Sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi trực hướng phủ bởi một lớp mỏng đàn điện

Bài viết Sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi trực hướng phủ bởi một lớp mỏng đàn điện đưa ra các phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh truyền trong cấu trúc vật liệu như trên. Bằng cách áp dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng, tác giả đã thu được phương trình tán sắc xấp xỉ bậc 3.

BÀI BÁO KHOA HỌC SĨNG RAYLEIGH TRUYỀN TRONG BÁN KHƠNG GIAN ĐÀN HỒI TRỰC HƯỚNG PHỦ BỞI MỘT LỚP MỎNG ĐÀN ĐIỆN Nguyễn Thị Khánh Linh1 Tóm tắt: Bài báo nghiên cứu lan truyền sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi trực hướng phủ lớp mỏng Liên kết lớp bán không gian gắn chặt giả thiết lớp đàn điện bán không gian đàn hồi trực hướng nén Mục đích báo đưa phương trình tán sắc dạng sóng Rayleigh truyền cấu trúc vật liệu Bằng cách áp dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng, tác giả thu phương trình tán sắc xấp xỉ bậc Có thể thấy rằng, phương trình dạng hồn tồn tường minh, có độ xác cao hữu ích ứng dụng thực tế Từ khóa: Sóng Rayleigh, bán khơng gian đàn hồi nén được, lớp mỏng đàn điện, phương trình tán sắc GIỚI THIỆU * Sóng mặt Rayleigh truyền bán khơng gian đàn hồi đẳng hướng lần Rayleigh tìm vào năm 1985 tài liệu tham khảo (Rayleigh, 1885), đề tài thu hút khối lượng lớn nhà khoa học giới ứng dụng quan trong nhiều lĩnh vực khác khoa học công nghệ địa chấn học, âm học, địa vật lý, công nghệ truyền thơng khoa học vật liệu Có thể nói nghiên cứu sóng mặt Rayleigh có ảnh hưởng sâu rộng đến sống có vị trí cao khoa học Ngày cấu trúc lớp mỏng đặt bán không gian sử dụng rộng rãi công nghệ đại Do việc đánh giá không phá hủy tính chất học chúng trước trình sử dụng quan trọng có nhiều ý nghĩa Để đánh giá khơng phá hủy tính chất học lớp vật liệu bán không gian, sóng mặt Rayleigh cơng cụ thuận lợi (Adams and et al., 2007) Khi đó, phương trình tán sắc chúng sử dụng sở lý thuyết để chắt lọc tính chất học cấu trúc từ liệu đo từ thực tế Cấu trúc lớp mỏng đăt bán không gian vật liệu đàn hồi đẳng hướng, trực hướng vật liệu có ứng suất trước có nhiều cơng trình nghiên cứu thu phương trình tán sắc xác phương trình tán sắc xấp xỉ (Vinh and et al., 2013, 2014, 2016 ) Tuy nhiên môi trường bán không gian trực hướng phủ lớp vật liệu đàn điện chưa có cơng bố Do việc nghiên cứu truyền sóng Raleigh bán khơng gian phủ lớp vật liệu piezoelectric cần thiết quan trọng Điều đưa đến mục tiêu báo bái tìm phương trình tán sắc dạng tường minh sóng mặt Rayleigh truyền bán khơng gian trực hướng phủ lớp đàn điện CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN HIỆU DỤNG XẤP XỈ BẬC BA ĐỐI CỦA LỚP ĐÀN ĐIỆN 2.1 Phương trình Xét bán không gian đàn hồi x3  trực hướng, lớp đàn điện, liên kết lớp bán không gian gắn chặt Chú ý đại Bộ môn Cơ học kỹ thuật, khoa Cơ khí, Trường Đại học Thủy lợi phủ lớp đàn hồi mỏng h  x3  Giả thiết, bán không gian KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022) lượng đặc trưng cho bán không gian lớp ký hiệu phân biệt dấu gạch ui  ui ( x1 , x3 , t ), ui  ui ( x1 , x3 , t ), ngang đại lượng thuộc lớp Ta xét biến dạng phẳng có dạng: i  1, 3, u2  u2  (1.1) t thời gian Giả sử vật liệu lớp vật liệu đàn điện Mối quan hệ ứng suất-biến dạng điện  có dạng (Bernard Collet and et al, 2005): (1.2)  11  c11u1,1  c13u3,3  e31 ,3 ,  33  c13u1,1  c33 u3,3  e32  ,3 ,  13  c55 (u1,3  u3,1 )  e15  ,1  ij cij tương ứng ứng suất, áp suất thủy tĩnh hệ số độ cứng không nén vật liệu, dấu phẩy đạo hàm theo biến không gian xk Các phương trình chuyển động đàn điện có dạng: 11,1  13,3   u1 ,  13,1   33,3   u3 , D1,1  D3,3   mật độ khối lượng, dấu chấm đạo hàm theo biến thời gian t U    M Từ (1.2)-(1.3), ta có:         M (1.3) M  U  M     (1.4) U  [u1 u2  ]T ,   [ 13  33 D3 ]T "T" ma trận chuyển vị, dấu phẩy đạo hàm theo biến x3  M   r4 1  r2 1 1 0  s6 1   n66   , M    0  n22 n24   2t  12 0  n24  , M    n44    t    , M  M 1T  12  (1.5) 12   / x12 ,  t2   / t , 1   / x1 s6  e15 c e c e c ò e e ò c , r2  13 33 33 31 , r4  13 33 31 33 , n66  , n22  33 , n44   33 , c55   c55     ò11  e152 , c55   ò33 c33  e33 ,   c11  U ( n )  U   M1 Từ (1.4), ta có:  ( n )   M n   , M   M     c13 (c13ò33  2e31e33 )  c33 e31  M2  , n  1, 2,3, , x2  [h,0] M  (1.6) 2.2 Điều kiện biên hiệu dụng xấp xỉ bậc ba Với h nhỏ (lớp mỏng), cách khai triển Taylor (h) x3  lên đến bậc ba h, (h) có dạng: h2 h3 ''' (h)  (0)  h(0)  (0)   (0) (1.7) Thay (1.4), (1.5) (1.6) vào (1.7), lấy U (0)  [u1 (0) u3 (0)  (0)]T , (0)  [ 13 (0)  33 (0) 0]T , ta có:  13  h(r4 33,1   u1,11   u1 )  h2   a   (a2  ,111  s6  ,1 13,11  n66  13   u3,111  a1  u3,1 ) h3  (a10 33,111  a11 33,1  a12 u1,1111  n66  u1,tt  a13  u1,11 )  (1.8) KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022)  33  h( 13,1 h2    u3 )  ( r4 33,11  n22 33   u1,111  a1  u1,1 ) h3    a     ( a2 1,1111  a3  ,11 13,111  a5  13,1   u3,1111  a6  u3,11  n22  u3, tt )  h2 h(  ,11  s6 13,1 )  ( a7 33,11  a2 u1,111  s6  u1,1 ) h   a     ( a8  ,1111  s62  ,11 13,111  n66 s6  13,1  a2 u3,1111  a3 u3,11 )  đó: a1   r4 , a2   r2   s6 , a3   n24  s6 (1  r4 ), a4  r4  r2 s6   n66 (1.9) (1.10) a5  n22  n66 (1  r4 )  n24 s6 ; a6   2r4 ; a7  r4 s6   n24 a8  2 r2 s6   s62   n44 , a9  r2 s62   n44 s6   n66 r2   n66 s6   n24  r4 s6 (1.11) a10  r42   n22   n22   n24 r2   n66 r4   n24 s6  r2 r4 s6 , a11  n22 (1  r4 )  n66 r4  n24 s6 , a12   r22   n66  2 (r4  r2 s6 ), a13  2( n66  r4  r42  r2 s6 ) Bây ta xét lan truyền sóng mặt lớp x3   h, truyền với vận tốc c số sóng k theo hướng x1 ,tắt dần theo hướng x3 Chuyển dịch u , điện  ứng suất  ij có dạng: ui  U ( y ) i eik ( x1 ct ) ,  i  kti ( y )eik ( x1  ct ) ,   ik ( y ) eik ( x1 ct ) , y  kx3 , i  1,3, (1.12) Thay (1.12) vào (1.8) - (1.10) tính đến x3   t13 (0)   { ( X   )U1 (0)   r4t33 (0)} 2 X )U (0)  (a2 s6  a8  a4    n66 X  s6 X )t13 (0)} 3  3  {(( a10   a2 a7  a8 r4  a11  X  a7 s6 X  r4 s6 X )t33 (0) 2  (a12   a2  a8  a8 X  a13  X   n66 X  3a2 s6 X   s6 X  s6 X )U1 (0)}  2  t33 (0)   { XU (0)   t13 (0)}  { (  a 2 X  a8   r4   n22 X )t33 (0)} 3 2  (    a8 X  a6  X   n22 X  s6 X )U (0)    0 (a2 s6  a8  a4   a5  X  a3 s6 X  s62 X ) t13 (0)   { (a X   )U (0)  (1 s 1 (1.13) (1.14) với   k.h Ở U k (0) tij (0) biên U  [u1 u3 ]T , T  [ 12  22 ]T thỏa mãn điều độ chuyển dịch ứng suất bán không gian mặt x3  Đây điều kiện biên hiệu kiện biên hiệu dụng (1.13) (1.14) điều kiện tắt dần x3   sau: dụng xấp xỉ bậc ba Nó thay xấp xỉ tồn ảnh hưởng lớp đàn điện mỏng không nén lên bán không gian PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC Xét bán khơng gian đàn hồi nén Khi đó, vectơ chuyển dịch ứng suất U T 0 x3   (1.15) Mối liên hệ chuyển dịch-ứng suất có dạng sau:  22  c12u1,1  c22u2,2 , 13  c55 (u1,3  u3,1 ) (1.16) Xét sóng Rayleigh truyền bán không gian trực hướng nén với vận tốc c (  ), số KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022) sóng k theo hướng x1 tắt dần theo hướng x3 B1 , B2 số xác định, (c13  c55 )bk (1.19) k  (c33bk  c55  X ) b1 , b2 hai nghiệm có phần thực dương Theo (Odgen and Vinh, 2004) , thành phần chuyển dịch có dạng: u1  U1 ( y )eik ( x1 ct ) ; u3  U ( y ) eik ( x1 ct ) ; (1.17) b1y b2y b1y b2y U1  Be  Be ; U3 1Be 2Be (1.18) 2 phương trình: b4  Sb2  P  (1.20) Đã sóng Rayleigh tồn tại, X   c2  X  min{c66 , c11}; P  0, S  P  0, b1b2  (1.21) P , b1  b2  S  P Thay (1.17) vào (1.16) dẫn đến:  13  kt13 ( y )eik ( x1  ct ) ;  33  ikt33 ( y )eik ( x1 ct ) ; t13 (0)  1 B1e b1 y   B2 e b2 y ; y  kx3 t33 (0)   B1e b1 y   B2 e b2 y  k  c55 (bk   k );  k  c13  c33 bk  k , k  1, Với x3  , phương trình (1.18) (1.24) có dạng: U1 (0)  B1  B2 ; U (0)  1 B1   B2 ; t13 (0)  1 B1  2 B2 ; t33 (0)   B1   B2 (1.22) (1.23) (1.24) (1.25) Thay (1.25) vào (1.13) (1.14), ta có: f1 B1  f B2  0, f3 B1  f4 B2  (1.26) 2 ( (  a1 X )1  (a2 s6  a4   a8   n66 X  s6 X ) 1 ) 3   a2  a8 X  a13  X   s6 X  3a2 s6 X   n66 X  s6 X   a12   a8     2   ; 3   (a10   a8 r4  a2 a7  a11  X  a7 s6 X  r4 s6 X )  2   f     ( X    r4  )  (  (  a1 X )  ( a2 s6  a4   a8   n66 X  s6 X )  ) f1  1   ( X    r4 )  3   a   a8  a2  a8 X  a13  X   s6 X  3a2 s6 X   n66 X  s6 X    12  2   ; 3    ( a   a8 r4  a2 a7  a11  X  a7 s6 X  r4 s6 X )  10  2 f3     ( X 1  1 )   2     ( a1 X   )  ( s6 X   n22 X   r4  a8 )   3  3 (  a X  a  X   n 22 X  s6 X )1  (a2 s6  a8  a4   a5  X  a3 s6 X  s6 X ) 1  ; 2     (a1 X   )  ( s6 X   n22 X   r4  a8 )   3  2   (   a8 X  a6  X   n22 X  s6 X )       (a2 s6  a8  a4   a5  X  a3 s6 X  s6 X )   f     ( X    )  (1.27) (1.28) KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022) Do B12  B22  , dẫn đến định thức ma trận hệ số hệ (1.26) phải 0, ta có: f1 f4  f2 f3  (1.29) Thay (1.27) - (1.28), ta có: A0  A1  A2 2  A3 3  O( )  (1.30) A0   [ ,  ], A1  (  X [ ,  ]   ( X   )[ ] A2  2 X ( X   )[ ]   [  ]   [ ,  ]  (  a5   a2    n66 X  a1  s6   s6 X )[ ,  ] 3   2 a3   a1   2a5   2a5  X  3 X  A3   [ ]  a  X   n X  3a  s X   s X   s X  66 6   (1.31)  3 X   2  2a5  X  3a2  X  3 n66 X  3a1  s6 X   s6 X [ ,  ] [ ]  X  c11  c55 P , [ ]  [ ;  ]  c55 (c11  X  c13 P ); [ ]  c33 c55 P S  P , [ ;  ]  c55 (c11  X ) S  P , [ ;  ]  c55 [(c132  c33 (c11  X )) P  X (c11  X )], c33 (c11  X )  c55 (c55  X )  (c13  c55 )2 (c  X )(c55  X ) , P  11 c33 c55 c33 c55 S (1.32) Phương trình (1.30) phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba hồn tồn tường minh Ở dạng khơng thứ nguyên phương trình (1.30) viết sau: D0   D1  2 D2  3 D3  O( )  (1.33) D0   * [ ,  ]* ; D1   * ( rv x[ ,  ]*  ( rv x   * )[ ]* ) D2  (2  * rv x(rv x   * )[ ]*   * ((1  r4* )rv x   * )[  ]* *  (a2* s6*  a8*   * (r4*  a4* )  (  * (n22  1)  ( s6* )2 )rv2 x )[ ,  ]* 3  * * * * * * * * * *  a12   (a2 )  2a8   [3a2 s6  2 ( s6 )  2a8  * D3   [ ] * * * * * * * *   (a  3 n  3r (a  1))]r x   (3n  1) r x  13 22 v 22 v   (1.34) * * * * * * * * *  2   ((3a1  3a4  a6 )  2a8  3a2 s6 )rv x  *  [ ,  ] * * *  (  (n22  3)  (s6 ) )rv x )  x với * 31 e c c c c e15 c c  X ; e1  11 ; e2  33 ; e3  13 ; c11*  11 ; c13*  13 ; c33*  33 ; 11*  11 ; e15*  ; c55 c55 c55 c55 c55 c55 c55 33 33 c55  e31 33 c55 * 33 ;e c55 c2 c55 c55 * c13*  e31*e33* * *  , r  ; rv  ; c2  ;c  , s  e15 ; r4  * ; c55 c2   c33  (e33* )2 33 c55 e33 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022) c13* e33*  c33* e31* e33* c33* * * * r2  ; n22  * ; n24  * ; n44  * ; c33*  (e33* ) c33  (e33* ) c33  (e33* ) c33  (e33* ) *  *  c11*  c13* (c13*  2e31* e33* )  c33* (e31* )2 * ;   (11*  (e15* )2 ); a1*   r4* ; a2*   * r2*   * s6* ; c33*  (e33* )2 a4*  r4*  r2* s6*   * ; a6*   2r4* ; a8*   * r2* s6*   * ( s6* )  (  * ) n44* ; a12*   * ( r2* )2  ( * )  2 * r4*  2 * r2* s6* ; a13*  2 *  2r4*  ( r4* )2  2r2* s6* 1 [ ]*  x  e1  P* ,[ ]*  (e1  x  e3 P* );[ ]*  e3 P* S *  P* ; r r [ ,  ]*  S*  1 (e1  x) S *  P* ;[ ,  ]*  [(e32  e2 (e1  x )) P*  x(e1  x)] r r (1.35) e2 (e1  x )   x  (e3  1)2 * (e1  x )(1  x) ,P  e2 e2 e1  3.5; e2  2.8; e3  1; e1*  2.5; e3*  1.5; e2*  3.2; * * e15*  0.2, e31  1, e33  0.5, 11  0.01, r  0.5, rv  2.8 Từ hình vẽ cho  Hình Đường cong vận tốc xấp xỉ (đường nét đứt) tìm từ phương trình (1.33) đường cong vận tốc xác (đường nét liền) Hình biểu diễn vận tốc xấp xỉ tìm từ phương trình (1.33) phương trình vận tốc xác với số liệu: thấy đường cong vận tốc xác đường cong vận tốc xấp xỉ bám sát Điều đường cong vận tốc xấp xỉ tìm từ phương trình (1.33) tốt có độ xác cao Vì phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba (1.33) thu thực tốt công cụ thuận tiện ứng dụng thực tiễn KẾT LUẬN Bài báo nguyên cứu sóng Rayleigh truyền bán không gian đàn hồi trực hướng phủ lớp mỏng đàn điện Bài báo thu điều kiện biên cho lớp đàn điện Từ điều kiện biên này, tác giả để tìm phương trình tán sắc xấp xỉ bậc cho sóng Rayleigh Đây kết mới, có ý nghĩa khoa học hữu ích cho nhà khoa học nghiên cứu tốn truyền sóng cho mơi trường đàn điện từ TÀI LIỆU THAM KHẢO Adams, S D M., Craster, R V and Williams, D P (2007), "Rayleigh waves guided by topography", Proc R Soc., A 463, pp 531-550 Bernard Collet and Michel Destrade (2005), “Explicit secular equations for piezoacoustic surface waves: Rayleigh modes”, Journal of Applied Physics 98, 054903 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022) Rayleigh, L (1885), "On waves propagating along the plane surface of an elastic solid", Proc R Soc Lond A17, pp 4-11 Pham Chi Vinh and Nguyen Thi Khanh Linh (2013), “Rayleigh waves in an incompressible elastic halfspace overlaid with a water layer under the effect of gravity”, Meccanica, Vol 48, pp.2051 – 2060 Pham Chi Vinh, Vu Thi Ngoc Anh, Nguyen Thi Khanh Linh (2016), “Exact secular equations of Rayleigh waves in an orthotropic elastic half-space overlaid by an orthotropic elastic layer”, International Journal of Solids and Structures, Vol 83, pp 65–72 P C Vinh, N T K Linh, V T N Anh (2014), "Rayleigh waves in an incompressible orthotropic halfspace coated by a thin elastic layer", Arch Mech, 66, 173-184 Pham Chi Vinh, R W Ogden (2004), “Formulas for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids”, Arch Mech., 56, 3, pp 247–265, Warszawa Abstract: THE APPROXIMATE SECULAR OF THE RAYLEIGH WAVE PROPAGATING IN AN ORTHOTROPIC ELASTIC HALF-SPACE COATED WITH A THIN PIEZOELECTRIC LAYER This paper investigates the propagating of the Raleigh wave in an orthotropic elastic half-space coated with a thin elastic layer The layer and the half-space are in welded contact with each other with supposing the layer is piezoelectric and the half-space may be compressible The main aim of the paper is to give explicit secular equations of the Rayleigh wave traveling in the materials By applying the effective boundary method, approximate secular equations of third-order in terms of the dimensionless were obtained It is shown that these approximate secular equations have high accuracy and will be useful in practical application Keywords: Rayleigh wave, compressible orthotropic elastic half-space, thin piezoelectric layer, approximate secular Ngày nhận bài: 07/3/2022 Ngày chấp nhận đăng: 15/4/2022 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022) ... thực tiễn KẾT LUẬN Bài báo nguyên cứu sóng Rayleigh truyền bán không gian đàn hồi trực hướng phủ lớp mỏng đàn điện Bài báo thu điều kiện biên cho lớp đàn điện Từ điều kiện biên này, tác giả để... ) (1.16) Xét sóng Rayleigh truyền bán không gian trực hướng nén với vận tốc c (  ), số KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 79 (6/2022) sóng k theo hướng x1 tắt dần theo hướng x3 B1... n66  r4  r42  r2 s6 ) Bây ta xét lan truyền sóng mặt lớp x3   h, truyền với vận tốc c số sóng k theo hướng x1 ,tắt dần theo hướng x3 Chuyển dịch u , điện  ứng suất  ij có dạng: ui  U (