Bài viết trình bày xây dựng cấu trúc Banach cho lớp không gian các họ số khả tổng xác định bởi hàm Orlicz, là sự mở rộng tự nhiên những kết quả đã biết đối với không gian các dãy khả tổng. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết để nắm chi tiết nội dung nghiên cứu.
Kiều Phương Chi, Mai Thế Tân, Dương Đức Kiên / Về lớp không gian họ số khả tổng VỀ MỘT LỚP KHÔNG GIAN CÁC HỌ SỐ KHẢ TỔNG Kiều Phương Chi (1) , Mai Thế Tân (2) , Dương Đức Kiên (3) Khoa Toán - ứng dụng, Trường Đại học Sài Gòn Phòng Giáo dục Quận 11, TP Hồ Chí Minh Khoa Khoa học bản, Trường Cao đẳng Lý Tự Trọng, TP Hồ Chí Minh Nhận ngày 02/12/2019, nhận đăng ngày 21/2/2020 Tóm tắt: Trong báo này, xây dựng cấu trúc Banach cho lớp không gian họ số khả tổng xác định hàm Orlicz Kết mở rộng tự nhiên kết biết không gian dãy khả tổng trình bày [3, 4, 5] Từ khóa: Họ khả tổng; không gian Orlicz Mở đầu Trong giải tích hàm, lớp khơng gian dãy có vai trị quan trọng Lớp không gian dãy cổ điển xét với dãy nhận giá trị trường vơ hướng tính chất chúng ví dụ điển hình giải tích hàm cổ điển Trong [3], tác giả J Lindenstrauss L Tzafriri xây dựng không gian Banach dãy nhận giá trị vô hướng từ lớp hàm thực đặc biệt dựa ý tưởng Orlicz, chúng gọi hàm Orlicz Các tính chất khơng gian dãy Orlicz nghiên cứu sâu sắc thông qua cấu trúc hàm Orlicz J Lindenstrauss L Tzafriri Gần đây, lớp không gian quan tâm nghiên cứu thu nhiều ứng dụng sâu sắc giải tích hàm (xem [1], [2], [9]) Các dãy số suy rộng (hay gọi họ số) mở rộng tự nhiên dãy Các họ số xuất nhiều giải tích (xem [7, 8]) Một ví dụ điển hình dãy số suy rộng dãy tổng theo phân hoạch định nghĩa tích phân Riemann Các họ số bị chặn, họ số khả tổng, họ số hội tụ tới 0, giới thiệu nghiên cứu thấu đáo [8] Trong báo này, chúng tơi trình bày cách xây dựng khơng gian họ số (dãy số suy rộng) xác định hàm Orlicz Chúng muốn nhấn mạnh thêm kết báo thay tập số tùy ý tập số đếm nhận kết cổ điển không gian dãy Orlicz Để tiện theo dõi, nhắc lại số khái niệm kết không gian họ số hàm Orlicz Định nghĩa 1.1 ([8]) Tập I = ∅ gọi định hướng I xác định quan hệ ">" thỏa mãn tính chất: i) Với m, n, p ∈ I cho m > n, n > p m > p; ii) Với m ∈ I m > m; iii) Với m, n ∈ I, tồn p ∈ I cho p > m p > n Khi đó, tập I gọi tập định hướng quan hệ ">", ký hiệu (I, >) viết tắt I 1) 78 Email: kieuphuongchi@sgu.edu.vn (K P Chi) Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 48 - Số 1A/2020, tr 78-92 Ta dễ dàng chứng minh mệnh đề sau Mệnh đề 1.2 ([8]) Cho I tập số tùy ý Ký hiệu: F(I) = J ⊂ I : J hữu hạn Trên F(I) định nghĩa quan hệ bao hàm ">" sau: Với J, K ∈ F(I) : J > K ⇔ K ⊂ J Khi đó, F(I) với quan hệ bao hàm ">" tập định hướng ([8]) Giả sử (I, >) tập định hướng Khi đó, hàm S xác định I gọi lưới hay dãy suy rộng (hoặc họ số) ký hiệu (S, I, >) viết tắt S Nếu miền giá trị S khơng gian tơpơ gọi lưới không gian tôpô Định nghĩa 1.3 ([8]) Giả sử (I, >) tập định hướng (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi lưới (Sn , I, >) gọi hội tụ không gian tôpô đến điểm S tôpô τ với lân cận U S tồn n0 ∈ I cho với n ∈ I mà ∀n > n0 Sn ∈ U Khi đó, ký hiệu limSn = S hay Sn → S Từ sau, ta giả thiết I tập số cho trước Định nghĩa 1.4 ([8]) Cho {xi }i∈I họ số thực phức Họ {xi }i∈I gọi xi Khi ta viết khả tổng dãy suy rộng {SJ }J∈F (I) hội tụ đến S, SJ = i∈J xi = S i∈I xi = S với ε > 0, tồn J0 cho với J ∈ F(I) mà J > J0 Nói cách khác, i∈I xi − S < ε i∈J Trong báo này, ta dùng (xi ) {xi } để ký hiệu họ số Ta cần số kết bổ trợ sau trình bày [8] Mệnh đề 1.5 ([8]) Nếu họ số {xi }i∈I tùy ý, tồn số C > cho xi < C, ∀J ∈ F(I) i∈J |xi | < 4C i∈J Mệnh đề 1.6 ([8]) Họ số {xi }i∈I khả tổng tồn C > cho với J ∈ F(I) xi < C i∈J 79 Kiều Phương Chi, Mai Thế Tân, Dương Đức Kiên / Về lớp không gian họ số khả tổng Từ Mệnh đề 1.7, ta thấy họ số {xi }i∈I khả tổng họ {|xi |}i∈I khả tổng Đặc biệt |xi | = sup i∈I |xi | : J ∈ F (I) i∈J Hơn nữa, họ số {xi }i∈I họ khả tổng xi = trừ tập đếm Định nghĩa 1.7 ([8]) Họ số {xi }i∈I gọi bị chặn tập {xi : i ∈ I} bị chặn, tức tồn M > cho |xi | < M với i ∈ I Ký hiệu l∞ (I) = {xi }i∈I : {xi }i∈I bị chặn tập hợp họ bị chặn Trên l∞ (I) trang bị phép toán sau: Phép cộng: Với x = {xi }i∈I , y = {yi }i∈I ∈ l∞ (I) ta định nghĩa x + y = {xi + yi }i∈I Phép nhân vô hướng: Với x = {xi }i∈I ∈ l∞ (I) λ ∈ K ta định nghĩa λx = {λxi }i∈I Dễ dàng kiểm tra hai phép toán cho xác định với hai phép tốn l∞ (I) khơng gian tuyến tính Hơn l∞ (I) khơng gian Banach với chuẩn x = sup |xi | i∈I Định nghĩa 1.8 ([8]) Họ số {xi }i∈I gọi hội tụ tới với ε > 0, tồn J0 ∈ F(I) cho |xi | < ε, ∀i ∈ I\J0 Ký hiệu C0 (I) = {{xi }i∈I : xi hội tụ tới 0} không gian họ hội tụ tới Mệnh đề 1.9 ([8]) C0 (I) khơng gian đóng l∞ (I) Với p ≥ đặt p {xi }i∈I : lp (I) = |xi | < ∞ i∈I không gian họ p−khả tổng Dễ dàng kiểm tra lp (I) không gian C0 (I) Hơn nữa, thân lp (I) không gian Banach với chuẩn p x p |xi |p = i∈I 80 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 48 - Số 1A/2020, tr 78-92 Đặc biệt, p = ta gọi l2 (I) khơng gian họ số bình phương khả tổng Nó khơng gian Hilbert với tích vơ hướng xi yi , ∀x, y ∈ l2 (I) x|y = i∈I Ta có kết sau không gian liên hợp không gian họ số trình bày [7, 8] Mệnh đề 1.10 ([8]) 1) [C0 (I)]∗ ∼ = l1 (I) 2) [l1 (I)]∗ = l∞ (I) 3) (lp (I))∗ = lq (I), p > 1, 1 + = p q Định nghĩa 1.11 ([3]) Hàm M : [0, +∞) → R gọi hàm Orlicz 1) M hàm không giảm, liên tục; 2) M (0) = lim M (t) = ∞; t→∞ 3) M hàm lồi Hàm Orlicz M gọi suy biến tồn t > cho M (t) = Các hàm M (t) = ; M (t) = tet hàm Orlicz Không gian họ số xác định hàm Orlicz Trong mục này, xây dựng cấu trúc không gian Banach cho tập hợp họ khả tổng xác định hàm Orlicz Sau đó, nghiên cứu số tính chất lớp khơng gian mơ tả cấu trúc chúng hàm Orlicz suy biến Giả sử M hàm Orlicz, K trường số thực số phức I tập số tùy ý Ta ký hiệu lM (I) = x = (xi )i∈I ⊂ K : M i∈I |xi | ρ < ∞, với ρ > Phần tử x = (xi )i∈I viết gọn thành x = (xi ) Ta có kết sau Mệnh đề 2.1 lM (I) ⊂ l∞ (I) Chứng minh Giả sử lM (I) l∞ (I) Khi tồn x = (xi ) ∈ lM (I) không bị chặn Khi đó, với n = 1, 2, ta tìm |xin | > n Vì x ∈ lM (I) nên tồn ρ > cho |xi | |xi | < ∞ Suy tồn k cho M < k với i ∈ I Lấy t0 ∈ (0, ∞) i∈I M ρ ρ |xin0 | cho M (t0 ) = k Vì lim |xin | = ∞ nên tồn n0 cho > t0 Kéo theo n→∞ ρ M |xin0 | > M (t0 ) = k ρ 81 Kiều Phương Chi, Mai Thế Tân, Dương Đức Kiên / Về lớp không gian họ số khả tổng Điều mâu thuẫn với M |xin | cho M ( |xρα1 | ) < ∞, M ( |yρα2 | ) < ∞ α∈I α∈I Lấy ρ = ρ1 + ρ2 ta có M( |xα + yα | |xα + yα | ) = M( ) ρ ρ1 + ρ2 |xα | + |yα | ) M( ρ1 + ρ2 ρ2 |yα | ρ1 |xα | + ) = M( ρ1 + ρ2 ρ1 ρ1 + ρ2 ρ2 ρ1 |xα | ρ2 |yα | )+ ) M( M( ρ1 + ρ2 ρ1 ρ1 + ρ2 ρ2 Suy M( α∈I ρ1 |xα + yα | )< ρ ρ1 + ρ2 M( α∈I |xα | ρ2 )+ ρ1 ρ1 + ρ2 M( α∈I |yα | ) < ∞ ρ2 Tức x + y ∈ lM (I) Nếu λ = λx = ∈ lM (I) Nếu λ = với ρ = |λ|ρ1 ta có M( α∈I |λxα | )= ρ M( α∈I |λ||xα | )= ρ M( α∈I |xα | ) < ∞ ρ1 Suy λx ∈ lM (I) Vì lM (I) khơng gian tuyến tính Sau ta bị chuẩn cho lM (I) Mệnh đề 2.3 lM (I) không gian định chuẩn với chuẩn xác định công thức x = inf{ρ > : M( α∈I với x ∈ lM (I) 82 |xα | ) ρ 1}, (1) Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 48 - Số 1A/2020, tr 78-92 Chứng minh Với x ∈ lM (I), rõ ràng x = inf ρ > : M i∈I |xi | ρ Ta cần x = x = Thật vậy, x = 0, tức xi = với |xi | ) = M ( ) = với ρ i ∈ I Khi đó, M ( ρ ρ x = inf{ρ > 0} = Nếu x = ta x = Giả sử ngược lại x = x = Khi đó, x = (xi ) = nên tồn i0 cho xi0 = 0, suy |xi0 | > Vì M hàm Orlicz nên lim M (t) = ∞ Do đó, tồn t0 > cho M (t0 ) > Từ giả thiết t→∞ x = inf ρ > : M |xi | ρ =0 M |xi | ρ 1} i∈I suy tồn ρ0 ∈ {ρ > : i∈I cho |xi0 | > t0 Do ρ0 M( |xi0 | ) ρ0 M |xi | ρ0 M (t0 ) > Ta thu i∈I M( |xi0 | ) > ρ0 Điều mâu thuẫn với ρ0 ∈ {ρ > : M i∈I xi ρ 1} Vì x = x = Do đó, x = x = Để kiểm tra điều kiện chuẩn ta cần nhận xét sau: Nếu x = M i∈I |xi | x Thật vậy, với ε > tồn ρ > cho ρ M i∈I |xi | ρ (2) x + ε 83 Kiều Phương Chi, Mai Thế Tân, Dương Đức Kiên / Về lớp không gian họ số khả tổng Do tính khơng giảm hàm M ta suy |xi | x +ε M i∈I |xi | ρ M i∈I Cho ε → ta nhận M i∈I |xi | x Tiếp theo ta λx = |λ| x với x ∈ lM (I) với λ ∈ K Trường hợp λ = x = hiển nhiên Nếu λ = x = λx = inf ρ >0: M |λxi | ρ M |λ| |xi | ρ M |xi | ρ M xi ρ ≤1 M |xi | ρ ≤1 M |yi | ρ i∈I = inf ρ >0: i∈I Đặt ρ = ≤1 ≤1 ρ Khi ta có |λ| λx = inf ρ|λ| : i∈I = |λ| inf ρ: i∈I ≤1 = |λ| x Cuối cùng, với x, y ∈ lM (I) ta đặt u = x = inf ρ: i∈I v = y = inf ρ: i∈I Khi M i∈I |xi | x ≤ M i∈I ≤1 |yi | y ≤ Giả sử t, s ∈ R cho s > u t > v Khi đó, ta có M i∈I 84 |xi | s ≤ M i∈I |xi | x Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 48 - Số 1A/2020, tr 78-92 |yi | t M i∈I ≤ M i∈I |yi | y ≤ Mặt khác, ta có |xi | + |yi | s |xi | t |yi | = + t+s s+t s s+t t Suy M |xi | + |yi | s+t t s |xi | + M M s+t s s+t s t ≤ + = s+t s+t |xi + yi | s+t ≤M |yi | t Do s+t∈ ρ: M |xi + yi | ρ ≤1 M |xi + yi | ρ ≤1 i∈I Vì x + y = inf ρ: i∈I ≤ s + t (3) Vì (3) với s > |x t > |y| nên ta thu x+y ≤ x + y Do lM (I) khơng gian định chuẩn Để chứng minh tính Banach lM (I) ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.4 Nếu dãy (xk ) ⊂ lM (I), xk = (xki ), i ∈ I hội tụ tới lM (I) lim xki = K với i ∈ I k→∞ Chứng minh Giả sử khẳng định khơng Khi đó, tồn i0 ∈ I cho dãy (xki0 ) không k hội tụ tới K Vì vậy, tồn dãy (kj ) r > cho |xi0j | ta có r Với j = 1, 2, , k xkj = inf M ρ>0: i∈I |xi j | ρ ≤1 Suy k k M i∈I |xi j | xkj ≥M |xi0j | xkj ≥M r xk j (4) 85 Kiều Phương Chi, Mai Thế Tân, Dương Đức Kiên / Về lớp không gian họ số khả tổng với kj Cho kj → ∞ với để ý xkj → ta nhận M r |xkj | → ∞ Mâu thuẫn với (4) Ta nhận điều cần chứng minh Định lý 2.5 lM (I) không gian Banach Chứng minh Giả sử (xk ) dãy Cauchy lM (I) Ta cần (xk ) hội tụ tới x ∈ lM (I) Thật vậy, (xk ) dãy Cauchy nên xk − xl = inf ρ: M i∈I |xki − xli | ρ ≤1 →0 (5) k, l → ∞ Theo Bổ đề 2.4 với i ∈ I ta có |xki − xli | → k, l → ∞ Do đó, (xki ) dãy Cauchy K với i ∈ I Vì K đầy đủ nên lim xki := xi ∈ K Đặt x = (xi ) Với ε > 0, từ (5) tồn k0 cho k→∞ xk − xl = inf ρ: M i∈I1 với k, l |xki − xli | ρ k0 Trong bất đẳng thức cố định k xk − x = inf ρ: M i∈I ≤1 : |xi | ρ M i∈I |xi |p = inf ρ > : ρp i∈I 1/p |xi |p = inf ρ > : ρ i∈I = inf ρ > : |x|p ρ} = x p Mệnh đề chứng minh Tiếp theo ta nghiên cứu lớp không gian quan trọng lM (I) Với hàm Orlicz M tập số I, ta đặt hM (I) = x = (xi ) ⊂ K : M i∈I xi ρ < ∞ với ρ > Mệnh đề 2.7 hM (I) không gian đóng lM (I) Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh hM (I) không gian lM (I) Giả sử x, y ∈ hM (I) α ∈ K Khi đó, α = αx = ∈ hM (I) |xi | ρ Nếu α = i∈I M < ∞ với ρ > Do đó, với ρ > 0, đặt ρ = ta ρ |α| có |αxi | |xi | M = M < ∞ ρ ρ i∈I i∈I Suy αx ∈ hM (I) Từ chứng minh ta suy 2x, 2y ∈ hM (I) Do i∈I M i∈I M 2xi ρ < ∞ |2yi | < ∞ với ρ > Với i ∈ I, từ tính lồi hàm M ta có ρ M |xi + yi | ρ |xi | + |yi | ρ |2xi | |2yi | =M + ρ ρ |2xi | |2yi | M + M ρ ρ M Do M i∈I |xi + yi | ρ M i∈I |2xi | + ρ M i∈I |2yi | < ∞ ρ 87 Kiều Phương Chi, Mai Thế Tân, Dương Đức Kiên / Về lớp khơng gian họ số khả tổng Vì x + y ∈ hM (I) Tiếp theo ta chứng minh hM (I) đóng lM (I) Giả sử (xk ) dãy hM (I) xk hội tụ tới x lM (I) Khi đó, với ε > tồn k0 cho xk − x < ε với k cho (8) k0 Ta xk0 − x ∈ hM (I) Giả sử xk0 − x ∈ / hM (I) Khi đó, tồn ρ0 > i∈I |xki − xi | = ∞ M ρ0 Vì vậy, với < ρ < min{ε, ρ0 }, nhờ tính khơng giảm hàm M ta có |xki − xi | =∞ ρ M i∈I inf ρ > : M i∈I |xki − xi | ρ > ε, tức xk0 − x > ε Mâu thuẫn với (8) Vì vậy, k0 cho xk0 − x ∈ hM (I) Do x = xk0 − (xk0 − x) ∈ hM (I) Định lý sau mô tả cấu trúc không gian hM (I) lM (I) trường hợp M suy biến Định lý 2.8 Giả sử M suy biến Khi ta có khẳng định sau: 1) lM (I) đẳng cấu với l∞ (I); 2) hM (I) đẳng cấu với C0 (I) Chứng minh 1) Mệnh đề 2.1 cho thấy lM (I) ⊂ l∞ (I) Giả sử M suy biến Khi đó, tồn t0 > cho M (t0 ) = Từ tính liên tục M lim M (t) = ∞ suy tồn T0 t→∞ giá trị lớn cho M (T0 ) = Với x = (xi ) ∈ l∞ (I) mà x = 0, ta đặt k = sup |xi | = x ∞ < ∞ i∈I Lấy ρ = 2k ta thu T0 |xi | T0 |xi | = ρ 2k T0 Từ tính chất khơng giảm M (t) ta có 88 M |xi | ρ M T0 =0 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 48 - Số 1A/2020, tr 78-92 với n Ta nhận i∈I M |xρi | = Hay x = (xi ) ∈ lM (I) Từ suy l∞ (I) = lM (I) Để chứng minh lM (I) đẳng cấu với l∞ (I) ta phải chuẩn chúng tương đương Để ý l∞ (I) xét với chuẩn x = sup |xi | ∞ i∈I 2k T0 Từ chứng minh ta có, với ρ = M i∈I |xi | =0 : M i∈I |xi | ρ 1} 2k x ∞ = T0 T0 Như vậy, x ∞ T0 x (9) với x ∈ lM (I) Bây giờ, từ x = inf{ρ > : M i∈I suy i∈I M |xi | x |xi | ρ 1} với x ∈ lM (I) x = Gọi T1 số lớn cho M (T1 ) = (T1 tồn tính liên tục M , lim M (t) = ∞ M (0) = 0) Ta có t→∞ M |xi | x với i Do tính khơng giảm M nên |xi | x T1 với i Ta thu x ∞ = sup |xi | T1 x (10) i∈I với x = Bất đẳng thức rõ ràng với x = Từ (9) (10) suy chuẩn l∞ (I) lM (I) tương đương lM (I) đẳng cấu với l∞ (I) 2) Vì C0 (I) khơng gian đóng l∞ (I) hM (I) không gian đóng lM (I), M suy biến lM (I) đẳng cấu với l∞ (I) nên để chứng minh hM (I) đẳng cấu với C0 (I) ta cần hM (I) = C0 (I) M suy biến 89 Kiều Phương Chi, Mai Thế Tân, Dương Đức Kiên / Về lớp không gian họ số khả tổng Giả sử x = (xi ) ∈ hM (I) Khi i∈I xi ρ M < ∞ với ρ > Nếu x ∈ / C0 (I) họ (|xi |)i∈I khơng hội tụ tới Khi đó, tồn tập vô hạn J I r > cho xj > r với j ∈ J Lấy ρ > cho |xj | ρ với j ∈ J Từ |xj | ρ r ρ 2T0 2T0 với j ∈ J, suy |xj | ρ M với j ∈ J Do J tập vô hạn nên ∞ Ta nhận mâu thuẫn với M (2T0 ) > j∈J i∈I M M |xj | ρ |xi | ρ = ∞ Từ J ⊂ I suy i∈I M |xi | ρ = < +∞ với ρ Vì hM (I) ⊂ C0 (I) Ngược lại, giả sử x = (xi ) ∈ C0 (I) Ta x ∈ hM (I) Thậy vậy, với ρ > Khi đó, từ họ (|xi |) hội tụ tới suy tồn J0 ∈ F(I) cho |xi | < ρT0 với i ∈ I \ J0 |xi | |xi | Hay < T0 với i ∈ I \ J0 Vì M ( ) = với i ∈ I \ J0 Ta thu ρ ρ M i∈I |xi | = ρ M i∈J0 |xi | < ∞ ρ Vì x = (xi ) ∈ hM (I) Do C0 (I) ⊂ hM (I) Từ ta có C0 (I) = hM (I) Định lý chứng minh M (qt) < t→0 M (t) ∞ với q > Hàm Orlicz M thỏa mãn điều kiện ∆q với q > thỏa mãn điều kiện ∆2 (xem [3]) Định lý sau đưa điều kiện để hM (I) = lM (I) thông qua điều kiện ∆2 Ta nhắc lại rằng: Hàm Orlicz M gọi thỏa mãn điều kiện ∆q lim Định lý 2.9 Giả sử M hàm Orlicz khơng suy biến Khi đó, M thỏa mãn điều kiện ∆2 lM (I) = hM (I) Chứng minh Giả sử M thỏa mãn điều kiện ∆2 Khi đó, M thỏa mãn điều kiện ∆q với q > Lấy x ∈ lM (I) Khi đó, tồn ρ0 > cho M i∈I Suy họ M ( |xρ0i | |xi | ρ0 i∈I 90 |xi | ρ0 < ∞ hội tụ tới Do M không suy biến liên tục nên kéo theo họ |xi | hội tụ tới Do đó, tồn J0 ∈ F(I) cho < với i ∈ I \ J0 ρ0 i∈I Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 48 - Số 1A/2020, tr 78-92 Với ρ > áp dụng điều kiện ∆q với q = ρ0 , ta tìm tồn K > < δ < ρ cho M với < t ρ0 t < KM (t) ρ δ Suy M( |xi | ρ0 |xi | ) ) = M( ρ ρ ρ0 KM ( |xi | ) ρ0 với i ∈ I \ J0 Ta thu M i∈I |xi | ρ = M i∈J0 ≤ M i∈J0 ∞ |xi | ρ + |xi | ρ +K |xi | ρ M i∈I\J0 M i∈I\J0 |xi | ρ0 < ∞ |xi | ) < ∞ với ρ > 0, tức x ∈ hM (I) Do lM (I) ⊂ hM (I) Vì ρ lM (I) = hM (I) Như i∈I M( Ta nhắc lại với tập số I, với i ∈ I, đặt ei : I → K xác định ei (i) = ei (j) = với j = i Ta nhận kết quan trọng sau: Định lý 2.10 Bao tuyến tính {ei : i ∈ I} trù mật hM (I) Chứng minh Rõ ràng ei ∈ hM (I) với i Vì vậy, từ hM (I) khơng gian đóng lM (I) suy span{ei : i ∈ I} ⊂ hM (I) Giả sử x = (xi ) ∈ hM (I) Khi đó, với ε > ta có |xi | M( ) < ∞ (11) ε i∈I Vì vậy, tồn J ∈ F(I) cho M( i∈I\J Xét SJ = i∈J |xi | ) ε xi ei Ta có SJ ∈ span{ei : i ∈ I} Hơn nữa, từ (11) suy SJ − x = inf ρ > : M( i∈I\J |xi | ) ρ 1} ε, vậy, x ∈ span{ei : i ∈ I} Định lý chứng minh 91 Kiều Phương Chi, Mai Thế Tân, Dương Đức Kiên / Về lớp không gian họ số khả tổng Nhận xét 2.11 Từ Định lý 2.10 suy I tập đếm hM (I) khơng gian khả ly TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Khan Vakeel A and Lohani Q M D., “Some new difference sequences spaces defined by Musielak-Orlicz function”, Thai J Math., , No 1, 215-223, 2008 [2] Khan Vakeel A., On a new sequence space defined by Musielak-Orlicz functions, Stud Univ Babes-Bolyai Math 55, No 2, 143-149, 2010 [3] Lindenstrauss J and Tzafriri L., Classical Banach spaces I Sequence spaces, Springer - Verlag, Berlin - New York [4] Lindenstrauss J and Tzafriri L., “On Orlicz sequence spaces III”, Israel J Math., 14, 368-389, 1973 [5] Lindenstrauss J and Tzafriri L., “On Orlicz sequence spaces II”, Israel J Math., 11, 355-379, 1972 [6] Lindenstrauss J and Tzafriri L., “On Orlicz sequence spaces, Israel J Math., 10, 379390, 1971 [7] Meise R and Vogt D., Introduction to Functional Analysis, Claderon Press, Oxford, 1997 [8] Pietsch A., Nuclear Locally Convex Spaces, Springer - Verlag, 1972 [9] Subramanian N., “The Cesaro convergence of triple chi sequences spaces of fuzzy real numbers defined by a sequence of Musielak-Orlicz function”, Bol Soc Parana Mat., (3) 37, No 2, 145-155, 2019 SUMMARY ON THE CLASS OF SPACES OF SUMMABLE FAMILY In this paper, we construct the Banach space of summable families of numbers The results are natural extension of the space of number sequences (see [3], [4], [5]) Keyword: Sumalble families; Orlicz spaces 92 ... Kiên / Về lớp không gian họ số khả tổng Từ Mệnh đề 1.7, ta thấy họ số {xi }i∈I khả tổng họ {|xi |}i∈I khả tổng Đặc biệt |xi | = sup i∈I |xi | : J ∈ F (I) i∈J Hơn nữa, họ số {xi }i∈I họ khả tổng. .. tới 0} không gian họ hội tụ tới Mệnh đề 1.9 ([8]) C0 (I) không gian đóng l∞ (I) Với p ≥ đặt p {xi }i∈I : lp (I) = |xi | < ∞ i∈I không gian họ p? ?khả tổng Dễ dàng kiểm tra lp (I) không gian C0... Phương Chi, Mai Thế Tân, Dương Đức Kiên / Về lớp không gian họ số khả tổng Nhận xét 2.11 Từ Định lý 2.10 suy I tập đếm hM (I) không gian khả ly TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Khan Vakeel A and Lohani Q M