chúng Abrams Aranda Pino chứng minh dựa phân bậc nói Bây chứng minh lại kết mà không dựa vào cấu trúc Z-phân bậc Bổ đề 2.6 Cho K trường E đồ thi thỏa mãn hai tính chất sau: 36 Chương ĐẠỊ SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT (i) E có tập di truyền bão hòa tầm thường (ii) Mọi chu trình có lối rẽ Khi đó, iđêan khác không LK (E) chứa đa thức có cạnh thực Chứng minh Abrams Aranda Pino chứng minh kết dựa vào Z-phân bậc LK (E) thông qua bước sau: (+) Các tác giả định nghĩa bậc ảo (ghost degree) cho phần tử LK (E): Bậc ảo đa thức α = n i=1 ki pi qi∗ ∈ LK (E) max{|qi |: i = 1, n} (+) Các tác giả xét phần tử α = với bậc ảo nhỏ iđêan khác không cho trước Nếu bậc ảo α không có điều cần chứng minh Ngược lại cách làm giảm bậc ảo α, tác giả đưa đến mâu thuẫn Bây đưa phép chứng minh khác cho kết Giả sử = J iđêan LK (E) Ta chứng minh J chứa đa thức α = chứa cạnh thực Thật vậy, giả sử khẳng định không đúng, tức đa thức khác không J có cạnh ảo Ta chọn đa thức = α = p1 q1∗ + + pd qd∗ ∈ J cho: +) d = min{n| ∃ α ∈ J: α = p1 q1∗ + + pn qn∗ }, +) (|q1 |, , |qd |) ∈ Nd nhỏ theo quan hệ thứ tự từ điển Chú ý đa thức LK (E) viết dạng sau α = n j=1 kj ij =1 αij , với j cho trước, αij đường có chung điểm gốc điểm Vì tính cực tiểu d nên không tính tổng quát, ta giả sử rằng: s(pi ) = v, s(qi ) = w Hơn nữa, với e ∈ E , ta có αe = (p1 q1∗ + + pd qd∗ )e = Thật vậy, theo giả thiết tồn i ∈ {1, , d} cho |qi | > Viết qi = fi1 fin ta có:   0 e = fi1 ∗ ∗ ∗ qi e = fin fi1 e =  f ∗ f ∗ e = fi i2 in Nếu e = fi1 αe = p1 q1′∗ + + pc qc′∗ c < d 37 Chương ĐẠỊ SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT Nếu e = fi1 αe = p1 q1′∗ + + pd qd′∗ với (|q1′ |, |qd′ |) < (|q1 |, , |qd |) Cả hai trường hợp dẫn đến mâu thuẫn với cách chọn d (|q1 |, , |qd|) Để ý s−1 (w) = ∅ không α đa thức có cạnh thực Giả sử s−1 (w) = {e1 , , ek } Ta có αei e∗i = ∀ ≤ i ≤ k Khi đó: k k αei e∗i 0= ei eki = αw = α =α i=1 i=1 Đẳng thức α = 0, điều vô lý, dẫn đến khẳng định ta có điều cần chứng minh Bổ đề 2.7 Cho E đồ thị, K trường p chu trình lối rẽ với v = s(p) Khi vLK (E)v ∼ = K[x, x−1 ] Chứng minh Trước hết ta chứng minh phần tử vLK (E)v có dạng n k i pi , i=m m, n ∈ Z, ki ∈ K ∗ , pi := (p∗)−i i < 0, p0 := v Thật vậy, cho α = s i=1 ki pi qi∗ , s ∈ N, ki ∈ K, pi , qi đường E cho s(pi ) = v = s(qi ), r(pi ) = r(qi ) ∀ i Vì p chu trình lối rẽ pi , qi đường xuất phát từ v nên pi = pnpi p′i qi = pnqi qi′ npi , nqi ∈ N, p′i , qi′ đường xuất phát từ v |p′i | < |p|, |qi′ | < |p| Nếu ta viết p := e1 eh p′i , qi′ có dạng p′i = e1 eti , qi′ = e1 eki với ti , ki < h Khi pi qi∗ = pnpi e1 eti e∗ki e∗1 (p∗ )nqi =   pnpi (p∗ )nqi  0 ti = ki ti = ki Đồng thời ta ý p∗ p = v p∗ p = v (vì p lối rẽ) nên   pnpi −nqi npi > nqi npi ∗ nqi p (p ) =  (p∗ )nqi −npi nq > np i i Từ đạt này, ta suy α = n i=m k i pi 38 Chương ĐẠỊ SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT Lưu ý sử dụng Z-phân bậc nói LK (E) biểu diễn α = n i=m ki pi Do kết hiển nhiên Tuy nhiên sau đưa cách chứng minh khác cho kết mà không dựa vào Z-phân bậc nêu Cụ thể, xét đồng cấu ϕ : K[x, x−1 ] → vLK (E)v f → f (p) Rõ ràng ϕ toàn cấu Ta chứng minh ϕ đơn cấu Thật vậy, giả n i=m sử ϕ(f ) = suy f (p) = Viết f (x) = f (p) = nên n i=m ki xi , ki ∈ K, m, n ∈ Z Khi ki pi = Đặt Z = K (I) , Ae với e ∈ E , Av với v ∈ E A chứng minh Mệnh đề 2.1(i) xét đồng cấu Tv , Te , Te∗ A, với v ∈ E , e ∈ E , e ∈ (E )∗ Không tính tổng quát, ta giả sử I = Z Ta viết p = e1 en với ei ∈ E, vi−1 := s(ei ) vi := r(ei ), i = 1, n, cho v0 = = v Do cách xây dựng chứng minh Mệnh đề 2.1, ta có Avi−1 = Aei p lối rẽ Tei hạn chế thành đẳng cấu Avi → Avi−1 , ∀i Xét đồng cấu Tp := Te1 ◦ ◦ Ten , hạn chế thành đẳng cấu T : Av → Av , Av = Z = K (Z) Vì không hạn chế cách chọn đẳng cấu phép chứng minh Mệnh đề 2.1 (i) nên ta giả sử T (ei ) = ei+1 với i ∈ Z, {ei } sở K-môđun K (Z) Do Tv , v ∈ E , Te , e ∈ E , Te∗ , e∗ ∈ (E )∗ thỏa mãn đồng thức Định nghĩa 2.2 nên từ f (p) = suy f (T ) = HomK (A, A) Từ cách chọn T ta có n n i ki ei ki T (e0 ) = = f (T )(e0 ) = i=m i=m Suy ki = với i, dẫn đến f = hay Ker(ϕ) = Vậy ϕ đơn cấu Từ chứng minh ta nhận K[x, x−1 ] ∼ = vLK (E)v Định lý 2.1 Cho E đồ thị, K trường Khi LK (E) vành đơn E thỏa mãn điều kiện sau: 39 Chương ĐẠỊ SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT (i) E có tập di truyền bão hòa tầm thường, (ii) Mọi chu trình có lối rẽ Chứng minh (⇐) Giả sử đồ thị E thỏa mãn điều kiện (i), (ii) J iđêan khác không LK (E) Ta chứng minh J = LK (E) Thật vậy, theo Bổ đề 2.6, J chứa đa thức có cạnh thực Áp dụng Hệ 2.1, ta có J ∩ E = ∅ Bởi giả thiết (i) Bổ đề 2.5, ta suy J ∩ E = E , hay E ⊆ J Từ đạt Bổ đề 2.1, ta thu J = LK (E) (⇒) Giả sử LK (E) đơn Ta chứng minh E thỏa mãn hai điều kiện (i) (ii) nói Thật giả sử E chứa chu trình lối rẽ p Đặt v = s(p) Theo Bổ đề 2.7 ta có vLK (E)v ∼ = K[x, x−1 ] Khi theo Ví dụ 1.5(iv), K[x, x−1 ] không vành đơn, vLK (E)v không vành đơn Mặt khác, LK (E) vành đơn nên vLK (E)v vành đơn [7, Theorem 21.11] Điều cho ta mâu thuẫn Vậy chu trình E phải có lối rẽ Tiếp theo, giả sử E chứa tập di truyền bão hòa không tầm thường H Khi đó, ta xây dựng đồ thị sau: F = (F , F , rF , sF ) = (E − H, r −1(E − H), r|E 0−H , s|E −H ) Để đảm bảo F đồ thị, ta cần kiểm tra sF (F ) ∪ rF (F ) ⊆ F Rõ ràng theo định nghĩa ta có rF (F ) ⊆ F Mặt khác, e ∈ F s(e) ∈ F s(e) ∈ / F0 s(e) ∈ H, r(e) ≥ s(e) H tập di truyền nên r(e) ∈ H, mâu thuẫn với e ∈ F Do F đồ thị Xét đồng cấu ϕ : AE → LK (F ) v → χF (v)v e → χF (e)e e∗ → χ(F )∗ (e∗ )e∗ Ta iđêan I AE sinh phần tử dạng (1), (2), (3), (4) Chú ý 2.1 nằm Ker(ϕ) Thật vậy, việc tính toán phần tử dạng 40 Chương ĐẠỊ SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT (1), (2), (3) đơn giản, ta kiểm tra với phần tử dạng (4) Cho v ∈ E cho s−1 (v) = ∅ Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: v ∈ H Khi đó, e ∈ E mà s(e) = v e ∈ F (vì e ∈ F r(e) ∈ H, mà H tập di truyền nên s(e) = v ∈ H) Vì ee∗ = − ϕ v− {e∈E :s(e)=v} 0.0 = {e∈E :s(e)=v} Trường hợp 2: v ∈ H v ∈ s(F ) Do H tập bão hòa nên phải tồn cạnh e ∈ E cho s(e) = v r(e) ∈ H Điều có nghĩa e ∈ F với s(e) = v, mâu thuẫn với giả thiết v ∈ s(F ) Như Trường hợp không xảy Trường hợp 3: v ∈ H v ∈ s(F ) Ta có: ee∗ = ϕ v − ϕ v− {e∈E:s(e)=v} ee∗ − {e∈F :s(e)=v} ee∗ {e∈F :s(e)=v} ee∗ = = v−0− {e∈F :s(e)=v} Như tình ta có ϕ v − {e∈E:s(e)=v} ee∗ = Do ϕ cảm sinh K-đồng cấu đại số ϕ : LK (E) → LK (F ) cho ϕ(v) = χF (v)v, ϕ(e) = χF (e)e, ϕ(e∗ ) = χ(F )∗ (e∗ )e∗ Bây ta xét iđêan Ker(ϕ) LK (E) Vì H = ∅, nên tồn v ∈ H, = v ∈ Ker(ϕ) Vì H = E nên tồn w ∈ E − H, ϕ(w) = w = 0, ϕ = Hay nói cách khác = Ker(ϕ) = LK (E), dẫn đến LK (E) không vành đơn Tiếp theo ta xét tính đơn đại số quen thuộc nêu cách áp dụng kết vừa thu để xét tính đơn đại số LK (E) tương ứng với chúng Ví dụ 2.3 Cho K trường (i) Theo Định lý 1.2, Mn (K) vành đơn Tuy nhiên, điều suy từ Định lý 2.1 Thật vậy, theo Ví dụ 2.1(i), ta có Mn (K) ∼ = LK (E) với E xác 41 Chương ĐẠỊ SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT định E = {v1 , , }, E = {e1 , , en−1 } s(ei ) = vi , r(ei ) = vi+1 ∀i = 1, n − Theo Ví dụ 2.2(i), E có tập di truyền bão hòa tầm thường Do đó, áp dụng Định lý 2.1, Mn (K) vành đơn (ii) Theo Ví dụ 1.5(iv) K[x, x−1 ] không vành đơn Tuy nhiên điều suy từ Định lý 2.1 Thật vậy, theo Ví dụ 2.1(ii), ta có K[x, x−1 ] ∼ = LK (E) với E xác định E = {v}, E = {e} Rõ ràng chu trình v lối rẽ Do đó, theo Định lý 2.1 K[x, x−1 ] không vành đơn (iii) Đại số Leavitt LK (1, n): Ta chứng minh đại số đơn từ Định lý 2.1 Thật vậy, theo Ví dụ 2.1(iii), LK (1, n) ∼ = LK (E) với E xác định sau E = {v}, E = {e1 , , en } Rõ ràng chu trình đồ thị E có lối rẽ theo Ví dụ 2.2(ii) E có tập bão hòa di truyền tầm thường Do đó, theo Định lý 2.1, LK (1, n) vành đơn (iv) Đại số Toeplitz K x, y: yx = : Theo Ví dụ 2.1(iv), ta có K x, y: yx = ∼ = LK (E) với E xác định sau E = {v, w}, E = {e, f } s(e) = s(f ) = v, r(e) = v, r(f ) = w Theo Ví dụ 2.2(iii), H = {w} tập di truyền bão hòa không tầm thường E Theo Định lý 2.1, LK (E) không vành đơn 42 Kết luận Dựa báo G Abrams, G Aranda Pino (2005) “The Leavitt path algebra of a graph, Journal of Algebra, (293), 319-334” ([3]), luận văn làm điều đây: - Trình bày cách xây dựng số tính chất đại số đường Leavitt - Chứng minh lại tiêu chuẩn để đại số đường Leavitt đơn G Abrams G Aranda chứng minh ngắn gọn Điều thể Bổ đề 2.4, 2.6 2.7 43 Tài liệu tham khảo [A] TÀI LIỆU TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính: Cơ sở Gr¨ oner, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [B] TÀI LIỆU TIẾNG ANH [3] G Abrams, G Aranda Pino (2005), “The Leavitt path algebra of a graph”, Journal of Algebra, (293), 319-334 [4] G Abrams (2015), “Leavitt path algebras: the first decade”, Bull Math Sci, (5), 59-120 [5] P M Cohn (1966), “Some remarks on the invariant basic property”, Topology, (5), 215-228 [6] T.Y Lam (1999), Lectures on Modules and Rings, Spring- Verlag New YorkBerlin [7] T.Y Lam (2001), A First Course in Noncommutive Rings, 2nd ed, New York-Berlin [8] W.G Leavitt (1962), “The module type of a ring”, Trans Amer Math Soc, (42), 113-130 44 Tài liệu tham khảo [9] W.G Leavitt (1965), “The module type of homomophic images”, Duke Math J, (32), 305-311 [10] M Tomforde (2011), “Leavitt path algebras with coefficients in a commutative ring”, J Pure Appl Algebra, (215), 471-484 45 [...]... những phần tử tùy ý (ii) R -đại số A được gọi là đại số có đơn vị nếu phép nhân trong A có đơn vị, tức là tồn tại phần tử e ∈ A sao cho ea = ae = a với mọi a ∈ A Trong luận văn này ta chỉ xét đến khái niệm đại số có đơn vị Như vậy ta có thể xem các R -đại số là trường hợp riêng của vành 12 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ (iii) Một tập hợp con B của R -đại số A được gọi là đại số con của A, nếu nó là một R-môđun... I = (xy − 1, yx − 1) là iđêan của K x, y Khi đó, K x, y /I là một K -đại số Đại số này được gọi là đại số đa thức Laurent, ký hiệu là K[x, x−1 ] (iv) Đại số Toeplitz: Xét K -đại số tự do K x, y sinh bởi X = {x, y} và I = (yx − 1) là iđêan của K x, y Khi đó, K x, y /I là một K -đại số và được gọi là đại số Toeplitz 1.2 Vành đơn Định nghĩa 1.8 Một vành R được gọi là vành đơn nếu R chỉ có hai iđêan tầm... n) là một vành đơn Lưu ý rằng khẳng định trên không còn đúng với n = 1 Thật vậy, dễ thấy rằng LK (1, 1) ∼ = K[x, x−1 ] và theo Ví dụ 1.5(iv), K[x, x−1 ] không là vành đơn Do đó LK (1, 1) cũng không là vành đơn 20 Chương 2 ĐẠI SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT Mục tiêu của chương này là chứng minh lại một kết quả của Abrams và Aranda Pino về đi u kiện cần và đủ để đại số đường đi Leavitt là một vành đơn ([3, Theorem... tìm thấy sự mâu thuẫn, đi u này cũng có nghĩa là luôn tìm được một lối rẽ cho c1 2.2 Tính đơn của đại số đường đi Leavitt Theo Mệnh đề 2.1(iii), mỗi đơn thức của LK (E) đều có dạng kpq ∗ với k ∈ K và p, q là đường trong E sao cho r(p) = r(q) Bây giờ, một đơn thức trong LK (E) được gọi là đường thực (realpath) nếu nó có dạng kp với k ∈ K và p là một đường trong E Một phần tử của LK (E) được gọi là... đơn ([3, Theorem 3.11]) Mục đầu trình bày cách xây dựng và một số tính chất cơ bản của đại số đường đi Leavitt dựa trên các tài liệu [3] và [10] Mục 2 trình bày chứng minh kết quả nói trên của Abrams và Aranda Pino và đặc biệt sẽ đưa ra các phép chứng minh ngắn gọn hơn so với chứng minh gốc của Abrams và Aranda Pino 2.1 Đại số đường đi Leavitt Định nghĩa 2.1 Một đồ thị E = (E 0 , E 1 , r, s) bao gồm... trong E 0 có độ dài bằng không Định nghĩa 2.2 Cho K là một trường và E = {E 0 , E 1 , r, s} là một đồ thị Đại số đường đi Leavitt của E với hệ số trên K, ký hiệu bởi LK (E) là một K -đại số với hệ sinh là {v, e, e∗: v ∈ E 0 , e ∈ E 1 } và thỏa mãn các đồng nhất thức sau: 21 Chương 2 ĐẠỊ SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT (1) vw = δvw v ∀ v, w ∈ E 0 , (2) e = er(e) = s(e)e, e∗ = r(e)e∗ = e∗ s(e) ∀ e ∈ E 1 , (3) e∗ f... i=1 vi là đơn vị của LK (E) Định nghĩa 2.3 Một cạnh e được gọi là lối rẽ của đường p = e1 en nếu tồn tại i ∈ {1, , n} sao cho s(e) = s(ei ) và e = ei Một đường đóng tại v là một đường p = e1 en với n ≥ 1 và thỏa mãn s(p) = r(p) = v Ký hiệu tập các đường đóng tại v là CP(v) Một đường đóng đơn tại v là một đường đóng tại v: p = e1 en sao cho s(ei ) = v với mọi i > 1 Ký hiệu tập các đường đóng đơn tại... phép nhân của A Tương tự như đối với môđun và vành, chúng ta có các định nghĩa đại số con sinh bởi một tập hợp cho trước và đồng cấu giữa các R -đại số Ví dụ 1.4 (i) Đại số ma trận Mn (K): Tập Mn (K) gồm các ma trận vuông cấp n trên trường K như đã biết là một K-không gian vectơ, phép nhân là nhân hai ma trận thỏa mãn các đi u kiện trong Định nghĩa 1.7 Do đó Mn (K) là một K -đại số (ii) Đại số tự do sinh... ∈ E 0 Ta gọi các phần tử của E 1 là cạnh thực và các phần tử của (E 1 )∗ là cạnh ảo Khi đó ta có Mệnh đề sau: Mệnh đề 2.1 Cho E là một đồ thị và K là một trường Khi đó, đại số đường đi Leavitt LK (E) có những tính chất sau: (i) Mọi phần tử của tập {v, e, e∗ : v ∈ E 0 , e ∈ E 1 } đều khác không (ii) Nếu k là một phần tử khác không của K thì kv = 0 với mọi v ∈ V (iii) Mỗi đơn thức trong LK (E)có dạng... xét tính đơn của nó khó khăn và phức tạp hơn nhiều Định lý dưới đây cho ta một phương pháp để xây dựng vành đơn “mới” từ vành đơn đã biết Định lý 1.2 Cho R là một vành Khi đó Mn (R) là đơn khi và chỉ khi R là vành đơn Đặc biệt, nếu K là một trường thì Mn (K) là vành đơn Chứng minh Trước hết ta có nhận xét: Nếu U là một iđêan của R, thì rõ ràng Mn (U) là một iđêan của Mn (R) Nếu U và B là hai iđêan của