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tr➻♥❤ ✭P✳✷✮ ❝â ❞↕♥❣ ψ(z) = Asinkz + Bcoskz ✭P✳✶✮ ✭P✳✷✮ ✭P✳✸✮ ❚ø ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ❤➔♠ sâ♥❣ ψ(0) = ψ(L) = 0✱ t❛ s✉② r❛ B = 0✱ sinkL = ❤❛② k = nπ/L✳ ◆❤÷ ✈➟② ❤➔♠ sâ♥❣ ✈➔ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ ❤↕t ❧➔ ψn (z) = A sin nπ z, (n = 1, 2, 3, ), L ✭P✳✹✮ π2 2 n = n2 E0 , 2mL 2 tr♦♥❣ ✤â E0 = π /2mL ❣å✐ ❧➔ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ ❤↕t ð tr↕♥❣ t❤→✐ ❝ì ❜↔♥✳ En = ❈❤✉➞♥ ❤â❛ ❤➔♠ sâ♥❣ t❛ ✤÷đ❝ L L ψn∗ (z)ψn (z)dz = |A|2 sin2 nπz L dz =|A|2 = 1; L ✭P✳✺✮ L ❍➔♠ sâ♥❣ ❝õ❛ ❤↕t ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤✉➞♥ ❤â❛ ❝â ❞↕♥❣ ⇒A= ψn (z) = nπ sin z, L L P✳✶ (n = 1, 2, 3, ) ✭P✳✻✮ P❤ö ❧ö❝ ✷✿ ❚➻♠ ❤➔♠ sâ♥❣ ✈➔ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ ❤↕t tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ ❧÷đ♥❣ tû t❤➳ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ s➙✉ ❤ú✉ ❤↕♥ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❙❝❤♦r❞✐♥❣❡r ❝❤♦ ❤↕t ð tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ ❝â ❞↕♥❣ d2 ψ(z) 2mc En + ψ(z) = dz ✭P✳✼✮ ✣➦t k = 2mc En / ✱ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭P✳✼✮ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❧↕✐ d2 ψ(z) + k ψ(z) = dz ✭P✳✽✮ ◆❣❤✐➺♠ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭P✳✽✮ ❝â ❞↕♥❣ ψ(z) = Asinkz + Bcoskz ✭P✳✾✮ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❙❝❤☎ ♦r♦❞✐♥❣❡r ❝❤♦ ❤↕t ð ❜➯♥ ♥❣♦➔✐ ❣✐➳♥❣ ❝â ❞↕♥❣ d2 ψ(z) 2mb (En − V0 ) + ψ(z) = dz ✭P✳✶✵✮ ✣➦t κ2 = 2mb (En − V0 )/ ✱ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭P✳✶✵✮ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❧↕✐ d2 ψ(z) + κ2 ψ(z) = dz ✭P✳✶✶✮ ◆❣❤✐➺♠ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭P✳✶✶✮ ❝â ❞↕♥❣ ψ(z) = Ceκz +De−κz ✭P✳✶✷✮ ❍➔♠ sâ♥❣ ð ❝↔ ❜❛ ♠✐➲♥ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❧➔ ψI (z) = Ceκz (z ≤ −a); ψII (z) = Asinkz + Bcoskz ψIII (z) = De−κz (−a ≤ z ≤ a); ✭P✳✶✸✮ (z ≥ a) ❚ø ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ❤➔♠ sâ♥❣ t↕✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❜✐➯♥ z = ±a✿ ψI (−a) = ψII (−a)❀ ψII (a) = ψIII (a)❀ ψI (−a) = ψII (a)❀ ψII (a) = ψIII (a) t❛ ✤÷đ❝ P✳✷ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (C + D)e−κa = 2B cos ka; κ(C + D)e−κa = 2Bk sin ka; (C − D)e−κa = −2A sin ka; (C − D)e−κa = 2Ak cos ka (1) (2) (3) ✭P✳✶✹✮ (4) ❳➨t C + D = 0✱ B = 0✿ ❝❤✐❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✮ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✮ t t ữủ tanka = /k ợ t q✉↔ ♥➔②✱ tø ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭P✳✶✹✮ t❛ s✉② r❛ ✭P✳✶✺✮ C = D = Beκa coska A = 0, ◆❤÷ ✈➟②✱ t❛ ✤➣ ✤÷❛ ❤➔♠ sâ♥❣ ð ❜❛ ♠✐➲♥ ✈➲ ❝ò♥❣ ❤➺ sè ❝❤✉➞♥ ❤â❛ ❇✱ κ(z+a) z ≤ −a; B cos kae ✭P✳✶✻✮ ψ(z) = B cos kz − a ≤ z ≤ a; B cos kae−κ(z−a) z ≥ a ⑩♣ ❞ö♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤✉➞♥ ❤â❛ ψ ∗ (z)ψ(z)dz = 1✱ t❛ ❝â −a cos2 (ka).e2κ(z+a) dz |B| { ✭P✳✶✼✮ −∞ a +∞ cos2 (kz)dz + + −a cos2 (ka).e−2κ(z−a) dz} = a ❚ø ✤â t❛ t➼♥❤ ✤÷đ❝ ❤➺ sè ❝❤✉➞♥ ❤â❛ B ❝â ❞↕♥❣ B= a+ κ cos ka + θ 2k ✭P✳✶✽✮ sin 2ka ❳➨t C − D = 0✱ A = 0✿ ❝❤✐❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✹✮ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✮ t❤❡♦ ✈➳ t❛ ✤÷đ❝ cotκa = −κ/k ✳ ❚ø ❦➳t q✉↔ ♥➔② ✈➔ ❤➺ ✭P✳✶✹✮ t❛ s✉② r❛ B = 0, C = −D = −Aeκa cos ka P✳✸ ✭P✳✶✾✮ ❍➔♠ sâ♥❣ ❝õ❛ ❤↕t ð ❜❛ ♠✐➲♥ ✤÷đ❝ ✤÷❛ ✈➲ ❝ò♥❣ ❤➺ sè ❝❤✉➞♥ ❤â❛ A✱ κ(z+a) z ≤ −a; −Asinkae ✭P✳✷✵✮ ψ(z) = Asinkz − a ≤ z ≤ a; Asinkae−κ(z−a) z ≥ a ❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr➯♥ t❛ t➼♥❤ ✤÷đ❝ ❤➺ sè ❝❤✉➞♥ ❤â❛ A ❝â ❞↕♥❣ A= a+ κ sin ka P✳✹ − 2k cos2ka ✭P✳✷✶✮ P❤ö ❧ö❝ ✸✿ ❚➻♠ ❤➔♠ sâ♥❣ ✈➔ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ ❤↕t tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ ❧÷đ♥❣ tû t❤➳ ♣❛r❛❜♦❧ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❙❝❤♦r❞✐♥❣❡r ❝❤♦ ❤↕t ❝â ❞↕♥❣ d2 ψ(z) 2m + (E − mω z )ψ(z) = dz ✣➦t α = ✭P✳✷✷✮ mω/ z ✈➔ β = 2E/ ω ✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭P✳✷✷✮ trð t❤➔♥❤ d2 ψ(α) + (β − α2 )ψ(α) = dα ✭P✳✷✸✮ ✣➸ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭P✳✷✸✮ ✱ t❛ ①➨t ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ t✐➺♠ ❝➟♥✳ ❑❤✐ α → ±∞✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭P✳✷✸✮ trð t❤➔♥❤ d2 ψ(α) + α2 ψ(α) = dα ✭P✳✷✹✮ ◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭P✳✷✹✮ ❝â ❞↕♥❣ ψ(α) = eα /2 + e−α /2 ✭P✳✷✺✮ ❉♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❣✐ỵ✐ ♥ë✐ ❝õ❛ ❤➔♠ sâ♥❣ ♥➯♥ t❛ ❝❤➾ ❝❤å♥ sè ❤↕♥❣ e−α /2 ✳ ❑❤✐ α ❝â ❣✐→ trà ❜➜t ❦➻ t❤➻ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭P✳✷✹✮ ❝â ❞↕♥❣ ψ(α) = Ae−α /2 f (α) ✭P✳✷✻✮ ▲➜② ✤↕♦ ❤➔♠ () t rỗ t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭P✳✷✹✮ t❛ ✤÷đ❝ f (α) − 2αf (α) + (β − 1)f (α) = 0, ✭P✳✷✼✮ ✤➙② ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❍❡r♠✐t❡✱ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❍❡r♠✐t❡ ❧➔ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ❍❡r♠✐t❡✳ ❇➙② ❣✐í t❛ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭P✳✷✼✮ ữợ ộ ụ tứ ak k f (α) = k=0 P✳✺ ✭P✳✷✾✮ ❚❤❛② ✤↕♦ ❤➔♠ ❜➟❝ ♥❤➜t ✈➔ ❜➟❝ ❤❛✐ ❝õ❛ f (α) ✈➔♦ ✭P✳✷✼✮✱ s❛✉ ✤â ✤÷❛ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ✈➲ ❝ị♥❣ tê♥❣ ∞ t❛ ✤÷đ❝ k=0 ∞ [(k + 1) (k + 2)ak+2 − 2kak + (β − 1)] ak = 0✳ k=0 ❚ø ✤â t❛ s✉② r❛ ak+2 = 2k + − β ak (k + 1)(k + 2) ✭P✳✸✵✮ ❑❤✐ α → ∞✱ ✤➸ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❣✐ỵ✐ ♥ë✐ ❝õ❛ ❤➔♠ sâ♥❣ t❤➻ ❝❤✉é✐ ✭P✳✸✵✮ ♣❤↔✐ ❜à ❝❤➦♥ ð ♠ët sè ❤↕♥❣ ♥➔♦ ✤â✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ trð t❤➔♥❤ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ ♥ ♥➔♦ ✤â✱ ❦❤✐ ✤â an = 0✱ an+2 = t❤➻ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭P✳✸✵✮ trð t❤➔♥❤ 2n + − β = s✉② r❛ β = 2n + ◆❤÷ ✈➟②✱ t❛ t➻♠ ✤÷đ❝ ❜✐➸✉ t❤ù❝ t➼♥❤ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ ❤↕t ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ t❤➳ ♣❛r❛❜♦❧ ❝â ❞↕♥❣ En = n+ ω, (n = 0, 1, 2, ) ✭P✳✸✶✮ ❈æ♥❣ t❤ù❝ ✭P✳✸✶✮ ❝❤♦ t❤➜② ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ ❤↕t ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ t❤➳ ♣❛r❛❜♦❧ ❝â ❣✐→ trà ❣✐→♥ ✤♦↕♥✳ ◆➠♥❣ ❧÷đ♥❣ t❤➜♣ ♥❤➜t ❝õ❛ ❤↕t ù♥❣ ✈ỵ✐ n = ❣å✐ ❧➔ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ✈➔ ❝â ❣✐→ trà E0 = ω ✭P✳✸✷✮ ❍➔♠ sâ♥❣ ❝õ❛ ❤↕t ù♥❣ ✈ỵ✐ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ En ❝â ❞↕♥❣ ψ(α) = An e−α /2 f (α), ✭P✳✸✸✮ tr♦♥❣ ✤â f (α) ❝❤➼♥❤ ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❍❡r♠✐t❡ ❝â ❞↕♥❣ f (α) = Hn (α) = n −α2 n α2 d e (−1) e dαn P✳✻ ✭P✳✸✹✮ ❚ø ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤✉➞♥ ❤â❛ +∞ |ψn (α)|2 dα mω = 1, −∞ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ trü❝ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ❍❡r♠✐t❡ +∞ e−α Hn2 (α)dα = √ π2n n!, −∞ t❛ t➼♥❤ ✤÷đ❝ ❤➺ sè An ❝â ❞↕♥❣ An = √ mω 2n n! π 1/4 ✭P✳✸✺✮ ❍➔♠ sâ♥❣ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤✉➞♥ ❤â❛ ù♥❣ ợ ữủ En õ m () = 1/4 √ e−α /2 Hn2 (α), 2n n! ✭P✳✸✻✮ ❤❛② ψ(z) = mω π 1/4 √ e−(mω/2 n n! P✳✼ )z Hn2 (α) mω z ✭P✳✸✼✮ P❤ö ❧ö❝ ✹✿ ❚➻♠ ❤➔♠ sâ♥❣ ✈➔ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ ❤↕t tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ ❧÷đ♥❣ tû t❤➳ t❛♠ ❣✐→❝ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❙❝❤♦r❞✐♥❣❡r ❝❤♦ ❤↕t ❝â ❞↕♥❣ d2 ψ(z) 2m + (E − eεz)ψ(z) = dz ✭P✳✸✽✮ ❱ỵ✐ t❤➳ ♥➠♥❣ ❧➔ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ t❛ s➩ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❙❝❤♦r❞✐♥❣❡r ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ●✉♥❞❧❛❝❤✳ ❳➨t t❤➳ ♥➠♥❣ V (z) tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ≤ z0 ≤ z ≤ z1 , ✈ỵ✐ V0 = V (z0 ) ✈➔ V1 = V (z1 ) t❛ ❝â V (z) = V0 + V1 − V0 (z − z0 ) z1 − z0 ✭P✳✸✾✮ ✣➦t λ=− 2m 1/3 z1 − z0 V1 − V 1/3 E − V0 + z0 z u(z) = λ − , l = l z1 − z0 2m V1 − V0 V1 − V z1 − z0 , ✭P✳✹✵✮ 1/3 , t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭P✳✸✾✮ trð t❤➔♥❤ d2 ψ(z) + u(z)ψ(z) = dz l ✭P✳✹✶✮ ❚❛ sû ❞ö♥❣ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ d2 ψ(z) d du = dz du dz d du ψ(u(z)) du dz d2 = 2 ψ(u(z)), l du ✭P✳✹✷✮ t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❙❝❤♦r❞✐♥❣❡r ✤÷đ❝ ❝❤✉②➸♥ t❤➔♥❤ ❞↕♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❆✐❘② d2 ψ (u(z)) − u(z)ψ (u(z)) = du2 ◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❆✐❘② ❧➔ ❤➔♠ ❆✐❘② Ai(u(z)) ✈➔ Bi(u(z))✳ ❍➔♠ sâ♥❣ ψ(z) ❧➔ sü ỗ t t t (z) = A.Ai(u(z)) + B.Bi(u(z)), P✳✽ ✭P✳✹✸✮ tr♦♥❣ ✤â ❤➔♠ u(z) ❝â ❞↕♥❣ 2m u(z) = 1/3 2/3 z1 − z0 V1 − V0 (V (z) − E) ✭P✳✹✹✮ ❇✐➸✉ t❤ù❝ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ ❤↕t ❧➔ 1/3 E = V0 − u(z) 2/3 V1 − V0 z1 − z0 2m ✭P✳✹✺✮ ✣➸ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ t❛ ❝❤å♥ z0 = ✈➔ ①➨t ❝→❝ ♠✐➲♥ z ≤ ✈➔ z > ✕ ❚r♦♥❣ ♠✐➲♥ z ≤ r➔♦ t❤➳ ổ t ổ tỗ t sõ ✈➔ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ ❜➡♥❣ ❦❤ỉ♥❣✿ ψ(z) = 0✱ u(z) = 0✱ E = 0❀ ✕ ❚r♦♥❣ ♠✐➲♥ z > ✈ỵ✐ t❤➳ ♥➠♥❣ V (z) = eεz ✱ ❤➔♠ sâ♥❣ ✈➔ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ ❤↕t ❝â ❞↕♥❣ ♥❤÷ s❛✉ ✰ ❍➔♠ sâ♥❣ ❝õ❛ ❤↕t ✭P✳✹✻✮ ψ(z) = A.Ai(u(z)), tr♦♥❣ ✤â 1/3 2m e2 ε2 u(z) = (eεz − E); ✭P✳✹✼✮ , ✭P✳✹✽✮ ✰ ◆➠♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ ❤↕t En = 1/3 2m 2/3 3πeε n− (n = 1, 2, 3, ) ❙û ❞ö♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤✉➞♥ ❤â❛ ∞ |ψ(z)|2 dz = 1, ✭P✳✹✾✮ Ai2 (x)dx = Ai (z) − zAi2 (z), ✭P✳✺✵✮ ✈➔ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ∞ z t❛ t➼♥❤ ✤÷đ❝ ❤➺ sè ❝❤✉➞♥ ❤â❛ A ❝â ❞↕♥❣ 2meε 1/3 A= Ai (λ 0) − λ0 Ai2 (λ0 ) P✳✾ , ✭P✳✺✶✮ tr♦♥❣ ✤â λ0 = −E 2m e2 ε2 P✳✶✵ 1/3 ✭P✳✺✷✮ ... t➻♠ t❤➜② ❤❛✐ ❦➼❝❤ ❝ï ✤ë ♥❤→♠ tứ ỳ ợ số tr r trữớ ❤đ♣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t➟♣ tr✉♥❣ ✈➔♦ ❝÷í♥❣ ✤ë ❤➜♣ tử t ủ ởt số ỵ ữ s ❝÷í♥❣ ✤ë ❤➜♣ ✸✽ t❤ư t➼❝❤ ❤đ♣ tr♦♥❣ ❣✐➳♥❣ ❧÷đ♥❣ tû ✭◗❲✮ ❜➡♥❣ t➼❝❤ ❝õ❛ ✤ë rë♥❣... ■♥●❛❆s✴●❛❆s❙❜ ♥❤÷♥❣ t❤❛② ✤ê✐ ✤ë rë♥❣ ❣✐➳♥❣ ❧÷đ♥❣ tû tø L = 75 ✝ ❆ ❧➯♥ L = 100 ú tổ ữủ ỗ t ữớ tử t ủ I() ỗ t❤à ✤ë rë♥❣ ♣❤ê ❞♦ ✤ë ♥❤→♠ γSR (∆) ♥❤÷ ð ❤➻♥❤ ✸✳✸ ✈➔ ✸✳✹✳ ✹✷ ❍➻♥❤ ✸✳✸✿ ❈÷í♥❣ ✤ë ❤➜♣