Khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN TIẾN VŨ KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(1,1) THÊM MỘT VÀ BỚT MỘT PHOTON Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số : 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC Huế, năm 2018 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố công trình nghiên cứu khác Huế, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Tiến Vũ ii LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Trương Minh Đức tận tình giúp đỡ, hướng dẫn tơi suốt trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy Cô khoa Vật lý, phòng Đào tạo sau Đại học Thầy giáo Đại học Huế tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi q trình học tập trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình bạn bè, anh chị học viên cao học khóa 25 - Trường Đại học Sư phạm Huế, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực đề tài Huế, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Tiến Vũ iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Danh sách hình vẽ NỘI DUNG 10 Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 10 1.1 Trạng thái kết hợp 10 1.1.1 Khái niệm 10 1.1.2 Các tính chất trạng thái kết hợp 13 1.2 Trạng thái nén 17 1.3 Một số tính chất phi cổ điển 18 1.3.1 Nén tổng hai mode 19 1.3.2 Nén hiệu hai mode 20 1.3.3 Nén Hillery bậc cao 21 1.3.4 Tính phản kết chùm 22 1.3.5 Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 23 1.4 Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy 24 Chương KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT NÉN CỦA TRẠNG THÁI KẾT HỢP HAI MODE SU (1, 1) THÊM MỘT VÀ BỚT MỘT PHOTON 26 2.1 Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon 26 2.1.1 Trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) 26 2.1.2 Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon 30 2.2 Khảo sát tính chất nén tổng trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon 31 2.3 Khảo sát tính chất nén hiệu trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon 38 2.4 Khảo sát tính chất nén Hillery bậc cao trạng thái kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon Chương 42 KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM, SỰ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHYSCHWARZ VÀ TÍNH CHẤT ĐAN RỐI THEO TIÊU CHUẨN HILLERY-ZUBAIRY CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU (1, 1) THÊM MỘT VÀ BỚT MỘT PHOTON 50 3.1 Khảo sát tính chất phản kết chùm trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon 50 3.1.1 Trường hợp l = 1, p = 53 3.1.2 Trường hợp l = 2, p = 54 3.1.3 Trường hợp l = 3, p = 55 3.1.4 Trường hợp l = 3, p = 57 3.1.5 Trường hợp l = 4, p = 58 3.1.6 Trường hợp l = 4, p = 59 3.2 Khảo sát vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon 61 3.3 Khảo sát tính chất đan rối trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon theo tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy 63 3.3.1 Trường hợp m = n chẵn 64 3.3.2 Trường hợp m = n lẻ 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 PHỤ LỤC P.1 DANH SÁCH HÌNH VẼ Hình 2.1 Sự phụ thuộc S vào r q = 1, 2, cố định cos 2(ϕ + φ) = −1 Đường biểu diễn tham số theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu xanh, màu đen Hình 2.2 37 Sự phụ thuộc D vào r q = 1, 2, cố định cos(ϕ) = −1 Đường biểu diễn tham số theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu xanh, màu đen Hình 2.3 42 Sự phụ thuộc H vào r q = 1, 2, cố định Đường biểu diễn tham số theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu xanh, màu đen Hình 3.4 49 Sự phụ thuộc R(1,1) vào r q = 1, 5, cố định Đường biểu diễn tham số theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu xanh, màu đen Hình 3.5 54 Sự phụ thuộc R(2,1) vào r q = 0, 1, Đường biểu diễn tham số theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu xanh, màu đen Hình 3.6 55 Sự phụ thuộc R(3,1) vào r q = 0, 1, 2, Đường biểu diễn tham số theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu xanh, màu đen 56 Hình 3.7 Sự phụ thuộc R(3,2) vào r q = 0, 1, Đường biểu diễn tham số theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu xanh, màu đen Hình 3.8 58 Sự phụ thuộc R(4,2) vào r q = 0, 1, Đường biểu diễn tham số theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu xanh, màu đen Hình 3.9 59 Sự phụ thuộc R(4,3) vào r q = 1, 2, Đường biểu diễn tham số theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu xanh, màu đen 60 Hình 3.10 Sự phụ thuộc I vào r q = 1, 2, Đường biểu diễn tham số theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu xanh, màu đen 63 Hình 3.11 Sự phụ thuộc RH vào r q = 1, 3, Đường biểu diễn tham số theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu xanh, màu đen 66 Hình 3.12 Sự phụ thuộc RH vào r q = 1, 3, Đường biểu diễn tham số theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, màu xanh, màu đen 69 MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Công nghệ thông tin ngày trở nên quan trọng có ý nghĩa to lớn đời sống người Sự phát triển không ngừng khoa học công nghệ, nhà khoa học nghiên cứu lĩnh vực quang lượng tử tiếp cận với giới hạn quang lượng tử chuẩn hay cịn gọi giới hạn đóng góp tạp âm với phát triển vượt bậc công nghệ truyền tin quang học giúp người truyền tín hiệu cách xác, hiệu Nhưng người chưa muốn dừng lại mà mong muốn vươn tới giảm tối đa tạp âm hay thăng giáng lượng tử trình truyền tin quang học Vì lí mà nhà khoa học tìm phương pháp tạo trạng thái vật lý mà thăng giáng lượng tử hạn chế đến mức tối đa sau áp dụng vào thực nghiệm để chế tạo dụng cụ quang học đảm bảo tính lọc lựa độ xác cao Khái niệm q trình viễn tải lượng tử lần đưa vào năm 1993 Bennett Từ đến nay, có nhiều mơ hình viễn tải lượng tử đề xuất gần có mơ hình viễn tải sử dụng trạng thái phi cổ điển hai mode kết hợp cặp đưa Trong trình viễn tải lượng tử, nguồn tài nguyên đan rối dùng cho việc viễn tải phần thiếu mức độ đan rối nguồn tài nguyên ảnh hưởng đến mức độ thành cơng q trình viễn tải lượng tử Vì vậy, việc tìm kiếm nguồn tài nguyên đa rối trạng thái phi cổ điển có mức độ đan rối mạnh để thực trình viễn tải với độ trung thực cao có ý nghĩa lớn lĩnh vực thông tin lượng tử máy tính lượng tử Vào năm 60 kỷ XX, Glauber [11] Saudarshan [20] đưa khái niệm trạng thái kết hợp vào năm 1963 Đây trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ suy từ hệ thức bất định Heisenberg Sau khái niệm trạng thái nén đưa Stoler [21] vào năm 1970 Hollenhorst [13] đặt tên Việt tạo trạng thái phi cổ điển trường điện từ nhà khoa học tiếp tục nghiên cứu Điển hình trạng thái nén, trạng thái phi cổ điển chúng tn theo tính chất phi cổ điển tính antibunching tính phản kết chùm Nén đơn mode bậc cao đưa Hong Mandel [14] Trạng thái nén đa mode bậc cao Hillery [12] đưa vào năm 1989 Trạng thái SU(1,1) Perelomov [19] tìm vào năm 1972 Khi q=0 trạng thái trở thành trạng thái nén chân khơng hai mode [2] Như nói trạng thái hai mode SU(1,1) mở rộng trạng thái nén chân không hai mode [3] Trong thực nghiệm, trạng thái hai mode SU(1,1) tạo công nghệ trạng thái lượng tử Các tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode SU(1,1) khảo sát nghiên cứu Lê Đình Nhân [2] Các nghiên cứu cho thấy trạng thái hai mode SU(1,1) thêm/bớt photon ứng dụng thơng tin lượng tử máy tính lượng tử Tuy nhiên, tính chất phi cổ điển trạng thái chưa xem xét cách cụ thể Với mong muốn tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon góp phần làm rõ ứng dụng trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon công nghệ thông tin lượng tử ứng dụng sau Từ lí trên, tơi chọn đề tài "Khảo sát tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon" làm luận văn cho Hình 3.12: Sự phụ thuộc RH vào r q = 1, 3, Đường biểu diễn tham số theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, màu xanh, màu đen trị r q lớn mức độ nén tổng tăng lên Điều có ý nghĩa chênh lệch số photon hai mode lớn tính đan rối hai mode trạng thái thể rõ Vậy trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon thể tính đan rối, thỏa mãn điều kiện đan rối Hillery-Zubairy 69 KẾT LUẬN Trong luận văn này, qua khảo sát cách có hệ thống tính chất phi cổ điển trạng thái hao mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon, chúng tơi thu kết tóm lược sau: Thứ nhất, cách sử dụng điều kiện nén tổng, nén hiệu hai mode nén bậc cao, đưa tham số nén tổng, nén hiệu hai mode nén Hillery Qua khảo sát, thu trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon thể tính chất nén tổng khơng nén hiệu Đối với trường hợp nén tổng hai mode, mức độ nén tổng tăng biên độ kết hợp r chênh lệch photon q tăng Thứ hai, kết khảo sát tính chất phản kết chùm cho thấy trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon thể tính phản kết chùm mạnh, yếu tùy thuộc vào biên độ kết hợp r Thứ ba, trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Thứ tư, chúng tơi khảo sát tính chất đan rối trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy Kết khảo sát cho thấy trạng thái đan rối số photon lẻ giá trị biên độ kết hợp r lớn giá trị xác định Như vậy, kết nghiên cứu cho thấy trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm bớt photon trạng thái phi cổ điển thể đầy đủ tính chất phi cổ điển đặc trưng Qua đó, chúng tơi nhận thấy đề tài mở rộng để nghiên cứu trường hợp thêm bớt nhiều photon 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Trương Minh Đức, 2005, Trạng thái kết hợp phi tuyến K hạt, trạng thái quạt, trạng thái kết hợp ba tính chất phi cổ điển chúng, Luận án tiến sĩ Khoa học Toán Lý, Hà Nội Lê Đình Nhân (2014), Khảo sát tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode SU(1,1), Luận văn thạc sĩ, Đại học sư phạm Huế Tô Thị Ngọc Thúy, 2011, Nghiên cứu tính chất phi cổ điển bậc cao trạng thái nén hai mode chân không thêm phonon, Luận văn Thạc sĩ Vật lý, Đại học Sư phạm Huế Lê Thị Thủy (2013), Khảo sát tính chất đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode SU (1,1), Luận văn Thạc sĩ Vật lý, Đại học Sư phạm Huế Võ Tình, 2001, Một số hiệu ứng hệ phonon-exciton-biexciton bán dẫn kích thích quang, Luận án tiến sĩ Khoa học Tốn Lý, Hà Nội Võ Tình, 2009, Bài giảng quang học lượng tử, Đại học Sư phạm, Đại học Huế Tiếng Anh Agarwal G S (1988), "Nonclassical statistics of fields in pair coherent states", J Opt Soc Am B, 5, 1940 Carmichael H J and Walls D F (1976), "A quantum-mechanical master equation treatment of the dynamical Stark effect", J Phys B, 9, 1199 71 Christopher C Gerry and Peter L Knight (2005), “Introductory Quantum Optics”, Americal Journal of physics, 73, 1197 10 Duc T M, Noh J (2008), “Higher-order properties of photon-added coherent states”, Optics communications, 281, 2842-2848 11 Glauber R J (1963), "Coherent and Incoherent States of the Radiation Field",Phys Rev, 131, 2766 12 Hillery M (1989), “Sum and diffrence squeezing of the eletromagnetic fiel”, Physical Review A, 45, 3147-3155 13 Hollenhost N N (1979), "Quantum limits on resonant-mass gravitationalradiation detectors", Phys Rev D, 19, 1669 14 Hong C K and Mandel (1985), “Hinger-order Squeezing of a quantum fiel”, Physical Review Letters, 54, 323 15 Kimble H J and Mandel (1976), "Theory of resonance fluorescence", Phys Rev Lett, 39, 691 16 Kimble H J, Dagenais M and Mandel L (1977), "Photon antibunching in resonance fluorescence", Phys Rev A, 13, 2123 17 Lee C T (1990), "Many-photon antibunching in generalized pair coherent states", Phys Rev A, 41, 1569 18 Muirhead E C G, Proc (1903), "Some methods applicable to identities and inequalities of symmetric algebraic functions of n letters", Edingburgh Math Soc, 21, 144 19 Perelomov A M (1972), "Coherent states for arbitrary Lie groups", Commun Math Phys., 26, 222 72 20 Shudarshan E C G (1963), "Equivalence of Semiclassical and Quantum Mechanical Descriptions of Statistical Light Beams", Phys Rev Lett, 10, 277 21 Stoler D (1970), "Equivalence Classes of Minimum Uncertainty Packets", Phy Rev Lett D, 1, 3217 73 PHỤ LỤC Phụ lục Chứng minh (2.20) e−iφ a ˆˆb 2 =ab ψ| e−iφ a ˆˆb |ψ ∞ = |N |2 e−2iφ (1 − |ξ|2 )1+q m=0 ab (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 × [(1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q| (ˆ a + ˆb+ )ˆ aˆbˆ aˆb(ˆ a+ + ˆb)|n + q, n ∞ −2iφ = |N | e 1+q (1 − |ξ| ) m=0 (m + q)! m!q! [(1 − (−1) ] ξ ab ∞ m (n + q)! n!q! ∗m n=0 (n + q)! n!q! × [(1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q| a ˆa ˆˆbˆ aˆbˆ a+ + a ˆa ˆˆbˆ aˆbˆb + ˆb+ a ˆˆbˆ aˆbˆ a+ + ˆb+ a ˆˆbˆ aˆbˆb|n + q, n ab ∞ −2iφ = |N | e 1+q (1 − |ξ| ) m=0 × [(1 − (−1)n ] ξ n = |N | e ∞ m [(1 − (−1) ] ξ ∗m n=0 (n + q)! n!q! n(n − 1)(n + q)(n + q − 1)(2n + q − 1)δm,n−2 ∞ −2iφ (m + q)! m!q! 1+q (1 − |ξ| ) n=0 (n + q)! [(1 − (−1)n ] ξ 2n ξ n!q! × (n + q + 1)(n + q + 2)(2n + q + 3) (P.1) P.1 Phụ lục Chứng minh (2.24) 2ˆ a+ˆb+ a ˆˆb =ab ψ|2ˆ a+ˆb+ a ˆˆb|ψ ∞ = 2|N |2 (1 − |ξ|2 )1+q m=0 ab (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 (n + q)! n!q! × [(1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q| (ˆ a + ˆb+ )ˆ a+ˆb+ a ˆˆb(ˆ a+ + ˆb)|n + q, n ∞ = 2|N |2 (1 − |ξ|2 )1+q m=0 (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 ab (n + q)! n!q! ˆˆbˆ a+ ˆˆbˆb + ˆb+ a ˆ+ˆb+ a ˆˆbˆ a+ + a ˆa ˆ+ˆb+ a × [(1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q| a ˆa ˆ+ˆb+ a + ˆb+ a ˆ+ˆb+ a ˆˆbˆb|n + q, n ab ∞ = 2|N |2 (1 − |ξ|2 )1+q m=0 (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 (n + q)! n!q! × [(1 − (−1)n ] ξ n n(n + q + 1)2 + n(n − 1)(n + q) δm,n ∞ 2 1+q = 2|N | (1 − |ξ| ) n=0 (n + q)! n!q! 2 [(1 − (−1)n ] ξ 2n × n(n + q + 1)2 + n(n − 1)(n + q) (P.2) P.2 Phụ lục Chứng minh công thức (2.25) eiφ a ˆ+ˆb+ =ab ψ|ˆ a+ˆb+ |ψ ∞ = |N |2 eiφ (1 − |ξ|2 )1+q m=0 ab (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 × [(1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q| (ˆ a + ˆb+ )ˆ a+ˆb+ (ˆ a+ + ˆb)|n + q, n ∞ = |N |2 eiφ (1 − |ξ|2 )1+q m=0 (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 (n + q)! n!q! ab (n + q)! n!q! ˆ+ ˆ+ˆb+ a ˆ+ + a ˆa ˆ+ˆb+ˆb + ˆb+ a × [(1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q| a ˆa ˆ+ˆb+ a + ˆb+ a ˆ+ˆb+ˆb|n + q, n ab ∞ = |N |2 eiφ (1 − |ξ|2 )1+q m=0 (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 × [(1 − (−1)n ] ξ n n(n + q + 1)δm,n + (n + q)! n!q! (n + 1)(n + 2)(n + q + 1)(n + q + 2) × δm,n+2 ∞ = |N |2 eiφ (1 − |ξ|2 )1+q n=0 (n + q)! n!q! 2 [(1 − (−1)n ] ξ 2n (n + q + 1) × n + ξ ∗2 (n + q + 2) (P.3) P.3 Phụ lục Chứng minh công thức (2.2.) e−iφ a ˆˆb =ab ψ|e−iφ a ˆˆb|ψ ab ∞ = |N |2 e−iφ (1 − |ξ|2 )1+q m=0 (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 (n + q)! n!q! × [(1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q| (ˆ a + ˆb+ )ˆ aˆb(ˆ a+ + ˆb)|n + q, n ∞ = |N |2 e−iφ (1 − |ξ|2 )1+q m=0 (m + q)! m!q! ab ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 (n + q)! n!q! × [(1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q| a ˆa ˆˆbˆ a+ + a ˆa ˆa ˆˆbˆb + ˆb+ a ˆˆbˆ a+ + ˆb+ a ˆˆbˆb|n + q, n ab ∞ = |N |2 e−iφ (1 − |ξ|2 )1+q m=0 (m + q)! m!q! = |N |2 e−iφ (1 − |ξ|2 )1+q n=0 (n + q)! n!q! [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 × [(1 − (−1)n ] ξ n n(n + q + 1)δm,n + ∞ ∞ (n + q)! n!q! n(n − 1)(n + q)(n + q − 1)δm,n−2 2 [(1 − (−1)n ] ξ 2n (n + q + 1) × n + ξ (n + q + 2) (P.4) P.4 Phụ lục Chứng minh (2.35) a ˆˆb+ a ˆ+ˆb =ab ψ|ˆ aˆb+ a ˆ+ˆb|ψ ∞ = |N |2 (1 − |ξ|2 )1+q m=0 ab (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 (n + q)! n!q! × [(1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q| (ˆ a + ˆb+ )ˆ aˆb+ a ˆ+ˆb(ˆ a+ + ˆb)|n + q, n ∞ = |N |2 (1 − |ξ|2 )1+q m=0 (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 ab (n + q)! n!q! a+ ˆˆb+ a ˆ+ˆbˆ a+ + a ˆa ˆˆb+ a ˆ+ˆbˆb + ˆb+ a × [(1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q| a ˆa ˆˆb+ a ˆ+ˆbˆ + ˆb+ a ˆˆb+ a ˆ+ˆbˆb|n + q, n ab ∞ = |N |2 (1 − |ξ|2 )1+q m=0 (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 (n + q)! n!q! × [(1 − (−1)n ] ξ n n(n + q + 1)(n + q + 2) + n(n − 1)(n + q + 1)δm,n ∞ 2 1+q = |N | (1 − |ξ| ) n=0 (n + q)! [(1 − (−1)n ] ξ 2n n!q! × {n(n + q + 1)(2n + q + 1)} (P.5) P.5 Phụ lục Chứng minh (2.38) a+ a ˆ − ˆb+ˆb|ψ n ˆa − n ˆb = a ˆ+ a ˆ − ˆb+ˆb =ab ψ|ˆ ∞ = |N |2 (1 − |ξ|2 )1+q m=0 (m + q)! m!q! ab ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 (n + q)! n!q! a+ + ˆb)|n + q, n × [(1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q| (ˆ a + ˆb+ )(ˆ a+ a ˆ − ˆb+ˆb)(ˆ ∞ = |N |2 (1 − |ξ|2 )1+q m=0 (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 (n + q)! n!q! ab × [(1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q| a ˆa ˆ+ a ˆa ˆ+ + a ˆa ˆ+ a ˆˆb + ˆb+ a ˆ+ a ˆa ˆ+ + ˆb+ a ˆ+ a ˆˆb − a ˆˆb+ˆbˆ a+ − a ˆˆb+ˆbˆb − ˆb+ˆb+ˆbˆ a+ − ˆb+ˆb+ˆbˆb|n + q, n ∞ 2 1+q = |N | (1 − |ξ| ) m=0 (m + q)! m!q! ∞ m [(1 − (−1) ] ξ ∗m n=0 ab (n + q)! n!q! × [(1 − (−1)n ] ξ n (n + q + 1)2 − n(n + q + 1) + n(n + q) − n(n − 1) δm,n ∞ 2 1+q = |N | (1 − |ξ| ) n=0 (n + q)! [(1 − (−1)n ] ξ 2n n!q! × (n + q + 1)2 − n(1 + q − nq) (P.6) P.6 Phụ lục Chứng minh (3.22) ˆb+2ˆb2 =ab ψ|ˆb+2ˆb2 |ψ ab ∞ = |N |2 (1 − |ξ|2 )1+q m=0 (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 (n + q)! n!q! × [(1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q| (ˆ a + ˆb+ )ˆb+2ˆb2 (ˆ a+ + ˆb)|n + q, n ∞ = |N |2 (1 − |ξ|2 )1+q m=0 (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 ab (n + q)! n!q! ˆ+ ˆ+ + a ˆˆb+2ˆb2ˆb + ˆb+ˆb+2ˆb2 a × [(1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q| a ˆˆb+2ˆb2 a + ˆb+ˆb+2ˆb2ˆb|n + q, n ab ∞ = |N |2 (1 − |ξ|2 )1+q m=0 (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 (n + q)! n!q! × [(1 − (−1)n ] ξ n {n(n − 1)(n + q + 1) + n(n − 1)(n − 2)} δm,n ∞ = |N |2 (1 − |ξ|2 )1+q n=0 (n + q)! n!q! 2 [(1 − (−1)n ] ξ 2n × n(n − 1)(2n + q − 1) (P.7) P.7 Phụ lục Chứng minh (3.23) a ˆ+2 a ˆ2 =ab ψ|ˆ a+2 a ˆ2 |ψ ∞ 2 1+q = |N | (1 − |ξ| ) m=0 ab (m + q)! m!q! ∞ m [(1 − (−1) ] ξ ∗m n=0 (n + q)! n!q! × [(1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q| (ˆ a + ˆb+ )ˆ a+2 a ˆ2 (ˆ a+ + ˆb)|n + q, n ∞ 2 1+q = |N | (1 − |ξ| ) m=0 (m + q)! m!q! ∞ m [(1 − (−1) ] ξ ∗m n=0 ab (n + q)! n!q! × [(1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q| a ˆa ˆ+2 a ˆ2 a ˆ+ + a ˆa ˆ+2 a ˆ2ˆb + ˆb+ a ˆ+2 a ˆ2 a ˆ+ + ˆb+ a ˆ+2 a ˆ2ˆb|n + q, n ab ∞ 1+q = |N | (1 − |ξ| ) m=0 (m + q)! m!q! ∞ m [(1 − (−1) ] ξ ∗m n=0 (n + q)! n!q! × [(1 − (−1)n ] ξ n (n + q)(n + q + 1)2 + n(n + q)(n + q − 1) δm,n ∞ = |N |2 (1 − |ξ|2 )1+q n=0 (n + q)! n!q! 2 [(1 − (−1)n ] ξ 2n × (n + q)(n + q + 1)2 + n(n + q)(n + q − 1) (P.8) P.8 Phụ lục Chứng minh (3.24) a ˆ+ a ˆˆb+ b =ab ψ|ˆ a+ a ˆˆb+ b|ψ ∞ = |N |2 (1 − |ξ|2 )1+q m=0 ab (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 (n + q)! n!q! × [(1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q| (ˆ a + ˆb+ )ˆ a+ a ˆˆb+ b(ˆ a+ + ˆb)|n + q, n ∞ = |N |2 (1 − |ξ|2 )1+q m=0 (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 ab (n + q)! n!q! × [(1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q| a ˆa ˆ+ a ˆˆb+ bˆ a+ + a ˆa ˆ+ a ˆˆb+ bˆb + ˆb+ a ˆ+ a ˆˆb+ bˆ a+ + ˆb+ a ˆ+ a ˆˆb+ bˆb|n + q, n ab ∞ = |N |2 (1 − |ξ|2 )1+q m=0 (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 (n + q)! n!q! × [(1 − (−1)n ] ξ n n(n + q + 1)2 + n(n − 1)(n + q) δm,n ∞ 2 1+q = |N | (1 − |ξ| ) n=0 (n + q)! n!q! 2 [(1 − (−1)n ] ξ 2n × n(n + q + 1)2 + n(n − 1)(n + q) (P.9) P.9 Phụ lục 10 Chứng minh (3.32) a ˆ2ˆb2 =ab ψ|ˆ a2ˆb2 |ψ ab ∞ = |N |2 (1 − |ξ|2 )1+q m=0 (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 (n + q)! n!q! × [(1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q| (ˆ a + ˆb+ )ˆ a2ˆb2 (ˆ a+ + ˆb)|n + q, n ∞ = |N |2 (1 − |ξ|2 )1+q m=0 (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 ab (n + q)! n!q! ˆ+ ˆ2ˆb2 a ˆ+ + a ˆa ˆ2ˆb2ˆb + ˆb+ a × [(1 − (−1)n ] ξ n ba m, m + q| a ˆa ˆ2ˆb2 a + ˆb+ a ˆ2ˆb2ˆb|n + q, n ab ∞ = |N |2 (1 − |ξ|2 )1+q m=0 (m + q)! m!q! ∞ [(1 − (−1)m ] ξ ∗m n=0 (n + q)! n!q! × [(1 − (−1)n ] ξ n ( (n + q)(n + q − 1)n(n − 1)(n + q + 1)2 δm,n−2 + (n + q)(n + q − 1)(n − 2)2 (n − 1)δm,n−2 ∞ 2 1+q = |N | (1 − |ξ| ) n=0 (n + q)! n!q! 2 [(1 − (−1)n ] ξ 2n ξ × {(n + q + 2)(n + q + 1)(2n + q + 3} (P.10) P.10 ... tiếp tục khảo sát tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon chương sau 2.2 Khảo sát tính chất nén tổng trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon Từ điều... 2.1.2 Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon 30 2.2 Khảo sát tính chất nén tổng trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon 31 2.3 Khảo sát tính chất. .. số photon hai mode lớn tính chất nén tổng hai mode trạng thái thể rõ Vậy trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm bớt photon thể tính nén tổng 2.3 Khảo sát tính chất nén hiệu trạng thái hai mode