Câu 26: [2H3-3.13-3] (THPT Hồng Hóa - Thanh Hóa - Lần - 2018 - BTN) Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho điểm H 1; 2;3 trực tâm ABC với A, B, C ba điểm nằm trục Ox, Oy, Oz (khác gốc tọa độ) Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C A 3x y z B x y 3z 14 C 3x y z 10 D x y z 1 Lời giải Chọn B Giả sử A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0;c AH 1 a; 2;3 ; BH 1; b;3 ; BC 0; b;c ; AC a;0;c 2b 3c AH BC Do H trực tâm nên ta có: a 3c BH AC x y z Phương trình mặt phẳng ABC : a b c Vì H ABC a b c a 2b 2b 3c a 14 2b Do ta có hệ phương trình: a 3c c b 1 14 1 c a b c 2b b 2b x y 3z Vậy phương trình mặt phẳng ABC : x y 3z 14 14 14 Câu 26: [2H3-3.13-3] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần - 2018) Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho điểm H 1; 2;3 trực tâm ABC với A, B, C ba điểm nằm trục Ox, Oy, Oz (khác gốc tọa độ) Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C A 3x y z B x y 3z 14 C 3x y z 10 D x y z 1 Lời giải Chọn B Giả sử A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0;c AH 1 a; 2;3 ; BH 1; b;3 ; BC 0; b;c ; AC a;0;c 2b 3c AH BC Do H trực tâm nên ta có: a 3c BH AC x y z Phương trình mặt phẳng ABC : a b c Vì H ABC a b c a 2b 2b 3c a 14 2b Do ta có hệ phương trình: a 3c c b 1 14 1 c a b c 2b b 2b x y 3z Vậy phương trình mặt phẳng ABC : x y 3z 14 14 14 Câu 37: [2H3-3.13-3] (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M 1;1;1 Mặt phẳng P qua M cắt chiều dương trục Ox , Oy , Oz điểm A , B , C thỏa mãn OA 2OB Tính giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện OABC 10 81 64 A B C D 16 27 Lời giải Chọn D Giả sử A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c với a, b, c Khi mặt phẳng P có dạng 1 x y z Vì P qua M nên a b c a b c 1 2b 2b Mặt khác OA 2OB nên a 2b nên 1 c 2b c c 2b 2b 2b 1 Thể tích khối tứ diện OABC V abc b 2c 3 3 9 16b 2c b 2c 81 27 33 Ta có 2b c 4b 4b c 16b 2c 16b 2c 3 16 9 a 1 81 Vmin b 4b c 16 c Câu 47 [2H3-3.13-3] (SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Có mặt phẳng qua điểm M 1;6; cắt trục tọa độ điểm A , B , C (khác gốc tọa độ) cho OA OB OC ? A B C Lời giải D Chọn B Gọi A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c , có dạng x y z , M a b c a b c Do OA OB OC a b c Xét trường hợp 11 + a b c a 11 : x y z 11 a a : x y z a 9 + a b c a 9 : x y z a 1 + a b c a 1 : x y z a Vậy có mặt phẳng thỏa ycbt + a b c Câu 48: [2H3-3.13-3] (SGD Đà Nẵng - HKII - 2017 - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M m;0;0 , N 0; n;0 P 0;0; p Với m , n , p số dương thay đổi thỏa 1 Mặt phẳng MNP qua điểm: m n p 1 1 A H ; ; 3 3 C F 3;3;3 B G 1;1;1 1 1 D E ; ; 3 3 Lời giải Chọn D Phương trình mặt phẳng MNP là: Mà: x y z m n p 1 1 1 1 1 3 Vậy mặt phẳng MNP qua E ; ; m n p 3m 3n p 3 3 Câu 33: [2H3-3.13-3] [BẮC YÊN THÀNH] [2017] Có mặt phẳng qua điểm M (1;9;4) cắt trục tọa độ điểm A , B , C (khác gốc tọa độ) cho OA OB OC A B C D Lời giải Chọn D Giả sử mặt phẳng ( ) cắt trục tọa độ điểm khác gốc tọa độ A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) với a, b, c x y z a b c Mặt phẳng ( ) qua điểm M (1;9;4) nên (1) a b c Vì OA OB OC nên a b c , xảy trường hợp sau: Phương trình mặt phẳng ( ) có dạng +) TH1: a b c a 14, nên phương trình mp ( ) x y z 14 a a a +) TH2: a b c Từ (1) suy a 6, nên pt mp ( ) a a a x y z Từ (1) suy +) TH3: a b c Từ (1) suy x y z a 4, nên pt mp ( ) a a a +) TH4: a b c Từ (1) có a 12, nên pt mp ( ) a a a x y z 12 Vậy có mặt phẳng thỏa mãn Câu 36: [2H3-3.13-3] [LƯƠNG TÂM] [2017] Phương trình mặt phẳng sau qua điểm M 1;2;3 cắt ba tia Ox , Oy , Oz A , B , C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất? A x y z 18 B x y 3z 21 C x y 3z 21 x y z 18 D Lời giải Giả sử A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) (a, b, c 0) x y z (1) a b c M(1;2;3) thuộc (ABC): a b c Thể tích tứ diện OABC: V abc (ABC): 27.6 33 1 abc 27 V 27 a b c abc abc a 3 Ta có: V đạt giá trị nhỏ V 27 b a b c c Vậy (ABC): x y z 18 Áp dụng BDT Cơsi ta có: Câu 47: [2H3-3.13-3] (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A 1;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0;3 , D 2; 2;0 Có tất mặt phẳng phân biệt qua điểm O , A , B , C , D? A B C D 10 Lời giải Chọn B Ta thấy A , B , C thuộc trục tọa độ Ox , Oy , Oz Phương trình mặt phẳng x y z ABC là: Rõ ràng D ABC Ta có AB 1; 2;0 AD 1; 2;0 nên AB AD , suy D nằm đường thẳng AB Bởi vậy, có mặt phẳng phân biệt qua điểm O , A , B , C , D OAB , OBC , OAC , ABC OCD Câu 44: [2H3-3.13-3] (THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng qua M 1;1; cắt tia Ox , Oy , Oz A , B , C phân biệt cho tứ diện OABC tích nhỏ Tính thể tích nhỏ A 72 B 108 B 18 Lời giải Chọn B D 36 Đặt A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c với a, b, c Khi phương trình mặt phẳng x y z 1 a b c 1 1 a b c 1 Thể tích tứ diện OABC VOABC OA.OB.OC abc 6 Vì qua M 1;1; nên Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 1 abc 108 33 abc a b c Dấu xảy a b ; c 12 Vậy tứ diện OABC tích nhỏ 108 18 Câu 41: [2H3-3.13-3] (SGD - Quảng Nam - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho mặt phẳng P : y z điểm A 2;0;0 Mặt phẳng qua A , vng góc với P , cách gốc tọa độ O khoảng điểm B , C khác O Thể tích khối tứ diện OABC A B 16 C Lời giải Chọn C Giả sử B 0; b;0 C 0;0; c , với b , c Khi phương trình mặt phẳng là: Vì P nên cắt tia Oy , Oz D 16 x y z b c 1 b c c b Mặt khác d O, Vậy VO ABC 5 4 b2 16 b c 2 b 16 1 1 1 2 b c OA.OB.OC Câu 45: [2H3-3.13-3] (THTT - Số 484 - Tháng 10 - 2017 - BTN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 3; 2;1 Mặt phẳng P qua M cắt trục tọa độ Ox , Oy , Oz điểm A , B , C không trùng với gốc tọa độ cho M trực tâm tam giác ABC Trong mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng P A 3x y z 14 B x y 3z C 3x y z 14 D x y z Lời giải Chọn A Gọi A a;0;0 ; B 0; b;0 ; C 0;0; c Phương trình mặt phẳng P có dạng: Vì P qua M nên 1 a b c x y z 1 a.b.c a b c 1 Ta có: MA a 3; 2; 1 ; MB 3; b 2; 1 ; BC 0; b; c ; AC a;0; c 2b c MA.BC Vì M trực tâm tam giác ABC nên: 2 a c MB AC 14 14 Từ 1 suy a ; b ; c 14 Khi phương trình P : 3x y z 14 Vậy mặt phẳng song song với P là: 3x y z 14 Câu 7798: [2H3-3.13-3] [THPT Yên Lạc-VP-2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng qua G 1; 2;3 cắt trục tọa độ điểm A, B, C cho G trọng tâm tam giác ABC có phương trình ax by cz 18 Tính a b c A B 12 C 10 Lời giải Chọn D D 11 Mặt phẳng qua G 1; 2;3 cắt trục tọa độ điểm A, B, C có dạng : P : Khi : A m;0;0 ; B 0; n;0 ; C 0;0; p x y z m n p m 3xG Ta có G 1; 2;3 trọng tâm tam giác ABC n yG p 3z G x y z P : x y z 18 a b c 11 Câu 7802 [2H3-3.13-3] [THPT TH Cao Nguyên -2017] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M 1; 2;5 Mặt phẳng P qua điểm M cắt trục tọa độ Ox , Oy , Oz A, B, C cho M trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng P A x y z B x y z C x y 5z 30 D Lời giải Chọn C Cách 1: Gọi A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c Phương trình mặt phẳng ABC x y z 1 a b c x y z 1 1 a b c Ta có AM 1 a;2;5 , BC 0; b; c , BM 1;2 b;5 , AC a;0; c Do M ABC nên ta có phương trình 5c AM BC 2b 5c b Do M trực tâm tam giác ABC nên 2 BM AC a 5c a 5c c a 30; b 15 5c 5c c x y z Vậy phương trình mặt phẳng ABC x y z 30 30 15 Cách 2: Ta có chứng minh OM ABC Thế vào 1 ta ABC qua M nhận OM làm VTPT ABC :1 x 1 y 2 y 5 x y y 30 Câu 7803 [2H3-3.13-3] [TTGDTX Cam Lâm - Khánh Hòa -2017] Cho ba điểm A a;0;0 , 1 B 0; b;0 , C 0;0; c a, b, c số dương thay đổi thỏa mãn 2017 Mặt a b c phẳng ABC qua điểm cố định có tọa độ A 1;1;1 1 B ; ; 2017 2017 2017 C 0;0;0 D 2017;2017;2017 Lời giải Chọn B x y z Phương trình mặt phẳng ABC : a b c 1 1 1 1 Vì 2017 2017 2017 2017 nên điểm M ; ; ABC a b c a b c 2017 2017 2017 1 Vậy mặt phẳng ABC qua điểm M ; ; 2017 2017 2017 Câu 7804 [2H3-3.13-3] [Cụm HCM -2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng P qua hai điểm M (1;8;0) , C 0;0;3 cắt nửa trục dương Ox , Oy A , B cho OG nhỏ ( G trọng tâm tam giác ABC ) Biết G(a; b; c) , tính P a b c A B 12 C D Lời giải Chọn D m n Gọi A m;0;0 , B 0; n;0 mà C 0;0;3 nên G ; ;1 OG m2 n2 3 x y z P : P qua hai điểm M (1;8;0) nên m n m n 16 1 m 2n 25 Ta có m n m n m 2n Suy 25 m 2n m2 n2 m2 n2 125 OG 134 1 m n m 10 Dấu G ; ;1 3 n 10 m n Câu 7805 [2H3-3.13-3] [THPT Lý Thái Tổ -2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 3; 0; , B 0; 6; , C 0; 0; mặt phẳng P : x y z – Tìm điểm M thuộc mặt phẳng P cho MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất? A (1; 2; 2) B 2; 1; 3 C 2; 1; 3 D 0; 3; 1 Lời giải Chọn B Gọi G trọng tâm tam giác ABC G(1; 2; 2) Ta có MA MB MC MG Do MA MB MC nhỏ MG nhỏ M hình chiếu G lên P x 1 t Gọi d đường thẳng qua G vng góc P y 2 t z t Tọa độ M (1 t; 2 t; t ) Điểm M thuộc P nên t t t t Vậy M 2; 1; 3 Câu 44: [2H3-3.13-3] (Sở Phú Thọ - Lần - 2018 - BTN) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;1; Mặt phẳng P qua M cắt tia Ox , Oy , Oz A , B, C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ Gọi n 1; a; b véc tơ pháp tuyến P S a3 2b A S B S 3 C S D S 15 Lời giải Chọn A Mặt phẳng P cắt tia Ox , Oy , Oz A, B, C nên A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c a, b, c x y z 1 a b c 1 + Mặt phẳng P qua M nên a b c 1 2 abc 54 Ta có 3 a b c abc + Thể tích khối tứ diện OABC : V abc Phương trình mặt phẳng P : Tính 1 suy a , b , c a b c x y z Phương trình mặt phẳng P : hay x y z a , b 3 Vậy S Thể tích khối tứ diện OABC nhỏ Câu 37: [2H3-3.13-3] (THPT Kim Liên-Hà Nội -Lần 2-2018-BTN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 2;1;1 Viết phương trình mặt phẳng P qua M cắt ba tia Ox , Oy , Oz điểm A , B , C khác gốc O cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ A x y z B x y z C x y z D x y z Lời giải Chọn D Gọi A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c , A , B , C thuộc ba tia Ox , Oy , Oz nên a , b , c P theo đoạn chắn có dạng x y z 1 Do M 2;1;1 P a b c a b c 1 2 1 , , ta có 3 a b c abc a b c 1 a abc VOABC Dấu xảy a b c b c x y z Vậy P : x y z 3 Áp dụng Cauchy cho số dương ... trình mặt phẳng ABC : x y 3z 14 14 14 Câu 37 : [2H 3- 3 .1 3- 3 ] (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) [2H 3- 3 ] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M 1;1;1... đẳng thức AM-GM ta có 1 abc 108 33 abc a b c Dấu xảy a b ; c 12 Vậy tứ diện OABC tích nhỏ 108 18 Câu 41: [2H 3- 3 .1 3- 3 ] (SGD - Quảng Nam - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Trong... m n p 1 1 1 1 1 3? ?? Vậy mặt phẳng MNP qua E ; ; m n p 3m 3n p ? ?3 3 Câu 33 : [2H 3- 3 .1 3- 3 ] [BẮC YÊN THÀNH] [2017] Có mặt phẳng qua điểm M (1;9;4) cắt trục tọa độ điểm A