Định lượng độ rối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ PHƯƠNG NI ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI PHOTON TÍCH SU(2) CHẴN Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số : 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC Huế, năm 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình nghiên cứu khác Huế, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Phương Ni ii LỜI CẢM ƠN Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Trương Minh Đức tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình thực Qua đây, xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cơ giáo khoa Vật Lý phịng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế; bạn học viên Cao học khóa 24 gia đình, bạn bè động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi q trình học tập thực luận văn Huế, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Phương Ni iii DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ Đồ thị 2.1 Sự phụ thuộc tham số đan rối R1 vào r với giá trị N=8, 12, 16 ứng với m = n = Các giá trị N chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ nét liền, đường màu xanh lục nét đứt đường màu xanh dương nét đứt 38 Đồ thị 2.2 Sự phụ thuộc entropy tuyến tính M vào r với giá trị N=8, 12, 20 Các giá trị N chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ nét liền, đường màu xanh nét đứt đường màu đen nét đứt 42 Đồ thị 3.1 Sự phụ thuộc độ trung thực trung bình Fav vào r với giá trị N=4, 8, 12 ứng với γ = 0, 59 Các giá trị N chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu xanh lục liền nét , đường màu đỏ nét đứt đường màu xanh dương nét đứt 52 Đồ thị 3.2 Sự phụ thuộc độ trung thực trung bình Fav vào r với giá trị N=4, 8, 12 ứng với γ = 0, 59 Các giá trị N chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu xanh lục liền nét , đường màu đỏ nét đứt đường màu xanh dương nét đứt 53 Đồ thị 3.3 Sự phụ thuộc độ trung thực trung bình Fav vào r với giá trị N=4, 8, 12 ứng với γ = 0, 59 Các giá trị N chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu xanh lục liền nét , đường màu đỏ nét đứt đường màu xanh dương nét đứt 54 MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Ngày với phát triển mạnh mẽ khoa học kỹ thuật cơng nghệ thơng tin, vấn đề làm để truyền tín hiệu xa mà đảm bảo tính lọc lựa cao giảm thăng giáng đến mức thấp vấn đề cấp thiết cho nhà vật lý lý thuyết thực nghiệm Thông tin lượng tử máy tính lượng tử vấn đề thu hút ý nhiều nhà khoa học toàn giới Nguyên nhân ứng dụng thực tiễn mang lại nhiều hiệu phục vụ cho sống người Cụ thể thông tin lượng tử truyền với tốc độ cực nhanh đồng thời đảm bảo tính chất tính bảo mật thơng tin cách tuyệt đối Trong lĩnh vực tính tốn, áp dụng lý thuyết thông tin lượng tử cho đời hệ máy tính có tốc độ xử lý nhanh máy tính cổ điển Xử lý thông tin lượng tử vấn đề mới, rộng lớn có tính bao qt Việc truyền tải thơng tin thơng qua việc sử dụng tính chất đan rối gọi viễn tải lượng tử Đó q trình dịch chuyển thơng tin vật chất tức thời, mà dịch chuyển qua không gian, thực cách giải mã vật thời điểm gửi thông tin phân tử tới điểm khác, nơi vật tái tạo lại cấu trúc ban đầu Viễn tải lượng tử khai thác để làm cho máy tính lượng tử, mạng lưới viễn thông trở nên nhanh mạnh Với mục đích đó, nhà khoa học tập trung vào khai thác rối lượng tử để nghiên cứu viễn tải lượng tử, sau tìm nguồn rối có độ trung thực trung bình cao hướng nghiên cứu nghành vật lý lý thuyết Ở Việt Nam, vấn đề thông tin lượng tử nói chung nhà khoa học đặc biệt quan tâm Năm 2011, học viên Lê Thị Thu khảo sát tính đan rối chuyển vị lượng tử với trạng thái kết hợp hai mode thêm photon [4] Năm 2013, học viên Lê Thị Thủy khảo sát tính đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode SU(1,1) [3] Năm 2014, học viên Nguyễn Thị Kim Thanh khảo sát tính đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích [2] Năm 2015, học viên Văn Thị Diệu Hiền nghiên cứu tính chất nén bậc cao tính phản chùm trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn [5] Năm 2016, học viên Lê Thị Mai Phương nghiên cứu tính đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn [7] Nhận thấy, vấn đề rối lượng tử vấn đề thú vị thu hút ý nhiều điều chưa khám phá ứng dụng to lớn Các khảo sát trạng thái đan rối viễn tải lượng tử số tác giả nghiên cứu chưa có đề tài nghiên cứu định lượng độ rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn Được hướng dẫn Thầy PGS.TS Trương Minh Đức, định chọn đề tài“Định lượng độ rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn ” làm đề tài luận văn cho II Mục tiêu đề tài Mục tiêu đề tài khảo sát tính chất đan rối định lượng độ rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn tiêu chuẩn đan rối Tiếp theo, sử dụng trạng thái làm nguồn rối để thực trình viễn tải lượng tử trạng thái kết hợp đánh giá mức độ thành cơng q trình viễn tải thơng qua độ trung thực trung bình III Phạm vi nghiên cứu Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tơi sử dụng tiêu chuẩn Entropy tuyến tính [8] để định lượng độ rối, tiêu chuẩn đan rối HillerryZubairy [12] để nghiên cứu tính đan rối viễn tải lượng tử trạng thái kết hợp Sau đó, sử dụng mơ hình viễn tải biến liên tục để thực trình viễn tải với nguồn rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn IV Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài chủ yếu tập trung vào nội dung sau: - Nghiên cứu lý thuyết, phân tích tổng hợp kiến thức liên quan như: trạng thái kết hợp, tiêu chuẩn đan rối, mơ hình viễn tải lượng tử với nguồn rối hai mode, trạng thái Bell với trình viễn tải lượng tử - Nghiên cứu định lượng độ rối theo tiêu chuẩn Entropy tuyến tính - Áp dụng tiêu chuẩn đan rối Hillerry-Zubairy để nghiên cứu tính đan rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn - Áp dụng mơ hình viễn tải: tọa độ, xung lượng để thực trình viễn tải lượng tử với nguồn rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn đưa độ trung thực trung bình trình viễn tải khảo sát đồ thị V Phương pháp nghiên cứu Một số phương pháp sử dụng sau: - Phương pháp chung gồm nghiên cứu lý thuyết, phân tích, tổng hợp kiến thức liên quan - Sử dụng kiến thức lý thuyết trường lượng tử phương pháp quang lượng tử cho hệ nhiều hạt để giải toán liên quan đến đề tài nghiên cứu - Phương pháp tính số sử dụng phần mềm Mathematica để vẽ đồ thị - Phương pháp so sánh, kiểm chứng VI Bố cục luận văn Ngoài mục lục, phụ lục tài liệu tham khảo, luận văn chia làm phần: - Phần mở đầu: Trình bày lý chọn đề tài, lịch sử vấn đề, mục tiêu nghiên cứu, nội dung nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, bố cục luận văn - Phần nội dung gồm chương: Chương 1: Trình bày sở lý thuyết Chương 2: Trình bày khảo sát tính đan rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn Chương 3: Trình bày q trình viễn tải lượng tử với nguồn rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn - Trình bày kết đạt đề tài hướng mở đề tài NỘI DUNG Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương chúng tơi trình bày chi tiết trạng thái kết hợp, trạng thái Fock, toán tử dịch chuyển nhằm hình thành tảng kiến thức cho việc nghiên cứu chương sau Ngồi chúng tơi trình bày tiêu chuẩn đan rối HilleryZubairy, định lương độ rối theo tiêu chuẩn Entropy tuyến tính, mơ hình viễn tải biến liên tục để áp dụng vào việc khảo sát tính đan rối, định lượng độ rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn 1.1 Trạng thái kết hợp 1.1.1 Khái niệm Trạng thái kết hợp trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ suy từ hệ thức bất định Heisenberg đưa năm 1963 Glauber Sudarshan, ký hiệu |α với α số phức Đó ˆ (α) lên trạng thái tạo cách tác dụng toán tử dịch chuyển D trạng thái chân khơng (là trạng thái mà khơng có hạt kích thích kí hiệu |0 ) trường điện từ, nghĩa ˆ (α) |0 , |α = D (1.1) ˆ (α) = exp (αˆ với D a+ − α ∗ a ˆ) toán tử dịch chuyển toán tử a ˆ, với α = r exp (iϕ) tham số kết hợp, r ϕ biên độ pha kết hợp, a ˆ+ , a ˆ toán tử sinh, hủy hạt boson trường điện từ 1.0 Fav 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 r Đồ thị 3.2: Sự phụ thuộc độ trung thực trung bình Fav vào r với giá trị N=4, 8, 12 ứng với γ = 0, 59 Các giá trị N chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu xanh lục liền nét , đường màu đỏ nét đứt đường màu xanh dương nét đứt Fav có giá trị nằm khoảng 0, ≤ Fav ≤ 0, ≤ r ≤ 1, Khi giá trị N tăng, ứng với N =8 ứng với đường màu đỏ nét đứt N = 12 ứng với đường màu xanh dương nét đứt trình viễn tải xảy khoảng r hẹp dần, chứng tỏ N bé trình viễn tải xảy tốt Do đó, q trình viễn tải lượng tử thành cơng với độ trung thực trung bình 0, ≤ Fav ≤ 0, ≤ r ≤ 1, trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn Do N bé trình viễn tải xảy tốt nên ta xét giá trị N=4 ứng với giá trị γ khác để khảo sát độ trung thực trung bình Fav hình vẽ 3.2, ta thấy chọn giá trị N=4, với γ = 0, 59 ứng với đường màu xanh lục liền nét độ trung thực trung bình Fav có giá trị nằm khoảng 0, ≤ Fav ≤ 0, ≤ r ≤ 1, Khi γ giảm, ứng với γ = 0, ứng với đường màu đỏ nét đứt trình viễn tải xảy khoảng r hẹp dần Còn N=4 với γ = 0, đường màu xanh dương nét đứt q trình viễn tải khơng thành công Như vậy, ta chọn 53 γ nằm khoảng 0, < γ < 0, 59 trình viễn tải xảy tốt Bây giờ, so sánh độ trung thực trung bình trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn tức trạng thái chưa thêm hai photon tích sau thêm hai photon tích 1.0 Fa v 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Ξ Đồ thị 3.3: Sự phụ thuộc độ trung thực trung bình Fav vào r với giá trị N=4, 8, 12 ứng với γ = 0, 59 Các giá trị N chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu xanh lục liền nét , đường màu đỏ nét đứt đường màu xanh dương nét đứt Nhìn vào hình 3.3 nhận thấy việc thêm hai photon tích vào trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn cải thiện đáng kể độ tin cậy trung bình trình viễn tải lượng tử sử dụng trạng thái thêm photon vào nguồn rối Như vậy, chương sử dụng trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn làm nguồn rối để xây dựng mơ hình viễn tải lượng tử đánh giá mức độ thành công q trình viễn tải thơng qua độ trung thực trung bình Fav Các đường biểu diễn cho thấy độ trung thực trung bình Fav phụ thuộc vào giá trị tham số đưa vào Ta thấy N tăng trình viễn tải xảy 54 khoảng r hẹp dần, nên N bé trình viễn tải xảy tốt Còn N không đổi, ta chọn γ nằm khoảng 0, < γ < 0, 59 trình viễn tải thành cơng Nhìn chung, q trình viễn tải lượng tử thành cơng với độ trung thực trung bình 0, ≤ Fav ≤ 0, ≤ r ≤ 1, Kết cho thấy trình viễn tải lượng tử thành công, kết mong đợi Kết lần khẳng định mối quan hệ chặt chẽ mức độ đan rối nguồn rối mức độ thành cơng q trình viễn tải lượng tử 55 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tiến hành nghiên cứu vấn đề sau: Thứ nhất, chúng tơi tiến hành nghiên cứu tính đan rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn hai tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy Mặt khác, tiến hành định lượng độ rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn tiêu chuẩn Entropy tuyến tính nhằm khẳng định thêm trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn trạng thái rối, khẳng định thành cơng q trình viễn tải lượng tử dựa vào độ trung thực trung bình Thứ hai, chúng tơi sử dụng trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn làm nguồn rối để xây dựng mơ hình viễn tải lượng tử đánh giá mức độ thành công q trình viễn tải thơng qua độ trung thực trung bình Fav đường biểu diễn cho thấy độ trung thực trung bình Fav phụ thuộc vào giá trị tham số đưa vào Ta thấy giá trị N tăng trình viễn tải xảy khoảng r hẹp dần, nên N bé trình viễn tải xảy tốt Cịn N khơng đổi, ta chọn γ nằm khoảng 0, < γ < 0, 59 trình viễn tải thành cơng Nhìn chung, q trình viễn tải lượng tử thành cơng với độ trung thực trung bình 0, ≤ Fav ≤ 0, ≤ r ≤ 1, Kết cho thấy trình viễn tải lượng tử thành cơng, kết hồn hảo mong đợi Kết lần khẳng định mối quan hệ chặt chẽ mức độ đan rối nguồn rối mức độ thành cơng q trình viễn tải lượng tử Trên sở kết đạt được, đề xuất hướng mở 56 rộng đề tài sau: Viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn với mơ hình tổng số hạt hiệu pha Ngồi thay hai photon tích hai photon tổng hai photon tích N photon tích vào trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn để đánh giá mức độ đan rối thành công trình viễn tải hướng đề tài 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Trần Thị Thanh Tâm(2015), Khảo sát tính đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon chẵn Luận văn thạc sĩ, trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế Nguyễn Thị Kim Thanh(2014), Khảo sát tính đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích Luận văn thạc sĩ, trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế Lê Thị Thủy(2013), Khảo sát tính đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode SU(1,1) Luận văn thạc sĩ, trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế Lê Thị Thu (2011), Khảo sát tính đan rối chuyển vị lượng tử với trạng thái kết hợp hai mode thêm photon Luận văn thạc sĩ, trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế Văn Thị Diệu Hiền(2015), Nghiên cứu tính chất nén bậc cao tính phản chùm trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn Luận văn thạc sĩ, trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế Võ Tình(2009), Bài giảng quang học lượng tử, trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế Lê Thị Mai Phương (2016) Nghiên cứu tính đan rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn Đặng Hữu Định (2017) Khảo sát tính chất phi cổ điển vận dụng trạng thái phi cổ điển vào thông tin lượng tử Luận án Tiến sĩ Vật lý, trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế 58 Tiếng Anh Christopher C Gerru, Rainer Grobe (1996), “Two-mode SU(2) and SU(1,1) Schrodinger cat states”, journal of modern optics, vol.44, No.1, 41-53 10 ZHANG Jing, WU Wei, and MENG Shao-Ying (2006), “ Quantum Proper-ties of Two-Mode Squeezed Even and Odd Coherent States”, Department of Physics, Liaoning University, Shenyang 110036, China 11 Trương M D and Nguyễn B A (2004), “ Hillery-Type Squeezing in Fan States”, Journal of the Korean Physical Society, 44, pp 14211426.16 12 Hillery M and Zubairy M S (2006), “ Entanglement conditions for two- mode states”,Phys Rev Lett.96(5),p.050503 13 Hillery M and Zubairy M S (2006), “ Entanglement conditions for two- mode states: Applications”, Phys.Rev A 74(3),p.032333 14 Cochran P.T., Ralph T.C and Milburn G.J (2002), “ Teleportation improve-ment by conditional measurements on the two- mode squeezed vacuum”, Phys Rev A 65(6),p.062306 15 Agarwal G S and Biswas A (2005), “ Inseparability inequalities for higher oder moments for bipartite systems”, New Journal of Physics 7(1), p.211 16 Bennett C.H , Brassard G., Crepeau C., Jozsa R., Pere A., and Wootters W.K (1993), “Teleporting an unknown quantum state via dual classial and Einstein-Podolsky-Rosen channels”, Phys Rev Lett 70(13), p.1895 59 17 Braunstein S.L and Kimble H.J (1998), “ Teleportation of continuous quan-tum variables”, Phys Rev Lett 80(4), p.869 18 Enk van S J (1999), “ Discrete formulation of teleportation of continuous variables”, Phys Rev A 60(6), 5095 19 Gasbris A., Agarwal G.S (2007), “Quantum teleportation with pairconherent states”, Int Journal of Quant Inf., (1-2),pp.17-22 20 Vaidman L (1994), “Teleportation of cquantum states” Phys Rev A 49(2), 1473 60 PHỤ LỤC Phụ lục Chứng minh công thức (1.10) ∞ a ˆ |α = a ˆ exp − |α|2 n=0 ∞ = exp − |α|2 n=0 ∞ = exp − |α|2 n=0 ∞ = exp − |α|2 = α exp − |α|2 αn √ |n n! αn √ a ˆ |n n! αn √ √ n |n − n! n=0 ∞ ααn−1 (n − 1)! n=0 |n − αn−1 (n − 1)! |n − = α |α (đpcm) Phụ lục Chứng minh công thức (1.26) Ta sử dụng công thức trung gian hàm ξ sau ˆ ˆ f (ξ) = eξ A eξ B ∂f ∂ξ (a) ˆ ˆ ξB ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ξ Aˆeξ Bˆ + eξ Aˆeξ Bˆ B ˆ = Ae ˆ ξ Aˆeξ Bˆ + eξ AˆBe ˆ ξ Bˆ = eξ A Ae + eξ A eξ B B = Ae ˆ ξ Aˆeξ Bˆ + eξ AˆBe ˆ −ξ Aˆeξ Aˆeξ Bˆ = Aˆ + eξ AˆBe ˆ −ξ Bˆ f (ξ) = Ae ˆ ˆ ˆ −ξ A Đặt ϕ (ξ) = eξ A Be ∂ϕ ˆ ˆ −ξ Aˆ ˆ ˆ −ξ Aˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ B ˆ = eξ A AˆBe + eξ A Be −Aˆ = eξ A A, B e−ξ A = A, ∂ξ P.1 (b) ˆ B ˆ =0 theo giả thuyết A, ˆ B ˆ ξ + const ϕ (ξ) = A, ˆ ϕ (0) = const = B Suy ˆ B ˆ ξ+B ˆ ϕ (ξ) = A, (c) Đặt (c) vào (b), ta có ∂f ˆ B ˆ ξ+B ˆ f (ξ) = Aˆ + A, ∂ξ ˆ ˆ ˆ ˆ f (0) = const, f (ξ) = const.eξ (A+B )+ [A,B ]ξ (d) Từ (d) (a) ta có f (0) = const = Suy ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f (ξ) = eξ (A+B )+ [A,B ]ξ = eξ A eξ B Với ξ = 1, ta có ˆ ˆ eA+B = e− [A,B ] eA eB ˆ ˆ ˆ ˆ (đpcm) Phụ lục Chứng minh công thức (1.28): Ta có ˆ a+ (α) = exp α∗ a ˆ a (−α) D ˆ − αˆ a+ = exp −αˆ a+ − (−α∗ a ˆ) = D Mặt khác ˆ a−1 (α) = D ˆ a (α) D = exp (αˆ a+ − α∗ a ˆ) ˆ a+ (α) = exp −αˆ a+ + α ∗ a ˆ =D ˆ a+ (α) = D ˆ a (−α) = D ˆ a−1 (α) (đpcm) Vậy D P.2 Phụ lục Chứng minh công thức (1.30): Biến đổi vế trái ta ˆ exp αAˆ exp −αAˆ B (−αAˆ) = 1+ 1! + (−αAˆ) 2! ˆ ˆ ˆ + (αA) + (αA) + + B 1! 2! 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + B (αA) + B (αA) + (−αA) B ˆ + (−αA) B (αA) + (−αA) B (αA) =B 1! 2! 1! 1! 1! 1! 2! 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ −α A B α A −α A B α A −α A ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ( (đpcm) + 2! + 2! + + 2! B 1! 2! 2 ˆ (αAˆ) B (−αAˆ) ˆ (−αAˆ) ˆ (−αAˆ) Bˆ (αAˆ) Bˆ (αAˆ) ˆ =B+ + 1! B + B + 1! + 2! 1! 2! 1! (−αAˆ) ˆ (αAˆ) B 1! + ˆ − α A, ˆ B ˆ + =B + 2! (−αAˆ) 2! α2 2! ˆ (αAˆ)2 B 2! (−αAˆ) Bˆ (αAˆ) + 1! ˆ A, ˆ B ˆ + A, 2! + Phụ lục Chứng minh cơng thức (1.31): Ta có: ˆ a (α) = exp − |α|2 exp αˆ D a+ exp (−α∗ a ˆ) ˆ a−1 (α) = D ˆ a (−α) từ (1.18) ta Mà D ˆ a−1 (α) = exp |α|2 exp (α∗ a D ˆ) exp −αˆ a+ Vì ˆ −1 (α) a ˆ a (α) = exp (α∗ a D ˆD ˆ) exp (−αˆ a+ ) a ˆ exp (αˆ a+ ) exp (−α∗ a ˆ)(*) ˆ Sử dụng cơng thức (1.21), ta có với tốn tử Aˆ B α2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ exp −αA B exp αA = B − α A, B + A, A, B 2! P.3 + ˆ =a Nếu Aˆ = a ˆ+ B ˆ, ta có exp (−αˆ a+ ) a ˆ exp (αˆ a+ ) = a ˆ − α [ˆ a+ , a ˆ] = a ˆ + α(**) Thay (**) vào (*), ta có ˆ −1 (α) a ˆ (α) = exp (α∗ a D ˆD ˆ) (ˆ a + α) exp (−α∗ a ˆ) = exp (α∗ a ˆ) a ˆ exp (−α∗ a ˆ) + α exp (α∗ a ˆ) exp (−α∗ a ˆ) =a ˆ + α∗ [ˆ a, a ˆ] + α =a ˆ+α Phụ lục Chứng minh công thức (1.33): Ta đặt ˆ (α) = exp αˆ D a+ − α ∗ a ˆ = exp Aˆ ˆ (β) = exp βˆ ˆ D a+ − β ∗ a ˆ = exp B, ˆ (α) D ˆ (β) = exp Aˆ exp B ˆ exp − A, ˆ B ˆ D exp ˆ ˆ A, B Và ˆ = exp (αˆ exp Aˆ + B a+ − α ∗ a ˆ + βˆ a+ − β ∗ a ˆ) = exp [(α + β) a ˆ+ − (α∗ + β ∗ ) a ˆ] ˆ (α + β) , =D Nên ˆ (α) D ˆ (β) = D ˆ (α + β) exp A, ˆ B ˆ D Do ta có αβ ∗ − α∗ β ˆ ˆ ˆ D (α) D (β) = D (α + β) exp P.4 (đpcm) Phụ lục Chứng minh công thức (2.2): Ta có Jˆ+ , Jˆ− = Jˆ+ Jˆ− − Jˆ− Jˆ+ =a ˆ+ˆbˆ aˆb+ − a ˆˆb+ a ˆ+ˆb = a ˆ+ a ˆˆbˆb+ − a ˆa ˆ+ˆb+ˆb ˆ+ a ˆ+a ˆ+ a ˆˆb+ˆb − ˆb+ˆb ˆ+ a ˆ + ˆb+ˆb = a =a ˆ+ a ˆ + ˆb+ˆb − a =a ˆ+ a ˆ − ˆb+ˆb = 2Jˆ3 (đpcm) Vậy Jˆ+ , Jˆ− = 2Jˆ3 Jˆ3 , Jˆ+ = Jˆ3 Jˆ+ − Jˆ+ Jˆ3 + +ˆ + a ˆ a ˆ − ˆb+ˆb a ˆ+ˆb − a ˆ b a ˆ a ˆ − ˆb+ˆb 2 + +ˆ ˆ+ˆ +ˆ a ˆ a ˆa ˆ b − b bˆ a b−a ˆ+ˆbˆ a+ a ˆ+a ˆ+ˆbˆb+ˆb = + +ˆ = a ˆ a ˆa ˆ b−a ˆ+ˆb+ˆbˆb − a ˆ+ a ˆ+ a ˆˆb + a ˆ+ˆbˆb+ˆb + + a ˆ a ˆ a ˆ + ˆb − a ˆ+ˆb+ˆbˆb − a ˆ+ a ˆ+ a ˆˆb + a ˆ+ + ˆb+ˆb ˆb = + + ˆ a ˆ a ˆ a ˆb + a ˆ+ˆb − a ˆ+ˆb+ˆbˆb − a ˆ+ a ˆ+ a ˆˆb + a ˆ+ˆb+ˆbˆb + a ˆ+ˆb = +ˆ a ˆ b+a ˆ+ˆb = a ˆ+ˆb = Jˆ+ = Tương tự Jˆ3 , Jˆ− = −Jˆ− = Vậy Jˆ3 , Jˆ± = ±Jˆ± (đpcm) Phụ lục Chứng minh cơng thức (2.4): Ta có ˆ ˆ Jˆ2 = Jˆ32 + J+ J− + Jˆ− Jˆ+ P.5 +ˆ ˆ+ + ˆ+ a ˆ − ˆb+ˆb + ab + a ˆˆb+ a ˆ+ˆb a ˆ a ˆ − ˆb+ˆb a a ˆ bˆ + + +ˆ ˆ = a ˆ a ˆa ˆ a ˆ−a ˆ+ a ˆˆb+ˆb − ˆb+ˆbˆ a+ a ˆ + ˆb+ˆbˆb+ˆb + a ˆ bˆ ab + a ˆˆb+ a ˆ+ˆb + ˆˆ+ ˆ+ˆ + + + a ˆ a ˆa ˆ a ˆ−a ˆ+ a ˆˆb+ˆb − ˆb+ˆbˆ a+ a ˆ + ˆb+ˆbˆb+ˆb + a ˆ a ˆbb + b bˆ aa ˆ = + + = a ˆ a ˆa ˆ a ˆ−a ˆ+ a ˆˆb+ˆb − ˆb+ˆbˆ a+ a ˆ + ˆb+ˆbˆb+ˆb + ˆ+ˆ + a ˆ a ˆ b b + + ˆb+ˆb a ˆ+ a ˆ+1 + + a+ a ˆ + ˆb+ˆbˆb+ˆb = a ˆ a ˆa ˆ a ˆ−a ˆ+ a ˆˆb+ˆb − ˆb+ˆbˆ + ˆ+ˆ + a ˆ a ˆb b + a ˆ+ a ˆ + ˆb+ˆbˆ a+ a ˆ + ˆb+ˆb + + + a+ a ˆ + ˆb+ˆbˆb+ˆb + = a ˆ a ˆa ˆ a ˆ+a ˆ+ a ˆˆb+ˆb + ˆb+ˆbˆ a ˆ a ˆ + ˆb+ˆb (đpcm) = Jˆ02 + Jˆ0 = Jˆ0 Jˆ0 + = Phụ lục Chứng minh công thức (2.6): Sử dụng biểu thức (2.5) tác dụng toán tử lên trạng thái Jˆ+ , trạng thái kích thích thứ nhất, thứ hai, thứ ba, ta √ Jˆ+ |j, −j = 2j |j, −j + Jˆ+ |j, −j + = 2(2j − 1) |j, −j + Jˆ+ |j, −j + = 3(2j − 2) |j, −j + Và tương tự với trạng thái thứ m Jˆ+ |j, m − = (j + m)(j − m + 1) |j, m Từ ta suy Jˆ+j+m |j, −j = (j + m)![2j(2j − 1)(2j − 2) (j − m + 1)] |j, m P.6 |j, m = 1 2 Jˆ+j+m |j, −j ((j + m)!) [2j(2j − 1)(2j − 2) (j − m + 1)] 1 (j + m)! |j, m = ( ) Jˆ+j+m |j, −j (j + m)! 2j(2j − 1)(2j − 2) (j − m + 1) −1 2j! |j, m = ( ) Jˆ+j+m |j, −j (j + m)! (j + m)!(j − m)! j+m −1 |j, m = (C2j ) Jˆ+j+m |j, −j (đpcm) (j + m)! Phụ lục 10 Chứng minh công thức (2.11): j, ζ1 | ζ2 , j = j j j j (1 + |ζ1 |2 ) (1 + |ζ2 |2 ) j+m j+n (C2j ) (C2j ) m=−j n=−j × (ζ1∗ )j+m (ζ2 )j+n m, j | j, n = = j j (1 + |ζ1 | ) (1 + |ζ2 | ) j j (1 + |ζ1 | ) (1 + |ζ2 | ) 2j = j+m ∗ C2j (ζ1 ζ2 )j+m j m=−j 2j ∗ [C2j + C2j (ζ1∗ ζ2 ) + C2j (ζ1∗ ζ2 )2 + + C2j (ζ1 ζ2 )2j ] 2j ∗ + C2j (ζ1∗ ζ2 ) + C2j (ζ1∗ ζ2 )2 + + C2j (ζ1 ζ2 )2j ] (1+ζ1∗ ζ2 ) j 2j j (1+|ζ1 | ) (1+|ζ2 | ) P.7 (đpcm) ... tính đan rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn Chương 3: Trình bày q trình viễn tải lượng tử với nguồn rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn -... đan rối định lượng độ rối trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn tiêu chuẩn đan rối Tiếp theo, sử dụng trạng thái làm nguồn rối để thực trình viễn tải lượng tử trạng thái kết. .. khảo sát trạng thái đan rối viễn tải lượng tử số tác giả nghiên cứu chưa có đề tài nghiên cứu định lượng độ rối viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(2) chẵn Được