SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPTDTNTCONCUÔNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 12 NĂM NỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN HỌC (Thời gian: 180 phút) Câu 1:( 5,0 điểm) Cho hàm số y=x 3 −3 x 2 +2 ( 1 ) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị cảu hàm số (1) 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) Biết tiếp tuyến cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A, B sao cho OB = 9OA, với O là gốc tọa độ. Câu 2: (4,0 điểm) 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 3 + x 2 + x=m. ( x 4 +2 x 2 +1 ) 2. Giải phương trình: log 2 ( x 2 +3x+2 ) + 2log 4 ( x 2 +7x+12 ) =4+log 2 3 Câu 3: (3,0 điểm) Tính tổng sau: S=C 2011 0 C 2011 2010 +C 2011 1 C 2010 2009 +C 2011 2 C 2009 2008 +…+C 2011 k C 2011−k 2010−k +…+C 2011 2010 C 1 0 Câu 4: (4,0 điểm) Cho hai số thực a, b thỏa mãn a 2 +b 2 =1 , a ≠ b ,a ,b ≠0 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức: P= 2ab+b 2 2ab+ 2 a 2 +1 Câu 5: (4,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có cạnh bên là a. Mặt phẳng (α) vuông góc với cạnh bên cắt lăng trụ theo một tam giác có diện tích là S. Mặt phẳng (P) không song song với đáy lăng trụ cắt cạnh bên A A ' , B B ' , C C ' lần lượt tại M,N,K sao cho AM = m, BN = n, CK = k,(0 < m,n,k < a). 1. Tính thể tích lăng trụ ABC. A ' B ' C ' theo, a và S 2. Chứng minh rằng thể tích khối đa diện ABCMNK được tính theo công thức. V = 1 3 ( m+n+ k ) . S …………………Hết………………… Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. . SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT DTNT CON CUÔNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 12 NĂM NỌC 2010 - 2011 MÔN THI: