Định lượng độ rối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CAO THỊ THANH HÀ ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI PHOTON TÍCH SU(2) LẺ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 62 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TRƯƠNG MINH ĐỨC Thừa Thiên Huế - năm 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình nghiên cứu khác Huế, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn Cao Thị Thanh Hà ii LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy PGS.TS Trương Minh Đức tận tình giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện cho suốt trình học tập nghiên cứu đề tài "Định lượng độ rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ" Tôi xin cảm ơn anh chị, bạn lớp cao học vật lí lí thuyết vật lí tốn K24 giúp đỡ, hỗ trợ tơi suốt trình học tập làm luận văn Trân trọng cảm ơn Khoa Vật lý - Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế tất thầy, cô khoa giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi thời gian nghiên cứu hồn thành luận án Cảm ơn phòng Sau đại học-Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế hỗ trợ tơi hồn thành thủ tục giấy tờ phương tiện học tập Huế, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn Cao Thị Thanh Hà iii DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ 2.1 Sự phụ thuộc tham số đan rối R vào r với giá trị N = 7, 11, 15 ứng với m = n = Các giá trị N ứng với đường màu đỏ, đường màu xanh lục đường màu xanh dương 2.2 35 Sự phụ thuộc entropy tuyến tính M vào r với giá trị N = 7, 11, 15 Các giá trị N ứng với đường màu đỏ, đường màu xanh đường màu đen 3.1 38 Sự phụ thuộc độ trung thực trung bình Fav vào r với giá trị N = 3, 7, 11 ứng với γ = 0, Các giá trị N ứng với đường màu xanh lục, đường màu đỏ đường màu xanh dương 3.2 47 Sự phụ thuộc độ trung thực trung bình Fav vào r với giá trị N = ứng với γ = 0, 6, γ = 0, 4, γ = 0, Các giá trị γ ứng với đường màu xanh lục, đường màu đỏ đường màu xanh dương 3.3 48 Sự phụ thuộc độ trung thực trung bình Fav vào r với N = 3,γ = 0, Đường màu xanh lục ứng với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ, đường màu đỏ ứng với trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ 49 MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Hiện thông tin lượng tử máy tính lượng tử vấn đề thu hút ý nhiều nhà khoa học toàn giới Sở dĩ nhiều nhà khoa học quan tâm ứng dụng thiết thực với sống Cụ thể như, thông tin lượng tử truyền với tốc độ cực nhanh đồng thời đảm bảo tính bảo mật tuyệt đối Trong lĩnh vực tính tốn, áp dụng lí thuyết thơng tin lượng tử cho đời hệ máy tính có tốc độ xử lí nhanh máy tính cổ điển Mục đích quan trọng lý thuyết thông tin lượng tử làm để tạo ra, định hướng sử dụng rối lượng tử, khơng chất học lượng tử mà nguồn tài nguyên hữu dụng cho việc xử lí thơng tin lượng tử Truyền tải thơng tin thơng qua sử dụng tính chất đan rối gọi viễn tải lượng tử Viễn tải lượng tử q trình dịch chuyển thơng tin vật chất tức thời, mà dịch chuyển qua không gian Viễn tải lượng tử thực cách giải mã vật thời điểm gửi thông tin phân tử tới điểm khác, nơi vật tái tạo lại cấu trúc ban đầu Viễn tải lượng tử khai thác để làm cho máy tính lượng tử, mạng lưới viễn thông trở nên nhanh mạnh Với mục đích đó, nhà khoa học tập trung vào khai thác rối lượng tử để nghiên cứu viễn tải lượng tử Hiện nay, việc nghiên cứu đan rối trạng thái sử dụng trạng thái làm nguồn rối cho trình viễn tải lượng tử, sau tìm nguồn rối có độ trung thực trung bình cao hướng nghiên cứu hấp dẫn ngành Vật lí lí thuyết Không nhà khoa học giới quan tâm đến đề tài mà Viêt Nam, vấn đề thơng tin lượng tử, máy tính lượng tử ý Cụ thể, năm 2011, học viên Lê Thị Thu khảo sát tính đan rối chuyển vị lượng tử với trạng thái kết hợp hai mode thêm photon [4] Năm 2013, học viên Lê Thị Thủy khảo sát tính đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode SU(1,1) [3] Năm 2014, học viên Nguyễn Thị Kim Thanh khảo sát tính đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích [2] Năm 2015, học viên Văn Thị Diệu Hiền nghiên cứu tính chất nén bậc cao tính phản chùm trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn [5] Năm 2016, học viên Lê Thị Mai Phương nghiên cứu tính đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn [7] Hiện chưa có nghiên cứu định lượng độ rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) Do đó, tơi chọn đề tài "Định lượng độ rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ" đề tài luận văn thạc sĩ II Mục tiêu đề tài Mục tiêu nghiên cứu đề tài khảo sát tính chất đan rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy Sau đó, chúng tơi định lượng độ rối trạng thái Cuối cùng, sử dụng trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ làm nguồn rối để thực trình viễn tải lượng tử trạng thái kết hợp đánh giá mức độ thành cơng q trình viễn tải thơng qua độ trung thực trung bình III Phạm vi nghiên cứu Trong khuôn khổ luận văn này, sử dụng tiêu chuẩn đan rối Hillerry-Zubairy để nghiên cứu tính đan rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ Sau đó, định lượng độ rối trạng thái tiêu chuẩn entropy tuyến tính Cuối cùng, chúng tơi sử dụng mơ hình viễn tải biến liên tục để thực q trình viễn tải với nguồn rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ mà ta khảo sát IV Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục tiêu đề trên, nhiệm vụ nghiên cứu đề tài là: - Áp dụng tiêu chuẩn đan rối Hillerry-Zubairy để nghiên cứu tính đan rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ - Áp dụng tiêu chuẩn entropy tuyến tính để định lượng độ rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ - Áp dụng mơ hình viễn tải để thực trình viễn tải lượng tử với nguồn rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ đưa độ trung thực trung bình trình viễn tải khảo sát đồ thị V Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: - Sử dụng kiến thức lý thuyết trường lượng tử, phương pháp quang lượng tử cho hệ nhiều hạt để giải toán liên quan đến đề tài nghiên cứu - Phương pháp phân tích số liệu sử dụng phần mềm Mathematica để vẽ đồ thị - Phương pháp so sánh, kiểm chứng VI Bố cục luận văn Ngoài mục lục, phụ lục tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba phần: - Phần mở đầu: Trình bày lý chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu, nội dung nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, bố cục luận văn - Phần nội dung gồm chương: Chương 1: Trình bày sở lý thuyết khái niệm, tính chất trạng thái kết hợp, đưa tiêu chuẩn khảo sát tính chất đan rối, tiêu chuẩn định lượng độ rối, mơ hình viễn tải lượng tử trạng thái kết hợp trạng thái Bell với trình viễn tải lượng tử Chương 2: Trình bày trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ, khảo sát tính đan rối trạng thái theo tiêu chuẩn Hillery-Zubairy, định lượng độ rối theo tiêu chuẩn entropy tuyến tính, Chương 3: Trình bày q trình viễn tải lượng tử với nguồn rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ, đánh giá thành cơng q trình viễn tải độ trung thực trung bình - Phần kết luận trình bày kết đạt đề tài hướng mở đề tài NỘI DUNG Chương CƠ SỞ LÍ THUYẾT Chương trình bày tổng quan khái niệm trạng thái kết hợp, trạng thái kết hợp chẵn lẻ đưa tính chất trạng thái kết hợp, tốn tử dịch chuyển Sau chúng tơi trình bày tiêu chuẩn Hillery-Zubaiy, phương pháp định lượng độ rối, mơ hình viễn tải lượng tải với nguồn rối hai mode trạng thái Bell với trình viễn tải 1.1 Trạng thái kết hợp 1.1.1 Khái niệm Năm 1963 Glauber Sudarshan định nghĩa trạng thái kết hợp |α trạng thái tương ứng với giá trị thăng giáng nhỏ đưa từ hệ thức bất định Heisenberg Trạng thái kết hợp |α trạng thái ˆ (α) lên trạng thái chân tạo cách tác dụng toán tử dịch chuyển D không (là trạng thái mà khơng có hạt kích thích kí hiệu |0 ) trường điện từ ˆ (α) |0 , |α = D (1.1) ˆ (α) = exp (αˆ D a+ − α ∗ a ˆ) toán tử dịch chuyển toán tử a ˆ, với α = r exp (iϕ) tham số kết hợp, r ϕ biên độ pha kết hợp, a ˆ+ , a ˆ toán tử sinh, hủy hạt boson chúng tuân theo hệ thức giao hoán [ˆ a, a ˆ] = a ˆ+ , a ˆ+ = 0, a ˆ, a ˆ+ = a ˆa ˆ+ − a ˆ+ a ˆ = Từ đồng thức Baker – Hausdorff ˆ = exp(A) ˆ exp(B) ˆ exp(− [A, ˆ B]), ˆ exp(Aˆ + B) ˆ B ˆ tốn tử khơng giao hốn với A, Ta đưa biểu thức toán tử dịch chuyển + ˆ a , −α∗ a ˆ]) D(α) = exp(αˆ a+ − α ∗ a ˆ) = exp(αˆ a+ ) exp(−α∗ a ˆ) exp(− [αˆ Mặt khác, ta có αˆ a+ , −α∗ a ˆ = −|α|2 a ˆ+ , a ˆ = |α|2 a ˆ, a ˆ+ = |α|2 Ta viết lại biểu thức toán tử dịch chuyển ˆ (α) = exp (αˆ D a+ ) exp (−α∗ a ˆ) exp − 21 |α|2 (1.2) Khai triển hai thừa số exp (αˆ a+ ) exp (−α∗ a ˆ) theo chuỗi Taylor hàm dạng ex , ta exp αˆ a + (αˆ a+ ) (αˆ a+ )2 =1+ + + = 1! 2! (−α∗ a ˆ) (−α∗ a ˆ)2 exp (−α a ˆ) = + + + = 1! 2! ∞ (αˆ a+ )n n! (1.3) (−α∗ a ˆ)n n! (1.4) n=0 ∞ ∗ n=0 ˆ (α) lên trạng thái chân không |0 Khi tác dụng toán tử dịch chuyển D trường điện từ ta thu ˆ (α) |0 = exp αˆ D a+ exp (−α∗ a ˆ) exp − |α|2 |0 Từ (1.4) (1.5) ta có ˆ (α) |0 = exp αˆ D a + exp − |α|2 ∞ n=0 (−α∗ a ˆ)n |0 n! (1.5) × (γ)N −2m (|γ ∗ − 2A∗ |)2m+2 (N − 2m)! (2m + 2)! d2 (γ − 2A) (3.16) Suy Fav N −1 N = 16N−2 (1 + |ξ|2 )−N exp(−|γ|2 ) π N! ( ) (2n + 1)!(N − 2n − 1)! m=0 n N! ) (ξ)2n+1 (ξ ∗ )2m+1 (2m + 1)!(N − 2m − 1)! √ √ √ √ × N − 2m 2n + N − 2n 2m + ×( × (γ ∗ )N −2n (γ)N −2m (N − 2n)! (N − 2m)! (2n + 2)! (2m + 2)! exp(−|γ − 2A|2 )(|γ − 2A|)2n+2 (|γ ∗ − 2A∗ |)2m+2 d2 (γ − 2A) × (3.17) Sử dụng cơng thức tích phân I= exp −s|β|2 √ π i!j! δi,j β i (β ∗ )j d2 (β) = si+1 (3.18) Ta thu exp(−|γ − 2A|2 )(|γ − 2A|)2n+2 (|γ ∗ − 2A∗ |)2m+2 d2 (γ − 2A) = π(2n+2)! 12n+3 δ2n+2,2m+2 = (3.19) (2n + 2)! Thay (3.19) vào (3.17) ta N −1 Fav = 16N−2 (1 + |ξ|2 )−N exp(−|γ|2 ) ( n=0 × (2n + 2)(N − 2n)(|γ|2 )N −2n (N − 2n)! N −1 = 16N−2 (1 + |ξ|2 )−N exp(−|γ|2 ) ( n=0 × (2n + 1)(|γ|2 )N −2n+1 N! )|ξ|4n+2 (2n + 1)!(N − 2n − 1)! (N − 2n)! 46 N! )|ξ|4n+2 (2n + 1)!(N − 2n − 1)! N −1 = 16N−2 (1 + |ξ|2 )−N exp(−|γ|2 ) ( n=0 × (2n + 2)(|γ|2 )N −2n N! )|ξ|4n+2 (2n + 1)!(N − 2n − 1)! (N − 2n − 1)! (3.20) ξ = tan r Thay vào (3.20) ta N −1 Fav = 16N−2 (1 + |tan r|2 )−N exp(−|2r|2 ) ( n=0 N! ) (2n + 1)!((N − 2n − 1)!)2 × |tan r|4n+2 (2n + 2)(|2r|2 )N −2n , (3.21) 1.0 Fav 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 r Hình 3.1: Sự phụ thuộc độ trung thực trung bình Fav vào r với giá trị N = 3, 7, 11 ứng với γ = 0, Các giá trị N ứng với đường màu xanh lục, đường màu đỏ đường màu xanh dương Dựa vào hình vẽ 3.1, ta thấy chọn giá trị γ = 0, 6, với N = ứng với đường màu xanh lục, độ trung thực trung bình Fav có giá trị nằm khoảng 0, ≤ Fav ≤ 1, ≤ r ≤ 1, Khi giá trị N tăng, ứng với N = ứng với đường màu đỏ N = 11 ứng với đường màu xanh dương trình viễn tải xảy khoảng r hẹp dần, chứng tỏ N bé trình viễn tải xảy tốt Do đó, q trình 47 viễn tải lượng tử thành cơng với độ trung thực trung bình 0, ≤ Fav ≤ 1, ≤ r ≤ 1, Do N bé trình viễn tải xảy tốt nên ta xét giá trị N = ứng với giá trị γ khác để khảo sát độ trung thực trung bình Fav hình vẽ 3.2, ta thấy chọn giá trị N = 3, với γ = 0, ứng với đường màu xanh lục độ trung thực trung bình Fav có giá trị nằm khoảng 0, ≤ Fav ≤ 1, ≤ r ≤ 1, Khi γ giảm, ứng với γ = 0, ứng với đường màu đỏ, γ = 0, đường màu xanh dương trình viễn tải xảy khoảng r hẹp dần Như vậy, ta chọn γ lớn q trình viễn tải thành cơng Do đó, q trình viễn tải lượng tử thành cơng với độ trung thực trung bình 0, ≤ Fav ≤ 1, ≤ r ≤ 1, 1.0 Fav 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 r Hình 3.2: Sự phụ thuộc độ trung thực trung bình Fav vào r với giá trị N = ứng với γ = 0, 6, γ = 0, 4, γ = 0, Các giá trị γ ứng với đường màu xanh lục, đường màu đỏ đường màu xanh dương Bây giờ, ta so sánh độ trung thực trung bình trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ chưa thêm hai photon tích sau thêm hai photon tích 48 1.0 Fa v 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Ξ Hình 3.3: Sự phụ thuộc độ trung thực trung bình Fav vào r với N = 3,γ = 0, Đường màu xanh lục ứng với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ, đường màu đỏ ứng với trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ Nhìn vào hình 3.3 ta thấy việc thêm hai photon tích vào trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ cải thiện đáng kể độ tin cậy trung bình trình viễn tải lượng tử Vì ta dùng cách thêm photon để tăng mức độ thành công trình viễn tải trạng thái kết hợp Như vậy, chương định lượng độ rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ tiêu chuẩn entropy tuyến tính Đồng thời, sử dụng trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ làm nguồn rối để xây dựng mơ hình viễn tải lượng tử đánh giá mức độ thành cơng q trình viễn tải thơng qua độ trung thực trung bình Fav Kết cho thấy trình viễn tải lượng tử thành cơng với độ trung thực trung bình 0, ≤ Fav ≤ 1, ≤ r ≤ 1, Kết lần khẳng định mối quan hệ chặt chẽ độ đan rối nguồn rối hai mode mức độ thành công trình viễn tải lượng tử 49 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi khảo sát tính chất đan rối định lượng độ rối trạng thái hai mode thêm hai photon tích SU(2) lẻ Sau sử dụng trạng thái làm nguồn rối cho trình viển tải lượng tử Các kết luận văn tóm tắt sau: Thứ nhất, chúng tơi trình bày kiến thức sở làm tảng cho việc nghiên cứu chương sau Đặc biệt, tiêu chuẩn đan rối hệ hai mode Hillery-Zubairy, tiêu chuẩn phù hợp để khảo sát tính đan rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) Qua q trình nghiên cứu ta thấy trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ trạng thái đan rối theo tiêu chuẩn Hillery-Zubairy bậc cao, tính đan rối mạnh giá trị r tăng lên trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ đan rối khoảng ≤ r ≤ π2 Từ đó, ta sử dụng trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ làm nguồn rối để viễn tải Thứ hai, định lượng độ rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ tiêu chuẩn entropy tuyến tính Kết cho thấy trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ trạng thái rối mạnh Một lần ta hy vọng thành cơng q trình viễn tải lượng tử cách sử dụng trạng thái làm nguồn rối Thứ ba, sử dụng trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ làm nguồn rối để xây dựng mơ hình viễn tải lượng tử đánh giá mức độ thành cơng q trình viễn tải thơng qua độ trung thực trung bình Fav Ta thấy giá trị N tăng trình viễn tải xảy khoảng r hẹp dần, nên N bé trình viễn tải 50 xảy tốt Còn N không đổi, ta chọn γ nằm khoảng 0, < γ < 0, trình viễn tải thành cơng Nhìn chung, q trình viễn tải lượng tử thành cơng với độ trung thực trung bình 0, ≤ Fav ≤ 1, ≤ r ≤ 1, Kết cho thấy mối quan hệ chặt chẽ độ đan rối nguồn rối mức độ thành cơng q trình viễn tải lượng tử Trên sở kết đạt được, rút kết luận, việc thêm photon vào trạng thái kết hợp làm tăng mức độ thành cơng q trình viễn tải, hướng mở rộng đề tài Vì vậy, ta nghiên cứu viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ (chẵn) với mơ hình tổng số hạt hiệu pha Ngồi thay hai photon tích hai photon tổng vào trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ (chẵn) để đánh giá mức độ đan rối thành cơng q trình viễn tải hướng đề tài 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Trần Thị Thanh Tâm(2015), Khảo sát tính đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon chẵn Luận văn thạc sĩ, trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế Nguyễn Thị Kim Thanh(2014), Khảo sát tính đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích Luận văn thạc sĩ, trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế Lê Thị Thủy(2013), Khảo sát tính đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode SU(1,1) Luận văn thạc sĩ, trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế Lê Thị Thu (2011), Khảo sát tính đan rối chuyển vị lượng tử với trạng thái kết hợp hai mode thêm photon Luận văn thạc sĩ, trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế Văn Thị Diệu Hiền(2015), Nghiên cứu tính chất nén bậc cao tính phản chùm trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn Luận văn thạc sĩ, trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế Võ Tình(2009), Bài giảng quang học lượng tử, trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế Nguyễn Văn Phong (2016) Nghiên cứu tính đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ Đặng Hữu Định (2017) Khảo sát tính chất phi cổ điển vận dụng trạng thái phi cổ điển vào thông tin lượng tử Luận án Tiến sĩ Vật lý, trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế 52 Tiếng Anh Christopher C Gerru, Rainer Grobe (1996), “Two-mode SU(2) and SU(1,1) Schrodinger cat states”, journal of modern optics, vol.44, No.1, 41-53 10 ZHANG Jing, WU Wei, and MENG Shao-Ying (2006), “ Quantum Proper-ties of Two-Mode Squeezed Even and Odd Coherent States”, Department of Physics, Liaoning University, Shenyang 110036, China 11 Trương M D and Nguyễn B A (2004), “ Hillery-Type Squeezing in Fan States”, Journal of the Korean Physical Society, 44, pp 14211426.16 12 Hillery M and Zubairy M S (2006), “ Entanglement conditions for two- mode states”,Phys Rev Lett.96(5),p.050503 13 Hillery M and Zubairy M S (2006), “ Entanglement conditions for two- mode states: Applications”, Phys.Rev A 74(3),p.032333 14 Cochran P.T., Ralph T.C and Milburn G.J (2002), “ Teleportation improve-ment by conditional measurements on the two- mode squeezed vacuum”, Phys Rev A 65(6),p.062306 15 Nha H (2007), “Entanglement condition via SU(2) and SU(1,1) algebra using Schrodinger- Robertson uncertainty relation”, Phys.Rev A 74(1), 014205 16 Agarwal G S and Biswas A (2005), “ Inseparability inequalities for higher oder moments for bipartite systems”, New Journal of Physics 7(1), p.211 53 17 Bennett C.H , Brassard G., Crepeau C., Jozsa R., Pere A., and Wootters W.K (1993), “Teleporting an unknown quantum state via dual classial and Einstein-Podolsky-Rosen channels”, Phys Rev Lett 70(13), p.1895 18 Braunstein S.L and Kimble H.J (1998), “ Teleportation of continuous quan-tum variables”, Phys Rev Lett 80(4), p.869 19 Enk van S J (1999), “ Discrete formulation of teleportation of continuous variables”, Phys Rev A 60(6), 5095 20 Gasbris A., Agarwal G.S (2007), “Quantum teleportation with pairconherent states”, Int Journal of Quant Inf., (1-2),pp.17-22 21 Vaidman L (1994), “Teleportation of cquantum states” Phys Rev A 49(2), 1473 54 PHỤ LỤC Phụ lục Chứng minh công thức (1.9) ∞ a ˆ |α = a ˆ exp − |α|2 n=0 ∞ = exp − |α|2 n=0 ∞ = exp − |α|2 n=0 ∞ = exp − |α|2 = α exp − |α|2 αn √ |n n! αn √ a ˆ |n n! αn √ √ n |n − n! n=0 ∞ ααn−1 (n − 1)! n=0 |n − αn−1 (n − 1)! = α |α |n − (đpcm) Phụ lục Chứng minh công thức (1.26) Ta sử dụng công thức trung gian hàm ξ sau ˆ ˆ f (ξ) = eξ A eξ B ∂f ∂ξ (a) ˆ ˆ ξB ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ξ Aˆeξ Bˆ + eξ Aˆeξ Bˆ B ˆ = Ae ˆ ξ Aˆeξ Bˆ + eξ AˆBe ˆ ξ Bˆ = eξ A Ae + eξ A eξ B B = Ae ˆ ξ Aˆeξ Bˆ + eξ AˆBe ˆ −ξ Aˆeξ Aˆeξ Bˆ = Aˆ + eξ AˆBe ˆ −ξ Bˆ f (ξ) (b) = Ae ˆ ˆ ˆ −ξ A Đặt ϕ (ξ) = eξ A Be ∂ϕ ˆ ˆ −ξ Aˆ ˆ ˆ −ξ Aˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ B ˆ = eξ A AˆBe + eξ A Be −Aˆ = eξ A A, B e−ξ A = A, ∂ξ P.1 ˆ B ˆ =0 theo giả thuyết A, ˆ B ˆ ξ + const ϕ (ξ) = A, ˆ ϕ (0) = const = B Suy ˆ B ˆ ξ+B ˆ ϕ (ξ) = A, (c) Đặt (c) vào (b), ta có ∂f ˆ B ˆ ξ+B ˆ f (ξ) = Aˆ + A, ∂ξ ˆ ˆ ˆ ˆ f (0) = const, f (ξ) = const.eξ (A+B )+ [A,B ]ξ (d) Từ (d) (a) ta có f (0) = const = Suy ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f (ξ) = eξ (A+B )+ [A,B ]ξ = eξ A eξ B Với ξ = 1, ta có ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ eA,B = e− [A,B ] eA eB Phụ lục Chứng minh cơng thức (1.28): Ta có ˆ a+ (α) = exp α∗ a ˆ a (−α) D ˆ − αˆ a+ = exp −αˆ a+ − (−α∗ a ˆ) = D Mặt khác ˆ a−1 (α) = D ˆ a (α) D = exp (αˆ a+ − α∗ a ˆ) ˆ a+ (α) = D ˆ a (−α) = D ˆ a−1 (α) Vậy D P.2 ˆ a+ (α) = exp −αˆ a+ + α ∗ a ˆ =D Phụ lục Chứng minh công thức (1.30): Biến đổi vế trái ta ˆ exp αAˆ exp −αAˆ B (−αAˆ) = 1+ 1! + (−αAˆ) 2! ˆ ˆ ˆ + (αA) + (αA) + + B 1! 2! 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + (−αA) B (αA) + (−αA) B (αA) ˆ + B (αA) + B (αA) + (−αA) B =B 1! 2! 1! 1! 1! 1! 2! 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (−αA) ˆ (−αA) B (αA) (−αA) B (αA) (đpcm) + 2! B + 2! + 2! + 1! 2! 2 ˆ (αAˆ) B (−αAˆ) ˆ (−αAˆ) ˆ (−αAˆ) Bˆ (αAˆ) Bˆ (αAˆ) ˆ =B+ + 1! B + B + 1! + 2! 1! 2! 1! (−αAˆ) ˆ (αAˆ) B 1! + ˆ − α A, ˆ B ˆ + =B + 2! (−αAˆ) 2! α2 2! ˆ (αAˆ)2 B 2! (−αAˆ) Bˆ (αAˆ) + 1! ˆ A, ˆ B ˆ + A, 2! + Phụ lục Chứng minh cơng thức (1.31): Ta có: ˆ a (α) = exp − |α|2 exp αˆ D a+ exp (−α∗ a ˆ) ˆ a (−α) từ (1.18) ta ˆ a−1 (α) = D Mà D ˆ a−1 (α) = exp |α|2 exp (α∗ a D ˆ) exp −αˆ a+ Vì ˆ −1 (α) a ˆ a (α) = exp (α∗ a D ˆD ˆ) exp (−αˆ a+ ) a ˆ exp (αˆ a+ ) exp (−α∗ a ˆ)(*) ˆ Sử dụng cơng thức (1.21), ta có với tốn tử Aˆ B α2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ exp −αA B exp αA = B − α A, B + A, A, B + 2! ˆ =a Nếu Aˆ = a ˆ+ B ˆ, ta có exp (−αˆ a+ ) a ˆ exp (αˆ a+ ) = a ˆ − α [ˆ a+ , a ˆ] = a ˆ + α(**) P.3 Thay (**) vào (*), ta có ˆ −1 (α) a ˆ (α) = exp (α∗ a D ˆD ˆ) (ˆ a + α) exp (−α∗ a ˆ) = exp (α∗ a ˆ) a ˆ exp (−α∗ a ˆ) + α exp (α∗ a ˆ) exp (−α∗ a ˆ) =a ˆ + α∗ [ˆ a, a ˆ] + α =a ˆ+α Phụ lục Chứng minh công thức (1.33): Ta đặt ˆ (α) = exp αˆ D a+ − α ∗ a ˆ = exp Aˆ ˆ (β) = exp βˆ ˆ D a+ − β ∗ a ˆ = exp B, ˆ (α) D ˆ (β) = exp Aˆ exp B ˆ exp − A, ˆ B ˆ D exp ˆ ˆ A, B Và ˆ = exp (αˆ exp Aˆ + B a+ − α ∗ a ˆ + βˆ a+ − β ∗ a ˆ) = exp [(α + β) a ˆ+ − (α∗ + β ∗ ) a ˆ] ˆ (α + β) , =D Nên ˆ (α) D ˆ (β) = D ˆ (α + β) exp A, ˆ B ˆ D Do ta có αβ ∗ − α∗ β ˆ ˆ ˆ D (α) D (β) = D (α + β) exp Phụ lục Chứng minh cơng thức: P.4 Ta có Jˆ+ , Jˆ− = Jˆ+ Jˆ− − Jˆ− Jˆ+ =a ˆ+ˆbˆ aˆb+ − a ˆˆb+ a ˆ+ˆb = a ˆ+ a ˆˆbˆb+ − a ˆa ˆ+ˆb+ˆb ˆ+ a ˆ+a ˆ+ a ˆˆb+ˆb − ˆb+ˆb ˆ+ a ˆ + ˆb+ˆb = a =a ˆ+ a ˆ + ˆb+ˆb − a =a ˆ+ a ˆ − ˆb+ˆb = 2Jˆ3 Vậy Jˆ+ , Jˆ− = 2Jˆ3 Jˆ3 , Jˆ+ = Jˆ3 Jˆ+ − Jˆ+ Jˆ3 = = = = = = 2 2 2 +ˆ + ˆ+ˆb − a ˆ a ˆ − ˆb+ˆb a ˆ+ a ˆ − ˆb+ˆb a ˆ b a a ˆ+ a ˆa ˆ+ˆb − ˆb+ˆbˆ a+ˆb − a ˆ+ˆbˆ a+ a ˆ+a ˆ+ˆbˆb+ˆb a ˆ+ a ˆa ˆ+ˆb − a ˆ+ˆb+ˆbˆb − a ˆ+ a ˆ+ a ˆˆb + a ˆ+ˆbˆb+ˆb a ˆ+ a ˆ+ a ˆ + ˆb − a ˆ+ˆb+ˆbˆb − a ˆ+ a ˆ+ a ˆˆb + a ˆ+ + ˆb+ˆb ˆb a ˆ+ a ˆ+ a ˆˆb + a ˆ+ˆb − a ˆ+ˆb+ˆbˆb − a ˆ+ a ˆ+ a ˆˆb + a ˆ+ˆb+ˆbˆb + a ˆ+ˆb a ˆ+ˆb + a ˆ+ˆb = a ˆ+ˆb = Jˆ+ Tương tự Jˆ3 , Jˆ− = −Jˆ− Vậy Jˆ3 , Jˆ± = ±Jˆ± Phụ lục Chứng minh cơng thức (2.2): Ta có ˆ ˆ Jˆ2 = Jˆ32 + J+ J− + Jˆ− Jˆ+ + +ˆ ˆ+ a ˆ a ˆ − ˆb+ˆb a ˆ+ a ˆ − ˆb+ˆb + a ˆ bˆ ab + a ˆˆb+ a ˆ+ˆb = P.5 +ˆ ˆ + + a+ a ˆ + ˆb+ˆbˆb+ˆb + ab + a ˆˆb+ a ˆ+ˆb a ˆ a ˆa ˆ a ˆ−a ˆ+ a ˆˆb+ˆb − ˆb+ˆbˆ a ˆ bˆ + + + ˆˆ+ ˆ+ˆ + = a ˆ a ˆa ˆ a ˆ−a ˆ+ a ˆˆb+ˆb − ˆb+ˆbˆ a+ a ˆ + ˆb+ˆbˆb+ˆb + a ˆ a ˆbb + b bˆ aa ˆ + + a ˆ a ˆa ˆ a ˆ−a ˆ+ a ˆˆb+ˆb − ˆb+ˆbˆ a+ a ˆ + ˆb+ˆbˆb+ˆb = + ˆ+ˆ + a ˆ a ˆ b b + + ˆb+ˆb a ˆ+ a ˆ+1 + + + = a ˆ a ˆa ˆ a ˆ+a ˆ+ a ˆˆb+ˆb + ˆb+ˆbˆ a+ a ˆ + ˆb+ˆbˆb+ˆb + a ˆ a ˆ + ˆb+ˆb = Jˆ02 + Jˆ0 = Jˆ0 Jˆ0 + = Phụ lục Chứng minh cơng thức (2.12): Chuẩn hóa hàm sóng −N 4N−2 (1 + |ξ| ) N −1 m=0 N −1 × n=0 √ √ N! ∗ 2m+1 2m + N − 2m ( (2m+1)!(N ) (ξ ) −2m−1)! √ 2n+1 √ N! ( (2n+1)!(N 2n + N − 2n ) (ξ) −2n−1)! × N − 2m + 1, 2m + | 2n + 2, N − 2n = −N ⇔ 4N−2 (1 + |ξ| ) N −1 × n=0 N −1 × n=0 √ √ N! ∗ 2n+1 ( (2n+1)!(N ) (ξ ) 2n + N − 2n −2n−1)! √ 2n+1 √ N! ( (2n+1)!(N ) (ξ) 2n + N − 2n = −2n−1)! −N ⇔ 4N−2 (1 + |ξ| ) N −1 × n=0 −N ⇔ 4N−2 (1 + |ξ| ) N −1 × n=0 4n+2 N! ( (2n+1)!(N (2n + 2)(N − 2n) = −2n−1)! )|ξ| 4n+2 N! ( (2n+1)!(N (2n + 2)(N − 2n) = −2n−1)! )|ξ| Vậy −N N− = 21 [(1 + |ξ| ) N −1 n=0 − 21 4n+2 N! ( (2n+1)!(N (2n + 2)(N − 2n)] −2n−1)! )|ξ| (P.1) P.6 ... đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn [7] Hiện chưa có nghiên cứu định lượng độ rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2). .. tỏ trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ trạng thái rối Như vậy, qua khảo sát tính chất đan rối định lượng độ rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ. .. 3.1 Quá trình viễn tải lượng tử với nguồn rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) lẻ Nguồn rối cho q trình viễn tải trạng thái mode kết hợp thêm photon tích SU(2) lẻ đưa biểu