Phản xạ và khúc xạ của sóng P đối với biên phân chia nhám giữa hai bán không gian monoclinic

Bài viết Phản xạ và khúc xạ của sóng P đối với biên phân chia nhám giữa hai bán không gian monoclinic tác giả xét sự phản xạ, khúc xạ của sóng phẳng P đối với biên phân chia có độ nhám cao giữa hai bán không gian đàn hồi monoclinic. Sử dụng các kỹ thuật của phương pháp thuần nhất hóa, tác giả thay miền với biên phân chia có độ nhám cao bằng một lớp vật liệu không thuần nhất với biên là các đường thẳng.

Phản xạ khúc xạ sóng P biên phân chia nhám hai bán không gian monoclinic Reflection and refraction of p wave from a rough interface between two monoclinic half-spaces Đỗ Xuân Tùng Tóm tắt Trong báo tác giả xét phản xạ, khúc xạ sóng phẳng P biên phân chia có độ nhám cao hai bán khơng gian đàn hồi monoclinic Sử dụng kỹ thuật phương pháp hóa, tác giả thay miền với biên phân chia có độ nhám cao lớp vật liệu không với biên đường thẳng Giả sử sóng tới quasi P(qP) mặt phẳng x1x3, hai sóng qP qSV sinh bán không gian Các liên hệ phương dịch chuyển lan truyền sóng thiết lập Biểu thức hệ số phản xạ, khúc xạ sóng qP qSV tìm Từ khóa: phản xạ, khúc xạ, biên phân chia độ nhám cao Abstract In this paper, the reflection and refraction of a plane wave at a rough interface between two monoclinic half-spaces have been considered by the author By standard techniques of the homogenized method, the author replaces the domain with the rough interface with a material layer with an interface are two straight lines It has been assumed that due to the incidence of a plane quasi-P (qP) wave in the plane, two types of waves, namely, quasi-P (qP) and quasi-SV (CSV), will be generated in the lower half-space whereas qP and CSVCSV waves will be generated in the upper halfspace half-space Some specific relations have been established between directions of motion and propagation, respectively The expressions for reflection coefficients of qP, CSV, and refracted coefficients of qP and CSVCSV waves are obtained Key words: reflection, refraction, rough interface TS Đỗ Xuân Tùng Bộ môn Cơ học lý thuyết, Khoa Xây dựng ĐT: 0984.468.136 Email: tungdx2783@gmail.com Ngày nhận bài: 5/10/2019 Ngày sửa bài: 25/10/2019 Ngày duyệt đăng: 9/3/2022 Giới thiệu Các toán với biên phân chia hai miền đàn hồi xuất nhiều thực tế như: tán xạ sóng đàn hồi [10], phản xạ, khúc xạ với biên phân chia nhám[3,5]…Khi biên phân chia có độ nhám cao phương pháp hóa sử dụng [2,8] Q trình lan truyền sóng khối sóng mặt mơi trường dị hướng phức tạp nhiều so với môi trường đẳng hướng Vận tốc pha sóng phụ thuộc vào hướng lan truyền sóng [3] Các tốn lan truyền sóng đàn hồi nhiều tác giả quan tâm, mơi trường có tính đến ứng suất trước phải kể đến cơng trình Norris [4].Trong số tốn tốn phản xạ, khúc xạ sóng có nhiều ứng dụng thực tế Tuy nhiên, tác giả xét biên phân chia phẳng [1],[3] biên phân chia có độ nhám thấp[5] Khi biên phân chia có độ nhám cao, kết hạn chế Gần đây, Vinh cộng [8] tìm phương trình hóa với biên phân chia có độ nhám cao dao động hai đường thẳng song song Miền với biên phân chia thay lớp không với biên phân chia phẳng Do đó, tốn phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia có độ nhám cao đưa toán phản xạ, khúc xạ lớp kẹp hai bán khơng gian Mục tiêu báo nghiên cứu phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân chia có độ nhám cao miền đàn hồi monoclinic Mối liên hệ phương dịch chuyển phương lan truyền sóng thiết lập Các hệ số phản xạ, khúc xạ tìm chúng có nhiều ứng dụng tốn thực tế Hệ phương trình mối liên hệ phương dịch chuyển phương lan truyền sóng Xét vật thể đàn hồi dị hướng monoclinic với mặt phẳng đối xứng trùng với mặt phẳng x1x3 Trạng thái biến dạng phẳng với thành phần chuyển dịch có dạng sau: ∂ui ui ui ( x1, x3 , t ); = = ≡ 0;(i 1,3) ∂x2 (1) Mối liên hệ ứng suất với thành phần chuyển dịch có dạng [1] σ11 =c11u1,1 + c13u3,3 + c15 (u1,3 + u3,1 ) σ13 =c15u1,1 + c35u3,3 + c55 (u1,3 + u3,1 ) σ 33 =c13u1,1 + c35u3,3 + c35 (u1,3 + u3,1 ) (2) Phương trình chuyển động bỏ qua lực khối: ∂σ ij ∂x j =ρ ∂ 2ui ∂t (3) Thay (2) vào (3) ta hệ phương trình thành phần chuyển dịch, cụ thể c11 c15 ∂ 2u1 ∂x12 ∂ 2u1 ∂x12 + 2c15 ∂ 2u ∂ 2u3 ∂ 2u ∂ 2u1 ∂ 2u ∂ 2u ρ 21 + c55 21 + c15 23 + (c55 + c13 ) + c35 23 = ∂x1∂x3 ∂x1∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x3 ∂t + (c13 + c55 ) ∂ 2u ∂ 2u3 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u1 ∂ 2u ρ 23 + c35 21 + c55 23 + 2c35 + c33 23 = ∂x1∂x3 ∂x1∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x3 ∂t (4) Gọi p1, p3 thành phần véc tơ lan truyền sóng, c vận tốc pha, k số sóng sóng lan truyền mặt phẳng x1x3 Nghiệm (4) tìm dưới dạng sau:  u1  A  d1  exp[ik ( x p + x p − ct )] = u  d  1 3  3  3 (5) S¬ 44 - 2022 57 KHOA HC & CôNG NGHê Cỏc súng ti, súng phn xạ, khúc xạ có dạng sau [1,3,7]  u1i   Ri1  i i =  u i   Ri  exp[iki ( x1 p1 + x3 p3 − cit )]  3 (12) với i=0,1,2,3,4 tương ứng sóng tới P, phản xạ P, phản xạ SV, khúc xạ P khúc xạ SV Ri1; Ri3 thành Ri21 + Ri23 ) Các ( Ri phần biên độ sóng Ri tương ứng = vận tốc sóng ci xác định từ (10) với giá trị U, V, Z (8) lấy giá trị (+), (-) tương ứng với miền Ω(+) Ω(-) Theo quy luật Snell [1] ta có k= = sin θ k sin θ1 k= sin θ k= sin θ3 k= sin θ ξ1 (13) θi góc tạo phương truyền sóng trục x3 sóng Hình 1: Sự phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân chia nhám Theo Vinh cộng [8], toán phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia có độ nhám cao dẫn đến toán phản xạ, khúc xạ lớp không kẹp bán không gian (Hình 2) Các phương trình chuyển dịch lớp có dạng [8] c11u1,11 + c15u1,13 + (c15u1,1 ),3 + (c55u1,3 ),3 + c15u3,11 +  + (c55u3,1 ),3 + mu3,13 + (nu3,3 ),3 = ρ u1   c u + c u + (mu ) + (nu ) + c u 1,1 ,3 1,3 ,3 515 3,11 +  15 1,11 55 1,13  ρ u3 + (nu3,1 ),3 + nu3,13 + (qu3,3 ),3 =  (14) Ở d1, d3 thành phần véc tơ dịch chuyển đơn vị Thay (5) vào (4) dẫn đến c11d1 p12 + 2c15d1 p1 p3 + c55d1 p32 + c15d3 p12 + + (c55 + c13 )d3 p1 p3 + c35d3 p32 = ρ c 2d1 c15d1 p12 + (c13 + c55 )d1 p1 p3 + c35d1 p32 + c55d3 p12 + + 2c35d3 p1 p3 + c33d3 p32 = ρ c d3 = cij Hệ phương trình (6) viết lại dạng sau (U − ρ c )d1 + Vd3 =  Vd1 + ( Z − ρ c )d3 = (6) = d d ; d c11c 55 −c15 /= ; d c11 / d c55 / d − c15 / d ; = a (c55c13 − c15c35 ) / d ; (7) = b (c11c35 − c15c13 ) / d ; 2 q = c33 − (c11c35 + c55c13 − 2c13c15c35 ) / d + 2 + a c11 + a b c15 + b c55 ; U= c11 p12 + 2c15 p1 p3 + c55 p32 ; V = c15 p12 + (c13 + c55 ) p1 p3 + c35 p32 ; Z= c55 p12 + 2c35 p1 p3 + c33 p32 cij (8) = m c11 a + c15 b ; = n c15 a + c55 b Nghiệm (14) tìm dạng [7,9] Điều kiện để hệ (7) có nghiệm không tầm thường dẫn u1 v1 ( x3 )exp[i (ξ1 − ωt )] đến phương trình xác định vận tốc sóng, cụ thể[3,5] = = u3 v3 ( x3 )exp[i (ξ1 − ωt )] (15) ρ 2c − (U + Z ) ρ c + (UZ − V ) = (9) Thay (15) vào (14) dùng hàm Y=Y(y1;y2;y3;y4) Nghiệm (9) có dạng [3,5] với 2 1/2 2 ρ c ( p1, p3 ) = (U + Z ) + [(U − Z ) + 4V ] (a )  y1 = c15v1iξ + c55v1,3 + c55v3iξ + nv3,3   y2 =qv3,3 + niξ v3 + miξ v1 + nv1,3 2 1/2  ρ c ( p1, p3 ) = (U + Z ) − [(U − Z ) + 4V ] (b) (10)  y3 = v1  y4 = v3 Biểu thức vận tốc sóng (10a), (10b) tương ứng với vận  (16) tốc sóng sóng P, SV Hơn cịn có mối liên dẫn đến phương trình vi phân hệ thành phần véc tơ dịch chuyển sau dY ( x3 ) d1 V ρc2 − Z = D( x3 )Y ( x3 ) = = dx3 d3 ρ c − U V (11) Từ có nghiệm trường chuyển dịch, ứng Sự phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân suất lớp Tiếp theo ta biểu diễn trường chuyển dịch, chia có độ nhám cao ứng suất bán không gian Ω(+) Ω(-) kết hợp với điều (+) kiện liên tục x3=0; x3=h ma trận chuyển T ta thu Xét bán không gian dị hướng monoclinic Ω hệ phương trình xác định hệ số phản xạ, khúc xạ Ω(-) phân chia biên phân chia nhám (như Hình sóng [7] Cụ thể là: 1) nằm mặt phẳng x1x3 Cho sóng tới P đến biên phân chia Sóng tới P tới biên phân chia sinh sóng Đối với bán khơng gian Ω(+): phản xạ, khúc xạ P SV { 58 T„P CHŠ KHOA HC KIƯN TRC - XY DẳNG u1+ = u10 + u12 + u12 ; u3+ = u30 + u32 + u32 Đối với bán không gian Ω(-): u1− =+ u13 u14 ; u3− =+ u33 u34 Dựa vào biểu thức nghiệm (12) cho sóng, ta v1 (0) = R01 + R11 + R21; v3 (0) = R03 + R13 + R23 ; v1 (h) R31 exp[ik3 p33h] + R41 exp[ik4 p34 h]; = v3 (h) R33 exp[ik3 p33h] + R43 exp[ik4 p34 h]; = v1,3 (0)= i ( R01k0 p30 + R11k1 p13 + R21k2 p32 ) v3,3 (0)= i ( R03k0 p30 + R13k1 p13 + R23k2 p32 ); v1,3 (h) = i ( R31k3 p33 exp[ik3 p33h] + R41k4 p34 exp[ik4 p34 h]); = v3,3 (h) i ( R33k3 p33 exp[ik3 p33h] + R43k4 p34 exp[ik4 p34 h]) (17) Thay (17) vào (16) ta  y1 (0)   y2 (0)  + = Y (0) = y (0)     y3 (0)   y1 (h)   y2 ( h )  − = Y (h) = y ( h)     y3 (h)   a1R13 + a2 R23 + a3   a4 R13 + a5 R23 + a6   a R + a R + a ;  13 23   a10 R13 + a11R23 + a12   b1R33 + b2 R43   b3 R33 + b4 R43  b R + b R   33 43   b7 R33 + b8 R43  Hình2: Sự phản xạ, khúc xạ sóng P lớp không kẹp bán không gian đàn hồi monoclinic (18) a1= a2= a= = a4 = a5 a= − − − 3 b= (c15iξ F3 + c55ik3 p3 F3 + c55iξ + ik3 p3 )exp[ik3 p3 h]; = b3 = b4 = b5 = b7 − − − (c15 iξ F4 + c55 ik4 p34 F4 + c55 iξ + ik4 p34 )exp[ik4 p34h]; − − (c33 ik3 p33 + iξ + c13 iξ F3 + ik3 p33 F3 )exp[ik3 p33h]; − − (c33 ik4 p34 + iξ + c13 iξ F4 + ik4 p34 F4 )exp[ik4 p34h]; F= exp[ik3 p3 h]; b6 F3 exp[ik4 p3 h]; exp[ = ik3 p33h]; b8 exp[ik4 p34 h] Dùng điều kiện liên tục [7,9] Y − (h) = TY + (0) (19) T ma trận chuyển  T11 T T =  21 T  31  T41 c2 b1 b2   R13   c3  c5 b3 b4   R23   c6  = c8 b5 b6   R33   c9      c11 b7 b8   R43   c12  (20) + + + c15 iξ F1 + c55 iF1k1p13 + c55 iξ + ik1p13 ; + + + c15 iξ F2 + c55 ik2 F2 p32 + c55 iξ + ik2 p32 ; + + + (c15 iξ F0 + c55 ik0 p30 F0 + c55 iξ + ik0 p30 ) R03 ; + + c33 ik1 p13 + iξ + c13 iξ F2 + ik1 p13 F2 ; + + c33 ik2 p32 + iξ + c13 iξ F2 + ik2 p32 F2 ; + + (iξ + c33 ik0 p30 + c13 iξ F0 + ik0 p30 F0 ) R03 ; a= = = F1; a F2 ; a F0 R03 ; a= 10 a= 11 a= 12 1; b=  c1  c4 c   c10 T12 T13 T22 T23 T32 T33 T42 T43 T14  T24  T34   T44  với phần tử Tij xác định Vinh cộng [9] Thay (18) vào (19) ta hệ phương trình với ẩn số R13; R23; R33; R43 −(a1T11 + a4T12 + a7T13 + a10T14 ); c1 = −(a2T11 + a5T12 + a8T13 + a11T14 ); c2 = c3 = (a3T11 + a6T12 + a9T13 + a12T14 ); −(a1T21 + a4T22 + a7T23 + a10T24 ); c4 = −(a2T21 + a5T22 + a8T23 + a11T24 ); c5 = c6 = (a3T21 + a6T22 + a9T23 + a12T24 ); −(a1T31 + a4T32 + a7T33 + a10T34 ); c7 = −(a2T31 + a5T32 + a8T33 + a11T34 ); c8 = c9 = (a3T31 + a6T32 + a9T33 + a12T34 ); −(a1T41 + a4T42 + a7T43 + a10T44 ); c10 = −(a2T41 + a5T42 + a8T43 + a11T44 ); c11 = c12 = (a3T41 + a6T42 + a9T43 + a12T44 ); Do hệ số R13; R23; R33; R43 xác định bới  R13   c1  R23   c4 R  = c  33    R43   c10 c2 b1 c5 b3 c8 b5 c11 b7 b2  b4  b6   b8  −1  c3   c6  c   9  c12  (21) Cuối cùng, hệ số phản xạ, khúc xạ sóng P, SV tương ứng R V 2 R1 =R11 + R13 ; F1 =11 =+ 21 ; R13 ρ c1 − U1 R V 2 ; F =21 = + 2 ; R2 =R21 + R23 R23 ρ c2 − U (22) R V 2 ; F3 =31 =+ ; R3 =R31 + R33 R33 ρ c3 − U R V 2 ; F4 =41 =+ R4 =R41 + R43 R43 ρ c4 − U (xem tiếp trang 63) S¬ 44 - 2022 59 3) Khi biên phân chia độ nhám cao có dạng hình cưa (Hình 3): Các hệ số phương trình (18) khơng phải số mà hàm x3 có dạng sau: ϕ = (1 + x3 x )ϕ+ − ϕ− A A (23) 4) Khi biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin (Hình 4): Các hệ số phương trình (18) có dạng sau: 2 ϕ = [1 − arccos(1 + x3 )]ϕ+ + arccos(1 + x3 )]ϕ− π A π A (24) T¿i lièu tham khÀo Abubakar, I., Scattering of plane elastic waves at rough surfaces-I Proc Camb Phil Soc 58, (1962), 136–157 Singh, S S., Tomar, S K., qP-wave at a corrugated interface between two dissimilar pre-stressed elastic half-spaces, J Sound Vibr 317, (2008), 687-708 Nevard J., and Keller J B., Homogenization of Rough Boundaries and Interfaces, SIAM J.Appl Math., 57, (1997), 1660-1686 Vinh, P C., Tung, D X., Homogenized equations of the linear elasticity in two-dimensional domains with very rough interfaces, Mech Res Comm 37, (2010), 285-288 Kết luận Sử dụng phương pháp hóa, tác giả thu phương trình hóa dạng biên phân chia độ nhám cao hai miền nhiệt đàn hồi đẳng hướng Các phương trình hóa dạng điều kiện liên tục tương ứng viết cụ thể dạng thành phần Ý nghĩa phương pháp hóa thay miền chứa biên phân chia độ nhám cao lớp không với biên phẳng Như kết thu thuận lợi để xét tốn phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia độ nhám cao môi trường nhiệt đàn hồi đẳng Các nghiên cứu mở rộng sang môi trường phức tạp monoclinic dị hướng tổng quát./ P.C Vinh, VTN Anh, DX Tung, NT Kieu., Homogenization of very rough interfaces for the micropolar elasticity theory Applied Mathematical Modelling, 54, (2018), 467-482 N R Chakraborty, M C Singh, Reflection and refraction of a plane thermoelastic wave at a solid–solid interface under perfect boundary condition, in presence of normal initial stress Applied Mathematical Modelling, 35, (2011), 5286-5301 Baljeet Singh, Reflection of plane waves at the free surface of a monoclinic thermoelastic solid half-space, European Journal of Mechanics – A/Solids, 29 (5), (2010), 911-916 Baljeet Singh, On the theory of generalized thermoelasticity for piezoelectric materials, Applied Mathematics and Computation, 171, (2005), 398-405 Phản xạ khúc xạ sóng P biên phân chia nhám (tiếp theo trang 59) Kết luận Trong báo này, dựa phương trình hóa thu [8] hóa biên phân chia có độ nhám cao miền chiều bán không gian đàn hồi monoclinic, toán phản xạ, khúc xạ sóng P tới biên phân chia có độ nhám cao dẫn đến toán phản xạ, khúc T¿i lièu tham khÀo Achenbach.J.D, Wave propagation in Elastic Solids, NorthHolland Publishing Company, Amsterdam-New York-Oxford, 1973 Bensoussan, A., Lions, J B., Papanicolaou, J., 1978 Asymptotic analysics for periodic structures, North- Holland, Amsterdam Chattopadhyay A, Rlk Venkateswarlu and S Saha., Reflection of quasi-P and quasi-SV waves at the free and rigid boundaries of a fibre-reinforced medium, Sadhana Vol 27, Part 6, December 2002, pp 613–630 © Printed in India Norris, A.N., 1983, Propagation of plane waves in a pre-stressed elastic media, J Acoust Soc.Am 74, 1642-1643 Singh, S S., Tomar, S K., 2008 qP-wave at a corrugated interface between two dissimilar pre-stressed elastic half-spaces, J Sound Vibr 317, 687-708 xạ với lớp không kẹp bán không gian với biên phân chia phẳng Kết hợp ma trận chuyển lớp điều kiện liên tục mặt biên dẫn đến biểu thức xác định hệ số phản xạ, khúc xạ sóng biết đặc trưng sóng tới P Kết đạt có nhiều ý nghĩa tính toán thực tế./ Thomson, Transmission of elastic waves through a stratified solid medium, J Appl Phys., 21 (1950), 89-93 Tung.D.X, Kieu.N.T, Thang.L.T, Relection and transmission of qP waves through an orthotropic layer sandwiched between two half-spaces.Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol 40, No (2018), pp 171 – 180 Vinh, P C., Tung, D X., 2010, Homogenized equations of the linear elasticity in two-dimensional domains with very rough interfaces, Mech Res Comm 37, 285-288 Pham Chi Vinh, Tran Thanh Tuan, Marcos A Capistran, 2015, '' Explicit formulas for the reflection and transmission coefficients of one-component waves through a stack of an arbitrary number of layers '', Wave Motion, Volume 54, Pages 134–144 10 Zaki K A., Neureuther, A R., 1971 Scattering from a perfectly conducting surface with a sinusoidal hight profile: TE polarization, IEEE Trans Atenn Propag 19(2), 208-214 S¬ 44 - 2022 63 ... tạo phương truyền sóng trục x3 sóng Hình 1: Sự phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân chia nhám Theo Vinh cộng [8], toán phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia có độ nhám cao dẫn đến toán phản xạ, khúc. .. hóa thu [8] hóa biên phân chia có độ nhám cao miền chiều bán không gian đàn hồi monoclinic, toán phản xạ, khúc xạ sóng P tới biên phân chia có độ nhám cao dẫn đến toán phản xạ, khúc T¿i lièu tham... thành phần Ý nghĩa phương ph? ?p hóa thay miền chứa biên phân chia độ nhám cao l? ?p không với biên phẳng Như kết thu thuận lợi để xét tốn phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia độ nhám cao môi trường