Đang tải... (xem toàn văn)
Để giúp các sĩ tử năm nay chuẩn bị học 12 và thi TNQG có kết quả tốt nhất,giúp các em dễ dàng ôn thi nhất thì Thầy đã biên soạn xong tài liệu tổng hợp các công thức toán học cần thiết để học và ôn tập có hiệu quả với các công thức từ lớp 10 đến 12 có hình ảnh minh họa rõ ràng đã được thông qua kiểm tra kĩ lưỡng.Mong các em HS và các đồng nghiệp ủng hộ
Sổ Tay Cơng Thức Tốn THPT(lưu hành nội bộ) Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Công thức Các cung liên quan đặc biệt Các công thức sin α + cos α = • + tan α = • cos α 1 + cot α = sin α • Cos đối: • Sin bù: • tan α = sin α cos α cot α = cos α sin α • • • sin ( −α ) = − sin α cos ( −α ) = cos α tan ( −α ) = − tan α cot −α = − cot α ) ( sin ( π − α ) = sin α cos ( π − α ) = − cos α tan ( π − α ) = − tan α cot π − α = − cot α ) ( tan α cot α = Tính chất sin(α + k 2π ) = sin α • • • cos(α + k 2π ) = cos α tan(α + kπ ) = tan α π sin − α ÷ = cos α π cos − α ÷ = sin α 2 tan π − α = cot α ÷ cot π − α = tan α ÷ • Phụ chéo: • Khác pi tan cơ: cot(α + kπ ) = cot α • Công thức cộng sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b • • • • sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b sin ( α + π ) = − sin α cos ( α + π ) = − cos α tan ( α + π ) = tan α cot α + π = cot α ) ( Công thức nhân đơi • • sin 2α = sin α cos α cos 2α = cos α − sin α = − 2sin α = 2cos α − Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Tốn THPT(lưu hành nội bộ) • tan a + tan b tan(a + b) = − tan a tan b tan(a − b) = • • Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng tan α tan 2α = − tan α tan a − tan b + tan a tan b Công thức hạ bậc sin a = • − cos 2a • cos a = + cos 2a • tan a = − cos 2a + cos 2a • • • Cơng thức biến đổi tổng thành tích • • cos 3a = cos a − 3cos a tan a − tan a tan 3a = − tan a a+b a−b cos 2 a+b a−b cos a − cos b = −2sin sin 2 sin a sin b = cos ( a − b ) − cos ( a + b ) sin a + sin b = 2sin • sin 3a = 3sin a − 4sin a Công thức biến đổi tích thành tổng cos a cos b = cos ( a + b ) + cos ( a − b ) cos a + cos b = cos • Cơng thức nhân ba a+b a −b cos 2 a+b a−b sin a − sin b = cos sin 2 • • • sin a cos b = sin ( a + b ) + sin ( a − b ) 2: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC y = cosx y = sinx Hàm số Hàm số Tập xác định: Tập giá trị: D=¡ T=[ − 1;1] Tập xác định: Tập giá trị: D=¡ T=[ − 1;1] Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Tốn THPT(lưu hành nội bộ) T = 2π Tuần hoàn với chu kì: y = sin(ax + b) ⇒ Hàm số tuần hồn với chu kì 2π T= a Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng T = 2π Tuần hoàn với chu kì: y = cos(ax + b) ⇒ Hàm số tuần hồn với chu 2π T= a kì Là hàm số lẻ: Vì sin( − x) = − sinx Là hàm số chẵn: Vì cos( − x) = cosx Đồ thị: Là đường hình sin (đối xứng qua Đồ thị: Là đường hình sin (đối xứng qua gốc trục Oy) tọa độ) y = tanx y = cotx Hàm số Hàm số π D = ¡ \ + kπ k ∈ ¢ 2 Tập xác định: sinx tanx = cosx ≠ cosx Vì nên đk Tập giá trị: T =¡ Tuần hồn với chu kì: y = tan(ax + b) ⇒ Hàm số tuần hồn với chu kì π a Là hàm số lẻ : Vì Tập xác định: cosx cotx = sinx ≠ sinx Vì nên đk Tập giá trị: T =π T= D = ¡ \ { kπ k ∈ ¢} T =¡ T =π Tuần hồn với chu kì: y = cot(ax + b) ⇒ Hàm số tuần hồn với chu π T= a kì tan( − x) = − tanx Đồ thị: Đối xứng qua gốc tọa độ cot ( − x) = − cot x Là hàm số lẻ : Vì Đồ thị: Đối xứng qua gốc tọa độ Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ) Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng 3: CƠNG THỨC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Các phương trình (loại 1) • • • • Các phương trình (loại 2) u = α + k 2π sin u = sin α ⇔ u = π − α + k 2π u = α + k 2π cos u = cos α ⇔ u = −α + k 2π • m ≤1 Điều kiện: tan u = tan α ⇔ u = α + kπ cot u = cot α ⇔ u = α + kπ • π + k2π u = arcsin m + k 2π cos u = m ⇔ u = − arcsin m + k 2π m ≤1 * Các phương trình sin đặc biệt sin x = ⇔ x = u = arcsin m + k 2π sin u = m ⇔ u = π − arcsin m + k π • Điều kiện: tan u = m ⇔ u = arctan m + kπ Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Tốn THPT(lưu hành nội bộ) π sin x = −1 ⇔ x = − + k2π sin x = ⇔ x = kπ Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng cot u = m ⇔ u = arctan m + kπ • Chú ý: Chỉ dùng cơng thức loại biến đổi loại * Các phương trình cos đặc biệt cos x = ⇔ x = k2π cos x = −1 ⇔ x = π + k2π cos x = ⇔ x = π + kπ - 4: MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP Bất đẳng thức Côsi Với số thực dương: • Cho a + b ≥ ab a , b, c , d ∈ ¡ , ta có: ac + bd ≤ a + b c + d a1 = b Dấu xảy • ( ac + bd ) a + b + c ≥ abc • Bất đẳng thức Bunnhiacopxki a=b=c Dấu xảy a1 + a2 + + an ≥ n n a1a2 an ≤ ( a2 + b2 ) ( c2 + d ) Dấu xảy ad = bc • Dấu xảy : a1 = a2 = = an Bất đẳng thức trị tuyệt đối Với hai số thực, ta có: a − b ≤ a+b ≤ a + b • a −b ≤ a−c + c −b • a ≥a • Một số BĐT khác • Bất đẳng thức tam giác a , b, c Cho độ dài ba cạnh tam giác b−c < a < b+c Ta có: • Bất đẳng thức vectơ r r r r r r a1 + a2 + + an ≤ a1 + a2 + + an Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Tốn THPT(lưu hành nội bộ) a ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b Dấu xảy hướng • • Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng r r r ⇔ a1 ; a2 ; ; an a ≤ −b a ≥b⇔ a ≥ b đôi 5: CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Định lí Viet thuận Phương trình bậc hai ( • Tổng nghiệm: ax + bx + c = −b S = x1 + x2 = a P = x1.x2 = • Tích nghiệm: ) c a Điều kiện nghiệm phương trình bậc hai • • • • Có nghiệm trái dấu Định lí Viet đảo α + β = S α, β α β = P Nếu hai số có: chúng nghiệm phương trình: x − Sx + P = Phương trình bậc hai chứa tham số thỏa điều kiện cho trước ⇔ a.c < Có nghiệm dấu • ∆ > ⇔ P > Có nghiệm dương Có nghiệm âm x1 < a < x ∆ > ⇔ S > P > ∆ > ⇔ S < P > x − a < ∆ > ⇔ ⇔ x2 − a > ( x1 − a )( x2 − a ) < x1 < x < a • ∆ > x1 − a < ⇔ ⇔ ( x1 − a) + ( x2 − a ) < x2 − a < ( x − a)( x − a) > a < x1 < x • ∆ > x1 − a > ⇔ ⇔ ( x1 − a) + ( x2 − a ) > x2 − a > ( x − a)( x − a) > Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Tốn THPT(lưu hành nội bộ) Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng 6: MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN TRỊ TUYỆT ĐỐI Định nghĩa tính chất trị tuyệt đối PT BPT chứa dấu trị tuyệt đối Định nghĩa • A A ≥ A = -A A A B ⇔ B > A2 > B 7: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Phương trình chứa • A ≥ A= B⇔ A = B Bất phương trình chứa • A ≥ A< B⇔ A < B Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Tốn THPT(lưu hành nội bộ) B ≥ A = B⇔ A = B • • • Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng A ≥ A < B ⇔ B > A < B2 A ≥ B < A > B⇔ B ≥ A > B2 8: ĐẠI SỐ TỔ HỢP Quy tắc cộng Quy tắc nhân Cơng việc có nhiểu phương án thực hiện: Phương án 1: m1 cách Phương án 2: m2 cách … Phương án n: mn cách Để hoàn thành cơng việc có: m1+ m2+…+ mn cách Cơng việc có nhiểu giai đoạn thực hiện: Giai đoạn 1: m1 cách Giai đoạn 2: m2 cách … Giai đoạn n: mn cách Để hồn thành cơng việc có: m1 m2… mn cách Hốn vị • Chỉnh hợp Định nghĩa: Mỗi cách xếp tất n phần tử tập hợp A cho trước theo trật tự định gọi n • hốn vị Số hốn vị: • Tính chất: • • Tổ hợp • Định nghĩa: Mỗi tập gồm k phần tử tập hợp A gồm n phần tử cho trước tập hợp A gồm n phần tử cho trước chỉnh hợp chập k Pn = n ! = 1.2.3.4 n 0! = 1! = 1 theo trật tự định gọi phần tử • Định nghĩa: Mỗi cách xếp k phần tử Số chỉnh hợp: Chú ý: n phần tử n! Ank = ( n−k)! Ann = Pn Xác suất • Định nghĩa: Xác suất biến cố Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm A: Sổ Tay Cơng Thức Tốn THPT(lưu hành nội bộ) n tổ hợp chập k • • Số tổ hợp: n( A) + Cnk = Cnn − k C • phần tử n! Cnk = k !( n − k ) ! Tính chất 1: Tính chất 2: k −1 n −1 Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng n( A) P ( A) = n (Ω ) +C k n −1 + =C k n n ( Ω) số kết biến cố A số kết không gian mẫu P ( A) = − P A • Tính chất: ( ) Với Nhị thức Niutơn • biến cố đối A Bảy đẳng thức đáng nhớ Công thức: ( a + b) n = Cn0 a n + Cn1a n −1b + + Cnn b n n = ∑ Cnk a n− k b k Số hạng thứ k+1: • ( a + b ) = a + 2ab + b 2 • ( a − b ) = a − 2ab + b 2 k =0 • A Tk +1 = Cnk a n − k b k • ( a + b ) = a + 3a 2b + 3ab + b 3 • ( a − b ) = a − 3a 2b + 3ab − b3 • a − b = (a − b)(a + b) • a − b = (a − b)(a + ab + b ) • a + b = (a + b)(a − ab + b ) 9: GIỚI HẠN Các giới hạn Quy tắc tính giới hạn hữu hạn Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Tốn THPT(lưu hành nội bộ) Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng Giới hạn điểm lim x = x0 lim f ( x) = L x → x0 lim g ( x ) = M x → x0 x → x0 • lim c = c Nếu thì: • lim [ f ( x ) ± g ( x )] = L ± M x → x0 • x → x0 • lim [ f ( x).g ( x) ] = L.M Giới hạn vô cực x → x0 lim c = c • • x →±∞ x → x0 c lim = x →±∞ x (c số) lim x = +∞ k • x →+∞ ( k ∈¥ ) Nếu lim x k = −∞ x →−∞ (k lẻ) • Hàm số liên tục • Hàm số liên tục điểm Cho y = f(x) xác định khoảng K x0 ∈ K lim f (x) = f (x ) • + Nếu x0 ∃ lim f (x) x →x0 f(x) liên tục lim f (x) ≠ f (x ) x → x0 + Nếu f(x) khơng liên tục (gián đoạn) x0 x → x0 ( k chẵn) x →x0 f ( x) = L lim x → x0 lim f ( x) = L ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = L lim x = +∞ x →−∞ ( M ≠ 0) f ( x) ≥ lim f ( x) = L x→ x0 x → x0 k • f ( x) L = g ( x) M • lim Cho x → x0 Quy tắc tính giới hạn vơ cực Quy tắc (Giới hạn tích) lim f ( x) = ±∞ x → x0 lim g ( x) = L ≠ x → x0 lim [ f ( x ).g ( x) ] lim f ( x) Dấu L +∞ ± ±∞ −∞ ± m∞ x → x0 x → x0 • Quy tắc ( Giới hạn thương) Chú ý: Đồ thị hàm số liên tục f ( x) = L ≠ xlim khoảng đường liền nét khoảng →x lim g ( x ) = • Định lý: Nếu hs y = f(x) liên tục đoạn x→ x [a; b] f(a).f(b) < phương trình Cho f ( x) Dấu L Dấu g(x) f (x) = lim x→ x g ( x) có nghiệm thuộc khoảng (a;b) ± ±∞ + 0 Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Tốn THPT(lưu hành nội bộ) Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng 21: KHỐI ĐA DIỆN Khối chóp Khối lăng trụ S Thể tích: V = B h Thể tích: V = B h D O C Khối chóp tam giác S.ABC Lăng trụ đều: + Đáy tam giác + Hình chiếu đỉnh trọng tâm đáy + Các cạnh bên + Là lăng trụ đứng + Đáy đa giác + Các cạnh bên Khối chóp tứ giác S.ABCD Khối hộp chữ nhật: + Đáy hình vng + Hình chiếu đỉnh giao điểm AC BD + Các cạnh bên V = abc S Tỉ số thể tích B’ A’ VS.A ¢B ¢C ¢ SA ¢ SB ¢ SC ¢ = VS.ABC SA SB SC A C’ B C Khối lập phương: V = a3 Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Tốn THPT(lưu hành nội bộ) Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng 22: MẶT TRÒN XOAY Mặt nón Mặt trụ A r D Đường sinh: Đường cao: h l = OM l h = OI Bán kính đáy: r = IM B S xq = π rl r C Diện tích xung quanh: Diện tích đáy: Sđ = π r Stp = Sđ + S xq = π r + π rl Diện tích tồn phần: Thể tích: Đường sinh: Đường cao: V = π r 2h l = DC h = AB = l Bán kính đáy: r = AD = BC S xq = 2π rl Diện tích xung quanh: Diện tích tồn phần: Stp = S đ + S xq = 2π r + 2π rl = 2π r (r + l ) V = π r 2h Thể tích: Mặt cầu Diện tích mặt cầu: Thể tích khối cầu: S = 4π R V = π R3 Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Tốn THPT(lưu hành nội bộ) Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng Giao của mặt cầu mặt phẳng Chú ý: OH = d (O, (P)) Trường hợp mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến đường trịn bán kính OH = R − r 2 r , ta có: 23: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Tọa độ vectơ Tọa độ điểm r r a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ), k ∈ ¡ Cho Tổng hiệu vectơ: r r a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) Tọa độ vectơ : uuu r AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA ) Tích vectơ với số: r ka = (ka1; ka2 ; ka3 ) Độ dài đoạn thẳng: Hai vectơ nhau: AB = a1 = b1 r r a = b ⇔ a2 = b2 a = b Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: Cácrvectơ đặc biệt: r r r = (0; 0; 0), i = (1; 0;0), j = (0;1; 0), k = (0; 0;1) Hai vectơ phương: r r a phương r r b(b ≠ 0) (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 ⇔ r r a = kb (k ∈ R) x +x y +y z +z M = A B; A B; A B ÷ 2 Tọa độ trọng tâm tam giác ABC: x +x +x y +y +y z +z +z G= A B C ; A B C ; A B C ÷ 3 Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Tốn THPT(lưu hành nội bộ) a1 = kb1 a a a ⇔ a2 = kb2 ⇔ = = , (b1 , b2 , b3 ≠ 0) b1 b2 b3 a = kb Tích vơ hướng của hai vectơ: rr a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 ⇒ Hệ quả: r r a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = r a= Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: xA + xB + xC + xD xG = yA + yB + yC + yD yG = z + z + z = A B zC + zD G a12 + a22 + a32 Độ dài vectơ: Góc hai vectơ: rr a.b r r cos(a, b) = r r = a.b a1b1 + a2 b2 + a3b3 a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 r r r a, b ≠ (với ) Tích có hướng của hai vectơ: r r a a, b = b a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 a2 ; ÷ b1 b1 b2 ÷ Một số cơng thức mở rộng Khoảng cách: uuur uuu r AM , AB d(M ,AB) = AB uuu r uuur uuur AB, CD AC d ( AB, CD) = uuur uuur AB, CD d ( M , ( P )) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C Góc: Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ) Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng uuur uuur AB.CD cos( AB, CD) = uuur uuur AB CD r cos ( AB,( P) ) = cos ( AB, nP ) r r cos ( ( P),(Q) ) = cos nP , nQ ( ) Thể tích: Khối hộp uuu r uuur uuur V = AB, AD AA ' ABCD A 'B'C'D' Khối tứ diện : ABCD V= : uuur uuur uuur AB, AC AD 24: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG, MẶT TRONG KHƠNG GIAN Phương trình mặt cầu I (a; b; c) • Phương trình mặt cầu (tâm ( x − a) R , bán kính ) + ( y – b) + ( z – c ) = R2 2 Dạng 1: x + y + z – 2ax – 2by – 2cz + d = Dạng 2: (dạng khai triển) Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Tốn THPT(lưu hành nội bộ) a + b2 + c – d > Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng Điều kiện: I (a; b; c ) , bán kính Tâm R = a2 + b2 + c2 – d Mặt phẳng qua điểm Công thức: M ( x0 ; y0 ; z ) Phương trình mặt phẳng , có vectơ pháp tuyến r n = ( A; B; C) A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Dạng khai triển: Ax + By + Cz + D = Đặc biệt: z =0 Mp(Oxy): Mp(Oxz): y=0 x=0 Mp(Oyz): r r a, b Chú ý: Nếu hai vectơ không phương, (α ) có giá song song nằm ta có (α ) VTPT mặt phẳng là: r r r n = [a , b ] PT mặt phẳng theo đoạn chắn (đi qua điểm (α) : A ( a;0;0 ) , B ( 0; b; ) , C ( 0;0; c ) ): x y z + + =1 a b c Khoảng cách từ điểm d ( M; ( α ) ) = M ( x0 ; y0 ; z ) α : Ax + By + Cz + D = đến mặt phẳng : Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C Vị trí tương đối hai mp (α) : A1 x + B1 y + C z + D1 = mp (β) : A2 x + B2 y + C z + D2 = Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm : Sổ Tay Cơng Thức Tốn THPT(lưu hành nội bộ) ( A ; B ; C ) = k ( A2 ; B2 ; C2 ) (α ) P( β ) ⇔ 1 D1 ≠ kD2 Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng ( A1 ; B1 ; C1 ) = k ( A2 ; B2 ; C2 ) (α ) ≡ ( β ) ⇔ D1 = kD2 (α ) ∩ ( β ) ⇔ ( A1; B1; C1 ) ≠ k ( A2 ; B2 ; C2 ) r r (α ) ⊥ ( β ) ⇔ n1.n2 = ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = Phương trình đường thẳng Phương trình tham số của đường thẳng ( qua điểm M ( x0 ; y0 ; z ) , có vectơ phương r u = (a1 ; a2 ; a3 ) ) x = x0 + a1t ∆ : y = y0 + a2t (t ∈ R) z = z + a t ∆: x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 Dạng tắc Khoảng cách từ M ∆ (khi a1a2 a3 ≠ d ( M , ∆) = ) uuuuuu r MM , ur∆ r u∆ đến đường thẳng : x = x0 + a t Δ : y = y0 + a2 t z = z + a t Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: r r uuuuuuur u , u′ M 1M d ( ∆1 , ∆ ) = r r u , u ′ M ∈ ∆1; M ∈ ∆ (với ) Vị trí tương đối hai đường thẳng: + r r u = ku ′ ∆ P∆′ ⇔ M ∈ ∆ ⇒ M ∉ ∆′ x = x0 + a t Δ : y = y0 + a t z = z + a t và (với x = x0 + a1′ t ′ Δ' : y = y0 + a 2′ t ′ z = z + a′ t ′ x = x0 + a1′ t ′ Δ' : y = y0 + a2′ t ′ z = z + a′ t ′ Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm M0 ∈∆ ) Sổ Tay Cơng Thức Tốn THPT(lưu hành nội bộ) r r u = ku′ + ∆ ≡ ∆′ ⇔ M ∈ ∆ ⇒ M ∈ ∆′ +∆ cắt ∆′ hệ phương trình rr Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng x0 + a1t = x0 + a1′t ′ y0 + a2t = y0 + a2′ t ′ z + a t = z + a′t ′ 3 + ∆ ⊥ ∆′ ⇔ u.u ′ = +∆ chéo với ∆′ r r u ≠ ku′ có nghiệm hệ phương trình x0 + a1t = x0 + a1′t ′ y0 + a2t = y0 + a2′ t ′ z + a t = z + a′t ′ 3 x = x0 + a t Δ : y = y0 + a2 t z = z + a t vô nghiệm (α) : Ax + By + Cz + D = Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng A( x0 + a1t ) + B( y0 + a2t ) + C ( z0 + a3t ) + D = (*) Xét phương trình: ∆ P(α ) + : (*) vô nghiệm ( α) ∆ + cắt : (*) có nghiệm ∆ ⊂ (α ) + : (*) có vơ số nghiệm 25: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN – QUAN HỆ SONG SONG Hai đường thẳng song song Phương pháp chứng minh Định nghĩa: a b song song Cách 1: Dựa vào định nghĩa nằm mặt phẳng khơng có + Chọn mặt phẳng chứa a b điểm chung + Chứng minh hai đường song song dựa vào hình học phẳng: tính chất đường trung bình, định lí talet,… a b Cách 2: Tính chất bắc cầu a Pc b Pc a Pb Suy Cách 3: Chứng minh phản chứng Cách 4: Áp dụng định lí giao tuyến Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ) Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng (P ) ∩ (Q) = a a, b,c ñoà ngquy (P ) ∩ (R) = b ⇒ (Q) ∩ (R) = c a Pb Pc Cách 5: Áp dụng định lí giao tuyến a Pb a ⊂ ( P ) , b ⊂ ( Q ) ( P ) ∩ ( Q ) = d ⇒ d Pa Pb (hoặc Đường thẳng song song với mặt phẳng Định nghĩa: Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) d (P) khơng có điểm chung d ≡a , d ≡b ) Phương pháp chứng minh Cách 1: Chỉ mp(P) chứa đường thẳng a song song với d d Pa ⇒ d P( P ) a ⊂ ( P ) d P( P ) ⇔ d ∩ ( P ) = ∅ Hai mặt phẳng song song Định nghĩa: Hai mặt phẳng song song chúng khơng có điểm chung Phương pháp chứng minh Cách 1: Chứng minh (P) chứa hai đường thẳng cắt song song với (Q) Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ) Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng a, b ⊂ ( P ) ⇒ ( P ) P(Q) a∩b = I a P(Q), b P(Q) ( α ) P( β ) ⇔ ( α ) ∩ ( β ) = ∅ 26: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN – QUAN HỆ VNG GĨC Hai đường thẳng vng góc Phương pháp chứng minh r r u, v Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi vng góc góc chúng 900 ( ) a ⊥ b ⇔ a¶, b = 900 Cách 1: Giả sử vectơ phương đường thẳng a, rb r r a ⊥ b ⇔ u.v = Cách 2: Tính chất bắc cầu Cho a //b Nếu a⊥c b⊥c Cách 3: Định lí đường vng góc a′ làhìnhchiế ucủ aalê n(P) b ⊥ a′ ⇔ b⊥ a Cách 4: Chỉ a vuông góc với mặt phẳng chứa b d ⊥ ( P) ⇒d ⊥a ( P ) ⊃ a Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Tốn THPT(lưu hành nội bộ) Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa: Đường thẳng ∆ ∆ Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng Phương pháp chứng minh ∆ vng góc với mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng mặt phẳng (P) Cách 1: Chỉ vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mp(P) ∆ ⊥ a ⊂ (P) ∆ ⊥ b ⊂ (P) ⇒ ∆ ⊥ ( P ) a ∩ b ≠ ∅ Cách 2: Định lí giao tuyến (α ) ⊥ ( P) ⇒ ∆ ⊥ ( P) ( β ) ⊥ ( P ) (α ) ∩ ( β ) = ∆ ∆ ⊥ ( P ) ⇔ ∆ ⊥ ∀a ⊂ ( P) Cách 3: Định lí giao tuyến (Q) ⊥ ( P) ( P) ∩ (Q) = d ⇒ ∆ ⊥ ( P) ∆ ⊂ (Q), ∆ ⊥ d Hai mặt phẳng vng góc Định nghĩa: Hai mặt phẳng vng góc góc chúng 900 Cách chứng minh Cách 1: Chỉ mặt phẳng (Q) chứa đường vng góc với mặt phẳng (P) (Q ) ⊃ a ⇒ (Q) ⊥ ( P ) a ⊥ ( P) ( ) ( P ) ⊥ (Q ) ⇔ (·P) ⊥ (Q) = 900 Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Tốn THPT(lưu hành nội bộ) Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng 27: XÁC ĐỊNH GĨC Góc hai đường thẳng chéo Cách xác định: Góc a b a′ Pa, b′ Pb + Từ điểm O bất kì, kẻ ( a¶, b ) = ( a· ′, b′) + Khi đó: Góc đường thẳng mặt phẳng cắt Cách xác định: Góc đường thẳng a mặt phẳng (α ) + Tìm hình chiếu a’ a lên (α ) ( a· , (α ) ) = ( a· , a′) = ϕ + Góc hai mặt phẳng cắt Cách xác định: Góc hai mặt phẳng (P) (Q) + Xác định giao tuyến c (P) (Q) + Từ điểm I ∈c , dựng (P) đường thẳng a, (Q) a ⊥ c, b ⊥ c đường thẳng b cho: + Khi đó: ( (·P), (Q) ) = ( a¶, b ) Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Tốn THPT(lưu hành nội bộ) • Diện tích hình chiếu của đa giác + Hình chiếu ϕ + Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng ∆SBC ∆ABC góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) ⇒ S∆ABC = S∆SBC cosϕ 28: XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cách xác định: Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) + Tìm hình chiếu H điểm A mp(P) + d ( A, ( P) ) = AH Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song Cách xác định: Khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng (P) + Chọn điểm A nằm a + Tìm hình chiếu H điểm A mp(P) Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ) d ( a, ( P ) ) = d ( A, ( P) ) = AH Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng + Khoảng cách hai mặt phẳng song song Cách xác định: Khoảng cách hai mặt phẳng (α ) + Chọn điểm A nằm (β ) + Dựng hình chiếu A lên d ( (α ), (β ) ) = d ( A, ( β )) = AH + (α ) (β ) Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cách xác định: Cách 1: Cách 2: + Chọn mp(P): ( P ) ⊃ a ( P ) Pb d (a, b) = d ( b, ( P ) ) = AH + + Chọn mp: + Cách 3: ( P ) ⊃ a (Q ) ⊃ b ( P ) P(Q ) d (a, b) = d ( ( P), (Q) ) = AH + Dựng đoạn vng góc chung IJ + d ( a, b) = IJ Cách dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo • * Trường hợp 1: - Dựng a⊥b mp ( α ) b chứa a ∩ ( α ) = { A} Xác định ⊥a Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm Sổ Tay Cơng Thức Tốn THPT(lưu hành nội bộ) AB ⊥ b B - ⇒ Dựng Chứng minh * Trường hợp 2: Cách 1: (Hình a) AB Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng đoạn vng góc chung a⊥b b B ( a) Dựng mp chứa a song song với b Lấy điểm M tùy ý b dựng MM′ ⊥ (α) M′ - Từ M′ dựng b′// b cắt a A AB / / MM ¢ - Từ A dựng cắt b B AB đoạn vng góc chung - ⇒ Cách 2: (Hình b) - ( a) ^ a Dựng mặt phẳng - Dựng hình chiếu vng góc b′ b lên ⇒ α M' Từ B dựng đường thẳng song song với AB đoạn vng góc chung OH A A ( a) B b' O Trong mp , vẽ OH ⊥ b′ H Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b B b' (Hình a) cắt b I ( a) - A (Hìnha) - - a ( a) O, M α cắt a A Liên hệ để mua tài liệu đăng kí học thêm I (Hình b) H ... ĐẠI SỐ TỔ HỢP Quy tắc cộng Quy tắc nhân Công việc có nhiểu phương án thực hiện: Phương án 1: m1 cách Phương án 2: m2 cách … Phương án n: mn cách Để hồn thành cơng việc có: m1+ m2+…+ mn cách Cơng... hiện: Giai đoạn 1: m1 cách Giai đoạn 2: m2 cách … Giai đoạn n: mn cách Để hoàn thành cơng việc có: m1 m2… mn cách Hốn vị • Chỉnh hợp Định nghĩa: Mỗi cách xếp tất n phần tử tập hợp A cho trước theo... y )] dy c Công thức: 12.1: CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ Khảo sát biến thi? ?n Tìm cực trị Các bước khảo sát • Cách 1: Dùng BBT Bước 1: Tìm tập xác định (Tương tự bước mục 1) Bước 2: Tính y’ • Cách 2: Dùng