Khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN NGỌC LÂM KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI PHOTON TÍCH SU (1,1) LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Thừa Thiên Huế, năm 2017 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN NGỌC LÂM KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI PHOTON TÍCH SU (1,1) Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TRƯƠNG MINH ĐỨC Thừa Thiên Huế, năm 2017 i LỜI CẢM ƠN Tôi xin đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Trương Minh Đức tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành tốt luận văn tốt nghiệp Tơi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô khoa Vật Lý phòng Sau Đại học - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi q trình học tập hoàn thành luận văn Xin gởi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, thầy cô trường PTDTNT Vân Canh – Sở GD & ĐT tỉnh Bình Định tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập công tác Qua đây, xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình bạn bè, anh, chị học viên Cao học khóa 24 động viên, góp ý, giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình thực đề tài Tác giả luận văn Nguyễn Ngọc Lâm ii LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết quả, số liệu, đồ thị nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Ngọc Lâm iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cảm ơn ii Lời cam đoan iii Mục lục iv Danh sách hình vẽ vii MỞ ĐẦU Chương 1: Cơ sở lý thuyết 1.1 Trạng thái kết hợp 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các tính chất trạng thái kết hợp 1.1.3 Một số tính chất tốn tử dịch chuyển 1.1.4 Trạng thái kết hợp thêm photon 12 1.2 Trạng thái nén 12 1.3 Một số tính chất phi cổ điển 14 1.3.1 Tính chất nén tổng 14 1.3.2 Tính chất nén hiệu 15 1.3.3 Tính chất nén bậc cao hai mode 16 1.3.4 Tính chất phản kết chùm bậc cao 16 1.3.5 Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 18 1.4 Các tiêu chuẩn đan rối 18 1.4.1 Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy 19 1.4.2 Tiêu chuẩn đan rối Mancini 20 iv Chương 2: Khảo sát tính chất nén trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) 22 2.1 Trạng thái hai mode SU (1,1) 23 2.1.1 Đại số SU (1,1) 23 2.1.2 Trạng thái hai mode kết hợp SU (1,1) 24 2.2 Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) 29 2.3 Khảo sát tính chất nén tổng trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) 30 2.4 Khảo sát tính chất nén hiệu trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) 37 2.5 Khảo sát tính chất nén bậc cao trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) 38 Chương 3: Khảo sát tính chất phản kết chùm vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) 43 3.1 Khảo sát tính chất phản kết chùm trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) 43 3.1.1 Trường hợp l =1, p=1; l =2, p=1 45 3.1.2 Trường hợp l =2, p=2; l =3, p=3 45 3.1.3 Trường hợp l =3, p=1; l =3, p=2 46 3.1.4 Trường hợp l =4, p=3 46 3.2 Khảo sát vi phạm bất đẳng thức Cauchy – Schwarz trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) 47 Chương 4: Nghiên cứu tính chất đan rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) 51 4.1 Nghiên cứu tính chất đan rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) theo tiêu chuẩn đan rối Hillery–Zubairy v 51 4.2 Nghiên cứu tính chất đan rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích chẵn SU (1,1) theo tiêu chuẩn đan rối Mancini 54 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 PHỤ LỤC vi DANH SÁCH HÌNH VẼ 2.1 Sự phụ thuộc tham số nén tổng hai mode S vào r trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1)(∗∗) , cho q = 0, cos(φ + ϕ) = 37 2.2 Sự phụ thuộc tham số nén bậc cao hai mode Sab (N, φ) vào r trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1)(∗∗) , cho q = 0, 1; N = 2, cos(φ − ϕ) = 41 3.1 Sự phụ thuộc hệ số phản kết chùm hai mode Aab (l, p) vào r trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1)(∗∗) , cho q = 0, l = 1, p = 1; l = 2; p = 45 3.2 Sự phụ thuộc hệ số phản kết chùm hai mode Aab (l, p) vào r trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1)(∗∗) , cho q = 0, l = 2, p = 2; l = 3; p = 45 3.3 Sự phụ thuộc hệ số phản kết chùm hai mode Aab (l, p) vào r trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1)(∗∗) , cho q = 0, l = 3, p = 1; l = 3; p = vii 46 3.4 Sự phụ thuộc hệ số phản kết chùm hai mode Aab (4, 3) vào r trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1)(∗∗) , cho q = 0, 46 3.5 Sự phụ thuộc tham số I vào r trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1)(∗∗) , cho q = 0, 48 4.1 Sự phụ thuộc hệ số đan rối E vào r trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1)(∗∗) , cho h = 2, cos(2ϕ) = q = 0, 53 4.2 Sự phụ thuộc hệ số đan rối R vào r trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1)(∗∗) , cho q = 0, cos(ϕ) = 55 viii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Thông tin liên lạc nhu cầu tất yếu người thời đại Cùng với phát triển khoa học kỹ thuật, lĩnh vực thông tin liên lạc không ngừng phát triển phương tiện cách thức truyền tin để đảm bảo thông tin truyền xa, nhanh xác Tuy nhiên, với cách thức thơng tin cổ điển mà sử dụng tốc độ truyền tin cịn thấp, khoảng cách truyền chưa xa Đơi khi, thơng tin ngồi dù mã hóa nhiều lần Vậy có cách để thơng tin truyền nhanh, xa mà đảm bảo chất lượng bảo mật cách tuyệt đối? Vào khoảng kỷ XX, ngành vật lý có nghiên cứu trạng thái mà xuất phát điểm hệ thức bất định Heisenberg, cho hạt vi mô xác định đồng thời tọa độ xung lượng Trạng thái vật lý nghiên cứu rộng rãi trạng thái kết hợp Nó c bt ngun t s nghiờn cu ca Schrăodinger vo năm 1926 [33] khảo sát dao động tử điều hịa, ơng cho rằng: “Các trạng thái kết hợp bó sóng có tính chất động lực học tương tự hạt cổ điển chuyển động bậc hai” Năm 1963, trạng thái kết hợp Glauber [14] Sudarshan [36] đưa thức là: Trạng thái kết hợp trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ suy từ hệ thức bất định Heisenberg Trạng thái ∞ 1+q × (− r) cos ϕ + (1 − r) R × tanh2m r (m + q) + m 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 (m + q)! m!q! m=0 − (4.5) q=0 q=3 (**);q = (**);q = 0.5 1.0 1.5 2.0 r Hình 4.2: Sự phụ thuộc hệ số đan rối R vào r trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1)(∗∗) , cho q = 0, cos(ϕ) = Tính chất đan rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) khảo sát tiêu chuẩn Mancini có dạng bất đẳng thức (1.71) Tính chất đan rối trạng thái so sánh với tính chất đan rối trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thông qua việc so sánh hai hệ số đan rối hai trạng thái Hình 4.2 cho thấy r cịn bé có giá trị q = trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) cho R âm (có hai mode đan rối) Khi r đủ lớn, xét với q bất kỳ, ta có R hai trạng thái có giá trị âm đạt cực đại -1 Sau đó, r tiếp tục tăng R bớt âm Khi r đạt đến giá trị tới hạn R trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) dương, R trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) Trong chương này, từ việc nghiên cứu tính chất đan rối trạng 55 thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) so sánh với trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) theo hai tiêu chuẩn Hillery-Zubairy Mancini Theo tiêu chuẩn Hillery-Zubairy kết nghiên cứu cho thấy r cịn bé, q lớn E khơng âm Trường hợp r đủ lớn E âm theo số điện tích, với giá trị r q, ta có giá trị E trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) âm so với E trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) Giá trị E xét cho hai trạng thái âm theo giá trị r đạt đến giá trị âm bão hòa Giá trị E âm bão hòa trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) âm nhiều so với trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) Giá trị E âm bão hòa hai trạng thái xét tăng tỉ lệ thuận với q Theo tiêu chuẩn Mancini trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) có mode đan rối khoảng giới hạn giá trị biên độ kết hợp r 56 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi trình bày chi tiết việc tiến hành khảo sát số tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1), đồng thời so sánh kết khảo sát tính chất với trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) Các kết luận văn thu tóm tắt sau: Thứ nhất, đưa phương trình trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1), sau khảo sát tính chất nén tổng, nén hiệu trạng thái dựa so sánh với trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) Kết thu cho thấy biên độ kết hợp r cịn bé chưa xuất nén tổng trạng thái xét Khi r đủ lớn xuất nén tổng, tham số nén tổng S trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lớn tham số nén tổng S trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) Điện tích q lớn cấp độ nén tổng cao Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) khơng tồn tính chất nén hiệu Thứ hai, kết khảo sát cho thấy trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) khơng tồn nén bậc cao biên độ kết hợp r bé Trong khoảng giá trị r bé, tham số nén Sab (2, φ) dương q tăng Khi biên độ kết hợp r đủ lớn, tham số nén Sab (2, φ) trạng thái xét có giá trị âm, số điện tích q tăng Sab (2, φ) âm Khi r tiến đến vơ giá trị Sab (2, φ) có giá trị bão hịa lớn Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) thể tính chất nén bậc cao mạnh trạng 57 thái hai mode kết hợp SU (1, 1) Tham số nén bậc cao hai trạng thái khoảng giá trị r âm mạnh bậc nén N tăng giá trị Sab (N, φ) âm bảo hòa trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) tăng bậc N tăng Ngồi ra, chúng tơi khảo sát tính chất phản kết chùm vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1), đồng thời so sánh với trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) Các kết cho thấy tính chất phản kết chùm trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) tồn giá trị r bé q nhỏ thể mạnh so với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1), với giá trị q lớn kết ngược lại Khi giá trị r q nhỏ mức độ vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) cao nhỏ so với trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) ln vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz tronng khoảng r bé với q Khi r đủ lớn trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) khơng vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Thứ ba, từ việc nghiên cứu tính chất đan rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) so sánh với trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) theo hai tiêu chuẩn Hillery-Zubairy Mancini Theo tiêu chuẩn Hillery-Zubairy r cịn bé, q lớn trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) có mode chưa đan rối Trường hợp r đủ lớn trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) có mode đan rối mạnh so với trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) Cấp độ đan rối bão hòa trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lớn nhiều so với trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) Theo tiêu chuẩn Mancini trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) có mode đan rối 58 khoảng giới hạn giá trị biên độ kết hợp r Ngoài kết khảo sát tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) trình bày luận văn này, chúng tơi thấy cịn có hướng nghiên cứu thực thời gian tới sau: mở rộng nghiên cứu trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) sang lĩnh vực khác vật lý chất rắn nghiên cứu hiệu ứng nén chuẩn hạt boson bán dẫn có cấu trúc thấp chiều; sử dụng trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) thực nhiệm vụ lượng tử điều khiển viễn tải lượng tử, viễn tạo trạng thái lượng tử, đồng viễn tạo trạng thái lượng tử, 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Anh (2015), Khảo sát tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode kết hợp thêm photon chẵn, Luận văn Thạc sĩ Vật lý, Đại học Sư phạm Huế [2] Trương Minh Đức (2005), Trạng thái kết hợp phi tuyến K hạt, trạng thái quạt, trạng thái kết hợp ba tính chất phi cổ điển chúng, Luận án Tiến sĩ Vật lý, Hà Nội [3] Hồng Thị Mỹ, Khảo sát tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode SU (1, 1) thêm photon chẵn, Luận văn Thạc sĩ Vật lý, Đại học Sư phạm Huế [4] Lê Đình Nhân (2013), Khảo sát tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode SU (1, 1), Luận văn Thạc sĩ Vật lý, Đại học Sư phạm Huế [5] Võ Tình (2001), Một số hiệu ứng hệ photon-exciton-biexciton bán dẫn kích thích quang, Luận án Tiến sĩ Vật lý, Hà Nội Tiếng Anh [6] Agarwal G S., and Biswas A (2005), Quantitative measures of entanglement in pair-coherent states, Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics, 7(11), pp 350 - 360 60 [7] Agarwal G S, and Tara K (1991), Nonclassical properties of states generated by the excitations on a coherent state, Physical Review A, 43(1), pp 492 - 497 [8] Nguyen Ba An (1997), Higher-order amplitude squeezing of photons propagating through a semiconductor, Physics Letters A, 234(1), pp 45 - 52 [9] Nguyen Ba An (2002), Multimode higher-order antibunching and squeezing in trio coherent states, Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics, 4(3), pp 222 - 227 [10] Chen K., and Wu L A (2002), The generalized partial transposition criterion for separability of multipartite quantum states, Physics Letters A, 306(1), 14 - 20 [11] Truong Minh Duc, Nguyen Thi Xuan Hoai, and Nguyen Ba An (2014), Sum Squeezing, Difference Squeezing, Higher-Order Antibunching and Entanglement of Two-Mode Photon-Added Displaced Squeezed States, International Journal of Theoretical Physics, 53(3), pp 899 - 910 [12] Truong Minh Duc, and Noh J (2008), Higher-order properties of photon-added coherent states, Optics Communications, 281(10), pp 2842 - 2848 [13] Gerry C C., and Knight P L (2005), Introductory quantum optics, Cambridge University press [14] Glauber R J (1963), Coherent and incoherent states of the radiation field, Physical Review, 131(6), pp 2766 - 2788 [15] Gupta P., Pandey P N., and Pathak A (2006), Higher order antibunching is not a rare phenomenon, Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, 39(5), pp 1137 - 1143 61 [16] Gă uhne O (2004), Characterizing entanglement via uncertainty relations, Physical Review Letters, 92(11), pp 117903-1 - 117903-4 [17] Hillery M (1987), Squeezing of the square of the field amplitude in second harmonic generation, Optics communications, 62(2), pp 135 - 138 [18] Hillery M (1989), Sum and difference squeezing of the electromagnetic field, Physical Review A, 40(6), pp 3147 - 3155 [19] Hillery M., and Zubairy M S (2006), Entanglement conditions for two-mode states, Physical Review Letters, 96(5), pp 050503-1 - 050503-4 [20] Hofmann H F., and Takeuchi S (2003), Violation of local uncertainty relations as a signature of entanglement, Physical Review A, 68(3), pp 032103-1 - 032103-6 [21] Hollenhorst J N (1979), Quantum limits on resonant-mass gravitational-radiation detectors, Physical Review D, 19(6), pp 1669 - 1679 [22] Hong L (1999), Statistical properties of photon-added and photonsubtracted two-mode squeezed vacuum state, Physics Letters A, 264(4), pp 265 - 269 [23] Kimble H J., and Walls D F (1987), Squeezed states of the electromagnetic field: Introduction to feature issue, Journal of the Optical Society of America B, 4(10), pp 1449 - 1737 [24] Lee C T (1990), Many-photon antibunching in generalized pair coherent states, Physical Review A, 41(3), pp 1569 - 1575 [25] Lee C T (1990), Higher-order criteria for nonclassical effects in photon statistics, Physical Review A, 41(3), pp 1721 - 1723 62 [26] Levenson M D., Shelby, R M., Reid, M., and Walls, D F (1986), Quantum nondemolition detection of optical quadrature amplitudes, Physical Review Letters, 57(20), pp 2473 - 2476 [27] Loudon R., and Knight P L (1987), Squeezed light, Journal of Modern Optics, 34(6-7), pp 709 - 759 [28] Mancini, S., Giovannetti, V., Vitali, D., and Tombesi, P (2002), Entangling macroscopic oscillators exploiting radiation pressure, Physical review letters, 88(12), pp 120401 - 120401 [29] Perelomov A M (1972), Coherent states for arbitrary Lie group, Communications in Mathematical Physics, 26(3), pp 222 - 236 [30] Peres A (1996), Separability criterion for density matrices, Physical Review Letters, 77(8), pp 1413 - 1415 [31] Rudolph O (2003), Some properties of the computable cross-norm criterion for separability, Physical Review A, 67(3), pp 032312-1 032312-6 [32] Sanders B C (2012), Review of entangled coherent states, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 45(24), pp 244002-1 244002-15 ă [33] Schrăodinger E (1926), Der stetige Ubergang von der Mikro-zur Makromechanik, Naturwissenschaften, 14(28), pp 664 - 666 [34] Slusher R., Hollberg L W., Yurke B., Mertz J C., and Valley J F (1985), Observation of squeezed states generated by four-wave mixing in an optical cavity, Physical Review Letters, 55(22), pp 2409 - 2412 [35] Stoler D (1970), Equivalence classes of minimum uncertainty packets, Physical Review D, 1(12), pp 3217 - 3219 63 [36] Sudarshan E C G (1963), Equivalence of semiclassical and quantum mechanical descriptions of statistical light beams, Physical Review Letters, 10(7), pp 277 - 279 [37] Thapliyal K., Pathak A., Sen B., and Peˇrina J (2014), Higher-order nonclassicalities in a codirectional nonlinear optical coupler: Quantum entanglement, squeezing, and antibunching, Physical Review A, 90(1), pp 013808-1 - 013808-10 [38] Wang S., Hou L L., and Xu X F (2015), Higher nonclassical properties and entanglement of photon-added two-mode squeezed coherent states, Optics Communications, 335, pp 108 - 115 64 PHỤ LỤC Phụ lục A Chứng minh số công thức chương A Chứng minh công thức (1.46) chương Ta có [Vˆφ , Vˆφ+ π2 ] = Vˆφ Vˆφ+ π2 − Vˆφ+ π2 Vˆφ π π = (eiφ a ˆ†ˆb† + e−iφ a ˆˆb)(ei(φ+ ) a ˆ†ˆb† + e−i(φ+ ) a ˆˆb) π π ˆ†ˆb† + e−i(φ+ ) a ˆˆb)(eiφ a ˆ†ˆb† + e−iφ a ˆˆb) − (ei(φ+ ) a π = (eiφ ei(φ+ ) a ˆ†ˆb† a ˆ†ˆb† π π π ˆ†ˆb† a ˆˆb + e−iφ ei(φ+ ) a ˆˆbˆ a†ˆb† + e−iφ e−i(φ+ ) a ˆˆbˆ aˆb) + eiφ e−i(φ+ ) a π − (ei(φ+ ) eiφ a ˆ†ˆb† a ˆ†ˆb† π π π + ei(φ+ ) e−iφ a ˆ†ˆb† a ˆˆb + e−i(φ+ ) eiφ a ˆˆbˆ a†ˆb† + e−i(φ+ ) e−iφ a ˆˆbˆ aˆb) 1 †ˆ† ˆ i = (−iˆ a†ˆb† a ˆˆb + iˆ aˆbˆ a†ˆb† ) − (iˆ aba ˆb − iˆ aˆbˆ a†ˆb† ) = (ˆ na + n ˆ b + 1), 4 1 ⇒ (∆Vˆφ )2 (∆Vˆφ+ π2 )2 ≥ (ˆ na + n ˆ b + 1)2 , nén tổng tồn (∆Vˆφ )2 < (ˆ na + n ˆ b + 1) (đpcm) A Chứng minh cơng thức (1.49) chương P Khi góc pha xác định hướng nén φ + π ˆb† + e−i(φ+ π2 ) a ˆ φ+ π = ei(φ+ π2 ) a W ˆ ˆ†ˆb 2 Các toán tử thỏa mãn hệ thức giao hoán ˆφ = ˆ φW ˆ φ+ π − W ˆ φ+ π W ˆ φ, W ˆ φ+ π ] = W [W 2 π π iφ ˆ† ˆˆb† + e−i(φ+ ) a ˆ†ˆb) (e a ˆb + e−iφ a ˆ†ˆb)(ei(φ+ ) a π π − (ei(φ+ ) a ˆˆb† + e−i(φ+ ) a ˆ†ˆb)(eiφ a ˆˆb† + e−iφ a ˆ†ˆb) π π ˆˆb† a ˆˆb† + eiφ e−i(φ+ ) a ˆˆb† a ˆ†ˆb = (eiφ ei(φ+ ) a π π + e−iφ ei(φ+ ) a aˆb† + e−iφ e−i(φ+ ) a a†ˆb) ˆ†ˆbˆ ˆ†ˆbˆ π π − (ei(φ+ ) eiφ a ˆˆb† a ˆˆb† + ei(φ+ ) e−iφ a ˆˆb† a ˆ†ˆb π π + e−i(φ+ ) eiφ a ˆ†ˆbˆ aˆb† + e−i(φ+ ) e−iφ a ˆ†ˆbˆ a†ˆb) 1 ˆ† †ˆ = (−iˆ aˆb† a ˆ†ˆb + iˆ a†ˆbˆ aˆb† ) − (iˆ ab a ˆ b − iˆ a†ˆbˆ aˆb† ) 4 i i = (−(ˆ na + 1)ˆ nb + n ˆ a (ˆ nb + 1)) = |ˆ na − n ˆ b |, 2 ˆ φ )2 (∆W ˆ φ+ π )2 ≥ 1 |ˆ na − n ˆ b |2 , ⇒ (∆W trạng thái gọi nén hiệu theo hướng góc φ ˆ φ )2 < (∆W |ˆ na − n ˆ b | (đpcm) Phụ lục B Chứng minh công thức (2.42)-(2.47) chương Ta có cơng thức tổng qt tính giá trị trung bình lượng tử số tổ hợp toán tử sinh hủy hạt trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) sau: ∞ ba Ψ|ˆ alˆbk |Ψ ab = (1 − |ξ|2 )1+q m,n=0 P (m + q)! m!q! (n + q)! n!q! × ξ ∗m ξ n ba m + q, m|ˆ alˆbk |n + q, n ∞ = (1 − |ξ|2 )1+q m,n=0 × ba m + q, m| (n + q)! n!q! (n + q)! (n)! (n + q − l)! (n − k)! ∞ = (1 − |ξ|2 )1+q m,n=0 × (m + q)! m!q! ab (n + q)! (m + q)! m!q! |n + q − l, n − k (n + q)! n!q! ξ ∗m ξ n δm+q,n+q−l δm,n−k ,   n=m+l =0⇔ ⇒ l = k,  n=m+k ∞ ab (m + q)! m!q! = (1 − |ξ|2 )1+q m=0 (m + l + q)! (m + q)! (m + l + q)! (m + l)!q! (m + l)! √ m! ∞ (m + q)! (m + l + q) (m + q + 1) = (1 − |ξ|2 )1+q m!q! (m + l) (m + 1) m=0 × ab (n − k)! δm+q,n+q−l δm,n−k × ξ ∗m ξ (m+l) ξ ∗m ξ n (n)! (n + q − l)! ⇒ ba Ψ|ˆ alˆbk |Ψ 2 |ξ|2m ξ l (m + l + q) (m + q + 1) × (m + l) (m + 1) ∞ 1+q = (1 − |ξ| ) (m + q)! [(m + l + q) (m + q + 1)]|ξ|2m ξ l m!q! m=0 ∞ 1+q = (1 − |ξ| ) ba Ψ|ˆ a†lˆb†k |Ψ ab l (m + q)! (m + q + j)|ξ|2m ξ l (2.42) m!q! j=1 m=0 = (ba Ψ|ˆ alˆbk |Ψ † ab ) ∞ 1+q = (1 − |ξ| ) l (m + q)! 2m ∗l |ξ| ξ (m + q + j).(2.43) m!q! m=0 j=1 ∞ ba Ψ|ˆ alˆb†k |Ψ ab = (1 − |ξ|2 )1+q m,n=0 (m + q)! m!q! (n + q)! n!q! × ξ ∗m ξ n ba m + q + 1, m + 1|ˆ alˆb†k |n + q + 1, n + P ab 2 ∞ = (1 − |ξ|2 )1+q m,n=0 (n + + k)! (n + 1)! = (1 − |ξ|2 )1+q m,n=0 × (m + q)! m!q! (n + + k)! (n + q + − l)! (n + 1)! δm+q+1,n+q+1−l δm+1,n+1+k ab Ψ|ˆ nla n ˆ kb |Ψ = 0, (ba Ψ|ˆ a†lˆbk |Ψ ab † ab ) =ba m,n=0 × ξ ∗m ξ n ba m + q, m|ˆ nla n ˆ kb |n + q, n = (1 − |ξ|2 )1+q m,n=0 × ba m + q, m| (m + q)! m!q! Ψ|ˆ alˆb†k |Ψ = (1 − |ξ|2 )1+q m,n=0 (m + q)! m!q! (n + q)! n!q! (n + q)! n!q! ξ ∗m ξ n ab (n + q)! n! (n + q − l)! (n − k)! × δm+q,n+q δm,n , δm+q,n+q δm,n = ⇒ m = n ∞ ⇒ nla n ˆ kb |Ψ ab ba Ψ|ˆ 1+q = (1 − |ξ| ) m=0 l 2m × |ξ| j=1 (m + q)! m!q! k (m + q + − j) (m + − j).(2.45) j=1 P ab = 0.(2.44) (n + q)! n!q! ab (n + q)! n! |n + q, n (n + q − l)! (n − k)! ∞ × ξ ∗m ξ n ξ ∗m ξ n (m + q)! m!q! = (1 − |ξ|2 )1+q ∞ δm+q+1,n+q+1−l δm+1,n+1+k ,   m=n−l =0⇔ ⇔l=k=0  m=n+k ∞ ba ab (n + q)! n!q! (n + q + 1)! ⇒ba Ψ|ˆ alˆb†k |Ψ ξ ∗m ξ n (n + q + − l)! |n + q + − l, n + + k ∞ (n + q)! n!q! (n + q + 1)! ×ba m + q + 1, m + 1| × (m + q)! m!q! ∞ ba Ψ|ˆ nla |Ψ ab (m + q)! m!q! = (1 − |ξ|2 )1+q m,n=0 × ξ ∗m ξ n ba m + q, m|ˆ nla |n + q, n ∞ = (1 − |ξ|2 )1+q m,n=0 × ba m + q, m| = (1 − |ξ|2 )1+q m,n=0 (m + q)! m!q! (n + q)! n!q! 2 ξ ∗m ξ n ab (n + q)! n!q! (n + q)! δm+q,n+q δm,n , δm+q,n+q δm,n = ⇒ m = n (n + q − l)! ∞ ⇒ (n + q)! n!q! ab (n + q)! |n + q, n (n + q − l)! ∞ × ξ ∗m ξ n (m + q)! m!q! nla |Ψ ab ba Ψ|ˆ 1+q = (1 − |ξ| ) m=0 (m + q)! m!q! l × |ξ|2m (m + q + − j).(2.46) j=1 ∞ ba Ψ|ˆ nkb |Ψ ab (m + q)! m!q! = (1 − |ξ|2 )1+q m,n=0 × ξ ∗m ξ n ba m + q, m|ˆ nkb |n + q, n ∞ = (1 − |ξ|2 )1+q m,n=0 × ξ ∗m ξ n ba m + q, m| ∞ = (1 − |ξ|2 )1+q m,n=0 × ξ ∗m ξ n (m + q)! m!q! (n + q)! n!q! 2 ab (n + q)! n!q! n! δm+q,n+q δm,n , δm+q,n+q δm,n = ⇒ m = n (n − k)! ∞ ⇒ (n + q)! n!q! ab n! |n + q, n (n − k)! (m + q)! m!q! nkb |Ψ ab ba Ψ|ˆ 1+q = (1 − |ξ| ) (m + q)! m!q! m=0 k 2m (m + − j).(2.47) × |ξ| j=1 P ... trình trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) sở phương trình trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1), sau khảo sát số tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon. .. Trạng thái hai mode kết hợp SU (1,1) 24 2.2 Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) 29 2.3 Khảo sát tính chất nén tổng trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU. .. 2.2 Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) Trên sở dựa vào trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) định nghĩa trạng thái kết hợp thêm photon [7], cách thêm hai photon tích vào hai