ước lượng chiều cao và kiểm định chiều cao trung bình.doc

ước lượng chiều cao và kiểm định chiều cao trung bình

BÀI THẢO LUẬN

MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

A LÝ THUYẾT

I Ước lượng các tham số của ĐLNN

Xét một ĐLNN X thể hiện trên một đám đông nào đó Các số đặc trưng của X đượcgọi là các tham số lý thuyết (hay tham số của đám đông) Ký hiệu chung tham số lý thuyếtcần ước lượng là  Có hai phương pháp ước lượng  là:

 Ước lượng điểm

 Ước lượng bằng khoảng tin cậy.

1 Ước lượng bằng khoảng tin cậy

Để ước lượng tham số θ của ĐLNN X, trước hết từ đám đông ta lấy ra mẫu ngẫunhiên W=(X1,X2, … , Xn) Tiếp đến ta xây dựng thống kê G=f(X1,X2, … , Xn, θ), sao cho quyluật phân phối xác suất của G hoàn toàn xác định (không phụ thuộc vào tham số θ) Với xácsuất γ = 1 – α cho trước, ta xác định cặp giá trị α1, α2 thỏa mãn các điều kiện α1 ≥ 0, α2 ≥ 0 vàα1 + α2 = α Vì quy luật phân phối xác suất của G ta đã biết, ta tìm được các phân vị g1-α1 α1 vàgα2 sao cho P(G > g1-α1 α1) = 1 – α1 và P(G > ga2)= α2

Khi đó: P(g1-α1 α1 < G < ga2) = 1 -α1 α1 -α1 α2 = 1 – α = γ.Cuối cùng bằng cách biến đổi tương đương ta có:P(θ*

1 được gọi là độ dài của khoảng tin cậy.

Người ta thường chọn α1 = α2 = α/2 Nếu chọn α1 = 0 và α2 = α hoặc chọn α1 = α và α2= 0 thì ta sẽ có khoảng tin cậy một phía (dùng để ước lượng giá trị tối thiểu hoặc giá trị tốiđa của θ)

2 Ước lượng các tham số của ĐLNN

2.1 Ước lượng kỳ vọng toán của ĐLNN

Để ước lượng kỳ vọng toán E(X) = µ của ĐLNN X, từ đám đông ta lấy mẫuW=(X1,X2,…,Xn) Từ mẫu này ta tìm được trung bình mẫu X và phương sai mẫu điềuchỉnh S’² Ta sẽ ước lượng µ thông qua X Xét các trường hợp sau:

a) ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn đã biết.b) ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn chưa biết.c) Chưa biết quy luật phân phối xác suất của X nhưng n>30.

Khi n lớn, X có phân phối xấp xỉ chuẩn Mặt khác ta luôn có E X  và  2

Var X

ε = u 2 là sai số của ước lượng γ = 1 – α là độ tin cậy

(X – ε; X + ε) là khoảng tin cậy ngẫu nhiên của µ Ở đây ta cần chú ý rằng : Với xác suấtbằng γ = 1 – α khoảng tin cậy ngẫu nhiên này chụp đúng µ (µ là 1 số xác định )

Trong 1 lần lấy mẫu ta tìm được 1 giá trị cụ thể x của X Khi đó ta có 1 khoảng tin cậycụ thể của µ là (x – ε; x + ε)

Ta có những bài toán sau:

Bài toán 1: Biết kích thước mẫu n, biết độ tin cậy γ = 1 – α, tìm sai số ε ( hoặc khoảng tin

cậy ) Vì biết γ = 1 – α tra bảng ta tìm được u 2 , từ đó ta tìm được sai số ε = u 2 và

khoảng tin cậy của µ

Bài toán 2: Biết kích thước mẫu n và sai số ε, cần tìm độ tin cậy γ Biết n và ε, ta tìm được

u .tra bảng tìm được α/2 từ đó tìm được độ tin cậy γ = 1 – α

Từ công thức tìm khoảng tin cậy ta thấy rằng sai số của ước lượng bằng 1 nửa độ dàicủa khoảng tin cậy Vì vậy nếu biết khoảng tin cậy đối xứng (a,b) thì ta có thể tính được saisố của ước lượng theo công thức

ε=

Bài toán 3: Biết độ tin cậy γ, biết sai số ε, cần tìm kích thước mẫu n Biết γ = 1 – α, ta tìm

được u 2 Ta tìm được 2 2 22

Chú ý 1 : Nếu chưa biết σ, nhưng kích thước mẫu lớn (n>30) Ta có thể thay σ bằng ướclượng không chệch tốt nhất của nó là s’

Chú ý 2 : Trong trường hợp biết µ cần ước lượng X biến đổi tương đương công thức tacó:

P( µ -α1 ε < X < µ + ε ) = 1 – α = γ Vậy khoảng tin cậy của X là ( µ -α1 ε, µ + ε ).

 Khoảng tin cậy phải (lấy 1 0,2 ; dùng để ước lượng giá trị tối thiểu của µ)

Ta vẫn dùng thống kê UXN0;1

 ) = 1 – α = γ

Giả thuyết về quy luât phân phối xác suất của ĐLNN về tham số đặc trưng của đại

lựơng ngẫu nhiên hoặc tính độc lập của các ĐLNN được gọi là giả thuyết thống kê,kí hiệu

là Ho.

Mọi giả thuyết khác với giả thuyết H đươc gọi là đối thuyết,kí hiêu là H1.Ho và H1

lập thành một cặp giả thuyết thống kê Ta quy định: khi đã chọn cặp giả thuyết Ho và H1thì nếu bác bỏ Ho sẽ chấp nhận H1.

1.2 Tiêu chuẩn kiểm định

Để kiểm đinh cặp giả thuyết thống kê Ho và H1,từ đám đông ta chọn mẫu ngẫunhiên:W=(X1,…,Xn).dựa vào mẫu trên ta xây dưng thống kê

 1, , n, 0

Trong đó 0 là một số tham số liên quan đến Ho sao cho nếu đúng Ho thì quy luật

phân phối xác suất của G hoàn toàn xác định Khi đó thống kê G được gọi là tiêu chuẩnkiểm định.

1.3 Miền bác bỏ

Để xây dựng miền bác bỏ ta sử dụng nguyên lý xác suất nhỏ:Nếu một biến cố có xácsuất nhỏ ta có thể coi nó không xảy ra trong một lần thực hiện phép thử.

Vì đã biết quy luật phân phối xác suất của G, nên với một số α khá bé cho trước ta có thể

tìm được miền Wα gọi là miền bác bỏ, sao cho nếu giả thuyết Ho đúng thì xác suất để G

nhận giá trị thuộc miền Wα bằng α: P(G  Wα/Ho)=α

Vì α khá bé theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có thể coi biến cố (G  Wα/Ho) khôngxảy ra trong một lần thưc hiện phép thử.Nên nếu từ một mẫu cụ thể w=(x1, , xn) ta tìmđược giá trị thực nghiệm gtn f x 1, , ,x n 0 mà gtnW (Nghĩa là vừa thực hiện phếpthử thấy biến cố (G  Wα/Ho) xảy ra)ta có cơ sở bác bỏ giả thuyết Ho.

Kí hiêu W là miền bù của Wα Khi đó ta có P G W W  0 1 Vì α khá bénên 1-α1 α khá gần 1 Theo nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố có xác suất rất gần 1 ta cóthể coi nó sẽ xảy ra trong một lần thực hiện phép thử, nếu trong một lần lấy mẫu ta thấy

1.4 Các loại sai lầm

Theo quy tắc kiểm định trên ta có thể mắc hai loại sai lầm như sau:

 Sai lầm loại một là loại sai lầm bác bỏ giả thuyết Ho khí chính Ho đúng Ta có xácsuất mắc sai lầm loại một bằng α Giá tri α được gọi là mức ý nghĩa.

 Sai lầm loai hai là sai lầm chấp nhận Ho khi chính nó sai.Nếu ký hiệu xác suất mắc

sai lầm loại hai là ß thì ta có.

P G W H  / 1

2 Các trường hợp kiểm định

2.1.Kiểm định giả thuyết về kỳ vọng toán của một ĐLNN

Giả sử cần nghiên cứu một dấu hiệu X thể hiện trên một đám đông Kí hiệu E(X)= µ, Var(X) = σ2 , trong đó µ chưa biết, từ một cơ sở nào đó người ta tìm được µ = µ0,nhưng nghi ngờ về điều này Với mức ý nghĩa α cho trước ta cần kiểm định giả thuyết H0: µ= µ0.

Từ đám đông ta lấy ra mẫu : W=( ,……, ) và tính được các đặc trưng mẫu:

=

S’2 =

a) ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn đã biết.b) ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn chưa biết.c) Chưa biết quy luật phân phối xác suất của X nhưng n>30.

Khi n lớn, X có phân phối xấp xỉ chuẩn Mặt khác ta luôn có E X  và 

_ Nếu P-α1 giá trị ≥ 0.05: chưa có cơ sở để bác bỏ

_ Nếu 0.01 ≤ P-α1 giá trị <0.05: có cơ sở để bác bỏ

_ Nếu P-α1 giá trị <0.01: có cơ sở chắc chắn để bác bỏ

+ Cách thứ hai: quy định trước mức ý nghĩa α Tính P-α1 giá trị rồi so sánh với α:

Nếu P-α1 giá trị < α thì bác bỏ

Nếu P-α1 giá trị ≥ α chưa có cơ sở bác bỏ

Chú ý: Các công thức tìm P-α1 giá trị trên còn được dùng cho các bài toán kiểm định giả

thuyết thống kê khác, trong đó có dùng tiêu chuẩn U.

2.2.Kiểm định giả thuyết về phương sai của ĐLNN phân phối chuẩnB BÀI TẬP

I Đề bài1

Ước lượng chiều cao trung bình của nam sinh viên Đại học Thương mại với độ tin cậy 95%

2

Theo báo cáo của Viện Khoa học Thể dục thể thao năm 2004, chiều cao trung bình của namthanh niên Việt Nam là 163,14 cm với mức ý nghĩa 5% Kiểm định giả thuyết cho rằngchiều cao nam sinh viên Đại học Thương mại cao hơn 163,14 cm.

II Giải bài tậpCâu 1.

Gọi X là chiều cao của nam sinh viên ĐH thương mại

X là chiều cao trung bình của nam sinh viên ĐH thương mại trên mẫu  là chiều cao trung bình của nam sinh viên ĐH thương mại trên đám đông.

a) Mẫu số liệu

_ Bảng điều tra chiều cao 150 nam sinh viên Đại học Thương mại

(cm)

29 Nguyễn Mạnh Dũng 08D140188 K44I4 185

73 Khuất Đình Hùng 08D140252 K44I5 171

117 Lê Xuân Đô 09D130328 K45E5 173

2;



0,95 1  0,05u2u0,0251,96

Vì n=150 là khá lớn, nên ta lấy:   s' 4,34

Vậy 1,96.4,340,85100

Kết luận: với độ tin cậy 95%, chiều cao trung bình của nam sinh viên trường ĐH Thương

Mại nằm trong khoảng(174,67 – 0,66; 174,67 + 0,66) =(174,01; 175,33).cm.

Câu 2.

Gọi X là chiều cao của nam sinh viên ĐH thương mại

X là chiều cao trung bình của nam sinh viên ĐH thương mại trên mẫu  là chiều cao trung bình của nam sinh viên ĐH thương mại trên đám đông.

Với mức ý nghĩa  0,05 ta cần kiểm định giả thuyết 0 0

Vì n=100>30 XN  ;2

2;



Ta xây dựng tiêu chuẩn kiểm định: UX 0n

xs