Các mặt cực tiểu bất biến trong IH2 x IR

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————————– NGUYỄN NGỌC BÌNH MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN TRONG H2 × R LUẬN VĂN THẠC SĨ HÌNH HỌC - TÔPÔ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Thừa Thiên Huế, năm 2018 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————————– NGUYỄN NGỌC BÌNH MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN TRONG H2 × R Chun ngành: Hình học - Tơpơ Mã số: 60460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ HÌNH HỌC - TÔPÔ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN MINH HOÀNG Thừa Thiên Huế, năm 2018 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu, tìm hiểu riêng tơi, hướng dẫn TS Nguyễn Minh Hoàng Một số kết sử dụng tác giả khác có trích dẫn thích nguồn gốc Nguyễn Ngọc Bình i Lời cảm ơn Luận văn hồn thành hướng dẫn giảng viên TS Nguyễn Minh Hồng Tơi xin cảm ơn Cơ tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến q Thầy Khoa Tốn, Thầy cô tham gia giảng dạy trường thầy cô khác giúp đỡ suốt q trình học tập Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, anh chị Cao học Tốn khóa XXV trường ĐHSP Huế chun ngành Hình học - Tơpơ giúp đỡ q trình học tập vừa qua Ngày 15 tháng 11 năm 2018 Học viên thực Nguyễn Ngọc Bình ii Lời nói đầu Cho H2 mặt phẳng hyperbolic Khác với hình học mặt phẳng Euclid, mặt phẳng hyperbolic, qua điểm nằm ngồi đường thẳng hyperbolic, có vơ số đường thẳng hyperbolic qua mà khơng cắt đường thẳng cho Xét đa tạp Riemann tích H2 × R mặt phẳng hyperbolic với đường thẳng Euclid Đây đa tạp Riemann chiều 3, bên cạnh không gian Euclid R3 = R2 × R, đa tạp Riemann H2 × R số mơ hình hình học Thurston (Các hình học đóng vai trị nguyên tố để xây dựng tất hình học chiều 3) Lí thuyết mặt cực tiểu H2 × R có lẽ bắt đầu nghiên cứu Nelli Rosenberg năm 2002 tiếp tục nghiên cứu nhiều thời gian gần Rosenberg nhiều nhà toán học khác Khi nghiên cứu mặt cực tiểu H2 × R, người ta xây dựng nhiều nhất, tường minh ví dụ mặt cực tiểu đầy đủ Một mặt, ví dụ cho thấy phong phú mặt cực tiểu H2 × R Mặt khác, chúng đóng vai trị mơ hình để giải tốn phân loại mặt cực tiểu Bên cạnh đó, cách kĩ thuật, mặt cực tiểu cụ thể thường sử dụng chắn để kiểm sốt q trình lấy giới hạn dãy mặt cực tiểu Xuất phát từ lí trên, chúng tơi chọn đề tài "Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R" để bước đầu tìm hiểu lí thuyết phong phú sâu sắc mặt cực tiểu Lớp ví dụ đơn giản mặt cực tiểu H2 × R mặt cực tiểu bất biến tác động nhóm tham số đẳng cự H2 × R Luận văn trình bày cách xác định phương trình mặt cực tiểu cho loại mặt để từ đưa cách xây dựng mặt cực tiểu cụ thể Phương pháp nghiên cứu chủ yếu sử dụng kĩ thuật hình học vi phân phương trình vi phân thường Luận văn trình bày hai chương Chương đầu kiến thức chuẩn bị mặt phẳng hyperbolic, trắc địa, đẳng cự loại đẳng cự mặt phẳng hyperbolic Chương sau trình bày tính chất đa tạp iii iv Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R Riemann tích H2 × R, xây dựng phương trình mặt cực tiểu cho họ mặt cực tiểu bất biến mặt cực tiểu thẳng đứng, mặt cực tiểu xoắn elliptic, xoắn parabolic xoắn hyperbolic, từ chúng tơi tìm mặt cực tiểu bất biến nhờ việc giải phương trình vi phân Một số kí hiệu viết tắt Độ dài hyperbolic ∇H Gradien hyperbolic EllipticE(∗) Tích phân Elliptic (một hàm ∗) H v Danh sách hình vẽ 1.1 Hình minh họa cho chứng minh 2.1 2.2 Mặt cực tiểu xoắn elliptic H2 × R (d = l = 1) Một phần mặt cực tiểu kiểu Scherk (d = 1, l = 0) H2 × R bất biến qua phép tịnh tiến hyperbolic Mặt cực tiểu xoắn parabolic H2 × R (d = l = 1) Đường sinh mặt cực tiểu nhúng l = d Lớp các đường sinh mặt cực tiểu nhúng thay đổi d cố định l = Đường sinh mặt cực tiểu nhúng thay đổi l cố định d = 31 2.3 2.4 2.5 2.6 vi 36 38 39 40 40 Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Lời nói đầu iii Một số kí hiệu viết tắt v Danh sách hình vẽ v Mặt phẳng hyperbolic 1.1 Mơ hình mặt phẳng hyperbolic 1.2 Trắc địa hyperbolic 1.3 Đẳng cự hyperbolic 1.4 Phân loại đẳng cự hyperbolic: đẳng cự kiểu parabolic, đẳng cự kiểu elliptic, đẳng cự kiểu hyperbolic 1.4.1 Đẳng cự parabolic 1.4.2 Đẳng cự hyperbolic 1.4.3 Đẳng cự elliptic 1 15 16 16 17 18 18 19 22 22 25 27 32 Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R 2.1 Đa tạp Riemann H2 × R 2.1.1 Một vài tính tốn 2.1.2 Một số đẳng cự H2 × R 2.2 Đồ thị cực tiểu thẳng đứng H2 × R 2.3 Mặt cực tiểu thẳng đứng 2.4 Mặt cực tiểu xoắn elliptic 2.5 Mặt cực tiểu xoắn hyperbolic vii Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R viii 2.6 Mặt cực tiểu xoắn parabolic 36 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 MỤC LỤC Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R 29 Sử dụng công thức Kozul, ta 2< X Y, Z = X < Y, Z > +Y < X, Z > −Z < X, Y > với X, Y, Z ∈ {∂ρ; ∂θ; ∂t}, ta có: ∂ρ ∂θ = coth(ρ)∂θ, ∂θ ∂ρ = coth(ρ)∂θ, ∂θ ∂θ = − sinh(ρ) cosh(ρ)∂ρ Các X Y lại với X, Y ∈ {∂ρ, ∂θ, ∂t} Các hệ số dạng thứ nhất: E = Xρ , Xρ = + u2ρ , F = Xρ , Xθ = uρ uθ , G = Xθ , Xθ = sinh2 ρ + u2θ Véc tơ pháp tuyến đơn vị: N= Xρ × Xθ |Xρ × Xθ | Lưu ý {∂ρ, sinh ρ ∂θ, ∂t} sở trực chuẩn định hướng dương T (H × R) Do đó: ∂ρ × ∂θ = (sinh ρ)∂t = −∂θ × ∂ρ, ∂θ × ∂t = (sinh ρ)∂ρ = −∂t × ∂θ, ∂t × ∂ρ = ∂θ = −∂ρ × ∂t sinh ρ Do Xρ × Xθ = (∂ρ + uρ ∂t) × (∂θ + uθ ∂t) = ∂ρ × ∂θ + uρ ∂t × ∂θ + uθ ∂ρ × ∂t uθ = (sinh ρ)∂t − uρ (sinh ρ)∂ρ − ∂θ sinh ρ −uθ = −uρ sinh ρ, , sinh ρ sinh ρ W : = |Xρ × Xθ | = uρ sinh2 ρ + u2θ + sinh2 ρ (−uρ sinh2 ρ, −uθ , sinh2 ρ) ⇒N = W sinh ρ CHƯƠNG MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN TRONG H2 × R Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R 30 Ta có Xρ Xρ = ∂ρ+uρ ∂t (∂ρ + uρ ∂t) = ∂ρ ∂ρ + uρρ ∂t = uρρ ∂t, Xρ Xθ = ∂ρ+uρ ∂t (∂θ + uθ ∂t) = ∂ρ ∂θ + uρθ ∂t = coth ρ∂θ + uρθ ∂t, Xθ Xθ = ∂θ+uθ ∂t (∂θ + uθ ∂t) = ∂θ ∂θ + uθθ ∂t = − sinh ρ cosh ρ∂ρ + uθθ ∂t Các hệ số dạng thứ hai: e= f= g= (sinh2 ρ)uρρ , W sinh ρ −(cosh ρ)uθ sinh ρ + (sinh2 ρ)uρθ , Xρ Xθ , N = W sinh ρ uρ (sinh3 ρ) cosh ρ + uθθ sinh2 ρ X , N = Xθ θ W sinh ρ Xρ Xρ , N = H = ⇔ eG − 2f F + gE = ⇔ (sinh2 ρ + u2θ )(sinh2 ρ)uρρ + (1 + u2ρ )uρ (sinh3 ρ) cosh ρ + (1 + u2ρ )(sinh2 ρ)uθθ + 2uρ u2θ (cosh ρ) sinh ρ − 2uρ uθ (sinh2 ρ)uρθ = (2.3) Bây giờ, trở lại với trường hợp đặc biệt u(ρ, θ) = λ(ρ) + lθ với l số, phương trình (2.3) trở thành: sinh ρ(sinh2 ρ + l2 )λ + (1 + λ )λ (sinh2 ρ) cosh ρ + 2λ l2 cosh ρ = ⇔ sinh ρ(sinh2 ρ + l2 )λ + λ cosh ρ (1 + λ ) sinh2 ρ + 2l2 = (2.4) Bổ đề 2.4.2 Phương trình (2.4) tương đương với λ sinh2 ρ l2 + sinh2 ρ + λ sinh2 ρ = Do λ sinh4 ρ = d2 l2 + sinh2 ρ + λ sinh2 ρ (2.5) với d số λ sinh2 ρ l +sinh2 ρ+λ sinh2 ρ Chứng minh Ta lấy đạo hàm √ kết mong muốn CHƯƠNG MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN TRONG H2 × R Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R 31 Chú ý, helicoid có từ tích phân (2.5) d = Giả sử d = 0, phép tịnh tiến thẳng đứng lên hay phép đối xứng qua mặt phẳng xy , từ (2.5) đường sinh đồ thị cực tiểu t = λ(ρ) mặt cực tiểu xoắn ∆ × R cho ρ l2 + sinh2 r λ(ρ) = d a sinh r sinh r dr, d = sinh a (2.6) − d2 Từ (2.6), cho d = l = 1, ta có mặt cực tiểu xoắn elliptic hình (2.1) Hình 2.1: Mặt cực tiểu xoắn elliptic H2 × R (d = l = 1) Ta ký hiệu t = λ ◦ ρ(R) := λ(ρ(R)) hàm độ cao, với R khoảng cách Euclid {x2 + y < 1} tính từ gốc Ta có dλ ◦ ρ = λ (ρ)(1 + cosh ρ) dR d2 λ ◦ ρ = λ (ρ)(1 + cosh ρ)2 + λ (ρ)(sinh ρ)(1 + cosh ρ) dR (2.7) Trong hầu hết kết sau này, ta có họ mặt nhúng với độ cong Gaus K = −1 Định lí 2.4.3 Hàm sinh t = λ ◦ ρ(R) của√ phép dìm cực tiểu bất biến qua phép −1 xoắn hàm lõm tăng ngặt với R > 1+d cắt trực giao với trục x d √ 1+d2 −1 Khi ρ → ∞ nghĩa R → t = λ ◦ ρ có giới hạn hữu hạn đường d tiếp tuyến đến đồ thị có góc giới hạn α với trục x cho tan α = d Do đó, mở rộng đồ thị cách đối xứng qua trục x ta đường cong nhúng đầy đủ với độ cao bị chặn tạo mặt dìm cực tiểu đầy đủ thực ∆ × R Mỗi mặt tương đương bảo giác với mặt phẳng H2 Trong phép cộng, l > √12 cho tham số d, ta mặt cực tiểu nhúng xoắn liên thông đơn Nếu l = 1, mặt có độ cong Gaus K = −1 CHƯƠNG MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN TRONG H2 × R Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R 32 Chứng minh Tham khảo [5] 2.5 Mặt cực tiểu xoắn hyperbolic Dùng tọa độ cực cho mơ hình nửa phẳng, ta có x = eϕ cos ρ, y = eϕ sin ρ, t = λ(ρ) + lϕ, < ρ < π Khi ta có mơ hình H2 × R là: {(ϕ, ρ, t) ∈ R3 |ρ ∈ (0, π)}, với metric Riemannn g= (dϕ2 + dρ2 ) + dt2 sin ρ Trong mục này, ta xác định mặt cực tiểu H2 × R bất biến tác động đẳng cự (ϕ, ρ, t) → (ϕ + h, ρ, t + lϕ), l số cố định cịn h ∈ R Các mặt tham số bất biến tác động nhóm phép đẳng cự có dạng: (ϕ, s) → ϕ, ρ(s), t(s) + lϕ Vì thế, bắt đầu với việc xét mặt tham số (ϕ, ρ, u(ϕ, ρ)), u hàm trơn Mệnh đề 2.5.1 Cho u : Ω → R hàm trơn Ω tập mở R × (0; π) Khi đó, mặt tham số X : Ω → H2 × R, (ϕ, ρ) → ϕ, ρ, u(ϕ, ρ) mặt cực tiểu u thỏa mãn phương trình + u2ρ sin2 ρ uϕϕ − 2uϕ uρ uϕϕ + + u2ϕ sin2 ρ uρρ − (u2ϕ + u2ρ ) cos ρ uρ = (2.8) sin ρ Chứng minh Ta có Xϕ = (1, 0, uϕ ) = ∂ϕ + uϕ ∂t Xρ = (0, 1, uρ ) = ∂ρ + uρ ∂t Sử dụng công thức Kozul: 2< X Y, Z = X < Y, Z > +Y < X, Z > −Z < X, Y > CHƯƠNG MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN TRONG H2 × R Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R 33 với X, Y, Z ∈ {∂ϕ, ∂ρ, ∂t}, ta có: cos ρ ∂ρ, sin ρ − cos ρ ∂ρ, ∂ρ ∂ρ = sin ρ − cos ρ ∂ϕ ∂ϕ ∂ρ = ∂ρ ∂ϕ = sin ρ ∂ϕ ∂ϕ = Các ∂X Y lại 0, với X, Y ∈ {∂ϕ, ∂ρ, ∂t} Các hệ số dạng thứ nhất: E = Xϕ , Xϕ = + u2ϕ , sin2 ρ F = Xϕ , Xρ = uϕ uρ , G = Xρ , Xρ = + u2ρ sin ρ Vì {sin ρ∂ϕ, sin ρ∂ρ, ∂t} sở trực chuẩn, định hướng dương T (H2 × R) nên ∂ϕ × ∂ρ = ∂t = −∂ρ × ∂ϕ, sin2 ρ ∂ρ × ∂t = ∂ϕ = −∂t × ∂ρ, ∂t × ∂ϕ = ∂ρ = −∂ϕ × ∂t Ta có Xϕ × Xρ = (∂ϕ + uϕ ∂t) × (∂ρ + uρ ∂t) = ∂ϕ × ∂ρ + uϕ ∂t × ∂ρ + uρ ∂ϕ × ∂t = ∂t − uρ ∂ϕ − uρ ∂ρ sin2 ρ = −uϕ , −uρ , sin ρ |Xϕ × Xρ | = ⇒N = u2ϕ + u2ρ sin ρ + sin4 ρ (−(sin2 ρ)uϕ , −(sin2 ρ)uρ , 1) sin2 ρ(u2ϕ + u2ρ ) + = (−(sin2 ρ)uϕ , −(sin2 ρ)uρ , 1) V với V = sin2 ρ(u2ϕ + u2ρ ) + CHƯƠNG MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN TRONG H2 × R Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R 34 Ta có Xϕ Xϕ Xϕ Xρ = ∂ϕ+uϕ ∂t (∂ϕ + uϕ ∂t) = ∂ϕ ∂ϕ + uϕϕ ∂t = cos ρ ∂ρ + uϕϕ ∂t sin ρ = ∂ϕ+uϕ ∂t (∂ρ + uρ ∂t) = ∂ϕ ∂ρ + uϕρ ∂t = Xρ Xρ − cos ρ ∂ϕ + uϕϕ ∂t sin ρ = ∂ρ+uρ ∂t (∂ρ + uρ ∂t) = ∂ρ ∂ρ + uρρ ∂t = − cos ρ ∂ρ + uρρ ∂t sin ρ Các hệ số dạng thứ hai: e= Xϕ Xϕ , N = V f= Xϕ Xρ , N = V g= Xρ Xρ , N = V uϕϕ − cos ρ uρ + , sin ρ sin2 ρ uϕρ cos ρ u + , ϕ sin3 ρ sin2 ρ uρρ cos ρ uρ + sin ρ sin2 ρ Vậy H = ⇔ eG − 2f F + gE = cos ρ + u uρ + uρρ ϕ sin ρ sin2 ρ cos ρ − 2uρ uϕ uϕ + uϕϕ = sin ρ ⇔ ⇔ + u2ρ sin2 ρ + uϕϕ − 2uϕ uρ uϕϕ + + u2ρ sin ρ + u2ϕ sin2 ρ − cos ρ uρ + uϕϕ sin ρ uρρ − (u2ϕ + u2ρ ) cos ρ uρ = sin ρ Bây giờ, trở lại với trường hợp đặc biệt u(ϕ, ρ) = λ(ρ) + lϕ với l ∈ R số, phương trình (2.8) trở thành + l2 sin2 ρ λ − λ (λ + l2 )(cos ρ)(sin ρ) = CHƯƠNG MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN TRONG H2 × R (2.9) Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R 35 Bổ đề 2.5.2 Phương trình (2.9) tương đương với λ + l2 sin2 ρ + λ sin2 ρ = d (2.10) d số Chứng minh Chứng minh tương tự Bổ đề (2.4.2) Theo (2.10) ta suy đường sinh mặt cực tiểu xoắn hyperbolic θ t = λ(θ) = d ∗ + l2 sin2 ρ − d2 sin2 ρ dρ (2.11) Tất mặt xoắn hyperbolic có từ cơng thức ổn định đồ thị thẳng đứng cho t=λ arccot x y + l ln(x2 + y ) Chú ý, λ = d = ta mặt cực tiểu ổn định liên thông đơn nhúng đầy đủ H2 × R bất biến qua xoắn hyperbolic Định nghĩa (R, θ) → (R cos θ, R sin θ, l ln R), R > 0, < θ < π Thực theo (2.10) (2.11) với θ = ρ, R = eϕ Họ tham số mặt cực tiểu đồ thị thẳng đứng tồn mặt phẳng hyperbolic, cho cơng thức phi tham số sau t= l ln(x2 + y ), y > (2.12) Giả sử d = 1, l = (2.11), ta mặt cực tiểu kiểu Scherk, bất biến qua phép tịnh tiến hyperbolic có cơng thức: t = ln x2 + y + y x , y > 0, x > (2.13) Giả sử d = 21 , l = (2.11) ta mặt cực tiểu đầy đủ nhúng ổn định bất biến khác qua phép xoắn hyperbolic CHƯƠNG MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN TRONG H2 × R Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R 36 Hình 2.2: Một phần mặt cực tiểu kiểu Scherk (d = 1, l = 0) H2 × R bất biến qua phép tịnh tiến hyperbolic Định lí 2.5.3 Bất mặt bất biến qua xoắn hyperbolic H2 × R tham số hóa địa phương tọa độ tự nhiên s, τ Cho S mặt xoắn hyperbolic, tồn họ 2-tham số F(m, l), m = chứa mặt bất biến qua tịnh tiến hyperbolic, cho phần tử họ mặt xoắn hyperbolic đẳng cự với S cho m2 U (s) = + l2 sin ρ sin2 ρ(1 + l2 sin2 ρ) ρ (s) = + l2 sin2 ρ + sin2 ρ(λ (ρ))2 2 m4 U U ρ (s) = (m2 U − l2 )2 (m2 U − l2 − 1) λ ◦ ρ(s) = mU τ ϕ(s, τ ) = −l m (m2 U − l2 )(m2 U − l2 − 1) − m4 U U (m2 U − l2 ) (m2 U − l2 − 1) (2.14) ds (m2 U − l2 )(m2 U − l2 − 1) − m4 U U mU (m2 U − l2 ) m2 U − l2 − 1) Chứng minh Chứng minh tương tự Định lý (2.6.5) 2.6 Mặt cực tiểu xoắn parabolic Trong mục này, tìm mặt cực tiểu H2 × R, H2 nửa mặt phẳng Poincare, bất biến tác động đẳng cự (x, y, t) → (x + h, y, t + lx) , CHƯƠNG MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN TRONG H2 × R (2.15) Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R 37 với l số cố định h ∈ R Các mặt tham số bất biến tác động nhóm phép đẳng cự có dạng (x, y) → x, y, λ(y) + lx Vì thế, bắt đầu với việc xét mặt tham số (x, y, u(x, y)), u hàm trơn Mệnh đề 2.6.1 Đồ thị hàm số u(x, y) = λ(y) + lx mặt cực tiểu H2 × R khi: (1 + y l2 )λ − yλ (l2 + λ ) = (2.16) Chứng minh Theo Mệnh đề (2.2.1), ux = l, uy = λ nên + y u2x )uyy + (1 + y u2y )uxx − 2y ux uy uxy − yuy (u2x + u2y ) = ⇔ (1 + y l2 )λ − yλ (l2 + λ ) = Mệnh đề 2.6.2 Phương trình (2.16) tương đương với: λ + y (l2 + λ ) = (2.17) Do đó: λ + y (l2 + λ ) (2.18) = d, với d số Chứng minh Chứng minh tương tự Bổ đề (2.4.2) Theo (2.18) ta suy đường sinh mặt cực tiểu xoắn parabolic θ t = λ(θ) = d ∗ + l2 y − d2 y dy Với trường hợp d = l = (2.19), ta có mặt cực tiểu hình (2.3) CHƯƠNG MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN TRONG H2 × R (2.19) Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R 38 Hình 2.3: Mặt cực tiểu xoắn parabolic H2 × R (d = l = 1) Ta cần định nghĩa tích phân sau: Định nghĩa 2.6.3 Tích phân Elliptic đầy đủ loại thứ hai định nghĩa hàm k sau: π EllipticE(k) = 1 − k sinθ dθ = 0 √ − k t2 √ dt − t2 Tích phân elliptic khơng đầy đủ loại thứ hai có dạng lượng giác ϕ − k sin2 θdθ EllipticE(ϕ, k) = EllipticE(ϕ|k ) = E(sin ϕ, k) = Định lí 2.6.4 (Về tồn mặt cực tiểu nhúng) a Nửa mặt phẳng Euclid nghiêng: t = lx, y > (2.20) tạo nên họ tham số mặt cực tiểu ổn định liên thông đơn nhúng đầy đủ H2 × R bất biến qua xoắn parabolic Hai mặt họ với l khác không đẳng cự với Nếu l = ta có mặt phẳng hyperbolic b Giả sử d = 0, đường sinh có cách dán lại với đồ thị thẳng đứng lồi t = λ(y), ≤ y ≤ d1 thẳng đứng y = d1 đối xứng thẳng đứng Ta có họ đồ thị nằm ngang y = g(x, t, d, l), d = mặt cực tiểu đầy đủ, nhúng, liên thông đơn, bất biến qua xoắn parabolic Cố định tham số d thay đổi l, ta họ biến dạng không đẳng cự mặt cực tiểu Daniel- Hauswirth, nữa, hai mặt với bước l khác không đẳng cự Chứng minh Tham khảo [4] CHƯƠNG MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN TRONG H2 × R 39 Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R Chú ý 1 Cho t = λ(y) = λ(y, d, l), y ≤ d1 , d = đường sinh mặt cực tiểu nhúng cho định lý (2.6.4) Bằng việc dán t = λ(y) với đối xứng Schwarz lại với nhau, cho 2EllipticE −l2 d2 −λ(y), ta đường cong nhúng tạo mặt cực tiểu nhúng Với ξ > 0, ta định nghĩa f (y) := λ(ξy), y ≤ ξd Khi f (y) thỏa phương trình mặt cực tiểu (2.16) với bước ξl tham số ξd Lúc này, kết mặt cực tiểu đạt mặt hình học, cách áp dụng phép tịnh tiến ngang (x, y, λ(y) + lx) → (ξx, ξy, λ(y) + lx) đến mặt ban đầu Do đó, cho d = l ta phân lớp tập mở mặt phẳng thẳng đứng yt(y > 0) cho họ tham số đường cong nhúng đầy đủ tạo họ tham số mặt cực tiểu nhúng Một vài đường cong vẽ hình (2.4) Hình 2.4: Đường sinh mặt cực tiểu nhúng l = d Khi cố định l = cho d chạy khoảng (0, ∞), ta phân lớp nửa mặt phẳng thẳng đứng yt, y > 0, t > cách tạo đường cong mặt cực tiểu nhúng, xoắn parabolic, cho phân lớp tập mở không gian xung quanh Xét số dương d1 , d2 với d1 > d2 , λ(y, d1 , 1) > λ(y, d2 , 1) y ≤ d1 , ý λ( d1 ) = EllipticE( − d12 ) hàm giảm ngặt theo biến d thỏa λ( d1 ) → ∞ d → λ( d1 ) → π2 d → ∞ Do đó, ta suy d2 < d1 , đường sinh có từ λ(y, d1 , 1) đối xứng Schwarz nâng lên lũy thừa đường cong hoàn toàn xác định λ(y, d1 , 1) đối xứng Schwarz (Xem hình (2.5).) CHƯƠNG MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN TRONG H2 × R 40 Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R Hình 2.5: Lớp các đường sinh mặt cực tiểu nhúng thay đổi d cố định l = Vì vậy, ta phân lớp tập mở không gian xung quanh mặt cực tiểu xoắn parabolic bước l = Cuối cùng, ta thấy t = λ(y, 1, l), y ≤ cho ta họ đường sinh biến dạng khơng đẳng cự với mặt cực tiểu Daniel-Hauswirth, có cách cố định d = biến đổi bước l Ta mặt cực tiểu nhúng cách dán t = λ(y, 1, l) + lx, y ≤ với đối xứng Schwarz lại với nhau, nói trước Chú ý họ đường sinh có tính tự cắt Hình ; 1; 2; (2.6) có vài ví dụ với l = 100 Hình 2.6: Đường sinh mặt cực tiểu nhúng thay đổi l cố định d = CHƯƠNG MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN TRONG H2 × R Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R 41 Định lí 2.6.5 Bất kỳ mặt bất biến qua xoắn parabolic H2 × R tham số hóa địa phương tọa độ tự nhiên s, τ Cho S mặt xoắn parabolic có họ hai tham số F(m, l), m = chứa mặt bất biến qua tịnh tiến parabolic cho phần tử họ mặt xoắn parabolic đẳng cự với S cho m2 U (s) = ρ2 = + l2 y2 y (1 + y l2 ) + y l2 + y (λ (y))2 m4 U U ρ (s) = (m2 U − l2 )3 mU λ ◦ ρ(s) = (2.21) (m2 U − l2 ) − m4 U U (m2 U − l2 )3 τ ϕ(s, τ ) = −l m (m2 U − l2 ) − m4 U U mU (m2 U − l2 )3 ds ds Chứng minh Tham khảo [4] Hệ 2.6.6 Cho S mặt xoắn parabolic cực tiểu bất biến qua xoắn parabolic với bước l nhúng chìm vào H2 × R tham số hóa tham số tự nhiên s, τ Cho d tham số cho (2.18) • Nếu d = m2 U = e±2 √ 1−4H (s−so ) + l2 (2.22) − 4H (s − so )) (2.23) • Nếu d > m2 U − l2 = 2|H|.d d + cosh( − 4H − 4H Chứng minh Tham khảo [4] CHƯƠNG MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN TRONG H2 × R Kết luận Luận văn trình bày số tính chất mặt phẳng hyperbolic, trắc địa, đẳng cự, loại đẳng cự mặt phẳng hyperbolic, không gian H2 × R, tính chất đa tạp Riemann tích H2 × R, xây dựng phương trình mặt cực tiểu cho họ mặt cực tiểu bất biến mặt cực tiểu thẳng đứng, mặt cực tiểu xoắn elliptic, xoắn parabolic xoắn hyperbolic, từ chúng tơi tìm mặt cực tiểu bất biến nhờ việc giải phương trình vi phân Nội dung xây dựng phân loại mặt cực tiểu bất biến qua nhóm phép đẳng cự tham số H2 × R 42 Tài liệu tham khảo [1] Alan F Beardon (1995), The geometry of discrete groups, volume 91 of Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York [2] Barbara Nelli and Harold Rosenberg (2002), Minimal surfaces in H2 × R, Bull Braz Math Soc (N.S.), 33(2):263–292 [3] Harold Rosenberg (2002), Minimal surfaces in M2 × R, Illinois J Math, 46(4):1177–1195 [4] Ricardo Sa Earp (2008), Parabolic and hyperbolic screw motion surfaces in H2 × R, J Aust Math Soc, 85(1):113–143 [5] Ricardo Sa Earp and Eric Toubiana (2005), Screw motion surfaces in H2 ×R and S2 × R, Illinois J Math, 49(4):1323–1362 [6] Tobias Holck Colding and William P Minicozzi, II (2011), A course in minimal surfaces, volume 121 of Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Providence, RI [7] Caroline Series, With assistance from Sara Maloni, Figures by Sara Maloni and Khadija Farooq (2010), Hyperbolic geometry 43 ... x? ?1 + 11 x x + Γ12 x? ? x? ? + Γ21 x? ? x? ? + + Γ31 x? ? x? ? + Γ32 x? ? x? ? + Γ33 x? ?3 x? ?3 = x? ? + x x + x x˙ + Γ2 x? ? x? ? + + Γ2 x? ? x? ? + Γ2 x? ? x? ? + Γ2 x? ? x? ? 11 1 12 21 31 32 33 3   x? ?3 + 311 x x + 312 x? ?... x? ? x? ? + Γ321 x? ? x? ? + + Γ331 x? ? x? ? + Γ332 x? ? x? ? + Γ333 x? ?3 x? ?3 CHƯƠNG MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN TRONG H2 × R =0 =0 Một số mặt cực tiểu bất biến H2 × R 22 ⇔   1 x? ?1 x2 x x x2 x x x? ? + x2 ... −2u 2x u2 − uxx − + x U u u u (−uuxt ) , Xx Xt , N = uU u2 − uutt Xt Xt , N = uU t Xx Xx , N = = (−u 2x − − uuxx ), U CHƯƠNG MỘT SỐ MẶT CỰC TIỂU BẤT BIẾN TRONG H2 × R ∂u ∂u) Một số mặt cực tiểu bất