D02 tìm hệ số và số hạng trong khai triển muc do 3

Câu 22: [1D2-3.2-3] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Với n số nguyên dương thỏa mãn 3Cn31  An2  52  n  1 Trong khai triển biểu thức  x3  y  , gọi Tk số hạng mà tổng số n mũ x y số hạng 34 Hệ số Tk A 54912 B 1287 Chọn D Điều kiện : n  , n  *  n  1 n  n  1  3n D 41184 Ta có 3Cn31  An2  52  n  1   C 2574 Lời giải  n  1 !  n !  52 n    3!  n   !  n  2!  n  1  52  n  1  n2  n  n  104  n  13  n2  5n  104     n  13  n  8 x  y2   13 C  x  2 y   C 13 k 13 13  k k 13 k 13 2k x 39 3 k y k 0 Ta có : 39  3k  2k  34  k  Vậy hệ số C135 25  41184 Câu 29: [1D2-3.2-3] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Biết hệ số x khai triển nhị thức Newton   x  ,  n  n B n  A n  *  60 Tìm n C n  Lời giải D n  Chọn B n Số hạng tổng quát khai triển nhị thức Newton   x  ,  n  *  Cnk 2nk  1 x k , với k  ,  k  n , suy hệ số x Cn4 2n4 Theo đề suy k Cn4 2n4  60  Cn4 2n  960 * Tới ta dùng phương pháp thử trực tiếp đáp án có n  thỏa phương trình * Câu 27 [1D2-3.2-3] (THPT Kinh Mơn - Hải Dương - 2018 - BTN) Trong khai triển 40 2  f  x    x   , tìm hệ số x 31 x   A 79040 B 9880 C 31148 Lời giải D 71314 Chọn A 40 40 2  Ta có f  x    x     x  x 2  x   k 40  k k Số hạng tổng quát khai triển C40 x  2 x 2   C40  2 x403k k Số mũ x 31 40  3k  31  k  3 Vậy hệ số x 31 C40  2  79040 k Câu 26: [1D2-3.2-3] (Toán học Tuổi trẻ - Tháng - 2018 - BTN) Hệ số x khai triển  x  16  x2  x   1  thành đa thức 4 A C146 B C146 C C146 D 4C148 Lời giải Chọn B n Xét khai triển  x  1  1  x   6  n C6k 16k  2x k  k 0 8 1  1 1    x  x     x      x  4  2 2   6 1 Vậy  x  1  x  x    4   8 j 81 Cj   2 j 0  C6k 2k x k k 0 Số hạng khai triển chứa x Xét bảng : k k k k 0 n  C x j 0 xj n 8 j C8J 1   2 x  j  k 0  C6k 2k j 0 8 j 1 C8J   2 x j k jk 6 6 1 3003 Vậy hệ số x khai triển  x  1  x  x   thành đa thức  C14 4 4  Câu 45 [1D2-3.2-3] (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-2018) Với n số nguyên dương thỏa mãn Cn1  Cn2  55 , hệ n 2  số x khai triển biểu thức  x3   x   A 8064 B 3360 C 8440 Lời giải Chọn A Ta có Cn1  Cn2  55  n  n  n  1  n  10  55  n2  n  110     n  10  n  11 D 6840 10 k 10  k   2  Số hạng tổng quát khai triển  x3   Tk 1  C10k  x3     C10k 2k.x305k x   x  Số hạng chứa x ứng với 30  5k   k  10 2  Vậy, hệ số x khai triển biểu thức  x3   C105 25  8064 x   Câu 22: [1D2-3.2-3] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần – 2018) Hệ số số hạng chứa x8 n 1  khai triển   x5  ;  x   biết Cnn41  Cnn3   n  3 x  A 1303 B 313 C 495 Lời giải Chọn C Điều kiện: n  D 13129 Ta có  n   !   n  3 !  n     n  1!3! n!3!  n   n  3 n     n  3 n   n  1  n     Cnn41  Cnn3   n  3   3n  36  n  12 Xét khai triển 12 12 1 1   x  C12k      x  x  k 0 12  C x k 0 k 12 60 11k k   x5 12  k   k  12, k   Để số hạng chứa x8 60  11k 8  k  Vậy hệ số chứa x8 khai triển C124  495 Câu 29: [1D2-3.2-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần - 2017 - 2018 - BTN) Trong khai triển n  1  3x   biết hệ số x Cn Giá trị n nhận x  A B 12 C 15 Lời giải Chọn A n k n n nk   1  Ta có  3x     Cnk  3x      Cnk 3n k x n 3k x  k 0   x  k 0 2n  3k  n  k  k   Biết hệ số x Cn nên   k  n    0  k  n,  k , n  N   Vậy n  D 16 Câu 26: [1D2-3.2-3] (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-2018) Tìm hệ số số hạng chứa x8  n x khai triển Nhị thức Niu tơn     2x  2n  x   , biết số nguyên dương n thỏa mãn Cn3  An2  50 A 297 512 B 29 51 C 97 12 D 279 215 Lời giải Chọn A Ta có Cn3  An2  50  n  3, n   n  n  1 n    n  n  1  n! n!   50 3! n  3!  n  !  50  n3  3n2  4n  300   n  12  n x Khi khai triển    có số hạng tổng quát C12k 312k.2 k.x2k 12  k  , k  12   2x  Hệ số số hạng chứa x8 ứng với k thỏa 12k 12   k  10 297 10 10 Vậy hệ số số hạng chứa x8 C12  512 Câu 42: [1D2-3.2-3] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG-LẦN 22018) Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5n Cn0  5n1 Cn1  5n2 Cn2    1 Cnn  1024 Tìm n hệ số x khai triển   x  n B 90 A 270 D 270 C 90 Lời giải Chọn B Ta có 5n Cn0  5n1 Cn1  5n2 Cn2    1 Cnn  1024    1  1024  22n  210  n  n n 5 Với n  ta có:   x    C5k 35k   x    C5k 35k  1 x k k k k 0 k 0 Vậy hệ số x là: C  1  90 3 Câu 26: [1D2-3.2-3] (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần -2018) Với n số tự nhiên thỏa mãn Cnn46  nAn2  454 , hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn n 2 3   x  ( với x  ) x  A 1972 B 786 C 1692 Lời giải D 1792 Chọn D Điều kiện n  n   n  !  n  n!  454   n  5 n    n2 n   454 Cnn46  nAn2  454     n  !2!  n  !  2n3  n2  9n  888   n  (Vì n  ) 2  Khi ta có khai triển:   x3  x  8 k k k 2 Số hạng tổng quát khai triển C     x3   C8k  1 28k x k 8  x Hệ số số hạng chứa x ứng với k thỏa mãn: 4k    k  Vậy hệ số số hạng chứa x là: C83  1 25  1792 k Câu 39: [1D2-3.2-3] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Khai triển (  7)124 Có số hạng hữu tỉ khai triển trên? A 30 B 31 C 32 D 33 Lời giải Chọn C 124 124  k k Ta có (  7)124   C124  1 k k k 0 124  k   Số hạng hữu tỉ khai triển tương ứng với  k   Vậy số giá trị k là: Câu 49:  k 0;4;8;12; ;124 124    32 [1D2-3.2-3] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Tìm hệ số x khai triển n  nhị thức Newton  x   A 8064   với x  , biết n số tự nhiên lớn thỏa mãn An  18 An2 x B 3360 C 13440 D 15360 Lời giải Chọn A n  Điều kiện:  n  Khi An5  18 An42   n  ! n!  18  n  5!  n  !  n  n  1 n  2 n  3 n  4  18  n  2 n  3 n   n  5 nmax  n  n  1  18  n  5  n2  19n  90    n  10   n  10 10   10  k   Số hạng tổng quát khai triển  2x   Tk 1  C10k  x    x   x 10 k  C k 10 10  k x Tìm k cho x  k 10  k  C k 10 x 50  k 50  6k   k  5 Vậy hệ số số hạng chứa x C105 2105  8064 k Câu 32: [1D2-3.2-3] (Chuyên Long An - Lần - Năm 2018) Với n số nguyên dương thỏa mãn điều n 2  kiện A  C  10 , tìm hệ số a5 số hạng chứa x khai triển  x   với x  x   n n A a5  10 D a5  10 C a5  10 x5 B a5  10 x5 Lời giải Chọn D Ta có An2  Cn3  10  n! n!   10 ,  n  , n  3  n  ! 3! n  3!  n  2 3  n  n  1  n  n  1 n    10   n  n  n  10    n  6  n  So điều kiện nhận n  hay n  6 2 k   2  Khi n  , ta có  x     C6k x 2 6k      C6k  2  x125 k x   x  k 0 k 0 Để có x 12  5k   k  (loại) k 5 2 k   2  Khi n  , ta có  x     C5k x 25k      C5k  2  x105 k x   x  k 0 k 0 k Để có x 10  5k   k  Vậy a5  C51  2   10 Câu 31: [1D2-3.2-3] (SGD Hà Nam - Năm 2018) Cho số tự nhiên n thỏa mãn An2  2Cnn  22 Hệ số số hạng chứa x khai triển biểu thức  3x   n B 1440 A 4320 C 4320 Lời giải D 1080 Chọn C Điều kiện n  , n  Ta có An2  2Cnn  22  n!   22  n  n  1  20  n  thỏa mãn  n  ! Khi  3x     3x     C5k  3x   4  n k k 0 5 k   C5k 3k  4  5 k xk k 0 Hệ số số hạng chứa x nên k  Do hệ số cần tìm C53 33  4   4320 Câu 14 [1D2-3.2-3] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Tìm hệ số x khai triển P  x   x 1  x   x 1  3x  A 3240 10 B 3320 C 80 D 259200 Lời giải Chọn B k m k Khải triển P  x  có số hạng tổng quát xC5k  2 x   x 2C10m  3x    2  C5k x k 1 3m C10m x m ( k  , , m  10 ) k  , m k   k  Hệ số x ứng với k , m thỏa hệ   m   m  Vậy hệ số cần tìm  2  C54  33 C103  3320 Câu 27 [1D2-3.2-3] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho số nguyên dương n thỏa mãn 2Cn1  3Cn2    n  1 Cnn  2621439 Số hạng không chứa x khai triển biểu thức n  1  x   x  A 43758 B 31824 C 18564 D Lời giải Chọn C Ta có: x 1  x   Cn0 x  Cn1 x  Cn2 x3   Cnn x n1 Lấy đạo hàm hai vế ta được: n n 1  x  1  nx  x  1  Cn0  2Cn1 x  3Cn2 x2    n  1 Cnn x n n Cho x  , ta có Cn0  2Cn1  3Cn2    n  1 Cnn  2n  n2n1  2n1   n  2621440 (*) 2n 2621440 Xét f  n   2n hàm số đồng biến  0;   g  n   hàm số nghịch biến 2n  0;    2n1   n    2621439  2n1   n   2621440  2n  Ta có f 18  g 18  n  18 nghiệm (*) 18 1  Khi số hạng tổng quát khai triển  x   là: C18k x363k với k  ,  k  18 x  12 Vậy số hạng không chứa x C18  18564 Câu 36 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Hệ số số hạng chứa [1D2-3.2-3] x khai triển  x  3x   A 6432 D 5418 C 1632 B 4032 Lời giải Chọn D x  3x     x  1  x   6 Số hạng tổng quát khai triển  x  1 C6k x k  1 Số hạng tổng quát khai triển  x   C6i xi  2  6 k với k  0;1;2 ;6 i với i  0;1;2 ;6 Số hạng tổng quát khai triển  x  3x     x  1  x   C6k x k  1  C6k C6i xi k  1 12i  k  2 6 i Số hạng chứa x ứng với i  k  Kết hợp với điều kiện ta nghiệm 5 i   k   hệ số  C66C61  1    192 i   k   hệ số  C65C62  1    1440 i   k   hệ số  C64C63  1    2400 6 k C6i xi  2  i i   k   hệ số  C63C64  1    1200 i   k   hệ số  C62C65  1    180 i   k   hệ số  C61C66  1    6 Vậy hệ số số hạng chứa x khai triển  x  3x   5418 Cách x  3x     x   3x    6 Số hạng tổng quát khai triển C6k  x  6 k  3x  2 k i Số hạng tổng quát khai triển  3x   Cki 2k i  3x  k Số hạng tổng quát khai triển  x  3x   C6k  x  C6k Cki 2k i  3  x122 k i   6 k với k  0;1;2 ;6 với  i  k Cki 2k i  3x  i i Số hạng chứa x ứng với 12  2k  i   2k  i  Kết hợp với điều kiện ta nghiệm k   i   hệ số  C63C31 22  3  720 k   i   hệ số  C64C43  3    3240 k   i   hệ số  C65C55    3  1458 Vậy hệ số số hạng chứa x khai triển  x  3x   5418 Câu 26: [1D2-3.2-3](THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - Lần -2018 - BTN) Tính tổng hệ 2018 số khai triển 1  2x  A 1 C 2018 B D 2018 Lời giải Chọn B 2018 Xét khai triển (1  2x)2018  C2018  x.C2018  (2 x)2 C2018  (2 x)3.C2018   (2 x) 2018.C2018 Tổng hệ số khai triển là: 2 3 2018 2018 S  C2018  2.C2018  (2) C2018  (2) C2018   (2) C2018 Cho ta có: x 1 2018 2 3 2018 2018 (1  2.1)  C2018  2.1.C2018  (2.1) C2018  (2.1) C2018   (2.1) C2018   1 2018  S  S 1 Câu 902 [1D2-3.2-3] Tổng số hạng thứ khai triển  5a  1 số hạng thứ khai triển  2a  3 A 4160a B 4610a C 4610a D 4620a Lời giải Chọn C Số hạng thứ khai triển  5a  1 T4  C53  5a   1  250a Số hạng thứ khai triển  2a  3 T5  C64  2a   3  4860a Vậy tổng hai số hạng 4610a   Câu 905 [1D2-3.2-3] Tìm số hạng khai triển  x   , với x  x  1 1 1 C 70x 56x B 70x A 56x D 70 x x Lời giải Chọn B Số hạng khai triển T5  C     x    70 x  x n 1  Câu 907 [1D2-3.2-3] Trong khai triển  3x   , hệ số x 34 Cn5 Giá trị n x  A 15 B 12 C D 14 Lời giải Chọn C Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  C  3x k n Theo đề: số hạng chứa x ứng với k  C k n  nk  Cn5  k nk 1    Cnk  3 x n 3k  x Ta tìm n cho: n  k   n    n  Câu 931 [1D2-3.2-3] Trong khai triển  3x  y  , hệ số số hạng 10 A 61236 D 40000 C 8960 B 4000 Lời giải Chọn A Ta có  3x  y    C10k  3x    y  10 10 10  k k k 0 10   C10k  1 10 k 3k.x k  y  10 k k 0 Khai triển gồm 11 số hạng Số hạng ứng với k  Vậy hệ số số hạng C105 35  1  61236 Câu 933 [1D2-3.2-3] Trong khai triển  x   100  a0  a1 x   a100 x100 Hệ số a97 B 1293600 A 1293600 97 C 23.C100 98 D 298.C100 Lời giải Chọn C 100 k   C100 x k  2  Ta có  x   100 100 k k 0 k Từ suy ak  C100  2  100 k 100 k   C100  2  100 k k 0 x k  a0  a1 x   a100 x100 97 97 Vậy a97  C100  2   23.C100 Câu 936 [1D2-3.2-3] Tìm hệ số chứa x khai triển 1  x   1  x  10  1  x   1  x   1  x   1  x   1  x  11 12 13 15 C 3003 B 8008 A 3000 14 D 8000 Lời giải Chọn B Xét (1  x)n với n  hệ số chứa x khai triển là: Cn9 Vậy hệ số chứa x khai triển 1  x   1  x  10  1  x   1  x   1  x   1  x   1  x  là: 11 12 13 14 15 C99  C109  C119  C129  C139  C149  C159  8008 n Câu   [1D2-3.2-3] Số hạng thứ khai triển  x   khơng chứa x Tìm x biết số hạng x   số hạng thứ hai khai triển 1  x3  30 A 2 C 1 Lời giải B D Chọn D n k n   k nk    x     Cn (2 x)   x  k 0  x  Vì số hạng thứ ba khai triển ứng với k  nên số hạng thứ ba khai triển Cn2 2n2.x n6 Mà số hạng thứ ba khai triển không chứa x nên n    n  x3  30 x3 Số hạng thứ khai triển 1  x3  C30 30 Khi ta có C62 24  30.x3  x  Câu 32: [1D2-3.2-3] (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) P  x    x    an x n  an1 x n1   ak x k   a1x  a0 , n  * n Cho Biết biểu thức an9  an8 an9  an10 Giá trị n bằng: A 13 B 14 C 12 D 15 Lời giải Chọn A * Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có: P  x    x    Cn0 x n 20  Cn1 x n1 21   Cnnk x k 2nk   Cnn1 x1 2n1  Cnn x0 2n , n  * n mà P  x    x    an x n  an1 x n1   ak x k   a1x  a0 , n  * n Ta có: ak  2nk Cnnk  2nk Cnk ,  k  n  an8  28 Cnn8  28 Cn8 , an9  29 Cn9 , an10  210 Cn10 * Theo đề với n  10, n  * : an 9  an 8  an 9  an 10 Câu 46: n! n!  2  25    9! n  !  n  8! n  !  n      n  13 n ! n ! 1 10 2  2  n  14  n   9! n  ! 10! n  10 ! [1D2-3.2-3] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần – 2018 – BTN) Cho khai triển  T   x  x 2017  2018    x  x 2018 A 4035  2017 Hệ số số hạng chứa x khai triển B C 2017 D Lời giải Chọn B 2018  k Cách 1: Ta có T   C2018 x  x 2017 k 0  k 2017  k   C2017 x 2018  x k 0  k 10 k 10 k k 0 i 0 k 0 i 0   C10k  Cki (3x)k i (2 x )i   C10k  Cki 3k i.2i x k i với  i  k  10 Do k  i  15 với trường hợp k  10, i  k  9, i  k  8, i  10 Vậy a15  C10 C105 35.25  C109 C96 33.26  C108 C87 3.27 [1D2-3.2-3] Tìm hệ số khơng chứa x khai triển sau ( x3  ) n , biết x n 1 n2 Cn  Cn  78 với x  A 112640 B 112640 C 112643 D 112643 Hướng dẫn giải: Chọn A n! n! Ta có: Cnn1  Cnn2  78    78 (n  1)!1! (n  2)!2! n(n  1)  n  78  n2  n  156   n  12 12 12 2  Khi đó: f ( x)   x3     C12k (2) k x364 k x  k 0 Số hạng không chứa x ứng với k : 36  4k   k  Số hạng không chứa x là: (2)9 C129  112640 Câu 1511 [1D2-3.2-3] Với n số nguyên dương, gọi a3n 3 hệ số x3n3 khai triển thành Câu 1512 đa thức ( x2  1)n ( x  2)n Tìm n để a3n3  26n A n=5 B n=4 C n=3 Hướng dẫn giải: Chọn A Cách 1:Ta có: x  1  Cn0 x n  Cn1 x n 2  Cn2 x n 4   Cnn n  x  2 n  Cn0 x n  2Cn1 x n 1  22 Cn2 x n 2   2n Cnn Dễ dàng kiểm tra n  , n  khơng thoả mãn điều kiện tốn Với n  dựa vào khai triển ta phân tích x3n3  x2n xn3  x2n2 xn1 Do hệ số x3n3 khai triển thành đa thức x  1  x   là: a3n3  23.Cn0 Cn3  2.Cn1 Cn1 n n Suy a3n 3  26n  2n  2n2  3n   Vậy n  giá trị cần tìm Cách 2: Ta có:  x  1  x   n i n n  26n  n     2   x 1   1    x   x n  n 3n k n  n   1 n 2  x  C    Cnk   x3n  Cni x 2i  Cnk 2k x  k   x  k 0  x  i 0 k 0  i 0  Trong khai triển trên, luỹ thừa x 3n  2i  k  3  2i  k  Ta có hai trường hợp thoả mãn điều kiện i  0, k  i  1, k  (vì i, k nguyên) n 3n i n D n=2 Hệ số x3n3 khai triển thành đa thức  x  1  x   n n Là: a3n3  Cn0 Cn3 23  Cn1 Cn1 Do a3n 3  26n  2n  2n2  3n   Vậy n  giá trị cần tìm Câu 1513  26n  n   n  [1D2-3.2-3] Tìm hệ số số hạng chứa x 26 khai triển nhị thức Newton n  1 n 20 7   x  , biết C2n1  C2n1   C2n1   x  A 210 B 213 C 414 Hướng dẫn giải: Chọn A Do C2kn1  C22nn11k k  0,1, 2, , 2n  D 213  C20n1  C21n1   C2nn1  C2nn11  C2nn21   C22nn11 Mặt khác: C21n1  C22n1   C22nn11  22n1  2(C20n1  C21n1  C22n1   C2nn1 )  22 n1  C21n1  C22n1   C2nn1  22n  C20n1  22 n   22n   220   n  10 10 10 10 10   Khi đó:   x    x 4  x    C10k ( x 4 )10k x k   C10k x11k 40 x  k 0 k 0 26 Hệ số chứa x ứng với giá trị k : 11k  40  26  k  Vậy hệ số chứa x 26 là: C106  210 [1D2-3.2-3] Cho n  * (1  x)n  a0  a1 x   an x n Biết tồn số nguyên k a a a (  k  n  ) cho k 1  k  k 1 Tính n  ? 24 A 10 B 11 C 20 D 22 Hướng dẫn giải: Chọn A n! n! 1  (k  1)!(n  k  1)!  (n  k )!k !  Ta có: ak  Cnk , suy hệ  n! n! 1   (n  k )!k ! 24 (n  k  1)!(k  1)! Câu 1514 9k  2(n  k  1) 2n  11k  2    n  10, k  24(k  1)  9(n  k ) 9n  33k  24 Câu 3527 [1D2-3.2-3] Tổng hệ số nhị thức Niu-tơn khai triển 1  x  64 Số hạng 3n   không chứa x khai triển  2nx   2nx   A 360 B 210 3n là: C 250 D 240 Lời giải Chọn D 3n Đặt: P  x   1  x  Tổng hệ số khai triển P 1  1  1 3n  64  23n  64  8n  82  n  3n     Số hạng tổng quát khai triển  2nx  hay  x    2nx  4x    k   Tk 1  C  x     C6k 462 k x 63k  4x  Ta cần tìm k cho:  3k   3k   k  6 k k 6 2.2 Số hạng không cḥ́a x khai triện là: C6 Câu 3560 [1D2-3.2-3] Trong khai triển  x   100  a0  a1 x   a100 x100 Hệ số a97 97 C 23.C100 B 1293600 A 1293600  240 98 D 298.C100 Lời giải Chọn C 100 k   C100 x k  2  Ta có  x   100 100 k k 0 Từ suy ak  C  2  100 k k 100 Câu 3563 100 k   C100  2  100 k k 0 x k  a0  a1 x   a100 x100 97 97 Vậy a97  C100  2   23.C100 [1D2-3.2-3] Tìm hệ số chứa x khai triển 1  x   1  x  10  1  x   1  x   1  x   1  x   1  x  11 12 13 B 8008 A 3000 14 15 D 8000 C 3003 Lời giải Chọn B Xét 1  x  với n  hệ số chứa x khai triển là: Cn9 n Vậy hệ số chứa x khai triển 1  x   1  x  10  1  x   1  x   1  x   1  x   1  x  là: 11 12 13 14 15 C99  C109  C119  C129  C139  C149  C159  8008 Câu 3568 [1D2-3.2-3] Trong khai triển 1  x  biết tổng hệ số Cn1  Cn2  Cn3   Cnn1  126 n Hệ số x A 15 B 21 C 35 D 20 Lời giải Chọn C 1  x  n n   Cnk x k k 0 Thay x  vào khai triển ta 1  1n  Cn0  Cn1   Cnn1  Cnn   126   128  2n  128  n  Hệ số x C73  35    , hệ số x ,  x   là: Câu 3613: [1D2-3.2-3] Trong khai triển  x  x  A 60 B 80 C 160 D 240 Lời giải Chọn C Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  C6k x 6k 2k.x  k Yêu cầu toán xảy  k  k   k  Khi hệ số x là: C63 23  160 Câu 3623: [1D2-3.2-3] Hệ số x3 y khai triển 1  x  1  y  là: B 800 A 20 C 36 Lời giải D 400 Chọn D Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  C6k x k C6m y m Yêu cầu toán xảy k  m  Khi hệ số số hạng chứa x3 y là: C63 C63  400 Câu 41: [1D2-3.2-3] (SGD BINH THUAN_L6_2018_BTN_6ID_HDG) Hệ số x khai triển f  x   1  x  3x3  thành đa thức 10 B 1332 A 1380 Chọn B  Ta có f  x    x 1  3x   C 3480 Lời giải D 1836 10 Số hạng tổng quát: T  C10k C10i k 3k xi 3k i  3k  k  k    Để T chứa x i, k   i  0  i  10  k  10 i   C92 31  1332 Vậy hệ số x khai triển C100 C105 30  C10 Câu 40: [1D2-3.2-3] (THPT HAU LOC 2_THANH HOA_LAN2_2018_BTN_6ID_HDG) Trong khai triển 1  3x   a0  a1 x  a2 x   an x n Tìm a2 biết a0  a1  a2  a3    1 an  22018 n n B a2  A a2  508536 C a2  4576824 D a2  18316377 Lời giải Chọn C Trong khai triển 1  3x   a0  a1 x  a2 x   an x n ta thay x  1 ta được: n 4n  a0  a1  a2  a3    1 an  22n  22018  n  1009 n Khi đó, a2  C1009  3  4576824 Câu 33 [1D2-3.2-3] (Sở Giáo dục Gia Lai – 2018-BTN)Tìm số hạng không chứa x khai triển n  1  x   ( x  n số nguyên dương), biết tổng hệ số số hạng thứ nhất, thứ x  hai thứ ba khai triển 46 A 84 B 62 C 86 D 96 Lời giải Chọn A n n  1 k n 3 k x      Cn x x   k 0 Theo ta có Cn0  Cn1  Cn2  46  n  Để có số hạng khơng chứa x 2.9  3k   k  Số hạng cần tìm C96  84  (Chuyên Thái Nguyên - 2018 - BTN) Tìm hệ số x khai triển  3x  x3 Câu 34 [1D2-3.2-3] B 16758 A 17550 C 21130  10 D 270 Lời giải Chọn A   C10k  3x  x3  10 1  3x  x  10 10 k k 0 i 0 k k 0   C10k  Cki  3x   x3    C10k Cki 3k i.2i.x k  2i k i 10 i k k 0 i 0 Số hạng chứa x k  2i    k ; i    4;0  ,  2;1 Hệ số số hạng C104 C40 34.20  C102 C21.31.21  17010  540  17550 Câu 48: [1D2-3.2-3] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Biết hệ số x n 2 khai triển n 1   x   31 Tìm n 4  A n  32 B n  30 C n  31 D n  33 Hướng dẫn giải Chọn A n k n 1 k  1 Ta có  x      1 Cnk x nk   (với  k  n k , n  ) 4  4 k 1 n Suy hệ số x n2 1 21  khai triển  x    1   Cn2  Cn2 4 16  4 Theo giả thiết ta có n! Cn  31  Cn2  496   496  n  n  1  992  n2  n  992   n  32 16 2! n  ! Câu 26: [1D2-3.2-3] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Biến n 2n số nguyên dương thỏa mãn An3  An2  100 Hệ số x khai triển 1  3x  B 35.C125 A 35.C105 C 35.C105 D 65.C105 Lời giải Chọn A ĐK: n  3; n  Ta có: A  A  100 n  n n  n  1 n   n  3! n  n  1 n  ! n! n!   100    100  n  3 !  n   !  n  3 !  n  !  n  n  1 n    2.n  n  1  100  n3  n2  100   n   n  Khi đó: 1  3x   1  3x  2n 10 Số hạng tổng quát khai triển nhị thức là: Tk 1  C10k 110k  3x    3 C10k x k k k Hệ số x  k  Do ta có hệ số x là: 35.C105 Câu 44 [1D2-3.2-3] (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2017 - 2018 -BTN) Biết tổng hệ số khai triển   x  1024 Tìm hệ số x10 khai triển n B 61236 A 59049 C 61236 Lời giải D 59049 Chọn B Vì tổng hệ số khai triển   x  1024 nên thay x   2n  1024  n  10 n Khi 3  x  10 10   C10k 310k  1 x k , x10 ứng với k  suy hệ số cần tìm k k 0 C  1  61236 5 10 Câu 33: [1D2-3.2-3] (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho n số nguyên dương thỏa mãn An2  Cn2  Cn1  4n  Hệ số số hạng chứa x khai triển n 3  biểu thức P  x    x   bằng: x  A 18564 B 64152 C 192456 Lời giải D 194265 Chọn C An2  Cn2  Cn1  4n    n  n  1  n! n! n!    4n   n  2!  n  !.2!  n  1!.1!  n  1  l  n  n  1  n  4n   n2  11n  12     n  12  n  12 3  Khi P  x    x   x  Công thức số hạng tổng quát: Tk 1  C12k  x  12  k k 3    C12k 3k.x 243k  x Số hạng chứa x  24  3k   k  Vậy hệ số số hạng chứa x khai triển C125 35  192456 Câu 388 [1D2-3.2-3] Tổng hệ số nhị thức Niu-tơn khai triển 1  x  64 Số hạng không 3n   chứa x khai triển  2nx   2nx   A 360 B 210 3n là: C 250 Lời giải D 240 Chọn D Đặt: P  x   1  x  3n Tổng hệ số khai triển P 1  1  1  64  23n  64  8n  82  n  3n   Số hạng tổng quát khai triển  2nx   2nx   3n   hay  x   4x   k   Tk 1  C  x     C6k 462 k x 63k  4x  Ta cần tìm k cho:  3k   3k   k  Số hạng không chứa x khai triển là: C62 42  240 6 k k n 1  Câu 395 [1D2-3.2-3] Trong khai triển  3x   hệ số x 34 Cn5 giá trị n x  A 15 B 12 C D 14 Lời giải Chọn C Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  Cnk  3x  Theo đề: số hạng chứa x ứng với k  C k n nk  Cn5  k nk 1    Cnk  3 x n 3k  x Ta tìm n cho: n  k   n    n  10 1  Câu 43 [1D2-3.2-3] [THPT QUẢNG XƯƠNG I] Hệ số x khai triển   x3  x  A 792 B 252 C 165 D 210 Lời giải Chọn D SHTQ: C10k x k 10 , cho 4k 10   k   hệ số x C104  210 Câu 437 [1D2-3.2-3] Hệ số x sau khai triển rút gọn đa thức: (1  x)9  (1  x)10   (1  x)14 là: A 3001 B 3003 C 3010 D 2901 Lời giải Chọn B 10 14 k 1 k 1 (1  x)9  (1  x)10   (1  x)14   C9k x k  C10k x k   C14k x k k 1 10 Ứng với x ta có hệ số là: C  C   C  3003 9 9 14 Câu 449 [1D2-3.2-3] Trong khai triển  3x  y  , hệ số số hạng 10 A 61236 D 40000 C 8960 B 4000 Lời giải Chọn A Ta có  3x  y    C10k  3x    y  10 10 k 0 k 10k 10   C10k  1 10k 3k.x k  y  10k k 0 Khai triển gồm 11 số hạng Số hạng ứng với k  Vậy hệ số số hạng C105 35. 1  61236 Câu 25: [1D2-3.2-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Lần – 2018) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển n 3  nhị thức Newton  x    x   , biết 1.Cn1  2.Cn2  3.Cn3   nCnn  256n ( Cnk x  số tổ hợp chập k n phần tử) A 489888 D 4889888 C 48988 Lời giải B 49888 Chọn C n Xét khai triển 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x3   Cnn x n 1 Đạo hàm hai vế 1 ta được: n 1  x  n 1  Cn1  2Cn2 x  3Cn3 x   nCnn x n1   Trong công thức   ta cho x  ta được: n2n1  Cn1  2.Cn2  3.Cn3   nCnn  n.2n1  256n  2n1  256  n  n k 3 3   Khi đó,  x     2x     C9k  3 29k x183k x  n 0 x   3  Do số hạng khơng chứa x khai triển  2x   18  3k  hay k  x  6 Suy số hạng cần tìm C9  3  489888 Câu 10: [1D2-3.2-3] (PTNK Cơ Sở - TPHCM - 2017 - 2018 - BTN) Cho đa thức P  x    x  2 2017  3  2x  2018  a2018 x2018  a2017 x 2017   a1 x  a0 Khi S  a2018  a2017   a1  a0 B A C 2018 Lời giải D 2017 Chọn A Ta có P  x   a2018 x 2018  a2017 x 2017   a1 x  a0 Cho x   P  1  a2018  a2017   a1  a0  1   Câu 24: 2017    2.1 2018 0 (Chuyên Quang Trung - BP - Lần - 2017 - 2018) Cho n  [1D2-3.2-3] thỏa mãn C  C   C  1023 Tìm hệ số x khai triển 12  n  x  1 thành đa thức A B 90 C 45 D 180 Lời giải Chọn D n n n n n Xét khai triển 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n , cho x  ta n 2n  Cn0  Cn1  Cn2   Cnn  2n   Cn1  Cn2   Cnn  1023  n  10  k  10, k   , hệ số Xét khai triển  x  1 có số hạng tổng quát C10k 210k x10k 10 x ứng với k thỏa 10  k   k  Vậy hệ số cần tìm C108 22  180 Câu 19 [1D2-3.2-3] (THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần - 2017 - 2018) Cho đa thức: P  x   1  x   1  x   1  x   1  x   1  x  Khai triển rút gọn ta đa thức: 10 11 12 P  x   a0  a1 x  a2 x   a12 x12 Tìm hệ số a8 A 720 B 700 C 715 Lời giải Chọn C Ta có 1  x   C80  C81 x   C88 x8 suy hệ số chứa x8 C88 D 730 Lại có 1  x   C90  C91 x   C98 x8  C99 x9 suy hệ số x8 C98 Tương tự khai triển 1  x  có hệ số x8 C108 10 1  x  có hệ số x8 C118 1  x  có hệ số x8 C128 11 12 Suy hệ số x8 P  x  a8  C88  C98  C10  C118  C128  715 Câu 34 [1D2-3.2-3] (THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần - 2017 - 2018) Cho đa thức P  x   1  x   1  x   1  x   1  x   1  x  Khai triển rút gọn ta đa thức 10 11 12 P  x   a0  a1 x   a12 x12 Tính tổng hệ số , i  0; 1; 2; ; 12 A B 7936 C D 7920 Lời giải Chọn B Ta có P  x   1  x   1  x   1  x   1  x   1  x  10 11 12 Áp dụng khai triển 1  x  n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n Cho x  , ta có Cn0  Cn1  Cn2   Cnn  2n Do ta có tổng hệ số P  x  là: S  28  29  210  211  212  28 1     16   31.28  7936 Câu 3068 [1D2-3.2-3] Trong khai triển  x  y  , hệ số số hạng chứa x5 y là: A 22400 B 40000 C 8960 Lời giải D 4000 Chọn A Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  (1)k C8k (2 x)8k (5 y)k  (1)k C8k 28k 5k.x8k y k Yêu cầu toán xảy k  Khi hệ số số hạng chứa x5 y là: 22400    , hệ số x3 ,  x   là: Câu 3069 [1D2-3.2-3] Trong khai triển  x  x  A 60 B 80 C 160 D 240 Lời giải Chọn C Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  C6k x 6k 2k.x  k Yêu cầu toán xảy  k  k   k  3 Khi hệ số x là: C6  160   [1D2-3.2-3] Trong khai triển  8a  b  , hệ số số hạng chứa a9b3 là:   9 A 80a b B 64a b C 1280a9 b3 D 60a6 b4 Lời giải Chọn C Câu 3073 Số hạng tổng quát khai triển Tk 1   1 C6k 86k a122 k 2 k bk k Yêu cầu toán xảy k  Khi hệ số số hạng chứa a9b3 là: 1280a9 b3   Câu 3074 [1D2-3.2-3] Trong khai triển  x   , số hạng không chứa x là: x   A 4308 B 86016 C 84 D 43008 Lời giải Chọn D Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  C9k x9k 8k.x 2k Yêu cầu toán xảy  k  2k   k  Khi số hạng khơng chứa x là: C93 83  43008 Câu 3079 [1D2-3.2-3] Hệ số x3 y khai triển 1  x  1  y  là: B 800 A 20 D 400 C 36 Lời giải Chọn D Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  C6k x k C6m y m Yêu cầu toán xảy k  m  Khi hệ số số hạng chứa x3 y là: C63.C63  400 Câu 18: [1D2-3.2-3] (THTT - Số 484 - Tháng 10 - 2017 - BTN) Tìm số hạng khơng chứa x khai n   triển  x x   , với x  , biết Cn2  Cn1  44 x   A 165 B 238 C 485 Lời giải Chọn A n  ĐK:   * n  Ta có Cn2  Cn1  44  D 525 n  n  1  n  44  n  11 n  8 (loại) 11   Với n  11 , số hạng thứ k  khai triển nhị thức  x x   x   k 11 C Theo giả thiết, ta có x x 11 k 33 11k   hay k  2 k 33 11  k   k 2  C x 11  4 x  Vậy, số hạng không chứa x khai triển cho C113  165 [1D2-3.2-3] Tổng hệ số nhị thức Niu-tơn khai triển 1  x  64 Số hạng 3n Câu 3173 3n   không chứa x khai triển  2nx   là: 2nx  B 210 A 360  C 250 Lời giải D 240 Chọn D Đặt: P  x   1  x  3n Tổng hệ số khai triển P 1  1  1  64  23n  64  8n  82  n  3n   Số hạng tổng quát khai triển  2nx   2nx   3n   hay  x   4x   k      C6k 462 k x 63k  4x  Ta cần tìm k cho:  3k   3k   k  Tk 1  C6k  x  6 k Số hạng không chứa x khai triển là: C62 462.2  240 [1D2-3.2-3] Tổng số Cn0  Cn1  Cn2   1 Cnn có giá trị bằng: n Câu 3176 A n chẵn C n hữu hạn B n lẻ D trường hợp Lời giải Chọn D Ta có:  x  1  Cn0 x n  1  Cn1 x n1  1  Cn2 x n2  1   Cnn x0  1 n n Cho x  , ta được: 1  1  Cn0  Cn1  Cn2    1 Cnn  Cn0  Cn1  Cn2    1 Cnn  0, n n n Câu 3222 [1D2-3.2-3] Hệ số x (1  x)9  (1  x)10   (1  x)14 là: A 3001 B 3003 C 3010 n sau khai triển rút gọn đa thức: D 2901 Lời giải Chọn B 10 14 k 1 k 1 (1  x)9  (1  x)10   (1  x)14   C9k x k  C10k x k   C14k x k k 1 10 Ứng với x ta có hệ số là: C  C   C  3003 Câu 20: [1D2-3.2-3] (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Số hạng không 9 9 14 2  chứa x khai triển  x   là: x  A 4C62 B 26 C62 D C62 16 C C64 Lời giải Chọn D Số hạng tổng quát khai triển là: C6k 2k.x123k   k  6, k   2  Số hạng không chứa x khai triển  x   ứng với k thỏa 12  3k   k  x  Vậy số hạng không chứa x là: C64 24  C62 16 Câu 26: [1D2-3.2-3] (THPT Phan Chu Trinh - ĐăkLăk - 2017 - 2018 - BTN) Số hạng không chứa x 2n   khai triển  x   với x  , biết n số nguyên dương thỏa mãn Cn3  2n  An21 là: x  12 12 16 12 12 A C16 B C160 216 C C16 D C16 Lời giải Chọn C Với điều kiện n  3, n  , ta có n  n  1 n    2n   n  1 n   n  1 n    12   n  1 Cn3  2n  An21  3!  n  1(loaïi)  n  9n      n  8(thoûa) 16   Với n  , ta có số hạng thứ k  khai triển  2x   x  k   k 16 k k 16 k   C  x   16   x  Theo đề ta cần tìm k cho 16  k   k  12 12 12 Do số hạng khơng chứa x khai triển C16 C16k  x  16  k   Câu 621 [1D2-3.2-3] Trong khai triển  x   , hệ số x3 ,  x   là: x  A 60 B 80 C 160 Lời giải Chọn C Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  C6k x 6k 2k.x Yêu cầu toán xảy  k  k   k  3 Khi hệ số x là: C6  160 D 240  k   Câu 626 [1D2-3.2-3] Trong khai triển  x   , số hạng không chứa x là: x   A 4308 B 86016 C 84 Lời giải Chọn D Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  C9k x9k 8k.x 2k Yêu cầu toán xảy  k  2k   k  Khi số hạng khơng chứa x là: C93 83  43008 D 43008 Câu 631 [1D2-3.2-3] Hệ số x3 y khai triển 1  x  1  y  là: A 20 B 800 C 36 Lời giải Chọn D Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  C6k x k C6m y m Yêu cầu toán xảy k  m  D 400 Khi hệ số số hạng chứa x3 y là: C63 C63  400 18   Câu 641 [1D2-3.2-3] Số hạng không chứa x khai triển  x   là: x   A C189 B C10 C C18 18 D C183 Lời giải Chọn A Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  C18k x543k x 3k Yêu cầu toán xảy 54  3k  3k   k  Khi số hạng khơng chứa là: C189 Câu 27: [1D2-3.2-3] (Chuyên 3  2x  x  Vinh - Lần - 2018 - Cho BTN) khai  a0 x18  a1 x17  a2 x16   a18 Giá trị a15 A 218700 C 804816 Lời giải B 489888 D 174960 Chọn C Ta có:   x  x    C9k x182 k   x    C9k x182 k  Cki 3k i  2 x  9 k k 0 k k 0 i 0 i   i  k  9 i  i  Giá trị a15 ứng với: 18  2k  i     k  k  Vậy: a15  C98 C81.37  2   C99 C93 36  2   804816 Câu 293 [1D2-3.2-3] Hệ số x3 y khai triển 1  x  1  y  là: A 20 B 800 D 400 C 36 Lời giải Chọn D Số hạng tổng quát khai triển Tk 1  C6k x k C6m y m Yêu cầu toán xảy k  m  Khi hệ số số hạng chứa x3 y là: C63 C63  400 Câu 460 [1D2-3.2-3] Có số hạng hữu tỉ khai triển A 37 B 38 C 36  10   300 ? D 39 Lời giải Chọn B 300 k ( 10  3)300   C300 ( 10)300k ( 3) k k 0 300  k  k Các số hạng hữu tỉ thỏa mãn  k Từ đến 300 có 38 số chia hết cho n   Câu 466 [1D2-3.2-3] Cho khai triển    Tìm n biết tỉ số số hạng thứ tư thứ ba   A B 10 C D Lời giải Chọn D triển n k n n   k  k      Cn   2   k 0   Vì tỉ số số hạng thứ tư thứ ba  Cn3.  Nên ta có  Cn2   n 3   2   Cn3  Cn2  n  n2   2 Câu 37 [1D2-3.2-3] (Sở GD&ĐT Hà Nội - Lần - 2018 - BTN) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển 1  x  x  x3  10 A 582 B 1902 C 7752 Lời giải D 252 Chọn B Ta có: 1  x  x  x3   1  x  10 10 10 10 10 k 0 i 0 k 0 i 0 10   C10k x k  C10i xi   C10k C10i x k i 1  x  10 Hệ số số hạng chứa x nên 2k  i  Trường hợp 1: k  , i  nên hệ số chứa x C100 C105 Trường hợp 2: k  , i  nên hệ số chứa x C101 C103 Trường hợp 3: k  , i  nên hệ số chứa x C102 C101 1 Vậy hệ số số hạng chứa x C100 C105  C10 C103  C102 C10  1902 Câu 27: [1D2-3.2-3] (Sở Phú Thọ - Lần - 2018 - BTN) Với n số nguyên dương thỏa mãn n n 1 n 1 A C n  54 , hệ số số hạng chứa x A 25342x 20 20 C 25344x 20 Lời giải B 25344 Chọn B Ta có An2  Cnn11  54  2  khai triển  x5   ? x   D 25342  n  1! n!   54  n  !  n   n  1!  n  1!      n  n  1  n  n  1  54  n2  n  n2  n  108  n2  3n  108  n  12 n 2    x5    x5  x 3 x     12 12     C12k x5 k 0 12  k  x 3   C k 12 k 0 k 12 2k x 608 k Xét 60  8k  20  k   hệ số cần tìm C  25344 12 Câu 48: [1D2-3.2-3] (Sở GD &Cần Thơ-2018-BTN) Cho n số nguyên dương thỏa mãn n   Cn2  Cn1  44 Số hạng không chứa x khai triển biểu thức  x x   , với x  x   A 165 B 485 C 238 D 525 Lời giải Chọn A Cn2  Cn1  44   n  11 n  n  1  n  44  n  3n  88     n  8  l  Do 11  11   x x   C11k x x    x   k 0 11 3k   C11k  x  k 0  4 k 11  k 11 k  1  4 x  11k 88 11   C11k  x  k 0 Số hạng không chứa x 11k  88   k  Do số hạng cần tìm C118  165 Câu 21: [1D2-3.2-3] (THPT Sơn Tây - Hà Nội - 2018 – BTN – 6ID – HDG) Cho nhị thức n 1   x   , x  tổng hệ số khai triển nhị thức 1024 Khi số hạng x  không chứa x khai triển nhị thức cho A 252 B 125 C 252 D 525 Lời giải Chọn A n k n n 1  k nk   k n2k x   C x     n    Cn x x  k 0   x  k 0 Tổng hệ số n  C  1  1 k 0 k n n  2n  1024  n  10 Số hạng không chứa x tương ứng với 10  2k   k  Vậy số hạng không chứa x C105  252 ... chứa x3 y là: C 63 C 63  400 Câu 460 [1D 2 -3 . 2 -3 ] Có số hạng hữu tỉ khai triển A 37 B 38 C 36  10   30 0 ? D 39 Lời giải Chọn B 30 0 k ( 10  3) 300   C300 ( 10 )30 0k ( 3) k k 0 ? ?30 0 ...  hệ số  C65C55    ? ?3? ??  1458 Vậy hệ số số hạng chứa x khai triển  x  3x   5418 Câu 26: [1D 2 -3 . 2 -3 ](THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - Lần -2 018 - BTN) Tính tổng hệ 2018 số khai triển. .. [1D 2 -3 . 2 -3 ] Hãy tìm khai triển nhị thức  x3   số hạng độc lập x x   A 9880 B 131 3 C 14940 D 48620 Hướng dẫn giải: Chọn D C189  48620 Câu 1499 12  x 3? ?? Câu 1500 [1D 2 -3 . 2 -3 ] Tìm hệ số số hạng