Thông tin tài liệu
Tailieumontoan.com TRỊNH BÌNH CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ CHIA HẾT Thanh Hóa, ngày 12 tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ : QUAN HỆ CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ A KiÕn thøc cÇn nhí Định nghĩa phép chia Cho hai số nguyên a b b ≠ ta ln tìm hai số ngun q r cho = a bq + r , với ≤ r ≤ b − Trong a số bị chia, b số chia, q thương, r số dư Khi a chia cho b số dư r ∈ {0;1; 2; ; b − 1} • Nếu r = a = bq , ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ký hiệu: a b hay b a Vậy a chia hết cho b tồn số nguyên q cho a = bq • Nếu r ≠ , ta nói a chia b có số dư r Một số tính chất cần nhớ • Tính chất Mọi số ngun khác ln chia hết cho • Tính chất Nếu a b b c a c • Tính chất Nếu a b b a a = ±b • Tính chất Nếu a.b m ( b, m ) = a m • Tính chất Nếu a m b m ( a ± b ) m • Tính chất Nếu a m, a n ( m, n ) = a mn • Tính chất Nếu a b c d ac bd • Tính chất Trong n số nguyên liên tiếp tồn số ngun chia hết cho n • Tính chất Nếu a − b ≠ với a, b số tự nhiên ( a n − b n ) ( a − b ) ( n ∈ N ) • Tính chất 10 Nếu a + b ≠ với a, b, n số tự nhiên n số lẻ ( a n + b n ) ( a + b ) Một số dấu hiệu chia hết Đặt A = a n a n −1 a 2a1a , với a n ; a n −1 ; ; a ; a1 ; a chữ số Khi ta có dấu hiệu chia hết sau: • A ⇔ a0 ⇔ a0 ∈ {0; 2; 4;6;8} • A ⇔ ( a0 + a1 + + an −1 + an ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com • A ⇔ a1 a0 • A ⇔ a0 ⇔ a0 ∈ {0;5} • A8 ⇔ a2 a1 a0 8 • A ⇔ ( a0 + a1 + + an −1 + an ) • A11 ⇔ ( a0 + a2 + ) − ( a1 + a3 + ) 11 • A 25 ⇔ a1 a0 25 • A125 ⇔ a2 a1 a0 125 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Sử dụng tính chất n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n (n ≥ 1) * Cơ sở phương pháp: Sử dụng tính chất như: tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2, tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho chia hết cho Chúng ta vận dụng linh hoạt tính chất nhiều toán chia hết Bài toán Chứng minh rằng: a) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho b) Tích số chẵn liên tiếp chia hết cho c) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 Hướng dẫn giải a) Trong số nguyên liên tiếp có số chia hết cho số chia hết tích số nguyên liên tiếp chia hết cho (do (2, 3) = 1) b) Hai số chẵn liên tiếp có dạng 2n (2n + 2) với n ∈ Z Do tích hai số nguyên liên tiếp có dạng 4n(n + 1) Do n n + hai số nguyên liên tiếp nên n ( n + 1) Vì 4n ( n + 1) c) Ta có 120 = 3.5.8 Do số nguyên liên tiếp có số liên tiếp nên theo ý a) ta có tích số nguyên liên tiếp chia hết cho số nguyên liên tiếp có số chẵn liên tiếp nên theo ý b) ta có tích số ngun liên tiếp chia hết cho Mặt khác số ngun liên tiếp ln có số chia hết tích chúng chia hết cho Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 Chú ý: Tổng quát ta có tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n! Bài toán Chứng minh tích số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 Hướng dẫn giải Ba số chẵn liên tiếp có dạng 2n, (2n + 2) (2n + 4) với n ∈ Z Do tích hai số ngun liên tiếp có dạng 8n(n + 1)(n + 2) Do n, (n + 1) (n + 2) số nguyên liên tiếp nên n ( n + 1)( n + ) Vì n ( n + 1)( n += ) 6m ( m ∈ Z ) Do tích số chẵn liên tiếp 8n ( n + 1)( n + ) = 48m 48 Vậy toán chứng minh Bài toán Chứng minh với số nguyên n n3 − n chia hết cho Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( n − 1) n ( n + 1) n3 − n = n n2 − = Biểu thức tích số nguyên liên tiếp nên số chia hết cho 2, ) ( số chia hết cho mà (2, 3) = nên n3 − n Bài toán Chứng minh với số nguyên lẻ n n − n − n + chia hết cho 128 Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) (n n6 − n − n + = n n − − n − = Vì n số lẻ nên đặt n = 2k + ( )( ) (n − n4 − = −1 ) (n 2 +1 ) ( k ∈ N ) Ta có: ) ( 4k 2 n2 − = ( k + 1) − 1 = ) + k = k ( k + 1) 2 Ta có k(k + 1) chia hết nên k ( k + 1) 64 Mặt khác: n2 + 1= Do ( k + 1) n6 − n − n + = ( ) + 1= k + k + 2= 2 k + k + (n −1 ) (n 2 ) + 128 (đpcm) Chú ý: Bình phương số lẻ số lẻ Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Dạng 2: Phân tích thành nhân tử * Cở sở phương pháp: Để chứng minh A(x) chia hết cho p ta phân thích A ( x ) = D ( x ) p , cịn khơng thể đưa phân tích ta viết p = k q Nếu ( k , q ) = ta chứng minh A(x) chia hết cho k q Nếu ( k , q ) ≠ ta viết A(x) = B(x).C(x) chứng minh B(x) chia hết cho k C(x) chia hết cho q * Ví dụ minh họa: Bài tốn Cho a, b, c số nguyên khác thỏa mãn điều kiện: 1 1 1 + + = 2+ 2+ b c a b c a Chứng minh rằng: a + b + c chia hết cho (Đề thi HSG lớp TP Thanh Hóa 2016-2017) Hướng dẫn giải a+b+c 1 1 1 1 1 = Từ giả thiết + + = + + ⇔ + + = ⇔ abc a b c a b c ab bc ca Vì a, b, c ≠ nên a + b + c = ⇒ a + b =−c ⇒ ( a + b ) =− ( c) 3 ⇒ a + b + 3ab(a + b) = −c ⇒ a + b3 + c = 3abc Vậy a + b + c với a, b, c ∈ Z Bài toán Cho A 1.2.3 29, = = B 30.31.32 58 Chứng minh A + B chia hết cho 59 Hướng dẫn giải Ta có: B= ( 59 − 29 )( 59 − 28)( 59 − 27 ) ( 59 − 1)= 59k − 1.2.3 29= 59k − A ( k ∈ Z ) ⇒ A + B= 59k 59 Vậy A + B chia hết cho 59 Bài toán Cho số nguyên dương x, y, z Chứng minh rằng: ( x − y) + ( y − z) + ( z − x) 5 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 chia hết cho ( x − y )( y − z )( z − x ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Hướng dẫn giải Đặt a =x − y , b =y − z ⇒ z − x =− ( a + b ) Do ta cần chứng minh: a + b5 − ( a + b ) chia hết cho −5ab ( a + b ) ( − 5a b + 10 a b2 + 10 a b3 + 5ab4 Ta có: a + b5 − ( a + b ) = ( = −5ab a + b3 + a b + ab2 ( ) ) ) = −5ab ( a + b ) a − ab + b2 + ab ( a + b ) 2 = −5ab ( a + b ) a + ab + b ( ) Do tốn chứng minh Bài toán Chứng minh với ba số tự nhiên a,b,c có số lẻ hai số chẵn ta ln có (a + b + c ) − (a + b − c ) − (b + c − a ) − (a − b + c ) Chia hết cho 96 3 3 (Trích đề thi HSG lớp tỉnh Phú Thọ 2015) Hướng dẫn giải Đặt a + b − c= z; b + c − a= x; a + c − b= y x + y + z = a + b + c Ta có ( x + y + z ) − x − y − z = 3(x + y)(y + z)(x + z)= 3.2 c a b= 24abc Do số a, b, c có số chẵn nên abc chia hết cho 24abc chia hết cho 24.4 = 96 Vậy toán chứng minh Dạng 3: Sử dụng phương pháp tách tổng * Cở sở phương pháp: Để chứng minh A(x) chia hết cho p ta biết đổi A(x) thành tổng số hạng chứng minh số hạng chia hết cho p * Ví dụ minh họa: Bài tốn Chứng minh m, n số nguyên ta có: ( ) a) n n2 + 11 ( ( ) b) mn m2 − n2 ) c) n ( n + 1)( 2n + 1) Hướng dẫn giải a) Ta có: n n2 + 11 = n3 + 11n = n3 − n + 12n = ( n − 1) n ( n + 1) + 12n Dễ chứng minh: ( n − 1) n ( n + 1) 6, 12n ( n ∈ Z ) ( ) Do đó: n n2 + 11 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ( ) ( ) ( ) ( ) ( n2 mn m2 − − n2 −= mn m2 − − mn n2 − b) Ta có: mn m2 −= ( ) ( ) ) Do: mn m2 − = n ( m − 1) m ( m + 1) 6, mn n2 − = m ( n − 1) n ( n + 1) ( ) Do đó: mn m2 − n2 c) Ta có: n ( n + 1)( 2n + 1) =n ( n + 1)( n + + n − 1) =n ( n + 1)( n + ) + ( n − 1) n ( n + 1) Do: n ( n + 1)( n + ) 6, ( n − 1) n ( n + 1) Do đó: n ( n + 1)( 2n + 1) Chú ý: Tách tổng phương pháp chứng minh chia hết mà lời giải dễ hiểu, ngắn gọn đẹp mắt nên thường trình bày tốn giải nhiều phương pháp, nhiên để áp dụng em cần linh hoạt việc tách Ví dụ: câu a) ta thấy 12n chia hết ta tách riêng phần cịn lại phân đưa dạng tích, dựa vào tính chất chia hết tích số tự nhiên dễ dàng chứng chia Câu b) nghĩ việc thêm bớt để tạo tổng hai tích số tự nhiên liên tiếp Tương tự câu c) dễ dàng tách 2n + = (n – 1) + (n + 2) để đưa tổng hai tích số tự nhiên tiếp Bài tốn Chứng minh rằng: n n5 có chữ số tận giống với n số tự nhiên Hướng dẫn giải ( ) Để chứng minh n n có chữ số tận giống ta chứng minh n5 − n 10 Thật vậy: n5 −= n n ( n − 1= ) n ( n2 − 1)( n2 + 1=) n ( n2 − 1) ( n2 − ) + 5 n ( n − 1)( n − ) + 5n ( n − 1) =− ( n )( n − 1) n ( n + 1)( n + ) + ( n − 1) n ( n + 1) Nhận xét: ( n − )( n − 1) n ( n + 1)( n + ) tích năm số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho chia hết cho 10 Mặt khác ( n − 1) n ( n + 1) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết ( n − 1) n ( n + 1) chia hết cho 10 ( ) Do n5 − n 10 toán chứng minh Bài toán a) Chứng minh n5 n3 n + + số nguyên với n ∈ Z 15 n n2 n3 + + b) Chứng minh số nguyên với n số nguyên chẵn 12 24 Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Hướng dẫn giải a) 7n 8n n n =n− =n− − 15 15 Ta có: Do đó: n5 n3 n n5 n3 n n n5 − n n3 − n + + = + +n− − = + +n 15 5 ( ) ( ) Từ thí dụ ta dễ dàng chứng minh được: n5 − n 5, n3 − n tốn chứng minh Do n số nguyên chẵn nên n = 2m (với m ∈ Z ) b) Do đó: n n2 n3 m m2 m3 m3 + 3m2 + m m ( m + 1)( m + 1) + + = + + = = 12 24 6 Theo ý c) thí dụ ta có n ( n + 1)( 2n + 1) tốn chứng minh Bài toán Chứng minh ax + bx + c ∈ Z , ∀x ∈ Z a , a + b ,c ∈ Z Hướng dẫn giải Ta có: ax + bx + c= ax − ax + ( a + b ) x + c= a Dễ thấy: x ( x − 1) x ( x − 1) + ( a + b ) x + c ∈ Z x (x – 1) hai số nguyên liên tiếp Do đó: ax + bx + c ∈ Z , ∀x ∈ Z a , a + b ,c ∈ Z Bài toán Cho số nguyên a1 ; a ; ; a n Đặt A = a1 + a + + a n B = a13 + a 23 + + a n3 Chứng minh A chia hết cho B chia hết cho Hướng dẫn giải Trước hết ta chứng minh bổ đề: Với số ngun a ta ln có a − a Thật vậy, ta có a − a = ( a − 1) a ( a + 1) Ta thấy ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho có số chia hết cho 3, lại có nguyên tố nên ta suy a − a = ( a − 1) a ( a + 1) Xét hiệu sau B − A= (a ) (a + a 23 + + a n3 − ( a1 + a + + a n ) = ( ) ( ) ) ( ) ( − a1 + a 23 − a + + a n3 − a n ( ) ) Áp dụng bổ để ta a13 − a1 6; a 32 − a 6; ; a 3n − a n Do ta B − A Suy A chia hết cho B chia hết cho Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Dạng 4: Sử dụng đẳng thức Cở sở phương pháp: Nếu a, b số nguyên thì: an − bn chia hết cho a – b với n số tự nhiên a ≠ b an − bn chia hết cho a + b với n số tự nhiên chẵn a ≠ −b an + bn chia hết cho a + b với n số tự nhiên lẻ a ≠ −b ( a + b) n ( a + 1) n =ka + bn với k số nguyên, n số tự nhiên ( a − 1) = ac + n = ac + ( −1) , n số tự nhiên n * Ví dụ minh họa: Bài tốn Với n số tự nhiên chẵn Chứng minh rằng: a) b) 20 n + 16 n − 3n − 1 323 2222 + 5555 Hướng dẫn giải a) Ta có: P = 2222 + 5555 = ( 21 + 1)22 + ( 56 − 1)55 = ( BS + 1)22 + ( BS − 1)55 = BS + + BS – = BS nên 2222 + 5555 chia dư b) Ta có: 323 = 17.19 Ta biến đổi 20 n + 16 n − 3n −= ( ) ( ( 20 n ) ( − + 16 n − 3n ) ) Ta có: 20 n − : ( 20 − 1) ⇒ 20 n − 19 ( ) ( ) Mặt khác n số chẵn nên 16 n − 3n ( 16 + ) ⇒ 16 n − 3n 19 ( ) ( ) ( ) Do 20 n − + 16 n − 3n 19 ⇒ 20 n + 16 n − 3n − 19 Ta biến đổi 20 n + 16 n − 3n −= ) ( ( ( 20 n ) ( − 3n + 16 n − 1n ( 1) ) ) Ta có: 20 n − 3n : ( 20 − ) ⇒ 20 n − 17 ( ) ( ) Mặt khác n số chẵn nên 16 n − 1n ( 16 + 1) ⇒ 16 n − 3n 17 ( ) Do (17, 19) =1 nên từ (1) (2) suy ra: 20 n + 16 n − 3n − 1 323 Bài toán Chứng minh với số tự nhiên n ta có: a) 11n + + 12 2n +1 133 b) 5n + + 26.5n + 2n +1 59 c) 7.52n + 12.6 n 19 Hướng dẫn giải n+2 a) Ta có: 11 + 12 2n +1 n = 11 11 + 12.12 2n = 121.11n + 12.144 n ( = 133.11n + 12 144 n − 11n (133 − 12 ) 11n + 12.144n = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 ) TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ( ) ( ) Do 133.11n 133 12 144 n − 11n ( 144 − 11) hay 12 144 n − 11n 133 ( ) Nên 133.11n + 12 144 n − 11n ⇒ 11n + + 12 2n +1 133 (đpcm) b) Ta có: 5n + + 26.5n + 2n +1 = 25.5n + 26.5n + 8.8 2n = 51.5n + 8.64 n ( = ( 59 − ) 5n + 8.64n =59.5n + 64n − 5n ( ) ( ) ) Vì 64 n − 5n ( 64 − ) ⇒ 64 n − 5n 59 ( ) Nên 59.5n + 64 n − 5n 59 ⇒ 5n + + 26.5n + 2n +1 59 (đpcm) ( c) Ta có: 7.52n + 12.6 n= 7.25n + ( 19 − ) n= 19.6 n + 25n − n ( ) ( ) ) Vì 25n − n ( 25 − ) ⇒ 25n − n 19 ( ) Nên 19.6 n + 25n − n 19 ⇒ 57.52n + 12.6 n 19 (đpcm) Bài toán Chứng minh = A 19931997 + 1997 1993 30 Hướng dẫn giải Sử dụng tính chất ( a + b) n =ka + bn với k số nguyên, n số tự nhiên Ta có: A = 19931997 + 1997 1993 = ( 1980 + 13 ) 1997 + ( 2010 − 13 ) 1993 = 1980c + 131997 + 2010d − 131993 ( ) 30 ( 66c + 67d + 952.13 ) 30 = 1980c + 2010d + 131993 134 = 1993 ( ) ( ) Bài toán Chứng minh = C 5n 5n + − n 3n + n 91 ( n ∈ N ) (Chuyên sư phạm Hà Nội 1997 – 1998) Hướng dẫn giải Sử dụng tính chất ( a + b) n = ka + bn , ( a + 1) n = ac + 1, ( a − 1) n = ac + ( −1) với k n số nguyên, n số tự nhiên Ta có: C = 25n + 5n − 18 n − 12 n = ( 21 + ) + 5n − ( 14 + ) − ( + ) n n n = 21c + n + 5n − 14d − n − e − 5n = ( 3c − 2d − e ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 82 Website:tailieumontoan.com ( ) ( Câu 113 P = a b3 − a 3b3 − a 3b − a 3b3 ) A= a 7b3 − a 3b3= a 3b3 ( a − 1)= a 2b3 ( a − 1) a ( a + 1) ( a + 1) chia hết cho ( a − 1) a ( a + 1) tích ba số nguyên liên tiếp = A a 2b3 ( a − )( a − 1) a ( a + 1)( a + ) + 5a ( a − 1) ⇒ A Do A 30 Tương tự B = ( a3b7 − a3b3 )30 ⇒ P30 Câu 114 = P (a − 5a + 6a ) − a + 5a − 6a + 240 = a ( a − 5a + ) − a ( a − 5a + ) + 240 = (a − 5a + )( a − a ) + 240 Suy P = ( a − 3)( a − )( a − 1) a ( a + 1) + 240120 Từ suy P chia hết cho 120 Câu 115 P = 4a + a + b = Ta có 4a + = (4 a (4 − 1) + = a + ) + ( a + 1) + ( b + 2007 ) − 2010 ( − 1) ( 4a −1 + 4a −2 + + + 1) + chia hết cho Mặt khác 4a + số chẵn nên ( 4a + ) 4a + chia hết cho a + 1, b + 2007 2010 chia hết P chia hết cho c 4k ( k ∈ ) ta có: Câu 116 Do a + b + c chia hết đặt a + b += P= ( 4k − c )( 4k − b )( 4k − a ) − abc = (16k − 4kc − 4ka + ac ) ( 4k − b ) − abc = 4k (16k − 4kc − 4ka + ac − 4kb + bc + ab ) − 2abc Do a + b + c nên ba số a, b, c phải có số chẵn nên 2abc , từ suy P chia hết cho Câu 117 a) Ta biết bình phương số nguyên chia cho dư 0, 1, 4, x + y + z chia cho số dư thuộc tập {0;1; 2;3; 4;5;6} Mặt khác, 560647 chia cho dư Vậy không tồn x, y, z số nguyên thỏa mãn đề b) Đẳng thức cho tương đương với 660064 ( a − 1) a ( a + 1) + ( b − 1) b ( b + 1) + ( c − 1) c ( c + 1) + ( d − 1) d ( d + 1) = Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 83 Website:tailieumontoan.com Vế trái chia hết cho 6, vế phải không chia hết cho 6, từ suy điều cần chứng minh nên a + a − chia hết cho không chia Câu 118 a) Ta có ( a + ) − ( a − ) = hết cho Nếu a + a − chia hết cho P = ( a + )( a − ) + 63 không chia hết cho 49 Nếu a + a − không chia hết cho ( a + )( a − ) khơng chia hết cho 7, P không chia hết cho 7, nên P không chia hết cho 49 b) Q = a + 5a + 185 không chia hết cho 169 Tương tự ta viết Q = ( a + )( a − ) + 221 Câu 119 Ta có P = n ( n + 1)( 2n + 1) Đặt Q =n ( n + 1)( 2n + 1) Q = P Dễ thấy n =5k + 1, n =5k + Q khơng chia hết cho 5, P khơng chia hết cho Câu 120 a) P = (a + 5)(a − 6) + 154 Ta có (a + 5) − (a − 6) = 11 chia hết cho 11 , a + 5; a − chia hết cho 11 không chia hết cho 11 Nếu a + 5; a − chia hết cho 11 a + 5; a − chia hết cho 121 Suy P không chia hết cho 121 Nếu a + 5; a − khơng chia hết cho 11 P không chia hết cho 121 Vậy không tồn số nguyên a để P chia hết cho 121 b) Q = (a + 3)(a − 7) + (a + 7) chia hết cho a + (a + 7) (a + 3) ⇒ (a − 7)(a + 7)= (a + 3) − 52 (a + 3) ⇒ a + ∈ {4;13; 26;52} ⇒ a ∈ {1; −7} Bài 121 a) Ta có A( x)= ( x − x − 2)( x − x + 15) + m + 23 , A( x) chia hết cho B ( x) m + 23 =⇔ m= −23 b) f ( x) chia hết cho x − x + nên ta có: −7 a = x) p ( x)( x − 1) f = (1) 3b f (= a −= ⇒ ⇒ ⇒ x) q ( x)( x + 2) f (−= 2) a − 12 = b 25 b = − f (= Bài 122 Theo đề ta có với x : Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 84 Website:tailieumontoan.com A= ( x) p ( x)( x − 5) + (1) A(= x) q ( x)( x + 3) − (2) A( x)= (2 x + 1)( x − 5)( x + 3) + ax + b (3) Từ (1), (2) ta có A(5) = 7, A(−3) = −1 Từ (3) ta có A(5) = 5a + b; A(−3) = −3a + b A(5) = 5a + b = ⇒ a = 1, b = A(−3) =−3a + b =−1 Do ta có Vậy A( x)= ( x − x − 15)(2 x + 1) + x + Bài 123 Ta phân tích P (n) thành nhân tử: = P (n) n1800 (n80 + n 40= + 1) n1800 (n 40 + 1) − n 40 = n1800 (n 40 + n 20 + 1)(n 40 − n 20 = + 1) n1800 (n 20 + 1) − n 20 (n 40 − n 20 + 1) = n1800 (n 20 + n10 + 1)(n30 − n10 + 1)(n 40 − n 20 + 1) Từ suy P (n) chia hết cho Q (n) với n ∈ Bài 124 a) P = 1.2.3 (a + 3)(a + 4)(a + 5) (2a + 5)(2a + 6) 1.2.3 (a + 3) = 1.2.3 (2a + 5) 2.4.6 (2a + 4)(2a + 6) 1.2.3 (a + 2)(a + 3) = 1.3.5 (2a + 5)2a +3 chia hết cho 2a+3 b) Q = 1.2.3 (3a − 1)3a 1.2.3 a = [1.4.7 (3a − 2)][ 2.5.8 (3a − 1)] 3.6.9 3a 1.2.3 a = [1.4.7 (3a − 2)][ 2.5.8 (3a − 1)].3a chia hết cho 3a ( ) ( ) ( ) Bài 125: Ta có: a + b3 − ( a + b ) = a − a + b3 − b =( a − 1) a ( a + 1) + ( b − 1) b ( b + 1) Do đó: ( a + b3 ) ⇔ ( a + b ) Bài 126 Vì m số chẵn ⇒ m = 2k ⇒ m3 + 20m = ( 2k ) + 40k m3 + 20m= ( k + 5k )= ( k − k ) + 6k = ( k − k ) + 48k Ta có: (k − k ) ⇒ ( k − k ) 48 48k 48 Vậy: ( m3 + 20m ) 48 Bài 127 Gọi số cần tìm X = xy tban an −1 a2 a1 , b chữ số cần gạch Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 85 Website:tailieumontoan.com Đặt A = xy t Y = xy tan an −1 a2 a1 Ta có: X = 71.Y ⇔ A.10n +1 + b.10n + an a1 = 71 ( A.10 n + an a1 ) n ⇔ b.10= 61 A.10n + 70.an an −1 a2 a1 Nếu A > b.10n > 61A.10 < b ≤ Vậy A = tức b.10n = 70.an a1 Chữ số bị gạch chữ số đầu tiện tính từ trái qua phải Mặt khác: (10k , ) = với k ⇒ b 7 Mà ≤ b ≤ ⇒ b = Lúc đó: 7.10n = 70.an a1 100 00 ( n − chữ số 0) = ⇒ Y an an= −1 a2 a1 Vậy: X = 7100 00 ( n − chữ số 0) chữ số bị gạch Bài 128 Gọi số cần tìm ab Ta có: ab a 0b + 2a = 9.ab ( a + b ) ( a + b ) ⇔ ⇔ 2b (10a + b ) 100a + b += 3a = 2b Từ 3= a 2b ⇒ 2b mà ( 2,3) = ⇒ b ( a + b ) ⇒ a mà 3a ⇒ a Ta có: a 3; a 2; ( 2,3) =1 ⇒ a 6,1 ≤ a ≤ ⇒ a = ⇒ b = Vậy: ab = 69 Bài 129 * Nếu x y ⇒ x y ⇒ ( x + y ) * Ngược lại: giả sử ( x + y ) Ta có số nguyên a có ba dạng a =3q, a =3q + 1, a =3q − ⇒ a có hai dạng 3k 3k + Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 86 Website:tailieumontoan.com ⇒ x + y có dạng: p,3 p + 1,3 p + Do đó: ( x + y ) ⇔ x y ⇔ x y Bài 130 Ta có: = aaaa 16.bbb + r = 16.bb + ( r − 200 ) aaa Với: 200 ≤ r < bbb Trừ đẳng thức, ta có: 1000a = 1600b + 200 ⇔ 5a = 8b + ⇒ a = b = Ta có số 5555 333 thỏa mãn Bài 131 a) Gọi số cần tìm là: abc = 100a + 10b + c k= (11a + b ) abc 100a + 10b + c = = 1+ a+b+c a+b+c a+b+c Nhận thấy k bé c lớn ⇒ c = ⇒ k =1 + (11a + b ) (10a − ) =10 + a+b+9 a+b+9 ⇒ k bé b lớn ⇒ b = ⇒ k = 10 + (10a − ) 9.180 = 100 − a + 18 a + 18 ⇒ k bé a bé ⇒ a = Vậy abc = 199 b) Xét trường hợp: (1) a chẵn, b chẵn; (2) a chẵn; b lẻ (3) a lẻ; b chẵn; (4) a lẻ, b lẻ Trong tất trường hợp ta có A16 Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh cho B 36 với n Bài 132 a) Chỉ cần chứng minh ( n5 − n ) 30 với n b) Với số tự nhiên khác 0, ta có: < S ( n ) ≤ n * Nếu ≤ n ≤ 1987 ⇒ ( n − 1)( n − 1987 ) ≤ ⇒ n − 1988n + 1987 ≤ ⇒ n − 1988n + 26 < n − 1988n + 1987 ≤ ⇒ vô lý 1988 ⇒ S (1988 ) = 19882 − 1988.1988 + 26 * Nếu n = Vậy n = 1988 thỏa mãn Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 87 Website:tailieumontoan.com * Nếu n > 1988 ⇒ n − 1988 ≥ ⇒ n − 1988n + 26 > n − 1988 = n ( n − 1988 ) ≥ n ⇒ S ( n ) = n − 1988n + 26 > n (vơ lý) Vì ln ln có: < S ( n ) ≤ n Vậy chi có n = 1988 thỏa mãn c) Gọi ( A, B ) = d ⇒ d ≥ ⇒ A d B d ⇒ ( 2n + 1) d n ( n + 1) d ⇒ n ( 2n + 1) d 2n ( n + 1) d ⇒ ( 2n + n ) d ( 2n + 2n ) d ⇒ ( 2n + 2n ) − ( 2n + n ) d ⇒ n d ⇒ 2n d mà ( 2n + 1) d ⇒ 1 d ⇒ d ≤ mà d ≥ ⇒ d = Vậy ( A, B ) = Bài 133 a) Một số nguyên dương khơng chia hết cho có dạng: x =5q + 1,5q + 2,5q + 3,5q + ⇒ x có dạng 5k + 5k + ⇒ x có dạng p + ⇒ b = B + a = A + ⇒ a − b = ( A − B ) b) Theo giả thiết, ta suy tích: a1a2 , a2 a3 , , an a1 nhận hai giá trị −1 Do đó: a1a2 + a2 a3 + a3 a4 + + an a1 =⇔ n= 2m Đồng thời có m số hạng 1, m số hạng −1 2 = Nhận thấy: ( a1a2 )( a2 a3 ) ( an a1 ) a= a2 an ⇒ Số số hạng −1 phải số chẵn Tức là: m = 2k ⇒ n = 4k ⇒ n c) Ta có: n + S ( n ) + S ( S ( n ) ) = 60 ⇒ n < 60 ⇒ S ( n ) < + = 14 ⇒ S ( S ( n ) ) < + = 10 ⇒ S ( n ) + S ( S ( n ) ) < 14 + 10 = 24 60 = n + S ( n ) + S ( S ( n ) ) < n + 24 ⇒ 36 < n < 60 Bởi n, S ( n ) , S ( S ( n ) ) có số dư phép chia cho Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 88 Website:tailieumontoan.com ⇒ 3n chia cho dư (do S ( 60 ) = ) ⇒ n chia dư ⇒ n chia cho có ba số dư 2, 5, ⇒ n ∈ {44; 47;50} Bài 134 a) Biểu diễn M = (1993 1997 − 1) + (19971993 + 1) ⇒ M Biểu diễn M = 1993.19931996 + 1997.19971992 = 1993 (19934 ) 499 + 1997 (1997 ) 498 ⇒ M tận chữ số ⇒ M mà ( 3,5 ) = ⇒ M 15 b) M tận chữ số Bài 135 1) Xét ba số dư x, y, z chia cho * Nếu ba số khác nhau: ( 0,1, ) x + y + z ( x − y )( y − z )( z − x ) không chia hết cho (vơ lý) * Nếu có hai số dư x + y + z khơng chia hết cho trong ba hiệu x − y; y − z z − x chia hết cho (vơ lý) ( x − y )( y − z )( z − x ) = x + y + z Vậy trường hợp số x, y, z có số dư chia cho ⇒ ( x − y )( y − z )( z − x ) 3.3.3 = 27 Mà: ( x − y )( y − z )( z − x ) = x + y + z ⇒ x + y + z 27 2) Ta có: a k − 1= Ta có: a − = (a ) k − 1k= ( a − 1)( a + 1) (a − 1) P tích hai số chẵn liên tiếp a − > a số nguyên tố a >5 ⇒ Ắt có số chia hết cho số chia hết cho ⇒ ( a − 1)( a + 1)8 Xét ba số liên tiếp: a − 1, a, a + ; có số chia hết cho a không chia hết cho ⇒ ( a − 1)( a + 1) ⇒ ( a − 1)( a + 1) 24 Ta có: a − = ( a − 1)( a + 1) ( a + 1) a số lẻ ⇒ a + số chẵn ⇒ ( a + 1) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 89 Website:tailieumontoan.com ⇒ ( a − 1)( a + 1) ( a + 1) 48 Lại a khơng chia hết cho ⇒ a có dạng 5k + 1,5k − 1,5k + 2,5k − ⇒ a có dạng 5m + ⇒ a − 1 Vì ( 5, 4,8 ) =1 ⇒ ( a − 1)( a + 1) ( a + 1) 240 Bài 136 a) Nếu n = 2k ⇒ A = 2k 22 k + 32 k = ( 2k + 1) 22 k + 32 k − 22 k A= ( 2k + 1) 22 k + p Bởi ( 22 k ,5 ) = đo đó: A ⇔ 2k + 1 ⇔ 2k = 5m + ⇔ k = 5t + ⇔ n = 10t + 2k + ⇒ A = Nếu n = ( 2k + 1) 22 k +1 + 32 k +1 =2k 22 k +1 + 22 k +1 − 32 k +1 =k 22 k + + 5q Do đó: A ⇔ k ⇔ n= 10m + Tóm lại: A ⇔ n= 10m + hoặc= n 10m + b) A 25 ⇒ A ⇔ n= 10m + hoặc= n 10m + * Trường hợp= n 10m + 210 1024 ≡ −1( mod 25 ) Ta có: = = 310 59049 ≡ −1( mod 25 ) A= (10m + 1) 210 m+1 + 310 m+1 210 m ≡ ( −1) m ( mod 25) ; 210 m+1 = ( −1) ⇒ (10m + 1) 210 m +1= (10m + 1)( −1) m ( mod 25 ) ( mod 25 ) ( mod 25 ) 310 m+1 = ( −1) ⇒= A ( 20m + 5)( −1) ( mod 25) m m m A 25 ⇔ ( 20m + ) 25 ⇔ ( 4m + 1) 25 ⇔ ( 4m + 1) 25 ⇔ 4m + = 5t ⇔ 4m = 5t − ⇔ m = 5q + Vậy A 25 ⇔ n= 10 ( 5q + 1)= 50q + 11 * Trường hợp= n 10m + A= (10m + ) 210 m+ + 310 m+ Làm tương tự ⇒ = A 16 (10m + )( −1) + 81 ( −1) m m ( mod 25) ( −1) (160m + 145)( mod 25) m Vậy A 25 ⇔ ( 32m + 29 ) ⇔ 32m ≡ 1( mod ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com ⇔ m = 5q + ⇔ n = 50q + 34 n 50q + 34 Tóm lại A 25 ⇔ n= 50q + 11 hoặc= Bài 137 a) Viết: A = ( 25n − 18n ) − (12n − 5n ) Ta có: ( 25n − 18n ) ( 25 − 18 ) (12n − 5n ) (12 − ) ⇒ A Viết: A = ( 25n − 12n ) − (18n − 5n ) Ta có: ( 25n − 12n ) ( 25 − 12 ) (18n − 5n ) (18 − ) ⇒ A 7.13 = 91 ⇒ A13 ( 7,13) = b) Ta có: 52 p + 1997= 52 p + q ⇔ ( 52 p − 1) + 1996= (5 p2 ) −1 + q2 −1 Nếu p q số nguyên tố ⇒ 52 p − 1= 25 p − 1 24 Và 52 p − = 25 p − 1 24; q − = 2 ( q − 1)( q + 1) ⇒ 1996 vô lý Vậy phương trình khơng có nghiệm ( p, q ) Bài 138 Biểu diễn = P (1998n ) ( + 1998n + n − n + 30 ) Bởi (1998n + 1998n ) 6n ⇒ P 6n ⇔ ( n − n + 30 ) 6n Xét hai trường hợp: + Nếu n > : Ta có ( n − n ) n ⇒ 30 n 30 ⇒ ( n − n ) Mà n − n= n ( n − 1) , đó: n ( n − 1) ⇒ n = 3k = n 3k + Vậy P 6n ⇔ n = 3k = n 3k + với n ước số 30 ⇒ n ∈ {1,3,10,30} + Nếu n < : Đặt n = −m với m > Làm tương tự ta có: m ∈ {2,5, 6,15} ⇒ n ∈ {−2, −5, −6, −15} Bài 139 a) 1996= 3.665 + ⇒ ab= ( 3k + 1) 1995 ⇒ ab có dạng 3Q + ⇒ a b phải có dạng 3m + 3m − ⇒ a + b có dạng 3p + 3p − Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com ⇒ a + b khơng chia hết a + b không chia hết cho 1995 b) Làm tương tự với: 1991= 3k − ⇒ cd = 3Q + ⇒ c d phải có dạng 3m + 3m − ⇒ c + d có dạng 3p + 3p − ⇒ c + d không chia hết c + d không chia hết cho 1992 Bài 140 Ta có: ( x + y ) = x + y3 + 3xy ( x + y ) = 1995 + 3xy ( x + y ) 3 Do ( x + y ) ⇒ ( x + y ) ⇒ ( x + y ) 27 3 Ta có: 3xy ( x + y ) ⇒ 1995 =( x + y ) − 3xy ( x + y ) Vơ lý 1995 chia cho dư Bài 141.Ta có: 2Tn n n 1 Mặt khác, sử dụng tính chất a n b n chia hết cho a b * 2019 n lẻ, ta có: S n 12019 n 2019 22019 n 1 n 2019 1 n 1 1 2019 2019 2019 2019 2019 S n 1 n 1 n 2 n 1 2n5 n 2 Do n, n 1 nên từ (1) (2) suy ra: S n n n 1 2Tn hay S n Tn Bài 142 Gọi d ước chung lớn m n = m ad, = n bd với ( a, b ) = Giả sử ( m + n)3 d ( a + b)3 d ( a + b)3 Ta có: A = = = n2 d 2b b2 Suy (b , (a + b)3 ) = Vì ( a, b ) = nên (b, a + b) = Như để A nguyên d b , giả sử d = cb Bây ta = A c(a + b)3 với a, b, c nguyên dương Do a + b ≥ A lẻ nên A nhận giá trị bé 27, điều xảy c = 1, a + b = Khi có hai khả năng: m 2,= n Nếu a = b = ta có d = Suy = m 4,= n Nếu a = b = ta có d = Suy = 3 Bài 143 Ta có a b −= b(a + l) − ( b + l ) a + l ⇒ b + l a + l Tương tự b 3a + = l a ( b3 − l ) + a + 1 b − suy a + 1 b − Từ suy b + 1 b − ⇔ b − + 2 b − ⇒ b − l ∈ U (2) suy b = b = a = Với b = ta có 3 a + l ⇒ a =2 , với b = ta có: 4 a + l ⇒ a = Vậy số ( a; b ) thỏa mãn điều kiện là: ( a; b ) = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 ( l;3) , ( 2; ) , ( 3;3) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 92 Website:tailieumontoan.com Bài 143 Từ già thiết ta suy a + b + c + d + e chia hết cho 3.4.5 = 60 suy 4b,5c chia hết cho 60 nên b chia hết cho 15, c chia hết cho 12 Nêu b = c = suy a= b= c= d= e= trái với giả thiết suy b, c ≠ Vậy b, c ≥ suy b ≥ 15, c ≥ 12 Theo giả thiết ta có: ( a + b + c + d + e ) = 3a + 4b + 5c ⇒ 3(d + e) = b + 2c ≥ 15 + 2.19 ⇒ d + e ≥ 13 b 15, = c 12 a = 20 Vây a = 20 giá trị cần tìm Dâu xảy khi= Bài 144 Không tính tổng quát, ta giả sử n ≥ m + Nếu n > m + suy n − m > n + m , ta có: n − m − n − m = (n + m)(n − m − 1) > Từ ta suy n + m chia hết cho n − m + Ta xét n= m + , m + n m − n ⇔ m + (m + 1) m − ( m + 1) ⇔ m +3m + 1 m − m + ⇔ m − m + + 4m m − m + − 21 + 21 ≤m≤ , m số 2 m 1,= m thỏa mãn nguyên dương nên suy m ∈ {1; 2;3; 4} thử trực tiếp ta thấy = hay 4m m − m + ⇒ 4m ≥ m − m + ⇔ m − 5m + ≤ ⇔ + Xét m = n ta có n + n n − n ⇒ 2n n − n ⇒ 2n ≥ n − n ⇔ n − 3n ≤ ⇔ ≤ n ≤ thử trực tiếp ta thấy n = n = thỏa mãn điều kiện Vậy cặp số (m; n) thỏa mãn điều kiện là: ( m, n ) = (2; 2), (3;3), (1; 2), (2;1), (2;3), (3; 2) Bài 145 Đặt x-1= a, y − 1= b với a, b ∈ N * Yêu cầu toán viết lại thành: 2(a + 1)(b + 1) − 1 ab ⇔ 2ab + 2(a + b) + 1 ab ⇔ 2(a + b) + 1 ab Ta giả sử 2(a + b) + =kab , ≤ a ≤ b kab = ( a + b ) + ≤ 4b + b = 5b ⇒ ka ≤ Từ ta có trường hợp xảy k 1,= a 3;= k 1,= a 2;= k 1,= a 4; là: k =l, a =1 ⇒ 2(1 + b) + =b ⇒ b =−3 loại Thử lần lượt: = k 5,= a 1; ta suy cặp số ( x; y ) = k 1,= a 5;= k 2,= a 1;= k 2,= a 2;= k 3,= a 1;= k 4,= a 1;= thỏa mãn điều kiện là: ( x; y ) = ( 2; ) , ( 2; ) , ( 4; ) , (8; ) , ( 4;8) Bài 146.Từ giả thiết ta suy y (4 x + x + 3) xy − ⇔ x(4 xy − 1) + 2(4 xy − 1) + x + y + 2 xy − Hay y + 12 y + 12 3(4 y − 1) + 15 x + y + 2 xy − ⇔ xy − ≤ x + y + ⇔ x(4 xy − 1) ≤ y + ⇔ x ≤ = = y − 4(4 y − 1) 4(4 y − 1) 3(4 y − 1) + 15 15 15 = + ≤ + = suy x ≤ 4(4 y − 1) 4(4 y − 1) 4.3 Thay x =1 ⇒ y =1 y = Thay x = suy y = Mà Bài 147 Từ giả thiết ta suy x − 2 xy + Ta có phân tích sau: y ( x − 2)= x( xy + 2) − 2( x + y ) suy 2( x + y ) xy + hay 2( x + y )= k ( xy + 2) với k ∈ N * y ) k (xy + 2) ≥ 2(xy + 2) ⇔ x + y ≥ xy + ⇔ ( x − 1)( y − 1) + ≤ Điều Nếu k ≥ 2(x + = vơ lý x, y ≥ Vậy k =1 ⇔ 2( x + y ) = xy + ⇔ ( x − 2)( y − 2) = Từ tìm ( x; y ) = (3; 4), (4;3) Bài 148 Giả sử x + xy + y = 5n x, y ≥ ⇒ n ≥ Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 93 Website:tailieumontoan.com Suy x + xy + y 25 ⇔ ( x − y ) +5xy 25 ⇒ ( x − y ) + xy ⇒ ( x − y ) ⇔ x − y hay ( x − y) 2 25 ⇒ xy ⇔ xy Do x,y số nguyên tố ta suy x y chia hết cho Giả sử x ⇒ x = , lại có x-y ⇒ số lại chia hết cho 5, hay x= y= Khi n = x4 −1 a y −1 m Bài 149 Đặt = ; với (= a, b ) l, ( m, = n ) l, b, n > Theo giả thiết ta có: = ; y +1 b x +1 n an + bm b an b n b a m an + bm + số nguyên, tức là: ∈ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒n= b b n bn an + bm n bm n b n a m x4 −1 y −1 = =( x − 1)( x + 1)( y − 1)( y + 1) số nguyên, suy b n y +1 x +1 am n ⇒ a n ⇔ a b ⇒ x − 1 y + Ta có: x y 44= − y 44 ( x − 1) + y 44 − mà x − 1 y + Mặt khác y 44 − 1 y − 1 y + nên toán chứng minh Bài 150 Ta có: p 2n − q3 − p n +1 − q − = ⇔ ( p − 1) − 1 = ( p − 1) − 1 p −1 q −1 p −1 q −1 ⇔ p ( p n − 1)( p n + 1) = ( p − 1)( p + 1) (1) Nếu q ≤ p n − thừa số vé trái lớn thừa số tương ứng vế phải (1), q ≥ p n Vì q ngun tổ cịn pn khơng ngun tố nên q ≥ p n + Một thừa số vế trái (1) chia hết cho số nguyên tố q Theo bất đẳng thức q ≥ p n + , điều xảy = q pn + Thay vào (1) ta được: p ( p n -1) =(p-1)(p n +2) suy p n − p + = n p 2,= n suy q = p + 1= Từ p / hay= Bài 151 Ta có: 2a b = a ( a + b ) − a (a + b ) Vì p ước a + b a ( a + b ) nên p ước 2a b Lại p lẻ nên p ước a 2b Nếu a khơng chia hết cho p số mũ p a lớn Do b phải chứa p , nghĩa b chia hết cho p suy b p Điều vơ lý a + b khơng chia hết cho p4 (do a không chia hết cho p4 ) Như a phái chia hết cho p Vì a + b chia hết cho p nên b p Suy b p ( a + b ) p Tóm lại, p ước a ( a + b ) = a xd = , b yd , ( x= , y) Bài 152 Đặt d = ( a, b ) Suy ab(a + b) dxy ( x + y ) Khi đó: = ∈ 2 a + ab + b x + xy + y ( x ) Tương tự ( x + xy + y ; y ) = ) ( y ;= Vì ( x + y; y ) = nên ( x + xy + y ; x + y= ) ( y ; x + y=) x Ta có x + xy + y ;= 2 2 2 Do x + xy + y d ⇒ d ≥ x + xy + y Mặt khác a − b = d x − y = d x − y d ≥ d ( x + xy + y ) > ab 3 Vậy a − b > ab Bài 153 Ta có n − n + = n ( n + 1) + số lẻ n ( n − 1) + n + n + = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 94 Website:tailieumontoan.com Suy số lẻ nhỏ xem xét n − n + số lẻ lớn n + n Như tổng cần tìm là: n − n + + n − n + + + n + n − + n + n ( = = ) ( ) ( ) ( ( n − n ) + + ( n − n ) + + + ( n − n ) + 2n − + ( n − n ) + 2n n ( n − n ) + (1 + + + n ) = n − n + n + n = n + n 2 2 ) 2 Bài 154 Gọi d ước chung lớn m n Giả sử m = ad , n = bd với ( a, b ) = m + n) (= Ta có A = n2 d (a + b) d (a + b) = 2 d b b2 3 ( ) Vì ( a, b ) = nên ( b, a + b ) = suy b , ( a + b ) = Như để A nguyên d b , giả sử A c ( a + b ) với a , b , c nguyên dương d = cb Bây ta được= Do a + b ≥ A lẻ nên A nhận giá trị bé 27 , điều xảy c = ; a + b = Khi có hai khả năng: Nếu a = b = ta có d = Suy m = , n = Nếu a = b = ta có d = , suy m = ; n = Bài 155 Rõ ràng n = thỏa mãn điều kiện toán Với n > ta viết n − 1= (n − 1)( n3 + 1)= (n − 1) ( n + 1) ( n − n + 1) Do tất thừa số nguyên tố n − n + chia hết cho n3 − n − = ( n − 1)( n + 1) ( ) ( ) Tuy nhiên cần để ý n − n + 1; n3 − ≤ n3 + 1, n − ≤ Mặt khác, n − n + = n ( n − 1) + số lẻ, tất thừa số nguyên tố n − n + phải chia hết n + 3k với k nguyên dương Bởi Nhưng n − n + = ( n + 1)( n − ) + ta phải có n − n + = n > nên ta có k ≥ Bây n − n + nên n ≡ ( mod 3) , trường hợp n ≡ 2,5,8 ( mod ) , ta có n − n + ≡ ( mod ) mâu thuẫn Vậy tốn có nghiệm n = Bài 156.Ta có M = 102 n +1 + 10n +1 + Để ý 103 ≡ 1( mod 37 ) , ta xét trường hợp n theo mod Nếu n = 3k M ≡ 102 + 10 + ≡ ( mod 37 ) Nếu = n 3k + M ≡ 104 + 102 + ≡ ( mod 37 ) Nếu = n 3k − M ≡ + + ≡ ( mod 37 ) Tóm lại, M chia hết cho 37 n có hai dạng n = 3k = n 3k + với k ∈ * = 1000 x + y với ≤ y < 1000 Bài 157 Đặt x = ab Ta có abcde Từ abcde = ab ta suy 1000x + y = x3 Vấn đề lại giải phương trình nghiệm nguyên Vì y ≥ nên 1000x ≤ x3 ⇒ x ≥ 1000 ⇒ x ≥ 32 (1) Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com ( ) Mặt khác y < 1000 nên 1000 x + 1000 > x3 ⇒ x x − 1000 < 1000 ⇒ x < 33 (2) Từ (1) (2) suy x = 32 hay x = 32768 Vậy abcde = 32768 Bài 158 Từ abc= (a + b) (a + b) c , suy 100a + 10b + c = 2 c ⇒ 10 (10a + b )= c ( a + b ) − 1 (*) Vì a ≥ nên 10 (10a + b ) ≥ 100 ⇒ c ( a + b ) − 1 ≥ 100 ⇒ a + b ≥ c ≥ Nếu a + b không chia hết cho ( a + b ) ≡ 1( mod 3) Từ (*) suy (10a + b ) ⇒ ( a + b ) (vô lý) Như ( a + b ) nên (10a + b ) Từ (*) suy c c khơng chia hết cho a + b − = Từ (*) suy ( a + b ) − 1 ⇒ Kết hợp với ( a + b ) ta suy a + b = a + b + = a+b = Trường hợp 1: a + b = thay vào (*) ta được: 10 ( 9a + ) = 9, 80c ⇒ 8c = ( a + 1) ⇒ c ⇒ c = a = Trường hợp 2: a + b = làm tương tự trường hợp Bài 159 Vì abc < 999 nên a !+ b !+ c ! ≤ 999 ⇒ a , b , c ≤ ⇒ abc ≤ 666 Điều dẫn đến a !+ b !+ c ! ≤ 666 ⇒ a , b , c ≤ ⇒ a !+ b !+ c ! ≤ 3.5! = 360 ⇒ a ≤ Suy a !+ b !+ c ! ≤ 3!+ 5!+ 5! = 246 ⇒ a ≤ Nếu b= c= a !+ 5!+ 5! = a55 , ta có a ≥ a = a55 ⇒ a !+ 240 = Tuy nhiên thử lại thấy 255 ≠ 2!+ 5!+ 5! Một hai số b c nhỏ Từ ta có a !+ b !+ c ! ≤ 2!+ 4!+ 5! = 146 ⇒ abc ≤ 146 ⇒ a = 1, b ≤ Vì c < abc = a !+ b !+ c ! < 1!+ 4!+ 4! = 49 vơ lý Với c = 1b5 =1!+ b !+ 5! sauy 10b= 16 + b ! ⇒ b ! tận số , b = Vậy abc = 145 thỏa mãn yêu cầu toán Bài 160 a, Một số phương chia cho dư Do a + b chia xảy số dư + , + , + trường hợp có trường hợp a , b a + b suy đpcm b, Một số phương chia cho dư , , , ( Thật cần xét a = k , k ± , k ± , k ± a chia cho có số dư , , , ) Như a + b chia cho có số dư + , + , + , + , + , + , + , + , + , + Trong trường hợp có a , b đồng thời chia hết cho a + b đpcm c, Dễ thấy a khơng chia hết cho a chia dư Từ giả thiết ta có a + b chia hết cho chia hết cho Nếu a không chia hết cho a khơng chia hết cho suy b không chia hết b không chia hết cho suy a + b chia cho dư Trái với giả thiết, a , b phải chia hết cho Ta có: Nếu a khơng chia hết cho a chia cho dư Làm tương tự ta suy a , b phải chia hết cho đpcm Bài 161.Khơng tính tổng qt, ta giả sử n ≥ m Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com +) Nếu n > m + suy n − m > n + m ta có: n − m − n − m = ( n + m )( n − m − 1) > Từ suy n + m chia hết cho n − m +) Ta xét n= m + , m + n m − n ⇔ m + ( m + 1) m − ( m + 1) ⇔ m + 3m + 1 m − m + ⇔ m − m + + 4m m − m + hay ⇔ 4m m − m + ⇒ 4m ≥ m − m + ⇔ m − 5m + ≤ − 21 + 21 ⇔ ≤m≤ , m số nguyên dương nên suy m ∈ {1; 2;3; 4} thử trực tiếp 2 ta thấy m = , m = thỏa mãn +) Xét m = n ta có n + n n − n ⇒ 2n n − n ⇒ 2n ≥ n − n ⇔ n − 3n ≤ ⇔ ≤ n ≤ thử trực tiếp ta thấy n = n = thỏa mãn điều kiện Vậy cặp số ( m; n ) thỏa mãn điều kiện ( m; n ) = ( 2, ) , ( 3,3) , (1, ) , ( 2,1) , ( 2,3) , ( 3, ) ( ) Bài 162 Giả sử A phân số chưa tối giản, đặt d = n + 4, n + , suy d > Ta có d ( n + ) − ( n − ) = 10n + 21 = 10 ( n + ) − 29 ⇒ d 29 ⇒ d = 29 Ngược lại ( n + ) 29 đặt n + = 29m với m ∈ * Khi = n + 29 ( 29m − 10 + 1) 29 nên A chưa tối giản Như vậy, ta cần tìm n cho n + = 29m với m ∈ * ≤ n ≤ 2017 ⇒ ≤ 29m − ≤ 2017 ⇒ ≤ m ≤ 69 ⇒ có 69 giá trị m ⇒ có 69 giá trị n Vậy có 69 giá trị n để A phân số chưa tối giản Bài 163 Giả sử d = ( a, b ) ⇒ a = md , b = nd với ( m, n ) = 2 a +1 b +1 (m + n ) d + (m + n) Ta có + = ⇒ ( m + n ) d ⇒ d ≤ m + n ⇒ d ≤ d ( m + n ) = b a mnd Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 a+b TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... 1) + không chia hết cho 2 Nếu (2n + 1) không chia hết cho ( 2n + 1) khơng chia hết ( 2n + 1) + 2 khơng chia hết cho không chia hết cho ( ) Vậy n2 + n + không chia hết n2 + n + không chia hết cho... Cho số tự nhiên a , b Chứng minh: a, a + b chia hết cho a , b chia hết cho b, a + b chia hết cho a , b chia hết cho c, a + b chia hết cho 15 a , b chia hết cho Bài 161 Tìm tất số nguyên dương... ) Mỗi số hạng chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) Từ (1) (2) suy A chia hết cho 101 50 nên A chia hết cho B Bài toán Chứng minh với số nguyên n ta có: A = 15 + + 35 + + n chia hết cho B
Ngày đăng: 14/08/2020, 15:06
Xem thêm:
