D06 toán max min liên quan khối trụ muc do 3

Câu 454: [2H2-2.6-3] (SỞ GD BẮC NINH) Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế thùng đựng hàng bên dạng hình lăng trụ tứ giác khơng nắp tích 62,5dm2 Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng cho có tổng S diện tích xung quanh diện tích mặt đáy nhỏ nhất, S A 106, 25dm2 C 50 5dm2 B 75dm2 D 125dm2 Lời giải Chọn B Gọi a độ dài cạnh đáy hình lăng trụ 62,5 Theo ta có chiều cao lăng trụ Suy a S  62.5 250 125 125 125 125 a  a  a    a  33 a  75 Dấu xảy a a a a a a a  125  Vậy S nhỏ 75 Câu 455: (SỞ GD BẮC NINH) Cho biết tăng dân số ước tính theo cơng thức S  A.e N r ( A dân số năm lấy làm mốc tính, S dân số sau N năm, r tỉ lệ tăng dân số hàng năm) Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh 1.038.229 người, tính đến đầu năm 2015 dân số tỉnh 1.153.600 người Hỏi tỉ lệ tăng dân số hàng năm giữ nguyên đầu năm 2025 dân số tỉnh nằm khoảng nào? A 1.424.300;1.424.400  B 1.424.000;1.424.100  C 1.424.200;1.424.300  D 1.424.100;1.424.200  Lời giải Chọn C Gọi S1 dân số năm 2015, ta có S1  1.153.600, N  5, A  1.038.229 Ta có: S1  A.e N r  e N r  S1 r A S1 A ln S 15 A 15.r A.e  1.038.229.e ln Gọi S dân số đầu năm 2025, ta có S2   1.424.227, 71 Câu 459: [2H2-2.6-3] (QUẢNG XƯƠNG I) Khi cắt mặt cầu S  O, R  mặt kính, ta hai nửa mặt cầu hình trịn lớn mặt kính gọi mặt đáy nửa mặt cầu Một hình trụ gọi nội tiếp nửa mặt cầu S  O, R  đáy hình trụ nằm đáy nửa mặt cầu, cịn đường trịn đáy giao tuyến hình trụ với nửa mặt cầu Biết R  , tính bán kính đáy r chiều cao h hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S  O, R  để khối trụ tích lớn A r  , h 2 B r  , h 2 C r  Lời giải Chọn C , h 3 D r  , h 3 Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường trịn đáy có tâm O' có hình chiếu O xuống mặt đáy (O') Suy hình trụ nửa mặt cầu chung trục đối xứng tâm đáy hình trụ trùng với tâm O nửa mặt cầu.Ta có: h2  r  R2   h  R  1  r   h2 Thể tích khối trụ là: V   r h   (1  h ) h  f (h)  f '(h)   (1  3h )   h  h 3 f'(h) +0  f(h) 2 0 Vậy: MaxV   0;1 3 2 (đvtt) r  h  3 Câu 460: [2H2-2.6-3] (LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Bạn A muốn làm thùng hình trụ khơng đáy từ ngun liệu mảnh tơn hình tam giác ABC có cạnh 90  cm  Bạn muốn cắt mảnh tơn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC ; P Q tương ứng thuộc cạnh AC AB ) để tạo thành hình trụ có chiều cao MQ Thể tích lớn thùng mà bạn A làm là: 91125 91125 A B cm3    cm3  4 2 C 108000   cm  D 13500  A  cm  Lời giải 8 N C MQ BM   MQ  (90  x) AI BI Gọi R bán kính trụ  R  Xét f ( x)  M B Chọn D Gọi I trung điểm BC Suy I trung điểm MN Đặt MN=x (  x  90 );  P Q x 3 x  VT   ( )2 (90  x)  ( x3  90 x ) 2 8 2 ( x3  90 x ) với  x  90 Khi đó: max f ( x)  13500  x(0;90) x= 60 Câu 467: [2H2-2.6-3] Một đại lý xăng dầu cần làm bồn dầu hình trụ tơn tích 16  m3  Tìm bán kính đáy r hình trụ cho hình trụ làm tốn nguyên vật liệu A 0,8  m  B 1,  m  C  m  D 2,  m  Lời giải Chọn C Gọi x m bán kính hình trụ x Ta có: V x h h 16 x2 x2 Diện tích tồn phần hình trụ là: S x Khi đó: S ' x 32 , cho S ' x x2 x x x2 xh 32 , x x 2 m nghĩa bán kính 2m Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích đạt giá trị nhỏ x Câu 478: [2H2-2.6-3] Một cơng ty nhận làm thùng phi kín hay đáy với thể tích theo yêu cầu m yêu cầu tiết kiệm vật liệu Hỏi thùng phải có bán kính đáy R chiều cao h bao nhiêu? A R m 2m, h m, h B R 8m C R 4m, h m D R 1m, h 2m Lời giải Chọn A Gọi R bán kính đáy thùng ( m ), h : chiều cao thùng ( m ) ĐK: R R2h Thể tích thùng là: V R2h 2 R2 h 0, h Diện tích tồn phần thùng là: Stp Đặt f t f' t R2 Rh 2 t t t2 R h t2 t với t t3 R t 2 R R2 R 2 R t R2 R ,f ' t3 Bảng biến thiên: 01 -0+ Min Vậy ta cần chế tạo thùng với kích thước R 1m, h 2m Câu 485: [2H2-2.6-3] Một thợ xây muốn sử dụng sắt có chiều dài 4m , chiều rộng 1m để uốn thành 2m khung đúc bê tông, khung hình trụ có đáy hình vng khung hình trụ có đáy hình trịn Hỏi phải chia sắt thành phần (theo chiều dài) để tổng thể tích khung nhỏ nhất? A Khung có đáy hình vng, khung có đáy hình trịn có chiều dài 4 , B Khung có đáy hình vng, khung có đáy hình trịn có chiều dài , 4 C Khung có đáy hình vng, khung có đáy hình trịn có chiều dài 14 4 D Khung có đáy hình vng, khung có đáy hình trịn có chiều dài , 14 , Lời giải Chọn B Gọi V1, V2 thể tích khung hình trụ có đáy hình vng khung hình trụ có đáy hình trịn Gọi a chiều dài cạnh hình vng r bán kính hình trịn Ta có: V1 Mà 4a V r V r Vmin a2 V2 r (đơn vị thể tích) r V1 a 2 r ,0 r2 r r ,V r V2 r 4 r Suy 2 r Lập bảng biến thiên suy Vậy, phải chia sắt thành phần: phần làm lăng trụ có đáy hình vuông 4 m Câu 7126 [2H2-2.6-3] (THPT Ngơ Gia Tự -2017) Một người có dải ruy băng dài 130  cm  , người cần bọc dải ruy băng quanh hộp q hình trụ Khi bọc quà, người dùng 10  cm  dải ruy băng để thắt nơ nặp hộp (như hình vẽ minh họa) Hỏi dải dây ruy băng bọc hộp q tích lớn bao nhiêu? A 2000  cm  B 1000  cm  C 4000  cm3  Lời giải Chọn B Ta có 130  10  8r  4h  h  30  2r D 1600  cm3  V   r h   r  30  2r   30 r  2 r V   60 r  6 r V    r  10  Vmax  V 10   1000 Câu 7127 [2H2-2.6-3] (THPT Thuận Thành -2017) Cho tam giác ABC cân A , AB  AC  5a, BC  6a Hình chữ nhật MNPQ có M , N thuộc cạnh AB, AC P, Q thuộc cạnh BC Quay hình chữ nhật MNPQ (và miền nó) quanh trục đối xứng tam giác ABC khối trịn xoay Tính độ dài đoạn MN để thể tích khối trịn xoay lớn A MN  a B MN  2a C MN  5a D MN  4a Lời giải Chọn D Ta có: BH  3a; AH  4a Đ ặ t HQ  x  BQ  3a  x   x  3a  3  x  MQ BQ   MQ  AH BH  x3  3  x  V   x   Khi đó: T   x  3a  x   3   x Xét hàm số f  x   x    x  3a  Hàm số f  x  đạ t giá trị lớ n nhấ t tạ i x  2a  MN  4a Ta có: Câu 7146 [2H2-2.6-3] (Sở Hải Dương -2017) Cho hình trụ có tính chất: Thiết diện hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12cm Tìm giá trị lớn thể tích khối trụ A 16 cm3 B 8 cm3 C 32 cm3 D 64 cm3 Lời giải Chọn B Giả sử hình chữ nhật có chiều dài a   a   , chiều rộng b   b   Ta có chiều cao hình trụ a , bán kính hình trụ b Theo giả thiết ta có a  b   a   b b2 Ta có V  B.h     b  Đặt f  b     6b  b3   f   b    b  12b  3b   f   b    b   Lập bảng biến thiên ta thấy f  b  đạt giá trị lớn b   a  Vậy V  8 cm3 Câu 454: [HH12.C2.2.D06.c] (SỞ GD BẮC NINH) Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế thùng đựng hàng bên dạng hình lăng trụ tứ giác khơng nắp tích 62,5dm2 Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng cho có tổng S diện tích xung quanh diện tích mặt đáy nhỏ nhất, S A 106, 25dm2 C 50 5dm2 B 75dm2 D 125dm2 Lời giải Chọn B Gọi a độ dài cạnh đáy hình lăng trụ 62,5 Theo ta có chiều cao lăng trụ Suy a S  62.5 250 125 125 125 125 a  a   a2    a  33 a  75 Dấu xảy a a a a a a a  125  Vậy S nhỏ 75 Câu 455: (SỞ GD BẮC NINH) Cho biết tăng dân số ước tính theo cơng thức S  A.e N r ( A dân số năm lấy làm mốc tính, S dân số sau N năm, r tỉ lệ tăng dân số hàng năm) Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh 1.038.229 người, tính đến đầu năm 2015 dân số tỉnh 1.153.600 người Hỏi tỉ lệ tăng dân số hàng năm giữ nguyên đầu năm 2025 dân số tỉnh nằm khoảng nào? A 1.424.300;1.424.400  B 1.424.000;1.424.100  D 1.424.100;1.424.200  C 1.424.200;1.424.300  Lời giải Chọn C Gọi S1 dân số năm 2015, ta có S1  1.153.600, N  5, A  1.038.229 Ta có: S1  A.e N r  e N r S  r A S1 A ln S 15 A A.e15.r  1.038.229.e ln Gọi S dân số đầu năm 2025, ta có S2   1.424.227, 71 Câu 459: [HH12.C2.2.D06.c] (QUẢNG XƯƠNG I) Khi cắt mặt cầu S  O, R  mặt kính, ta hai nửa mặt cầu hình trịn lớn mặt kính gọi mặt đáy nửa mặt cầu Một hình trụ gọi nội tiếp nửa mặt cầu S  O, R  đáy hình trụ nằm đáy nửa mặt cầu, đường tròn đáy giao tuyến hình trụ với nửa mặt cầu Biết R  , tính bán kính đáy r chiều cao h hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S  O, R  để khối trụ tích lớn A r  , h 2 B r  , h 2 C r  Lời giải , h 3 D r  , h 3 Chọn C Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường trịn đáy có tâm O' có hình chiếu O xuống mặt đáy (O') Suy hình trụ nửa mặt cầu chung trục đối xứng tâm đáy hình trụ trùng với tâm O nửa mặt cầu.Ta có: h2  r  R2   h  R  1  r   h2 Thể tích khối trụ là: V   r h   (1  h ) h  f (h)  f '(h)   (1  3h )   h  h 3 f'(h) +0  f(h) 2 0 Vậy: MaxV   0;1 3 2 (đvtt) r  h  3 Câu 460: [HH12.C2.2.D06.c] (LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Bạn A muốn làm thùng hình trụ khơng đáy từ ngun liệu mảnh tơn hình tam giác ABC có cạnh 90  cm  Bạn muốn cắt mảnh tơn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC ; P Q tương ứng thuộc cạnh AC AB ) để tạo thành hình trụ có chiều cao MQ Thể tích lớn thùng mà bạn A làm là: A 91125 91125 A B cm3  cm3    4 2 C 108000   cm  D 13500   cm  Lời giải 8 N C MQ BM   MQ  (90  x) AI BI Gọi R bán kính trụ  R  Xét f ( x)  M B Chọn D Gọi I trung điểm BC Suy I trung điểm MN Đặt MN=x (  x  90 );  P Q x 3 x  VT   ( )2 (90  x)  ( x3  90 x ) 2 8 2 ( x3  90 x ) với  x  90 Khi đó: max f ( x)  13500  x(0;90) x= 60 Câu 467: [HH12.C2.2.D06.c] Một đại lý xăng dầu cần làm bồn dầu hình trụ tơn tích 16  m3  Tìm bán kính đáy r hình trụ cho hình trụ làm tốn nguyên vật liệu A 0,8  m  B 1,  m  D 2,  m  C  m  Lời giải Chọn C Gọi x m bán kính hình trụ x Ta có: V x h h 16 x2 x2 Diện tích tồn phần hình trụ là: S x Khi đó: S ' x 32 , cho S ' x x2 x x x2 xh 32 , x x 2 m nghĩa bán kính 2m Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích đạt giá trị nhỏ x Câu 478: [HH12.C2.2.D06.c] Một công ty nhận làm thùng phi kín hay đáy với thể tích theo yêu cầu m yêu cầu tiết kiệm vật liệu Hỏi thùng phải có bán kính đáy R chiều cao h bao nhiêu? A R m 2m, h m, h B R 8m C R 4m, h m D R 1m, h 2m Lời giải Chọn A Gọi R bán kính đáy thùng ( m ), h : chiều cao thùng ( m ) ĐK: R R2h Thể tích thùng là: V R2h 2 R2 h 0, h Diện tích tồn phần thùng là: Stp Đặt f t f' t R2 Rh 2 t t t2 R h t2 t với t t3 R t 2 R R2 R 2 R t R2 R ,f ' t3 Bảng biến thiên: 01 -0+ Min Vậy ta cần chế tạo thùng với kích thước R 1m, h 2m Câu 485: [HH12.C2.2.D06.c] Một thợ xây muốn sử dụng sắt có chiều dài 4m , chiều rộng 1m để uốn thành 2m khung đúc bê tơng, khung hình trụ có đáy hình vng khung hình trụ có đáy hình trịn Hỏi phải chia sắt thành phần (theo chiều dài) để tổng thể tích khung nhỏ nhất? A Khung có đáy hình vng, khung có đáy hình trịn có chiều dài 4 , B Khung có đáy hình vng, khung có đáy hình trịn có chiều dài , 4 C Khung có đáy hình vng, khung có đáy hình trịn có chiều dài 14 4 D Khung có đáy hình vng, khung có đáy hình trịn có chiều dài , 14 , Lời giải Chọn B Gọi V1, V2 thể tích khung hình trụ có đáy hình vng khung hình trụ có đáy hình trịn Gọi a chiều dài cạnh hình vng r bán kính hình trịn Ta có: V1 Mà 4a V r V r Vmin a2 V2 r (đơn vị thể tích) r V1 a 2 r ,0 r2 r r ,V r V2 r 4 r Suy 2 r Lập bảng biến thiên suy Vậy, phải chia sắt thành phần: phần làm lăng trụ có đáy hình vng 4 m Câu 7126 [HH12.C2.2.D06.c] (THPT Ngô Gia Tự -2017) Một người có dải ruy băng dài 130  cm  , người cần bọc dải ruy băng quanh hộp quà hình trụ Khi bọc quà, người dùng 10  cm  dải ruy băng để thắt nơ nặp hộp (như hình vẽ minh họa) Hỏi dải dây ruy băng bọc hộp quà tích lớn bao nhiêu? A 2000  cm  B 1000  cm  C 4000  cm3  Lời giải Chọn B Ta có 130  10  8r  4h  h  30  2r D 1600  cm3  V   r h   r  30  2r   30 r  2 r V   60 r  6 r V    r  10  Vmax  V 10   1000 Câu 7127 [HH12.C2.2.D06.c] (THPT Thuận Thành -2017) Cho tam giác ABC cân A , AB  AC  5a, BC  6a Hình chữ nhật MNPQ có M , N thuộc cạnh AB, AC P, Q thuộc cạnh BC Quay hình chữ nhật MNPQ (và miền nó) quanh trục đối xứng tam giác ABC khối trịn xoay Tính độ dài đoạn MN để thể tích khối trịn xoay lớn A MN  a B MN  2a C MN  5a D MN  4a Lời giải Chọn D Ta có: BH  3a; AH  4a Đ ặ t HQ  x  BQ  3a  x   x  3a  3  x  MQ BQ   MQ  AH BH  x3  3  x  V   x   Khi đó: T   x  3a  x   3   x Xét hàm số f  x   x    x  3a  Hàm số f  x  đạ t giá trị lớ n nhấ t tạ i x  2a  MN  4a Ta có: Câu 7146 [HH12.C2.2.D06.c] (Sở Hải Dương -2017) Cho hình trụ có tính chất: Thiết diện hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12cm Tìm giá trị lớn thể tích khối trụ A 16 cm3 B 8 cm3 C 32 cm3 D 64 cm3 Lời giải Chọn B Giả sử hình chữ nhật có chiều dài a   a   , chiều rộng b   b   Ta có chiều cao hình trụ a , bán kính hình trụ b Theo giả thiết ta có a  b   a   b b2 Ta có V  B.h     b  Đặt f  b     6b  b3   f   b    b  12b  3b   f   b    b   Câu 44 [2H2-2.6-3] (THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O , bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường trịn đáy có tâm O lấy điểm A , đường tròn tâm O lấy điểm B Đặt  góc AB đáy Biết thể tích khối tứ diện OOAB đạt giá trị lớn Khẳng định sau đúng? 1 A tan   B tan   C tan   D tan   2 Lời giải Chọ n B O' B A' O I B' A Gọi A hình chiếu A lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm O Gọi B hình chiếu B lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm O Gọi R bán kính đường trịn tâm O , suy ra: R  2a Ta có:   BAB Suy ra: AB  2R tan  Gọi I trung điểm AB  OI  AB Ta có: OI  OB2  IB2  R2  R2 tan   R  tan  1 Và: SOAB  OI AB  R  tan  R tan   R2 tan   tan  2 1 Suy ra: VOOAB  VOAB.OAB  OO SOAB  R R tan   tan  3 Ta có: VOOAB đạt giá trị lớn tan   tan  đạt giá trị lớn Xét hàm số f  t   t  t với t   0;1 có f   t    t  Vì 0    90 nên tan    t  Bảng biến thiên: Xét f   t     2t   t   t  t  1 t2   2t 1 t2 với t   0;1 Dựa vào bảng biến thiên, ta có Vmax t  1 hay tan   2 Câu 18 [2H2-2.6-3](SỞ GD-ĐT HẬU GIANG-2018-BTN) Trong đời sống hàng ngày, ta thường gặp nhiều hộp kiểu hình trụ như: hộp sữa, lon nước ngọt,… Cần làm hộp (có nắp) để tiết kiêm nguyên liệu mà thể tích lại lớn A Hộp hình trụ có đường cao bán kính đáy B Hộp hình trụ có đường cao nửa bán kính đáy C Hộp hình trụ có đường cao đường kính đáy D Hộp hình trụ có đường cao hai lần đường kính đáy Lời giải Chọn D h r Gọi h , r , S đường cao, bán kính diện tích tồn phần hình trụ Ta có S  2 r  2 rh  2  r  rh  rh rh r h 6 V rh rh    2 3 3  2  r     2 3 r 2 2   4S rh h Thể tích khối trụ V   r h  Dấu đẳng thức xảy r  r 6 2 Câu 270 [2H2-2.6-3] [SỞ GD HÀ NỘI-2017] Cho mặt cầu  S  bán kính R Một hình trụ có chiều cao h bán kính đáy r thay đổi nội tiếp mặt cầu Tính chiều cao h theo bán kính R cho diện tích xung quanh hình trụ lớn A h  R B h  R C h  Lời giải Chọn A R D h  R Ta có OO  h; IA  R, AO  r  r  R  h2 Diện tích xung quanh hình trụ S  2 rh   h R  h2   (dùng BĐT ab  h2  R  h2 , a  b2 ) Vậy Smax  2 R2  h2  4R2  h2  h  R Câu 454: [2H2-2.6-3] (SỞ GD BẮC NINH) Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế thùng đựng hàng bên dạng hình lăng trụ tứ giác khơng nắp tích 62,5dm2 Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng cho có tổng S diện tích xung quanh diện tích mặt đáy nhỏ nhất, S A 106, 25dm2 C 50 5dm2 B 75dm2 D 125dm2 Lời giải Chọn B Gọi a độ dài cạnh đáy hình lăng trụ 62,5 Theo ta có chiều cao lăng trụ Suy a S  62.5 250 125 125 125 125 a  a   a2    a  33 a  75 Dấu xảy a a a a a a a  125  Vậy S nhỏ 75 Câu 455: (SỞ GD BẮC NINH) Cho biết tăng dân số ước tính theo cơng thức S  A.e N r ( A dân số năm lấy làm mốc tính, S dân số sau N năm, r tỉ lệ tăng dân số hàng năm) Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh 1.038.229 người, tính đến đầu năm 2015 dân số tỉnh 1.153.600 người Hỏi tỉ lệ tăng dân số hàng năm giữ nguyên đầu năm 2025 dân số tỉnh nằm khoảng nào? A 1.424.300;1.424.400  B 1.424.000;1.424.100  D 1.424.100;1.424.200  C 1.424.200;1.424.300  Lời giải Chọn C Gọi S1 dân số năm 2015, ta có S1  1.153.600, N  5, A  1.038.229 Ta có: S1  A.e N r  e N r S  r A S1 A ln S 15 A A.e15.r  1.038.229.e ln Gọi S dân số đầu năm 2025, ta có S2   1.424.227, 71 Câu 459: [2H2-2.6-3] (QUẢNG XƯƠNG I) Khi cắt mặt cầu S  O, R  mặt kính, ta hai nửa mặt cầu hình trịn lớn mặt kính gọi mặt đáy nửa mặt cầu Một hình trụ gọi nội tiếp nửa mặt cầu S  O, R  đáy hình trụ nằm đáy nửa mặt cầu, đường tròn đáy giao tuyến hình trụ với nửa mặt cầu Biết R  , tính bán kính đáy r chiều cao h hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S  O, R  để khối trụ tích lớn A r  , h 2 B r  , h 2 C r  , h 3 D r  , h 3 Lời giải Chọn C Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường trịn đáy có tâm O' có hình chiếu O xuống mặt đáy (O') Suy hình trụ nửa mặt cầu chung trục đối xứng tâm đáy hình trụ trùng với tâm O nửa mặt cầu.Ta có: h2  r  R2   h  R  1  r   h2 Thể tích khối trụ là: V   r h   (1  h ) h  f (h)  f '(h)   (1  3h )   h  h 3 f'(h) +0  f(h) 2 0 Vậy: MaxV   0;1 3 2 (đvtt) r  h  3 Câu 460: [2H2-2.6-3] (LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Bạn A muốn làm thùng hình trụ khơng đáy từ ngun liệu mảnh tơn hình tam giác ABC có cạnh 90  cm  Bạn muốn cắt mảnh tơn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC ; P Q tương ứng thuộc cạnh AC AB ) để tạo thành hình trụ có chiều cao MQ Thể tích lớn thùng mà bạn A làm là: 91125 91125 A B cm3    cm3  4 2 A Q P C  cm  108000 3  D 13500   cm  Lời giải Chọn D Gọi I trung điểm BC Suy I trung điểm MN Đặt MN=x (  x  90 );  MQ BM   MQ  (90  x) AI BI Gọi R bán kính trụ  R  Xét f ( x)  8 x 3 x  VT   ( )2 (90  x)  ( x3  90 x ) 2 8 2 ( x3  90 x ) với  x  90 Khi đó: max f ( x)  13500  x(0;90) x= 60 Câu 467: [2H2-2.6-3] Một đại lý xăng dầu cần làm bồn dầu hình trụ tơn tích 16  m3  Tìm bán kính đáy r hình trụ cho hình trụ làm tốn nguyên vật liệu A 0,8  m  B 1,  m  D 2,  m  C  m  Lời giải Chọn C Gọi x m bán kính hình trụ x Diện tích tồn phần hình trụ là: S x Khi đó: S ' x x 32 , cho S ' x x2 x h Ta có: V x2 x x2 xh 16 x2 h 32 , x x 2 m nghĩa bán kính 2m Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích đạt giá trị nhỏ x Câu 478: [2H2-2.6-3] Một cơng ty nhận làm thùng phi kín hay đáy với thể tích theo yêu cầu m yêu cầu tiết kiệm vật liệu Hỏi thùng phải có bán kính đáy R chiều cao h bao nhiêu? A R 2m, h m B R m, h 8m C R 4m, h m D R Lời giải Chọn A Gọi R bán kính đáy thùng ( m ), h : chiều cao thùng ( m ) ĐK: R Thể tích thùng là: V R2h R2h R2 h Diện tích tồn phần thùng là: Stp Rh R2 R h R R R2 R 2 R R2 0, h 1m, h 2m Đặt f t f' t 2 t t t2 t2 t với t t3 t R ,f ' t3 t 1 Bảng biến thiên: 01 -0+ Min Vậy ta cần chế tạo thùng với kích thước R 1m, h 2m Câu 485: [2H2-2.6-3] Một thợ xây muốn sử dụng sắt có chiều dài 4m , chiều rộng 1m để uốn thành 2m khung đúc bê tơng, khung hình trụ có đáy hình vng khung hình trụ có đáy hình trịn Hỏi phải chia sắt thành phần (theo chiều dài) để tổng thể tích khung nhỏ nhất? A Khung có đáy hình vng, khung có đáy hình trịn có chiều dài , 4 B Khung có đáy hình vng, khung có đáy hình trịn có chiều dài , 4 C Khung có đáy hình vng, khung có đáy hình trịn có chiều dài 14 4 D Khung có đáy hình vng, khung có đáy hình trịn có chiều dài , 14 , 4 Lời giải Chọn B Gọi V1, V2 thể tích khung hình trụ có đáy hình vng khung hình trụ có đáy hình trịn Gọi a chiều dài cạnh hình vng r bán kính hình trịn Ta có: V1 Mà 4a V r a2 V2 r (đơn vị thể tích) r V1 V2 a r2 2 r ,0 r r Suy V r Vmin r 4 r ,V r r Lập bảng biến thiên suy Vậy, phải chia sắt thành phần: phần làm lăng trụ có đáy hình vng 4 m Câu 6803 [2H2-2.6-3][THPTCHUNTUNQUANG-2017] Một bác thợ gị hàn làm thùng hình hộp chữ nhật (khơng nắp) tơn thể tích 665,5 dm3 Chiếc thùng có đáy hình vng cạnh x(dm) , chiều cao h(dm) Để làm thùng, bác thợ phải cắt miếng tơn hình vẽ Tìm x để bác thợ sử dụng ngun liệu A 10,5(dm) B 9(dm) C 11(dm) D 12(dm) Lời giải Chọn C Ta tích hình hộp là: V  x 2h  665,5  h  665,5 x2 2662 2662  S   x  ; S    x  11 x x Lập bảng biến thiên ta thấy x  11 S đạt giá trị nhỏ Vậy để sử dụng ngun liệu bác thợ xây phải cắt miếng tơn có đáy hình vng cạnh 11(dm) Diện tích tồn phần S  x  xh  x  Câu 7126 [2H2-2.6-3] (THPT Ngơ Gia Tự -2017) Một người có dải ruy băng dài 130  cm  , người cần bọc dải ruy băng quanh hộp quà hình trụ Khi bọc quà, người dùng 10  cm  dải ruy băng để thắt nơ nặp hộp (như hình vẽ minh họa) Hỏi dải dây ruy băng bọc hộp quà tích lớn bao nhiêu? A 2000  cm  B 1000  cm  C 4000  cm3  Lời giải D 1600  cm3  Chọn B Ta có 130  10  8r  4h  h  30  2r V   r h   r  30  2r   30 r  2 r V   60 r  6 r V    r  10  Vmax  V 10   1000 Câu 7127 [2H2-2.6-3] (THPT Thuận Thành -2017) Cho tam giác ABC cân A , AB  AC  5a, BC  6a Hình chữ nhật MNPQ có M , N thuộc cạnh AB, AC P, Q thuộc cạnh BC Quay hình chữ nhật MNPQ (và miền nó) quanh trục đối xứng tam giác ABC khối tròn xoay Tính độ dài đoạn MN để thể tích khối tròn xoay lớn A MN  a B MN  2a C MN  5a D MN  4a Lời giải Chọn D Ta có: BH  3a; AH  4a Đ ặ t HQ  x  BQ  3a  x   x  3a  3  x  MQ BQ   MQ  AH BH  x3  3  x   4  x   Khi đó: VT   x   x  3a  3  x3 Xét hàm số f  x   x    x  3a  Hàm số f  x  đạ t giá trị lớ n nhấ t tạ i x  2a  MN  4a Ta có: Câu 7146 [2H2-2.6-3] (Sở Hải Dương -2017) Cho hình trụ có tính chất: Thiết diện hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12cm Tìm giá trị lớn thể tích khối trụ A 16 cm3 B 8 cm3 C 32 cm3 D 64 cm3 Lời giải Chọn B Giả sử hình chữ nhật có chiều dài a   a   , chiều rộng b   b   Ta có chiều cao hình trụ a , bán kính hình trụ Theo giả thiết ta có a  b   a   b b2 Ta có V  B.h     b  b Đặt f  b     6b  b3   f   b    b  12b  3b   f   b    b   Lập bảng biến thiên ta thấy f  b  đạt giá trị lớn b   a  Vậy V  8 cm3 Câu 7352:[2H2-2.6-3] [Cụm HCM - 2017] Một nhà máy sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000cm3 Tính bán kính nắp đậy cho nhà sản xuất tiết kiệm nguyên liệu 10 10 10 A B C D   2  Lờigiải Chọn A Thể tích khối trụ có bán kính R chiều cao h là: V   R2 h 10 500 R Từ giả thiết suy h  2R  1000  2 R3  R3    Câu 7357:[2H2-2.6-3] [THPT Lý Nhân Tông - 2017] Khi sản xuất vỏ lon nước hình trụ, nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần cua hình trụ nhỏ (với nguyên liệu) Muốn thể tích khối trụ diện tích tồn phần nhỏ hình trụ có bán kính đáy gần số nhất? A 0, B 0,8 C 0, D 0,5 Lời giải Chọn C  R2 ) có GTNN R   0.6827 Diện tích tồn phần S  2 R( R  h)  2 R( R  R  Gọ i chiề u cao bán kính đáy h , R Từ V    R2 h   h  Câu 7359:[2H2-2.6-3] [THPT Lương Tài - 2017] Người ta cần sản xuất lon hình trụ nhơm tích V Để tiết kiệm nhơm phải sản xuất lon có bán kính đáy là: V 2V V V A R  B R  C R  D R  2   Lời giải Chọn B Ta có: V  Bh   R2 h  h  V V 2V  2 R   2 R  Stp  S xq  2 R  2 R 2 R R R 2V V 2V  4 R3  Stp   2V  4 R3   R    R  2 2 R R V Dễ thấy hàm số Stp ẩn R  đạt giá trị nhỏ R  2 Mặt khác: Stp  Câu 7360:[2H2-2.6-3] [THPT Tiên Du - 2017] Khi sản xuất vỏ lon bia hình trụ có chiều cao h đường kính đáy d Các nhà thiết kế đặt mục tiêu chi phí ngun liệu vỏ lon (bằng nhơm) h thể tích lon bia V khơng đổi Khi tỉ lệ là: d A  B  C  D 2 Lời giải Chọn C d h Ta có d  R  R  d 4V ;V   R h   d h  h  d2  4V  4V  d  d Sđ  2 R  2    ; S xq  2 Rh  . d    2 2 d  d 2 Stp  d2  4V  d 2V 2V 2V     33 d d d  d  2   h 2 d 2V d 2 R h    h  Stp      d d d d Câu 7365:[2H2-2.6-3] [THPT Quế Võ - 2017] Người ta cần sản xuất thùng đựng sơn hình trụ tích 4 Hỏi cần xác định chiều cao bán kính đáy để tốn nguyên vật liệu nhất? A R  4; h  B R  2; h  C R  2; h  D R  2; h  Lời giải Chọn B Ta có: thể tích đại lượng khơng đổi, ta đặt bán kính đáy x  Khi h  V  2 R x Diện tích tồn phần thùng Stp  2 R2  2 Rh  2  x   x  2 Áp dụng BĐT Cauchy số ta có: x   x    3 x x x Dấu "  " xảy x   x  hay R  2; h  x Câu 7373:[2H2-2.6-3] [THPT Chuyên Thái Nguyên - 2017] Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị mẫu sản phẩm dưỡng da mang tên Ngọc Trai với thiết kế khối cầu viên ngọc trai, bên khối trụ nằm nửa khối cầu để đựng kem dưỡng hình vẽ Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính R  3 cm Tìm thể tích lớn khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi bìa hộp lớn (với mục đích thu hút khách hàng) A 54 cm D 18 cm3 C 108 cm Lời giải B 45 cm 3 Chọn A Xét mặt cắt hình vẽ Gọi h, r chiều cao bán kính đáy khối trụ nằm nửa khối cầu Ta có r  h2  27  r  27  h2 Ta có V  h. r  h  27  h2    h3  27 h Vậy ta có V '  3 h2  27 ; V '   h  Vì hệ số a  nên để Vmax h   r  18  V  3. 18  54  cm3  Câu 7375:[2H2-2.6-3] [Cụm HCM - 2017] Một nhà máy sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000cm3 Tính bán kính nắp đậy cho nhà sản xuất tiết kiệm nguyên liệu 10 10 10 A B C D   2  Lời giải Chọn A Thể tích khối trụ có bán kính R chiều cao h là: V   R2 h 10 500 R Từ giả thiết suy h  2R  1000  2 R3  R3    Câu 7378:[2H2-2.6-3] [THPT Chuyên Bình Long - 2017] Khi sản xuất vỏ lon sữa hình trụ, nhà thiết kế đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ V diện tích tồn phần nhỏ bán kính đáy R bằng: 27V V V V A R  B R  C R  D R  4 2 2  Lời giải Chọn A V Ta có V  h R  h   R2 2V 2V V  2 R  S    4 R  S '   R  STP  2 Rh  2 R  2 R R Lập bảng biến thiên ta có STP R  V 2 Câu 7381:[2H2-2.6-3] [THPT Chuyên Quang Trung - 2017] Gia đình An xây bể hình trụ tích 150 m3 Đáy bể làm bê tông giá 100000 đ / m2 Phần thân làm tôn giá 90000 đ / m2 , nắp nhôm giá 120000 đ / m2 Hỏi chi phí sản suất để bể đạt mức thấp tỷ số chiều cao bể bán kính đáy bao nhiêu? A 21 32 B 22 31 22 Lời giải C D 22 Chọn B 150  R2 Mà ta có: f  R   100000 R2  120000 R2  180000 Rh Ta có: V  150   R2 h  150  h  27000000 150  220000 R  R R Đ ể chi phí thấ p nhấ t hàm số f  R  đạ t giá trị nhỏ nhấ t vớ i mọ i R  f  R   220000 R  180000 R 27000000 440000 R3  27000000 30 , cho f   R    R   2 R R 440 30 Lậ p BBT, từ BBT suy f  R  R  R 0 440 h 150 22 Nên   R R f   R   440000 R  Câu 7391:[2H2-2.6-3] [THPT Thanh Thủy - 2017] Một xưởng khí nhận làm thùng phi với thể tích 2000 lít Hỏi bán kính đáy chiều cao thùng để tiết kiệm nguyên liệu A 1cm 2cm B 1m 1m C 1m m D 1dm 2dm Lời giải Chọn C Gọi r , h  bán kính đáy chiều cao thùng phi   Thể tích thùng phi: V   r h  2000  lít   2000 dm3  h  2000  dm3  r2 Diện tích tồn phần thùng phi: Stp   r   2 rh  2 r  Đặt: f (r )  r  4000 2000    2  r   r r   2000 2000 2r  2000 ;  r    f (r )  2r   r r r2 f (r )   r  1000  10  dm  Bả ng biế n thiên: Để tiết kiệm nguyên liệu diện tích tồn phần nhỏ Khi đó: Stp nhỏ  f  r  nhỏ  r  10dm  1m  h  20dm  2m Câu 7392:[2H2-2.6-3] [THPT Nguyễn Huệ-Huế - 2017] Một đại lý xăng dầu cần làm bồn chứa dầu hình trụ có đáy nắp đậy tơn với thể tích 16  m3  Biết giá thành (cả vật liệu tiền cơng) tính theo mét vng, tìm đường kính đáy bồn để đại lý phải trả chi phí A  m  B  m  C 1 m  D  m  Lời giải Chọn B Gọ i bán kính đáy r  m  16 Từ thể tích bồ n 16  m3  suy ra: 16   r h  h  r Diệ n tích tồn phầ n hình trụ Stp  2Sđáy  S xq = 2 r  2 rh = 2 r  32 r Chi phí nhỏ nhấ t diệ n tích tồn phầ n nhỏ nhấ t 32 Đ ặ t : f  r   2 r  , vớ i r  r f   r   4 r  32 4 r  32  , f   r    r3   r  2 r r Bả ng biế n thiên: Vậ y chi phí nhỏ nhấ t đư ng kính đáy bồ n bằ ng  m  Câu 7398:[2H2-2.6-3] [THPT Chuyên Phan Bội Châu - 2017] Ông An dự định làm bể chứa nước hình trụ inốc có nắp đậy với thể tích k m3 ( k  ) Chi phí m đáy   600 nghìn đồng, m nắp 200 nghìn đồng m mặt bên 400 nghìn đồng Hỏi ơng An cần chọn bán kính đáy bể để chi phí làm bể nhất? (Biết bề dày vỏ inốc không đáng kể) A k B 2 k C k 2 D k  Lời giải Chọn C Gọi r , h  bán kính đáy chiều cao hình trụ k + Thể tích khối trụ V   r h  k  h  r + Diện tích đáy nắp Sđ  Sn   r ; diện tích xung quanh S xq  2 rh + Khi chi phí làm bể là: k k  C   600  200   r  400.2 rh  800 r  800 r  800   r   r r  k 2 r  k k + Đặt f (r )   r  , r   f (r )  2 r   ; r r2 r k , (k  0) f (r )   r  2 + Bảng biến thiên: Vậy: Chi phí làm bể  f (r ) đạt giá trị nhỏ  r  k 2 Câu 7399:[2H2-2.6-3][Sở GD ĐT Long An - 2017] Một công ty thiết kế bồn chứa nước hình trụ h nhựa tích V khơng đổi, chiều cao h bán kính đáy R Tính tỉ số k  để R nguyên vật liệu làm bồn nước tốn A k  B k  C k  D k  2 Lời giải Chọn C V Ta có: V   hR2  h   R2 Nguyên liệu làm bồn nước tốn Stp bé V V 2V V V  2 R    2 R  3 2 R  3 2V R R R R R V h Suy Stp bé 3 2 V  2 R  V  2 R3  2 R3   hR2   R R Stp  2 hR  2 R2  ... [2H 2-2 . 6 -3 ] (Sở Hải Dương -2 017) Cho hình trụ có tính chất: Thiết diện hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12cm Tìm giá trị lớn thể tích khối trụ A 16 cm3 B 8 cm3... 2 [2H 2-2 . 6 -3 ] (THPT QUẢNG XƯƠNG1) Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12  cm  Giá trị lớn thể tích khối trụ là: B 8  cm3  A 32   cm3  C 16  cm3  D 64  cm3  Lời... [2H 2-2 . 6 -3 ] (Sở Hải Dương -2 017) Cho hình trụ có tính chất: Thiết diện hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12cm Tìm giá trị lớn thể tích khối trụ A 16 cm3 B 8 cm3