Nghiên cứu các tính chất phi cổ điển của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN MINH NHÂN NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI THÊM HAI VÀ BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI MODE KẾT HỢP Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ THEO ĐỊNH HƯỚNG ỨNG DỤNG Người hướng dẫn khoa học PGS TS TRƯƠNG MINH ĐỨC Huế, năm 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình nghiên cứu khác Huế, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Minh Nhân ii LỜI CẢM ƠN Hồn thành luận văn tốt nghiệp này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS TS Trương Minh Đức tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình thực Qua đây, xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cơ giáo khoa Vật Lý phịng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế; bạn học viên Cao học khóa 24 gia đình, bạn bè động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi q trình học tập thực luận văn Huế, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Minh Nhân iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Danh mục đồ thị MỞ ĐẦU NỘI DUNG 10 Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 10 1.1 Trạng thái kết hợp 10 1.1.1 Khái niệm 10 1.1.2 Tính chất 12 1.1.3 Trạng thái kết hợp thêm photon 17 1.2 Một số tính chất phi cổ điển 17 1.2.1 Khái niệm trạng thái nén 17 1.2.2 Nén tổng hai mode 19 1.2.3 Nén hiệu hai mode 20 1.2.4 Tính chất phản kết chùm 22 1.2.5 Vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 24 1.3 Một số tiêu chuẩn đan rối 25 1.3.1 Tiêu chuẩn đan rối Hillery – Zubairy 25 1.3.2 Tiêu chuẩn đan rối Nha 27 Chương TÍNH CHẤT NÉN CỦA TRẠNG THÁI THÊM HAI VÀ BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI MODE KẾT HỢP 31 2.1 Trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp 31 2.2 Nén tổng hai mode 32 2.3 Nén hiệu hai mode 35 Chương SỰ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - SCHWARZ VÀ TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM CỦA TRẠNG THÁI THÊM HAI VÀ BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI MODE KẾT HỢP 41 3.1 Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 41 3.2 Tính chất phản kết chùm 44 Chương TÍNH ĐAN RỐI CỦA TRẠNG THÁI THÊM HAI VÀ BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI MODE KẾT HỢP 56 4.1 Nghiên cứu tính đan rối Hillery - Zubairy 56 4.2 Nghiên cứu tính đan rối Nha 57 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 PHỤ LỤC P.1 DANH MỤC CÁC ĐỒ THỊ Tên đồ thị Trang Đồ thị 2.1 Khảo sát phụ thuộc tham số S vào biên độ π kết hợp rb với ϕb = Đồ thị 2.2 Khảo sát nén tổng trạng thái thêm hai bớt 34 photon lên hai mode kết hợp (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon (đường màu đỏ) 35 Đồ thị 2.3 Khảo sát phụ thuộc tham số D vào biên độ π kết hợp rb với ϕb = Đồ thị 2.4 Khảo sát tham số nén hiệu D trạng thái thêm 38 hai bớt photon lên hai mode kết hợp (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon (đường màu đỏ) 38 Đồ thị 2.5 Khảo sát phụ thuộc tham số D vào biên độ kết hợp rb ϕb 39 Đồ thị 3.1 Khảo sát phụ thuộc tham số I vào biên độ π kết hợp rb ϕb = Đồ thị 3.2 Khảo sát vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 43 trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon (đường màu xanh) 43 Đồ thị 3.3 Khảo sát phụ thuộc R(2, 2) trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon (đường màu đỏ) 46 Đồ thị 3.4 Khảo sát phụ thuộc R(3, 2) trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon (đường màu đỏ) 47 Đồ thị 3.5 Khảo sát phụ thuộc R(3, 3) trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon (đường màu đỏ) 48 Đồ thị 3.6 Khảo sát phụ thuộc R(4, 2) trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon (đường màu đỏ) 49 Đồ thị 3.7 Khảo sát phụ thuộc R(4, 3) trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon (đường màu đỏ) 50 Đồ thị 3.8 Khảo sát phụ thuộc R(4, 4) trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon (đường màu đỏ) 51 Đồ thị 3.9 Khảo sát phụ thuộc R(5, 2) trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon (đường màu đỏ) 52 Đồ thị 3.10 Khảo sát phụ thuộc R(5, 4) trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp (đường màu xanh) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon (đường màu đỏ) 53 Đồ thị 3.11 Khảo sát phụ thuộc R(2, 2), R(3, 3), R(4, 4)) π vào biên độ rb với = rb2 , ϕa = 2ϕb ϕb = Các tham số chọn theo thứ tự tương ứng với màu đỏ, màu xanh màu xanh da trời 53 Đồ thị 3.12 Khảo sát phụ thuộc R(3, 2), R(4, 3), R(5, 4)) π vào biên độ rb với = rb2 , ϕa = 2ϕb ϕb = Các tham số chọn theo thứ tự tương ứng với màu đỏ, màu xanh màu xanh da trời 54 Đồ thị 3.13 Khảo sát phụ thuộc R(3, 2), R(4, 2), R(5, 2)) π vào biên độ rb với = rb2 , ϕa = 2ϕb ϕb = Các tham số chọn theo thứ tự tương ứng với màu đỏ, màu xanh màu xanh da trời 55 Đồ thị 4.1 Khảo sát phụ thuộc tham số RH vào biên độ kết hợp rb trường hợp = rb , = 1.5rb , = 2rb Các tham số chọn theo thứ tự màu đỏ, màu xanh màu xanh da trời 57 Đồ thị 4.2 Khảo sát phụ thuộc tham số RN vào biên độ kết hợp rb trường hợp = rb , = 1.5rb , = 2rb Các tham số chọn theo thứ tự màu đỏ, màu xanh màu xanh da trời 60 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nghiên cứu trạng thái phi cổ điển có ý nghĩa quan trọng việc tăng độ xác phép đo làm sở để nghiên cứu áp dụng vào lĩnh vực như: lý thuyết chất rắn, quang lượng tử, thông tin lượng tử máy tính lượng tử Do đó, tính chất phi cổ điển trạng thái cho trước nhà khoa học quan tâm Các trạng thái phi cổ điển xuất phát điểm từ trạng thái kết hợp, trạng thái Glauber [9] Sudarshan [23] đưa vào năm 1963 nghiên cứu tính chất chùm laser Đây trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ suy từ hệ thức bất định Heisenberg Trạng thái xem “trạng thái biên” tập hợp trạng thái cổ điển Điều làm cho nhà khoa học nghĩ đến tồn lớp trạng thái kết hợp khác trạng thái kết hợp phi cổ điển Từ trạng thái phi cổ điển đề xuất nhà vật lý thực nghiệm lý thuyết quan tâm nghiên cứu Sau này, khái niệm trạng thái nén đưa Stoler vào năm 1970 [22] thực nghiệm khẳng định vào năm 1987 Đây trạng thái mở đầu cho lớp trạng thái phi cổ điển Tạo trạng thái phi cổ điển trường điện từ nhà khoa học quan tâm nghiên cứu, điển hình trạng thái nén, trạng thái kết hợp chẵn, lẻ, trạng thái phi cổ điển chúng tuân theo tính chất phi cổ điển Vào năm 1991, Agarwal Tara đề xuất ý tưởng trạng thái kết hợp thêm photon [6] chứng minh trạng thái phi cổ điển, thể tính nén, tính phản kết chùm (antibunching) tuân theo thống kê sub-Poisson Thêm bớt photon vào trạng thái vật lý phương pháp quan trọng để tạo trạng thái phi cổ điển mới, nghiên cứu tính chất mở ứng dụng có ích sống, khoa học kỹ thuật Áp dụng trạng thái vào thực nghiệm giúp tạo thiết bị quang học, điện tử có tính ứng dụng cao Khảo sát tính chất đan rối viễn tải lượng tử trạng thái hai mode thêm hai photon tác giả Nguyễn Thị Thùy Dung [1] nghiên cứu, khảo sát tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tác giả Nguyễn Thanh Pháp [3] nghiên cứu Tuy nhiên, việc nghiên cứu tính chất phi cổ điển trạng thái thêm hai bớt photon lên trạng thái hai mode kết hợp chưa đề cập đến Từ lý trên, chọn đề tài "Nghiên cứu tính chất phi cổ điển trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp" để làm luận văn thạc sĩ Mục tiêu luận văn Mục tiêu đề tài nghiên cứu tính chất phi cổ điển bậc thấp bậc cao nén tổng nén hiệu hai mode, tính chất phản kết chùm hai mode, tính đan rối vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp Nội dung nghiên cứu Trên sở mục tiêu đề đề tài đưa số nhiệmvụ cụ thể sau: + Hệ thống trạng thái kết hợp, trạng thái kết hợp thêm hai bớt photonvà tính chất phi cổ điển; + eiϕ a ˆa ˆ†2ˆb†2 + eiϕ a ˆˆb†2ˆb + e−iϕ a ˆ†3ˆb†ˆb + e−iϕ a ˆ†ˆb†ˆb2 =eiϕ a ˆ†2 a ˆ3 + 6ˆ a† a ˆ2 + 6ˆ a ˆb† + eiϕ a ˆ3ˆb†ˆb + e−iϕ a ˆ†3 a ˆ2 + 6ˆ a†2 a ˆ + 6ˆ a† ˆb + e−iϕ a ˆ† a ˆ2 + 2ˆ a ˆb2 ˆ†ˆb†ˆb2 ˆ†3ˆb†ˆb + e−iϕ a ˆˆb†2ˆb + e−iϕ a + eiϕ a ˆ†2 a ˆ + 2ˆ a† ˆb†2 + eiϕ a (P.38) Thay (P.38) vào (P.37), ta Wϕ = |Nαβ |4 |α|4 + 6|α|2 + Re eiϕ αβ ∗ + |α|2 + × Re eiϕ α∗ β ∗2 + 2|β|2 Re eiϕ α3 + eiϕ αβ ∗ (P.39) Phụ lục Chứng minh công thức (2.17) mục 2.3, ta có 1 n ˆa − n ˆ b = |Nαβ |2 b β|a α| a ˆ2 + ˆb† 4 × a ˆ†2 + ˆb |α |β , a a ˆ† a ˆ − ˆb†ˆb b (P.40) a ˆ2 + ˆb† a ˆ† a ˆ − ˆb†ˆb a ˆ†2 + ˆb =ˆ a2 a ˆ† a ˆa ˆ†2 + a ˆ2 a ˆ† a ˆˆb − a ˆ2 a ˆ†2ˆb†ˆb − a ˆ2ˆb†ˆb2 +a ˆ† a ˆa ˆ†2ˆb† + a ˆ† a ˆˆb†ˆb − a ˆ†2ˆb†2ˆb − ˆb†2ˆb2 =ˆ a†3 a ˆ3 + 8ˆ a†2 a ˆ2 + 14ˆ a† a ˆ+4+ a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb − a ˆ†2 a ˆ2 + 4ˆ a† a ˆ + ˆb†ˆb − a ˆ2ˆb†ˆb2 + a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb† + a ˆ† a ˆˆb†ˆb − a ˆ†2ˆb†2ˆb − ˆb†2ˆb2 (P.41) Thay (P.41) vào (P.40), ta 1 n ˆa − n ˆ b = |Nαβ |2 |α|6 + 8|α|4 + 14|α|2 + 4 + 2Re α∗ α3 + 2α2 β − |α|4 + 4|α|2 + |β|2 −2Re α2 β ∗ β + |α|2 |β|2 − |β|4 P.7 (P.42) Phụ lục Chứng minh công thức (3.3) mục 3.1 a ˆ†2 a ˆ2 = |Nαβ |2 β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆ†2 a ˆ2 a ˆ†2 + ˆb |α a |β b , (P.43) + 4ˆ a†3 a ˆˆb† + 2ˆ a†2ˆb† + a ˆ†2 a ˆ4ˆb + 4ˆ a† a ˆ3ˆb + 2ˆ a2ˆb + a ˆ†2 a ˆ2ˆb†ˆb (P.44) b a ˆ2 + ˆb† a ˆ†2 a ˆ2 a ˆ†2 + ˆb = a ˆ2 a ˆ†2 a ˆ2 + ˆb† a ˆ†2 a ˆ2 a ˆ†2 + ˆb ˆ†2 a ˆ2ˆb =ˆ a2 a ˆ†2 a ˆ2 a ˆ†2 + ˆb† a ˆ†2 a ˆ2 a ˆ†2 + a ˆ2 a ˆ†2 a ˆ2ˆb + ˆb† a =ˆ a†4 a ˆ4 + 12ˆ a†3 a ˆ3 + 38ˆ a†2 a ˆ2 + 32ˆ a† a ˆ+4+a ˆ†4 a ˆ2ˆb† Thay (P.44) vào (P.43), ta a ˆ†2 a ˆ2 =|Nαβ |2 |α|8 + 12|α|6 + 38|α|4 + 32|α|2 + +2Re α∗4 α2 β ∗ + 4α∗3 αβ ∗ + 2α∗2 β ∗ + |α|4 |β|2 (P.45) Phụ lục 10 Chứng minh công thức (3.4) mục 3.1 ˆb†2ˆb2 = |Nαβ |2 b β|a α| a ˆ2 + ˆb† ˆb†2ˆb2 a ˆ†2 + ˆb |α a |β a ˆ2 + ˆb† ˆb†2ˆb2 a ˆ†2 + ˆb = a ˆ2ˆb†2ˆb2 + ˆb†3ˆb2 a ˆ†2 + ˆb =ˆ a2 a ˆ†2ˆb†2ˆb2 + a ˆ†2ˆb†3ˆb2 + a ˆ2ˆb†2ˆb3 + ˆb†3ˆb3 P.8 b , (P.46) = a ˆ†2 a ˆ2 + 4ˆ a† a ˆ + ˆb†2ˆb2 + a ˆ†2ˆb†3ˆb2 + a ˆ2ˆb†2ˆb3 + ˆb†3ˆb3 (P.47) Thay (P.47) vào (P.46), ta ˆb†2ˆb2 = |Nαβ |2 |α|4 + 4|α|2 + |β|4 + 2Re α∗2 β ∗ |β|4 + |β|6 (P.48) Phụ lục 11 Chứng minh công thức (3.5) mục 3.1 a ˆ† a ˆˆb†ˆb = |Nαβ |2 b a a ˆ†2 + ˆb |α a |β β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆ†ˆb†ˆbˆ b , (P.49) a ˆ2 + ˆb† a ˆ†ˆb†ˆbˆ a a ˆ†2 + ˆb = a ˆ2 a ˆ†ˆb†ˆbˆ a + ˆb† a ˆ†ˆb†ˆbˆ a a ˆ†2 + ˆb =ˆ a2 a ˆ†ˆb†ˆbˆ aa ˆ†2 + ˆb† a ˆ†ˆb†ˆbˆ aa ˆ†2 + a ˆ2 a ˆ†ˆb†ˆbˆ aˆb + ˆb† a ˆ†ˆb†ˆbˆ aˆb =ˆ a2 a ˆ† a ˆa ˆ†2ˆb†ˆb + a ˆ† a ˆa ˆ†2ˆb†2ˆb + a ˆ2 a ˆ† a ˆˆb†ˆb2 + a ˆ† a ˆˆb†2ˆb2 =ˆ a2 a ˆ† a ˆ†2 a ˆ + 2ˆ a† ˆb†ˆb + a ˆ† a ˆ†2 a ˆ + 2ˆ a† ˆb†2ˆb + a ˆ† a ˆ2 + 2ˆ a a ˆˆb†ˆb2 + a ˆ† a ˆˆb†2ˆb2 = a ˆ2 a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a2 a ˆ†2 ˆb†ˆb + a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb†2ˆb + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb†ˆb2 + a ˆ† a ˆˆb†2ˆb2 =ˆ a2 a ˆ†3 a ˆˆb†ˆb + 2ˆ a2 a ˆ†2ˆb†ˆb + a ˆ†3 a ˆˆb†2ˆb + 2ˆ a†2ˆb†2ˆb + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb†ˆb2 + a ˆ† a ˆˆb†2ˆb2 = a ˆ†3 a ˆ2 + 6ˆ a†2 a ˆ + 6ˆ a† a ˆˆb†ˆb + a ˆ†2 a ˆ2 + 4ˆ a† a ˆ + ˆb†ˆb + a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb†2ˆb + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb†ˆb2 + a ˆ† a ˆˆb†2ˆb2 = a ˆ†3 a ˆ3 + 8ˆ a†2 a ˆ2 + 14ˆ a† a ˆ + ˆb†ˆb + a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb†2ˆb P.9 + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb†ˆb2 + a ˆ† a ˆˆb†2ˆb2 (P.50) Thay (P.50) vào (P.49), ta a ˆ† a ˆˆb†ˆb =|Nαβ |2 + 2Re |α|6 + 8|α|4 + 14|α|2 + |β|2 α∗2 |α|2 + 2α∗2 β ∗ |β|2 +|α|2 |β|4 (P.51) Phụ lục 12 Chứng minh số cơng thức tốn tử sinh, hủy photon Đối với mode a, sử dụng tính chất a ˆ, a ˆ† = 1, ta có a ˆa ˆ†l = a ˆ† a ˆ+1 a ˆ†l−1 = a ˆ† a ˆ† a ˆ+1 a ˆ†l−2 + a ˆ†l−1 =ˆ a†2 a ˆa ˆ†l−2 + 2ˆ a†l−1 = a ˆ†2 a ˆ† a ˆ+1 a ˆ†l−3 + 2ˆ a†l−1 =ˆ a†3 a ˆa ˆ†l−3 + 3ˆ a†l−1 = = a ˆ†l a ˆ + lˆ a†(l−1) a ˆl a ˆ† =ˆ a† a ˆl + lˆ a(l−1) (P.52) (P.53) a ˆ2 a ˆ†l =ˆ a a ˆ†l a ˆ + lˆ a†(l−1) = a ˆa ˆ†l a ˆ + lˆ aa ˆ†(l−1) = a ˆ†l a ˆ + lˆ a†(l−1) a ˆ+l a ˆ†(l−1) a ˆ + (l − 1) a ˆ†(l−2) =ˆ a†l a ˆ2 + lˆ a†(l−1) a ˆ + lˆ a†(l−1) a ˆ + l (l − 1) a ˆ†(l−2) =ˆ a†l a ˆ2 + 2lˆ a†(l−1) a ˆ + l (l − 1) a ˆ†(l−2) (P.54) a ˆl a ˆ†2 =ˆ a†2 a ˆl + 2lˆ a† a ˆ(l−1) + l (l − 1) a ˆ(l−2) (P.55) Tương tự mode b, sử dụng tính chất ˆb, ˆb† = 1, ta có ˆbˆb†p =ˆb†pˆb + pˆb†(p−1) (P.56) ˆbpˆb† =ˆb†ˆbp + pˆb(p−1) (P.57) ˆb2ˆb†p =ˆb†pˆb2 + 2pˆb†(p−1)ˆb + p (p − 1) ˆb†(p−2) (P.58) ˆbpˆb†2 =ˆb†2ˆbp + 2pˆb†ˆb(p−1) + p (p − 1) ˆb(p−2) (P.59) P.10 Phụ lục 13 Chứng minh cơng thức (3.11) mục 3.2, ta tính số hạng công thức (3.10) sau ˆ†2 + ˆb |α a |β b , ˆ2 + ˆb† a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbp a a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbp = |Nαβ |2 b β|a α| a (P.60) ˆ†2 + ˆb a ˆ2 + ˆb† a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbp a = a ˆ2 + ˆb† a ˆ†l a ˆl a ˆ†2ˆb†pˆbp + a ˆ2 + ˆb† a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbpˆb =ˆ a2 a ˆ†l a ˆl a ˆ†2ˆb†pˆbp + a ˆ†l a ˆl a ˆ†2ˆb†(p+1)ˆbp +a ˆ2 a ˆ†l a ˆlˆb†pˆb(p+1) + a ˆ†l a ˆlˆb†(p+1)ˆb(p+1) (P.61) Sử dụng công thức chứng minh phụ lục 12, ta tính số hạng cơng thức (P.61) a ˆ2 a ˆ†l a ˆl a ˆ†2ˆb†pˆbp =ˆ a2 a ˆ†l a ˆ†2 a ˆl + 2lˆ a† a ˆ(l−1) + l (l − 1) a ˆ(l−2) ˆb†pˆbp = a ˆ2 a ˆ†(l+2) a ˆl + 2lˆ a2 a ˆ†(l+1) a ˆ(l−1) + l (l − 1) a ˆ2 a ˆ†l a ˆ(l−2) ˆb†pˆbp = a ˆ†(l+2) a ˆ2 + (l + 2) a ˆ†(l+1) a ˆ + (l + 2) (l + 1) a ˆ†l a ˆl + 2l a ˆ†(l+1) a ˆ2 + (l + 1) a ˆ†l a ˆ + l (l + 1) a ˆ†(l−1) a ˆ(l−1) + l (l − 1) a ˆ†l a ˆ2 + 2lˆ a†(l−1) a ˆ + l (l − 1) a ˆ†(l−2) a ˆ(l−2) ˆb†pˆbp = a ˆ†(l+2) a ˆ(l+2) + (l + 2) a ˆ†(l+1) a ˆ(l+1) + (l + 2) (l + 1) a ˆ†l a ˆl + 2lˆ a†(l+1) a ˆ(l+1) + 4l (l + 1) a ˆ†l a ˆl + 2l2 (l + 1) a ˆ†(l−1) a ˆ(l−1) + l (l − 1) a ˆ†l a ˆl + 2l2 (l − 1) a ˆ†(l−1) a ˆ(l−1) + l2 (l − 1)2 a ˆ†(l−2) a ˆ(l−2) ˆb†pˆbp = a ˆ†(l+2) a ˆ(l+2) + (l + 1) a ˆ†(l+1) a ˆ(l+1) + 5l2 + 7l + a ˆ†l a ˆl P.11 + l2 − l a ˆ†l a ˆl + 4l3 a ˆ†(l−1) a ˆ(l−1) + l2 (l − 1)2 a ˆ†(l−2) a ˆ(l−2) ˆb†pˆbp = a ˆ†(l+2) a ˆ(l+2) + (l + 1) a ˆ†(l+1) a ˆ(l+1) + 6l2 + 6l + a ˆ†l a ˆl + 4l3 a ˆ†(l−1) a ˆ(l−1) + l2 (l − 1)2 a ˆ†(l−2) a ˆ(l−2) ˆb†pˆbp (P.62) a ˆ†l a ˆl a ˆ†2ˆb†(p+1)ˆbp =ˆ a†l a ˆ†2 a ˆl + 2lˆ a† a ˆ(l−1) + l (l − 1) a ˆ(l−2) ˆb†(p+1)ˆbp = a ˆ†(l+2) a ˆl + 2lˆ a†(l+1) a ˆ(l−1) + l (l − 1) a ˆ†l a ˆ(l−2) ˆb†(p+1)ˆbp (P.63) a ˆ2 a ˆ†l a ˆlˆb†pˆb(p+1) = a ˆ†l a ˆ2 + 2lˆ a†(l−1) a ˆ + l (l − 1) a ˆ†(l−2) a ˆlˆb†pˆb(p+1) = a ˆ†l a ˆ(l+2) + 2lˆ a†(l−1) a ˆ(l+1) + l (l − 1) a ˆ†(l−2) a ˆl ˆb†pˆb(p+1) (P.64) Thay (P.62), (P.63), (P.64) vào (P.61), ta a ˆ2 + ˆb† a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbp a ˆ†2 + ˆb = a ˆ†(l+2) a ˆ(l+2) + (l + 1) a ˆ†(l+1) a ˆ(l+1) + 6l2 + 6l + a ˆ†l a ˆl + 4l3 a ˆ†(l−1) a ˆ(l−1) + l2 (l − 1)2 a ˆ†(l−2) a ˆ(l−2) ˆb†pˆbp + a ˆ†(l+2) a ˆl + 2lˆ a†(l+1) a ˆ(l−1) + l (l − 1) a ˆ†l a ˆ(l−2) ˆb†(p+1)ˆbp + a ˆ†l a ˆ(l+2) + 2lˆ a†(l−1) a ˆ(l+1) + l (l − 1) a ˆ†(l−2) a ˆl ˆb†pˆb(p+1) +a ˆ†l a ˆlˆb†(p+1)ˆb(p+1) (P.65) Thay (P.65) vào (P.60), ta a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbp =|Nαβ |2 b β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆ†l a ˆlˆb†pˆbp a ˆ†2 + ˆb |α a |β =|Nαβ |2 b |α|2(l+2) + (l + 1) |α|2(l+1) + 6l2 + 6l + |α|2l + 4l3 |α|2(l−1) + l2 (l − 1)2 |α|2(l−2) |β|2p P.12 + α∗2 |α|2l + 2lα∗2 |α|2(l−1) + l (l − 1) α∗2 |α|2(l−2) × β ∗ |β|2p + α2 |α|2l + 2lα2 |α|2(l−1) + l (l − 1) α2 × |α|2(l−2) β|β|2p + |α|2l |β|2(p+1) =|Nαβ |2 |α|2(l+2) + (l + 1) |α|2(l+1) + 6l2 + 6l + |α|2l + 4l3 |α|2(l−1) + l2 (l − 1)2 |α|2(l−2) |β|2p + |α|2l |β|2(p+1) + |α|2l + 2l|α|2(l−1) + l (l − 1) |α|2(l−2) |β|2p α∗2 β ∗ + |α|2l + 2l|α|2(l−1) + l (l − 1) |α|2(l−2) |β|2p α2 β (P.66) Tính tương tự, ta có a ˆ†p a ˆpˆb†lˆbl =|Nαβ |2 |α|2(p+2) + (p + 1) |α|2(p+1) + 6p2 + 6p + |α|2p + 4p3 |α|2(p−1) + p2 (p − 1)2 |α|2(p−2) |β|2l + |α|2p |β|2(l+1) + |α|2p + 2p|α|2(p−1) + p (p − 1) |α|2(p−2) |β|2l α∗2 β ∗ + |α|2p + 2p|α|2(p−1) + p (p − 1) |α|2(p−2) |β|2l α2 β (P.67) a ˆ†(l+1) a ˆ(l+1)ˆb†(p−1)ˆb(p−1) =|Nαβ |2 |α|2(l+3) + (l + 2) |α|2(l+2) + 6(l + 1)2 + (l + 1) + |α|2(l+1) + 4(l + 1)3 |α|2l + l2 (l + 1)2 |α|2(l−1) |β|2(p−1) + |α|2(l+1) |β|2p + |α|2(l+1) + (l + 1) |α|2l + l (l + 1) |α|2(l−1) |β|2(p−1) α∗2 β ∗ + |α|2(l+1) + (l + 1) |α|2l + l (l + 1) |α|2(l−1) |β|2(p−1) α2 β (P.68) a ˆ†(p−1) a ˆ(p−1)ˆb†(l+1)ˆb(l+1) =|Nαβ |2 |α|2(p+1) + 4p|α|2p + 6(p − 1)2 + (p − 1) + |α|2(p−1) P.13 + 4(p − 1)3 |α|2(p−2) + (p − 1)2 (p − 2)2 |α|2(p−3) |β|2(l+1) + |α|2(p−1) |β|2(l+2) + |α|2(p−1) + (p − 1) |α|2(p−2) + (p − 1) (p − 2) |α|2(p−3) |β|2(l+1) α∗2 β ∗ + |α|2(p−1) +2 (p − 1) |α|2(p−2) + (p − 1) (p − 2) |α|2(p−3) |β|2(l+1) α2 β (P.69) Thay (P.66), (P.67), (P.68) (P.69) vào (3.10), ta |α|2(l+3) + (l + 2) |α|2(l+2) + 6(l + 1)2 + (l + 1) + Rab (l, p) = × |α|2(l+1) + 4(l + 1)3 |α|2l + l2 (l + 1)2 |α|2(l−1) |β|2(p−1) + |α|2(l+1) |β|2p + |α|2(l+1) + (l + 1) |α|2l + l (l + 1) × |α|2(l−1) |β|2(p−1) α∗2 β ∗ + |α|2(l+1) + (l + 1) |α|2l +l (l + 1) |α|2(l−1) |β|2(p−1) α2 β + |α|2(p+1) + 4p|α|2p + 6(p − 1)2 + (p − 1) + |α|2(p−1) + 4(p − 1)3 |α|2(p−2) + (p − 1)2 (p − 2)2 |α|2(p−3) |β|2(l+1) + |α|2(p−1) |β|2(l+2) + |α|2(p−1) + (p − 1) |α|2(p−2) + (p − 1) (p − 2) |α|2(p−3) × |β|2(l+1) α∗2 β ∗ + |α|2(p−1) + (p − 1) |α|2(p−2) + (p − 1) (p − 2) |α|2(p−3) |β|2(l+1) α2 β × |α|2(l+2) + (l + 1) |α|2(l+1) + 6l2 + 6l + |α|2l + 4l3 |α|2(l−1) + l2 (l − 1)2 |α|2(l−2) |β|2p + |α|2l |β|2(p+1) + |α|2l + 2l|α|2(l−1) + l (l − 1) |α|2(l−2) |β|2p α∗2 β ∗ + |α|2l + 2l|α|2(l−1) + l (l − 1) |α|2(l−2) |β|2p α2 β + |α|2(p+2) + (p + 1) |α|2(p+1) + 6p2 + 6p + |α|2p + 4p3 |α|2(p−1) + p2 (p − 1)2 |α|2(p−2) |β|2l + |α|2p |β|2(l+1) + |α|2p + 2p|α|2(p−1) + p (p − 1) |α|2(p−2) |β|2l α∗2 β ∗ P.14 + |α|2p + 2p|α|2(p−1) + p (p − 1) |α|2(p−2) |β|2l α2 β −1 − (P.70) Phụ lục 14 Chứng minh công thức (4.3) mục 4.1, ta có ˆa N ˆb − RN = N a ˆˆb† (P.71) Tính số hạng (P.71) sau ˆa N ˆb = |Nαβ |2 N b β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆ† a ˆˆb†ˆb a ˆ†2 + ˆb |α a |β b , (P.72) a ˆ2 + ˆb† a ˆ† a ˆˆb†ˆb a ˆ†2 + ˆb = a ˆ2 a ˆ† a ˆˆb†ˆb + a ˆ† a ˆˆb†2ˆb a ˆ†2 + ˆb =ˆ a2 a ˆ† a ˆa ˆ†2ˆb†ˆb + a ˆ† a ˆa ˆ†2ˆb†2ˆb + a ˆ2 a ˆ† a ˆˆb†ˆb2 + a ˆ† a ˆˆb†2ˆb2 =ˆ a2 a ˆ† a ˆ†2 a ˆ + 2ˆ a† ˆb†ˆb + a ˆ† a ˆ†2 a ˆ + 2ˆ a† ˆb†2ˆb + a ˆ† a ˆ2 + 2ˆ a a ˆˆb†ˆb2 + a ˆ† a ˆˆb†2ˆb2 = a ˆ2 a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a2 a ˆ†2 ˆb†ˆb + a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb†2ˆb + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb†ˆb2 + a ˆ† a ˆˆb†2ˆb2 = a ˆ†3 a ˆ2 + 6ˆ a†2 a ˆ + 6ˆ a† a ˆ+2 a ˆ†2 a ˆ2 + 4ˆ a† a ˆ+2 ˆb†ˆb + a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb†2ˆb + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb†ˆb2 + a ˆ† a ˆˆb†2ˆb2 = a ˆ†3 a ˆ3 + 8ˆ a†2 a ˆ2 + 14ˆ a† a ˆ + ˆb†ˆb + a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb†2ˆb + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb†ˆb2 + a ˆ† a ˆˆb†2ˆb2 Thay (P.73) vào (P.72), ta ˆa N ˆb =|Nαβ |2 N |α|6 + 8|α|4 + 14|α|2 + |β|2 P.15 (P.73) +2Re α∗3 α + 2α∗2 β ∗2 β +|α|2 |β|4 (P.74) Tính số hạng a ˆˆb† a ˆˆb† = |Nαβ |2 b β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆˆb† a ˆ†2 + ˆb |α a |β b } , (P.75) a ˆ2 + ˆb† a ˆˆb† a ˆ†2 + ˆb = a ˆ3ˆb† + a ˆˆb†2 a ˆ†2 + ˆb =ˆ a3 a ˆ†2ˆb† + a ˆa ˆ†2ˆb†2 + a ˆ3ˆb†ˆb + a ˆˆb†2ˆb = a ˆ†2 a ˆ3 + 6ˆ a† a ˆ2 + 6ˆ a ˆb† + a ˆ†2 a ˆ + 2ˆ a† ˆb†2 ˆˆb†2ˆb +a ˆ3ˆb†ˆb + a (P.76) Thay (P.76) vào (P.75), ta a ˆˆb† =|Nαβ |2 |α|4 + 6|α|2 + αβ ∗ + |α|2 + α∗ β ∗2 +α3 |β|2 + αβ ∗2 β a ˆˆb† ∗ =|Nαβ |2 (P.77) |α|4 + 6|α|2 + α∗ β + |α|2 + αβ + α∗3 |β|2 + α∗ β β ∗ a ˆˆb† =|Nαβ |4 (P.78) |α|4 + 6|α|2 + αβ ∗ + |α|2 + α∗ β ∗2 + α3 |β|2 + αβ ∗2 β × |α|4 + 6|α|2 + α∗ β + |α|2 + αβ + α∗3 |β|2 + α∗ β β ∗ (P.79) Thay (P.74) (P.79) vào (P.71), ta RN =|Nαβ |2 |α|6 + 8|α|4 + 14|α|2 + |β|2 + 2Re +2α∗2 β ∗2 β +|α|2 |β|4 − |Nαβ |4 + |α|2 + α∗ β ∗2 + α3 |β|2 + αβ ∗2 β |α|4 + 6|α|2 + αβ ∗ |α|4 + 6|α|2 + × α∗ β + |α|2 + αβ + α∗3 |β|2 + α∗ β β ∗ P.16 α∗3 α (P.80) Phụ lục 15 Chứng minh công thức (4.6) mục 4.2 Ta có ˆˆb† ˆ†ˆb − a ˆ† a ˆˆbˆb† − a ˆa ˆ†ˆb†ˆb + a ˆ2ˆb†2 − a R= 1− a ˆ†2ˆb2 + a × 1+ a ˆ†2ˆb2 + a ˆ2ˆb†2 + a ˆ† a ˆˆbˆb† + a ˆa ˆ†ˆb†ˆb − a ˆ†ˆb + a ˆˆb† − 1+ a ˆ† a ˆ + ˆb†ˆb + a ˆ†ˆb + a ˆˆb† 4i − 16 a ˆ† a ˆ†ˆbˆb − a ˆa ˆˆb†ˆb† 2i †ˆ ˆ† a ˆ b−a ˆb (P.81) Để tính tham số RN , ta tính số hạng sau a ˆ†2ˆb2 = |Nαβ |2 b β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆ†2ˆb2 a ˆ†2 + ˆb |α a |β b } , (P.82) a ˆ2 + ˆb† a ˆ†2ˆb2 a ˆ†2 + ˆb = a ˆ2 a ˆ†2ˆb2 + a ˆ†2ˆb†ˆb2 a ˆ†2 + ˆb =ˆ a2 a ˆ†4ˆb2 + a ˆ†4ˆb†ˆb2 + a ˆ2 a ˆ†2ˆb3 + a ˆ†2ˆb†ˆb3 = a ˆ†4 a ˆ2 + 8ˆ a†3 a ˆ + 12ˆ a†2 ˆb2 + a ˆ†4ˆb†ˆb2 + a ˆ†2 a ˆ2 + 4ˆ a† a ˆ + ˆb3 + a ˆ†2ˆb†ˆb3 (P.83) Thay (P.83) vào (P.82), ta a ˆ†2ˆb2 =|Nαβ |2 |α|4 + 8|α|2 + 12 α∗2 β + α∗4 β ∗ β + |α|4 + 4|α|2 + β + α∗2 β ∗ β a ˆ2ˆb†2 = a ˆ†2ˆb2 ∗ = |Nαβ |2 (P.84) |α|4 + 8|α|2 + 12 α2 β ∗2 + α4 β ∗2 β + |α|4 + 4|α|2 + β ∗3 + α2 β ∗3 β a ˆ† a ˆˆbˆb† = |Nαβ |2 b β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆ† a ˆˆbˆb† a ˆ†2 + ˆb |α a (P.85) |β b } , (P.86) P.17 a ˆ2 + ˆb† a ˆ† a ˆˆbˆb† a ˆ†2 + ˆb = a ˆ2 a ˆ† a ˆˆbˆb† + a ˆ† a ˆˆb†ˆbˆb† a ˆ†2 + ˆb =ˆ a2 a ˆ† a ˆa ˆ†2ˆbˆb† + a ˆ† a ˆa ˆ†2ˆb†ˆbˆb† + a ˆ2 a ˆ† a ˆˆbˆb†ˆb + a ˆ† a ˆˆb†ˆbˆb†ˆb ˆb†ˆb + + a ˆ† a ˆ†2 a ˆ + 2ˆ a† ˆb† ˆb†ˆb + =ˆ a2 a ˆ† a ˆ†2 a ˆ + 2ˆ a† + a ˆ† a ˆ2 + 2ˆ a a ˆ ˆb†ˆb + ˆb + a ˆ† a ˆˆb† ˆb†ˆb + ˆb ˆb†ˆb + + a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb† ˆb†ˆb + = a ˆ2 a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a2 a ˆ†2 + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 = ˆb†ˆb + ˆb + a ˆ† a ˆ ˆb†2ˆb2 + ˆb†ˆb a ˆ†3 a ˆ2 + 6ˆ a†2 a ˆ + 6ˆ a† a ˆ+2 a ˆ†2 a ˆ2 + 4ˆ a† a ˆ+2 × ˆb†ˆb + + a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb† ˆb†ˆb + + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb†ˆb + ˆb + a ˆ† a ˆ ˆb†2ˆb2 + ˆb†ˆb = a ˆ†3 a ˆ3 + 8ˆ a†2 a ˆ2 + 14ˆ a† a ˆ+4 + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb†ˆb + + a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb† ˆb†ˆb + ˆb†ˆb + ˆb + a ˆ† a ˆ ˆb†2ˆb2 + ˆb†ˆb (P.87) Thay (P.87) vào (P.86), ta a ˆ† a ˆˆbˆb† =|Nαβ |2 |α|6 + 8|α|4 + 14|α|2 + |β|2 + + 2Re α∗3 α + 2α∗2 β ∗ |β|2 + + |α|2 |β|4 + |β|2 (P.88) a ˆa ˆ†ˆb†ˆb = |Nαβ |2 b β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆa ˆ†ˆb†ˆb a ˆ†2 + ˆb |α a |β b } , (P.89) a ˆ2 + ˆb† a ˆa ˆ†ˆb†ˆb a ˆ†2 + ˆb = a ˆ3 a ˆ†ˆb†ˆb + a ˆa ˆ†ˆb†2ˆb a ˆ†2 + ˆb =ˆ a3 a ˆ†3ˆb†ˆb + a ˆa ˆ†3ˆb†2ˆb + a ˆ3 a ˆ†ˆb†ˆb2 + a ˆa ˆ†ˆb†2ˆb2 P.18 = a ˆ†3 a ˆ3 + 9ˆ a†2 a ˆ2 + 18ˆ a† a ˆ + ˆb†ˆb + a ˆ†3 a ˆ + 3ˆ a†2 ˆb†2ˆb + a ˆ† a ˆ3 + 3ˆ a2 ˆb†ˆb2 + a ˆ† a ˆ + ˆb†2ˆb2 (P.90) Thay (P.90) vào (P.89), ta a ˆa ˆ†ˆb†ˆb =|Nαβ |2 + 2Re |α|6 + 9|α|4 + 18|α|2 + |β|2 α∗3 α + 3α∗2 β ∗2 β + |α|2 + |β|4 a ˆˆb† =|Nαβ |2 |α|4 + 6|α|2 + αβ ∗ + |α|2 + α∗ β ∗2 +α3 |β|2 + αβ ∗2 β a ˆ†ˆb = a ˆˆb† ∗ = |Nαβ |2 (P.92) |α|4 + 6|α|2 + α∗ β + |α|2 + αβ + α∗3 |β|2 + α∗ β β ∗ a ˆ† a ˆ = |Nαβ |2 b (P.91) β|a α| a ˆ2 + ˆb† a ˆ† a ˆ a ˆ†2 + ˆb |α a |β b } , (P.93) (P.94) a ˆ2 + ˆb† a ˆ† a ˆ a ˆ†2 + ˆb = a ˆ2 a ˆ† a ˆ+a ˆ† a ˆˆb† a ˆ†2 + ˆb =ˆ a2 a ˆ† a ˆa ˆ†2 + a ˆ† a ˆa ˆ†2ˆb† + a ˆ2 a ˆ† a ˆˆb + a ˆ† a ˆˆb†ˆb =ˆ a2 a ˆ† a ˆ†2 a ˆ + 2ˆ a† + a ˆ† a ˆ†2 a ˆ + 2ˆ a† ˆb† + a ˆ† a ˆ2 + 2ˆ a a ˆˆb + a ˆ† a ˆˆb†ˆb =ˆ a2 a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a2 a ˆ†2 + a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb† + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb + a ˆ† a ˆˆb†ˆb = a ˆ†3 a ˆ2 + 6ˆ a†2 a ˆ + 6ˆ a† a ˆ+2 a ˆ†2 a ˆ2 + 4ˆ a† a ˆ+2 + a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb† + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb + a ˆ† a ˆˆb†ˆb =ˆ a†3 a ˆ3 + 8ˆ a†2 a ˆ2 + 14ˆ a† a ˆ+4+ a ˆ†3 a ˆ + 2ˆ a†2 ˆb† + a ˆ† a ˆ3 + 2ˆ a2 ˆb + a ˆ† a ˆˆb†ˆb (P.95) Thay (P.95) vào (P.94), ta a ˆ† a ˆ =|Nαβ |2 |α|6 + 8|α|4 + 14|α|2 + P.19 +2Re ˆb†ˆb = |Nαβ |2 b α∗3 α + 2α∗2 β ∗ + |α|2 |β|2 ˆ†2 + ˆb |α β|a α| a ˆ2 + ˆb† ˆb†ˆb a a |β b } , (P.96) (P.97) a ˆ2 + ˆb† ˆb†ˆb a ˆ†2 + ˆb = a ˆ2ˆb†ˆb + ˆb†2ˆb a ˆ†2 + ˆb =ˆ a2 a ˆ†2ˆb†ˆb + a ˆ†2ˆb†2ˆb + a ˆ2ˆb†ˆb2 + ˆb†2ˆb2 = a ˆ†2 a ˆ2 + 4ˆ a† a ˆ + ˆb†ˆb + a ˆ†2ˆb†2ˆb + a ˆ2ˆb†ˆb2 + ˆb†2ˆb2 (P.98) Thay (P.98) vào (P.97), ta ˆb†ˆb = |Nαβ |2 |α|4 + 4|α|2 + |β|2 + 2Re α∗2 β ∗2 β + |β|4 (P.99) Thay (P.84), (P.85), (P.88), (P.91), (P.92), (P.93), (P.96) (P.99) vào (P.81), ta RN = − |Nαβ |2 |α|4 + 8|α|2 + 12 α∗2 β + α∗4 β ∗ β + |α|4 + 4|α|2 + β + α∗2 β ∗ β + |α|4 + 8|α|2 +12) α2 β ∗2 + α4 β ∗2 β + |α|4 + 4|α|2 + β ∗3 + α2 β ∗3 β − + 2Re − |α|6 + 8|α|4 + 14|α|2 + α∗3 α + 2α∗2 β ∗ |β|2 + + |α|2 |β|4 + |β|2 |α|6 + 9|α|4 + 18|α|2 + |β|2 + 2Re × β ∗2 β + |α|2 + |β|4 + |Nαβ |4 + |α|2 + αβ + α∗3 |β|2 + α∗ β β ∗ − αβ ∗ + |α|2 + α∗ β ∗2 + α3 |β|2 + αβ ∗2 β × |β|2 + α∗3 α + 3α∗2 |α|4 + 6|α|2 + α∗ β |α|4 + 6|α|2 + + |Nαβ |2 |α|4 + 8|α|2 + 12 α∗2 β + α∗4 β ∗ β + |α|4 + 4|α|2 + P.20 × β + α∗2 β ∗ β + |α|4 + 8|α|2 + 12 α2 β ∗2 + α4 β ∗2 β + |α|4 + 4|α|2 + β ∗3 + α2 β ∗3 β + +14|α|2 + |β|2 + + 2Re × |β|2 + + |α|2 |β|4 + |β|2 +18|α|2 + |β|2 + 2Re + |α|2 + |β|4 |α|6 + 8|α|4 α∗3 α + 2α∗2 β ∗ |α|6 + 9|α|4 + α∗3 α + 3α∗2 β ∗2 β − |Nαβ |4 |α|4 + 6|α|2 + α∗ β + |α|2 + αβ + α∗3 |β|2 + α∗ β β ∗ + |α|4 + 6|α|2 +6) αβ ∗ + |α|2 + α∗ β ∗2 + α3 |β|2 + αβ ∗2 β − + |Nαβ |2 |α|6 + 8|α|4 + 14|α|2 + + 2Re |α|4 + 4|α|2 + |β|2 +2α∗2 β ∗ + |α|2 |β|2 + ∗2 ∗2 + 2Re α β β + |β| α∗3 α − 16 |Nαβ |2 2i |α|4 +8|α|2 + 12 α∗2 β + α∗4 β ∗ β + |α|4 + 4|α|2 + β +α∗2 β ∗ β − |α|4 + 8|α|2 + 12 α2 β ∗2 + α4 β ∗2 β + |α|4 + 4|α|2 + β ∗3 + α2 β ∗3 β + |Nαβ |4 4i |α|4 + 6|α|2 + α∗ β + |α|2 + αβ + α∗3 |β|2 + α∗ β β ∗ + |α|4 + 6|α|2 + αβ ∗ + |α|2 + α∗ β ∗2 + α3 |β|2 + αβ ∗2 β |α|4 + 6|α|2 + α∗ β + |α|2 + αβ + α∗3 |β|2 + α∗ β β ∗ − |α|4 + 6|α|2 +6) αβ ∗ + |α|2 + α∗ β ∗2 + α3 |β|2 + αβ ∗2 β P.21 (P.100) ... thống trạng thái kết hợp, trạng thái kết hợp thêm hai bớt photonvà tính chất phi cổ điển; + Nghiên cứu tính chất nén tổng nén hiệu hai mode trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp; ... nén hiệu hai mode trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon Kết cho thấy trạng thái 39 thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp thể tính nén... - Schwarz tính chất phản kết chùm trạng thái hai mode kết hợp thêm hai bớt photon; + Nghiên cứu tính đan rối trạng thái thêm hai bớt photon lên hai mode kết hợp Phương pháp nghiên cứu Trong luận