Nghiên cứu các tính chất phi cổ điển của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN VŨ THỤY NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI THÊM HAI VÀ BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI MODE KẾT HỢP LẺ Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ THEO ĐỊNH HƯỚNG ỨNG DỤNG Người hướng dẫn khoa học PGS TS TRƯƠNG MINH ĐỨC Huế, năm 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình nghiên cứu khác Huế, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Vũ Thụy ii LỜI CẢM ƠN Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy PGS TS Trương Minh Đức, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình thực Qua đây, tơi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo khoa Vật Lý phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế; bạn học viên Cao học khóa 24 gia đình, bạn bè động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi q trình học tập thực luận văn Huế, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Vũ Thụy iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Danh mục đồ thị MỞ ĐẦU NỘI DUNG 10 Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 10 1.1 Trạng thái kết hợp 10 1.1.1 Khái niệm 10 1.1.2 Tính chất 12 1.1.3 Trạng thái kết hợp lẻ 16 1.1.4 Trạng thái kết hợp thêm photon 18 1.2 Một số tính chất phi cổ điển 19 1.2.1 Khái niệm trạng thái nén 19 1.2.2 Nén tổng hai mode 21 1.2.3 Nén hiệu hai mode 22 1.2.4 Tính chất phản kết chùm 22 1.2.5 Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 25 1.3 Một số tiêu chuẩn đan rối 26 1.3.1 Tiêu chuẩn đan rối Hillery – Zubairy 26 1.3.2 Tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha - Jeawan Kim 27 Chương TÍNH CHẤT NÉN CỦA TRẠNG THÁI THÊM HAI VÀ BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI MODE KẾT HỢP LẺ 31 2.1 Trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ 31 2.2 Nén tổng hai mode 32 2.3 Nén hiệu hai mode 36 Chương SỰ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - SCHWARZ VÀ TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM CỦA TRẠNG THÁI THÊM HAI VÀ BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI MODE KẾT HỢP LẺ 40 3.1 Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 40 3.2 Tính chất phản kết chùm 43 Chương TÍNH ĐAN RỐI CỦA TRẠNG THÁI THÊM HAI VÀ BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI MODE KẾT HỢP LẺ 65 4.1 Tính đan rối Hillery - Zubairy 65 4.2 Tính đan rối Hyunchul Nha - Jeawan Kim 67 KẾT LUẬN 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 PHỤ LỤC P.1 DANH MỤC CÁC ĐỒ THỊ Tên đồ thị Trang Đồ thị 2.1 Khảo sát phụ thuộc tham số S vào biên độ π kết hợp rb với ϕb = Đồ thị 2.2 Khảo sát nén tổng hai mode trạng thái thêm 35 hai bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ) Đồ thị 2.3 35 Khảo sát phụ thuộc tham số D vào biên độ kết hợp rb pha dao động ϕb 38 Đồ thị 3.1 Khảo sát phụ thuộc I vào biên độ kết hợp π rb với ϕb = 42 Đồ thị 3.2 Khảo sát vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ) Đồ thị 3.3 43 Khảo sát phụ thuộc Rab (2, 2) vào biên độ rb trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ) Đồ thị 3.4 49 Khảo sát phụ thuộc Rab (3, 2) vào biên độ rb trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ) 51 Đồ thị 3.5 Khảo sát phụ thuộc Rab (3, 3) vào biên độ rb trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ) Đồ thị 3.6 51 Khảo sát phụ thuộc Rab (4, 2) vào biên độ rb trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ) Đồ thị 3.7 54 Khảo sát phụ thuộc Rab (4, 3) vào biên độ rb trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ) Đồ thị 3.8 56 Khảo sát phụ thuộc Rab (4, 4) vào biên độ rb trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ) Đồ thị 3.9 58 Khảo sát phụ thuộc Rab (5, 2) vào biên độ rb trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ) 58 Đồ thị 3.10 Khảo sát phụ thuộc Rab (5, 4) vào biên độ rb trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ) 62 Đồ thị 3.11 Khảo sát phụ thuộc Rab (2, 2), Rab (3, 3) Rab (4, 4) vào biên độ rb với = rb2 , ϕa = 2ϕb π ϕb = Các tham số chọn theo thứ tự tương ứng với màu đỏ, màu xanh màu xanh da trời 62 Đồ thị 3.12 Khảo sát phụ thuộc Rab (3, 2), Rab (4, 3) Rab (5, 4) vào biên độ rb với = rb2 , ϕa = 2ϕb π ϕb = Các tham số chọn theo thứ tự tương ứng với màu đỏ, màu xanh màu xanh da trời 63 Đồ thị 3.13 Khảo sát phụ thuộc Rab (3, 2), Rab (4, 2) Rab (5, 2) vào biên độ rb với = rb2 , ϕa = 2ϕb π ϕb = Các tham số chọn theo thứ tự tương ứng với màu đỏ, màu xanh màu xanh da trời 63 Đồ thị 4.1 Khảo sát phụ thuộc tham số đan rối RH vào biên độ rb 66 Đồ thị 4.2 Khảo sát phụ thuộc tham số đan rối RN vào biên độ rb 70 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các trạng thái kết hợp trạng thái có thăng giáng lượng tử nhỏ, thời gian gần tính chất phi cổ điển trạng thái kết hợp nhà khoa học giới nghiên cứu ứng dụng vào thực nghiệm Trạng thái kết hợp lần đưa Glauber (1963) [13] Sudarshan (1963) [25], trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ suy từ hệ thức bất định Heisenberg Trạng thái xem “trạng thái biên” tập hợp trạng thái cổ điển Từ nhà khoa học nghĩ đến trạng thái kết hợp khác trạng thái kết hợp phi cổ điển, thực tế chứng minh cho dự đốn đó, nhiều trạng thái kết hợp phi cổ điển đời dựa lý thuyết thực nghiệm Năm 1970, khái niệm trạng thái nén lần đưa Stoler [24] thực nghiệm chứng minh vào năm 1987, trạng thái mở đầu cho lớp trạng thái phi cổ điển Khái niệm trạng thái phi cổ điển nhà khoa học không ngừng nghiên cứu phát triển, điển trạng thái nén, trạng thái kết hợp chẵn, lẻ Vào năm 1991, Agarwal Tara đề xuất ý tưởng trạng thái kết hợp thêm photon [8] chứng minh trạng thái phi cổ điển tính nén, tính antibunching (phản kết chùm) tuân theo thống kê sub-Poisson Thêm bớt photon vào trạng thái vật lý phương pháp quan trọng việc tạo trạng thái phi cổ điển mới, nghiên cứu tính chất trạng thái phi cổ điển mở ứng dụng kỹ thuật Áp dụng nghiên cứu trạng thái phi cổ điển vào thực nghiệm cho phép tạo thiết bị quang học, thiết bị điện tử với độ xác tốc độ cao để đáp ứng phát triển khoa học kỹ thuật ngày Khảo sát tính đan rối viễn tải lượng tử trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tác giả Nguyễn Thị Thùy Dung [1] nghiên cứu năm 2013 Trong năm 2014, tác giả Nguyễn Thanh Pháp nghiên cứu tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon [5], đồng thời tác giả Huỳnh Vũ nghiên cứu tính chất nén bậc cao tính phản chùm trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ [7] Cũng thời gian đó, tác giả Nguyễn Thị Hồng Hạnh [4] khảo sát tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode kết hợp thêm photon lẻ Tuy nhiên, việc nghiên cứu tính chất phi cổ điển trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ chưa đề cập đến Từ lý trên, chọn đề tài: "Nghiên cứu tính chất phi cổ điển trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ" để làm luận văn thạc sĩ Mục tiêu luận văn Mục tiêu đề tài nghiên cứu tính chất phi cổ điển bậc thấp bậc cao nén tổng nén hiệu hai mode, tính chất phản kết chùm hai mode, tính đan rối vi phạm bất đẳng thức Cauchy – Schwarz trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ Nội dung nghiên cứu Trên sở mục tiêu đề đề tài đưa số nhiệm vụ cụ thể sau: - Hệ thống trạng thái kết hợp, trạng thái thêm hai bớt = a ˆ2 a ˆ†ˆb†ˆbˆ a + ˆb† a ˆ†ˆb†ˆbˆ a a ˆ†2 + ˆb =ˆ a2 a ˆ†ˆb†ˆbˆ aa ˆ†2 + ˆb† a ˆ†ˆb†ˆbˆ aa ˆ†2 + a ˆ2 a ˆ†ˆb†ˆbˆ aˆb + ˆb† a ˆ†ˆb†ˆbˆ aˆb ˆ† a ˆˆb†2ˆb2 ˆ2 a ˆ† a ˆˆb†ˆb2 + a ˆ† a ˆa ˆ†2ˆb†2ˆb + a =ˆ a2 a ˆ† a ˆa ˆ†2ˆb†ˆb + a =ˆ a2 a ˆ† a ˆ†2 a ˆ + 2ˆ a† ˆb†ˆb + a ˆ† a ˆ†2 a ˆ + 2ˆ a† ˆb†2ˆb + a ˆ† a ˆ2 + 2ˆ a a ˆˆb†ˆb2 + a ˆ† a ˆˆb†2ˆb2 = a ˆ2 a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a2 a ˆ†2 ˆb†ˆb + a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb†2ˆb + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb†ˆb2 + a ˆ† a ˆˆb†2ˆb2 = a ˆ†3 a ˆ2 + 6ˆ a†2 a ˆ + 6ˆ a† a ˆ+2 a ˆ†2 a ˆ2 + 4ˆ a† a ˆ+2 ˆb†ˆb + a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb†2ˆb + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb†ˆb2 + a ˆ† a ˆˆb†2ˆb2 = a ˆ†3 a ˆ3 + 8ˆ a†2 a ˆ2 + 14ˆ a† a ˆ + ˆb†ˆb + a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb†2ˆb + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb†ˆb2 + a ˆ† a ˆˆb†2ˆb2 (P.54) Thay (P.54) vào (P.53), ta a ˆ†ˆb†ˆbˆ a =|Nαβ |2 + 2Re |α|6 + 8|α|4 + 14|α|2 + |β|2 + |α|2 |β|4 α∗2 |α|2 + 2α∗2 β ∗ |β|2 + |β|6 + 8|β|4 +14|β|2 + |α|2 + |α|4 |β|2 + 2Re +2β ∗2 α∗ |α|2 − 2Re β ∗2 |β|2 α∗3 β + 8α∗2 β + 14α∗ β +4) β ∗ α + α∗3 β + 2α∗2 β ∗2 α + α∗ β + 2β β ∗ α2 + α∗ β β ∗2 α2 × exp −|α − β|2 (P.55) Thay (P.49), (P.52), (P.55) vào (3.1), ta I= |α|8 + 12|α|6 + 38|α|4 + 32|α|2 + + 2Re α∗4 α2 β ∗ + 4α∗3 αβ ∗ +2α∗2 β ∗ + |α|4 |β|2 + |β|8 + 12|β|6 + 38|β|4 + 32|β|2 + + 2Re β ∗4 β α∗ + 4β ∗3 βα∗ + 2α∗ β ∗2 + |α|2 |β|4 − 2Re α∗4 β + 12α∗3 β + 38α∗2 β + 32α∗ β + + α∗4 β β ∗ + 4α∗3 |β|2 + 2α∗2 β ∗ + α∗2 β α + 4|α|2 β + 2αβ P.16 + α∗2 β β ∗ α exp −|α − β|2 |α|4 + 4|α|2 + |β|4 + 2Re α2 β |β|4 + |β|6 + |β|4 + 4|β|2 + |α|4 + 2Re αβ |α|4 + |α|6 − 2Re ∗3 +β α α∗2 β + 4α∗ β + α2 β ∗2 + |α|4 β ∗3 + |β|4 α3 × exp −|α − β| + |α|2 |β|4 + 2Re α∗2 |α|2 + 2α∗2 β ∗ |β|2 + |β|6 + 8|β|4 +14|β|2 + |α|2 + |α|4 |β|2 + 2Re − 2Re |α|6 + 8|α|4 + 14|α|2 + |β|2 β ∗2 |β|2 + 2β ∗2 α∗ |α|2 α∗3 β + 8α∗2 β + 14α∗ β + β ∗ α + α∗3 β + 2α∗2 β ∗2 α + α∗ β + 2β β ∗ α2 + α∗ β β ∗2 α2 exp −|α − β|2 −1 − (P.56) Phụ lục Chứng minh số cơng thức tốn tử sinh, hủy photon Đối với mode a, sử dụng tính chất a ˆ, a ˆ† = 1, ta có a ˆa ˆ†l = a ˆ†l a ˆ + lˆ a†(l−1) (P.57) a ˆl a ˆ† = a ˆ† a ˆl + lˆ a(l−1) (P.58) a ˆ2 a ˆ†l = a ˆ a ˆ†l a ˆ + lˆ a†(l−1) = a ˆa ˆ†l a ˆ + lˆ aa ˆ†(l−1) = a ˆ†l a ˆ + lˆ a†(l−1) a ˆ+l a ˆ†(l−1) a ˆ + (l − 1) a ˆ†(l−2) =a ˆ†l a ˆ2 + lˆ a†(l−1) a ˆ + lˆ a†(l−1) a ˆ + l (l − 1) a ˆ†(l−2) =a ˆ†l a ˆ2 + 2lˆ a†(l−1) a ˆ + l (l − 1) a ˆ†(l−2) a ˆl a ˆ†2 = a ˆ†2 a ˆl + 2lˆ a† a ˆ(l−1) + l (l − 1) a ˆ(l−2) (P.59) (P.60) Tương tự mode b, sử dụng tính chất ˆb, ˆb† = 1, ta có ˆbˆb†p = ˆb†pˆb + pˆb†(p−1) P.17 (P.61) ˆbpˆb† = ˆb†ˆbp + pˆb(p−1) (P.62) ˆb2ˆb†p = ˆb†pˆb2 +2pˆb†(p−1)ˆb + p (p − 1) ˆb†(p−2) (P.63) ˆbpˆb†2 = ˆb†2ˆbp +2pˆb†ˆb(p−1) + p (p − 1) ˆb(p−2) (P.64) Phụ lục Chứng minh cơng thức (3.7) mục 3.2, ta có a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbp = =|Nαβ |2 b ab ψ| a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbp |ψ ab ˆ†2 + ˆb |α a |β β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbp a − b β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbp a ˆ†2 + ˆb |β a |α b − b α|a β| a ˆ2 + ˆb† a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbp a ˆ†2 + ˆb |α a |β b + b α|a β| a ˆ2 + ˆb† a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbp a ˆ†2 + ˆb |β a |α b , b (P.65) a ˆ2 + ˆb† a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbp a ˆ†2 + ˆb = a ˆ2 + ˆb† a ˆ†l a ˆl a ˆ†2ˆb†pˆbp + a ˆ2 + ˆb† a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbpˆb =ˆ a2 a ˆ†l a ˆl a ˆ†2ˆb†pˆbp + a ˆ†l a ˆl a ˆ†2ˆb†(p+1)ˆbp +ˆ a2 a ˆ†l a ˆlˆb†pˆb(p+1) + a ˆ†l a ˆlˆb†(p+1)ˆb(p+1) (P.66) Sử dụng công thức chứng minh phụ lục 6, ta tính số hạng cơng thức (P.66) a ˆ2 a ˆ†l a ˆl a ˆ†2ˆb†pˆbp =ˆ a2 a ˆ†l a ˆ†2 a ˆl + 2lˆ a† a ˆ(l−1) + l (l − 1) a ˆ(l−2) ˆb†pˆbp = a ˆ2 a ˆ†(l+2) a ˆl + 2lˆ a2 a ˆ†(l+1) a ˆ(l−1) + l (l − 1) a ˆ2 a ˆ†l a ˆ(l−2) ˆb†pˆbp = a ˆ†(l+2) a ˆ2 + (l + 2) a ˆ†(l+1) a ˆ + (l + 2) (l + 1) a ˆ†l a ˆl P.18 + 2l a ˆ†(l+1) a ˆ2 + (l + 1) a ˆ†l a ˆ + l (l + 1) a ˆ†(l−1) a ˆ(l−1) + l (l − 1) a ˆ†l a ˆ2 + 2lˆ a†(l−1) a ˆ + l (l − 1) a ˆ†(l−2) a ˆ(l−2) ˆb†pˆbp = a ˆ†(l+2) a ˆ(l+2) + (l + 2) a ˆ†(l+1) a ˆ(l+1) + (l + 2) (l + 1) a ˆ†l a ˆl + 2l ×a ˆ†(l+1) a ˆ(l+1) + 4l (l + 1) a ˆ†l a ˆl + 2l2 (l + 1) a ˆ†(l−1) a ˆ(l−1) + l (l − 1) ×a ˆ†l a ˆl + 2l2 (l − 1) a ˆ†(l−1) a ˆ(l−1) + l2 (l − 1)2 a ˆ†(l−2) a ˆ(l−2) ˆb†pˆbp = a ˆ†(l+2) a ˆ(l+2) + (l + 1) a ˆ†(l+1) a ˆ(l+1) + 5l2 + 7l + a ˆ†l a ˆl + l2 − l a ˆ†l a ˆl + 4l3 a ˆ†(l−1) a ˆ(l−1) + l2 (l − 1)2 a ˆ†(l−2) a ˆ(l−2) ˆb†pˆbp = a ˆ†(l+2) a ˆ(l+2) + (l + 1) a ˆ†(l+1) a ˆ(l+1) + 6l2 + 6l + a ˆ†l a ˆl + 4l3 a ˆ†(l−1) a ˆ(l−1) + l2 (l − 1)2 a ˆ†(l−2) a ˆ(l−2) ˆb†pˆbp (P.67) a ˆ†l a ˆl a ˆ†2ˆb†(p+1)ˆbp =ˆ a†l a ˆ†2 a ˆl + 2lˆ a† a ˆ(l−1) + l (l − 1) a ˆ(l−2) ˆb†(p+1)ˆbp = a ˆ†(l+2) a ˆl + 2lˆ a†(l+1) a ˆ(l−1) + l (l − 1) a ˆ†l a ˆ(l−2) ˆb†(p+1)ˆbp (P.68) a ˆ2 a ˆ†l a ˆlˆb†pˆb(p+1) = a ˆ†l a ˆ2 + 2lˆ a†(l−1) a ˆ + l (l − 1) a ˆ†(l−2) a ˆlˆb†pˆb(p+1) = a ˆ†l a ˆ(l+2) + 2lˆ a†(l−1) a ˆ(l+1) + l (l − 1) a ˆ†(l−2) a ˆl ˆb†pˆb(p+1) (P.69) Thay (P.67), (P.68) (P.69) vào (P.66), ta a ˆ2 + ˆb† a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbp a ˆ†2 + ˆb = a ˆ†(l+2) a ˆ(l+2) + (l + 1) a ˆ†(l+1) a ˆ(l+1) + 6l2 + 6l + a ˆ†l a ˆl + 4l3 a ˆ†(l−1) a ˆ(l−1) + l2 (l − 1)2 a ˆ†(l−2) a ˆ(l−2) ˆb†pˆbp + a ˆ†(l+2) a ˆl + 2lˆ a†(l+1) a ˆ(l−1) + l (l − 1) a ˆ†l a ˆ(l−2) ˆb†(p+1)ˆbp + a ˆ†l a ˆ(l+2) + 2lˆ a†(l−1) a ˆ(l+1) + l (l − 1) a ˆ†(l−2) a ˆl ˆb†pˆb(p+1) +a ˆ†l a ˆlˆb†(p+1)ˆb(p+1) (P.70) P.19 Sử dụng (P.70) để tính số hạng (P.65), ta b β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbp a ˆ†2 + ˆb |α a |β b = |α|2(l+2) + (l + 1) |α|2(l+1) + 6l2 + 6l + |α|2l + 4l3 |α|2(l−1) + l2 (l − 1)2 |α|2(l−2) |β|2p + |α|2l |β|2(p+1) + α∗2 |α|2l + 2lα∗2 |α|2(l−1) + l (l − 1) α∗2 |α|2(l−2) β ∗ |β|2p + α2 |α|2l + 2lα2 |α|2(l−1) + l (l − 1) α2 |α|2(l−2) β|β|2p = |α|2(l+2) + (l + 1) |α|2(l+1) + 6l2 + 6l + |α|2l + 4l3 |α|2(l−1) + l2 (l − 1)2 |α|2(l−2) |β|2p + |α|2l |β|2(p+1) + |α|2l + 2l|α|2(l−1) + l (l − 1) |α|2(l−2) |β|2p α∗2 β ∗ + |α|2l + 2l|α|2(l−1) + l (l − 1) |α|2(l−2) |β|2p α2 β b = β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbp a ˆ†2 + ˆb |β a |α (P.71) b α∗(l+2) β (l+2) + (l + 1) α∗(l+1) β (l+1) + 6l2 + 6l + α∗l β l + 4l3 α∗(l−1) β (l−1) + l2 (l − 1)2 α∗(l−2) β (l−2) β ∗p αp + α∗(l+2) β l + 2lα∗(l+1) β (l−1) + l (l − 1) α∗l β (l−2) β ∗(p+1) αp + α∗l β (l+2) + 2lα∗(l−1) β (l+1) + l (l − 1) α∗(l−2) β l β ∗p α(p+1) + α∗l β l β ∗(p+1) α(p+1) × exp −|α − β|2 b α|a β| a ˆ2 + ˆb† a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbp a ˆ†2 + ˆb |α a |β = (P.72) b α(l+2) β ∗(l+2) + (l + 1) α(l+1) β ∗(l+1) + 6l2 + 6l + αl β ∗l + 4l3 α(l−1) β ∗(l−1) + l2 (l − 1)2 α(l−2) β ∗(l−2) α∗p β p + β ∗(l+2) αl + 2lβ ∗(l+1) α(l−1) + l (l − 1) β ∗l α(l−2) α∗(p+1) β p + β ∗l α(l+2) + 2lβ ∗(l−1) α(l+1) + l (l − 1) β ∗(l−2) αl α∗p β (p+1) + β ∗l αl α∗(p+1) β (p+1) × exp −|α − β|2 P.20 (P.73) b α|a β| a ˆ2 + ˆb† a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbp a ˆ†2 + ˆb |β a |α b = |β|2(l+2) + (l + 1) |β|2(l+1) + 6l2 + 6l + |β|2l + 4l3 |β|2(l−1) + l2 (l − 1)2 |β|2(l−2) |α|2p + |β|2l |α|2(p+1) + |β|2l + 2l|β|2(l−1) + l (l − 1) |β|2(l−2) |α|2p α∗ β ∗2 + |β|2l + 2l|β|2(l−1) + l (l − 1) |β|2(l−2) |α|2p αβ (P.74) Thay (P.71), (P.72), (P.73) (P.74) vào (P.65), ta a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbp =|Nαβ |2 |α|2(l+2) + (l + 1) |α|2(l+1) + 6l2 + 6l + |α|2l + 4l3 |α|2(l−1) + l2 (l − 1)2 |α|2(l−2) |β|2p + |α|2l |β|2(p+1) + |α|2l + 2l|α|2(l−1) + l (l − 1) |α|2(l−2) |β|2p α∗2 β ∗ + |α|2l + 2l|α|2(l−1) + l (l − 1) |α|2(l−2) |β|2p α2 β + |β|2(l+2) + (l + 1) |β|2(l+1) + 6l2 + 6l + |β|2l + 4l3 |β|2(l−1) + l2 (l − 1)2 |β|2(l−2) |α|2p + |β|2l |α|2(p+1) + |β|2l + 2l|β|2(l−1) +l (l − 1) |β|2(l−2) |α|2p α∗ β ∗2 + |β|2l + 2l|β|2(l−1) +l (l − 1) |β|2(l−2) |α|2p αβ − α∗(l+2) β (l+2) + (l + 1) α∗(l+1) β (l+1) + 6l2 + 6l + α∗l β l + 4l3 α∗(l−1) β (l−1) + l2 (l − 1)2 α∗(l−2) β (l−2) β ∗p αp + α∗(l+2) β l + 2lα∗(l+1) β (l−1) +l (l − 1) α∗l β (l−2) β ∗(p+1) αp + α∗l β (l+2) + 2lα∗(l−1) β (l+1) +l (l − 1) α∗(l−2) β l β ∗p α(p+1) + α∗l β l β ∗(p+1) α(p+1) + α(l+2) β ∗(l+2) + (l + 1) α(l+1) β ∗(l+1) + 6l2 + 6l + αl β ∗l + 4l3 α(l−1) β ∗(l−1) + l2 (l − 1)2 α(l−2) β ∗(l−2) α∗p β p + β ∗(l+2) αl + 2lβ ∗(l+1) α(l−1) +l (l − 1) β ∗l α(l−2) α∗(p+1) β p + β ∗l α(l+2) + 2lβ ∗(l−1) α(l+1) +l (l − 1) β ∗(l−2) αl α∗p β (p+1) P.21 + β ∗l αl α∗(p+1) β (p+1) × exp −|α − β|2 (P.75) Phụ lục Chứng minh cơng thức (4.3) mục 4.1, ta có RH = a ˆ†2 a ˆ2ˆb†2ˆb2 − a ˆ2ˆb†2 (P.76) Tính số hạng a ˆ†2 a ˆ2ˆb†2ˆb2 Từ công thức (P.75), ta có a ˆ†2 a ˆ2ˆb†2ˆb2 =|Nαβ |2 |α|8 + 12|α|6 + 38|α|4 +32|α|2 + |β|4 + |α|4 |β|6 + |α|4 + 4|α|2 + × |β|4 Re α∗2 β ∗ + |β|8 + 12|β|6 + 38|β|4 +32|β|2 + |α|4 + |β|4 |α|6 + |β|4 + 4|β|2 +2) × |α|4 Re α∗ β ∗2 − 2Re α∗4 β + 12α∗3 β + 38α∗2 β + 32α∗ β + 4) β ∗2 α2 + α∗4 β + 4α∗3 β +2α∗2 β ∗3 α2 + α∗2 β + 4α∗ β +2β β ∗2 α3 +α∗2 β β ∗3 α3 × exp −|α − β|2 (P.77) Tính số hạng a ˆ†2ˆb2 , ta có a ˆ†2ˆb2 = |Nαβ |2 (b β| a α| − b α|a β|) a ˆ2 + ˆb† a ˆ†2ˆb2 × a ˆ†2 + ˆb (|α a |β b − |β a |α b )} = |Nαβ |2 b β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆ†2ˆb2 a ˆ†2 + ˆb |α a |β − b β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆ†2ˆb2 a ˆ†2 + ˆb |β a |α b − b α|a β| a ˆ2 + ˆb† a ˆ†2ˆb2 a ˆ†2 + ˆb |α a |β b + b α|a β| a ˆ2 + ˆb† a ˆ†2ˆb2 a ˆ†2 + ˆb |β a |α P.22 b , b (P.78) a ˆ2 + ˆb† a ˆ†2ˆb2 a ˆ†2 + ˆb = a ˆ2 a ˆ†2ˆb2 + a ˆ†2ˆb†ˆb2 a ˆ†2 + ˆb ˆ†2ˆb†ˆb3 ˆ2 a ˆ†2ˆb3 + a ˆ†4ˆb†ˆb2 + a =ˆ a2 a ˆ†4ˆb2 + a = a ˆ†4 a ˆ2 + 8ˆ a†3 a ˆ + 12ˆ a†2 ˆb2 + a ˆ†4ˆb†ˆb2 ˆ†2ˆb†ˆb3 + a ˆ†2 a ˆ2 + 4ˆ a† a ˆ + ˆb3 + a (P.79) Thay (P.79) vào (P.78), ta a ˆ†2ˆb2 =|Nαβ |2 |α|4 + 8|α|2 + 12 α∗2 β + α∗4 β ∗ β + |α|4 + 4|α|2 + β + α∗2 β ∗ β + |β|4 + 8|β|2 +12) α2 β ∗2 + β ∗4 α∗ α2 + |β|4 + 4|β|2 + α3 + β ∗2 α∗ α3 − α∗4 β + 8α∗3 β + 12α∗2 α2 + α∗4 β ∗ α2 + α∗2 β + 4α∗ β + α3 + α∗2 β ∗ α3 + β ∗4 α2 + 8β ∗3 α + 12β ∗2 β + β ∗4 α∗ β + α2 β ∗2 + 4αβ ∗ + β +β ∗2 α∗ β × exp −|α − β|2 (P.80) Bên cạnh đó, ta có a ˆ2ˆb†2 = a ˆ†2ˆb2 ∗ = |Nαβ |2 |α|4 + 8|α|2 + 12 α2 β ∗2 + α4 β ∗2 β + |α|4 + 4|α|2 + β ∗3 + α2 β ∗3 β + |β|4 + 8|β|2 + 12 α∗2 β + β α∗2 α + |β|4 + 4|β|2 + α∗3 + β α∗3 α − β ∗2 α4 + 8β ∗ α3 + 12α2 α∗2 + α4 α∗2 β + β ∗2 α2 + 4β ∗ α + α∗3 + α2 α∗3 β + α∗2 β +8α∗ β + 12β β ∗2 + β β ∗2 α + α∗2 β P.23 +4α∗ β + 2) β ∗3 +β β ∗3 α × exp −|α − β|2 (P.81) Thay (P.77), (P.80) (P.81) vào (P.76), ta RH =|Nαβ |2 |α|8 + 12|α|6 + 38|α|4 +32|α|2 + |β|4 + |α|4 |β|6 + |α|4 + 4|α|2 + |β|4 Re α∗2 β ∗ + |β|8 + 12|β|6 + 38|β|4 +32|β|2 + |α|4 + |β|4 |α|6 + |β|4 + 4|β|2 +2) |α|4 Re α∗ β ∗2 − 2Re α∗4 β + 12α∗3 β + 38α∗2 β + 32α∗ β + 4) β ∗2 α2 + α∗4 β + 4α∗3 β +2α∗2 β ∗3 α2 + α∗2 β + 4α∗ β +2β β ∗2 α3 +α∗2 β β ∗3 α3 × exp −|α − β|2 − |Nαβ |4 |α|4 +8|α|2 + 12 α∗2 β + α∗4 β ∗ β + |α|4 + 4|α|2 + β + α∗2 β ∗ β + |β|4 + 8|β|2 +12) α2 β ∗2 + β ∗4 α∗ α2 + |β|4 + 4|β|2 + α3 + β ∗2 α∗ α3 − α∗4 β +8α∗3 β + 12α∗2 α2 + α∗4 β ∗ α2 + α∗2 β + 4α∗ β +2) α3 + α∗2 β ∗ α3 + β ∗4 α2 + 8β ∗3 α + 12β ∗2 β + β ∗4 α∗ β + α2 β ∗2 + 4αβ ∗ + β +β ∗2 α∗ β × exp −|α − β|2 × |α|4 + 8|α|2 + 12 α2 β ∗2 + α4 β ∗2 β + |α|4 + 4|α|2 + β ∗3 + α2 β ∗3 β + |β|4 +8|β|2 + 12 α∗2 β + β α∗2 α + |β|4 +4|β|2 + α∗3 + β α∗3 α − β ∗2 α4 + 8β ∗ α3 + 12α2 α∗2 + α4 α∗2 β + β ∗2 α2 + 4β ∗ α + α∗3 + α2 α∗3 β + α∗2 β + 8α∗ β +12β β ∗2 + β β ∗2 α + α∗2 β + 4α∗ β + β ∗3 +β β ∗3 α × exp −|α − β|2 P.24 (P.82) Phụ lục Chứng minh công thức (4.8), (4.9), (4.10), (4.11), (4.12) (4.13) mục 4.2 Tính số hạng a ˆ† a ˆˆbˆb† , ta có a ˆ† a ˆˆbˆb† =|Nαβ |2 (b β| α| − a b α|a β|) a ˆ2 + ˆb† a ˆ† a ˆˆbˆb† × a ˆ†2 + ˆb (|α a |β b − |β a |α b )} =|Nαβ |2 b β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆ† a ˆˆbˆb† a ˆ†2 + ˆb |α a |β − b β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆ† a ˆˆbˆb† a ˆ†2 + ˆb |β a |α b − b α|a β| a ˆ2 + ˆb† a ˆ† a ˆˆbˆb† a ˆ†2 + ˆb |α a |β b + b α|a β| a ˆ2 + ˆb† a ˆ† a ˆˆbˆb† a ˆ†2 + ˆb |β a |α b , a ˆ2 + ˆb† a ˆ† a ˆˆbˆb† a ˆ†2 + ˆb = a ˆ2 a ˆ† a ˆˆbˆb† + a ˆ† a ˆˆb†ˆbˆb† a ˆ†2 + ˆb =ˆ a2 a ˆ† a ˆa ˆ†2ˆbˆb† + a ˆ† a ˆa ˆ†2ˆb†ˆbˆb† + a ˆ2 a ˆ† a ˆˆbˆb†ˆb + a ˆ† a ˆˆb†ˆbˆb†ˆb =ˆ a2 a ˆ† a ˆ†2 a ˆ + 2ˆ a† ˆb†ˆb + + a ˆ† a ˆ†2 a ˆ + 2ˆ a† ˆb† ˆb†ˆb + + a ˆ† a ˆ2 + 2ˆ a a ˆ ˆb†ˆb + ˆb + a ˆ† a ˆˆb† ˆb†ˆb + ˆb = a ˆ2 a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a2 a ˆ†2 + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 = ˆb†ˆb + + a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb† ˆb†ˆb + ˆb†ˆb + ˆb + a ˆ† a ˆ ˆb†2ˆb2 + ˆb†ˆb a ˆ†3 a ˆ2 + 6ˆ a†2 a ˆ + 6ˆ a† a ˆ+2 a ˆ†2 a ˆ2 + 4ˆ a† a ˆ+2 × ˆb†ˆb + + a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb† ˆb†ˆb + + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb†ˆb + ˆb + a ˆ† a ˆ ˆb†2ˆb2 + ˆb†ˆb = a ˆ†3 a ˆ3 + 8ˆ a†2 a ˆ2 + 14ˆ a† a ˆ+4 + a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb† ˆb†ˆb + P.25 ˆb†ˆb + b (P.83) + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb†ˆb + ˆb + a ˆ† a ˆ ˆb†2ˆb2 + ˆb†ˆb (P.84) Thay (P.84) vào (P.83)), ta a ˆ† a ˆˆbˆb† =|Nαβ |2 |α|6 + 8|α|4 + 14|α|2 + |β|2 + + 2Re α∗3 α + 2α∗2 β ∗ |β|2 + + |α|2 |β|4 +|β|2 + |β|2 |α|4 + |α|2 + |β|6 + 8|β|4 + 14|β|2 +4) |α|2 + + 2Re − 2Re β ∗3 β + 2β ∗2 α∗ |α|2 + α∗3 β + 8α∗2 β + 14α∗ β + (β ∗ α + 1) + α∗3 β + 2α∗2 β ∗ (β ∗ α + 1) + α∗ β + 2β β ∗ α2 + α × exp −|α − β|2 + β ∗ α α∗2 β + α∗ β (P.85) Tính số hạng a ˆa ˆ†ˆb†ˆb , ta có a ˆa ˆ†ˆb†ˆb =|Nαβ |2 (b β| a α| − b α|a β|) a ˆ2 + ˆb† a ˆa ˆ†ˆb†ˆb × a ˆ†2 + ˆb (|α a |β b − |β a |α b )} =|Nαβ |2 b β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆa ˆ†ˆb†ˆb a ˆ†2 + ˆb |α a |β − b β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆa ˆ†ˆb†ˆb a ˆ†2 + ˆb |β a |α b − b α|a β| a ˆ2 + ˆb† a ˆa ˆ†ˆb†ˆb a ˆ†2 + ˆb |α a |β b + b α|a β| a ˆ2 + ˆb† a ˆa ˆ†ˆb†ˆb a ˆ†2 + ˆb |β a |α b , b (P.86) a ˆ2 + ˆb† a ˆa ˆ†ˆb†ˆb a ˆ†2 + ˆb = a ˆ3 a ˆ†ˆb†ˆb + a ˆa ˆ†ˆb†2ˆb a ˆ†2 + ˆb =ˆ a3 a ˆ†3ˆb†ˆb + a ˆa ˆ†3ˆb†2ˆb + a ˆ3 a ˆ†ˆb†ˆb2 + a ˆa ˆ†ˆb†2ˆb2 = a ˆ†3 a ˆ3 + 9ˆ a†2 a ˆ2 + 18ˆ a† a ˆ + ˆb†ˆb + a ˆ†3 a ˆ + 3ˆ a†2 ˆb†2ˆb + a ˆ† a ˆ3 + 3ˆ a2 ˆb†ˆb2 + a ˆ† a ˆ + ˆb†2ˆb2 P.26 (P.87) Thay (P.87) vào (P.86), ta a ˆa ˆ†ˆb†ˆb =|Nαβ |2 |α|6 + 9|α|4 + 18|α|2 + |β|2 α∗3 α + 3α∗2 β ∗2 β + |α|2 + |β|4 + 2Re + |β|6 + 9|β|4 + 18|β|2 + |α|2 + 2Re β ∗3 β + 3β ∗2 α∗2 α + |β|2 + |α|4 − 2Re α∗3 β + 9α∗2 β + 18α∗ β + β ∗ α + α∗3 β + 3α∗2 β ∗2 α + α∗ β + 3β β ∗ α2 + (α∗ β + 1) β ∗2 α2 × exp −|α − β|2 (P.88) Tính số hạng a ˆˆb† a ˆˆb† =|Nαβ |2 (b β| a α| − b α|a β|) a ˆ2 + ˆb† a ˆˆb† × a ˆ†2 + ˆb (|α a |β b − |β a |α b )} =|Nαβ |2 b β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆˆb† a ˆ†2 + ˆb |α a |β − b β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆˆb† a ˆ†2 + ˆb |β a |α b − b α|a β| a ˆ2 + ˆb† a ˆˆb† a ˆ†2 + ˆb |α a |β b + b α|a β| a ˆ2 + ˆb† a ˆˆb† a ˆ†2 + ˆb |β a |α b b , (P.89) a ˆ2 + ˆb† a ˆˆb† a ˆ†2 + ˆb = a ˆ3ˆb† + a ˆˆb†2 a ˆ†2 + ˆb =ˆ a3 a ˆ†2ˆb† + a ˆa ˆ†2ˆb†2 + a ˆ3ˆb†ˆb + a ˆˆb†2ˆb = a ˆ†2 a ˆ3 + 6ˆ a† a ˆ2 + 6ˆ a ˆb† + a ˆ†2 a ˆ + 2ˆ a† ˆb†2 + a ˆ3ˆb†ˆb + a ˆˆb†2ˆb Thay (P.90) vào (P.89), ta a ˆˆb† =|Nαβ |2 |α|4 + 6|α|2 + αβ ∗ P.27 (P.90) + |α|2 + α∗ β ∗2 + α3 |β|2 + αβ ∗2 β + |β|4 + 6|β|2 + α∗ β + |β|2 + α∗2 β ∗ + β |α|2 + αα∗2 β − α∗2 β + 6α∗ β + 6β β ∗ + α∗2 β + 2α∗ β ∗2 + β β ∗ α + ββ ∗2 α + β ∗2 α3 + 6β ∗ α2 + 6α α∗ + β ∗2 α + 2β ∗ α∗2 +α3 α∗ β + αα∗2 β × exp −|α − β|2 (P.91) Bên cạnh đó, ta có ˆˆb† a ˆ†ˆb = a ∗ = |Nαβ |2 |α|4 + 6|α|2 + α∗ β + |α|2 + αβ + α∗3 |β|2 + α∗ β β ∗ + |β|4 + 6|β|2 + αβ ∗ + |β|2 + α2 β + β ∗3 |α|2 + α∗ α2 β ∗ − α2 β ∗3 + 6αβ ∗2 + 6β ∗ β + α2 β ∗ + 2α β + β ∗3 βα∗ + β ∗ β α∗ + β α∗3 + 6βα∗2 + 6α∗ α + β α∗ + 2β α2 +α∗3 αβ ∗ + α∗ α2 β ∗ × exp −|α − β|2 (P.92) Tính số hạng a ˆ† a ˆ , ta có a ˆ† a ˆ =|Nαβ |2 (b β| a α| − b α|a β|) a ˆ2 + ˆb† a ˆ† a ˆ × a ˆ†2 + ˆb (|α a |β b − |β a |α b )} =|Nαβ |2 b β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆ† a ˆ a ˆ†2 + ˆb |α a |β − b β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆ† a ˆ a ˆ†2 + ˆb |β a |α b − b α|a β| a ˆ2 + ˆb† a ˆ† a ˆ a ˆ†2 + ˆb |α a |β b + b α|a β| a ˆ2 + ˆb† a ˆ† a ˆ a ˆ†2 + ˆb |β a |α a ˆ2 + ˆb† a ˆ† a ˆ a ˆ†2 + ˆb P.28 b , b (P.93) = a ˆ2 a ˆ† a ˆ+a ˆ† a ˆˆb† a ˆ†2 + ˆb =ˆ a2 a ˆ† a ˆa ˆ†2 + a ˆ† a ˆa ˆ†2ˆb† + a ˆ2 a ˆ† a ˆˆb + a ˆ† a ˆˆb†ˆb =ˆ a2 a ˆ† a ˆ†2 a ˆ + 2ˆ a† + a ˆ† a ˆ†2 a ˆ + 2ˆ a† ˆb† + a ˆ† a ˆ2 + 2ˆ a a ˆˆb + a ˆ† a ˆˆb†ˆb =ˆ a2 a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a2 a ˆ†2 + a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb† + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb + a ˆ† a ˆˆb†ˆb = a ˆ†3 a ˆ2 + 6ˆ a†2 a ˆ + 6ˆ a† a ˆ+2 a ˆ†2 a ˆ2 + 4ˆ a† a ˆ+2 + a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb† + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb + a ˆ† a ˆˆb†ˆb =ˆ a†3 a ˆ3 + 8ˆ a†2 a ˆ2 + 14ˆ a† a ˆ+4+ a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb† + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb + a ˆ† a ˆˆb†ˆb (P.94) Thay (P.94) vào (P.93), ta a ˆ† a ˆ =|Nαβ |2 |α|6 + 8|α|4 + 14|α|2 + + 2Re α∗3 α + 2α∗2 β ∗ + |α|2 |β|2 + |β|6 + 8|β|4 + 14|β|2 + + 2Re β ∗3 β + 2β ∗2 α∗ + |α|2 |β|2 − 2Re α∗3 β + 8α∗2 β + 14α∗ β + + α∗3 β + 2α∗2 β ∗ + α∗ β + 2β α + |α|2 |β|2 × exp −|α − β|2 (P.95) Tính số hạng ˆb†ˆb , ta có ˆb†ˆb =|Nαβ |2 (b β| a α| − b α|a β|) a ˆ2 + ˆb† ˆb†ˆb × a ˆ†2 + ˆb (|α a |β b − |β a |α b )} = |Nαβ |2 b β|a α| a ˆ2 + ˆb† ˆb†ˆb a ˆ†2 + ˆb |α a |β − b β|a α| a ˆ2 + ˆb† ˆb†ˆb a ˆ†2 + ˆb |β a |α b − b α|a β| a ˆ2 + ˆb† ˆb†ˆb a ˆ†2 + ˆb |α a |β b + b α|a β| a ˆ2 + ˆb† ˆb†ˆb a ˆ†2 + ˆb |β a |α P.29 b , b (P.96) a ˆ2 + ˆb† ˆb†ˆb a ˆ†2 + ˆb = a ˆ2ˆb†ˆb + ˆb†2ˆb a ˆ†2 + ˆb ˆ2ˆb†ˆb2 + ˆb†2ˆb2 ˆ†2ˆb†2ˆb + a =ˆ a2 a ˆ†2ˆb†ˆb + a = a ˆ†2 a ˆ2 + 4ˆ a† a ˆ + ˆb†ˆb + a ˆ†2ˆb†2ˆb +a ˆ2ˆb†ˆb2 + ˆb†2ˆb2 (P.97) Thay (P.97) vào (P.96), ta ˆb†ˆb =|Nαβ |2 |α|4 + 4|α|2 + |β|2 + 2Re α∗2 β ∗2 β + |β|4 + |β|4 + 4|β|2 + |α|2 + 2Re β ∗2 α∗2 α + |α|4 − 2Re α∗2 β + 4α∗ β + β ∗ α + α∗2 β ∗2 α +β β ∗ α2 + β ∗2 α2 × exp −|α − β|2 P.30 (P.98) ... thống trạng thái kết hợp, trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ tính chất phi cổ điển; - Nghiên cứu tính chất nén tổng, nén hiệu hai mode trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode. .. hai bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ với trạng thái hai mode kết hợp thêm photon lẻ, kết cho thấy trạng thái hai mode kết hợp thêm photon lẻ có tính nén tổng mạnh trạng thái thêm hai bớt photon. .. [4] khảo sát tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode kết hợp thêm photon lẻ Tuy nhiên, việc nghiên cứu tính chất phi cổ điển trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp lẻ chưa đề cập